Упрощение логарифмических выражений – Преобразование логарифмических выражений.Тематический модуль и 8 вариантов заданий с ответами на применение всех свойств логарифмов.

Упрощение выражений, содержащих логарифмы.

В этой статье мы рассмотрим принцип упрощения выражений, содержащих логарифмы. Как обычно, мы это сделаем на примере заданий из Открытого банка заданий по математике.

Напомню несколько предварительных действий, которые сильно облегчают жизнь и помогают найти решение в ситуации, когда не знаешь с чего начать.

1. Постараться привести все логарифмы к одному основанию с помощью формулы перехода к новому основанию или вынеся степень за знак логарифма в виде коэффициента.

2. Разложить числа, стоящие под знаком логарифма на множители.

3. Десятичные дроби записать в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Итак. Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

1. Задание В10 (№26843) Найдите значение выражения  (log_{2}16)(log_{6}36)

.

(log_{2}16)(log_{6}36)=(log_{2}2^4)(log_{6}6^2)=(4log_{2}2)(2log_{6}6)=4*2=8

Ответ: 8

2. Задание В10 (№26846) Найдите значение выражения log_{0,25}2

Запишем число 0,25 в виде обыкновенной дроби:

log_{0,25}2=log_{1/4}2 =log_{2^{-2}}2=-{1/2}log_2{2}=-{0,5}

Ответ: -0,5

3. Задание В10 (№26847) Найдите значение выражения log_4{8}

Разложим на простые множители основание логарифма и число, стоящее под знаком логарифма. Затем вынесем степени за знак логарифма.

log_4{8}=log_{2^2}{2^3}={3/2}log_2{2}=1,5

Ответ: 1,5

4. Задание В10 (№26848) Найдите значение выражения log_5{60}- log_5{12}

Поскольку основания логарифмов равны между собой, просто применим свойство логарифмов:

log_5{60}- log_5{12}=log_5{{60}/{12}}=log_5{5}=1

Ответ: 1.

5. Задание В10(№26849) Найдите значение выражения log_5{0,2}+log_{0,5}{4}

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных и вынесем степени за знак логарифма:

log_5{0,2}+log_{0,5}{4}=log_5{1/5}+log_{1/2}{4}=-{log_5{5}}-{log_2{4}}=-1-2=-3

Ответ: -3

6. Задание В10 (№26852) Найдите значение выражения {log_7{13}}/{log_{49}{13}} 

{log_7{13}}/{log_{49}{13}}= {log_7{13}}/{log_{7^2}{13}}={log_7{13}}/{{1/2}log_{7}{13}}=2

Ответ: 2

7. Задание В10 (№26853) Найдите значение выражения log_5{9}log_3{25}

log_5{9}log_3{25}=log_5{3^2}log_3{5^2}= 

4log_5{3log_3{5}}

Ответ: 4

8. Задание В10 (№26854) Найдите значение выражения {9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}.

Разложим 50 на простые множители и упростим показатель степени в числителе дроби:

{9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}= {9^{log_5{5^{2}*{2}}}}/{9^{log_5{2}}}={9^{log_5{5^2}+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}={9^{2+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}= {{9^2}{9^{log_5{2}}}}/{9^{log_5{2}}}=81

9. Задание В10 (№26855) Найдите значение выражения ( 1-log_2{12})(1-log_6{12})

Приведем оба логарифма к основанию 2, а затем разложим числа 12 и 6 на простые множители:

( 1-log_2{12})(1-log_6{12})= ( 1-log_2{(2^2{3})})(1-{log_2{(2^2{3})}}/{log_2{(2*3)}})=  (1-(2+log_2{3}))(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})=(-1-log_2{3})(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})

Обозначим t= log_2{3}, получим:

(-1- t)({1+t-2-t}/{1+t})=-{(1+t)}{({-1})/{1+t}}=1

Замечание. Можно было поступить так: представим число 12 как произведение 2 и 6.

