Метод интервалов

Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. С его помощью можно решить неравенства самого разного вида. Рассмотрим алгоритм метода интервалов, а затем перейдем к примерам решения неравенств этим методом.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Прежде чем применить метод интервалов для решении неравенства, необходимо все дроби привести к наименьшему общему знаменателю и все слагаемые перенести в левую часть, чтобы справа остался нуль. Для начала рассмотрим алгоритм решения неравенств вида

   

1. Приравниваем к нулю левую часть:

   

(Таким образом мы находим нули функции

   

а также ее область определения).

2.Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

   

   

3. Полученные точки отмечаем на числовой прямой с учетом области определения функции. Точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых рассматриваемая функция имеет определенный знак. Выбираем любое число из любого промежутка (удобнее всего брать нуль, если он не входит в отмеченные точки), и подставляем это число в последнее неравенство (то есть в упрощенное неравенство, в котором все слагаемые стоят в левой части и дроби приведены к наименьшему общему знаменателю). В результате определяем знак на выбранном промежутке. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.

4. «Петля»

1)Если есть кратный корень четной степени, то в нем — «петля»:

   

2)Если дискриминант равен нулю, то в соответствующем корне x=-b/2a — «петля».

3) Если один и тот же корень встречается четное число раз, то в нем — «петля»:

   

так как корень x2 встречается четное количество раз (два раза).

5. Выбираем промежутки с нужным знаком: если в неравенстве знак > или ≥, берем промежутки с «+»; если < или ≤ — с «-«. Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, всегда выколотые.  В остальных случаях запомнить, выколотая точка или закрашенная, можно с помощью ассоциации.

Замечание

Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение:

   

(Знаки в «петлях» — «виртуальные». В этих точках функция обращается нуль либо не определена. «Петля» служит только для сохранения  порядка чередования знаков).

Далее рассмотрим различные примеры решения неравенств с помощью этого метода.

9 класс Решение неравенств методом интервалов

Применение метода интервалов для решения неравенств

урок алгебры в 9 классе

План применения метода интервалов

!

• Разложить многочлен на простые множители;
• Найти корни (нули функции) многочлена;
• Изобразить их на числовой прямой;
• Разбить числовую прямую на интервалы;
• Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства;
• Выбрать промежутки нужного знака;
• Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства).

Суть метода

Пусть функция задана формулой вида

у

+

+

х

0

—

—

В каждом промежутке знак функции сохраняется

При переходе через нуль знак функции меняется

?

?

?

Решить неравенство

—

+

+

—

?

0

3

5

-6

2

-5

4

Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное выражение сравниваются с нулем

Во вторую очередь, раскладывают на множители: многочлен или числитель и знаменатель дробного выражения

Канонический вид неравенства – это произведение (частное) различных двучленов и « нераскладываемых» многочленов , в которых старший коэффициент положительный

Если неравенство приведено к каноническому виду , то на крайнем правом промежутке знак «+».

Знак неравенства «нестрогий» : на числовой прямой корни многочлена или числителя — закрашенные кружки .

Корни знаменателя для «строгих» и «нестрогих» неравенств — «пустые» кружки.

Надо штриховать промежутки .

Штриховка соответствует знаку неравенства

При записи ответа внимательно отнеситесь к закрашенным точкам числовой прямой. Это решения неравенства.

Дробное неравенство – НЕ ПРОПОРЦИЯ , поэтому отбрасывать знаменатель нельзя

Решить неравенство

Решение.

–

–

+

+

x

0

4

— 1

Ответ: ( — 1; 0)  (4;+ ∞ )

Решить неравенство х 3 – 3х 2 – х + 3  0 .

Решение .

+

+

–

–

x

1

— 1

3

Ответ: ( — ∞ ; — 1 ]  [1 ; 3]

Решение рациональных неравенств

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов:

1. Приве сти данное неравенство к виду

2. Разложить числитель и знаменатель

дроби на линейные множители;

3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый множитель равен нулю и разделить числовую ось на промежутки;

4. Выколоть те точки, которые не являются решением неравенства;

5. Выяснить знаки промежутков;

6. Выбрать ответ.

Решить неравенство

Решение .

–

–

+

+

х

4

0

-3

Ответ: [-3;0)  [4;+ ∞ )

Решить неравенство

Решение.

+

+

х

–

6,25

1

Ответ: (1 ; 6,25)

!

Самостоятельная работа

Вариант 1.

Вариант 2.

№ 1. Решите методом интервалов неравенства:

а)

а)

б)

б)

№ 2. Найдите область определения функции:

!

Проверь своё решение

Вариант 1.

Вариант 2.

№ 1. Решите методом интервалов неравенства:

а)

а)

+

–

+

+

+

–

x

-3

2,5

x

-4

0,4

Ответ:

Ответ:

Проверь своё решение

Вариант 1.

Вариант 2.

№ 1. Решите методом интервалов неравенства:

б)

б)

+

–

–

+

+

+

x

x

-3/2

-2/3

1/2

1/3

Ответ:

Ответ:

Проверь своё решение

Вариант 1.

Вариант 2.

№ 2. Найдите область определения функции:

Решение.

Решение.

+

–

+

–

+

+

x

x

0

0

7

6

Ответ:

Ответ:

Оценка самостоятельной работы

За каждый верно выполненный пример – поставьте 1 балл.

!

0 баллов – плохо, «2».

1 балл – удовлетворительно, «3».

2 балла – хорошо, «4».

