Метод интервалов ℹ️ определение, способы и алгоритмы решения квадратных, рациональных, иррациональных, показательных и дробных неравенств, плюсы и минусы, онлайн-калькулятор

Общие сведения

Под неравенством в математике понимаются функции, связанные между собой знаками больше, меньше, больше — равно, меньше — равно. Оптимальным методом их решения является нахождение способом интервалов. Его возможно применять к рациональным уравнениям, то есть к тем, в состав которых входят числа и переменная x с указанием различных алгебраических действий над ними, например, умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем.

Решить неравенство, значит, найти множество, при котором будет выполняться заданное условие. Между вычислением неравенств и уравнений много общего, главное отличие лишь в том, что для первых ответ представляет собой область решений, а для вторых — конкретные числовые значения. Многие методы нахождения ответа являются громоздкими, например, приведение уравнения к совокупности системы, построение графиков функций. Для небольших выражений их ещё можно применять, но когда в задании стоит шесть, семь множителей или больше, то решить его такими методами самостоятельно очень сложно, а сама операция займёт много времени.

Поэтому был разработан простой алгоритм, позволяющий вычислять сложные неравенства вида (x) > 0 и f (x) < 0. Знакомят с ним в восьмом классе средней школы. Он довольно легко запоминается учащимися. Алгоритм решения состоит из пяти шагов:

1. Имеющееся уравнение нужно приравнять к нулю, получив вместо неравенства равенство. Найти его корни.
2. Нарисовать координатную ось, на которой отметить точки, соответствующие решению полученного равенства. В итоге должны получиться различные области.
3. Определить кратность возможных решений. Для этого нужно исследовать корни. Если они чётные, то над равенством изображается петля.
4. На каждом выделенном интервале определить знак функции. Для этого нужно взять произвольное число, попадающее в область исследуемого интервала, и подставить его в заданное неравенство.
5. Подписать полученные знаки, соответствующие областям на координатной оси. Проанализировать соответствие интервалов удовлетворению условию задания.

Следует отметить, что кратным называют корень, при котором существует чётное число одинаковых решений. При нестрогом неравенстве в интервал включаются и корни уравнения (обозначают их на графике кружком).

Нужно запомнить, что при переходе через решение равенства знак будет меняться на противоположный. Также нужно знать, что показательная функция f (x) = ax + b является линейной и при a, не равном нулю, называется многочленом первой степени.

Суть метода

Справедливо считается, что решение неравенств методом интервалов — это довольно быстрый и эффективный инструмент. Это своего рода волшебная кнопка, которую можно нажать и найти необходимый ответ. При этом не имеет значения, насколько сложный многочлен записан в уравнении.

Пусть имеется неравенство простого вида: aх² + bx + c > 0. Конечно же, это несложное уравнение, которое проще всего решать методом выражения неизвестной. Но для понимания принципа вычисления с помощью интервалов нужно начинать именно с простых примеров.

Для применения способа необходимо выражение приравнять к нулю, то есть переписать его как aх² + bx + c = 0. Так как это квадратное уравнение, то у него может быть два действительных корня: x1 один и x2. Равенство примет вид: a * (x — x1) * (x — x2).

Затем можно нарисовать числовую прямую с изображением на ней предполагаемых корней. В итоге получится линия, разбитая на три интервала. Теперь задача состоит в том, чтобы оценить знак каждой полученной области. Для этого нужно взять любое число в первом интервале от минус бесконечности до x1 (границы не включаются) и подставить в исходное неравенство. Следует решить его и определить знак.

Пусть это будет число k. Заменив им неизвестную в заданном выражении, получится следующее: ak² + bk + c. Получив числовой ответ, его нужно просто сравнить с нулём, понятие модуль тут не используется. При этом существует всего два возможных варианта:

• k > 0 — это говорит о том, что на первом интервале все числа будут давать положительный ответ;
• k < 0 — значит, в ограниченной области все возможные результаты решения имеют знак минус.

Пусть для рассматриваемого примера первый знак будет плюс, тогда очевидно, что на втором интервале будет знак минус, а в третьей области ответ снова будет иметь положительное значение.

Так как по условию неравенство должно быть больше нуля, то в ответ пойдут только области, которые определены со знаком плюс. Это можно записать как x Є (- ∞, x1) U (x2, +∞). Скобки строгие из-за того, что решается неравенство с конкретным указанием, поэтому x1 и x2 в возможное решение не включены.

Простой пример

Ученикам на уроках для закрепления теории предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся вычисления неравенств методом интервалов. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Ниже представлен один из таких примеров.

Пусть имеется неравенство (2x + 3) / (x — 4) > 0. На первый взгляд кажется, что нужно избавиться от знаменателя, умножив левую и правую часть на x — 4. Но это делать нельзя, потому что при разных значениях неизвестной уравнение может иметь как знак плюс, так и минус, а иногда и быть равным нулю. Поэтому правильным решением будет перенести свободный член с правой стороны в левую, а затем упростить выражение через приведение к общему знаменателю. После этого получится неравенство больше нуля.