( 1-log_2{12})(1-log_6{12})=(1-log_2{2}-log_2{6})(1-log_6{2}-log_6{6})=({-log_2{6}})({-log_6{2}})=1

Ответ: 1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

 

ege-ok.ru

Задача B7 — преобразование логарифмических и показательных выражений

В задаче B7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. В результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке ответов. Все выражения условно делятся на три типа:

  1. Логарифмические,
  2. Показательные,
  3. Комбинированные.

Показательные и логарифмические выражения в чистом виде практически не встречаются. Однако знать, как они вычисляются, совершенно необходимо.

В целом, задача B7 решается достаточно просто и вполне под силу среднему выпускнику. Отсутствие четких алгоритмов компенсируется в ней стандартностью и однообразностью. Научиться решать такие задачи можно просто за счет большого количества тренировок.

Логарифмические выражения

Подавляющее большинство задач B7 содержат логарифмы в том или ином виде. Эта тема традиционно считается сложной, поскольку ее изучение приходится, как правило, на 11 класс — эпоху массовой подготовки к выпускным экзаменам. В результате многие выпускники имеют весьма смутное представление о логарифмах.

Но в этой задаче никто и не требует глубоких теоретических познаний. Нам будут встречаться лишь самые простые выражения, которые требуют незамысловатых рассуждений и вполне могут быть освоены самостоятельно. Ниже приведены основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами:

  1. logax + logay = loga (x · y)
  2. logax − logay = loga (x : y)
  3. logaxn = n · logax
  4. Вынесение степени из основания логарифма
  5. Переход к новому основанию в логарифме

Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены:

Переход от корня к степени и от дроби к степени

Задача. Найти значения выражений:
log6 270 − log6 7,5
log5 775 − log5 6,2

Логарифм от другого логарифмического выражения

Первые два выражения преобразуются как разность логарифмов:
log6 270 − log6 7,5 = log6 (270 : 7,5) = log6 36 = 2;
log5 775 − log5 6,2 = log5 (775 : 6,2) = log5 125 = 3.

Для вычисления третьего выражения придется выделять степени — как в основании, так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм:

Вычисление внутреннего логарифма с венесением степени

Затем — внешний:

Вычисление двойного логарифма

Конструкции вида loga logbx многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь логарифм от логарифма, т.е. loga (logbx). Сначала вычисляется внутренний логарифм (положим logbx = c), а затем внешний: logac.

Показательные выражения

Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида ak, где числа a и k — произвольные постоянные, причем a > 0. Методы работы с такими выражениями достаточно просты и рассматриваются на уроках алгебры 8-го класса.

Ниже приведены основные формулы, которые обязательно надо знать. Применение этих формул на практике, как правило, не вызывает проблем.

  1. an · am = an + m;
  2. an / am = an − m;
  3. (an)m = an · m;
  4. (a · b)n = an · bn
    ;
  5. (a : b)n = an : bn.

Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться, используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь применить указанные выше формулы — и задача будет решена.

Задача. Найти значения выражений: 79 · 311 : 218, 247 : 36 : 165, 306 : 65 : 252.

Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
79 · 311 : 218 = 79 · 311 : (7 · 3)8 = 79 · 311 : (78 · 38) = 79 · 311 : 78 : 38 = 7 · 33 = 189.
24

7 : 36 : 165 = (3 · 23)7 : 36 : (24)5 = 37 · 221 : 36 : 220 = 3 · 2 = 6.
306 : 65 : 252 = (5 · 3 · 2)6 : (3 · 2)5 : (52)2 = 56 · 36 · 26 : 35 : 25 : 54 = 52 · 3 · 2 = 150.

Комбинированные задачи

Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако в задаче B7 степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.

