Решение уравнения онлайн: Уравнения. Онлайн калькулятор с примерами – Решение уравнений онлайн

Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Иррациональные уравнения бывают от простых до сложных - и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора онлайн.

Итак:

Простые иррациональные уравнения

Будем считать, что простые уравнения будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:

2*x + sqrt(-x + 3)  = 3

Введём это уравнение в форму калькулятора

Решение иррациональных уравнений онлайн

Тогда, вы получите подробное решение:

Дано уравнение


  _______          
\/ 3 - x  + 2*x = 3

  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(11)^2 - 4 * (-4) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

 

Т.к.


  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

и

то

или

Тогда, окончательный ответ:

Средние иррациональные уравнения

Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.

Например,

sqrt(4*x + 1)  + sqrt(3*x - 2)  = 2

надо ввести в форму в калькуляторе

Иррациональное уравнение онлайн

Результат будет таким:

Дано уравнение


  _________     __________    
\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x  = 2

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                            2    
/  _________     __________\     
\\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x /  = 4

или


 2                 _____________________    2              
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1)  + 1 *(4*x + 1) = 4

или


          __________________          
         /                2           
-1 + 2*\/  -2 - 5*x + 12*x   + 7*x = 4

преобразуем:


     __________________          
    /                2           
2*\/  -2 - 5*x + 12*x   = 5 - 7*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                2            2
-8 - 20*x + 48*x  = (5 - 7*x) 

                2                   2
-8 - 20*x + 48*x  = 25 - 70*x + 49*x 

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(50)^2 - 4 * (-1) * (-33) = 2368

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

 

Т.к.


   __________________          
  /                2    5   7*x
\/  -2 - 5*x + 12*x   = - - ---
                        2    2 

и


   __________________     
  /                2      
\/  -2 - 5*x + 12*x   >= 0

то

или

проверяем:


       __________     ___________    
-2 + \/ 1 + 4*x1  + \/ -2 + 3*x1  = 0

=


   _______________________      ________________________        
  /       /         ____\      /        /         ____\         
\/  1 + 4*\25 - 4*\/ 37 /  + \/  -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 /  - 2 = 0

=

- тождество

Тогда, окончательный ответ:

Сложные иррациональные уравнения

Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:

sqrt(x + 5)  - sqrt(x - 1)  = sqrt(2*x + 4)

В форме калькулятора это будет выглядеть так:

Подробное решение иррациональных уравнений

Тогда получите подробное объяснение

Дано уравнение


  _______     ________     _________
\/ 5 + x  - \/ -1 + x  = \/ 4 + 2*x 

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень


                        2          
/  _______     ________\           
\\/ 5 + x  - \/ -1 + x /  = 4 + 2*x

или


 2               _________________       2                  
1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1)  + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x

или


         _______________                
        /       2                       
4 - 2*\/  -5 + x  + 4*x  + 2*x = 4 + 2*x

преобразуем:


      _______________    
     /       2           
-2*\/  -5 + x  + 4*x  = 0

преобразуем

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

проверяем:


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x1  - \/ -1 + x1  - \/ 4 + 2*x1  = 0

=


  _______     ________     _______    
\/ 5 + 1  - \/ -1 + 1  - \/ 4 + 2  = 0

=

- тождество


  ________     _________     __________    
\/ 5 + x2  - \/ -1 + x2  - \/ 4 + 2*x2  = 0

=


  _______     ________     ____________    
\/ 5 - 5  - \/ -1 - 5  - \/ 4 + 2*(-5)  = 0

=

- Нет

Тогда, окончательный ответ:

Решение алгебраических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим несколько примеров, как решать простые и сложные алгебраические уравнения, и используя калькулятор уравнений онлайн, получить подробное решение.

Простое алгебраическое уравнение

На простом примере

2*(x - 1/2) = 3/8*(1-x/7)

- линейного алгебраического уравнения долго не будем задерживаться - вы сами можете воспользоваться формой ниже и опробовать:

Простое алгебраическое уравнение

 

Лучше сразу перейдём к более сложным алгебраическим уравнениям.

Сложное алгебраическое уравнение

Рассмотрим пример уравнения с полиномом 4-ой степени:

(x - 2)^4  + 3*(x - 2)^2  - 10 = 0

Для получения подробного решения вбейте данное уравнение в калькулятор:

Алгебраическое уравнение четвёртой степени

И ниже вы увидите подробное решение:

Дано уравнение:


              4             2    
-10 + (-2 + x)  + 3*(-2 + x)  = 0

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


2 ___                
\/ 2              ___
----- + 2 = 2 + \/ 2 
  1                  

 2 ___                 
-\/ 2               ___
------- + 2 = 2 - \/ 2 
   1                   

2 ____                  
\/ -5                ___
------ + 2 = 2 + I*\/ 5 
  1                     

 2 ____                   
-\/ -5                 ___
-------- + 2 = 2 - I*\/ 5 
   1                      

 