Сделать это можно следующим способом: ((2x + 3) / (x — 4)) — 3 > 0. Отсюда: (2 x + 3 — 3 x + 12) / (x — 4) > 0. Найдя подобные и выполнив преобразование, исходное неравенство примет вид: (-x + 15) / (x-4) > 0.

Согласно алгоритму, используемому для решения методом интервалов, полученное выражение нужно приравнять к нулю и решить: (-x + 15) / (x- 4) = 0. Дробное отношение равняется нулю лишь в том случае, если делимое будет равно ему, а делитель в него не обращается. Поэтому уравнение можно представить в виде следующей системы:

{-x — 15 = 0.

{x — 4 ≠ 0.

Выразив икс из каждого условия, можно получить: x = 15; x ≠ 4. Это и есть решение уравнения. Далее полученные значения следует перенести на числовую прямую, обозначив промежутки. Отмеченные точки закрашивать не нужно, так как равенство строгое. Получится три интервала на каждом, из которых необходимо определить знак. Осуществлять подстановку можно как в исходное неравенство, так и в приравненное к нулю.

Из первого интервала можно взять ноль. Подставив его вместо икса, получится деление положительного числа на отрицательное (знак минус). Из второго интервала от четырёх до пятнадцати можно взять число десять. После подстановки получится знак плюс. Аналогично и с третьим интервалом, например, можно взять число 100. В итоге получится знак минус. Тут нужно отметить, что выполнять определение знака нужно на каждом интервале, так как использовать правило знакопостоянства не всегда возможно.

По условию решением уравнения будут числовые значения больше нуля. Этому удовлетворяет интервал от четырёх до пятнадцати. Таким образом, решением неравенства будет: x Є (4; 15). Неравенство решено.

Решение сложного задания

Решение сложных неравенств способом интервалов занимает гораздо меньше времени, чем альтернативными методами. Например, нужно вычислить выражение (x³ — 6x²

+ 11 — 6) / (x⁴ + 9x² — 10) ≥ 0. К этому неравенству нужно применить рассматриваемый метод, поэтому вместо исходного выражения нужно решать уравнение (x³ — 6x² + 11 — 6) / (x⁴ + 9x² — 10) = 0.

Дробь может быть равной нулю лишь в том случае, когда числитель будет равняться нулю, а знаменатель нет. Отсюда следует, что нужно найти корни делителя и делимого. После выполнения ряда преобразований результат должен получиться следующий: (x — 1) * (x — 2) * (x — 3) / (x — 1) * (x + 1) * (x² + 10) = 0.

Анализируя найденное выражение, можно заметить, что в числителе и знаменателе есть одинаковая скобка, поэтому кажется, что на x — 1 можно сократить. Но делать это ни в коем случае нельзя, так как изначально решается неравенство.

Итак, если в равенстве делимое равняется нулю, то это значит, что одна из скобок числителя должна быть нулевой (произведение на ноль даёт ноль). Таким образом, икс может равняться одному, двум или трём. Это и есть совокупность условий для числителя.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, иначе возникнет неопределённость. Возможным корнем в этом случае будет x, отличный от -1 и 1. Следует отметить, что третья скобка в делителе в ноль обратиться не может, поэтому она не учитывается. Для удобства полученные корни можно переписать в таблицу:

Переменная	Знак, возможное значение
x1	= 1
x2	= 2
x3	= 3
x4	≠ -1
x5	≠ 1

Из таблицы полученные значения необходимо перенести на числовую прямую. Так как равенство нестрогое, на оси точки будут как закрашенные (их ещё называют выколотыми), так и белые. Первые — это те, что получились за счёт знаменателя, а вторые — числителя. Затем нужно в каждом из них определить знак. В результате получится:

• (- ∞, -1) — белая точка -;
• (-1, 1) — белая точка +;
• (1, 2) — белая точка +;
• (2, 3) — закрашенная точка -;
• (3, + ∞) — закрашенная точка +.

Таким образом, по условию задания ответ будет иметь следующий вид: X Є (-1; 1) U (1; 2] U [3; + ∞). Квадратные скобки в записи обозначают, что корни уравнения также включаются во множество решения.

Применение онлайн-калькулятора

Алгоритм решения методом интервалов является довольно простым. Чтобы его освоить, нужно самостоятельно решить несколько примеров. Но на практике может случиться так, что исходное выражение будет изначально довольно сложным. Это не значит, что его нельзя решить, применив способ нахождения интервалов, просто понадобится проявить повышенное внимание и затратить определённое время.

При этом ошибки, скорее всего, могут возникнуть не при применении последовательности, а в результате арифметических действий. В таких случаях хорошим подспорьем будет использование так называемых математических онлайн-калькуляторов. Это обыкновенные сайты, на страницах которых расположен скрипт, выполняющий автоматическое вычисление примеров по заданному алгоритму.

