, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

1. Поменяйте местами два уравнения.
2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки в другую означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются операциями с элементарной строкой матрицы.

1. Поменять местами два ряда.
2. Умножьте одну строку на ненулевое число.
3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце. Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

Далее вычтите строку 1 из строки 3. Результат:

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками являются сделано за один шаг. Результат

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

Теперь вычтите умножение строки 3 из строки 1, а затем прибавьте умножение строки 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Матрица, как говорят, находится в форме ряда строк (и будет называться матрицей ряда , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
3. Каждый ведущий находится справа от всех ведущих в строках над ним.

Матрица-эшелон строка называется сокращенной строкой-эшелоном (и будет называться сокращенной матрицей-строкой , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие идут «вниз и вправо» через матрицу. Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что гауссовский алгоритм является рекурсивным: когда получен первый ведущий, процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что решение примера 1.1.3 не использовало гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица —

Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
2. Если возникает строка, система несовместима.
3. В противном случае назначьте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные, как и раньше, назначаются как параметры. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

Рейтинг

Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу эшелонов строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные последовательности операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы эшелонов строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это , правда, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц строка-эшелон (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

Решение:

Приведение к строчной форме

Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Проба:

Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, бесконечно много решений. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
3. Бесконечно много решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

2. Исходя из графика, что можно сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

4. Для следующей линейной системы:

Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, глядя на график?

Многие важные проблемы связаны с линейными неравенствами , а не с линейными уравнениями Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства. Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и являются фиксированными константами.

Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра. Тогда общее решение:,,,. Отсюда, взяв (скажем), получим нетривиальное решение:,,,.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует не ведущая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что есть четыре переменных и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

Проба:

Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают приведенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это. Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, у нее не должно быть больше переменных, чем у уравнений (система имеет нетривиальные решения, но.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

Решение:

Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

Линейные комбинации и базовые решения

Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

Решение:

Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз, как может проверить читатель, нет решения , равно как и , а не , линейная комбинация, и.

Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в примере 1
.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы могли бы выразить это как
, говоря, что общее решение -, где произвольно.

Теперь позвольте и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

, являются решениями. Потом и
.
Следовательно, это тоже решение, потому что

Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

Примечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

Решение:

Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —

, поэтому решения являются,,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и, таким образом, исключить дроби.

По этой причине:

Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

Таким же образом алгоритм Гаусса выдает базовые решения для в каждой однородной системе, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме составляет

, поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры. В матричной форме это

Отсюда базовые решения —

Параметрическая форма

Существует одна возможность для строковой сокращенной формы матрицы, которую мы не видели в разделе 1.2.

Пример (система со свободной переменной)

Рассмотрим линейную систему

E2x + y + 12z = 1x + 2y + 9z = −1.

Решаем с помощью сокращения строк:

Эта сокращенная по строкам матрица соответствует линейной системе

Ex + 5z = 1y + 2z = -1.

В каком смысле решена система? Перепишем как

Ex = 1−5zy = −1−2z.

Для любого значения z существует ровно одно значение x и y, при котором уравнения верны. Но мы можем выбрать для любого значения z.

Мы нашли все решения: это набор всех значений x, y, z, где

Fx = 1−5zy = −1−2zz = zzanyrealnumber.

Это называется параметрической формой для решения линейной системы. Переменная z называется свободной переменной .

Учитывая параметрическую форму решения линейной системы, мы можем получить конкретные решения, заменив свободные переменные любыми конкретными действительными числами. Например, установка z = 0 в последнем примере дает решение (x, y, z) = (1, −1,0), а установка z = 1 дает решение (x, y, z) = (- 4 , −3,1).

Определение

Рассмотрим непротиворечивую систему уравнений относительно переменных x1, x2 ,…, хн. Пусть A — строчная форма расширенной матрицы для этой системы.

Мы говорим, что xi — это свободная переменная , если ее соответствующий столбец в A равен , а не — сводный столбец.

В приведенном выше примере переменная z была свободной, потому что матрица сокращенной формы эшелона строк была

В матрице

свободными переменными являются x2 и x4. (Расширенный столбец не является бесплатным, потому что он не соответствует переменной.)

Рецепт: Параметрическая форма

Параметрическая форма множества решений согласованной системы линейных уравнений получается следующим образом.

