Матричный метод решения уравнений онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто матричный метод используют для решения систем линейных уравнений, поскольку любую такую систему можно представить в матричном виде, после чего, определив ее обратную матрицу, легко решить.

Решения таких систем основано на определенном свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы (А-1) и исходной матрицы равно единичной матрице.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения методом простой итерации онлайн»

Допустим, нам дана следующая система:

\[ \left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2+3x_3=1\\ -2x_2+2x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.

{-1}=\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} -4&4&4\\ 6&-7&-4\\ 6&-5&-4 \end{pmatrix} \]

3 шаг

Определяем матрицу неизвестных:

\[ x=\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} -4&4&4\\ 6&-7&-4\\ 6&-5&-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ -1 \end{pmatrix} \]

Ответ:

\[x_1=1;x_2=-2;x_3=-1\]

Поскольку математика точная наука, нужно быть уверенным в правильности решения. Для этого сделаем стандартную проверку:

\[\left\{\begin{matrix} 2\cdot1-(-2)+3\cdot (-1)=1\\ -2\cdot(-2)+2\cdot (-1)=2\\ 3\cdot 1+(-2)+(-1)=0 \end{matrix}\right.\]

Проверка подтвердила правильность решения.

Где можно решить уравнение матричным методом онлайн с решением?

Решить уравнение матричным способом онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды.

Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Запрос solve, который был использован ранее, чтобы получить решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАР) в Wolfram|Alpha, на самом деле является универсальным запросом для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha. Собственно для решения системы линейных алгебраических уравнений он применяется лишь тогда, когда эта система задана в естественном виде: после запроса solve все уравнения системы перечисляются через запятую. Этот способ хорош тем, что позволяет решать не только определенные, но также и неопределенные системы — в общем виде.

Для решения определенных систем линейных алгебраических уравнений применяется также матричный способ.

В Wolfram|Alpha для решения систем линейных алгебраических уравнений матричным способом служит специальный запрос LinearSolve, после которого указываем матрицу коэффициентов системы и вектор (матрицу-столбец) свободных членов.

Чтобы понять особенности синтаксиса запроса LinearSolve, изучите следующие примеры.

Для начала рассмотрим решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. После запроса LinearSolve вводим матрицу коэффициентов системы и нулевой вектор свободных членов. Получаем:

LinearSolve[{{a, b}, {c, d}}, {0, 0}]

Здесь Wolfram|Alpha дает тривиальное решение {0, 0}.

Точно также легко Wolfram|Alpha выводит тривиальное решение и для однородных систем линейных алгебраических уравнений более высокой размерности.

LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {0, 0, 0, 0}]

Теперь взглянем на решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений.

После запроса LinearSolve вводим матрицу коэффициентов системы и ненулевой вектор свободных членов. В ответ получаем вектор неизвестных. Вот два примера.

LinearSolve[{{a, b}, {c, d}}, {1, 2}]

LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {1, 1, 1, 2}]

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом — справочник студента

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

Тогда

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

• Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
• Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

1. Матрица коэффициентов при неизвестных:
2. Матрица неизвестных:
3. Матрица свободных членов:
4. Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

• Матрица коэффициентов при неизвестных:
• Матрица неизвестных:
• Матрица свободных членов:
• Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
• .
• Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
• Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
• .
• Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
• Итак, получили решение:
• .
• Сделаем проверку:
• Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Условие совместности системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы) Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/systems_matrix_method.html

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

(3)

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т. е. определитель матрицы A не равен нулю.

• Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда
• Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
• или, учитывая, что Ex=x:
• Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.
• Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Источник: https://matworld.ru/calculator/matrix-method-online.php

Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения

где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой


.

Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.

• .
• Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:
• ,
• к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением
• ,
• где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :
• ; ; .

Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .

Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .

В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: .

Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е.

или

.

Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор . Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет .

Всего получим таких решений, соответствующих корням .

Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .

1. Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:
2. .
3. Это выражение может быть представлено в матричной форме
4. .
5. В свою очередь матрица выражается следующим образом
6. .
7. Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .

Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .

При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.

• Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:
• .
• Для этой системы
• ; .
• Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.
• Алгебраические дополнения элементов первой строки:
• ;
• ;
• .
• Характеристический многочлен и собственные значения:
• ;
• ; ; .
• Собственные векторы : ; ; .
• Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:
• ;
• Фундаментальная матрица
• ,
• что после перемножения матриц приводит к следующему результату
• .
• Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:
• ,
• где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .
• Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:
• ; .

Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:

1. .
2. Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:
3. Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.
4. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:
5. или после очевидных упрощений
6. .
7. При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем
8. .
9. Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :
10. ,

которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).

• Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:
• .
• Для этой системы:
• ; ; ;
• ;
• .
• Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :
• ,
• после чего определяется фундаментальная матрица:
• .
• Решение задачи Коши для однородной системы:
• .
• Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :
• Частное решение неоднородной системы:
• .
• Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:
• .
• Контрольные вопросы к лекции 12

12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?

12-2. Как решается матричное уравнение ?

12-3. Что представляет собой определитель матрицы?

12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?

12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?

12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?

12-7. В каком случае определитель равен нулю?

12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?

12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?

12-10. Как вычисляется обратная матрица?

12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.

12-12. Какие матрицы называются особенными?

12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?

12-14. Какая матрица называется инволютивной?

12-15. Что называется рангом матрицы?

12-16. Что называется дефектом матрицы?

12-17. Какая система уравнений называется совместной?

12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?

12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?

12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-22. Какая система уравнений называется однородной?

12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?

12-24. Как определяется характеристическое уравнение?

12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?

12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?

12-27. Какая матрица называется модальной?

12-28. Какая матрица называется фундаментальной?

12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?

Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 5982;

Источник: https://poznayka.org/s59823t1.html

Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 1 из 3)

• Содержание
• 1. Введение
• 2. Постановка задачи

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

8. Решение неоднородной системы

Графики

Заключение

1. Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(1)

где коэффициенты аij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

1. yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.
2. Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
3. Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор

через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме (1а)

• Если
• Всякая совокупность n функций
• определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

, то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2)

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

; ;

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5. Решить задачу Коши.

1. Начальные условия:
2. Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
3. t = 0

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

(3)

Если в матрице системы

все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т. е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

(4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

• Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
• Получилось два действительно корня
• Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
• И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
• Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:

4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

1. Метод Эйлера заключается в следующем.
2. Решение системы (1) находится в виде:
3. Функция (5) является решением системы (1), если

(5) – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .

Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :

• где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
• Для случая кратных корней решение системы принимает вид

(6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них.

Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

1. Если для кратного собственного значения
2. Если для собственного значения
3. Чтобы найти векторы
4. Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
5. Построили фундаментальную систему решений:
6. Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа

матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: кратности k имеется только m (m

Источник: https://mirznanii.com/a/313656/issledovanie-metodov-resheniya-sistemy-differentsialnykh-uravneniy-s-postoyannoy-matritsey

Презентация «Решение систем линейных уравнений»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Д ЙНИК ЧА А Д ЗА А

Номер слайда 2

Номер слайда 3

Уравнение

Номер слайда 4

Методы решения: 1)Матричный метод решения. 2)Метод Крамера. 3) Метод Гаусса

Номер слайда 5

1)Матричный метод решения. Запишем заданную систему в матричном виде: АХ=В, где А – основная матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Если матрица А  невырожденная (det А=0), то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу Х . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому умножив последнее равенство на матрицу  слева:

Номер слайда 6

1)Матричный метод решения. Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу Х надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Номер слайда 7

Пример 1. Решить систему матричным способом. Решение: Решим систему линейных уравнений матричным методом. Обозначим Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.