Воспользоваться услугами сервисов, предлагающих вычисление неравенств способом интервалов, сможет каждый желающий. При этом доступ к решателю предоставляется не только бесплатно, но и без регистрации. Необходимо просто ввести в специальную форму условие примера и нажать интерактивную кнопку, запускающую автоматическое вычисление. Из множества онлайн-калькуляторов, расположенных в российском сегменте интернета, можно выделить следующие:

1. Kontrolnaya-rabota.
2. Math-solution.
3. Mathforyou.
4. Math34.
5. Matcabi.

Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке. Кроме получения услуги математического онлайн-решателя на их страницах можно найти всю необходимую теорию, помогающую понять, как происходит нахождение ответа, а также изучить различные типы примеров с подробным комментарием к решению.

Такого рода сервисы — отличные помощники учащимся, студентам и инженерам. Что интересно, кроме непосредственного нахождения ответа эти сайты предоставляют возможность посмотреть подробное решение. То есть ими может пользоваться даже неподготовленный пользователь, ничего не понимающий в методе. Просматривая пошаговое решение примеров, со временем он поймёт суть способа и научится самостоятельно выполнять вычисления.

nauka.club

Метод интервалов

 

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

 

1. Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
4. Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
5. Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

В случае с нестрогими неравенствами( ≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

 

Пример 1:

 

Решить неравенство:

(x — 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов.

Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x — 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x — 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Получили два корня.

 

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

 

 

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

Получим:

f(x) = (x — 2)(x + 7)

x = 3

f(3)=(3 — 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

 

Шаг 4:  нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. 

 

 

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x — 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

 

Пример 2:

 

Решить неравенство:

(9x² — 6x + 1)(x — 2) ≥ 0

Решение: 

Для начала необходимо найти корни уравнения 

(9x² — 6x + 1)(x — 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x — 1)²(x — 2) = 0

Отсюда:

x — 2 = 0; (3x — 1)² = 0

Решив эти уравнения получим:

x₁ = 2; x₂ = ; x₃= ;

Нанесем точки на числовую прямую:

Т.к. x₂ и x₃ – кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

Возьмем любое число меньшее самой левой точки   и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

(9*(-1)² — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства ≤.

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ: {} U [2;+∞)

 

Пример 3:

 

Решить неравенство:

(9x² — 6x + 1)(x — 2) > 0

Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

Найдем корни уравнения (9x² — 6x + 1)(x — 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

x₁= 2; x_2,3 =;

Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

Обратите внимание, что корни x₂ и x₃ совпадают, корень “” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

Возьмем число -1.

(9*(-1)² — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства <.

Найденные корни не включаем в ответ.

Ответ: (2;+∞).

ya-znau.ru

Консультация по алгебре (10 класс): Метод интервалов: обучение и контроль

Метод интервалов

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

Разберем алгоритм применения метода интервалов и  все его тонкости. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Итак, нам предстоит рассмотреть следующие вопросы:

• Алгоритм метода интервалов
• На чем основан метод интервалов?
• Как находить нули числителя и знаменателя?
• Как определять знаки на интервалах?
• Как правильно записать ответ?
• Примеры решения неравенств методом интервалов

Алгоритм метода интервалов

Если неравенство имеет  вид  f(x) 0 или f(x) ≤ 0 или f(x) ≥0), то его удобно решать методом интервалов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−7)·(x+7) ≤ 0 или  

(x+4)·(x2−x+1)·(x+2)3 ≥ 0   или    > 0 или    ≤ 0  и т. д.

Перейдем к алгоритму решения неравенств подобного  вида методом интервалов, а затем рассмотрим примеры его применения к решению неравенств. Итак, алгоритм  метода интервалов:

1. Сначала находят нули каждого множителя, а если в левой части неравенства – дробь, то находят нули числителя и нули знаменателя. (Нули числителя и знаменателя – это значения переменной, при которых числитель и знаменатель становятся равными нулю ). Для этого каждый множитель левой части  (числитель и знаменатель)  приравнивают к нулю, и решают  полученные уравнения. 

*Примечание. Важно понимать, что нулями каждого множителя левой части (нулями числителя и знаменателя) могут быть любые числа, среди которых может отсутствовать  число 0.

2. На  числовую прямую наносят точки, соответствующие найденным в пункте 1) нулям.  (Не обязательно соблюдать  единичные отрезки, достаточно   придерживаться известного правила:  точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой).  После этого определяют, как их  надо изобразить: темными или светлыми (выколотыми). При решении строгого неравенства (со знаком ) все точки изображаются светлыми (выколотыми). При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, изображаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные  точки –  темными. Все отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.
3. Определяют знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными  знаками.
4. Наконец, при решении неравенства со знаком или ≥   –  над промежутками, отмеченными знаком «+». В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

На чем основан метод интервалов?

В основе метода интервалов лежит следующее свойство непрерывной функции: если на интервале  (a, b) функция f(х) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞). Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, с помощью свойств числовых неравенств  с  учетом правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби обычно не возникает никаких проблем. Выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. При необходимости выполняют  разложение на множители числителя и знаменателя.