Из определения логарифма вытекают две формулы, которые постоянно встречаются в реальных задачах. Эти формулы позволяют заменить знак логарифма нормальными числами:

  1. logaan = n
  2. Избавление от знака логарифма

В чистом виде они, как правило, не встречаются, поэтому общая схема решения комбинированных задач выглядит так:

  1. Записать там, где это возможно, числа в виде степеней. Например, 25 = 52, 16 = 24, 27 = 33… дальше сами. Корни и дроби тоже надо заменить степенями по уже известным формулам:
    Переход от корня к степени и от дроби к степени
  2. Избавиться от степеней в основаниях логарифмов, если они там есть. Затем все множители, стоящие перед знаком логарифма, нужно внести в аргумент. Например, 5 · log7 2 = log7 25 = log7 32.
  3. Воспользоваться формулами замены логарифмов, которые приведены выше. Как правило, этого будет достаточно.

На первый взгляд эта схема кажется громоздкой и далеко не оптимальной. Но стоит немного потренироваться — и комбинированные задачи будут решаться за несколько секунд. Особо продвинутые решают их устно.

Задача. Найти значения выражений:

Три комбинированных выражения

Будем действовать по схеме. Для первого выражения все очевидно:

Вычисление логарифма по основанию 7

Для второго выражения заметим, что

Вычисление логарифма по основанию 8

Поэтому имеем:

Итоговое логарифмическое выражение

Аналогично поступим с третьим выражением:

Вычисление логарифма по основанию 25

В результате получим:

Дробно-рациональное выражение с логарифмом

Смотрите также:

  1. Задача B3 — работа с графиками Дробно-рациональное выражение с логарифмом
  2. Системы линейных уравнений: основные понятия Дробно-рациональное выражение с логарифмом
  3. Сравнение дробей Дробно-рациональное выражение с логарифмом
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов) Дробно-рациональное выражение с логарифмом
  5. Как быстро извлекать квадратные корни Дробно-рациональное выражение с логарифмом

www.berdov.com

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

3.

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Комментарий. Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.

Формулы для справок

Вспомним основные свойства логарифмов.

  1. .

    Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

  2. .

    Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.

  3. .

    Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

    Комментарий.

    Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .

  9. .

    Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.

Пример 3.1

Вычислить

Решение

Представим в виде степени числа 5, тогда

Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):

.

Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):

Ответ: 25.

Пример 3.2.

Упростить выражение

Решение

Упростим показатель степени подкоренного выражения:

Тогда

Ответ: 27.

Пример 3.3.

Упростить выражение:

Решение

Вначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно, Тогда:

Следовательно,

Ответ: 1/2.

Пример 3.4.

Найти значение выражения

Решение

Разделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:

Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:

Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:

Ответ: 1.

Пример 3.5.

Вычислить

Решение

Для преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:

.

Тогда выражение принимает вид:

Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4n:

28 = 4 ∙ 7, 112 = 16 ∙ 7 = 42 ∙ 7, 448 = 64 ∙ 7 = 43 ∙ 7.

Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:

Ответ: 2.

Пример 3.6.

Вычислить

Решение

Представим числа 2 и 1 в виде: Тогда

Ответ: 2.

Пример 3.7.

Найти если

Решение

Обратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:

Обратим внимание, что , тогда:

Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:

Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:

Ответ: 

Пример 3.8.

Известно, что лежит между числами 8 и 13, а принимает целые значения. Найти количество этих значений.

Решение

Перейдем в обоих логарифмах к основанию b.

Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: . Обратим далее внимание, что .

Получаем, что

Решим методом интервалов неравенство: .

Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .

Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем:

Выполним преобразования полученного двойного неравенства.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства: Поскольку его значения задаются неравенством:

или

Следовательно, может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.

Ответ: 6.

www.e-biblio.ru

Материалы к уроку «Тождественные преобразования логарифмических выражений» (10-11 класс)

ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории

ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Знания и навыки, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данного урока:

  • знать определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов;

  • уметь выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, вычислять логарифмы.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

2. Кочагин В.В., Кочагина М.В., Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. – М.:Эксмо, 2009.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. – М.:Илекса, 2005.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.

План урока:

  1. Немного истории.

  2. Определение логарифма и основное логарифмическое тождество. Решение примеров.

  3. Натуральный и десятичный логарифмы. Решение примеров.

  4. Формула логарифма произведения двух положительных чисел. Решение примеров.

  5. Формула логарифма частного двух положительных чисел. Решение примеров.