Номер слайда 8

Т. к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A-1B.

Номер слайда 9

Номер слайда 10

Номер слайда 11

Номер слайда 12

Тогда A-1 = Получим X = A-1B = Ответ: х1 = –1, х2 = 4, х3 = 1.

Номер слайда 13

2)Метод Крамера. Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: где — определитель матрицы системы,  — определитель матрицы системы,

Номер слайда 14

где вместо  -го столбца стоит столбец правых частей. Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.   Решение: Решим систему по формулам Крамера.

Номер слайда 15

D 0, значит, система имеет единственное решение.

Номер слайда 16

Номер слайда 17

Ответ: x1 =  5, x2 =  -1, x3 =  1.

Номер слайда 18

3) Метод Гаусса Метод Гаусса — Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный — методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Номер слайда 19

Пример 3. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна Решение: Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4). 1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.

Номер слайда 20

Номер слайда 21

(привели матрицу (A,B) к матрице ( ), имеющую ступенчатую форму). Итак, Rg(A, B) = Rg( ) = 4, RgA= Rg = 4  RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4)  система имеет единственное решение. Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе.

Номер слайда 22

Номер слайда 23

 решение найдено верно.

Номер слайда 24

е А Р Н В СТВО Н РА Е Л

Номер слайда 25

ЦА Ь Т Р=Т Д НА ОДИН 1 Д Р

Номер слайда 26

ТЬ Е А ТЬ Е 2 1,2 ДВ НАД ЦА ПЛЯ

Номер слайда 27

РТ Ь НА ЦА Р Д Д Ь Т ПЯТ

Номер слайда 28

О С И Л Ч О СИЛАЧ 5,2,1,3, 2кг

Номер слайда 29

2,3,А Д Т о Т С А ТОК Д ЕЛЬ О К ЗА Т В О СТ

Номер слайда 30

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или

A·x = b. (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Иногда рассматривают также расширенную матрицу системы, т. е. главную матрицу системы, дополненную столбцом свободных членов, которую записывают в следующем виде:

Любую линейную систему уравнений можно записать в матричном виде. Например, пусть дана система:

Эта система из двух уравнений с тремя неизвестными – x, y,. В высшей математике можно рассматривать системы из очень большого числа уравнений с большим количеством неизвестных и поэтому неизвестные принято обозначать только буквой х, но с индексами:

Запишем эту систему в матричном виде:

Здесь главная матрица системы:

Расширенная матрица будет иметь вид:

Решения матричных уравнений.

Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

(А-1А) Х = А-1В.

Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:

Х = А-1В.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу А-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера – с определителями системы, образованными по специальному правилу.

 

Метод Крамера.

 

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера последовательно выполняется следующий алгоритм:

1. Записывают систему в матричном виде (если это еще не сделано).

2. Вычисляют главный определитель системы:

 

3. Вычисляют все дополнительные определители системы:

4. Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5. Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид:

Пример 1

Решить по методу Крамера систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решение

Запишем главный и побочные определители системы:

Вычислим эти определители:

Δ = 3*4*(-4)+7*(-3)*5+(-2)*(-8)*5-5*4*5-3*(-3)*(-8)-7*(-2)*(-4) = 48-105+80-100-72-56 = 128-333 = -205.

Δ1 = -112+(-45)+(-192)-(-240)-24-168 = -112-45-192+240-24-168 = 240-541 = -301.

Δ2 = -36-420-280-75+196-288 = 196-1099 = -903.

Δ3 = -144-147-30-140+27-168 = -629+27 = -602.

Главный определитель системы не равен нулю. Находим неизвестные по формулам Крамера.

Подставим найденные значения определителей в формулы Крамера:

x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;

x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;

x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = 2,936585365854 ≈ 2,93.

 

Вывод.

 

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера используются формулы, в которых участвуют как главный, так и дополнительные определители системы:

Напомним, что главным определителем системы называется определитель главной матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:

Если в главном определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x₁, x₂,…x_n на столбец свободных членов, то получим n дополнительных определителей (для каждого из n неизвестных):

При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который решается сравнением главного и дополнительных определителей системы с нулем:

 

Решение систем уравнений матричным методом

Матричный метод решения систем уравнений также известен как метод ряда эшелонов. Матричный метод аналогичен методу исключения, но намного чище. чем метод исключения.

Решение систем уравнений матричным методом включает выражение системы уравнения в виде матрицы, а затем преобразование этой матрицы в так называемое Форма эшелона строк.

Ниже приведены два примера матриц формы Row Echelon Form

.

Первая — это матрица 2 x 2 в форме Row Echelon, а вторая — 3 x 3 матрица в форме Row Echelon.

Выражение систем уравнений в виде матриц

Учитывая следующую систему уравнений:

Вышеупомянутая система уравнений с двумя переменными может быть выражена как матричная система как следует

Если мы решим вышеупомянутое, используя правила умножения матриц, мы должны закончить с системой уравнений, с которой мы начали.Мы можем дополнительно изменить приведенное выше матрицы и скрыть матрицу, содержащую переменные. Мы не устраняем это, но мы просто скрываем это, чтобы сделать наши вычисления более чистыми.

Вышеуказанное далее преобразовывается в единую матрицу, как показано ниже

Часто вертикальная линия рисуется, чтобы указать, что крайний правый столбец представляет записи справа от знака равенства в системе уравнений.

То же самое можно сделать для системы уравнений с тремя переменными.

Вышеупомянутое можно выразить как произведение матриц в виде:

Скрывая матрицу, содержащую переменные, мы можем выразить это как:

Затем поместите все в одну матрицу:

или как

Вышеупомянутая форма упоминается как Расширенная матрица .В расширенной матрице выше, мы знаем, что элементы слева представляют собой коэффициенты при переменных в системе уравнений.

Метод приведения в порядок эшелона формы

Перед чтением этого раздела вам следует взглянуть на сокращение до Раздел «Форма эшелона» в разделе «Матрицы».

Теперь, когда вы знаете, как уменьшить матрицу до формы эшелона строк, давайте посмотрим, как применить алгоритм расширенных матриц, сформированных из систем уравнений.

Пример 1:

Найдите решение следующей системы уравнений

Решение:

Первый шаг — выразить указанную выше систему уравнений в виде расширенной матрицы.

Далее мы маркируем строки:

Теперь мы начинаем фактически сводить матрицу к форме эшелона строк.Сначала мы меняем ведущий коэффициент первой строки к 1.

Мы достигаем этого путем умножения ₁ рэндов на ^-1 ⁄ ₃ :

.

Затем мы меняем коэффициент во второй строке, который находится ниже ведущего коэффициента. в первом ряду. Это достигается путем умножения R ₂ на ^-1 ⁄ ₅ . а затем добавляем результат к ₁ рэндов.