Рассмотрим пример. Решить неравенство:  ≤ 0

 Решение.

Преобразуем левую часть неравенства. Для этого разложим на множители

 

х2 + 5х – 6 = 0

D = 52 – 4 ∙ 1 ∙ (– 6) = 25 + 24 = 49

х1 =  =  – 6

х2 =  =  1

Применяя формулу ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), получим:  х2 + 5х – 6 = (х + 6)(х – 1). Кроме того, по формуле разности квадратов  = (х – 5)(х + 5). Неравенство примет вид:

 ≤ 0, после сокращения на х – 5 окончательно получаем: ≤ 0

Нули числителя и знаменателя:

(х – 5)2 = 0                         х + 6 = 0        х – 1 = 0         х + 5 = 0

(х – 5)(х – 5) = 0                х = – 6           х = 1               х  = – 5

х = 5 или х = 5

При решении уравнения (х – 5)2 = 0 получились два одинаковых корня, равных 5. В таких случаях говорят: «Кратность корня 5 равна двум». Как  влияет такая ситуация на решение неравенства рассмотрим на следующем этапе. А пока нанесем полученные числа на числовую  прямую слева направо в порядке возрастания: -6, -5, 1. 5. Точки, соответствующие числам  -6, -5, 1, — выколотые, т.к. они обращают знаменатель в ноль, а на ноль делить нельзя. Точка с координатой 5 будет темной, т.к. при х=5 числитель обратится  в ноль, а поскольку  мы решаем нестрогое неравенство, то такое значение допустимо.

Как определять знаки на интервалах?

Знаки левой части неравенства на каждом интервале можно определять двумя способами. Самый надежный способ состоит в  следующем. Из каждого интервала выбирают произвольное число  и вычисляют значение  левой части неравенства. Знак полученного результата – это и есть знак левой части на выбранном интервале. Вернемся к неравенству. Найденные числа разбили числовую прямую на интервалы (–∞; – 6), (– 6;. – 5), (– 5; 1), (1; 5), (5; +∞). Определим знак дроби    на каждом интервале.

Из интервала (–∞; – 6) выберем число  – 7. Подставим его вместо х и определим знак результата:

 = . Получаем отрицательное число. Значит, на интервале (–∞; – 6) знак дроби «–».

Из интервала (– 6; – 5) выберем число – 5,5. Снова определим знак:

=. Очевидно, в ответе получится положительное число. Поэтому на интервале (– 6; – 5) знак дроби «+».

Из интервала (– 5; 1) выберем число 0.    =  . Результат отрицателен. На интервале  (– 5; 1) знак дроби «–».

Из интервала (1; 5) выберем число 2,   = . На  интервале (1; 5) знак дроби «+».

Из интервала (5; +∞) выберем число 6, =. На  интервале (5; +∞) знак дроби «+».

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя (или знаменателя) знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. Кстати, если выражение в левой части неравенства имеет вид   , то на крайнем правом промежутке будет знак плюс. В данном примере знак будет меняться при переходе через нули знаменателя, т. е. при переходе через  – 6, – 5, и 1, т.к. каждый множитель в знаменателе имеет первую (нечетную) степень. При переходе через точку 5, являющуюся нулем числителя, знак меняться не будет, т. к. выражение в числителе имеет четную степень. В этом мы смогли убедиться, определяя знак дроби выше.

Как правильно записать ответ?

Неравенство    ≤ 0, которое мы привели к виду ≤ 0, содержит знак ≤ , поэтому в ответ будут записаны интервалы, на которых дробь отрицательна, т.е. (–∞; – 6), (– 5; 1). Кроме того, при х=5 (изолированная точка) неравенство верно и поэтому число 5 – одно из решений неравенства. Однако, это значение может быть потеряно в связи с тем, что расположено между двумя интервалами, не входящими в ответ. Подводя итоги, записываем

ответ:   (–∞; – 6) ⋃ (– 5; 1) ⋃  .

Пример 2

Решите  неравенство   > 0.

Решение:

найдем нули числителя и знаменателя.

 х – 5 = 0             х + 1 = 0

х = 5                    х =  – 1

Точки, соответствующие нулям числителя и знаменателя, изображаем выколотыми (светлыми) в силу того, что неравенство строгое. Полученные  числа разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Определим знак дроби   на каждом из этих промежутков.  На промежутках (−∞, −1) и (5, +∞) дробь   положительна, а на интервале (−1, 5) отрицательна. В ответ записываем промежутки со знаком плюс.

Ответ: (−∞, −1) ⋃ (5, +∞).

Пример 3

Решите  неравенство    . Так как при решении квадратного уравнения  х2 – х + 4 = 0 дискриминант отрицателен, то нулей числителя нет, а нулем знаменателя является число −3. (числитель этой дроби положителен при любом х, т. к. парабола у = х2 – х + 4, ветви которой направлены вверх,  не пересекает ось абсцисс). Число −3 делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Очевидно, что справа от  – 3 знак будет положительным, а слева от – 3 – отрицательным. Так как неравенство имеет знак , то в ответ записываем промежуток со знаком +. Ответ: (−3, +∞).