  6. Формула логарифма степени. Решение примеров.

  7. Формула перехода к новому основанию. Решение примеров.

  8. Формула hello_html_5b89d6f2.gif. Решение примеров.

  9. Решение более сложных примеров.

  10. Подведение итогов.

  11. Контрольное тестирование.

Ход урока:

1) Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение. В публикации тысяча шестьсот четырнадцатого года сообщалось, что Непер изобрёл логарифмы. Позже им были составлены логарифмические таблицы, которые теперь известны нам как таблицы Брадиса. Менее чем за одно столетие таблицы распространились по всему миру и сделались незаменимым вычислительным средством. В дальнейшем они были, как бы встроены в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическую линейку, которой пользовались до семидесятых годов двадцатого века.

Приложение 1.

2) Логарифмом положительного числа b по основанию a, причём а больше нуля и не равно единицы, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.

Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 1

Пhello_html_m4c400f0d.gif

Основание степени и основание логарифма семнадцать, значит по основному логарифмическому тождеству значение выражения равно трём.

оработаем устно:

Щhello_html_2d98927b.gifЕЛЧОК

hello_html_37a81170.gif

Одна вторая равна нуль целых пяти десятым, значит выражение равно арифметическому квадратному корню из пяти.

Пhello_html_m3f8e4182.gifhello_html_m1de6b06c.gifриложение 2.

Равенство означает, что

Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:

hello_html_m1a3a7f80.gif

hello_html_m63337f5.gif

Например:

hello_html_515ca26.gif

Пhello_html_m1fab6bcf.gifриложение 3.

Перейдем к заданиям ЕГЭ:

Приложение 4.

3hello_html_630e2737.gif) Для логарифма по основанию десять существует специальное обозначение и название десятичный логарифм.

Лhello_html_62fad450.gifогарифм по основанию е называется натуральным логарифмом.

hello_html_m6ba77a52.gif

Нhello_html_m4952827.gifапример,

hello_html_m295be7ef.gifhello_html_m1a2b8ae0.gif

4) Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Лhello_html_m7842fd66.gifогарифм произведения двух положительных чисел по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел с тем же основанием.

ЦОР 2

Нhello_html_68381f41.gifапример,

Зhello_html_66776d73.gifадание 1.

Задание 2. Упростите выражение

Вhello_html_525fd05f.gifоспользуемся решением предыдущего примера. Заменим

Обратите внимание на то, что логарифм в квадрате, поэтому и сумму необходимо возвести в квадрат. Применяя формулу квадрата суммы, раскроем скобки. Приведём подобные слагаемые.

5hello_html_m5e837261.gif) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 3

Рhello_html_m6f677839.gifhello_html_4a792b8e.gifассмотрим применение этой формулы на примере:

Зhello_html_m25debe0f.gifадание 1. Найдите значение выражения , если

hello_html_m28f4cdf8.gif

hello_html_m7125769c.gif

hello_html_35129a6f.gif

Задание 2. Найдите значение b по его логарифму

6) Логарифм степени по основанию а, равен произведению показателя степени на логарифм по тому же основанию.

hello_html_15c36051.gif

ЦОР 4

Нhello_html_2a974864.gifапример,

hello_html_m24c347d2.gif

hello_html_m1b9a7154.gifhello_html_m71638514.gif

Зhello_html_m5e38c4b.gifадание 1. Вычислите , если

Упростим выражение

hello_html_m5b3d24af.gif

hello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_2ab03c4a.gif

Фhello_html_49b9b58d.gifормула

называется формулой перехода к новому основанию.

Зhello_html_m728ee70.gifhello_html_m513c9706.gifадание 1. Выразить через логарифм с основанием 2.

