Задачи, решаемые с помощью уравнения. Решение задач по математике
В курсе школьной математики обязательно встречаются задачи. Некоторые укрощаются в несколько действий, другие требуют некоторой головоломки.

Задачи, решаемые с помощью уравнения, только на первый взгляд трудные. Если потренироваться, то этот процесс дойдет до автоматизма.
Геометрические фигуры

Для того чтобы понять вопрос, нужно вникнуть в суть. Внимательно вчитывайтесь в условие, лучше перечитать несколько раз. Задачи на уравнения только на первый взгляд трудные. Рассмотрим пример для начала самый простой.
Дан прямоугольник, необходимо найти его площадь. Дано: ширина на 48 % меньше длины, периметр прямоугольника составляет 7,6 сантиметра.
Решение задач по математике требует внимательного вчитывания, логики. Давайте вместе с ней справимся. Что нужно в первую очередь учесть? Обозначим длину за х. Следовательно, в нашем уравнении ширина составит 0,52х. Нам дан периметр — 7,6 сантиметра. Найдем полупериметр, для этого 7,6 сантиметра разделим на 2, он равен 3,8 сантиметра. У нас получилось уравнение, с помощью которого мы найдем длину и ширину:
0,52х + х = 3,8.
Когда мы получим х (длину), нетрудно будет найти и 0,52х (ширину). Если мы знаем эти две величины, то находим ответ на главный вопрос.
Задачи, решаемые с помощью уравнения, не так сложны, как кажутся, это мы могли понять из первого примера. Мы нашли длину х = 2,5 сантиметра, ширину (обознчим у) 0,52х = 1,3 сантиметра. Переходим к площади. Она находится по простой формуле S = х * у (для прямоугольников). В нашей задаче S = 3,25. Это и будет ответом.
Рассмотрим еще примеры решения задач с нахождением площади. И в этот раз возьмем прямоугольник. Решение задач по математике на нахождение периметра, площади разных фигур встречается довольно часто. Читаем условие задачи: дан прямоугольник, его длина на 3,6 сантиметра больше ширины, которая составляет 1/7 периметра фигуры. Найти площадь данного прямоугольника.
Удобно будет обозначить ширину за переменную х, а длину за (х + 3,6) сантиметра. Найдем периметр:
Р = 2х + 3,6.
Мы не можем решить уравнение, так как имеем в нем две переменные. Поэтому смотрим еще раз условие. Там сказано, что ширина равна 1/7 периметра. Получаем уравнение:
1/7 (2х + 3,6) = х.
Для удобства решения умножим каждую часть уравнения на 7, так мы избавляемся от дроби:
2х + 3,6 = 7х.
После решения мы получаем х (ширину) = 0,72 сантиметра. Зная ширину, находим длину:
0,72 + 3,6 = 4,32 см.
Теперь нам известны длина и ширина, отвечаем на главный вопрос о том, чему равна площадь прямоугольника.
S = х * у, S = 3,1104 см.
Бидоны с молоком
Решение задач с помощью уравнений вызывает немало затруднений у школьников, несмотря на то что эта тема начинается в четвертом классе. Есть множество примеров, мы рассмотрели на нахождение площади фигур, теперь немного отвлечемся от геометрии. Посмотрим простые задачи с составлением таблиц, они помогают визуально: так лучше видны данные, помогающие в решении.
Решение задач по теме «Уравнение прямой». Видеоурок. Геометрия 9 Класс
Тема урока «Решение задач по теме «Уравнение прямой»». На прошлом уроке мы вывели уравнение прямой. На этом уроке мы используем это уравнение для решения типовых задач, рассмотрим взаимное расположение прямых на плоскости.
Задача 1.
Даны координаты вершин трапеции ABCD: . Напишите уравнения прямых, содержащих
а) диагонали AC и BD;
б) среднюю линию трапеции.
Решение (рис. 1):
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
общее уравнение прямой, оно задается конкретной тройкой чисел a, b и c.
а) Найдем уравнение прямой АС, для этого в уравнение прямой подставляем координаты точек А и С:
Как и раньше, получили два уравнения с тремя неизвестными, будем решать ее методом алгебраического сложения.
