Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Иррациональные уравнения бывают от простых до сложных — и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора онлайн.
Итак:
Простые иррациональные уравнения
Будем считать, что простые уравнения будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:
2*x + sqrt(-x + 3) = 3
Введём это уравнение в форму калькулятора
Тогда, вы получите подробное решение:
Дано уравнение
_______ \/ 3 - x + 2*x = 3
_______ \/ 3 - x = 3 - 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(11)^2 - 4 * (-4) * (-6) = 25
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Т.к.
_______ \/ 3 - x = 3 - 2*x
и
то
или
Тогда, окончательный ответ:
Средние иррациональные уравнения
Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.
Например,
sqrt(4*x + 1) + sqrt(3*x — 2) = 2
надо ввести в форму в калькуляторе
Результат будет таким:
Дано уравнение
_________ __________ \/ 1 + 4*x + \/ -2 + 3*x = 2
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
/ _________ __________\
\\/ 1 + 4*x + \/ -2 + 3*x / = 4или
2 _____________________ 2 1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1) + 1 *(4*x + 1) = 4
или
__________________
/ 2
-1 + 2*\/ -2 - 5*x + 12*x + 7*x = 4преобразуем:
__________________
/ 2
2*\/ -2 - 5*x + 12*x = 5 - 7*xВозведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2 2
-8 - 20*x + 48*x = (5 - 7*x)
2 2
-8 - 20*x + 48*x = 25 - 70*x + 49*x Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(50)^2 - 4 * (-1) * (-33) = 2368
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Т.к.
__________________
/ 2 5 7*x
\/ -2 - 5*x + 12*x = - - ---
2 2 и
__________________ / 2 \/ -2 - 5*x + 12*x >= 0
то
или
проверяем:
__________ ___________
-2 + \/ 1 + 4*x1 + \/ -2 + 3*x1 = 0=
_______________________ ________________________ / / ____\ / / ____\ \/ 1 + 4*\25 - 4*\/ 37 / + \/ -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 / - 2 = 0
=
— тождество
Тогда, окончательный ответ:
Сложные иррациональные уравнения
Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:
sqrt(x + 5) — sqrt(x — 1) = sqrt(2*x + 4)
В форме калькулятора это будет выглядеть так:
Тогда получите подробное объяснение
Дано уравнение
_______ ________ _________ \/ 5 + x - \/ -1 + x = \/ 4 + 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
/ _______ ________\
\\/ 5 + x - \/ -1 + x / = 4 + 2*xили
2 _________________ 2 1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1) + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x
или
_______________
/ 2
4 - 2*\/ -5 + x + 4*x + 2*x = 4 + 2*xпреобразуем:
_______________
/ 2
-2*\/ -5 + x + 4*x = 0преобразуем
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
проверяем:
________ _________ __________ \/ 5 + x1 - \/ -1 + x1 - \/ 4 + 2*x1 = 0
=
_______ ________ _______ \/ 5 + 1 - \/ -1 + 1 - \/ 4 + 2 = 0
=
— тождество
________ _________ __________ \/ 5 + x2 - \/ -1 + x2 - \/ 4 + 2*x2 = 0
=
_______ ________ ____________ \/ 5 - 5 - \/ -1 - 5 - \/ 4 + 2*(-5) = 0
=
— Нет
Тогда, окончательный ответ:
Решение алгебраических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Рассмотрим несколько примеров, как решать простые и сложные алгебраические уравнения, и используя калькулятор уравнений онлайн, получить подробное решение.
Простое алгебраическое уравнение
На простом примере
2*(x — 1/2) = 3/8*(1-x/7)
— линейного алгебраического уравнения долго не будем задерживаться — вы сами можете воспользоваться формой ниже и опробовать:
Лучше сразу перейдём к более сложным алгебраическим уравнениям.