Также можно решать уравнения со степенью 6 (шестой степенью) и другими степенями. Калькулятор алгебраических уравнений вам поможет в этом.

x^6  + 9*x^3  + 8 = 0

Дано уравнение:

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


3 ____         
\/ -1    3 ____
------ = \/ -1 
  1            

3 ____           
\/ -8      3 ____
------ = 2*\/ -1 
  1              

 

Также можно решить алгебраическое уравнение третьей степени (кубическое):

2*x^3 + 4*x - 8*x  = 16

Дано уравнение:


          3      2     
-8*x + 2*x  + 4*x  = 16

преобразуем


   3           2                    
2*x  - 16 + 4*x  - 16 - 8*x + 16 = 0

или


   3      3      2      2               
2*x  - 2*2  + 4*x  - 4*2  - 8*x + 16 = 0

  / 3    3\     / 2    2\                
2*\x  - 2 / + 4*\x  - 2 / - 8*(x - 2) = 0

          / 2          2\                                    
2*(x - 2)*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0

Вынесем общий множитель -2 + x за скобки

получим:


        /  / 2          2\                \    
(x - 2)*\2*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0

или


         /       2      \    
(-2 + x)*\8 + 2*x  + 8*x/ = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(8)^2 - 4 * (2) * (8) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

Получаем окончательный ответ для -8*x + 2*x^3 + 4*x^2 - 16 = 0:

Решение кубических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:

Пример простого кубического уравнения

Первый пример будет простым:

49*x^3 - x = 0

Решение кубических уравнений онлайн

После того, как вы нажмёте "Решить уравнение!", то вы получите ответ с подробным объяснением:

Дано уравнение:

преобразуем

Вынесем общий множитель x за скобки

получим:

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:


x3 = -1/7

 

Второй простой пример кубического уравнения будет таким:

8 = (1/2 + 3*x)^3

Кубическое уравнение онлайн

Получим подробное решение:

Дано уравнение:

преобразуем:

Вынесем общий множитель за скобки


              /               2\    
-9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x /    
-------------------------------- = 0
               8                    

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.

Получим ур-ния

решаем получившиеся ур-ния:

1.

Переносим свободные слагаемые (без x)

из левой части в правую, получим:

Разделим обе части ур-ния на -9/4

Получим ответ: x1 = 1/2

2.

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(12)^2 - 4 * (12) * (7) = -192

Т.к. D < 0, то уравнение

не имеет вещественных корней,

но комплексные корни имеются.


x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - + -------
       2      3   

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      3   

Тогда, окончательный ответ:


               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - + -------
       2      3   

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      3   

Пример сложного кубического уравнения

Третьим примером будет более сложный - возвратное кубическое уравнение онлайн.

5*x^3 -8*x^2 - 8*x + 5 = 0

Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:

Возвратное кубическое уравнение

Дано уравнение:


             2      3    
5 - 8*x - 8*x  + 5*x  = 0

преобразуем


   3          2                  
5*x  + 5 - 8*x  + 8 - 8*x - 8 = 0

или


   3         3      2          2              
5*x  - 5*(-1)  - 8*x  - -8*(-1)  - 8*x - 8 = 0

  / 3       3\     / 2       2\                
5*\x  - (-1) / - 8*\x  - (-1) / - 8*(x + 1) = 0

          / 2           2\                                     
5*(x + 1)*\x  - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0

Вынесем общий множитель 1 + x за скобки

получим:


        /  / 2           2\                \    
(x + 1)*\5*\x  - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0

или


        /              2\    
(1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a    

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то


(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или


            ____
     13   \/ 69 
x2 = -- + ------
     10     10  

            ____
     13   \/ 69 
x3 = -- - ------
     10     10  

Получаем окончательный ответ для 5 - 8*x - 8*x^2 + 5*x^3 = 0:


            ____
     13   \/ 69 
x2 = -- + ------
     10     10  

            ____
     13   \/ 69 
x3 = -- - ------
     10     10  

Решение систем уравнений онлайн

Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Перепишем уравнения системы в следующем виде:

Тогда, первое уравнение системы представляет собой эллипс с большой полуосью равной 2 и малой полуосью равной . Второе уравнение системы - это прямая линия с тангесом угла наклона равным и величиной отрезка, отсекаемого на оси Oy равной .

Изобразим вышесказанное на схематичном графике:

схематичный график системы уравнений

Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений. Поскольку прямая пересекает эллипс только в двух указанных выше точках, других решений нет.

Только что мы рассмотрели так называемый графический метод решения систем уравнений, который хорошо подходит для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными. При большем количестве неизвестных, решениями будут точки в многомерном пространстве, что существенно усложняет задачу.

Если для решения исходной системы использовать более универсальный метод подстановки, мы получим следующий результат:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет решать разнообразные типы систем уравнений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *