Упрощение логарифмических выражений – Преобразование логарифмических выражений.Тематический модуль и 8 вариантов заданий с ответами на применение всех свойств логарифмов. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 07.05.202031.12.2019 by alexxlab

Содержание

Упрощение выражений, содержащих логарифмы.

В этой статье мы рассмотрим принцип упрощения выражений, содержащих логарифмы. Как обычно, мы это сделаем на примере заданий из Открытого банка заданий по математике.

Напомню несколько предварительных действий, которые сильно облегчают жизнь и помогают найти решение в ситуации, когда не знаешь с чего начать.

1. Постараться привести все логарифмы к одному основанию с помощью формулы перехода к новому основанию или вынеся степень за знак логарифма в виде коэффициента.

2. Разложить числа, стоящие под знаком логарифма на множители.

3. Десятичные дроби записать в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Итак. Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1. Задание В10 (№26843) Найдите значение выражения $(log_{2}16)(log_{6}36)$

.
$(log_{2}16)(log_{6}36)=(log_{2}2^4)(log_{6}6^2)=(4log_{2}2)(2log_{6}6)=4*2=8$
Ответ: 8
2. Задание В10 (№26846) Найдите значение выражения $log_{0,25}2$
Запишем число 0,25 в виде обыкновенной дроби:
$log_{0,25}2=log_{1/4}2 =log_{2^{-2}}2=-{1/2}log_2{2}=-{0,5}$
Ответ: -0,5
3. Задание В10 (№26847) Найдите значение выражения $log_4{8}$
Разложим на простые множители основание логарифма и число, стоящее под знаком логарифма. Затем вынесем степени за знак логарифма.
$log_4{8}=log_{2^2}{2^3}={3/2}log_2{2}=1,5$
Ответ: 1,5
4. Задание В10 (№26848) Найдите значение выражения $log_5{60}- log_5{12}$
Поскольку основания логарифмов равны между собой, просто применим свойство логарифмов:
$log_5{60}- log_5{12}=log_5{{60}/{12}}=log_5{5}=1$
Ответ: 1.
5. Задание В10(№26849) Найдите значение выражения $log_5{0,2}+log_{0,5}{4}$
Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных и вынесем степени за знак логарифма:
$log_5{0,2}+log_{0,5}{4}=log_5{1/5}+log_{1/2}{4}=-{log_5{5}}-{log_2{4}}=-1-2=-3$
Ответ: -3
6. Задание В10 (№26852) Найдите значение выражения ${log_7{13}}/{log_{49}{13}}$
${log_7{13}}/{log_{49}{13}}= {log_7{13}}/{log_{7^2}{13}}={log_7{13}}/{{1/2}log_{7}{13}}=2$
Ответ: 2
7. Задание В10 (№26853) Найдите значение выражения $log_5{9}log_3{25}$
$log_5{9}log_3{25}=log_5{3^2}log_3{5^2}=$
$4log_5{3log_3{5}}$
Ответ: 4
8. Задание В10 (№26854) Найдите значение выражения ${9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}$ .
Разложим 50 на простые множители и упростим показатель степени в числителе дроби:
${9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}= {9^{log_5{5^{2}*{2}}}}/{9^{log_5{2}}}=$ ${9^{log_5{5^2}+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}={9^{2+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}=$ ${{9^2}{9^{log_5{2}}}}/{9^{log_5{2}}}=81$
9. Задание В10 (№26855) Найдите значение выражения $( 1-log_2{12})(1-log_6{12})$
Приведем оба логарифма к основанию 2, а затем разложим числа 12 и 6 на простые множители:
$( 1-log_2{12})(1-log_6{12})=$ $( 1-log_2{(2^2{3})})(1-{log_2{(2^2{3})}}/{log_2{(2*3)}})=$ $(1-(2+log_2{3}))(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})=$ $(-1-log_2{3})(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})$
Обозначим $t= log_2{3}$ , получим:
Замечание. Можно было поступить так: представим число 12 как произведение 2 и 6.
$( 1-log_2{12})(1-log_6{12})=(1-log_2{2}-log_2{6})(1-log_6{2}-log_6{6})=({-log_2{6}})({-log_6{2}})=1$
Ответ: 1
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

ege-ok.ru
Задача B7 — преобразование логарифмических и показательных выражений
21 марта 2011
В задаче B7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. В результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке ответов. Все выражения условно делятся на три типа:

Логарифмические,

Показательные,

Комбинированные.

