Задачи на параллелограмм. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

На уроке мы, прежде всего, повторим уже изученные ранее свойства и признаки параллелограмма и все основные понятия, которые связаны с этой геометрической фигурой. Главной целью занятия будет рассмотрение нескольких примеров на применение знаний о параллелограмме. В процессе решения примеров познакомимся с важнейшей теоремой, связанной с параллельностью прямых, – теоремой Фалеса.

Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм. Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

 

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Теорема.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 4. Третий признак параллелограмма

Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.

Пример 1. В параллелограмме

 проведены биссектрисы  и , которые пересекаются в точке . Найти .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства:

. Следовательно,  поскольку  и  биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:

.

Ответ. .

Пример 2. Прямая , проведенная через середину  стороны  параллельно стороне  треугольника  пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что

 – это середина .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон

, но по условию еще известно, что , следовательно, .

Рассмотрим треугольники  и :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка  является серединой стороны . Что и требовалось доказать.

Доказано.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Изобразим Рис. 7.

Рис. 7. Теорема Фалеса

Рассмотрим . В нем точка  – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка  делит сторону   на две равные части, т.е.

. Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано. Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.

Доказано.

Рассмотрим пример на доказанную теорему.

Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.

Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины  вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.

Рис. 8. Применение теоремы Фалеса

Соединим прямой точки  и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки  и : . Полученные при пересечении отрезка точки  и  будут делить отрезок  на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.

Ответ: построено.

Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Narod.ru (Источник).
2. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

1. №  50 (г, д, е, ж, з, и), 51 (б, в, г, ж), 52 (б, в, е, ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. В параллелограмме   см,  см, биссектрисы углов  и  пересекают

Параллелограмм. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Данный урок посвящен одному из видов выпуклых четырехугольников, а именно – параллелограмму. Параллелограмм – один из частных видов четырехугольников, который включает в себя такие подвиды, как прямоугольник, ромб, квадрат – фигуры, с которыми каждый из нас знаком еще с детства. Мы рассмотрим определение и свойства параллелограмма, а также решим несколько примеров с использованием этих свойств.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Тема: Четырехугольники

Урок: Параллелограмм

На прошлом уроке мы рассмотрели понятие выпуклого многоугольника. Теперь изучим частный случай многоугольника – четырехугольник, а точнее – частный случай четырехугольника – параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .

Из того, что  – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: . Верно и обратное утверждение: если , то четырёхугольник  – параллелограмм.

Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

Дано:                                                             

 – параллелограмм ().

Доказать: ; .

Доказательство:

Поскольку нам ничего не известно, кроме того, что  – параллелограмм, то при доказательстве данного свойства мы будем пользоваться определением параллелограмма, то есть параллельностью его противоположных сторон.

Проведем диагональ  и рассмотрим два полученных треугольника (см. Рис. 2.).

Они имеют общую сторону . Эта сторона  является секущей при параллельных прямых .

Рис. 2

Воспользуемся свойством параллельных прямых, а именно: внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. В нашем случае в роли внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей  выступают углы . Аналогичное равенство можно получить и для внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей : .

Если теперь сложить полученные равенства, то получим, что: . Или: . Таким образом, мы доказали равенство двух противоположных углов параллелограмма. Осталось доказать равенство второй пары углов и равенство противоположных сторон.

Для этого рассмотрим треугольники: . Они имеют общую сторону . К стороне  примыкают углы  и  в одном треугольнике, углы  и  в другом треугольнике. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Если записывать строго, то получаем следующую цепочку логических преобразований:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Примечание: при записи факта равенства треугольников необходимо учитывать порядок расстановки букв – буквы, означающие равные углы треугольника, должны идти на одинаковых порядковых местах в обозначении треугольников (в нашем примере: вторая буква  в названии  соответствует углу , как и вторая буква  ).

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов этих треугольников. Значит:

. Таким образом, мы доказали, что если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные углы и стороны попарно равны.

Доказано.

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано:                                                             

 – параллелограмм ().

Доказать:  (см. Рис. 3).

Доказательство:

Проведем диагонали  и  и отметим их точку пересечения: . Рассмотрим треугольники  и .

Рис. 3

Они равны по второму признаку равенства треугольников (стороне и двум прилежащим к ней углам). Действительно:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Равенство углов вновь следует из того, что они являются внутренними накрест лежащими при соответствующей секущей и параллельных прямых (которыми являются противоположные стороны параллелограмма по определению). Противоположные стороны равны по доказанному выше свойству 1.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит: .

Доказано.

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Разберём несколько примеров.

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найти его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой (см. Рис. 4).

Дано:

 – параллелограмм, . .

Найти:

 

Решение:

Рис. 4

Обозначим меньшую сторону параллелограмма . Учитывая свойство 1 для параллелограмма, запишем следующее равенство: . Из условия: .

Напомним, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. Поэтому можем записать следующее равенство: .

Или: .

Получаем, что стороны параллелограмма: , .

Ответ: .

Пример 2

Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону

Конспект урока по математике на тему «Параллелограмм» (8 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

«Параллелограмм»,

геометрия, 8 класс.

Автор: учитель математики

первой категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Китавцева Татьяна Викторовна.

г. Калининград

2018 – 2019 учебный год

Автор – Китавцева Татьяна Викторовна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Класс – 8

Тема – «Параллелограмм»

Учебно-методическое обеспечение:

• Геометрия, 7 — 9: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян и др., — 17 — е изд., — М.: Просвещение, 2015 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2007

Цель: ввести понятие параллелограмма, его свойств и сформировать навыки их применения для решения задач.

Задачи урока:

Образовательные:

• ввести понятие параллелограмма;

• сформулировать и доказать свойства параллелограмма;

• формировать навыки решения практических задач на применение определения и свойств параллелограмма.

Развивающие:

• развитие познавательного интереса к предмету;

• формирование способности анализировать, обобщать полученные знания;

• развивать у учащихся навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Воспитательные:

• активизировать интерес к получению новых знаний,

• воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности;

• воспитывать у учащихся самостоятельность, любознательность, сознательное отношение к изучению математики;

• воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей;

• оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Структура урока:

Взаимное приветствие. Включение в деловой ритм, проверка подготовленности учащихся к уроку.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Проверка домашнего задания № 368, 369, 370 по готовым ответам (слайд №1).

2) Устная работа с целью подготовки к изучению нового материала (слайды №2 — 3).

III. Изучение нового материала.

1) Создается эмоциональный настрой на изучение нового материала.

— Ребята, разгадайте ребус (слайд 4).

— Какое слово у вас получилось?

— Как вы думаете, что такое «Параллелограмм»?

(Ученики высказывают свои предположения).

— Сегодня на уроке мы узнаем, какая геометрическая фигура называется параллелограммом, и изучим его свойства.

— Запишем тему урока: «Параллелограмм» (слайд 5).

— Как выдумаете, какие из представленных фигур являются параллелограммами? Обоснуйте свой ответ (слайд 6).

2) Историческая справка (слайды №7 — 8).

— Попробуйте дать определение параллелограмма.

Запись и рисунок в тетрадях (слайд 9):

3) Отработка определения параллелограмма в процессе решения задач по готовым чертежам. Работа в парах (слайды №10 — 12).

4) Исследовательское задание по группам. Класс разбивается на несколько групп. Получают карточки с заданиями.

1) По чертежу рассмотрите противолежащие стороны и углы параллелограмма. Сформулируйте и докажите их свойства.

D C

А В

2) По чертежу рассмотрите диагонали параллелограмма. Сформулируйте и докажите их свойства.

D C

А В

3) По чертежу рассмотрите углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма. Сформулируйте и докажите их свойства.

D C

А В

5) Обобщение результата исследовательской деятельности учащихся. Попробуйте сформулировать утверждения, которые вы доказали. На доске  и в тетрадях записать доказательство данных утверждений. К доске вызываются по одному человеку из группы (слайды №14 — 16).

VI. Закрепление изученного материала.

1) На доске и в тетрадях решить задачи №376 (б), 372 (а).

2) Самостоятельное решение задач.

Решить самостоятельно № 371(б), 376(д) по учебнику, учитель при необходимости консультирует учащихся.

Самым «сильным» учащимся можно предложить для работы в группе следующую задачу:

В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает прямую ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 5 см, КС = 2 см.

(Задача усложнена тем, что точка К взята не на стороне параллелограмма ABCD, а на прямой ВС. Это значит, что она может быть расположена как внутри отрезка ВС, так и вне его).

Решение.

Возможны 2 случая.

а)

B K C

A D

1) Ð BAK = Ð KAD (AK— биссектриса Ð А.

2) Ð KAD = Ð ВКА (накрест лежащие при ВС║AD и секущей АК).