Зhello_html_315231ab.gifhello_html_7359342c.gifадание 2. Вычислите

Цhello_html_1cbc888.gifОР 5

8)

hello_html_2c6d15bd.gifЦОР 6

Например,

Зhello_html_m58a5aa51.gifhello_html_3ca9890d.gifhello_html_154747d5.gifhello_html_13ac8431.gifhello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_m28f4cdf8.gifадание 1. Вычислите

hello_html_m36a02365.gif

Зhello_html_710ebe6.gifадание 2. Вычислите

9) К логарифмическим преобразованиям можно приступать, только в том случаи, если вы запомнили все свойства логарифмов. Повторив их, рассмотрим задания на преобразования логарифмических выражений с другой стороны.

Для преобразования суммы или разности логарифмических выражений иногда достаточно использовать определение логарифма, а чаще всего свойства логарифма произведения или частного.

Зhello_html_59d665d8.gifадание 1. Вычислите

Решим двумя способами.

1hello_html_m1e544499.gif способ, используя определение логарифма:

2hello_html_7b7f30ee.gif способ, опираясь на свойство логарифма частного:

hello_html_m4dc05b45.gif

Задание 2. Найдите значение выражения

Пhello_html_m779f4c0b.gifрименим сначала формулу логарифма произведения, затем определение логарифма.

Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений, содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких операций заключается в получении равных основания степени и основания логарифма.

Иногда необходимо преобразовывать выражение по свойствам логарифма и по свойствам степени, так же можно легко перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода. В других случаях следует применять несколько свойств.

Зhello_html_167a1dd0.gifадание 3. Вычислите

hello_html_15fd9e37.gif

Зhello_html_m6ebe18a1.gifадание 4. Найдите значение выражения

hello_html_m38041db9.gif

Зhello_html_m39ae2a43.gifадание 5. Найдите значение выражения

hello_html_m26052c40.gif

Зhello_html_7b9b67f7.gifадание 6. Представьте в виде разности логарифмов

Нhello_html_m7c3139f7.gifаибольшую трудность представляют преобразования логарифмических выражений, находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные числа или рациональное и иррациональное число. Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение, стоящее под внутренним радикалом.

Подставим в исходное выражение.

hello_html_m743d3f90.gif

Рhello_html_m2e6ca461.gifhello_html_3fe36ae1.gifаскроем модуль, учитывая, что знаменатель положителен, а числитель отрицателен.

Мhello_html_34acb156.gifеняем знаки в числителе и упрощаем.

Пhello_html_m46f4ba79.gifолучим исходное выражение, равное разности логарифмов.

Такие и подобные примеры вам могут встретиться при решении заданий Единого Государственного экзамена.. Следует отметить, что с преобразованием логарифмических выражений можно встретиться и при решении уравнений и неравенств или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать и в заданиях групп В и С.

10) Подведение итогов. Вопросы:

  1. Логарифм по основанию 10 называется

2) Какие значения может принимать x в выражении hello_html_mf77b6b3.gif

3) Чему равен hello_html_m39ae2a43.gif

4) Чему равен hello_html_70e858b.gif

5) Укажите соотношение, которое верно для всех x ≠ 0.

  • hello_html_m1da6a299.png

  • hello_html_afb2660.png

  • hello_html_129340a9.png

  • hello_html_m7ed9b199.png

6) Укажите верное соотношение для формулы перехода к новому основанию.

  • hello_html_m2b610e3d.png

  • hello_html_m5c646fed.png

  • hello_html_422d111e.png

  • hello_html_mb3dc7c1.png

7) Укажите верное равенство при hello_html_42b9a89e.gif

  • hello_html_7a4a1b99.png

  • hello_html_m5d311a8b.png

  • hello_html_m3d285949.png

  • hello_html_1a53585b.png


11) Контрольное тестирование.

infourok.ru

Преобразование логарифмических выражений.Тематический модуль и 8 вариантов заданий с ответами на применение всех свойств логарифмов.