3 балла – отлично, «5».

Самостоятельная работа

Решите неравенства:

Уровень А

Уровень В

1.

1.

2.

2.

Найдите область определения функции

3.

3.

Если «нераскладываемый» многочлен положительный при всех значениях переменных, то его опускают в неравенстве.

0 при любых х , то перейдем к равносильному неравенству – + + – х 3 4/7 — 2 Ответ: ( — ∞ ; — 2 )  ( 4/7 ;3 ) . «

Решить неравенство

Решение.

Так как х 2 + 2 0 при любых х , то перейдем к равносильному

неравенству

–

+

+

–

х

3

4/7

— 2

Ответ: ( — ∞ ; — 2 )  ( 4/7 ;3 ) .

Ученик № 199 (а,б)

1

Решим неравенство

Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что — х 0 корень многочлена кратности k .

!

1) Данный многочлен имеет корни:

x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1;

x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5.

2) Нанесем эти корни на числовую ось.

Н

М

М

Н

М

–

–

–

–

+

+

3) Определим знак многочлена на каждом интервале.

4) Запишем ответ:

5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности.

Учебник № 199(в,г)

Решите неравенство

1 вариант:

2 вариант:

Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.

Проверь своё решение

Вариант 1.

Ответ:

Вариант 2.

Ответ:

Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

1

При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак

( знак многочлена не меняется ).

2

При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки

( знак многочлена изменяется ).

• При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки ( знак многочлена изменяется ).

3

Если корни нечетной кратности , то знаки на промежутках чередуются при переходе через корень.

Если корни четной кратности , то знаки сохраняются при переходе через корень.

Решим неравенство

1) Найдем область определения неравенства:

откуда

2) Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому, умножив неравенство на квадрат знаменателя:

3) Находим корни многочлена и определяем их кратность:

х =1 (четная кратность), корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетная кратность).

М

М

Н

М

М

М

–

–

–

+

+

–

+

-2

3

-1

1

0

5

x

4) Определим знак многочлена при х = 10, и расставим остальные знаки с учетом кратности корней.

5) Запишем ответ:

Решить неравенство

Решение .

• Найдем корни числителя : (х + 2) 4 (х – 5) = 0,

х 1 = — 2 (кратность 4) , х 2 = 5 .

Найдем корни знаменателя: (х – 1) 3 = 0, х 1 = 1 (кратность 3)

2) Неравенство имеет

канонический вид

3) Отметим корни на числовой прямой и построим кривую знаков.

5

1

-2

+

+

+

х

–

Ответ: (1;5]  {- 2}

Решить неравенство

Решение.

• Найдем корни числителя : (3х + 2) 5 (х + 5) = 0,

х 1 = — 2/3 (кратность 5) , х 2 = — 5 .

Найдем корни знаменателя: (х + 3) 6 = 0,

х 1 = — 3 (кратность 6) .

2) Неравенство имеет

канонический вид

3) Отметим корни на числовой прямой и построим кривую знаков.

— 3

— 2/3

— 5

+

+

х

–

–

Ответ: [- 5; — 3)  (- 3;- 2/3]

0 при любых х ( D то перейдем к равносильному неравенству (x + 4) (x 2 – 4x +16 ) (x – 4) 4  0 3) Отметим корни на числовой прямой и построим кривую знаков. + + х – 4 — 4 Ответ: ( — ∞ ; — 4 ]  { 4 } . «

Решить неравенство (x 3 + 64)(x – 4) 4  0 .

Решение .

1) Найдем корни выражения, стоящего в левой части неравенства:

(х 3 + 64)(x – 4) 4 = 0, (x + 4)(х 2 – 4x +16)(x – 4) 4 = 0,

х 1 = — 4, х 2 = 4 (кратность 4) .

2) Запишем неравенство в виде (x + 4) (x 2 – 4x +16) (x – 4) 4  0

Так как х 2 – 4x +16 0 при

любых х ( D

то перейдем к равносильному

неравенству

(x + 4)

(x 2 – 4x +16 )

(x – 4) 4

 0

3) Отметим корни на

числовой прямой и

построим кривую знаков.

+

+

х

–

4

— 4

Ответ: ( — ∞ ; — 4 ]  { 4 } .

В дробном неравенстве «совпадающие» множители в числителе и знаменателе переносятся в знаменатель

Решить неравенство

Решение .

1) Найдем корни числителя : (х 2 + 2х – 3)(х 2 – 16) = 0,

(х 2 + 2х – 3) (х + 4)(х – 4) = 0, х 1 = — 4, х 2 = — 3, х 3 = 1, х 4 = 4 .

Найдем корни знаменателя: (х 2 – 1)(х 2 – 9) = 0,

(х + 1)(х – 1)(х + 3)(х – 3) = 0, х 1 = — 3, х 2 = — 1, х 3 = 1, х 4 = 3 .

(х – 4)

(х – 1)

(х + 3)

2) Неравенство запишется в виде

(х + 4)

 0

(х +3) 2

(х – 1) 2

(х + 1)

(х – 1)

В числителе и знаменателе

(х – 3)

(х + 3)

есть одинаковые множители

Неравенство перепишем в виде

3) Отметим корни на числовой прямой и построим кривую знаков.

4

3

1

— 3

— 1

+

+

+

+

х

–

–

–

— 4

Ответ: ( — ∞ ; — 4 ]  (- 1 ; 1)  (1 ; 3)  [4;+ ∞ )

Домашнее задание.