Примеры решения неравенств методом интервалов

1. Решить неравенство (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0.

1)	Первый шаг решения уже выполнен: левая часть неравенства полностью разложена на линейные множители.
2)	Находим (устно) корни линейных множителей и наносим их на числовую ось.  Три корня x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2 разбивают числовую ось на четыре промежутка: (–∞ ; –1), (–1; 1), (1; 2), (2; +∞ ). Возьмем один из множителей, например, x – 1. Линейная функция y = x – 1 меняет свой знак при переходе через корень x = 1. Если рассматриваемый промежуток этого корня не содержит, то функция сохраняет постоянный знак на этом промежутке. Это объясняет, почему произведение линейных функций y = (x + 1)(x – 1)(x – 2) сохраняет постоянный знак на каждом промежутке, не содержащем корней ни одного из множителей.
3)	Определяем знаки. Это можно сделать по-разному. Проще всего начать справа. При x > 2 (то есть правее самого большого корня) все множители положительны. Следовательно, все произведение положительно. При переходе справа налево через один корень ровно один множитель будет менять знак. Следовательно, знаки будут чередоваться. Надпишем их над промежутками.
4)	Запишем ответ, выбрав промежутки, соответствующие решаемому неравенству. Ответ: (–1; 1) ∪ (2; +∞).

2. Решить неравенство: 

1)	Начинаем с преобразования левой части: Меняем знак  неравенства:   Обратите внимание на то, что полезно так изменить знаки, чтобы коэффициенты при x в линейных множителях стали положительными.
2)	Наносим нули числителя и знаменателя  на числовую ось,  отмечая их темными или светлыми точками. 5 корней разбили ось на 6 промежутков.
3)	Отмечаем знаки справа налево.
4)	Прежде чем выписывать ответ, заметим, что мы решаем нестрогое неравенство, поэтому корни числителя надо включать в ответ, а корни знаменателя нет. Ответ: (–∞; –3) ∪  [–2; 0] ∪  [2; 3).

3. Решить неравенство 

1)	Находим корни квадратного трехчлена  2×2 + x – 3 = 0,  x1 = 1, x2 = – . Записываем неравенство (освободившись от положительного множителя 2): В этом примере есть новый момент – в числителе среди линейных множителей  появились одинаковые.
2)	Наносим нули числителя и знаменателя на числовую ось.
3)	Начинаем двигаться справа налево, однако нельзя автоматически менять знак при переходе через корень. Дело в том, что если некоторое число является корнем нескольких одинаковых множителей, то знак поменяется или нет в зависимости от того, нечетно или четно число этих множителей (ведь каждый из них должен поменять знак). В нашем примере число x = 1 является корнем двух множителей (и при переходе через него знак не изменится), а число x = –2 – корень трех множителей (знак изменится). Расставляем знаки.
4)	Записываем ответ. Обратите внимание, что в него войдет изолированная точка  x = 1. Ответ:    ,

4. Решить неравенство        .

1)	Чтобы привести его к стандартному рациональному неравенству, надо перенести число 1 из правой части в левую и преобразовать. Не пытайтесь освободиться от знаменателя!
2)	Наносим нули числителя и знаменателя на прямую.
3)	Расставляем знаки.
4)	Записываем ответ. Ответ: (–∞ ; –2) ∪ (2; 3).

Тренировочные  задания (не для проверки)

Решите неравенства, применяя метод интервалов:

8.  

Критерии оценивания

На оценку «5» нужно решить 13 неравенств без ошибок

На оценку «4» нужно решить 11 неравенств без ошибок

На оценку «3» нужно решить 7 неравенств без ошибок

nsportal.ru

Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Учащиеся сельских школ не имеют возможности обучаться в специализированных классах или в классах с углубленным изучением математики, поэтому с детьми, которым нравится математика, мы более глубоко изучаем темы, не вошедшие в обязательную программу, но знания которых позволяют им успешно справиться с заданиями ЕГЭ и тем самым без проблем поступить в ВУЗы и продолжить образование. Одной из таких тем является “Решение иррациональных уравнений и неравенств”. Если решение иррациональных уравнений в некоторых школьных учебниках рассматривается, то решение иррациональных неравенств нет. Я хочу предложить вам разработку урока по теме “Решение иррациональных неравенств методом интервалов”, который я проводила для учащихся 9–10-х классов.

Для изучения выбрала этот метод, т.к. при его использовании повторяется решение иррациональных уравнений.

ХОД УРОКА

I. Приветствие учителя, обоснование темы и цели урока.

Тема, с которой я вас хочу познакомить, поможет при сдаче ЕГЭ и непременно понадобится вам для продолжения образования. А в том, что вы захотите его продолжить, я ничуть не сомневаюсь. Надеюсь, что наше сотрудничество будет полезным и для вас и для меня.