Показательные и логарифмические выражения в чистом виде практически не встречаются. Однако знать, как они вычисляются, совершенно необходимо.
В целом, задача B7 решается достаточно просто и вполне под силу среднему выпускнику. Отсутствие четких алгоритмов компенсируется в ней стандартностью и однообразностью. Научиться решать такие задачи можно просто за счет большого количества тренировок.
Логарифмические выражения
Подавляющее большинство задач B7 содержат логарифмы в том или ином виде. Эта тема традиционно считается сложной, поскольку ее изучение приходится, как правило, на 11 класс — эпоху массовой подготовки к выпускным экзаменам. В результате многие выпускники имеют весьма смутное представление о логарифмах.
Но в этой задаче никто и не требует глубоких теоретических познаний. Нам будут встречаться лишь самые простые выражения, которые требуют незамысловатых рассуждений и вполне могут быть освоены самостоятельно. Ниже приведены основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами:

log_ax + log_ay = log_a (x · y)

log_ax − log_ay = log_a (x : y)

log_axⁿ = n · log_ax

Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены:

Задача. Найти значения выражений:
log₆ 270 − log₆ 7,5
log₅ 775 − log₅ 6,2

Первые два выражения преобразуются как разность логарифмов:
log₆ 270 − log₆ 7,5 = log₆ (270 : 7,5) = log₆ 36 = 2;
log₅ 775 − log₅ 6,2 = log₅ (775 : 6,2) = log₅ 125 = 3.
Для вычисления третьего выражения придется выделять степени — как в основании, так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм:

Затем — внешний:

Конструкции вида log_a log_bx многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь логарифм от логарифма, т.е. log_a (log_bx). Сначала вычисляется внутренний логарифм (положим log_bx = c), а затем внешний: log_ac.
Показательные выражения
Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида a^k, где числа a и k — произвольные постоянные, причем a > 0. Методы работы с такими выражениями достаточно просты и рассматриваются на уроках алгебры 8-го класса.
Ниже приведены основные формулы, которые обязательно надо знать. Применение этих формул на практике, как правило, не вызывает проблем.
aⁿ · a^m = a^{n + m};

aⁿ / a^m = a^{n − m};

(aⁿ)^m = a^{n · m};

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
;

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ.

Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться, используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь применить указанные выше формулы — и задача будет решена.

Задача. Найти значения выражений: 7⁹ · 3¹¹ : 21⁸, 24⁷ : 3⁶ : 16⁵, 30⁶ : 6⁵ : 25².

Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
7⁹ · 3¹¹ : 21⁸ = 7⁹ · 3¹¹ : (7 · 3)⁸ = 7⁹ · 3¹¹ : (7⁸ · 3⁸) = 7⁹ · 3¹¹ : 7⁸ : 3⁸ = 7 · 3³ = 189.
24

7 : 3⁶ : 16⁵ = (3 · 2³)⁷ : 3⁶ : (2⁴)⁵ = 3⁷ · 2²¹ : 3⁶ : 2²⁰ = 3 · 2 = 6.
30⁶ : 6⁵ : 25² = (5 · 3 · 2)⁶ : (3 · 2)⁵ : (5²)² = 5⁶ · 3⁶ · 2⁶ : 3⁵ : 2⁵ : 5⁴ = 5² · 3 · 2 = 150.
Комбинированные задачи
Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако в задаче B7 степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.
Из определения логарифма вытекают две формулы, которые постоянно встречаются в реальных задачах. Эти формулы позволяют заменить знак логарифма нормальными числами:
log_aaⁿ = n

В чистом виде они, как правило, не встречаются, поэтому общая схема решения комбинированных задач выглядит так:
Записать там, где это возможно, числа в виде степеней. Например, 25 = 5², 16 = 2⁴, 27 = 3³… дальше сами. Корни и дроби тоже надо заменить степенями по уже известным формулам:

Избавиться от степеней в основаниях логарифмов, если они там есть. Затем все множители, стоящие перед знаком логарифма, нужно внести в аргумент. Например, 5 · log₇ 2 = log₇ 2⁵ = log₇ 32.

Воспользоваться формулами замены логарифмов, которые приведены выше. Как правило, этого будет достаточно.

На первый взгляд эта схема кажется громоздкой и далеко не оптимальной. Но стоит немного потренироваться — и комбинированные задачи будут решаться за несколько секунд. Особо продвинутые решают их устно.

Задача. Найти значения выражений:

Будем действовать по схеме. Для первого выражения все очевидно:

Для второго выражения заметим, что

Поэтому имеем:

Аналогично поступим с третьим выражением:

В результате получим:

Смотрите также:
Задача B3 — работа с графиками
Системы линейных уравнений: основные понятия
Сравнение дробей
Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
Как быстро извлекать квадратные корни
www.berdov.com
Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений
3.
Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Комментарий. Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.
Формулы для справок
Вспомним основные свойства логарифмов.

.

Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

.

Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.

.

Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.

.

.

.

.

.

Комментарий.

Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .

.

Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.

Пример 3.1
Вычислить
Решение
Представим в виде степени числа 5, тогда

Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):

.

Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):

Ответ: 25.
Пример 3.2.
Упростить выражение
Решение
Упростим показатель степени подкоренного выражения:

Тогда

Ответ: 27.
Пример 3.3.
Упростить выражение:
Решение
Вначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно, Тогда:

Следовательно,

Ответ: 1/2.
Пример 3.4.
Найти значение выражения
Решение
Разделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:

Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:

Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:

Ответ: 1.
Пример 3.5.
Вычислить
Решение
Для преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:

.

Тогда выражение принимает вид:

Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4ⁿ:

28 = 4 ∙ 7, 112 = 16 ∙ 7 = 4² ∙ 7, 448 = 64 ∙ 7 = 4³ ∙ 7.

Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:

Ответ: 2.
Пример 3.6.
Вычислить
Решение
Представим числа 2 и 1 в виде: Тогда

Ответ: 2.
Пример 3.7.
Найти если
Решение
Обратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:

Обратим внимание, что , тогда:

Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:

Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:

Ответ:
Пример 3.8.
Известно, что лежит между числами 8 и 13, а принимает целые значения. Найти количество этих значений.
Решение
Перейдем в обоих логарифмах к основанию b.

Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: . Обратим далее внимание, что .

Получаем, что

Решим методом интервалов неравенство: .

Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .

Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем:

Выполним преобразования полученного двойного неравенства.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства: Поскольку его значения задаются неравенством:

или

Следовательно, может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.

Ответ: 6.

www.e-biblio.ru
Материалы к уроку «Тождественные преобразования логарифмических выражений» (10-11 класс)
ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА
Учитель математики
высшей квалификационной категории
ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»
Знания и навыки, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данного урока:
знать определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов;
уметь выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, вычислять логарифмы.
Литература:
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.
2. Кочагин В.В., Кочагина М.В., Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. – М.:Эксмо, 2009.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. – М.:Илекса, 2005.
4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.
План урока:
Немного истории.
Определение логарифма и основное логарифмическое тождество. Решение примеров.
Натуральный и десятичный логарифмы. Решение примеров.
Формула логарифма произведения двух положительных чисел. Решение примеров.
Формула логарифма частного двух положительных чисел. Решение примеров.
Формула логарифма степени. Решение примеров.
Формула перехода к новому основанию. Решение примеров.
Формула . Решение примеров.
Решение более сложных примеров.
Подведение итогов.
Контрольное тестирование.
Ход урока:
1) Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение. В публикации тысяча шестьсот четырнадцатого года сообщалось, что Непер изобрёл логарифмы. Позже им были составлены логарифмические таблицы, которые теперь известны нам как таблицы Брадиса. Менее чем за одно столетие таблицы распространились по всему миру и сделались незаменимым вычислительным средством. В дальнейшем они были, как бы встроены в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическую линейку, которой пользовались до семидесятых годов двадцатого века.
Приложение 1.
2) Логарифмом положительного числа b по основанию a, причём а больше нуля и не равно единицы, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.
Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.
Ц
Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.
ОР 1
П
Основание степени и основание логарифма семнадцать, значит по основному логарифмическому тождеству значение выражения равно трём.
оработаем устно:
ЩЕЛЧОК

Одна вторая равна нуль целых пяти десятым, значит выражение равно арифметическому квадратному корню из пяти.
Приложение 2.
Равенство означает, что
Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:

Например:

Приложение 3.
Перейдем к заданиям ЕГЭ:
Приложение 4.
3) Для логарифма по основанию десять существует специальное обозначение и название десятичный логарифм.
Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом.

Например,

4) Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.
Логарифм произведения двух положительных чисел по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел с тем же основанием.
ЦОР 2
Например,
Задание 1.
Задание 2. Упростите выражение
Воспользуемся решением предыдущего примера. Заменим
Обратите внимание на то, что логарифм в квадрате, поэтому и сумму необходимо возвести в квадрат. Применяя формулу квадрата суммы, раскроем скобки. Приведём подобные слагаемые.
5) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
Ц
Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.
ОР 3
Рассмотрим применение этой формулы на примере:
Задание 1. Найдите значение выражения , если

Задание 2. Найдите значение b по его логарифму
6) Логарифм степени по основанию а, равен произведению показателя степени на логарифм по тому же основанию.

ЦОР 4
Например,

Задание 1. Вычислите , если
Упростим выражение

Формула
называется формулой перехода к новому основанию.
Задание 1. Выразить через логарифм с основанием 2.
Задание 2. Вычислите
ЦОР 5
8)
ЦОР 6
Например,
Задание 1. Вычислите

Задание 2. Вычислите
9) К логарифмическим преобразованиям можно приступать, только в том случаи, если вы запомнили все свойства логарифмов. Повторив их, рассмотрим задания на преобразования логарифмических выражений с другой стороны.
Для преобразования суммы или разности логарифмических выражений иногда достаточно использовать определение логарифма, а чаще всего свойства логарифма произведения или частного.
Задание 1. Вычислите
Решим двумя способами.
1 способ, используя определение логарифма:
2 способ, опираясь на свойство логарифма частного:

Задание 2. Найдите значение выражения
Применим сначала формулу логарифма произведения, затем определение логарифма.
Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений, содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких операций заключается в получении равных основания степени и основания логарифма.
Иногда необходимо преобразовывать выражение по свойствам логарифма и по свойствам степени, так же можно легко перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода. В других случаях следует применять несколько свойств.
Задание 3. Вычислите

Задание 4. Найдите значение выражения

Задание 5. Найдите значение выражения

Задание 6. Представьте в виде разности логарифмов
Наибольшую трудность представляют преобразования логарифмических выражений, находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные числа или рациональное и иррациональное число. Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение, стоящее под внутренним радикалом.
Подставим в исходное выражение.

Раскроем модуль, учитывая, что знаменатель положителен, а числитель отрицателен.
Меняем знаки в числителе и упрощаем.
Получим исходное выражение, равное разности логарифмов.
Такие и подобные примеры вам могут встретиться при решении заданий Единого Государственного экзамена.. Следует отметить, что с преобразованием логарифмических выражений можно встретиться и при решении уравнений и неравенств или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать и в заданиях групп В и С.
10) Подведение итогов. Вопросы:
Логарифм по основанию 10 называется
2) Какие значения может принимать x в выражении
3) Чему равен
4) Чему равен
5) Укажите соотношение, которое верно для всех x ≠ 0.
6) Укажите верное соотношение для формулы перехода к новому основанию.
7) Укажите верное равенство при

11) Контрольное тестирование.
infourok.ru
Преобразование логарифмических выражений.Тематический модуль и 8 вариантов заданий с ответами на применение всех свойств логарифмов.
Преобразование логарифмических выражений
Определение и свойства логарифмов
1) lоg_аb = х, означает а^х = b (а > 0, а 1),
т. е. = b основное логарифмическое тождество
= 12 =27
2) lоg_аа = 1, (а > 0)
lоg₁₄₃143 = 1,
3) lоg_р1=0, (р > 0, р 1)
1оg₄₇1=0
4) lоg _раb = lоg_р а + 1оg_рb (р > 0, р 1, а > 0, b > 0)
log₁₄ 2 + log₁₄7 = log₁₄ (2 ·7) = 1оg₁₄14 = 1
5) lоg_р= lоg_р а — 1оg_рb
log₃ 75 — log₃ 25 = log3 = log₃ 3 = 1
6) lоg _раⁿ= n lоg _ра (а > 0, р > 0, р 1)
log₃ 243 = log₃ 3⁵ = 5log₃ 3 = 5
7) lоg _ра = (а > 0, р > 0, р 1, m > 0, m 1)
= log₅ 125 = log₅ 53 = 3lоg₅ 5 = 3
8) log₁₀ а = lg а (а> 0) log_e а = ln а (а >0)
lg 1000 = log₁₀ 1000 = log₁₀ 10³ = 3
1n е^-5 = log_e е^-5 = — 5 log_e е = -5
9) lоg_р а* lоg_а р=1
lоg₅7*lоg₇25= lоg₅7* lоg₇5²=2 lоg₅7*lоg₇5=2
Преобразования логарифмических выражений
Пример 1. Найдите значение выражения 5 ∙
Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством = b получаем:
5 ∙ = 5·12 = 60.
Ответ: 60
Пример 3. Вычислите: lоg₃36 — 21оg₃2.
Решение. Первый способ.
lоg₃36 — 21оg₃2 = lоg₃(3² ∙2²) — 2lоg₃2 = lоg₃3² + lоg₃2² — 2lоg₃2 = 2lоg₃3 + 2lоg₃2 — 2lоg₃2 = =2·1 = 2
Второй способ.
lоg₃36 — 21оg₃2 = lоg₃36 — 1оg₃2²= lоg_{3 =}lоg₃9 = 2 Ответ:2.
Пример 2. Упростите выражение log₃ 15 — 1оg₃5 + 3*
Решение. Используя формулу ) lоg_р а — 1оg_рb = lоg_р, основное логарифмическое тождество = b, а затем равенство lоg_аа = 1, получаем:
log₃ 15 — 1оg₃5 +3* = lоg₃3 + 3*5 = 1 + 15 = 16.
Ответ:16.
Пример 4. Найдите 1оg _а (ав³), если
1оg _а в² =6.
Решение. Сначала преобразуем
1оg _а в² =6, используя свойства логарифмов 2*1оg _а в =6, 1оg _а в =3;
Затем, используя свойства логарифмов 4 и 6, получим
1оg _а (ав³)= 1оg _аа+1оg _а в³=
= 1оg _аа+31оg _а в= 1+3*3=10
Ответ: 10.
Ниже представлены 8 вариантов преобразования логарифмических выражений на применение всех свойств логарифмов.
Ответы: преобр. логарифм.выражений
Вар
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
В11
В12
В13
В14
-2
-2
4
-1
1,5
16
-4
3
-41
24
-2
2
8
2
2
-4
1,5
3
5
16
11,8
-1
-31
7
-2
13
8
4
2
-4
2
-2
5
-3
32
-2
17
2
-2
1
-5
5
2
-2
-0,5
-6
-7
2
27
3
-6
32
2
32
19
-1
2
3
4
4
4
2
44
9
3
39
3
2
2
8
6
2
-3
-3
-3
-3
27
5
2
0
3
-2
2
16
3
-2
-3
-3
14
5
20
-25
2
7
-1
-6
2
1
3
2
2
4
-3
-3
13
32
2
7
-2
2
1
-2
Ответы: преобр. логарифм.выражений
Вар
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
В11
В12
В13
В14
-2
4
-1
1,5
16
-4
3
-41
24
-2
2
8
2
2
-4
1,5
3
5
16
11,8
-1
-31
7
-2
13
8
4
2
-4
2
-2