Добавление результата к R ‘ ₁ :

Итак, теперь наша новая матрица выглядит так:

На этом этапе мы повторно вводим переменные в строку 2, так как теперь у нас будет одна переменное уравнение:

Мы можем решить относительно y из приведенного выше уравнения:

Теперь, когда у нас есть y , мы можем использовать обратную замену, чтобы найти x на заменяя y в уравнении с двумя переменными, образованном из R ‘ ₁ :

Следовательно, решение системы уравнений: {x, y} = {2, -2}

Пример 2:

Решить относительно x, y и z в системе уравнений ниже

Решение:

Первый шаг — превратить систему уравнений с тремя переменными в расширенную систему 3х4. матрица.

Далее мы маркируем строки матрицы:

Поскольку в приведенной выше расширенной матрице мы не можем найти ни одной строки с единицей в начале коэффициент, нам не нужно выполнять операцию переключения строк. Однако мы делаем необходимо изменить строку 1 так, чтобы ее старший коэффициент был 1.

Этого можно добиться, умножив строку 1 на ¹ ⁄ ₃ :

Далее нам нужно изменить все записи ниже ведущего коэффициента первого строка с нулями.

Для второй строки мы можем добиться этого, сначала умножив на ^-1 ⁄ ₃ . а затем добавляем результат в строку 1.

Добавление результата в строку 1:

Затем мы переходим к строке 3; здесь мы умножаем строку на ^-1 ⁄ ₅ а затем добавьте результат в строку 1, чтобы обнулить первый элемент.

Добавление результата в строку 1:

Нам нужно, чтобы ведущий элемент во второй строке тоже был единицей. Получаем этот результат умножив вторую строку на ^-3 ⁄ ₂ :

Затем мы обнуляем элемент в третьей строке под ведущим коэффициентом в строке два.Для этого умножаем третью строку на ⁵ ⁄ ₄

Добавление результата в строку 2:

Наконец, мы умножаем строку 3 на -12, чтобы получить ведущий элемент третьего ряд как один:

Из приведенной выше матрицы мы решаем переменные, начиная с z в последняя строка

Затем мы решаем y, подставляя z в уравнение, образованное второй строкой:

Наконец, мы решаем для x, подставляя значения y и z в уравнение, сформированное по первому ряду:

Следовательно, решение системы уравнений: {x, y, z} = {1, -2,1}

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

В терминах обозначений матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные полосы.

Обозначения

---

Формула для определения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте быстро рассмотрим:

---

Определитель матрицы 2 x 2

---

Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

---

Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

---

Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!

---

Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

• Присвойте имена каждой матрице

матрица коэффициентов:

X — матрица:

Y — матрица:

От

до найдите переменную x.

От

до найдите переменную y.

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} совпадают. Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).

---

Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициент, \ large {x} и \ large {y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

После того, как все три детерминанта вычислены, пора найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.

---

Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений. Затем рассчитайте их детерминанты соответственно.

Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных записей.

• Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )

• Для X — матрица (заменить столбец x на постоянный столбец)

• Для Y — матрица (заменить столбец Y на постоянный столбец)

Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.

---

Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Эту проблему на самом деле довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценю их соответствующие детерминанты.

• Для X — матрица (прописная D с нижним индексом x)

• Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.

---

Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

Если вы поймете все правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

Вы должны получить ответ ниже…

---

Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} значительно упрощается. Убедитесь сами!

Окончательное решение этой проблемы —

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Правило Крамера 3 × 3

Объяснитель урока: Решение системы трех уравнений с использованием обратной матрицы

В этом объяснении мы узнаем, как решить систему трех линейных уравнений, используя обратную матрицу коэффициентов.

Есть несколько точек зрения, с которых линейная алгебра может быть плодотворной и полезной. последовательно просматривается. Одна из таких перспектив — понимать матрицы как способ кодирования информация о том, как векторы трансформируются в пространстве, что дает алгебраический понимание того, как мы трансформируем точки, линии, плоскости и многомерные объекты. Другой перспектива состоит в том, что линейная алгебра является одним из проявлений более общей идеи, известной как вектор пространства, в которых привлекательные абстрактные свойства используются для определения многих систем, которые разделяют алгебраические свойства с линейной алгеброй, обычной алгеброй и многими другими областями математика.

Из всех возможных перспектив линейной алгебры, возможно, существует тот, который больше всего способствовал развитию предмета, по крайней мере, на начальных этапах. На протяжении всей истории математики всегда испытывали особую тягу к решению уравнения. После популяризации алгебры она вскоре стала интересной для математики для изучения одновременных уравнений, где две переменные должны быть решены для тандем. Эта идея естественным образом обобщается на системы уравнений со многими неизвестными. переменных, и именно здесь мы начинаем свидетельствовать об универсальности и силе линейной алгебры в движущей силой исторического развития математики, предлагая все более и более отточенные и разнообразный инструментарий.

Нашей целью в этом объяснителе будет решение систем линейных уравнений с использованием нашего понимание инверсии квадратной матрицы. Как мы увидим, любая система линейных уравнения могут быть выражены строго в терминах матриц, что означает, что мы можем использовать наши понимание линейной алгебры для их решения.

Определение: Матричная форма системы линейных уравнений

Рассмотрим общую систему линейных уравнений относительно переменных 𝑥, 𝑥,…, 𝑥 и коэффициентов 𝑎: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏.

Затем определим матрицу коэффициентов 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠ и два вектора ⃑𝑢 = ⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠, ⃑𝑣 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠.

Тогда система линейных уравнений может быть заключена в матрицу уравнение 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, которое в длинной форме можно было бы записать как ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Позже мы увидим, что такой способ использования умножения матриц очень полезен для выражая систему линейных уравнений, так как это позволяет нам использовать любой инструмент из огромного математический инструментарий линейной алгебры.Рассмотрим, например, систему линейных уравнения

3𝑥 + 𝑦 = −1, −2𝑥 + 4𝑦 = 24.

(1)

На этом этапе у нас, вероятно, возникнет соблазн решить эту систему линейных уравнений, используя любой из известных стандартных методов решения одновременных уравнений двух переменных. Однако мы предпочитаем следовать приведенному выше определению и выражаем указанную выше систему линейных уравнений путем построения матриц 𝐴 = 31−24, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦, ⃑𝑣 =  − 124.

Тогда систему линейных уравнений можно выразить как 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. В полной форме это

31−24− =  − 124.

(2)

Понятно может показаться, что это представление нам ни в малейшей степени не помогло, Именно здесь концепция обратной матрицы может быть реализована с парашютом, чтобы обеспечить поддержку. Предположим, что нам нужно было построить матрицу, обратную к, используя хорошо известная формула для обратной матрицы 2 × 2.Для генерала 2 × 2 матрица 𝐵 = 𝑎𝑏𝑐𝑑, обратная матрица имеет вид 𝐵 = 1𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑑 − 𝑏 − 𝑐𝑎.

Для нашей матрицы 𝐵 мы найдем, что 𝐴 = 13 × 4−1 × (−2) 4−123 = 1144−123 .