3) Значит, Ð BAK = Ð ВКА=>ΔABK— равнобедренный и АВ = ВК= 5 см.

4) ВС = ВК + КС = 5 + 2 = 7 (см).

5) Р_ABCD = 2∙(5 + 7)= 24 (см).

б)

B C K

A D

1) ВС = ВК − КС = 5 − 2 = 3 (см).

2) Р_ABCD = 2∙(5 + 3)= 16 (см).

Ответ: 24 см или 16 см.

VII. Подведение итогов урока, рефлексия деятельности.

Заполните пропуски в предложениях (слайд №17)

Выставление отметок за урок.

VIII. Домашнее задание.

п. 42 (выучить теорию),

№ 371 (а), 372(в), 576(в).

План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему: Урок № 5 Решение задач по теме «Признаки параллелограмма»

Урок 5 Решение задач

Цели: закрепить навыки в решении задач на применение признаков и свойств параллелограмма, проверить знания учащихся по этой теме.

Проверка домашнего задания.

Задача

Дано:                                                В                        С

АВСД – парал-м

Н-ти:                                                                А                                      Д

1. Все углы АВСД, если (Ответ:42°, 180 – 42 = 138°)
2. Все углы, если сумма двух из них равна 112° (Ответ:112/2 = 56°, 180 – 56 =124°)
3. Периметр ∆ВОА, если ДС = 10 см, ВД = 18 см, АС = 20 см (Ответ: 10+9+10=29)

Задача

В окружности проведены диаметры АВ и СД. Д-ть, что АВСД – парал-м.

        С                        Ответ: АВСД – парал-м, т.к. диагонали точкой пересечения                 

      А                        В        делятся пополам АО = ОВ = ОС = ОД = R

        Д

Задача 372 (б)

Дано:        Решение:

АВСД- парал-м        В        С

Р = 48 см        А           Д

АВ-ВС = 7 см        АВ + ВС = 48/2 = 24(см)

Н-ти: АВ, ВС, СД, ДА        +        АВ-ВС = 7 (см)

        2 АВ =31

        АВ = 15, 5 (см) = СД

        ВС = 24 – АВ = 24 – 15,5 =8,5 (см) = ДА

        Ответ:15, 5 см, 8,5 см

Задача 373

Дано:        Решение:

АВСД – парал-м        А        В

Р = 50 см

ВН┴СД                                                                               Н

ВН = 6,5 см        ∆ ВНС — прям

Н-ти: АВ, ВС, СД, ДА         ВН = ½ ВС = 6,5 (см)

        ВС = 13 (см) = АД

        АВ + ВС = 50 / 2 = 25 (см)

        АВ = 25 – ВС = 25 – 13 = 12 (см) = ДС

        Ответ:13 см, 12 см

Задача 374

Дано:        Решение:        

АВСД – парал-м                                  В        К        С

АК – бис-са

АК ∩ ВС        А        Д

ВК = 15 см        Р = АВ + ВС + СД +ДА

КС = 9 см        ВС = ВК + КС

Н-ти: Р (АВСД)        ВС = 15 + 9 =24 (см) = ДА

        

• ∆ВАК – р/б (углы при основании равны)
• ВА = ВК = 15 (см) = СД
• Р =2*24 + 2*15 =78 (см)

Д/з В 6-9 стр 114, № 420, 425 повторить пункты 25, 29

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. В параллелограмме АВСД диагонали равны 8 см и 5 см, сторона ВС равна 3 см, О – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр ∆АОД ?
2. В парал-ме АВСД проведена бис-са угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Д-те, что ∆ДЕС равнобедренный.
3. АС и ВД – диаметры окружности с центром О. Д-те, что А, В, С и Д – вершины парал-ма

Вариант 2

1. Найдите стороны парал-ма, если его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 11 дм больше другой.
2. В парал-ме ВСДЕ диагонали пересекаются в точке М. Найдите периметр ∆ВМС, если ДЕ = 7 см, ВД = 12 см, СЕ = 16 см.
3. В парал-ме ВДЕF на сторонах ВF и ДЕ отложены равные отрезки ВО и ДN. Д-те, что 4-уг-к ОNEF также явл-ся парал-мом.

Урок геометрии в 8 классе на тему «Параллелограмм и трапеция»

Урок геометрии в 8 классе.
Тема «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ».

Цель: рассмотреть свойства и признаки равнобокой трапеции при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задание (устно).

АВСD – квадрат.

