Решить системы уравнений с помощью обратной матрицы – Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 08.08.202026.12.2019 by alexxlab

Содержание

4.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными

(4.5)

Обозначим:

, ,

где A — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X — матрица-столбец переменных, B -матрица-столбец свободных членов. В матричной форме система (4.5) выглядит так:

. (4.6)

Если матрица A невырожденная, т.е. определитель системы , то для матрицы A существует обратная . Умножая обе части уравнения (4.6) на матрицу слева, получим

Поскольку , а , то решение системы (4.6) дает формула

. (4.7)

Пример 4.1. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Обозначим , , .

Вычислим определитель матрицы A:

, т.е. матрица A невырожденная и метод применим.

По алгоритму, изложенному в п.3.3 (см. пример 3.12)найдем обратную матрицу :

Вычисляем алгебраические дополнения

, ,

Вычисляем обратную матрицу

По формуле (4.7) получаем решение системы:

т.е. решение системы , , .

4.3. Правило Крамера

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (4.5) с невырожденной матрицей системы.

Т е о р е м а К р а м е р а: Пусть — определитель матрицы системы, а — определитель, получаемой из определителя

заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если

, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

. (4.8)

Формулы (4.8) получили название формул Крамера.

С л е д с т в и е : Если система (4.5) несовместная или неопределенная, то .

Пример 4.2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Вычислим определитель матрицы A

, т.е. матрица A невырожденная и метод применим. По теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители ,,, последовательно заменяя в первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов. Получим:

, ,

т.е. решение системы (1, -2, 3).

4.4. Метод Гаусса

Данный метод является самым общим, применимым для любых систем m линейных уравнений с n переменными (4.4).

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что при помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Алгоритм метода состоит из двух частей, называемых прямым и обратным ходом.

Прямой ход – это последовательность действий по приведению системы уравнений к ступенчатому виду.

Шаг 1. Предположим, что коэффициент системы (4.4) отличен от нуля (если , поставим на первое место уравнение, в котором коэффициент при переменной не равен нулю). Затем, умножая первое уравнение последовательно на числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, му уравнению системы (4.4), исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго. Система уравнений примет вид:

(4.9)

Шаг 2. Предположим, что коэффициент системы (4.9) отличен от нуля (если , переставим уравнения в системе так, чтобы коэффициент при переменной во втором уравнении не был равен нулю). Затем, умножая первое уравнение последовательно на числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко третьему, четвертому, му уравнению системы (4.9), исключим неизвестное

из всех уравнений, начиная с третьего. Система уравнений примет вид:

(4.10)

Продолжим процесс последовательного исключения неизвестных далее. В результате преобразований могут получиться уравнения вида (4.3), которые можно вычеркнуть, после чего число уравнений в системе уменьшится. Возможно также, что в результате преобразований получится уравнение вида (4.2), которое является противоречивым. В этом случае система является несовместной. Если уравнение вида (4.2) не встретится, не более чем через шагов прямого хода система примет ступенчатый вид:

(4.11)

Для упрощения записи в системе (4.11) опущены индексы над коэффициентами. Число не превосходит число , т.к. в процессе преобразований возможно уменьшение числа уравнений из-за вычеркивания уравнений вида (4.3). Характерным для системы (4.11) является то, что диагональные коэффициенты , а коэффициенты , , расположенные ниже диагонали, равны нулю. Возможны два случая: и .

Если , то система (4.11) примет треугольный вид

(4.12)

Обратный ход – это процедура нахождения решения системы , когда неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего уравнения и до первого.

1. Случай . Поскольку , из последнего уравнения системы находим

Подставив полученное значение в предпоследнее уравнение системы (4.12), найдем значение неизвестного . Затем, подставляя найденные значения в вышестоящее уравнение, находим и т.д. Наконец из первого уравнения получим . Таким образом, в случае система имеет единственное решение.

2. Случай . Из последнего уравнения выразим неизвестное через неизвестные :

Подставив выражение в предпоследнее уравнение, найдем и остальные неизвестные (аналогично первому случаю). В результате неизвестные будут выражены через неизвестные, т.е. получим систему

(4.13)

которая называется общим решением исходной системы уравнений. Неизвестные называются базисными, а — свободными. Задавая значения свободных неизвестных, из общего решения можно получить соответствующее частное решение системы. Таким образом, в случае система имеет бесконечное множество решений.

Метод Гаусса удобно реализовать в матричной форме. Для этого все коэффициенты и свободные члены системы уравнений записывают в расширенную матрицу системы. Каждому элементарному преобразованию системы линейных уравнений соответствует преобразование ее расширенной матрицы.