Практикум 7

!

Уровень А: № 130, 131

Уровень В: №132(1-7), 133(1-5), 134

Уровень С: № 132(8-14, 133(6-10), 135, 136)

Рефлексия.

!

1.Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты.

2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным?

3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно?

4. Перечислите основные трудности, которые вы испытывали во время урока. Как вы их преодолевали?

Использованные источники

• Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2009.

2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 – (В помощь школьному учителю).

3. Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru

4. Изображение кота http://s39.radikal.ru/i084/1008/34/683cd4886d3f.jpg

Решение неравенств методом интервалов

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Стоговка

Урок алгебры в 9 классе

Решение неравенств методом интервалов

Учитель математики

Терентьева С.В.

2015 – 2016 учебный год

Тема урока: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

Цели урока:

• образовательная: расширить знания учащихся по теме «Решение неравенств с одной переменной»; познакомить учащихся с новым методом решения неравенств методом интервалов; начать формирование навыков и умений решать неравенства методом интервалов;

• воспитательная: воспитание познавательной активности, формирование творческого подхода к решению поставленной задачи, интереса к познавательному поиску;

• развивающая: развитие логического мышления, внимания, познавательного интереса к предмету.

Оборудование: учебник, тетрадь, проектор, компьютер.

Тип урока: урок изучения новых знаний.

Форма проведения: комбинированный.

Методы обучения: словесный, беседа.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Цель: обеспечение нормальной обстановки для работы, психологическая подготовка учащихся к предстоящему уроку.

II. Проверка домашнего задания.

Цель: выяснить, какие затруднения возникли у учащихся при выполнении домашнего задания, дать краткий комментарий.

Метод: фронтальная беседа.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Откройте тетради с домашней работой и проверьте ответы (слайд 2), если у вас получился другой ответ — зачеркните его простым карандашом.

-Поднимите руку у кого возникли затруднения при выполнении домашней работы

-Поднимите руку, у кого все номера выполнены верно

-Поднимите руку, кто допустил одну ошибку

-Закройте тетради и передайте мне.

Проверяют ответы

Поднимают руку, выясняют причину затруднения

Поднимают руку

Поднимают руку

Сдают тетради

III. Подготовительный этап

Цель: актуализировать и систематизировать знания учащихся по теме

«Решение неравенств второй степени».

Метод: фронтальный опрос.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Открываем тетради, записываем число, оставьте место для темы урока. Мы запишем её позже.

-Давайте с вами вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке.

слайд 3

-Правильно, поэтому я предлагаю вам решить следующие неравенства, устно проговаривая алгоритм решения.

слайд 4

Решить неравенства:

А) x²-7x+12>0

Цель задания: вспомнить алгоритм решения квадратичного неравенства

— Что мы делаем на первом шаге?

-Что можно сказать про эту функцию?

-Правильно, следующий шаг?

-Как можно решить данное уравнение?

-Проговори, пожалуйста, решение.

-Молодец, что мы делаем на третьем шаге

-Точки будут закрашенные или выколотые и почему?

-Дальше что делам?

-Промежутки с какими знаками запишем в ответ и почему?

-Числа 3 и 4 включаем или нет?

-Правильно, молодец, продиктуй ответ.

-У кого есть вопросы по решению данного неравенства?

-Следующее неравенство

слайд 5

Б) (x-5)(x+6)0

Цель задания: подготовить учащихся к изучению новой темы – вспомнить разложение квадратного трехчлена на множители

-Как можно решить данное неравенство?

— Правильно, решаем, продиктуйте что получится

-Записываем квадратичную функцию

y= x²+x-30,

—Что про неё можно сказать, <имя>?

-Ребята, обратите внимание на подчеркнутые выражения, что мы с вами получили?

— Значит, что можно сразу найти?

-Записываем квадратное уравнение и его корни

x²+x-30=0

^{x₁=5, x₂=-6}

-Дорешайте самостоятельно это неравенство

— какой ответ получили?

— Кто получил другой ответ, поднимите руки

— Давайте проверим (на слайде появляется решение неравенства)

Учащиеся открывают тетради, записывают число

-решали квадратичные неравенства

-записывают решение неравенств в тетрадях, устно проговаривая алгоритм решения

-Рассматриваем квадратичную функцию

y= x²-7x+12

-её графиком является квадратичная парабола, ветви которой направлены вверх

-Решаем квадратное уравнение

x²-7x+12=0

-По теореме Виета-

— Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы

-выколотые, потому что знак неравенства строгий

+ — +

3 4 Х

— Расставляем знаки на промежутках

— Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак >

-Нет, потому что знак неравенства строгий

-Ответ:

(задают, если есть, вопросы)

(ученики выдвигают гипотезы)

-если мы раскроем скобки, то получим квадратное неравенство и решим его, аналогично предыдущему примеру.

(x-5)(x+6)= x²-5x+6x-30= x²+x-30

— её графиком является квадратичная парабола, ветви которой направлены вверх

— Разложение квадратного трехчлена на множители

-Корни квадратного уравнения

записывают решение неравенства в тетради

зачитывают свой ответ

(поднимают руки, если получили ответ)

IV. Изучение нового материала

Цель: сформулировать алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Метод: словесный.

Форма организации: учитель работает у доски, учащиеся у себя в тетрадях.

— Продолжим выполнять задание.

(Учитель открывает третье задание).