1. Запишите систему как расширенную матрицу.
2. Ряд сокращается до ступенчатой ​​формы пониженного ряда.
3. Напишите соответствующую (решенную) систему линейных уравнений.
4. Переместите все свободные переменные в правую часть уравнений.

Перемещение свободных переменных в правую часть уравнений сводится к решению для несвободных переменных (тех, которые идут в сводные столбцы) в терминах свободных переменных. Можно думать о свободных переменных как о независимых переменных , а о несвободных переменных как о зависимых .

Вы можете выбрать любое значение для свободных переменных в (согласованной) линейной системе.

Свободные переменные берутся из столбцов без точек поворота в матрице в виде эшелона строк.

Имеется трех возможностей для сокращенной формы эшелона строк расширенной матрицы линейной системы.

1. Последний столбец — это сводный столбец. В данном случае система несовместима . Есть нулевые решения, т.е.е., набор решений пуст. Например, матрица исходит из линейной системы без решений.
2. Каждый столбец, кроме последнего, является сводным столбцом. В данном случае в системе имеется уникальных решений. Например, матрица говорит нам, что единственное решение (x, y, z) = (a, b, c).
3. Последний столбец не является сводным столбцом, и какой-либо другой столбец также не является сводным столбцом. В этом случае система имеет бесконечно много решений, соответствующих бесконечному числу возможных значений свободной переменной (переменных).Например, в системе, соответствующей матрице любые значения x2 и x4 дают решение системы уравнений.

(PDF) Решение уравнений с параметрами

Б. -С. Илани, Д. Хасидов

Скемп (1987) утверждает, что правила обучения без причины позволяют ученику функционировать только в узких рамках

и иметь дело только со стандартными задачами. Однако такой подход ограничивает понимание учащимися, и они не смогут справиться с более сложными задачами.Понимание позволяет ученику решать

нестандартных задач, которые не могут быть решены механическим применением формул. Fischbein и Muzicant

(2002) указывают, что ученики обучались преимущественно процедурным образом и, следовательно, они часто не различают

концептуального и процедурного знания. Многие ученики затрудняются распознать, что буква представляет собой

числа, и не знают, как работать с символическими значениями (Kieran, 1992, 2014).

Широко признано, что учителям важно осознавать, как их ученики воспринимают математические темы

, в частности, конкретные причины совершения ошибок (Almog & Ilany, 2012).

На начальных курсах студенты привыкают к тому, что x (а позже y и z) являются переменными, а буквы, такие как a, b, c

, являются константами или параметрами. Однако на более продвинутых курсах они сталкиваются с вопросами, в которых буквы

используются по-другому, и они находят это очень запутанным.Например, задачи интеграции, где x фиксировано, а y равно

переменной. Или объемные вопросы, где a, b, c используются в качестве переменных.

Ученики решают в школе бесчисленные упражнения с уравнениями, в которых буква x представляет собой переменную, которая должна быть выражена

буквами a, b, c и т. Д. В этом исследовании испытуемым предлагалось множество уравнений с

нестандартная подача, о чем говорилось выше.

2. Цель

Цели исследования — изучить и выявить трудности старшеклассников и старшеклассников

учителей при решении уравнений с параметрами.Кроме того, выяснить, есть ли существенные различия между

учениками и студентами-учителями в отношении решения таких уравнений. Какие процедуры используются и какие трудности возникают при решении уравнений с параметрами.

3. Вопросы для исследования

1) Как испытуемые решают уравнения с параметрами, в которых они должны выражать различные буквы через

других букв и параметров? В частности, когда уравнения не построены стандартным образом.

2) Есть ли различия между учениками и студентами-учителями в том, как они решают такие уравнения.

И если да, то в чем отличия.

Примеры уравнений, исследованных в статье (нумерация вопросов соответствует нумерации вопросов

анкеты):

• Вопрос 16: Найдите x (через a) в

(довольно стандартное уравнение с переменной x и

параметр a).

• Вопрос 1. Найдите c (в терминах x) в

(менее стандартно, поскольку требуется выразить c в терминах

x).

• Вопрос 9: Найдите b (через x) в

(менее стандартно, так как требуется, чтобы «правильно» переставить уравнение

, а затем выразить b через x).

• Вопрос 21: Следующее уравнение линейно по x, хотя может ошибочно показаться квадратичным уравнением:

в терминах a:

()

2

11 2a xx ax− + = −−

.