Пример 4.3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы, для удобства отделим столбец свободных членов от матрицы системы вертикальной чертой. Подвергнем ее элементарным преобразованиям:

~ ~ ~ ~ .

Сначала мы поменяли местами первую и вторую строки, затем получили нули в первом столбце (для этого первую строку умножили последовательно на -2 , -3, -2 и прибавили ко второй, третьей и четвертой строкам). Затем получили нули во втором столбце, для чего прибавили вторую строку к четвертой. Наконец, к четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на . Получили расширенную матрицу системы треугольного вида, следовательно, система имеет единственно решение, которое найдем обратным ходом метода.

Из последнего уравнения находим . Из предпоследнего уравнения выражаем , откуда находим . Затем выражаем , откуда находим , и, наконец, из первого уравнения получаем , или . Подстановкой можно убедиться в правильности найденного решения.

Пример 4.4. Решить систему уравнений

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Получим

~~.

Уравнение 0 = -26 не имеет решений, следовательно, данная система несовместна.

Пример 4.5. Решить систему уравнений

~ ~ ~~.

Полагая неизвестную свободной, а неизвестные базисными, обратным ходом метода Гаусса находим общее решение системы уравнений:

Поскольку неизвестная может принимать любые значения, данная система имеет бесконечное множество решений. Например, найдем частное решение, соответствующее значению . Подставим в общее решение, получим , , .

УПРАЖНЕНИЯ

Решить системы уравнений а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.

4.6. . 4.7. .

4.8. . 4.9. .

4.10. . 4.11. .

4.12. 4.13.

Решить системы уравнений методом Гаусса.

4.14. . 4.15. .

4.16. 4.17.

4.18..

4.19.

4.20. 4.21.

4.22.

4.23. 4.24.

О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М

studfile.net

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод обратной матрицы. Рассмотрим этот метод подробнее на примере решения СЛАУ, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными.

Введем обозначения: A — матрица СЛАУ, которая имеет вид:

X — вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:

B — вектор столбец свободных коэффициентов:

В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:

Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу A^-1:

Здесь, A^-1 — это матрица, обратная к матрице A. Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).

Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ A должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы A должен быть отличен от нуля:

Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:

Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор B.

Наш онлайн калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом обратной матрицы. Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.

mathforyou.net

Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы с примерами

Метод обратной матрицы не представляет ничего сложного, если знать общие принципы работы с матричными уравнениями и, конечно, уметь производить элементарные алгебраические действия.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы. Пример.

Удобнее всего постигать метод обратной матрицы на наглядном примере. Возьмем систему уравнений:

Первый шаг, который необходимо сделать для решения этой системы уравнений — найти определитель. Поэтому преобразим нашу систему уравнений в следующую матрицу:

И найдем нужный определитель:

Формула, использующаяся для решения матричных уравнений, выглядит следующим образом:

Х = А-1b.

Таким образом, для вычисления Х нам необходимо определить значение матрицы А-1 и умножить его на b. В этом нам поможет другая формула:

Ат в данном случае будет транспонированной матрицей — то есть, той же самой, исходной, но записанной не строками, а столбцами.

Не следует забывать о том, что метод обратной матрицы, как и метод Крамера, подходит только для систем, в которых определитель больше или меньше нуля. Если же определитель равен нулю, нужно использовать метод Гаусса.

Следующий шаг — составление матрицы миноров, представляющей собой такую схему:

В итоге мы получили три матрицы — миноров, алгебраических дополнений и транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Теперь можно переходить к собственно составлению обратной матрицы. Формулу мы уже знаем. Для нашего примера это будет выглядеть так:

Работа почти закончена. Теперь осталось выполнить только умножение матрицы.

Таким образом, ответ для взятого нами примера получается следующим: х1 = 5, х2 = -1, х3 = 1.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Задача №5. Найти решение системы методом обратной матрицы:

Решение.

Здесь , так что матрица А невырожденная и искомое решение имеет вид.

Отсюда

Задача №6. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение.

Находим:

т.е. – решение данной системы.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

Решить системы уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.
Определение совместной и несовместной системы.
Достаточное условие совместной системы.
Определение однородной и неоднородной системы.
Определение ранга матрицы.
Алгоритм решения неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса.
Алгоритм решения однородной системы линейных уравнений.

Типовые задачи

Задача №1. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы:

Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы ;.

Задача №2. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

Произведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим

Задача №3. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Наличие противоречивой строки говорит о несовместности системы линейных уравнений.

Задача №4. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Система имеет единственное решение, т.е. нулевое (тривиальное):

Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных (3<4). Система имеет бесконечно много решений. Получим систему:

Если положитьтои получиличастное решение исходной системы.