Предположим теперь, что мы умножили левую часть уравнения (2) на матрицу обратный 𝐴. Получим 1144−12331−24𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Поскольку матричное умножение ассоциативно, мы можем сгруппировать члены в левой части в в следующем порядке: 1144−12331−24𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Как по волшебству, мы обнаруживаем, что термин в изогнутых скобках — просто копия единичная матрица. Завершение этого матричного умножения дает 114140014𝑥𝑦 = 1144−123 − 124, позволяя нам взять константу масштабирования в матрице, чтобы найти 1001𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Завершение последнего матричного умножения в левой части дает 𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Теперь у нас есть выражение для 𝑥 и 𝑦 через один окончательное матричное умножение.Выполнение этого дает 𝑥𝑦 = 114 − 2870 =  − 25.

Мы можем проверить, что 𝑥 = −2 и 𝑦 = 5 — единственные два значения. которые решают систему линейных уравнений в (1), подтверждая, что мы имеем решил проблему.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на конкретной проблеме выше, мы можем показать, что этот метод может быть применен к общей системе линейных уравнений при соблюдении нескольких условий. Предположим, что у нас есть линейная система, в которой есть столько уравнений, сколько неизвестных переменных.В другими словами, имеем 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏. 

Затем определим матрицу и два вектора 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋯, ⃑𝑢 = ⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠, ⃑𝑣 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Тогда систему линейных уравнений можно описать матричным уравнением 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, где 𝐴 — квадратная матрица. Очень важно, чтобы 𝐴 было квадратом. матрица как мультипликативная обратная не определена для неквадратных матриц. Теперь предположим что 𝐴 существует, мы можем умножить на него в левой части приведенного выше уравнение, дающее 𝐴 (𝐴⃑𝑢) = 𝐴⃑𝑣.

Умножение матриц является ассоциативным, что означает, что мы можем написать 𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

По определению имеем 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼 — единичная матрица размера 𝑛 ×. Отсюда следует, что 𝐼⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Мы также знаем, что единичная матрица 𝐼 оставляет матрицу неизменной, когда совмещены под действием матричного умножения. Это позволяет окончательно упростить ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Если нашей целью было найти вектор, он явно был достигается в приведенном выше уравнении.Теперь мы продемонстрируем, как этот метод может быть применен к другие системы линейных уравнений.

Пример 1: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений

Решите систему линейных уравнений 3𝑥 + 2𝑦 = 8,6𝑥 − 9𝑦 = 3, используя обратную матрицу.

Ответ

Создаем матрицы, соответствующие системе линейных уравнений выше. Если мы присвоить 𝐴 = 326−9, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦, ⃑𝑣 = 83, тогда задача может быть эквивалентно закодирована матричная задача 326−9𝑥𝑦 = 83.

Более кратко, мы могли бы написать 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣.

Наша цель — решить это уравнение относительно ⃑𝑢, учитывая, что этот вектор содержит переменные 𝑥 и, которые мы хотел бы найти. Предполагая, что существует обратное, мы могли бы умножьте на него в левой части уравнения, получив 𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Учитывая, что умножение матриц является ассоциативным, это утверждение эквивалентно высказыванию что 𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

По определению мы знаем, что 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼 является единичной матрицей 2 × 2, что дает 𝐼⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

В единичной матрице вектор ⃑𝑢 останется неизменным. при объединении при матричном умножении как 𝐼⃑𝑢. Этот означает, что

⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

(3)

Теперь у нас есть формула для ⃑𝑢 при условии, что мы можем найти 𝐴. Для этого воспользуемся выражением, обратным к Матрица 2 × 2: 𝐵 = 𝑎𝑏𝑐𝑑, 𝐵 = 1𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑑 − 𝑏 − 𝑐𝑎.

Учитывая, что 𝐴 = 326−9, имеем 𝐴 = 13 × (−9) −2 × 6 − 9−2−63 = −139 − 9−2−63.

Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы найти ⃑𝑢: ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = −139 − 9−2−6383 = −139 − 78−39 = 21.

Ранее мы целенаправленно определили 𝑥𝑦 =.

Таким образом, мы находим, что = 2 и 𝑦 = 1, как мы можем проверить в исходных уравнениях.

На данном этапе может показаться, что метод, который мы только что представили, слишком запутанный способ найти решение системы линейных уравнений, где есть два переменные и две неизвестные. Обычно мы предпочитаем использовать знакомую и более простую технику. для решения систем этого типа.Значение обращения матрицы метод легче понять при работе с матрицами порядка 3 × 3 и выше. Кроме того, обратная квадратная матрица — это то, что мы, вероятно, возьмем самостоятельный интерес, независимо от актуальной проблемы, которую мы пытаемся решить, поэтому может случиться так, что мы будем вычислять эту матрицу независимо от проблемы, связанной с ней что мы на самом деле пытаемся решить.

Есть более тонкий момент, который мы также должны учитывать.Предположим, что в приведенном выше примере система линейных уравнений была точно такой же, за исключением величин справа стороны обоих уравнений, как было закодировано вектором. В чтобы решить проблему, нам все равно нужно найти обратную матрицу 𝐴 и завершите расчет ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. В этом смысле нахождение обратная матрица — это задача, которая решит систему линейных уравнений для любого вектора ⃑𝑣. Кроме того, может быть невозможно найти 𝐴, потому что матрица 𝐴 имеет нулевой определитель.В этой ситуации значение ⃑𝑣 не имеет значения, потому что решить проблему не удастся.

Пример 2: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений (с Метод Гаусса – Жордана)

Решите систему линейных уравнений −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8, −2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −5,6𝑥 − 3𝑦 = −6, используя матрицу, обратную матрице.

Ответ

Начнем с присвоения значений 𝐴 =  − 111−21−16−30, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦𝑧, ⃑𝑣 = 8−5−6.

Это позволяет нам записать указанную выше систему линейных уравнений в виде  − 111−21−16−30𝑥𝑦𝑧 = 8−5−6.

Аналогично, теперь мы можем определять уравнения в очень аккуратной форме. 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣.

Сформулировав таким образом, мы теперь стремимся найти ⃑𝑢, поскольку этот вектор содержит все неизвестные переменные, 𝑦 и 𝑧. В для этого воспользуемся сначала предположением, что обратное 𝐴 существует, и затем мы умножаем левую часть приведенного выше уравнения на эту матрицу: 𝐴 (𝐴⃑𝑢) = 𝐴⃑𝑣.

Учитывая, что по определению 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼 — единичная матрица, а также учитывая, что 𝐼𝐵 = 𝐵 для любой матрицы 𝐵 с порядком 3 × 𝑝, имеем

⃑𝑣 = 𝐴⃑𝑢.