Мы называем знания, необходимые для решения простых уравнений, процедурными.Уравнение

с нестандартными презентациями требует более гибкого подхода.

4. Метод

Исследуемая выборка состояла из 115 студентов-учителей математики на третьем и четвертом году обучения и

133 учеников двенадцатых классов с высшим уровнем математики (5-элементный поток математики) в четырех средних школах.

Инструменты. Для исследования был разработан вопросник, который был разослан обеим группам. Часть анкеты

состоит из шести вопросов, которые включают уравнения с параметрами.В этом исследовании сообщается о результатах

двух вопросов уравнений первой степени (вопросы (5) и (21)) и трех вопросов уравнений второй степени

(вопросы 16, 1 и 9). Вопросы перечислены в Таблице 1 и Таблице 3.

Процедура: Чтобы понять процесс решения предметов, были просмотрены пять учеников и шесть студентов-учителей. Вопросы для интервью были разработаны после заполнения и анализа анкеты. Целью

было разъяснение и дальнейшее продвижение результатов анкеты.Кроме того, были проведены открытые наблюдения в

, чтобы внимательно изучить ответы испытуемых.

Метод изменения параметров

Эта страница посвящена дифференциальным уравнениям второго порядка этого типа:

d ² y dx ² + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)

где P (x), Q (x) и f (x) — функции от x.

Два метода

Существует два основных метода решения уравнений, например

d ² y dx ² + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)

Undetermined Coefficients, который работает только тогда, когда f (x) является полиномом, экспонентой, синусом, косинусом или их линейной комбинацией.

Варианты параметров (которые мы узнаем здесь), который работает с широким спектром функций, но немного беспорядочный в использовании.

Изменение параметров

Для простоты рассмотрим только корпус:

d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

Полное решение такого уравнения можно найти сочетая два типа решения:

1. Общее решение однородное уравнение d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
2. Частные решения неоднородное уравнение d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

Обратите внимание, что f (x) может быть одной функцией или суммой двух или более функции.

Как только мы нашли общее решение и все частные решений, то окончательное полное решение находится путем добавления всех решения вместе.

Этот метод основан на интеграции.

Проблема с этим методом заключается в том, что, хотя он может дать решение, в некоторых случаях решение нужно оставить в виде интеграла.

Начните с общего решения

При введении в дифференциальные уравнения второго порядка мы узнаем, как найти общее решение.

В основном мы берем уравнение

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

и свести его к «характеристическому уравнению»:

р ² + пр + д = 0

Это квадратное уравнение, которое имеет три возможных типа решения в зависимости от дискриминанта p ² — 4q . Когда p ² — 4q равно

положительный получаем два действительных корня, и решение равно

y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}

ноль получаем один действительный корень, а решение —

y = Ae ^rx + Bxe ^rx

отрицательный получаем два комплексных корня r ₁ = v + wi и r ₂ = v — wi , и решение равно

y = e ^vx (Ccos (wx) + iDsin (wx))

Фундаментальные решения уравнения

Во всех трех случаях «y» состоит из двух частей:

• y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x} состоит из y ₁ = Ae ^{r ₁ x} и y
  52 = r ₂ x
• y = Ae ^rx + Bxe ^rx состоит из y ₁ = Ae ^rx и y ₂ = Bxe ^rx
• y = e ^vx (Ccos (wx) + iDsin (wx)) состоит из y ₁ = e ^vx Ccos (wx) и y ₂ = e ^vx iDsin (шх)

y ₁ и y ₂ известны как фундаментальные решения уравнения

И y ₁ и y ₂ называются линейно независимый , потому что ни одна из функций не является постоянным кратным разное.

Вронскианец

Когда y ₁ и y ₂ являются двумя фундаментальными решениями однородного уравнения

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

, то вронскиан W (y ₁ , y ₂ ) является определяющим матрицы

Так

W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘

Вронскиан назван в честь польского математика и философ Юзеф Хене-Вронский (1776–1853).

Поскольку y ₁ и y ₂ линейно независимы, значение вронскиана не может равняться нулю.