Преобразование логарифмических выражений

Определение и свойства логарифмов

1) lоgаb = х, означает ах = b (а > 0, а 1),

т. е. = b основное логарифмическое тождество

hello_html_349df3bc.png= 12 hello_html_71721886.png=27

2) lоgаа = 1, (а > 0)

lоg143143 = 1,

3) lоgр1=0, (р > 0, р 1)

1оg471=0

4) lоg раb = lоgр а + 1оgр b (р > 0, р 1, а > 0, b > 0)

log14 2 + log147 = log14 (2 ·7) = 1оg1414 = 1

5) lоgр = lоgр а — 1оgр b

log3 75 — log3 25 = log3 = log3 3 = 1

6) lоg раn = n lоg ра (а > 0, р > 0, р 1)

log3 243 = log3 35 = 5log3 3 = 5

7) lоg ра = (а > 0, р > 0, р 1, m > 0, m 1)

= log5 125 = log5 53 = 3lоg5 5 = 3

8) log10 а = lg а (а> 0) loge а = ln а (а >0)

lg 1000 = log10 1000 = log10 103 = 3

1n е-5 = loge е-5 = — 5 loge е = -5

9) lоgр а* lоgа р=1

lоg5 7*lоg725= lоg5 7* lоg752 =2 lоg5 7*lоg75=2

Преобразования логарифмических выражений

Пример 1. Найдите значение выражения 5 ∙

Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством = b получаем:

5 ∙ = 5·12 = 60.

Ответ: 60

Пример 3. Вычислите: lоg336 — 21оg32.

Решение. Первый способ.

lоg336 — 21оg32 = lоg3(32 ∙22) — 2lоg32 = lоg332 + lоg322 — 2lоg32 = 2lоg33 + 2lоg32 — 2lоg32 = =2·1 = 2

Второй способ.

lоg336 — 21оg32 = lоg336 — 1оg322 = lоg3 = lоg3 9 = 2 Ответ:2.

Пример 2. Упростите выражение log3 15 — 1оg35 + 3*

Решение. Используя формулу ) lоgр а — 1оgр b = lоgр, основное логарифмическое тождество = b, а затем равенство lоgаа = 1, получаем:

log3 15 — 1оg35 +3* = lоg33 + 3*5 = 1 + 15 = 16.

Ответ:16.

Пример 4. Найдите 1оg а (ав3), если

g а в2 =6.

Решение. Сначала преобразуем

g а в2 =6, используя свойства логарифмов 2*g а в =6, 1оg а в =3;

Затем, используя свойства логарифмов 4 и 6, получим

g а (ав3)= g а а+ g а в3=

= g а а+ 31оg а в= 1+ 3*3=10

Ответ: 10.

Ниже представлены 8 вариантов преобразования логарифмических выражений на применение всех свойств логарифмов.

Ответы: преобр. логарифм.выражений

Вар

В1

В2

В3

В4

В5

В6

В7

В8

В9

В10

В11

В12

В13

В14

-2

-2

4

-1

1,5

16

-4

3

-41

24

-2

2

8

2

2

-4

1,5

3

5

16

11,8

-1

-31

7

-2

13

8

4

2

-4

2

-2

5

-3

32

-2

17

2

-2

1

-5

5

2

-2

-0,5

-6

-7

2

27

3

-6

32

2

32

19

-1

2

3

4

4

4

2

44

9

3

39

3

2

2

8

6

2

-3

-3

-3

-3

27

5

2

0

3

-2

2

16

3

-2

-3

-3

14

5

20

-25

2

7

-1

-6

2

1

3

2

2

4

-3

-3

13

32

2

7

-2

2

1

-2

Ответы: преобр. логарифм.выражений

Вар

В1

В2

В3

В4

В5

В6

В7

В8

В9

В10

В11

В12

В13

В14

-2

4

-1

1,5

16

-4

3

-41

24

-2

2

8

2

2

-4

1,5

3

5

16

11,8

-1

-31

7

-2

13

8

4

2

-4

2

-2

5

-3

32

-2

17

2

-2

1

-5

5

2

-2

-0,5

-6

-7

2

27

3

-6

32

2

32

19

-1

2

3

4

4

4

2

44

9

3

39

3

2

2

8

-2

2

-3

-3

-3

-3

27

5

2

0

3

-2

2

16

3

-2

-3

-3

14

5

20

-25

2

7

-1

-6

2

1

3

2

2

4

-3

-3

13

32

2

7

-2

2

1

-2

infourok.ru

Преобразование логарифмических выражений

09 Задание (2016)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Рассмотрим решение Задания 10 из т/р №111 А. Ларина:

Вычислите: {5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}

Заметим, что в показателе степени у нас стоит логарифм под знаком квадратного корня, поэтому основное логарифмическое тождество мы применить не можем.