слайд 6

(х-2)(х-3)(х-4)>0

Цель задания: создать проблемную ситуация, тем самым показать актуальность изучения новой темы

— Ребята, можем мы с вами решить данное неравенство?

-Почему?

-Данное неравенство можно решить с помощью метода, который называется методом интервалов.

-Сформулируйте тему нашего урока

— И что сегодня на уроке мы с вами должны сделать?

— Запишите в тетрадях тему урока.

слайд 7

-Для того чтобы решить данное неравенство, мы с вами, как и в предыдущих случаях, должны решить соответствующее уравнение

слайд 8

1.(х-2)(х-3)(х-4)=0

-Как решается данное уравнение?

2. x-2=0 или x-3=0 или x-4=0

x=2 или x=3 или x=4

3. Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки

X

4. Чертим таблицу, где указываем знак каждого множителя выражения на рассматриваемых промежутках. Для этого из каждого промежутка берем произвольное число, и подставляем в множитель. Знак полученного числа заносим в таблицу

(-;2)

(2;3)

(3;4)

(4;+)

x-2

x-3

x-4

—

—

—

+

—

—

+

+

—

+

+

+

5.Далее на числовой оси расставляем знаки многочлена

6. Так как знак неравенства >, то выбираем промежутки со знаком +, если бы был знак неравенства <, то мы бы взяли промежутки со знаком -.

Ответом будет объединение этих промежутков

Ответ: (2;3)(4;+)

-С помощью данного метода можно решить неравенство любой степени, в том числе и второй, которые мы с вами решали с помощью схематического построения параболы.

— Сейчас я раздам вам памятки, которые вы вклеите в свои тетрадки.

В этой памятке приведен алгоритм решения неравенств с помощью метода интервалов в общем виде.

-Давайте с вами прочитаем этот алгоритм

Слайд 9

ИПЫТЫВАЮТ ЗАТРУДНЕНИЯ

-нет

-Потому что это неравенство третей степени, а мы умеем решать только линейные и квадратичные.

— Тема нашего урока: «Решение неравенств методом интервалов»

-Научится решать неравенства с помощью метода интервалов.

записывают тему урока

-произведение множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0.

-выколотые, потому что знак неравенства строгий

записывают решение неравенства в тетради

читают алгоритм

V.Первичное закрепление.

Цель: начать формирование умений и навыков решать неравенства методом интервалов.

Форма организации: на протяжении всего этапа учащиеся работают совместно с учителем.

— Теперь согласно этому алгоритму давайте с вами решим следующий номер.

Откройте учебники на стр. 91, №325

-записываем неравенство под буквой а

А)(x+8)(x-5)>0

Цель задания: показать способ решения квадратичного неравенства с помощью метода интервалов

-Чему равны корни?

-Отмечаем, при этом точки какие?

-Дальше

-Для того, чтобы определить знак всего выражения, что мы с начала должны сделать?

— Чертим таблицу знаков.

-продиктуй знаки в таблице

— А теперь знаки самого выражения на промежутках

— Согласно алгоритму, что на следующем шаге мы должны сделать?

— С каким знаком мы будем выбирать промежутки и почему?

-Продиктуй ответ

У кого есть вопросы?

Резервное задание

-Решите самостоятельно под буквой г

слайд 11

после решения проверяют

№326(б,в), №330(а,б)

открывают учебники

записывают неравенство

x1=-8 ,x2=5

Отметить на числовой прямой корни

выколотые

— 3.Определить знак выражения на каждом из получившихся промежутков

— Определить знак каждого множителя каждом из промежутков

чертят таблицу знаков

диктует знаки

Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком

-промежутки со знаком +, потому что знак неравенства >0

—

решают самостоятельно, задают вопросы, если в этом есть необходимость

VI. Подведение итогов урока

Цель: подвести итоги урока.

Метод: фронтальный опрос

-С каким новым методом решения неравенств мы сегодня познакомились?

-Какова была цель сегодняшнего урока?

-Как вы думаете, мы достигли поставленной цели?

-Неравенства какой степени мы теперь можем решать?

-Сегодня на уроке хорошо работали <перечисляет имена>

-с методом интервалов

-научится решать неравенства с помощью метода интервалов

-да

-Любой

VII. Домашнее задание

Цель: сообщение домашнего задания, разъяснение методики его выполнения.

-Откройте дневники и запишите задания на дом:

слайд 12

п.15, № 325 (б,в), № 326 (а,г), № 330 (б,г)

-Откройте учебники и просмотрите эти номера.

(комментирует домашнее задание)

Учащиеся записывают домашнее задание и задают, вопросы

Алгоритм решения неравенств
методом интервалов

Пусть требуется решить неравенство

а(х — х₁) (х — х₂)(х – х₃)…(x — x_n) < 0, где х₁ < х₂ < х₃ < … < x_n

1. Найти корни уравнения

а(х — х₁) (х — х₂)(х – х₃)…(x — x_n) = 0

2. Отметить на числовой прямой корни х₁, х₂, х₃ ,… , x_n

3. Определить знак выражения

а(х — х₁) (х — х₂)(х – х₃)…(x — x_n)

на каждом из получившихся промежутков.

4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим

знаку неравенства знаком .

Урок «Решение неравенств методом интервалов»

План открытого учебного занятия

Учебная дисциплина « математика»

Тема: «Метод интервалов решения неравенств».