Особое решение

Используя вронскиан, мы можем теперь найти частное решение дифференциального уравнения

d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)

по формуле:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

Пример 1: Решить

1. Найдите общее решение для d ² y dx ² — 3 dy dx + 2y = 0

Характеристическое уравнение: r ² — 3r + 2 = 0

Фактор: (r — 1) (r — 2) = 0

r = 1 или 2

Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^x + Be ^2x

Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

y ₁ (x) = e ^x

y ₁ ‘(x) = e ^x

y ₂ (x) = e ^2x

y ₂ ‘(x) = 2e ^2x

2.Найдите вронскианца:

W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= 2e ^3x — e ^3x = e ^3x

3. Найдите частное решение по формуле:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

4. Сначала решаем интегралы:

∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫e ^2x dx

= 1 2e ^2x

Итак:

−y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = — (e ^x ) ( 1 2e ^2x ) = — 1 2e ^3x

А также:

∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫e ^x dx

= e ^x

Итак:

y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (e ^2x ) (e ^x ) = e ^3x

Наконец:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= — 1 2e ^3x + e ^3x

= 1 2e ^3x

и полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 3 dy dx + 2y = e ^3x is

y = Ae ^x + Be ^2x + 1 2e ^3x

Что выглядит следующим образом (примеры значений A и B):

Пример 2: Решить

1. Найдите общее решение для

Характеристическое уравнение: r ² — 1 = 0

Фактор: (r — 1) (r + 1) = 0

r = 1 или −1

Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^x + Be ^−x

Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

y ₁ (x) = e ^x

y ₁ ‘(x) = e ^x

y ₂ (x) = e ^−x

y ₂ ‘(x) = −e ^−x

2.Найдите вронскианца:

W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= −e ^x e ^−x — e ^x e ^−x = −2

3. Найдите частное решение по формуле:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

4. Решите интегралы:

∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= — 1 2 ∫ (2x ² −x − 3) e ^−x dx

= — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x + ∫ (4x − 1) e ^−x dx]

= — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x — (4x — 1) e ^−x + ∫4e ^−x dx ]

= — 1 2 [- (2x ² −x − 3) e ^−x — (4x — 1) e ^−x — 4e ^−x ]

= e ^−x 2 [2x ² — x — 3 + 4x −1 + 4]

= e ^−x 2 [2x ² + 3x]

Итак:

−y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (−e ^x ) [ e ^−x 2 ( 2x ² + 3x)] = — 1 2 (2x ² + 3x)

А этот:

∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= — 1 2 ∫ (2x ² −x − 3) e ^x dx

= — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — ∫ (4x − 1) e ^x dx]

= — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — (4x — 1) e ^x + ∫4e ^x dx ]

= — 1 2 [(2x ² −x − 3) e ^x — (4x — 1) e ^x + 4e ^x ]

= −e ^x 2 [2x ² — x — 3 — 4x + 1 + 4]

= −e ^x 2 [2x ² — 5x + 2]

Итак:

y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (e ^−x ) [ −e ^x 2 ( 2x ² — 5x + 2)] = — 1 2 ( 2x ² — 5x + 2)

Наконец:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= — 1 2 (2x ² + 3x) — 1 2 (2x ² — 5x + 2)

= — 1 2 (4x ² — 2x + 2)

= −2x ² + x — 1

и полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — y = 2x ² — x — 3 is

y = Ae ^x + Be ^−x — 2x ² + x — 1

(Это тот же ответ, который мы получили в Примере 1 на странице Метод неопределенных коэффициентов. )

Пример 3: Решить

Характеристическое уравнение: r ² — 6r + 9 = 0

Фактор: (r — 3) (r — 3) = 0

г = 3

Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae ^3x + Bxe ^3x

Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

y ₁ (x) = e ^3x

y ₁ ‘(x) = 3e ^3x

y ₂ (x) = xe ^3x

y ₂ ‘(x) = (3x + 1) e ^3x

2.Найдите вронскианца:

W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘= (3x + 1) e ^3x e ^3x — 3xe ^3x e ^3x = e ^6x

3. Найдите частное решение по формуле:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

4.Решите интегралы:

∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫e ^−3x dx

= — 1 3e ^−3x

Итак:

−y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = — (e ^3x ) (- 1 3e ^−3x ) = 1 3

А этот:

∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

Это не может быть интегрировано, поэтому это пример, когда ответ оставить как интеграл.