Я желаю вам успехов в сегодняшней работе и хочу привести вам слова великого Микеланджело: “Если бы люди знали, как много я тружусь, чтобы добиться мастерства, они перестали бы считать меня таким уж талантливым”. Слайд  1.

Действительно, только упорный труд приводит нас к успеху. Мне бы очень хотелось, чтобы на сегодняшнем уроке вы это почувствовали. Кто из вас сейчас может с уверенностью сказать: “Я знаю все досконально и могу без труда решать иррациональные неравенства методом интервалов?” Пожалуй, никто. Я, например, готовясь к сегодняшнему уроку, еще много нового открыла для себя, и хочу этим поделиться с вами.

Открываем тетради, записываем дату и тему урока. Слайд  2.

Тема: Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Цель урока:

1. Усвоить алгоритм решения иррациональных неравенств методом интервалов.
2. Научиться решать иррациональные неравенства с применением алгоритма. Слайд  3

II. Итак, перейдем к реализации нашей цели:

Вспомним определение иррационального неравенства: Слайд  4.

Иррациональным называют неравенства, в которых переменные входят под знак корня.

Совместная работа учителя и учащихся при разборе решения иррациональных неравенств методом интервалов.

Решим неравенства: Слайд  5

1)

2)

3)

Разберем решение неравенств: Слайды 6–9.

1. равносильно

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию и найдем область определения

— область определения

Шаг 2. Вычислим нули функции

— нуль функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нуль функции принадлежащий области определения. Получается два промежутка: [5;6) и (6;+). Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток, на котором

Ответ:

2. равносильно

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию , найдем область определения

— область определения

Шаг 2. Вычислим нули функции

— нуль функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нуль функции, принадлежащий области определения. Получаем два промежутка [-7;2) и (2;+). Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток на котором .

Ответ:

3.

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию , найдем область определения

и область определения.

Шаг 2. Вычислим нули функции

-1; 1; 2 – нули функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нули функции, принадлежащие области определения, получается два промежутка (-;-1] и [2;+). Определяем знак функции на каждом промежутке и выписываем промежуток на котором

Ответ: и

III. Итак, мы рассмотрели с вами решение трех неравенств. Вы проследили порядок выполнения заданий. Какие вопросы появились по ходу объяснения? Если нет вопросов, то попробуйте сами сформулировать алгоритм решения иррационального неравенства методом интервала. (учащиеся сами формулируют этапы решения иррационального неравенства). Затем на экран проецируется алгоритм, и, учащиеся проговаривают этапы решения, особое внимание уделяется третьему этапу.

Алгоритм решения иррациональных неравенств. Слайд 10

1. Рассмотрим иррациональную функцию; найдем область определения функции.
2. Вычислим нули функции.
3. На координатной прямой:

• отметим нули функции, принадлежащие области определения;
• определим знак функции на каждом промежутке;
• с учетом знака неравенства выпишем ответ.

Сейчас мы перейдем к очень ответственному моменту, вы будете самостоятельно решать задания с применением приведенного алгоритма. Я предлагаю вам двигаться в своем собственном темпе.

(Во время самостоятельной работы проходит по рядам и смотрит, как ребята справляются с заданиями, выделяет для себя группу контроля. Если возникает необходимость дает незначительные консультации на местах)

IV. Задания для самостоятельной работы: Слайд 11

1.

2.

3.

V. Затем на экран проецируется пошаговая проверка. За каждый правильный шаг, учащиеся ставят себе плюс. Каждое задание оценивается отдельно.

Проверяем: Слайд 12

1 неравенство:

1 шаг

2 шаг

3 шаг

2 неравенство

1 шаг и

2 шаг

3 шаг

3 неравенство

1 шаг

2 шаг и

3 шаг

На экран проецируем критерии оценки. Слайд 13

• 5 баллов
– задание выполнено полностью и верно.
• 4 балла
– задание верно выполнено на первом и втором шаге. Допущена ошибка в вычислениях на третьем шаге.
• 3 балла
— задание верно выполнено на первом шаге, вычислительная ошибка на втором шаге.
• В остальных случаях – 2 балла.

VI. Затем каждый ученик получает лист самоконтроля, на котором дано полное решение всех трех неравенств, и с его помощью, устраняет ошибки, допущенные в своей работе.

VII. Подводятся итоги урока и дается задание на дом с ответами. Cлайд 14

1. Ответ

2. Ответ

3. Ответ

urok.1sept.ru

Урок по теме «Решение неравенств методом интервалов»

Метод интервалов – один из наиболее часто используемых методов решения неравенств с одной переменной.

В курсе алгебры и начал анализа рассматривается следующее свойство непрерывных функций:

Если на интервале (а; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

На этом свойстве непрерывных функций основан метод интервалов.

Пусть функция f непрерывна на промежутке X и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству этими точками промежуток Х разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак.

Это утверждение можно проиллюстрировать следующим образом.