(4)

Теперь мы знаем, как выразить ⃑𝑣 через обратное матрица 𝐴, которую мы теперь должны вычислить. Для этого воспользуемся Метод исключения Гаусса – Жордана для вычисления обратной квадратной матрицы. Мы напомним себе две матрицы 𝐴 =  − 111−21−16−30, 𝐼 = 100010001, , которые мы затем соединяем вместе как 𝐴𝐼 = ⎛⎜⎜⎝ − 111100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Если существует обратный 𝐴, то мы сможем использовать элементарные строковые операции, чтобы преобразовать указанную выше матрицу в форму.Сначала мы выделите точку поворота, которая является первой ненулевой записью в каждой строке: ⎛⎜⎜⎝ − 111100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Запись −1 в верхнем левом углу довольно удобна, но будет было бы более полезно, если бы эта запись имела значение 1. Мы быстро масштабируем верхнюю строку с помощью операция 𝑟 → −𝑟, что дает ⎛⎜⎜⎝1−1−1−100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Чтобы получить желаемый вид, мы должны получить единичную матрицу 𝐼 в левая часть объединенной матрицы.В единичной матрице в левом верхнем углу стоит 1. а остальные записи в этом столбце равны нулю. Поэтому необходимо удалить две сводные записи в первом столбце с использованием строковых операций 𝑟 → 𝑟 + 2𝑟 и 𝑟 → 𝑟 − 6𝑟: ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000−1−3−210036601⎞⎟⎟⎠.

По причинам, аналогичным приведенным выше, мы предпочли бы, чтобы точка поворота во второй строке имеют значение 1, поэтому мы выполняем строковую операцию 𝑟 → −𝑟: ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−10036601⎞⎟⎟⎠.

Теперь мы удалим точку поворота в третьей строке, так как она находится непосредственно под точкой поворота в второй ряд.Операция со строками 𝑟 → 𝑟 − 3𝑟 дает матрица ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−1000−3031⎞⎟⎟⎠.

На этом этапе может возникнуть соблазн немедленно выполнить строковую операцию 𝑟 → −13𝑟, которая внесет дроби в третью строка и, следовательно, оставшиеся вычисления. Хотя в этом нет необходимости, обычно предпочтительно по возможности избегать этого. Из-за этого мы вместо этого выбираем строковая операция 𝑟 → −𝑟, которая дает ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−100030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Также выполняем строковые операции 𝑟 → 3𝑟 и 𝑟 → 3𝑟: ⎛⎜⎜⎝3−3−3−3000396−300030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Мы выполнили эти операции со строками в качестве подготовительной меры. Теперь удалим ненулевые записи, которые находятся над точкой поворота в третьей строке, с использованием строковых операций 𝑟 → 𝑟 − 3𝑟 и 𝑟 → 𝑟 + 𝑟. В результате получается матрица ⎛⎜⎜⎝3−30−3−3−10306630030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Теперь у нас есть предпоследний шаг по удалению ненулевой записи над точкой поворота в второй ряд.Операция со строками 𝑟 → 𝑟 + 𝑟 дает ⎛⎜⎜⎝3003320306630030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Вместо формы 𝐼𝐴 мы создали матрицу 3𝐼𝐴. Это, конечно, не провал на нашем часть, так как теперь мы можем написать, что = 133326630−3−1.

Можно проверить, что 𝐴𝐴 = 𝐼, что означает, что мы нашли правильная инверсия. Теперь мы можем решить проблему, используя уравнение (4). Мы имеем ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = 133326630−3−18−5−6 = 13 − 3021 =  − 107.

Это дает окончательные ответы, что = −1, 𝑦 = 0 и 𝑧 = 7. В исходной системе линейных уравнений можно проверить, что это правильные значения.

В предыдущем вопросе мы использовали метод Гаусса – Жордана для нахождения обратной матрицы соответствующей системы линейных уравнений. Использование строковых операций для управления матрицей является фундаментальным навыком в линейной алгебре, и вопросы, подобные приведенному выше, являются отличным источник практики.Тем не менее, есть и другие методы, которые можно использовать для расчета инверсия матрицы, которая может быть предпочтительнее в зависимости от задействованной матрицы. В следующих Например, мы воспользуемся методом сопряженных матриц для вычисления необходимой обратной матрицы. Этот метод часто считается предпочтительным для вычисления обратной матрицы, особенно для матриц порядка 3 × 3, хотя это относится и к квадратным матрицы любого порядка.

Пример 3: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений (с сопряженной матрицей Method)

Используйте обратную матрицу для решения системы линейных уравнений −4𝑥 − 2𝑦 − 9𝑧 = −8, −3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = −3, −𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 7.

Ответ

Сначала мы создадим матрицы 𝐴 =  − 4−2−9−3−2−6−11−6, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦𝑧, ⃑𝑣 =  − 8−37.

Система линейных уравнений может быть эквивалентно закодирована умножением матриц.  − 4−2−9−3−2−6−11−6𝑥𝑦𝑧 =  − 8−37.

Это позволяет простейшее выражение системы уравнений, как 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. Умножив левую часть на обратный 𝐴, а затем упрощая, мы можем выразить вектор ⃑𝑢 выражением

⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

(5)

Мы хотели бы вычислить ⃑𝑢, так как этот вектор имеет записи, которые являются неизвестными переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧. К используйте приведенное выше уравнение, чтобы найти ⃑𝑢, мы должны сначала вычислить 𝐴. Для этого воспользуемся методом сопряженных матриц: описывается следующим образом.

Использование метода сопряженных матриц означает, что мы должны вычислить определитель 𝐴. Мы используем правило Сарруса, которое дает

| 𝐴 | = 𝑎 | 𝐴 | −𝑎 | 𝐴 | + 𝑎 | 𝐴 | = −4 × |||| −2−61−6 |||| — (- 2) × ||| | −3−6−1−6 |||| −9 × |||| −3−2−11 |||| = −4 × 18 — (- 2) × 12−9 × (−5) = −3.

(6)

Поскольку определитель отличен от нуля, мы знаем, что матрица 𝐴 невырожден и, следовательно, обратный 𝐴 существует. Мы уже использовали 3 минора матрицы 𝐴 при вычислении | 𝐴 |, но использовать метод сопряженной матрицы для вычисления 𝐴 необходимо перечислить все 9 матричные миноры: 𝐴 =  − 2−61−6, 𝐴 =  − 3−6−1−6, 𝐴 =  − 3−2−11, 𝐴 =  − 2−91−6 , 𝐴 =  − 4−9−1−6, 𝐴 =  − 4−2−11, 𝐴 =  − 2−9−2−6, 𝐴 =  − 4−9−3−6 , =  − 4−2−3−2.

Для этих матриц 2 × 2 мы можем вычислить определители, но мы не забудьте включить член четности, который используется при создании сопряженной матрицы. Этот вместе мы имеем + | 𝐴 | = + || −2−61−6 || = 18, — | 𝐴 | = — || −3−6−1−6 || = −12, + | 𝐴 | = + || −3−2−11 || = −5, — | 𝐴 | = — || −2−91−6 || = −21, + | 𝐴 | = + || −4−9−1− 6 || = 15, — | 𝐴 | = — || −4−2−11 || = 6, + | 𝐴 | = + || −2−9−2−6 || = −6, — | 𝐴 | = — || −4−9−3−6 || = 3, + | 𝐴 | = + || −4−2−3−2 || = 2. 

Матрица кофакторов заполняется правыми членами приведенных выше 9 уравнений: 𝐶 = 18−12−5−21156−632.

Сопряженная матрица — это транспонированная матрица кофакторов: adj (𝐴) = 18−21−6−12153−562.