Вид четырехугольника АОKВ определить.

Найти его углы.

Решение

ОАВ = 45° по свойству квадрата,

АОK = 180° – 45° = 135°,

ОKВ = KВА = 90°.

3. АВС – равносторонний. Определить вид четырехугольника МNCA. Найти его углы.

Решение

А = С = 60°,

М = N = 180° – 60° = 120°.

4. АВ – ?

II. Решение задач.

№ 388 (а). План решения.

I способ:

1) Проведем СЕ || АВ.

2) Докажем, что АВСЕ – параллелограмм, тогда АВ = СЕ.

3) Докажем, что СDЕ – равнобедренный, тогда 1 = 2.

4) Докажем, что А = 2. (Используя, что АВ || CЕ, А и 1 – соответственные.)

5) Докажем, что В = ВСD
(используя, что АD || ВС, В и А,
ВСD и 2 – пары внутренних одно-сторонних углов).

II способ:

1) Проведем ВМ АD и СН АD.

2) Докажем, что ВСНМ – параллелограмм, тогда ВМ = ЕН.

3) Докажем, что АВМ = DСН
(по катету и гипотенузе), тогда
А = D.

4) Аналогично I способу докажем, что АВС = ВСD.

№ 388 (б) – устно.

А = D по свойству равнобокой трапеции АВ = СD.

АD – общая.

АВD = DСА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АС = ВD.

№ 389 (признаки равнобокой трапеции; обратная теорема № 388 (а; б).

а)

Проведем СЕ || АВ, тогда А =
= Е = D.

СЕD – равнобедренный, поэтому СD = СЕ, а так как АВСZ – параллелограмм, то АВ = СЕ. Имеем АВ = СЕ =
= СD.

АВСD – равнобокая трапеция.

б)

АСD = DВА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АВ = СD.

№ 389. Можно решить устно (если класс является более подготовленным).

№ 390 (устно).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Вариант II

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см, а один из углов равен 60°.

Вариант III

Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСD делит пополам угол ВАD. Найти периметр трапеции, если основание АD равно 12 см, а угол АDС равен 60°.

Проверить самостоятельную работу можно на этом же уроке с помощью закрытой доски (устно):

Вариант I

СD = 2ND = 6 см.

Вариант II

ND = CD = 5 см.

Вариант III

СD = АD = 6 см.

ВС = 6 см.

IV. Итоги урока.

Свойства равнобокой трапеции.

АВСD –
равнобокая трапеция

1) А = D, В = С

2) АС = ВD

3) АВМ = DСN

Признаки равнобокой трапеции. АВСD – трапеция.

А = D

или

В = С

АВСD –
равнобокая трапеция

АС = ВD

АВСD –
равнобокая трапеция

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114–115; №№ 392 (а, б), 438; повторить § 4 и № 222, п. 38, задача 1; принести циркуль.

Для желающих.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой – полуразности оснований.

Конспект урока по геометрии «Площадь параллелограмма» (8 класс)

Конспект урока по теме «Площадь параллелограмма» в 8 классе

Урок разработан в соответствии с требованиями ФГОС с использованием элементов технологии развития критического мышления через чтение и письмо.

Класс 8

Тема «Площадь параллелограмма»

Урок открытия нового знания.

Дидактическая цель: изучение и первичное восприятие нового учебного материла, осмысление связей и отношений в объектах изучения.

Планируемые результаты:

Цели урока:

• развитие логического мышления учащихся;

• повторение и закрепление пройденных определений и значений;

• развитие и закрепление навыков, выполняя тесты и примеры с помощью компьютера.

Задачи урока:

Образовательные:

• повторение и закрепление знаний учащихся о площади прямоугольника;

• формирование у школьников умений анализировать, сравнивать, обобщать, выводить формулу площади параллелограмма;

Развивающие:

Воспитательные:

• повышение мотивации учащихся за счет компьютерных технологий;

• воспитание у ребят дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе;

• развитие творческих способностей учащихся.

Личностные

развитие умений

• ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи

• понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры

Предметные

развитие умений

• проводить логические обоснования, доказательство математического утверждения о площади параллелограмма

• работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию)

освоение знаний о нахождении площади параллелограмма

овладение геометрическим языком (основание и высота параллелограмма)

Метапредметные

развитие умений

• видеть математическую задачу в окружающей жизни

• принимать решение в условиях неполной и избыточной информации

• самостоятельно ставить цели

• вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблем

УМК Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2018г.