Вид занятия: смешанный урок ( беседа « мозговой штурм»+исследовательский)

Цели урока:

обучающие:

— Повторить решение рациональных неравенств методом интервалов;

— Обобщить метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств;

— Закрепить полученные знания при решении практических задач

— Применить полученные знания в новой ситуации.

развивающие:

— развитие алгоритмического и логического мышления

— развитие вычислительных навыков

— развитие познавательного интереса и самостоятельной умственной активности студентов

воспитывающие:

— воспитание познавательного интереса к предмету путем введения информационных технологий обучения

— воспитание самостоятельности при решении учебных задач

Задачи урока:

1. проверить домашнее задание с помощью программы «Синтез»;

2. повторить алгоритм решения неравенств методом интервалов;

3. выполнить самостоятельную работу с помощью программы «Синтез» по решению неравенств.

4. организация творческой деятельности

5. формирование и развитие определенных личностных качеств ребенка

6. формирование положительного климата в коллективе

Тип учебного занятия: Комбинированное занятие, организация творческой деятельности.

Классификационные параметры технологии:

По уровню применения – общепедагогическая.

По философской основе – диалектическая.

По характеру содержания – обучающая..

По организационным формам – классно-урочная.

По подходу к ребенку – технология сотрудничества.

По преобладающему методу – проблемная.

По направлению обучения – активизация.

По категории обучаемых – для студентов колледжа.

Концепции технологии

Личностный подход педагогики сотрудничества.

Успех – главное условие развития студентов в обучении.

Комфортность в группе: доброжелательность, взаимопомощь; студент у которого что-то не получается, не чувствует себя ущербно, не стесняется отвечать, не боится ошибиться.

Предупреждение ошибок, а не работа над ними.

Последовательность, системность содержания учебного материала.

Дифференциация, доступность заданий для каждого.

К полной самостоятельности – постепенно.

Через знающего студента учить незнающего.

Формы организации учебной деятельности: урок-практикум.

По завершении урока студент должен:

• уметь применять алгоритм решения неравенств методом интервалов;

• уметь находить решение неравенства и записывать ответ.

Оборудование:

Методическое обеспечение:

1. Раздаточный материал: Таблица решения неравенств методом декомпозиции.

2. Презентация, подготовленная преподавателем, для проверки и закрепления ранее изученного материала.

3. Материал, подготовленный студентами для презентации Проекта.

Литература:

«Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.

Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Дрофа, 2002.

В. А. Далингер /Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике/. Просвещение, 1991.

Я. И. Груденов /Совершенствование работы учителя математики/.Просвещение. 1990.

А. Я. Симонов и др. /Система тренировочных задач и упражнений по математике/. Просвещение, 1991.

В. А. Васильева и др. /Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы/. Москва, изд. МАИ, 1992.

А. И. Ершова, В. В. Голобородько /Алгебра, 7 – 11. Cамостоятельные и контрольные работы/. Москва, Илекса, 2007.

С. М. Никольский /Алгебра и начала анализа, 10/, Просвещение, 2006.

Ход учебного занятия

План учебного занятия

По завершении урока учащийся должен:

• уметь применять алгоритм решения неравенств методом интервалов;

• уметь находить решение неравенства и записывать ответ.

Тип учебного занятия

Комбинированное занятие, организация творческой деятельности.

Этапы урока

Формы

Методы

Содержание деятельности

Цели этапа

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

Репродуктивная

Конструктивная

Творческая

1 Проверка домашнего задания, постановка цели урока.

Устная, индивидуальная

Словесный, частично поисковый

Формулирует вопросы

Отвечают на вопросы с помощью системы « Синтез»

Анализируют ответы

Осознают новые перспективные цели

Проверить и систематизировать ранее полученные знания

2. Подготовка студентов к восприятию нового учебного материала, т. е. актуализация знаний, практических и умственных умений.

Устная, коллективная

Словесный,

Частично поисковый

Предлагает задания для опроса

Анализируют методы решения, систематизируют метод решения дробно-рациональных неравенств

Осознают новые перспективные цели

— систематизировать знания;

-развивать осознания: необходимости выполнения заданного алгоритма;

— формулировать свои мысли и четко их излагать.

3. Изучение нового материала, в том числе и объяснение

Устная, коллективная

Наглядный, частично поисковый, элементы исследовательского.

Представляет группу, организация дискуссии между студентами

Восприятие и частичное осмысление нового материала.

Представляют проект,

студенты задают вопросы выступающим, выступающие формулируют ответы

Изучить метод декомпозиции,

Развивать умение:

— формулировать свои мысли;

— представлять результаты проектной работы;

— оппонировать, защищать свою точку зрения.

4. Закрепление изученного материала на данном занятии и ранее пройденного, связанного с новым

Индивидуальная

Практический, проблемное изложение

Консультирует

Выполняют самостоятельную работу по методу «Синтез»

— научиться применять старые знания в новой ситуации

— развивать познавательный интерес, используя элементы информационных технологий

5. Обобщение и систематизация знаний и умений, связь новых с ранее полученными и сформированными

Устная коллективная

Словесный, частично-поисковый

Осуществляет наблюдение за объективностью оценивания

Оценивают представленный проект по методу Дембо – Рубинштейна

Установить связь между ранее известными и вновь приобретенными знаниями,

Обобщение результатов деятельности группы студентов подготовивших проект

6. Подведение итогов и результатов занятия

Устная, коллективная

Словесный

Формулирует вопросы студентам и подводит итоги

Оценивают конечный результат урока.

Обобщение результатов деятельности каждого студента и группы в целом.