Обратная матрица записывается через сопряженную матрицу и определитель, который мы вычисляется в уравнении (6) по формуле 𝐴 = 1 | 𝐴 | (𝐴) = — 1318−21−6−12153−562.adj

Теперь, когда мы знаем 𝐴, мы можем решить исходная система линейных уравнения с использованием уравнения (5): ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = −1318−21−6−12153−562 − 8−37 = −13 − 1237236 = 41−24−12.

Это означает, что решение исходной задачи = 41, 𝑦 = −24 и 𝑧 = −12.

К приведенным выше вопросам можно подойти с абстрактной простотой, если система уравнения сводится к матричному уравнению 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. Преимущества такого выражения: что мы можем рассматривать его в отстраненном, алгебраическом смысле, что позволяет легко увидеть, что Система может быть решена с помощью линейной алгебры для получения матричного уравнения ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. Лечить проблему только в этом абстрактный способ, однако, опровергнет вычислительную сложность, возникающую при попытке для вычисления обратной матрицы 𝐴.Кроме того, очевидно, что это не можно решить систему уравнений, если у нас нет точного вида для 𝐴, в котором обычно используется метод Гаусса – Жордана или метод сопряженных матриц. Возможность изменять перспективу между абстрактным видом и вычислительное представление является определяющей характеристикой линейной алгебры, в которой мы должны часто меняют нашу точку зрения, чтобы полностью понять проблему, над которой мы работаем с и методы, которые мы могли бы использовать для ее решения.Для многих математиков это один радостей изучения линейной алгебры, но даже если это не для всех, это было бы трудно не посочувствовать этой точке зрения в данной конкретной ситуации, учитывая примеры выше.

Ключевые моменты

• Система линейных уравнений может быть закодирована матричным уравнением 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, где цель состоит в том, чтобы решить систему с помощью найти ⃑𝑢.
• Если 𝐴 — квадратная матрица и обратимая, то мы можем найти матрицу 𝐴 либо методом Гаусса – Жордана, либо присоединенным матричный метод.
• Если обратная может быть найдена, то мы можем использовать линейную алгебру для найти ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Определение матричного метода | Chegg.com

Матричный метод используется для решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Некоторые типы матричного метода решения системы линейных уравнений приведены ниже:
1. Метод исключения Гаусса
2. Метод обратной матрицы
3. Правило Крамера
1. Метод исключения Гаусса:
Исключение Гаусса — это метод решения матриц, которые имеют форму Ax = b .
Позвольте матрице
Уменьшите указанную выше матрицу в верхнюю треугольную матрицу.
Решите уравнение строки n ^th для x _n , затем подключитесь обратно к строке ( n — 1) ^th , чтобы получить неизвестную x _{n — 1} .
Таким образом, формула,.
2. Метод обратной матрицы:
Система должна иметь n линейных уравнений как n переменных.
• Считайте, что система имеет форму.
• Определитель A должен быть ненулевым, поскольку существует обратная матрица, только определитель матрицы не равен нулю.
• Решение системы:
3. Правило Крамера:
Правило Крамера обеспечивает решение системы линейных уравнений с n переменными и n уравнениями.Это простое правило применимо только в том случае, если система линейных уравнений имеет уникальное решение путем простого решения для одной переменной. Шаги для решения системы уравнений с использованием правила Крамера приведены ниже:
Шаг 1: Составьте систему уравнений в стандартной форме.
Шаг 2: Сформируйте матрицу коэффициентов системы линейных уравнений,
Шаг 3: Проверьте, является ли D , сформированный на шаге 2, квадратной матрицей. Если это квадратная матрица, продолжайте решать систему уравнений, используя этот метод правила Крамера, иначе решение не может быть получено.
Шаг 4: Найдите определитель D .If | D | ≠ 0, продолжаем решать систему уравнений. Если | D | = 0, решение не может быть найдено с помощью этого метода правила Крамера.
Шаг 5: Получите D _{x 1} , D _{x 2} , …, D _xn следующим образом:
.
Шаг 6: Вычислить детерминанты D _{x 1} , D _{x 2} ,…, D _xn .
Шаг 7: Найдите x ₁ , x ₂ , …, x _n следующим образом:
Таким образом, решение будет ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ).

6. Матрицы и линейные уравнения

М. Борна

Мы хотим решить систему одновременных линейных уравнений с помощью матриц:

a ₁ x + b ₁ y = c ₁

a ₂ x + b ₂ y = c ₂

Если допустить

`A = ((a_1, b_1), (a_2, b_2))`, `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((c_1), (c_2))`

, затем AX = C . (Впервые мы увидели это в «Умножении матриц»).

Если теперь умножить каждую сторону

AX = C

слева от

А ^-1 , имеем:

A ^-1 AX = А ^-1 С .

Однако мы знаем, что A ^-1 A = I , Матрица идентичности.Получаем

IX = A ^-1 C .

Но IX = X , поэтому решение системы уравнения задается следующим образом:

X = A ^-1 C

См. Рамку в верхней части Инверсии матрицы, чтобы узнать больше о том, почему это работает.

Примечание: Мы, , не можем изменить порядок умножения и использовать CA ^-1 , потому что умножение матриц не коммутативно.

Пример — решение системы с использованием обратной матрицы

Решите систему, используя матрицы.

— x + 5 y = 4

2 x + 5 y = −2

Всегда проверяйте свои решения!

Ответ

У нас:

`A = ((- 1,5), (2,5)),` `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((4), (- 2)) `

Чтобы решить эту систему, нам понадобится обратное к A , которое мы запишем как A ^-1 .-1C« = ((- 0,333,0,333), (0,133,0,067)) ((4), (- 2)) « = ((- 2), (0,4)) `

Этот ответ означает, что мы нашли решение «x = -2» и «y = 0,4».

Решение правильное?

Проверяем в исходной системе уравнений:

`{: (- x + 5y, = 4), (2x + 5y, = — 2):}`

Подставляя `x = -2` и` y = 0.4`, получаем:

`- (- 2) + 5 × (0,4) = 2 + 2 = 4` [Проверяет ОК]

`2 × (−2) + 5 × (0,4)` `= −4 + ​​2« = −2` [Проверяет ОК]

Итак, решение исходной системы уравнений —

.

`х = -2, \ \ у = 0.4`.

Решение 3 × 3 систем Уравнения

Мы можем распространить вышеуказанный метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для поиска обратных матриц больше 2 × 2.

Мы будем используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсии больше, чем 2 × 2.

Пример — Система 3 × 3 Уравнения

Решите систему матричными методами.

`{: (x + 2y-z = 6), (3x + 5y-z = 2), (- 2x-y-2z = 4):}`

Я уже упоминал? Хорошая идея — всегда проверять свои решения.-1C`

`= ((5.5, -2.5, -1.5), (- 4,2,1), (- 3.5,1.5,0.5)) ((6), (2), (4))`

`= ((22), (- 16), (- 16))`

Чек:

`22 + 2 (-16) — (-16) = 6` [ОК]

`3 (22) + 5 (-16) — (-16) = 2` [ОК]

`-2 (22) — (16) — 2 (-16) = 4` [ОК]

Итак, решение — `x = 22`,` y = -16` и `z = -16`.