План урока.

1. Постановка проблемной ситуации;

2. Объяснение нового материала и решение задач;

3. Контроль знаний учащихся по пройденной теме с помощью тестов;

4. Домашнее задание;

5. Заключение.

Основные понятия: основание и высота параллелограмма, площадь параллелограмма.

Раздаточный материал каждому учащемуся:

• оценочный лист (приложение 1)

• таблица «Верите ли вы, что…»

• набор фигур из цветной бумаги: прямоугольник и два равных между собой прямоугольных треугольника, один из катетов равен стороне прямоугольника

• карточки с готовыми чертежами для решения устных задач

• текст с ошибками по теме «Вычисление площади параллелограмма» (приложение 2)

• карточки с задачами для самостоятельной работы

Примерный ход урока

1. Организационный момент (1-2 мин)

2. Мотивация к учебной деятельности (3-4 мин)

Ребята, скажите, пожалуйста, кто по профессии ваши родители?..

Замечательно, какие разные профессии у ваших родителей!

А мы сегодня с вами выступим в роли проектировщиков дизайнерской компании «Матик». Нам поступил индивидуальный заказ на проект здания, окна которого имеют форму параллелограммов. Нашим специалистам, создающим такие конструкции, необходимо произвести расчет площади таких окон для того, чтобы служба снабжения закупила стекла нужного размера.

Как вы думаете: «Ответ на какой вопрос мы с вами должны найти на уроке?»

— Как определить площадь параллелограмма? (предполагаемый ответ учащихся)

Совершенно верно! Какова тема сегодняшнего урока?

— «Площадь параллелограмма» (предполагаемый ответ учащихся).

Итак, скажите, какова же цель сегодняшнего урока?

— Вывести формулу параллелограмма и научиться её применять (предполагаемый ответ учащихся).

Перед вами таблица с вопросами. Установите, верны ли данные утверждения? Свой ответ заносим в столбец «Личные ответы» ручкой с зеленой пастой. Если вы согласны с утверждением ставим «+», не согласны – «-». На работу 2 минуты.

Таблица 1. «Верите ли вы, что…»

3) Актуализация знаний (4 мин)

1. Проверим ваши предположения. Перед вами два равных прямоугольных треугольника (как проверить их равенство?) и прямоугольник попробуйте составить параллелограмм! Итак, можно ли составить параллелограмм? Да. В столбце коллективные ответы пастой синего цвета ставим «+».

2. А можно ли из параллелограмма получить прямоугольник? Да.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников, чем это можно подтвердить. Да

4. Верите ли вы, что при перекраивании фигуры меняется ее площадь? Нет

— Оцените свою работу на данном этапе (у каждого обучающегося на рабочем столе оценочный лист).

— Если ваше мнение и коллективное по вопросу совпадают, то вы получаете 1 балл. Максимальное количество баллов, которое вы можете получить за таблицу 5 баллов. Запишите баллы в оценочную таблицу, подписав ее.

4) Объяснение нового материала (6 мин).

Далее решим задачу.

Договоримся одну из сторон параллелограмма называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

— Сколько высот можно провести из одной вершины параллелограмма? Равны ли их длины?

Формулируется и доказывается при помощи обучающихся теорема о площади параллелограмма.

— Итак, мы знаем как вычислить S параллелограмма и теперь мы сможем выполнить расчеты для заказчика.

Высота окна 2 м, основание окна 3м. Какова должна быть площадь стекла? 6 м²

5) Первичное закрепление с проговариванием вслух (7-8 мин).

1. Устная работа (2 мин).

— Попробуем применить формулу площади параллелограмма – работаем по готовым чертежам.

Учащиеся комментируют решения задач

— Оцените себя на данном этапе: если обе задачи не вызвали у вас затруднения – 2 балла, а для решения, например, третей задачи вам потребовалась наша подсказка, тогда – 1 балл.

2. Работа с текстом (6 мин).

— Сейчас работаем в парах? Перед вами текст. Ваша задача найти ошибки. Время для выполнения задания 3 минуты. Проектор выключен.

На экране проецируется текст, с которым учащиеся работали. Проводится разбор выявленных учащимися ошибок, акцентируется внимание учащихся на то, что теоретический материал написан без ошибок и за основание параллелограмма может быть выбрана любая сторона, а в первой задаче – недостаточно данных, во второй – избыточно

6) Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону(5+1 мин).