7. Задание на дом

Индивидуальная

Практический, частично-поисковый

Консультирует

Записывают

Закрепить полученные знания

Ход урока

1. Организационный момент.

– Здравствуйте! Сегодня мы принимаем гостей, это своего рода праздник. Настроение у каждого должно быть праздничным.

Математика – это стройное, красивое здание, по этажам которого вы шагаете с первого класса. Сегодня вы сделаете очередной шаг. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг.

Однажды я прочла высказывание «Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».

– Что в вашем понимании значит думать? (Анализировать, сравнивать, размышлять, делать выводы).

– К чему приводит мощь человеческого разума? (Делать открытия).

– Пусть эти слова будут эпитетом к нашему уроку.

Сейчас я предлагаю вам вспомнить, что мы делали на предыдущем занятии.

Из всего выше сказанного сформулируйте тему урока

— Решение неравенств методом интервалов

Давайте вместе вспомним пройденный материал. И начнем с проверки домашнего задания. Активизируйте пульты.

Проверим домашнее задание

/3х-24/≤3

Ответ: [7;9]

(х-7)(х+4)/(х-5)² >0

Ответ: (-∞;-4)(7;+∞)

(х-7)(х+4)/(х-5)² ≥0

Ответ: (-∞;-4][7;+∞)

/3-Х/≤/7+5Х/

Ответ: (-∞;-2,5]u[7/5;3)U(3;+∞)

/5х-3/≥7

Ответ: (-∞;-0,8]u[2;+∞)

2. Как вы думаете, что нам необходимо для того, чтобы перейти к новому материалу?

-Повторить пройденный материал.

На экране выведен алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Схема решения:

1. Найти область определения функции f(x) ;

2. Найти нули функции f(x) ;

3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;

4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;

5. Записать ответ.

Предлагаю вам поработать устно. Внимание на экран

Работа с приложением №1.

Учитель: 1слайд

Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Ответ: 7; -9; 5.

Учитель: 2 слайд

Назовите выколотые и не выколотые точки

Ответ: выколотые- -8;-1;15, не выколотых нет

Ответ: выколотые- 15, не выколотые — -8;-1.

Учитель: Мы повторили алгоритм решения неравенств методом интервалов, выполнили устную работу по нахождению значений, при которых числитель и знаменатель обращается в нуль, а теперь используя данные знания, решите в тетрадях неравенство которое вы видите на этом слайде:

3 слайд

При каких значениях х имеет смысл выражение

Ответ: (-∞;-3]U[7;8).

2. Т.к. многие из вас после окончания колледжа будут поступать в ВУЗы то вам придется сдавать ЕГЭ, в части С предлагаются логарифмические неравенства, которые имеют очень сложное решение. С группой студентов мы провели проектную деятельность по теме « Решение неравенств методом декомпозиции», которая покажет, как просто можно решать неравенства такого типа. Мы представляем на ваше рассмотрение этот метод. Мы работаем над проектом «Оптимальные способы решения неравенств». Скажите, какие разделы туда уже вошли. (слайд). Сегодня мы рассмотрим раздел «Решение логарифмических неравенств методом декомпозиции».

3. Как вы думаете, что теперь нужно сделать?

-Закрепить новый материал

Самостоятельная работа в системе «Синтез»

Решить неравенство:

(х-5)(х+4)/(8-х)≥0

Ответ: (-∞;4]u[5;8)

Log_(3х+4) (5-х)>0

Ответ: (1;4)

Log_(5х+6) (3х+8)>1

Ответ: (-1;1)

Введите ответы с помощью пультов.

Правильные ответы.

5Теперь необходимо оценить увиденный вами проект. У вас было достаточно времени, чтобы осознать услышанное. Возьмите оценочные листы и заполните их.

Оценка работы

Оценка защиты

Фамилия, имя студента

Актуальность и новизна предлагаемых решений, сложность темы

Объем разработок и кол предлаг-х решений

Уровень самостоят-ти

Качество оформляемых плакатов и др.

Качество доклада

Проявление глубины знаний по излагаемой теме

Итоговая оценка (балл): отлично — … баллов; хорошо — … баллов; удовл, — … баллов; неуд, — менее … баллов

Баллы

Давайте обсудим часть проекта Оптимальные способы решения неравенств. Метод декомпозиций.

6. Итог урока. Преподаватель подводит итог урока и оценки студентам.

7.Давайте подведем итог занятия.

Вернитесь к таблице которую мы заполняли в начале урока и заполните последние два столбца: Я узнал, ?

Мы можем сделать вывод, что ____________( При решении логарифмических неравенств мы приходим к ранее изученному методу решения неравенств методом интервалов)

Нам это важно т. к. _____________________( Необходимо для сдачи ЕГЕ при поступлении в ВУЗ)

7.Домашняя работа в системе «Синтез».

Log_(5х²_-19) (10х-19)>1

Log_(2х²_-5) (х-3)>0

Log_/х/ (х-5)>0

Log_(х²_-4) (-4х-16)>1

Log_(х+5) (х-7)>0

Log_/х/ (х+7)>0

(-∞;1)U(4;+∞)

(2;+∞)

(-∞;-7)U(1;+∞)

(-∞;-4)U(6;+∞)

(-√5;√5)

Кому принадлежит эта фраза.

Всем спасибо до свидания.

Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство:

Чтобы решить такое неравенство, нужно рассмотреть функцию, решив ее, получим:

Задача сводится к нахождению промежутков знакопостоянства. Для этого необходимо найти нули функции:

Решением системы будет:

Можно ли использовать такой приём при наличии большего количества множителей? Хоть внешний вид графика нам будет неизвестен, но нули такой функции найти не трудно.

Найдём нули функции. Отметим их на оси икс:

Они разбили числовую прямую на части. Как же разобраться со знаком функции на каждом промежутке. В правой части формулы, задающей функцию, записано произведение линейных множителей:

Если вспомним график линейной функции, то станет понятно, что каждый линейный множитель меняет знак в своём нуле с + на — или наоборот, с минуса на плюс. Причём остальные множители свой знак менять не будут. Если изменится знак одного множителя в произведении, то и знак всего произведения тоже изменится.

Свойство:

В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.

Этим свойством и пользуются при решении неравенств, такой приём называют методом интервалов.

Пример.

Решить неравенство:

Преобразуем:

Знак неравенства поменялся, так как неравенство умножили на отрицательное число.

Рассмотрим соответствующую функцию и найдём её нули:

Вернёмся к неравенству. Его знак: строго меньше нуля. Значит, все точки изображённые на числовой прямой, являются выколотыми, ведь не допускается равенство нулю.

Эти значения разбили область определения на промежутки:

Для того чтобы определим знак этой функции нужно в функцию подставить значение из этого промежутка.

Решением неравенства будет:

Пример.

Решить неравенство:

Приведём левую часть неравенства к виду:

Рассмотрим соответствующую функцию и найдём её нули:

Отметим их на числовой прямой:

Область определения разбили на промежутки. Определили знаки функции. Вернёмся к неравенству, так как его знак ≥0. Допускается равенство нулю, поэтому точки будут закрашенными.

Решением данного неравенства будет:

Пример.

Решить неравенство:

Так как знак этой дроби совпадает со знаком ее произведения, перейдем к решению неравенства:

Найдем нули функции:

Отметим их на числовой прямой:

Решение данного неравенства:

Пример.

Решить неравенство:

Перейдём к произведению:

Найдём нули функции:

Определим их:

Решением данного неравенства будет:

Пример.

Решить неравенство:

Преобразуем неравенство:

Найдем нули функции и отметим их на числовой прямой:

Если нуль функции имеет чётную кратность, то при переходе через этот нуль функция сохраняет знак. Если же нуль функции имеет нечётную кратность, то при переходе через этот нуль функция меняет знак.

Решением данного неравенства будет:

Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов

14.2. Квадратные неравенства (метод интервалов).

Здесь уже сложнее, но если вы знаете, что такое метод интервалов, то это не составит труда. Если же нет, то внимание:

Первое, что вы должны сделать, это разложить на множители, то есть преобразить ваше выражение так, чтобы получились скобочки, проще говоря. Это можно сделать тремя способами: вынос за скобку общего множителя, применить формулы сокращенного умножения или разложить квадратный трёхчлен. Звучит страшно? Давайте разбираться:

Пример 1.

Что здесь можно сделать? Правильно, вынести за скобки.

А что дальше? Дальше давайте рассуждать, что можно подставить вместо икса, чтобы выражение стало равным нулю?

Вместо этого поставить 0 Вместо этого 7

(Ноль умножаем на скобку (В скобках 7-7 будет равно 0)

и всё выражение равно 0)

Далее отмечаем эти точки на координатном луче. Давайте вспомним, почему точки не закрашены? Верно, так как неравенство строгое (строго больше 0). Далее отмечаем три интервала (красные линии).

После этого берем любую точку из любого интервала (берите самые простые), например число 1 из среднего интервала (между 0 и 7). Подставляем мысленно эту единицу в наше неравенство:

1 (7 — 1) = 6 число положительное, значит ставим знак плюс в данном интервале. Остальные знаки чередуем.

Какой же ответ? Смотрим на наше неравенство нам нужен ответ, который будет больше 0. Это интервал посередине с красным плюсом.

Ответ: х Ꞓ (0,7)

Пример 2.  

Можно ли здесь что-то вынести за скобку? Пожалуй, нет. Значит, это всеми «любимая» формула разности квадратов , похоже на наш случай? Я думаю, да, итак:

Вот и образовались скобочки, которые нам так были нужны. Что подставить вместо икса, чтобы скобочки превратились в 0?

Вместо этого 1 Вместо этого -1

Отмечаем на координатном луче:

Берем из среднего интервала самое простое число, а именно, 0. Подставляем в неравенство: = -1 , число отрицательное, значит ставим знак минус в данном интервале. Остальные знаки чередуем.

Смотрим на наше неравенство нам нужен ответ, который будет больше 0. Это интервалы слева и справа с плюсами.

Ответ: х Ꞓ (-∞; -1) (1; + ∞)

Пример 3.  

Здесь, как вы видите, уже не вынос за скобки и не формула. Что делать, вы знаете.

Приравниваем к 0 и находим корни по т. Виетта.

= 0

Опять же, раскладываем на скобки, применяя формулу: a(x-)(x-)

(x — 6)(x + 8) <0

Расставляем корни на координатную прямую.

Берем самое просто число из интервала (-8;6), а именно, ноль. Подставляем:

(0-6)(0+8) = -48 число отрицательное, значит ставим знак минус в данном интервале. Остальные знаки чередуем.

Смотрим на наше неравенство нам нужен ответ, который будет меньше 0. Это интервал посередине.