Итак:

y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx = (xe ^3x ) (∫e ^−3x x ⁻¹ dx ) = xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

Наконец:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= 1 3 + xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

Итак, полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 6 dy dx + 9y = 1 x равно

y = Ae ^3x + Bxe ^3x + 1 3 + xe ^3x ∫e ^−3x x ⁻¹ dx

Пример 4 (более сложный пример): Решить

В этом примере используются следующие тригонометрические удостоверения

sin ² (θ) + cos ² (θ) = 1

sin⁡ (θ ± φ) = sin (θ) cos (φ) ± cos (θ) sin (φ)

cos⁡ (θ ± φ) = cos (θ) cos (φ) sin (θ) sin (φ)

sin (θ) cos (φ) = 1 2 [sin⁡ (θ + φ) + sin⁡ (θ — φ)]
cos (θ) cos (φ) = 1 2 [cos⁡ (θ — φ) + cos⁡ (θ + φ)]

1. Найдите общее решение для d ² y dx ² -6 dy dx + 13y = 0

Характеристическое уравнение: r ² — 6r + 13 = 0

Используйте квадратное уравнение формула

x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

с a = 1, b = −6 и c = 13

Итак:

r = — (- 6) ± √ [(- 6) ² — 4 (1) (13)] 2 (1)

= 6 ± √ [36−52] 2

= 6 ± √ [−16] 2

= 6 ± 4i 2

= 3 ± 2i

Итак, α = 3 и β = 2

⇒ y = e ^3x [Acos (2x) + iBsin (2x)]

Итак, в данном случае имеем:

y ₁ (x) = e ^3x cos (2x)

y ₁ ‘(x) = e ^3x [3cos (2x) — 2sin (2x)]

y ₂ (x) = e ^3x sin (2x)

y ₂ ‘(x) = e ^3x [3sin (2x) + 2cos (2x)]

2. Найдите вронскианца:

W (y ₁ , y ₂ ) = y ₁ y ₂ ‘- y ₂ y ₁ ‘

= e ^6x cos (2x) [3sin (2x) + 2cos (2x)] — e ^6x sin (2x) [3cos (2x) — 2син (2х)]

= e ^6x [3cos (2x) sin (2x) + 2cos ² (2x) — 3sin (2x) cos (2x) + 2sin ² (2x)]

= 2e ^6x

3. Найдите частное решение по формуле:

y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

4.Решите интегралы:

∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫ e ^3x sin⁡ (2x) [195cos⁡ (4x)] 2e ^6x dx

= 195 2 ∫e ^−3x sin (2x) cos (4x) dx

= 195 4 ∫e ^−3x [sin (6x) — грех (2x)] dx . .. (1)

В этом случае мы еще не выполняем интеграцию по причинам, которые проясняется в мгновение ока.

Другой интеграл:

∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= ∫ e ^3x cos (2x) [195cos (4x)] 2e ^6x dx

= 195 2 ∫e ^−3x cos (2x) cos (4x) dx

= 195 4 ∫e ^−3x [cos (6x) + cos (2x)] dx … (2)

Из уравнений (1) и (2) мы видим, что есть четыре очень похожих интеграций, которые нам необходимо выполнить:

I ₁ = ∫e ^−3x sin (6x) dx
I ₂ = ∫e ^−3x sin (2x) dx
I ₃ = ∫e ^{— 3x} cos (6x) dx
I ₄ = ∫e ^−3x cos (2x) dx

Каждый из них может быть получен путем двукратного использования интеграции по частям, но есть более простой способ:

I ₁ = ∫e ^−3x sin (6x) dx = — 1 6 e ^−3x cos (6x) — 3 6 ∫e ^−3x cos (6x) dx = — 1 6 e ^−3x cos (6x) — 1 2 I ₃

⇒ 2 I ₁ + I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) . .. (3)

I ₂ = ∫e ^−3x sin (2x) dx = — 1 2 e ^−3x cos (2x) — 3 2∫e ^−3x cos (2x) dx = — 1 2e ^−3x cos (2x) — 3 2 I ₄

⇒ 2 I ₂ + 3 I ₄ = — e ^−3x cos (2x) … (4)

I ₃ = ∫e ^−3x cos (6x) dx = 1 6 e ^−3x sin (6x) + 3 6 ∫e ^−3x sin (6x) dx = 1 6 e ^−3x sin (6x) + 1 2 I ₁
⇒ 2 I ₃ — I ₁ = 1 3e ^−3x sin (6x) … (5)
I ₄ = ∫e ^−3x cos (2x) dx = 1 2 e ^−3x sin (2x) + 3 2∫e ^−3x sin (2x) dx = 1 2e ^−3x sin (2x) + 3 2 I ₂