5
-3
32
-2
17
2
-2
1
-5
5
2
-2
-0,5
-6
-7
2
27
3
-6
32
2
32
19
-1
2
3
4
4
4
2
44
9
3
39
3
2
2
8
-2
2
-3
-3
-3
-3
27
5
2
0
3
-2
2
16
3
-2
-3
-3
14
5
20
-25
2
7
-1
-6
2
1
3
2
2
4
-3
-3
13
32
2
7
-2
2
1
-2
infourok.ru
Преобразование логарифмических выражений
09 Задание (2016)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим решение Задания 10 из т/р №111 А. Ларина:
Вычислите: ${5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}$
Заметим, что в показателе степени у нас стоит логарифм под знаком квадратного корня, поэтому основное логарифмическое тождество мы применить не можем.
Используем прием, который хорошо помогает, если мы имеем дело с произведением или частным логарифмов.
Пусть искомое выражение равно :
$y={5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}$
Возьмем от обеих частей логарифм по основанию 5. (Могли бы взять логарифм по основанию 2 — в данном случае это не имеет значения)
Получим: $log_5{y}=log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})$
Преобразуем выражение в правой части равенства. Воспользуемся следующими свойствами логарифмов:
$log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c$
$log_{a}b^n=nlog_{a}b$
$log_{a}b=1/{log_{b}a}$
Получим: $log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})=$
$log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}}) ~-~log_5({2^{sqrt{log_2{5}}}})=$
$sqrt{log_5{2}}*log_5{5}~-~{sqrt{log_2{5}}}*log_5{2}=$
$sqrt{log_5{2}}~-~{log_5{2}}/{sqrt{log_5{2}}}=$
$sqrt{log_5{2}}~-~{sqrt{log_5{2}}}=0$
Итак,
$log_5{y}=0$
Отсюда
Ответ: 1
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru
Преобразование логарифмических выражений 11 класс
11 класс базовый уровень.
Самостоятельная работа по теме
«Преобразование логарифмических выражений»
Вариант№1
1.Упростить: log₂14+log₂5-log₂35
а) 1 б) 0 в) 7 4) 28
2. Упростить:
а) 2 б) 1 в) 4)
3. Упростить:
а) 2 б) 3 в) 3 4) 4
4. Упростить:
а) 0.25 б) 2 в) 4)
5. Найти значение выражения: , если
а) 10 б) 10.5 в) 11 4) 11.5
6. Упростить:
а) 3 б) -4 в) 0 4)
7. Упростить:
а) 8 б) 121 в) 1 4) 7
8. Упростить:
а) 0 б) -12 в) 4 4) -24
9. Упростить:
а) 2 б) 0 в) 3 4) -2
10. Упростить:
а) 0 б) 1 в) -1 4) -2
Вариант №2
1.Упростить:
а) 1 б) 2 в) 3 4) 4
2. Упростить: log₁₀₀2+log₁₀₀5+log₁₀₀10
а) 1 б) 2 в) 3 4) 4
3. Упростить: .
а) 1 б) 4 в) 9 4) 10
4. Упростить: log₈80- log₈2-log₈5
а) 1 б) 2 в) 3 4) 4
5. Упростить:
а) 0 б) -1 в) 3 4) 4
6. Найти значение выражения: , если
а) 5 б) 6 в) 8 4) 10
7. Упростить:
а) 0.5 б) -1 в) 3 4) 4
8. Упростить:
а) 6 б) в) 36 4)
9. Упростить:
а) 0 б) -8 в) 4 4) 2
10. Упростить: 2+
а) -1 б) -2 в) -5 4) 5
infourok.ru