Пример — Применение электроники системы 3 × 3 Уравнения

Найдите электрические токи, указанные как решение матричного уравнения (полученного с использованием закона Кирхгофа) возникающие из этой цепи:

`((I_1 + I_2 + I_3), (- 2I_1 + 3I_2), (- 3I_2 + 6I_3)) = ((0), (24), (0))`

(Вы можете изучить, что на самом деле означает решение для этого примера, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.-1 ((0), (24), (0)) `

Используя систему компьютерной алгебры для выполнения обратного и умножения на постоянную матрицу, мы получаем:

`I_1 = -6 \» A «`

`I_2 = 4 \» A «`

`I_3 = 2 \» A «`

Мы видим, что значение I ₁ отрицательное, как и следовало ожидать из принципиальной схемы.

Упражнение 1

Найдены следующие уравнения в конкретной электрической цепи. Найдите токи с помощью матрицы методы.-1C`

`= ((0,294,0,353,0,294), (0,118, -0,059,0,118), (0,588, -0,294, -0,412)) ((0), (6), (- 3))`

`= ((1,236), (- 0,708), (- 0,528))`

Следовательно,

`I_A = 1,236 \» A «`,

`I_B = -0,708 \» A «и

`I_C = -0,528 \» A «`

Упражнение 2

Помните об этой проблеме? Если мы знаем используемые одновременные уравнения, мы сможем решить система с использованием обратных матриц на компьютере.

Уравнения схемы с использованием закона Кирхгофа:

−26 = 72 I ₁ — 17 I ₃ — 35 Я ₄

34 = 122 I ₂ — 35 I ₃ — 87 Я ₇

−4 = 233 I ₇ — 87 I ₂ — 34 I ₃ — 72 I ₆

−13 = 149 I ₃ — 17 I ₁ -35 I ₂ -28 I ₅ — 35 I ₆ — 34 Я ₇

−27 = 105 I ₅ — 28 I ₃ — 43 I ₄ — 34 I ₆

24 = 141 I ₆ — 35 I ₃ -34 I ₅ -72 I ₇

5 = 105 I ₄ — 35 I ₁ — 43 Я ₅

Каковы отдельные токи, I ₁ до I ₇ ?

Пользователи телефонов

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение. — 1 [(-26), (34), (- 4), (- 13), (- 27), (24), (5)] `

`= [(- 0.-3), (- 0,22243), (- 0,27848), (0,21115), (0,20914)] `

Ответ означает, что токи в этой цепи равны (с точностью до 4 знаков после запятой):

`I_1 = -0,4680 \» A «`

`I_2 = 0,4293 \» A «`

`I_3 = 0,0005 \» A «`

`I_4 = -0,2224 \» A «`

`I_5 = -0,2785 \» A «`

`I_6 = 0,2112 \» A «`

`I_7 = 0.2091 \» A «`

Упражнение 3

Нам нужно 10 л бензина содержащий 2% добавки. У нас есть следующие барабаны:

Бензин без присадок

Бензин с 5% присадкой

Бензин с 6% присадкой

Нам нужно использовать в 4 раза больше чистого бензин в виде 5% присадки к бензину.Сколько нужно каждого?

Всегда проверяйте свои решения!

Ответ

Пусть

x = нет. литров чистого бензина

y = нет. литров 5% бензина

z = нет. литров 6% бензина

Из первого предложения имеем:

`x + y + z = 10`

Второе предложение дает нам:

Мы НЕ получаем присадок из чистого бензина.

Получаем (5% от y ) л добавки из второго барабана.

Получаем (6% от z ) л добавки из третьего барабана.

НАМ НУЖНО 2% из 10 л добавки = 0,2 л = 200 мл.

Так

`0,05y + 0,06z = 0,2`

Умножение на 100 дает:

`5y + 6z = 20`

Второе последнее предложение дает нам:

`x = 4y`

Мы можем записать это как:

`x — 4y = 0`

Это дает нам систему одновременных уравнений:

x + y + z = 10

5 y + 6 z = 20

x -4 y = 0

Так

`A = ((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0))`, `\ C = ((10), (20), (0))`

Использование Scientific Notebook для обратного:

`((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0)) ^ — 1« = ((0.96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) `

Умножение обратной на матрицу C :

`((0,96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) ((10), (20), (0))` `= ((6,4 ), (1.6), (2)) `

Итак, у нас есть 6,4 л чистого бензина, 1,6 л 5% присадок и 2 л 6% присадок.

Это правильно?

`6.4 + 1.6 + 2 = 10` L [ОК]

`5% xx 1,6 + 6% xx 2 = 200` мл [OK OK]

`4 × 1,6 = 6,4` [ОК]

Упражнение 4

Эта задача статики была представлена ​​ранее в разделе 3: Матрицы.

Из диаграммы получаем следующие уравнения (эти уравнения взяты из теории статики):

Вертикальные силы:

F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° + 926 = 0

Горизонтальные силы:

F ₁ cos 69,3 ° — F ₂ cos 71,1 ° + F ₃ cos 56,6 ° = 0

Моменты:

7.80 F ₁ sin 69,3 ° — 1,50 F ₂ sin 71,1 ° — 5,20 F ₃ sin 56,6 ° = 0

С помощью матриц найти силы F ₁ , F ₂ и F ₃ .

Ответ

Запишем первое уравнение так, чтобы постоянный член оказался в правой части:

F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° = −926

В матричной форме запишем уравнения как:

`((грех 69.-1 ((- 926), (0), (0)) `

`= ((425.5), (1079.9), (362.2))`

Так

`F_1 = 425,5 \» N «`

`F_2 = 1079.9 \» N «`

`F_3 = 362,2 \» N «`

Это очень просто и быстро в Scientific Ноутбук, Matlab или любая другая система компьютерной алгебры!

Решите следующую систему уравнений матричным методом математики класса 12 CBSE

Подсказка: мы будем использовать формулу $ X = {{A} ^ {- 1}} B $ для решения этого вопроса с помощью матричного метода, где $ X = \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right], {{A} ^ {- 1}} = \ dfrac {AdjA} {\ left | A \ right |} $ и $ B = \ left [\ begin {matrix}
16 \\
19 \\
25 \\
\ end {matrix} \ right] $.{-1}} = \ dfrac {AdjA} {\ left | A \ right |} $ и тогда мы решим вопрос.