Пусть дан график некоторой функции . На числовой прямой отметим область определения функции, нули функции, точки разрыва, и тогда видно, что на каждом из полученных промежутков области определения функция имеет определенный знак.

Точки a, c, k, l, m изображают нули функции, и если неравенство нестрогое (), то точки закрашиваем и эти значения переменной включаем в ответ. На рисунке показано, что в точках b, d, e, а также на интервале функция не существует, поэтому указанные точки изображаются как “выколотые”. Следует обратить внимание, что знаки на промежутках не всегда чередуются.

Делаем вывод, что при решении неравенства методом интервалов в правой части неравенства нужно получить нуль (“+”, “–” – это сравнение значений функции с нулем, определение ее знака), а левая часть неравенства должна быть по возможности разложена на множители наименьшей степени.

Из вышесказанного можно составить алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Пусть дано неравенство (

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область ее определения
3. Найдем нули функции.
4. На числовой прямой отметим область определения, нули функции и точки разрыва функции, входящие в область ее определения. Обозначим интервалы, на которые отмеченные точки делят
5. Методом “пробных точек” (или следуя известным алгоритмам) определим знак функции на каждом из полученных интервалов.
6. Запишем ответ.

Учащимся можно сказать, что при решении несложных неравенств подробно этапы решения обычно не описывают, но при решении более сложных неравенств подробная запись этапов необходима, так как позволяет избежать многих ошибок.

Пример 1. Решить неравенства:

а)

б)

в)

Решение. Для приведенных выше неравенств подробная запись решения не обязательна. Покажем, например, решение последнего неравенства.

в) Неравенство равносильно следующему неравенству:

Следует обратить внимание учащихся, что не всегда знак на крайнем правом промежутке будет “+”, а также на то, что знаки функции на промежутках не всегда чередуются. Можно доказать следующее утверждение: если каждый линейный множитель в левой части неравенства стоит в нечетной (в том числе и первой) степени, то знаки чередуются. Если же какой-то из множителей стоит в четной степени, то при переходе функции через точку, которая обращает в нуль этот множитель, знак функции изменяться не будет.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Разложив квадратный трехчлен в левой части неравенства на множители, получим:

Заметим, что множитель находится в неравенстве в четной степени, и поэтому при переходе через точку знак функции не изменился.

Может оказаться, что не все рациональные множители степени выше первой раскладываются на линейные множители, или встречаются множители, не являющиеся рациональными. Если некоторое выражение в нуль не обращается, то при всех допустимых значениях переменной оно будет либо положительным, либо отрицательным, то есть нужно выяснить, какой именно знак имеет этот множитель и затем учитывать его при определении знаков функции на промежутках.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Так как его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, то данный квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения при любых значениях переменной х. С учетом этого результата решим данное неравенство методом интервалов:

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Так как при всех R, то Кроме того, , поэтому , значит, значение выражения отрицательно при любом R. Решая неравенство методом интервалов с учетом знаков выражений (“+”) и (“–”) получаем:

Ответ:

В более сложных случаях, чтобы избежать ошибок, желательно подробно записывать решение неравенства по тому алгоритму, который был рассмотрен выше.

Пример 5. Решить неравенство .

Решение:

1) Рассмотрим функцию

2) Найдем Получаем:

3) Найдём нули функции: откуда находим и Заметим, что нулём функции не является, так как не входит в

4) Отмечаем нули функции на её области определения и методом пробных точек на каждом из полученных промежутков определяем знак функции.

Ответ:

Методом интервалов можно решать и более сложные неравенства, встречающиеся во второй части ЕГЭ.

Пример 6. Решить неравенство

Решение:

1) Перепишем неравенство в следующем виде:

Рассмотрим функцию

2) Найдем

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем:

3) Найдем нули функции:

– нуль функции.

4)

Точка входит в , но нулем функции не является (функция в ней положительна).

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство

Решение:

1) Рассмотрим функцию .

2) Найдем

3) Найдем нули функции:

Ответ:

Можно применять метод интервалов и к решению неравенств с двумя переменными.

Пример 8. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение. Разложив левую часть неравенства на множители, получим:

(1)

По аналогии с тем, как мы отмечали нули функции на числовой прямой, построим в декартовой системе координат линии и , которые разбивают координатную плоскость на области. В каждой из полученных областей берём “пробную” точку с координатами и, подставляя ее координаты в неравенство (1), определяем его истинность. Например, подставляя координаты точки A(3;4), получим: – верно.

Подобно тому, как точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет постоянным свой знак, так и построенные линии разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых левая часть неравенства будет сохранять свой знак. Закрасим эти части плоскости. Множеством решений неравенства будут являться все пары чисел , которые являются координатами точек закрашенной части плоскости, включая точки границы (так как неравенство строгое).

Пример 9. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение. Построим графики уравнений и в одной системе координат. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 4, графиком второго уравнения – гипербола

Методом пробных точек определяем, что множеством решений неравенства будут являться все пары чисел , которые являются координатами точек заштрихованной части плоскости, не включая точки границы (так как заданное неравенство является строгим.

urok.1sept.ru

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Метод интервалов — это универсальный способ решения практически любых  неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры.  Он основан на следующих свойствах функций:

1. Непрерывная функция  g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически  это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что  ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):

 Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x)  меняет знак.