Ответ: х Ꞓ (-8 ; 6 )

План-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме: Решение неравенств методом интервалов

9 класс

Шушпанова Ирина Владимировна

Тема урока: Решение неравенств методом интервалов.

Цели урока: 1) организовать работу по восприятию, осмыслению и первичному закреплению решение неравенств методом интервалов;

2) способствовать формированию навыка решения и оформления неравенств методом интервалов;

3) воспитывать познавательную активность, способствовать развитию логического мышления, математической и общей грамотности.

Оборудование: ноутбук, проектор, раздаточный материал с текстами самостоятельных работ, схемы -алгоритмы решения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Структура урока: 

1. Организационный этап.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Первичное закрепление.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный этап (2 мин.)

Приветствие. Выявление отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний (10 мин.)

Сегодня мы начнем урок с математического диктанта. Положите перед собой тетради для математических диктантов. Учащиеся отвечают на поставленные вопросы на специальных листочках.

Математический диктант.

1 вариант.

1. Зависимость переменной у от переменной х называется …

2. Все значения независимой переменной образуют…

3. Неравенство вида > или

4. В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства?

5. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

2 вариант.

1. Функция вида  называется…

2. Все значения зависимой переменной образуют…

3. Неравенство вида > или

4. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?

5. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?

Диктант окончен.

        После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся  выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл). Преподаватель выставляет оценки в журнал по желанию учащихся.

3. Изучение нового материала (15 мин.)

Вы уже знаете два вида неравенства: линейное и квадратное. Для каждого из них существует свой способ решения. В старших классах вы познакомитесь ещё с несколькими видами неравенств, такими как тригонометрические неравенства, показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные. Каждое из этих неравенств тоже будет иметь свой способ решения. Но сегодня на уроке я познакомлю вас с универсальным способом решения неравенств, который называется метод интервалов. С его помощью вы сможете решить любое неравенство. Даже если вы забудете способ, которым решается то или иное неравенство, то  всегда сможете воспользоваться методом интервалов.

        Открываем рабочие тетради. Записываем число, тему урока: «Решение неравенств методом интервалов». Решение неравенства мы будем производить по алгоритму, который записан на доске. Учащиеся записывают алгоритм в свои тетради под диктовку преподавателя.

        Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:

         Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если хо — ноль (корень) функции, либо хо- точка разрыва.

    Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f).  Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Алгоритм.

1. Обозначить функцию, стоящую в левой части неравенства, через f(x).
2. Записать ОДЗ.
3. Найти нули функции.
4. Отметить ОДЗ на числовой прямой, а на ОДЗ найденные нули функции.
5. Определить знаки f(x) в каждом промежутке.
6. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

    Этот алгоритм справедлив только для непрерывных на отрезке функций, поэтому при решении неравенства методом интервалов мы должны это обязательно учитывать. Сейчас мы с вами запишем образец оформления решения неравенства.

Пример 1.

Решите неравенство:   

f(x) =

Поскольку функция f(x) =  непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ:

Нули функции: f(x) = 0

 = 0                                —           +                 —          +

х = — 6 или х = — 1  или х = 4                               — 6          — 1           4                х

                                                                       

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство:  > 0

f(x) =

Поскольку функция f(x) =  непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ: ,

Нули функции: f(x) = 0

 = 0                                                +           —          +

х – 4 = 0, х = 4                                                      — 5          4           х

                                                                

Ответ: .

4. Первичное закрепление (10 мин.)

        Как сказал великий математик Нивен  «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому сейчас вы самостоятельно с помощью алгоритма и разобранных примеров решите неравенство:

а)  

f (x) =

Поскольку функция f(x) =  непрерывна в каждой точке своей области определения, то данное неравенство можно решить методом интервалов.

ОДЗ:

Нули функции: f(x) = 0

 = 0                                         +                 —                  +

х = 14 или х = — 10                                               — 10                  14                х

                                                                       

Ответ: .

б)  > 0

f (x) =

Поскольку функция f(x) =  непрерывна в каждой точке своей области

 определения, то данное неравенство можно решить методом интервалов.

ОДЗ:

Нули функции: f(x) = 0

 = 0                                         +                 —                  +

D = 4 + 12 = 16                                                       — 1                  3                           х

х1 = — 1,  х2 = 3                                                             

Ответ: .

 

 Решить № 138 (в,г).

   №133 трое учащихся решают на доске, остальные- в тетрадях

   №136 (в,г),  141 (в)

5. Подведение итогов урока (2 мин.)

        До сегодняшнего урока вы умели решать квадратичные неравенства только одним способом, сегодня вы познакомились с методом интервалов. Какой из этих способов вам предпочтительнее для решения квадратичных неравенств?

        В дальнейшем каждый из вас будет решать неравенства тем способом, который ему больше нравится.

6. Подготовка к ГИА.

Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2013.

Вариант 16

№ 9

Упростите выражение ( )  и найдите его значение при а=1, b= -0,5. В ответе запишите полученное число.

Решение:

Вариант 15

№16

Найдите наибольшее значение ч, удовлетворяющее системе неравенств

     

     3х+12≤0,

     х+7≥1.                                 //////////////////////////////

     

                       х≤-4,                      \\\\\\\\\\\\-6\\\\\\\\\\\\\\\-4                  х

    х ≥ -6;

Наибольшим значением из промежутка [-6; -4] является число -4. Ответ: -4

7. Информация о домашнем задании (1 мин.)

        Выучить алгоритм и обязательную фразу наизусть.