Если с=0, то прямая проходит через начало координат. Подставим с в любое уравнение:
Ответ:
б) Найдем уравнение прямой BD: точки B и D имеют одну и ту же ординату, равную 1, поэтому уравнение прямой BD.
Ответ:
в) Найдем координаты точки M – середины CD и точки N – середины AB:
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Подставляем координаты точек M и N в уравнение
Подставляем в первое уравнение:
Ответ:
Задача 2.
Найдите координаты точек пересечения прямой с осями координат. Начертите эту прямую и найдите длину отрезка прямой, отсекаемого осями координат.
Решение:
Определим точки пересечения с осями и построим данную прямую (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
A(0; 3), B(-4; 0)
Найдем длину отрезка АВ:
Ответ: A(0; 3), B(-4; 0), АВ=5.
Задача 3.
Найдите координаты точек пересечения прямых и
.
Координаты искомой точки являются координатами точки пересечения прямых, поэтому они удовлетворяют и первому и второму уравнениям прямых, то есть следует решить систему из двух уравнений:
Координаты точки пересечения прямых
Ответ:
Уравнение наклонной прямой –
В этом уравнении m – ордината точки пересечения с осью Oy, действительно,
k – угловой коэффициент, при k>0 функция возрастает, при k<0 функция убывает.
Задача 4.
Определить знаки k и m по графику функции .
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
k>0, так как функция возрастает, угол наклона прямой острый, и m
>0.Рис. 5. Иллюстрация к задаче
k>0, m<0 (рис. 5).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
k<0, m>0 (рис. 6).
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
k<0,m<0 (рис. 7).
Мы вспомнили смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой и продемонстрировали определение знаков этих коэффициентов по графику функции.
Вспомним теперь взаимное расположение прямых на плоскости.
Пусть две прямые заданы уравнениями:

1. Прямые пересекаются, система имеет единственное решение
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Прямые пересекаются
2.
В этом случае прямые параллельны, система не имеет решений (рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
3.
Прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений .
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
общее уравнение прямой, если
Делим уравнение на b:
обозначим
и получим
Мы рассмотрели взаимное расположения прямых, заданных уравнением наклонной прямой, рассмотрим взаимное расположение прямых, заданных уравнениями в общем виде.
Составим систему и будем решать ее методом алгебраического сложения:
Обозначим
тогда
Выразим теперь у:
Обозначим
тогда
Перепишем систему в виде:
Проанализируем число решений системы в зависимости от ее коэффициентов.
1. Система имеет единственное решение
если
2. Система не имеет решений, если , но хотя бы одно из чисел
не равно 0.
3. Система имеет бесчисленное множество решений, если
С помощью метода алгебраического сложения исследована система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Ее специфика – наличие одного решения, бесчисленного множества решений или отсутствие решений.
Задача.
Не выполняя построения, укажите взаимное расположение прямых и число решений системы.
1.
Решение:прямые параллельны, система решений не имеет.
2.
Решение:прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений.
3.
Решение:прямые параллельны, система решений не имеет.
4.
Решение:прямые пересекаются, система имеет одно решение.
Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Уравнение прямой», повторили случаи взаимного расположения прямых, в частности, важные факты, которые заключаются в том, что система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет одно решение, бесчисленное множество решений либо решений не имеет.
На следующем уроке уравнение прямой будет использовано в сочетании с уравнением окружности.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- E-science.ru (Источник).
- E-science.ru (Источник).
- Mathematics.ru (Источник).
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 1003–1005.
Решение задач с помощью уравнений.
Тема урока: Решение задач с помощью уравнений
Класс: 5А
Дата: 10.10.2016г
Цель урока: создание условий для осознанного и уверенного владения навыком составления уравнений при решении текстовых задач.
Планируемые образовательные результаты:
Предметные:
Личностные:
Регулятивные:
умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
проговаривать последовательность действий на уроке;
оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки;
планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;
вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.
Коммуникативные:
развивать творческие способности учащихся;
развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.