2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя — простейший пример хорошо известная функция  :

Мы видим, что функция  меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.

2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя.  Например, функция y=x² не меняет знак  в точке х=0:

Т.к. уравнение x² =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.

Функция меняет знак в нуле числителя, , но не меняет знак в нуле знаменателя: , так как корень  — корень второй кратности, то есть четной кратности:

 

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет. 

Обратите внимание! Любое нелинейное  неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный алгоритм решения неравенств методом  интервалов, следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств.

1. Для начала необходимо привести неравенство к виду

Р(х)V0,

где   V-  знак неравенства: <,>,≤ или ≥. Для этого необходимо:

а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,

б) найти корни получившегося выражения,

в) разложить левую часть неравенства на множители

г) одинаковые множители записать в виде степени.

Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней — если в результате получится множитель в четной степени,  значит, соответствующий корень имеет четную кратность.

2. Нанести найденные корни на числовую ось.

3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем «пустыми», если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.

4. Выделяем корни четной кратности — в них Р(х) знак не меняет.

5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х₀, которое больше большего корня и подставляем в Р(х).

Если P(x₀)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак «+».

Если P(x₀)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак «-«.

6. Далее двигаемся  влево по числовой прямой и расставляем знаки: при переходе через точку, обозначающую корень нечетной кратности происходит смена знака.

При переходе через точку, обозначающую корень четной кратности знак НЕ МЕНЯЕТСЯ.

7. Еще раз смотрим на знак исходного неравенства,  и выделяем промежутки нужного нам знака.

8. Внимание! Если наше неравенство НЕСТРОГОЕ, то условие равенства нулю проверяем отдельно.

9. Записываем ответ.

Если исходное неравенство  содержит неизвестное в знаменателе, то также переносим все слагаемых влево, и приводим левую часть неравенства к виду

   

(где   V-  знак неравенства: < или >)

Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству

   

НЕстрогое неравенство  вида

   

равносильно системе:

   

На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:

1. Находим корни числителя и знаменателя.
2. Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
3. Далее следуем общему алгоритму:
4. Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
5. Выясняем знак на самом правом промежутке.
6. Расставляем знаки.
7. В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
8. Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
9. Записываем ответ.

Чтобы лучше понять алгоритм решения  неравенств методом интервалов, посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов.

ege-ok.ru

Решение рациональных неравенств методом интервалов «Начни сначала»

Метод решения неравенств с одной переменной (Метод интервалов) основан на свойстве непрерывных функций.

Приложение 1

1. Свойство:

Если на интервале (a; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция F сохраняет постоянный знак.

Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.

2. Стандартные предпосылки для решения неравенств.

1) При переходе через “0” – функция меняет знак;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) Стандартный вид

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Универсальность метода интервалов заложена уже в его содержании. Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

Иллюстрацию изменения знаков функции будем осуществлять с помощью координатной прямой.

Общий алгоритм:

1). Стандартный вид

(x-a)(x-b)(x+c) v 0

2). Вводим функцию

f(x)=(x-a)(x-b)(x+c)
D(f)

3). Нули функции

f(x)=0; ; ; ;

Ответ.

Новизна:

Чтобы ускорить процедуру расстановки знаков функции на промежутках предлагаем приводить начальное неравенство к стандартному виду, тогда знак A функции ставим, начиная с правого крайнего промежутка.

Если множитель в четной степени, то знак функции слева и справа от данного нуля функции будет одинаковым. Поэтому, чтобы не менять алгоритм решения будем подрисовывать “ушко” и проставлять знаки так же справа налево, учитывая “ушко”.

Обозначения:

- нестандартный вид.

Пример 1. решить неравенство.

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:

f(x)=(x-2)(x-4)
D(f)=R

2) Нули функции:

f(x)=0 x=2; x=4.

3)

Пример 2. решить неравенство.

Разделили левую и правую часть на выражение

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:

F(x)=
D(f):R

2). Нули функции: x=3, x=7, x=-5.

Пример 3: решить неравенство.

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:F(x)=, D(f):R

2) Нули функции:

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:

f(x)=

Нельзя сократить на выражение (х+5), т.к. оно может равняться нулю.

– общая степень (х+5) – четная.

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:

f(x)=

2) Нули функции:

х =1

Неравенство содержит арифметический квадратный корень в числителе.

Пример 6: решить неравенство.

;

Далее решаем по алгоритму:

1) Вводим функцию:

f(x)=
D(f):

2). Нули функции:

х=3, х=-3, х=5

 

Далее решаем по алгоритму:

Неравенство содержит арифметический квадратный корень в знаменателе.

Пример 8: решить неравенство.

Далее решаем по алгоритму:

1). Вводим функцию:

urok.1sept.ru