Полный пошаговый ответ:
В вопросе указано, что мы должны решить систему уравнений, 4x + 3y + z = 16, 2x + y + 3z = 19, x + 2y + 4z = 25 матричным методом.
Итак, сначала мы должны преобразовать данные уравнения в матричную форму. Итак, мы можем записать это следующим образом.
\ [\ left [\ begin {matrix}
5 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin { матрица}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix}
16 \\
19 \\
25 \\
\ end {matrix} \ right] \]
Здесь \ [A = \ left [\ begin {matrix}
5 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
\ end {matrix} \ right], X = \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] \] и $ B = \ left [\ begin {matrix}
16 \\
19 \\
25 \\
\ end {matrix} \ right] $.
Теперь мы найдем определитель матрицы A, то есть $ \ left | A \ right | $. Итак, получаем,
$ A = \ left | \ begin {matrix}
5 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
\ end {matrix} \ right | $
= 5 (4-6) — 3 ( 8-3) + 1 (4-1)
= 5 (-2) — 3 (5) + (3)
= -10-15 + 3
= -22
Теперь найдем сопряженный к матрице A , то есть Adj A. Итак, предположим, что $ {{c} _ {ij}} $ как кофакторы элементов $ {{a} _ {ij}} $ в $ A \ left [{{a} _ {ij}} \ right] $.{3 + 3}} \ left | \ begin {matrix}
5 & 3 \\
2 & 1 \\
\ end {matrix} \ right | = 1 \ left (5-6 \ right) = — 1 \\
\ end {align} \]
Следовательно, мы получаем матрицу кофакторов как $ \ left [\ begin {matrix}
-2 & -5 & 3 \\
-10 & 19 & -7 \\
8 & -13 & -1 \\
\ end {matrix} \ right] $
Теперь, транспонировав матрицу выше, мы получим $ AdjA $ as,
$ \ begin {align}
& AdjA = {{\ left [\ begin {matrix}
-2 & -5 & 3 \\
-10 & 19 & -7 \\
8 & -13 & -1 \\
\ end {matrix} \ right]} ^ {T}} \\
& AdjA = \ left [\ begin {matrix}
-2 & -10 & 8 \\
-5 & 19 & -3 \\
3 & -7 & -1 \\
\ end {matrix} \ right] \\
\ end {align} $

Теперь мы знаем, что $ {{A} ^ {- 1}} = \ dfrac {1} {\ left | A \ right |} AdjA $.{-1}} = \ dfrac {1} {- 22} \ left [\ begin {matrix}
-2 & -10 & 8 \\
-5 & 19 & -3 \\
3 & -7 & — 1 \\
\ end {matrix} \ right] $ и $ B = \ left [\ begin {matrix}
16 \\
19 \\
25 \\
\ end {matrix} \ right] $.
Следовательно, мы можем написать:
$ \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ dfrac {1} {- 22} \ left [\ begin {matrix}
-2 & -10 & 8 \\
-5 & 19 & -3 \\
3 & -7 & -1 \\
\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix}
16 \\
19 \\
25 \\
\ end {matrix} \ right] $
Теперь мы выполним умножение двух матриц на правой стороне.Итак, мы можем написать:
\ [\ begin {align}
& \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ dfrac {1 } {- 22} \ left [\ begin {matrix}
-32-190 + 200 \\
-80 + 361-325 \\
48-133-25 \\
\ end {matrix} \ right] \\
& \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ dfrac {1} {- 22} \ left [\ begin {matrix}
-22 \\
-44 \\
-110 \\
\ end {matrix} \ right] \\
\ end {align} \]
Теперь возьмем $ \ dfrac {1} {- 22} $ и умножаем его на члены внутри матрицы, так как это константа, и мы знаем, что константы могут быть умножены на члены внутри матрицы.Итак, мы получим,
$ \ begin {align}
& \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix}
-22 \ times \ dfrac {1} {- 22} \\
-44 \ times \ dfrac {1} {- 22} \\
-110 \ times \ dfrac {1} {- 22} \ \
\ end {matrix} \ right] \\
& \ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin { matrix}
1 \\
2 \\
5 \\
\ end {matrix} \ right] \\
\ end {align} $
Следовательно, мы получаем значения x = 1, y = 2 и z = 5.

Примечание. Самая распространенная ошибка, которую делают учащиеся при ответе на этот вопрос, заключается в том, что они не транспонируют матрицу, сформированную после нахождения сомножителей матрицы A. Это приведет к получению неправильных ответов. Также при нахождении определителя матрицы A некоторые студенты могут ошибаться, меняя знаки. Студенты также должны знать, как выполнять умножение матриц, так как есть вероятность ошибки в расчетах. На последнем шаге мы также можем взять -22 общее из матрицы, как показано ниже.
\ [\ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ dfrac {1} {- 22} \ left [\ begin {matrix}
-22 \\
-44 \\
-110 \\
\ end {matrix} \ right] \]
\ [\ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ dfrac {1} {- 22} \ times -22 \ left [\ begin {matrix}
1 \\
2 \\
5 \\
\ end {matrix} \ right ] \]
\ [\ left [\ begin {matrix}
x \\
y \\
z \\
\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix}
1 \\
2 \\
5 \\
\ end {matrix} \ right] \]
Следовательно, мы получаем значения x = 1, y = 2 и z = 5.

обратный метод 3×3 матрица

Матрица обратного метода 3×3

На этой странице обратный метод матрицы 3×3 мы увидим, как решить данное линейное уравнение, используя метод инверсии.

Формула:

Это формула, которую мы собираемся использовать для решения любых линейных уравнений.

X = A⁻¹ B

Пример 1:

Решите следующее линейное уравнение методом инверсии

2x — y + 3z = 9

x + y + z = 6

x — y + z = 2

Решение:

Сначала мы должны записать данное уравнение в виде AX = B.Здесь X представляет неизвестные переменные. A представляют коэффициент переменные, а B представляет константы. обратный метод 3×3 матрица

Чтобы решить эту проблему, мы должны применить формулу X = A⁻¹ B

= 2 [1 + 1] + 1 [1 — 1] + 3 [-1 — 1]

= 2 [2] + 1 [0] + 3 [-2]

= 4 + 0-6

= — 2 ≠ 0

Так как A невырожденная матрица. A⁻¹ существует.

несовершеннолетний из 2
	= 1 — (-1) = 1 + 1 = 2

минор -1
	= 1 — 1 = 0

младший из 3
	= -1 — 1 = -2

младший из 1
обратный метод 3×3 матрица	= -1 — (-3) = -1 + 3 = 2

младший из 1
обратный метод 3×3 матрица	= 2-3 = -1

младший из 1
обратный метод 3×3 матрица	= -2 — (-1) = -2 + 1 = -1

младший из 1
	= -1 — 3 = -4 метод инверсии в матрицах 3×3

минор -1
	= 2-3 = -1

младший из 1
	= 2 — (-1) = 2 + 1 = 3

вспомогательная матрица =
Матрица кофакторов =
Adj A =

	= 1/2 & nbsp (-18 + 12 + 8) (0 + 6-2) (18-6-6) & nbsp

Решение:

x = 1

y = 2

z = 3

Вопросы	Решение
1) Решите следующую однородную систему линейных уравнений, используя метод обращения	2x + y + z = 5 x + y + z = 4 x — y + 2z = 1
	Решение
2) Решите следующую однородную систему линейных уравнений, используя метод обращения	x + 2y + z = 7 2x — y + 2z = 4 x + y — 2z = -1
	Решение
3) Решите следующую однородную систему линейных уравнений, используя метод обращения	x + y + z = 4 x — y + z = 2 2x + y — z = 1
	Решение
4) Решите следующую однородную систему линейных уравнений, используя метод обращения	2x + 5y + 7z = 52 x + y + z = 9 2x + y — z = 0
	Решение
5) Решите следующую однородную систему линейных уравнений, используя метод обращения	3x + y — z = 2 2x — y + 2z = 6 2x + y — 2z = -2
метод инверсии матриц in3x3 метод инверсии матриц in3x3	Решение

Метод обращения матриц 3×3 в минор матрицы .