⇒ 2 I ₄ — 3 I ₂ = e ^−3x sin (2x) . .. (6)

Решите уравнения (3) и (5) одновременно:

2 I ₁ + I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) … (3)

2 I ₃ — I ₁ = 1 3e ^−3x sin (6x) … (5)

Умножьте уравнение (5) на 2 и сложите их (член I ₁ нейтрализует):

⇒ 5 I ₃ = — 1 3e ^−3x cos (6x) + 2 3e ^−3x sin (6x)

= 1 3e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)]

⇒ I ₃ = 1 15e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)]

Умножьте уравнение (3) на 2 и вычтите (член I ₃ нейтрализует):

⇒ 5 I ₁ = — 2 3e ^−3x cos (6x) — 1 3e ^−3x sin (6x)

= — 1 3e ^−3x [2cos (6x) + грех (6x)]

⇒ I ₁ = — 1 15e ^−3x [2cos (6x) + грех (6x)]

Решите уравнения (4) и (6) одновременно:

2 I ₂ + 3 I ₄ = — e ^−3x cos (2x). .. (4)

2 I ₄ — 3 I ₂ = e ^−3x sin (2x) … (6)

Умножьте уравнение (4) на 3 и уравнение (6) на 2 и сложите (член I ₂ нейтрализует):

⇒ 13 I ₄ = — 3e ^−3x cos (2x) + 2e ^−3x sin (2x)

= e ^−3x [2sin (2x) — 3 cos (2x)]

⇒ I ₄ = 1 13e ^−3x [2sin (2x) — 3cos (2x)]

Умножьте уравнение (4) на 2 и уравнение (6) на 3 и вычтите (член I ₄ нейтрализует):

⇒ 13 I ₂ = — 2e ^−3x cos (2x) — 3e ^−3x sin (2x)

= — e ^−3x [2cos (2x) + 3 sin (2x)]

⇒ I ₂ = — 1 13e ^−3x [2cos (2x) + 3sin (2x)]

Заменить в (1) и (2):

∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= 195 4∫e ^−3x [sin (6x) — sin (2x)] dx. .. (1)

= 195 4 [– 1 15e ^−3x [2cos (6x) + sin (6x)] — [- 1 13e ^−3x [2cos (2x) + 3sin (2x)]]]

= e ^−3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))]

∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= 195 4 ∫e ^−3x [cos (6x) + cos (2x)] dx… (2)

= 195 4 [ 1 15e ^−3x [2sin (6x) — cos (6x)] + 1 13e ^−3x [2sin (2x) — 3cos (2x)]]

= e ^−3x 4 [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

Итак, y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁ , y ₂ ) dx

= — e ^3x cos (2x) e ^−3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + e ^3x sin (2x) e ^−3x 4 [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

= — 1 4cos (2x) [−13 (2cos (6x) — sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + 1 4 sin⁡ (2x) [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2 sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

= 1 4 [26cos (2x) cos (6x) + 13cos (2x) sin (6x) — 30cos ² (2x) — 45cos (2x) sin (2x) + 26sin (2x) sin (6x) — 13sin (2x) cos (6x) + 30sin ² (2x) — 45sin (2x) cos (2x)]

= 1 4 [26 [cos (2x) cos (6x) + sin (2x) sin (6x)] + 13 [cos (2x) sin (6x) — sin (2x) cos (6x)] — 30 [cos ² (2x) — sin ² (2x)] — 45 [cos (2x) sin (2x) + sin (2x) cos (2x)]]

= 1 4 [26cos (4x) + 13sin (4x) — 30cos (4x) — 45sin (4x)]

= 1 4 [−4cos (4x) — 32sin (4x)]

= −cos⁡ (4x) — 8 sin⁡ (4x)

Итак, полное решение дифференциального уравнения d ² y dx ² — 6 dy dx + 13y = 195cos (4x) равно

y = e ^3x (Acos ​​(2x) + iBsin (2x)) — cos (4x) — 8sin (4x)

9529, 9530, 9531, 9532, 9533, 9534, 9535, 9536, 9537, 9538

Параметрических уравнений

Прямоугольное уравнение или уравнение в прямоугольной форме — это уравнение, состоящее из таких переменных, как Икс и у которое можно изобразить на регулярной декартовой плоскости. Например у знак равно 4 Икс + 3 — прямоугольное уравнение.