Познавательные:
уметь ориентироваться в своей системе знаний;
добывать новые знания;
самостоятельно создавать алгоритмы деятельности;
извлекать из математических текстов необходимую информацию.
Оборудование: доска, мел, ноутбук, мультимедийный проектор, экран, карточки задания
План урока:
Организационный момент
Устный счёт
Определение темы урока
Изучение нового материала
Физминутка
Закрепление изученного материала
Самостоятельная работа
Подведение итогов
Домашнее задание
Тип урока – урок изучения нового материала, с использованием ИКТ технологий.
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, взаимопроверка.
Ход урока:
Организационный момент.
Долгожданный дан звонок,
Начинается урок!
— Ребята все готовы к уроку? А с каким настроением вы пришли на урок?
У вас на столах лежат смайлики. Покажите какое у вас настроение?
— Давайте улыбнёмся друг другу, пожелаем удачи и с хорошим настроением начнём наш урок.
Устный счёт (слайд 1)
— Посмотрите на экран что это записано?
— Ответы учащихся
— А что называется уравнением?
— Ответ учащихся: уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
— Что значит решить уравнение?
— Ответы учащихся: решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что уравнение не имеет ни одного корня.
— Что называют корнем уравнения?
— Ответы учащихся: корнем уравнения называется значение буквы, при котором, из уравнения получается верное числовое равенство)
|
|
— Назовите номера уравнений, в которых надо найти слагаемое? (1,3,6,8)
— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое)
— В каких уравнениях неизвестно уменьшаемое? (2,4,9)
— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность)
— В каких уравнениях надо найти вычитаемое? (5,7,10)
— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность)
— Найдите корни уравнений
Определение темы урока. (Слайд 2)
Решите задачу:
В корзине было несколько яблок. После того как в неё положили ещё 15 яблок, их стало 65. Сколько яблок было в корзине?
— Ответы учащихся
— А как ещё можно решить задачу?
— Ответы учащихся
-Уравнением можно решить задачу? Мы с вами умеем решать задачи уравнением?
-Ответы учащихся
-Значит сегодня на уроке мы будем учиться составлять уравнения к задачам и решать эти задачи.
На доске записывается тема и цель урока.
Изучение нового материала.
В математике много задач, которые удобнее решать не арифметическим, а алгебраическим способом, т.е. с помощью составления уравнений. При решении задач способом составления уравнения чаще всего буквой следует обозначать то, что требуется найти в задаче.
— Давайте с вами попробуем решить данную задачу уравнением
Разбор задачи:
— О чем говорится в задаче?
— Что нам неизвестно?
— Яблок стало больше или меньше?
— Какое можно составить уравнение?
Решение задачи записывается учителем на доске, а учащиеся в тетради.
Было | Добавили | Стало |
х | 15 | 65 |
Решение:
х + 15 = 65
х= 65 -15
х= 50
50 – яблок
Ответ: 50 яблок было в корзине.
Карточка №1 (работа в парах)
В канистре, где был бензин, перед поездкой, долили еще 10 л. Во время поездки было израсходовано 12 л бензина, после чего в канистре осталось 32 л. Сколько литров бензина было в канистре первоначально?
Разбор задачи. И запись её решения на доске и в тетрадях учащихся.
Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.
Решение.
Составим таблицу:
Было | Долили | Израсходовали |
х | 10 | 12 |
Составим уравнение:
(х + 10) -12 = 32
(х + 10) = 32 +12
х + 10 = 44
х = 44 -10
х= 34
34 -литра
Ответ: 34 литра бензина было.
Ребята, каким образом поступают при решении задач с помощью уравнений?
Обозначают некоторое неизвестное число буквой, и, используя условие задачи, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Физминутка.
Или
Быстро встали, улыбнулись.
Выше-выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
Закрепление изученного материала (карточка №2)
№1. В автобусе было несколько пассажиров. После того как на остановке вышло 9 пассажиров, в автобусе осталось 42 пассажира. Сколько пассажиров было в автобусе первоначально?