Сложное алгебраическое уравнение
Рассмотрим пример уравнения с полиномом 4-ой степени:
(x — 2)^4 + 3*(x — 2)^2 — 10 = 0
Для получения подробного решения вбейте данное уравнение в калькулятор:
И ниже вы увидите подробное решение:
Дано уравнение:
4 2
-10 + (-2 + x) + 3*(-2 + x) = 0Сделаем замену
тогда ур-ние будет таким:
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
v1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
v2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
то
тогда:
2 ___ \/ 2 ___ ----- + 2 = 2 + \/ 2 1
2 ___ -\/ 2 ___ ------- + 2 = 2 - \/ 2 1
2 ____ \/ -5 ___ ------ + 2 = 2 + I*\/ 5 1
2 ____ -\/ -5 ___ -------- + 2 = 2 - I*\/ 5 1
Также можно решать уравнения со степенью 6 (шестой степенью) и другими степенями. Калькулятор алгебраических уравнений вам поможет в этом.
x^6 + 9*x^3 + 8 = 0
Дано уравнение:
Сделаем замену
тогда ур-ние будет таким:
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
v1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
v2 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
то
тогда:
3 ____ \/ -1 3 ____ ------ = \/ -1 1
3 ____ \/ -8 3 ____ ------ = 2*\/ -1 1
Также можно решить алгебраическое уравнение третьей степени (кубическое):
2*x^3 + 4*x — 8*x = 16
Дано уравнение:
3 2
-8*x + 2*x + 4*x = 16преобразуем
3 2 2*x - 16 + 4*x - 16 - 8*x + 16 = 0
или
3 3 2 2 2*x - 2*2 + 4*x - 4*2 - 8*x + 16 = 0
/ 3 3\ / 2 2\ 2*\x - 2 / + 4*\x - 2 / - 8*(x - 2) = 0
/ 2 2\
2*(x - 2)*\x + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
/ / 2 2\ \
(x - 2)*\2*\x + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0или
/ 2 \
(-2 + x)*\8 + 2*x + 8*x/ = 0тогда:
и также
получаем ур-ние
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(8)^2 - 4 * (2) * (8) = 0
Т.к. D = 0, то корень всего один.
Получаем окончательный ответ для -8*x + 2*x^3 + 4*x^2 — 16 = 0:
Решение кубических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:
Пример простого кубического уравнения
Первый пример будет простым:
49*x^3 — x = 0
После того, как вы нажмёте «Решить уравнение!», то вы получите ответ с подробным объяснением:
Дано уравнение:
преобразуем
Вынесем общий множитель x за скобки
получим:
тогда:
и также
получаем ур-ние
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:
x3 = -1/7
Второй простой пример кубического уравнения будет таким:
8 = (1/2 + 3*x)^3
Получим подробное решение:
Дано уравнение:
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
/ 2\
-9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x /
-------------------------------- = 0
8 Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
решаем получившиеся ур-ния:
1.
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
Разделим обе части ур-ния на -9/4
Получим ответ: x1 = 1/2
2.
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(12)^2 - 4 * (12) * (7) = -192
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
___
1 I*\/ 3
x2 = - - + -------
2 3
___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 3 Тогда, окончательный ответ:
___
1 I*\/ 3
x2 = - - + -------
2 3
___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 3 Пример сложного кубического уравнения
Третьим примером будет более сложный — возвратное кубическое уравнение онлайн.
5*x^3 -8*x^2 — 8*x + 5 = 0
Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:
Дано уравнение:
2 3
5 - 8*x - 8*x + 5*x = 0преобразуем
3 2 5*x + 5 - 8*x + 8 - 8*x - 8 = 0
или
3 3 2 2 5*x - 5*(-1) - 8*x - -8*(-1) - 8*x - 8 = 0
/ 3 3\ / 2 2\ 5*\x - (-1) / - 8*\x - (-1) / - 8*(x + 1) = 0
/ 2 2\
5*(x + 1)*\x - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
/ / 2 2\ \
(x + 1)*\5*\x - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0или
/ 2\
(1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0тогда:
и также
получаем ур-ние
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
, то
(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10 Получаем окончательный ответ для 5 — 8*x — 8*x^2 + 5*x^3 = 0:
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10 Решение систем уравнений онлайн
Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:
Перепишем уравнения системы в следующем виде:
Тогда, первое уравнение системы представляет собой эллипс с большой полуосью равной 2 и малой полуосью равной . Второе уравнение системы — это прямая линия с тангесом угла наклона равным и величиной отрезка, отсекаемого на оси Oy равной .
Изобразим вышесказанное на схематичном графике:
Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений. Поскольку прямая пересекает эллипс только в двух указанных выше точках, других решений нет.
Только что мы рассмотрели так называемый графический метод решения систем уравнений, который хорошо подходит для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными. При большем количестве неизвестных, решениями будут точки в многомерном пространстве, что существенно усложняет задачу.
Если для решения исходной системы использовать более универсальный метод подстановки, мы получим следующий результат:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет решать разнообразные типы систем уравнений.