Кривая на плоскости называется параметризованной, если набор координат на кривой ( Икс , у ) , представлены как функции переменной т .

Икс знак равно ж ( т ) у знак равно г ( т )

Эти уравнения могут быть изображены или не изображены на декартовой плоскости.

Пример 1:

Найдите систему параметрических уравнений для уравнения у знак равно Икс 2 + 5 .

Решение:

Присвойте любой из переменных значение т . (сказать Икс знак равно т ).

Тогда данное уравнение можно переписать в виде у знак равно т 2 + 5 .

Следовательно, система параметрических уравнений имеет вид Икс знак равно т и у знак равно т 2 + 5 .

Пример 2:

Удалите параметр и найдите соответствующее прямоугольное уравнение.

Икс знак равно т + 5 у знак равно т 2

Решение:

Перепишите уравнение Икс знак равно т + 5 в виде т с точки зрения Икс .

т + 5 знак равно Икс т знак равно Икс — 5

Теперь замените т от ( Икс — 5 ) в уравнении у знак равно т 2 .

у знак равно ( Икс — 5 ) 2

Следовательно, соответствующее прямоугольное уравнение имеет вид у знак равно ( Икс — 5 ) 2 .{(n-1)} + \ cdots + P_n (x) y. \ nonumber \]

Когда мы говорим о решениях этого уравнения и дополнительного уравнения \ (Ly = 0 \), мы имеем в виду решения на \ ((a, b) \). Мы покажем, как использовать метод вариации параметров, чтобы найти частное решение \ (Ly = F \), при условии, что мы знаем фундаментальный набор решений \ (\ {y_1, y_2, \ dots, y_n \} \) из \ (Ly = 0 \).

Мы ищем частное решение \ (Ly = F \) в виде

\ [\ label {eq: 9.4.2} y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + \ cdots + u_ny_n \]

, где \ (\ {y_1, y_2, \ dots, y_n \} \) — известный фундаментальный набор решений дополнительного уравнения

\ [P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + \ cdots + P_n (x) y = 0 \ nonumber \]

и \ (u_1 \), \ (u_2 \),…, \ (u_n \) — функции, которые необходимо определить. {(r)} _ n, \ 0 \ le r \ le n-1. \]

Эти формулы легко запомнить, поскольку они выглядят так, как будто мы получили их, дифференцируя уравнение \ ref {eq: 9.4.2} \ (n-1 \) раз при обработке \ (u_1 \), \ (u_2 \), …, \ (U_n \) как константы. Чтобы увидеть, что уравнение \ ref {eq: 9.4.3} подразумевает уравнение \ ref {eq: 9.4.4}, мы сначала дифференцируем уравнение \ ref {eq: 9.4.2}, чтобы получить

\ [y_p ‘= u_1y_1’ + u_2y_2 ‘+ \ cdots + u_ny_n’ + u_1’y_1 + u_2’y_2 + \ cdots + u_n’y_n, \ nonumber \]

, что сокращается до

\ [y_p ‘= u_1y_1’ + u_2y_2 ‘+ \ cdots + u_ny_n’ \ nonumber \]

из-за первого уравнения в уравнении \ ref {eq: 9.{n-j} {FW_j \ over P_0W}, \ quad 1 \ le j \ le n, \]

, где \ (W_j \) — вронскиан набора функций, полученных удалением \ (y_j \) из \ (\ {y_1, y_2, \ dots, y_n \} \) и сохранением остальных функций в том же порядке. Эквивалентно, \ (W_j \) — это определитель, полученный путем удаления последней строки и \ (j \) — го столбца \ (W \).

Получив \ (u_1 ‘\), \ (u_2’ \) \ (, \ dots, \) \ (u_n ‘\), мы можем проинтегрировать, чтобы получить \ (u_1, \, u_2, \ dots, u_n \) . Как и в разделе 5.7, мы принимаем постоянные интегрирования равными нулю и отбрасываем любую линейную комбинацию \ (\ {y_1, y_2, \ dots, y_n \} \), которая может появиться в \ (y_p \).{(n-1)} W_ {j}. \ nonumber \]