Было | Вышло | Осталось |
х | 9 | 42 |
Решение:
х – 9 = 42
х = 42 + 9
х = 51
51 – пассажир
Ответ: 41 пассажир был в автобусе первоначально.
№2 Аня задумала число. Если к этому числу прибавить 15 и от полученной суммы отнять 13, то получится 58. Какое число задумала Аня?
Решение:
(х + 15) -13 = 58
х + 15 = 58 +13
х + 15 = 71
х= 71 – 15
х = 56
Ответ: Аня задумала число 56.
Проверка решения. (Слайд 3-4)
— Обменяйтесь тетрадями и сверьте решение в тетради и на экране
Самостоятельная работа
Составьте уравнение по задаче (карточка № 3):
1.В книге 50 страниц. После того как Оля прочитала несколько страниц, ей осталось прочитать ещё 17. Сколько Страниц прочитала Оля? | 50 – х = 17 |
| х + 18 =32 |
| х – 8 = 37 |
| х + 21 = 90 |
| 76 – х = 64 |
Проверка полученных уравнений (Слайд 5 )
— Ребята поднимите руки кто не сделал ни одной ошибки? Молодцы! А остальным надо будет ещё потрудиться!
Рефлексия (Слайд 6 )
— Наш урок подходит к концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями и сегодняшнем уроке. Вам для этого помогут слова (если хотите одним предложением):
— Я узнал…..
— Я научился…..
— Я увидел….
— Я сначала испугался, а потом…
Подведение итогов урока
Домашнее задание (Слайд 7)
Придумайте задачу , которая бы решалась уравнением. Напишите текст задачи, занесите данные в таблицу и решите её.
Или № 396 (а, б) № 397 (б)
— Всем спасибо за урок! Покажите с каким настроением вы заканчиваете урок? Покажите смайлик. Урок окончен!
11
Конспект урока по математике на тему «Решение задач способом составления уравнения»
Конспект урока
Предмет: математика
Класс: 4
УМК «Гармония»
Тема урока: Решение задач способом составления уравнения.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Цель урока: совершенствовать умение решать задачи способом составления уравнений
Задачи:
Образовательные: совершенствовать навыки решения уравнений; развивать умение анализировать и рассуждать; закреплять вычислительные навыки, продолжать учиться решать усложнённые уравнения; составлять уравнения по тексту задачи и решать их.
Развивающие: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах.
Воспитательные: содействовать воспитанию познавательного интереса к предмету, активности и самостоятельности учащихся, способствовать созданию ситуации успешности для каждого ученика.
Содержательная(на предметный результат):- закрепить умения выполнять необходимые действия при решении задач с помощью уравнений; составлять уравнения по схеме, решать и оформлять их решение.
— научить формулировать познавательную цель; осуществлять действия анализа, синтеза (конструирование), сравнения; делать выводы по результатам работы; находить в материалах учебника необходимую информацию, моделировать её.
— научить понимать, принимать и сохранять учебную задачу до конца учебных действий; действовать по алгоритму; приёмам самоконтроля; формировать способность к самооценке.
— научить выражать свои мысли, строя небольшое монологическое высказывание, участвовать в учебном диалоге, соблюдая правила речевого поведения;
организовывать учебное взаимодействие в группе.
— формировать готовность целенаправленно использовать математические ЗУНы в учебной деятельности и повседневной жизни; проявлять интерес при изучении темы.
I Мотивация к учебной деятельности (организационный)Цель: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне
Организовывает включение в учебную деятельность, создаёт ситуацию успеха.
— Что нам необходимо для успешной работы на уроке?
— Сегодня на уроке мы будем работать так:
запрещается лениться!
не болтать и не крутиться!
лишь учиться и трудиться!
В жизни это пригодиться.
Ставят перед собой задачи урока.
— Быть внимательным, уметь слушать учителя и одноклассников, не шуметь, хочешь ответить – подними руку и т.д.
II Актуализация опорных знаний и способов действий
Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания и умений».
III.Определение темы и цели урока.
1. (x-36)+46
2. x:248=1
3. 46+x>53
1. x-100=48
2. 100:x=48
3. x:100=48
1.Да
2.Нет
— Посмотрите на экран. (слайд)
— Чем похожи все записи?
-Что такое уравнение?
-Что значит решить уравнение?
— Найдите корни уравнений. (устно) в парах
Х*70=630 5400:х=90 х:80=80 200+х=310
Х=9 х=60 х=640 х=110
Х- 40=140 х*30=300
Х=180 х=10
Ответы на карточках.(выбирают)
— Расположите корни уравнений в порядке возрастания.
-Прочитайте слово, которое у вас получилось.
— Как могут быть связаны уравнения и задачи?
— Назовите тему урока.
— Какие задачи поставим перед собой?
Прежде, чем решать задачи способом составления уравнения, давайте вспомним, как решать усложненные уравнения ?
На доске уравнение.
Давайте обведем сложный компонент с неизвестным.
150-х:2=140
Назовите компоненты.
Как найти неизвестное вычитаемое
х:2=150-140
что теперь мы делаем.
х:2=140
назовите компоненты
Как найти неизвестное делимое
х=140:2
х=70
Что мы делаем дальше?
300-х*5=210
Самооценка
№ 320
Что обозначает каждое выражение?
Какие уравнения можно составить к данной задаче?
– Решите составленные уравнения по вариантам. Первый вариант 1 уравнение, второй -2 уравнение. (двое у доски)
взаимооценка
А теперь запишем решение задачи по действиям? Расскажите план решения задачи.
– Запишите ответ на вопрос каждой задачи. Прочитаем еще раз вопрос.
x:248=1
x:100=48
1.Да
-Это уравнения.
-Уравнения это запись с неизвестным.
— Мы умеем решать задачи с помощью составления уравнений.
-Решать задачи способом составления уравнений.
проверку
Кто хочет?
6 * x – пошло метров на x костюмов;
96 – 6*x – пошло метров на 18 платьев;
3 *18 – пошло метров на 18 платьев;
96 – 3 * 18 – пошло метров на x костюмов.
1) 6x = 96 – 3 *18
2) 96 – 6x = 3 *18
1) 3 *18 = 54 (м) – пошло на платья;
2) 96 – 54 = 42 (м) – пошло на костюмы;
3) 42 : 6 = 7 (к.) – сшили костюмов.
Ответ: сшили 7 костюмов.
IV.Физминутка
Музыкальная физминутка.
V.Включение в систему знаний.
2. Работа в группах (карточки).
– По данному условию и схеме задачи, составьте уравнение и решите его.
1-я группа.
В нашей школе 502 учащихся, в старшем звене учатся 25 учащихся, в среднем звене 242 учащихся. Сколько учащихся в начальных классах?
2-я группа.
В июне в нашем школьном лагере отдыхало 80 ребят. Из них 33девочки, остальные – мальчики. Сколько отдыхало мальчиков?
3-я группа.
В нашем классе 26 учащихся из них 15 мальчиков, а остальные девочки. Сколько девочек в нашем классе?
Проверка с тетрадкой у доски 3 учащихся.
-Что объединяет все задачи?
-Чем мы можем гордиться?
-А какой вклад вы вносите в развитие школы? В каких мероприятиях участвовали
(25+242)+х=502
267+х=502
Х=502-267
Х=235
33+х=70
Х=70-33
Х=37
15+х=26
Х=26-15
Х=11
— В задачах говорится о нашей школе.
— Занимаемся спортом, участвуем в олимпиадах, стараемся учиться хорошо.
VI. Повторение пройденного материала.
№ 321Составьте задачу по схеме
Решите уравнение самостоятельно
23+х=40+15
Учащиеся работают самостоятельно ( кто не знает, пользуется подсказкой)
Самопроверка.
VII. Итог урока.
-Чему учились на уроке?
— Какие задачи ставили перед собой?
Домашнее задание, № 318(3-8)
№ 437* (кто справится самостоятельно)
VIII.Рефлексия.
— Продолжите фразу: «Сегодня на уроке …»
я научился…
я смог…
— Оцените свою работу на уроке.