Каждый учащийся пробует свои силы в решении задач на нахождение площади параллелограмма.

Затем на доске показывается (заранее подгот.) решение задач, по которому учащиеся самостоятельно проверяют и выставляют в оценочный лист за две верно решенных задачи – 2 балла, за одну – 1балл.

1. Сторона параллелограмма равна 21см, а высота, проведенная к ней 15см. Найдите площадь параллелограмма.

2. Стороны параллелограмма равны 4см и 7см, а угол между ними 150⁰. Найдите площадь

параллелограмма.

Таблица 2. Карточка с задачами для самостоятельной работы

7) Включение в систему знаний (10 мин).

Решите задачи. Учащиеся подробно оформляют задачи у себя в тетради.

1.ABCD параллелограмм, BH=8см. Найти BK.

2. Чему равны стороны параллелограмма, если они относятся как 4:9, угол между ними равен 30⁰, а его площадь 144см²? (доп. Задача)

Учащиеся в оценочных листах оценивают степень своей самостоятельности в решении задач: за две верно решенных задачи – 2 балла, за одну – 1балл, прибавив балы к тем, что уже есть в столбце «Решение задач».

Таким образом, в оценочном листе в столбце «Решение задач» может быть запись: 2+1 или 1+1 или 2+2 и.т.д.

8) Рефлексия и подведение итогов(5 мин).

— Итак, подводим итоги нашего урока. Мы с вами плодотворно поработали, я рада такому сотрудничеству и на память о нашей встрече хочу подарить вам ромашку, и ромашка не простая, а умная – она знает все о площади параллелограмма. А что же узнали вы? Сейчас вас ромашка об этом спросит! Она прикреплена на магнитной доске, один лепесток чистый, после того, как учащиеся ответили на вопросы ромашки, он – переворачивается, там могут быть написаны сова благодарности за работу на уроке (приложение 3).

— Выставляем оценки за работу на уроке в оценочном листе, сложив все баллы на разных этапах урока.

Записываем д/з п. 51 (учить теорему), найти в Интернете, какие предметы окружающего мира имеют форму параллелограмма,

«3» № 459(а, б).

«4» № 459(в, г), 461.

«5» № 464(а, б), 463.

Учащиеся выбирают д/з самостоятельно.

— Спасибо за урок и отдельное благодарность от фирмы заказчика за работу над проектом.

Критерии оценивания

8-10 баллов – оценка 5,

6-7 баллов – оценка 4

Текст к уроку «Площадь параллелограмма»

*Прочитайте внимательно текст и найдите ошибки, допущенные автором.

Любая сторона параллелограмма может быть выбрана за его основание. Обозначим ее b. Опустим перпендикуляр к прямой, содержащей основание из любой точки противоположной стороны параллелограмма и обозначим h _b.

Таким образом, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию: .

Решение.

S=6 см ^. 7 см=42 см².

• ABCD – параллелограмм, AD=15, AB=3, ВК=5, угол BAD равен 30⁰. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

S=15^.5=75.

Оценочный лист

Ученика (цы) 8 класса

Ф. И.__________________________

не верю»

Устная работа

Работа с текстом

Решение задач

Оценка за урок

Количество баллов

Урок геометрии в 8 классе на тему » Решение задач на нахождение площадей параллелограмма и треугольника. Площадь трапеции».

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА № 126 Г.ДОНЕЦКА»

УРОК ГЕОМЕТРИИ

В 8 КЛАССЕ

ТЕМА «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ»

Подготовила: учитель математики высшей

категории Панченко И. С.

Донецк, 2017г.

Тема. Решение задач на вычисление площадей параллелограмма, треугольника. Площадь трапеции.

Цель урока: Создать условия для развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы.

Обучающие:

— закрепить навыки вычисление площадей фигур по формулам;

— способствовать формированию умений применять изученные свойства и формулы в типовой и нестандартной ситуациях.

Развивающие:

— способствовать развитию мыслительной операции анализа, сравнения, обобщения;

— способствовать развитию коммуникативных качеств личности.

Воспитательные:

— способствовать воспитанию трудолюбия, настойчивости в достижении цели, аккуратности.

Тип урока: урок закрепления знаний, умений и отработки навыков.

Форма урока: урок-практикум.

Формы работы: фронтальная, дифференцированная.

Оборудование: презентация; текстовые документы.

Основные этапы урока:

1. Организационный момент – 1 минута.

2. Постановка цели урока – 3 минуты.

3. Проверка домашнего задания – 5минут.

4. Актуализация опорных знаний:

а) соответствие – 5 минут;

б) математический диктант – 5минут;

5. Работа по готовым чертежам – 10минут.

6. Решение задач – 15минут.

7. Физкультминутка – 1минута.

8. Вывод формулы для нахождения площади трапеции – 7 минут.

9. «Аквариум» – 8минут.

10. Исторические сведения – 7минут.

11. Самостоятельная работа. Решение тестовых заданий – 15минут.

12. Подведение итога урока – 5минут.

13. Рефлексия – 2минуты.

14. Постановка домашнего задания – 1минута.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности рабочего стола к уроку;

II. Постановка цели урока.

Объявление темы урока цели и задач урока.

III. Проверка домашнего задания.

Взаимопроверка правильности выполнения домашнего задания по решениям, записанным на откидных досках.

IV. Актуализация знаний.

1. Повторить формулы нахождения площадей квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника. На каждую парту выдаются набор формул геометрических фигур, при этом изображения геометрических фигур представлены на доске цветными мелками. В течение 5 минут учащиеся должны для каждой геометрической фигуры найти соответствующую формулу для вычисления ее площади.

2. Математический диктант.

1. Площадь квадрата со стороной, равной 1м, равна (1м²).

2. Равные фигуры имеют (равные) площади.

3. Стороны параллелограмма, которые выходят из одной вершины называются (соседними).

4. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, называется (параллельным).

5. Параллелограмм, у которого все стороны равны называется (ромбом)

6. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется (трапеция).

7. Если длину прямоугольника умножить на ширину, то получится (площадь прямоугольника).

8. Не параллельные стороны трапеции называются (боковыми).

V. Работа по готовым чертежам. Закрепление усвоенных навыков и умений учащихся.

Решите задачи по готовым чертежам:

1) S_прям = ? (60 см²)

2) S_ABCD = ? (30 см²)

3) S_ABCD = ? (20 см²)

4) S_ABC = ? (18 см²)

4) S_ABC = ? (60 см²)

VI. Решение задач. Закрепление усвоенных навыков и умений учащихся.

Решить на доске и в тетрадях задачи (один работает у доски, остальные в тетрадях):

1. Стороны прямоугольника относится как9:1, а их разность равна 32см. Найди: а)площадь прямоугольника; :б)сторону квадрата ,площадь которого равна площади прямоугольника. (а)144см²; б)12см.)

2. Периметр ромба равен 72см, а один из углов 30°. Найти площадь ромба. (162см²).

3. Основание треугольника равно 8см, а высота, проведенная к нему,-3см. Какой должна быть высота второго треугольника с основанием 6см, чтобы его площадь была в 3 раза больше площади первого треугольника? (12см).

VII. Физкультминутка

Голова

1. У квадрата все стороны равны? (+)

2. У параллелограмма все углы равны? (-)

3. У ромба диагонали пересекаются под прямым углом? (+)

4. У прямоугольника хотя бы один угол острый? (-)

Руки, ноги

1. Площадь прямоугольника равна а умножить на b? (+) руки

2. Средняя линия трапеции соединяет противостоящие вершины (-) ноги

3. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360° ? (+) руки

4. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов? (-) ноги

VIII. Объяснение нового материала. Вывод формулы для нахождения площади трапеции

Проведем диагональ BD, получим два треугольника ADM и BCD.

S_ABCD=S_ABD+S_BCD=BM*AD+KD*BC=BM(AD+BC), BM=h, AD=a, BC =b

IX. Закрепление новых знаний учащихся «Аквариум».

Класс делится на группы по 5-6 человек. Одна из групп выходит к доске. Эта группа сначала зачитывает вслух задание, затем в течение 5 минут обсуждает его, и пытается найти общее решение, остальные группы внимательно слушают обсуждение, не вмешиваясь в его ход. Однако после дискуссии класс должен либо принять предложенное решение, либо опровергнуть его и предложить свое. После решения первой задачи место в «аквариуме» занимает следующая группа для решения своей задачи.

Задача 1. Основания трапеции и высота относятся как 5:6:4. Найти меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 88 см². (Ответ: 10 см)

Задача 2. Основания трапеции равны 9 см и 11 см, а ее площадь – 150 см². Найти высоту трапеции (Ответ 15 см).

Задача 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны 6 см, а больший угол равен 135° (Ответ: 54 см²).

Задача 4. Площадь трапеции 72 см², а ее высота – 9 см. Найдите основания трапеции, если одно из них в 3 раза больше второго (Ответ: 4 см и 12 см).

Задача 5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 18 см, высота – 9 см, а острый угол равен 45°? (Ответ: 243 см²).

X. Исторические сведения.

1. Вычисление площадей в древности.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. 5 000 лет назад древние египтяне умели определять площади. Узкая полоса земли между Нилом и пустыней была плодородной. С каждой единицы ее площади люди платили налог. Но ежегодно эта полоска затоплялась Нилом. После спада воды надо было восстанавливать границы. Необходимость быстро и правильно определять площадь была одной из причин раннего развития геометрии как науки об измерении земли.

2. Измерение площадей в древней Греции.

Евклид – древнегреческий ученый, живший в III нашей эры. В своих «Началах» Евклид не употребляет слово «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. При этом Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади.

Архимед – древнегреческий ученый, математик и механик. Развил метод нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Архимед вычислил площади эллипса, сегмента, а так же различных тел вращения. Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны, которую мы называем формулой Герона. В своем произведении «Об измерении круга», Архимед на основе строгих теоретических рассуждений вычислил отношение длины окружности к своему диаметру и нашел приближенное значение числа π, которое называется числом Архимеда.

Одним из поздних греческих математиков был Герон Александрийский. О жизни Герона дошли лишь обрывочные сведения. Известно, что он был выдающимся ученым-механиком. Он много внимания уделял практическому применению геометрии. Одна из книг Герона «Геометрика» является сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников, треугольников, круга, а так же сегмента и сектора круга. В своем наиболее важном произведении «Метрика» Герон излагает доказательство формулы для площади треугольника, которую мы называем формулой Герона. Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.

XI. Самостоятельная работа. Решение тестовых заданий.

Вариант 1.

1. Площадь прямоугольника 20 см², одна из сторон – 5 см. Найти другую сторону.

1) 15см 2) 4 см 3) 5 см 4) 100 см (4 см)

2. В параллелограмме одна из сторон 7 см, высота, опущенная на нее 3 см. Найти площадь.

1) 21см 2) 10 см² 3) 21 см² 4) 10,5 см² (21 см²)

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длинной 10 см, равна 6 см. Найти площадь.

1) 60см² 2) 30 см² 3) 16 см² 4) 8 см² (30 см²)

4. Основания трапеции 5 и 8 см, а высота 12 см. Найти площадь.

1) 13см² 2) 156 см² 3) 78 см² 4) 39 см² (78 см²)

5. Площадь квадрата 4 м². Найти периметр квадрата.

1) 1 м 2) 8 м 3) 2 м 4) 16 м (8 см)

Вариант 2.

1. Площадь прямоугольника 40 см², одна из сторон – 10 см. Найти другую сторону.

1) 4 см 2) 2 см 3) 30 см 4) 200 см (4 см)

2. В параллелограмме одна из сторон 8 см, высота, опущенная на нее 5 см. Найти площадь.

1) 13см 2) 40 см² 3) 40 см 4) 26 см2 (40 см²)

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длинной 9 см, равна 4 см. Найти площадь.

1) 35 см² 2) 13 см² 3) 18 см² 4) 72 см² (18 см²)

4. Основания трапеции 4 и 9 см, а высота 6 см. Найти площадь.

1) 13см² 2) 3 см² 3) 39 см² 4) 78 см² (39 см²)

5. Площадь квадрата 16 м². Найти периметр квадрата.

1) 4 м 2) 64 м 3) 8 м 4) 16 м (16 см)

Отметка: «5» — нет ошибок, «4» — 1 ошибка, «3» — 2 ошибки, более двух неверных ответов – выучи формулу, упражняйся в устном счете.

XII. Подведение итогов урока.

Подведение итогов. Выставляется средняя оценка. Суммируются результаты за каждый этап урока, и эта сумма делится на количество этапов. Выставление отметок.

XIII. Рефлексия.

Чему вы научились при изучении темы раздела;

Какими навыками, умениями овладели;

Какими формулами, понятиями воспользовались при решении задач?

Решение каких задач показалось вам сложным?

Какие вопросы требуют вашего особого внимания?

Какие задачи вам понравилось решать?

XIV. Постановка домашнего задания.

Повторить формулы для вычисления площади прямоугольника, квадрата, параллелограмма, ромба, треугольника, трапеции;

№ 471(б), 477, 482 (учебник).