Уравнения третьего порядка

Если \ (n = 3 \), то

\ [W = \ left | \ begin {array} {ccc} y_1 & y_2 & y_3 \\ [4pt] y’_1 & y’_2 & y’_3 \\ [4pt] y » _ 1 & y » _ 2 & y » _ 3 \ end {array} \ right |. \ nonumber \]

Следовательно,

\ [W_1 = \ left | \ begin {array} {cc} y_2 & y_3 \\ [4pt] y’_2 & y’_3 \ end {array} \ right |, \ quad W_2 = \ left | \ begin {array} {cc} y_1 & y_3 \\ [4pt] y’_1 & y’_3 \ end {array} \ right |, \ quad W_3 = \ left | \ begin {array} {cc} y_1 & y_2 \\ [4pt] y’_1 & y’_2 \ end {array} \ right |, \ nonumber \]

и уравнение \ ref {eq: 9.{-x}. \ nonumber \]

Уравнения четвертого порядка

Если \ (n = 4 \), то

\ [W = \ left | \ begin {array} {cccc} y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ [4pt] y’_1 & y’_2 & y’_3 & y_4 ‘\\ [4pt] y’ ‘_ 1 & y’ ‘_ 2 & y’ ‘_ 3 & y_4’ ‘\\ [4pt] y’ » _ 1 & y ‘ » _2 & y » ‘_ 3 & y_4’ » \ end {array} \ right |, \ nonumber \]

Следовательно,

\ [W_1 = \ left | \ begin {array} {ccc} y_2 & y_3 & y_4 \\ [4pt] y’_2 & y’_3 & y_4 ‘\\ [4pt] y’ ‘_ 2 & y’ ‘_ 3 & y_4’ ‘\ end {array} \ right |, \ quad W_2 = \ left | \ begin {array} {ccc} y_1 & y_3 & y_4 \\ [4pt] y’_1 & y’_3 & y_4 ‘\\ [4pt] y’ ‘_ 1 & y’ ‘_ 3 & y_4’ ‘\ end {array} \ right |, \ nonumber \]

\ [W_3 = \ left | \ begin {array} {ccc} y_1 & y_2 & y_4 \\ [4pt] y’_1 & y’_2 & y_4 ‘\\ [4pt] y’ ‘_ 1 & y’ ‘_ 2 & y_4’ ‘\ end {array} \ right |, \ quad W_4 = \ left | \ begin {array} {ccc} y_1 & y_2 & y_3 \\ [4pt] y_1 ‘& y’_2 & y_3’ \\ [4pt] y_1 » & y » _ 2 & y_3 » \ end {array} \ right |, \ nonumber \]

и уравнение \ ref {eq: 9. 2} \ nonumber \]

— это общее решение уравнения \ ref {eq: 9.4.10} на \ ((- \ infty, 0) \) и \ ((0, \ infty) \).

Изменение параметров

Изменение параметров

Этот метод интересен всякий раз, когда предыдущий метод не применяется (когда г ( x ) не нужной формы). Общая идея похожа на то, что мы сделали для линейных уравнений второго порядка, за исключением того, что В случае, мы имели дело с небольшой системой, и здесь мы можем иметь дело с большим (в зависимости от порядка дифференциала уравнение).Опишем общий случай (постоянные коэффициенты или нет). Рассмотрим уравнение

Предположим, что набор независимых решений связанного однородного уравнения. Затем конкретный решение можно найти как

где функции могут быть получены из следующей системы:

.

Определитель этой системы — вронскиан , что не равно нулю. Формулы Крамера дадут

,

где W ( x ) — вронскиан, а — определитель, полученный из вронскиана W заменой -столбец в векторном столбце (0,0 ,. ., 0,1). Следовательно, частное решение уравнения ( NH ) дается формулой

Обратите внимание, что если порядок уравнения невысокий, вы можете захотеть решить систему, используя методы, отличные от формул Крамера.

Пример: Найдите частное решение

Решение: Выполним следующие шаги:

(1)

Характеристическое уравнение

Поскольку корни характеристического уравнения являются .Следовательно, набор независимых решений есть ;

(2)

Частное решение задается выражением, где — решения системы

;

(3)

Разрешение системы дает

После интеграция мы получаем

;

(4)

Частное решение дается

Обратите внимание, что константа 1 in может быть опущена, поскольку это решение связанного однородного уравнения.

[Дифференциальные уравнения] [D.E. Первого порядка] [D.E. второго порядка] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Мохамед Амин Хамси

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час .