Используем прием, который хорошо помогает, если мы имеем дело с произведением или частным логарифмов.

Пусть искомое выражение равно y:

y={5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}

Возьмем от обеих частей логарифм по основанию 5. (Могли бы взять логарифм по основанию 2 — в данном случае это не имеет значения)

Получим: log_5{y}=log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})

Преобразуем выражение в правой части равенства. Воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

log_{a}b^n=nlog_{a}b

log_{a}b=1/{log_{b}a}

Получим: log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})=

log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}}) ~-~log_5({2^{sqrt{log_2{5}}}})=

sqrt{log_5{2}}*log_5{5}~-~{sqrt{log_2{5}}}*log_5{2}=

sqrt{log_5{2}}~-~{log_5{2}}/{sqrt{log_5{2}}}=

sqrt{log_5{2}}~-~{sqrt{log_5{2}}}=0

Итак,

log_5{y}=0

Отсюда

y=1

Ответ: 1

y=1

y=1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

y=1
y=1

 

ege-ok.ru

Преобразование логарифмических выражений 11 класс

11 класс базовый уровень.

Самостоятельная работа по теме

«Преобразование логарифмических выражений»

Вариант№1

1.Упростить: log214+log25-log235

а) 1 б) 0 в) 7 4) 28

2. Упростить: hello_html_m27a11cf6.gif

а) 2 б) 1 в) hello_html_47f1258e.gif 4) hello_html_1dcdd31d.gif

3. Упростить: hello_html_6e725104.gif

а) 2 б) 3 в) 3 4) 4

4. Упростить: hello_html_m6ead7e3a.gif

а) 0.25 б) 2 в) hello_html_m454ec066.gif 4) hello_html_308a1c7a.gif

5. Найти значение выражения: hello_html_m7f31f81d.gif, если hello_html_m7fb3762d.gif

а) 10 б) 10.5 в) 11 4) 11.5

6. Упростить: hello_html_m4746d422.gif

а) 3 б) -4 в) 0 4) hello_html_m32769746.gif

7. Упростить: hello_html_m5835dd2a.gif

а) 8hello_html_7f8f9891.gif б) 121 в) 1 4) 7

8. Упростить: hello_html_67d25ba8.gif

а) 0 б) -12 в) 4 4) -24

9. Упростить: hello_html_m1e903197.gif

а) 2 б) 0 в) 3 4) -2

10. Упростить: hello_html_2ffda9d6.gif

а) 0 б) 1 в) -1 4) -2

Вариант №2

1.Упростить: hello_html_149d2fec.gif

а) 1 б) 2 в) 3 4) 4

2. Упростить: log1002+log1005+log10010

а) 1 б) 2 в) 3 4) 4

3. Упростить: .hello_html_2375ecd9.gif

а) 1 б) 4 в) 9 4) 10

4. Упростить: log8 80- log82-log85

а) 1 б) 2 в) 3 4) 4

5. Упростить: hello_html_4e810792.gif

а) 0 б) -1 в) 3 4) 4

6. Найти значение выражения: hello_html_5799f1c0.gif, если hello_html_m232f3306.gif

а) 5 б) 6 в) 8 4) 10

7. Упростить: hello_html_m27b1760f.gif

а) 0.5 б) -1 в) 3 4) 4

8. Упростить: hello_html_66898da5.gif

а) 6 б) hello_html_m53a9de17.gif в) 36 4) hello_html_6533ba.gif

9. Упростить: hello_html_m77ae79ee.gif

а) 0 б) -8 в) 4 4) 2

10. Упростить: hello_html_1f617b13.gif2+hello_html_m1113bbc9.gif

а) -1 б) -2 в) -5 4) 5

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск