Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубические
• уравнение четвёртой степени
• иррациональные и рациональные
• системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
   6x −5x = 10

2. Приведем подобные и завершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
   −4x = 12 | :(−4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

1. Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

   6х = 19 — 1
2. Выполнить вычитание.

   6х = 18

3. Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

   х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

   5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2

3. Приведем подобные члены.

   0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

1. Найти неизвестную переменную.

   х = 1/8 : 4

   х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

1. 4х + 8 = 6 — 7х
2. 4х + 7х = 6 — 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

2. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

   х — х = 4 — 7

3. Приведем подобные члены.

   0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

1. 2х + 6 = 5 — 7х
2. 2х + 6х = 5 — 7
3. 8х = −2
4. х = −2 : 8
5. х = — 0,25

Ответ: — 0,25.

---

---

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 7 класс онлайн-подготовка на

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение

(х-10)(х+5)(х-7) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения

Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0

Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7

Это уравнение имеет три корня.

А вот уравнение

0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.

Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0

Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Выразим неизвестный множитель х.

х = ab

Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.

Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней

, ведь на ноль делить нельзя.

Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство

0*х = 0 верно при любых значениях х.

Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.

Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.

Рассмотрим задачу:

За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.

Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.

По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.

Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.

В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:

(х+2)*9 = (х-2)*11

9х+18 = 11х-22

11х-9х = 18+22

2х = 40

х = 20

За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.

Решение уравнений. Линейное уравнение с одной переменной

Равенство, содержащее неизвестную переменную, называется уравнением.

Всякое значение переменной, при котором выражения принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

При решении уравнений используются следующие свойства:

1. корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например:

    \(\begin{aligned} 1)\ &6x-7= 11\\ &6x= 11+7\\ &6x= 18\\ &x= 3 \end{aligned}\)           \(\begin{aligned} 2)\ &22+3x=37\\ &3x=37-22\\ &3x=15\\ &x=5 \end{aligned}\)

Если в уравнении присутствуют подобные слагаемые, следует перенести все подобные в одну часть уравнения, а числовые слагаемые в другую и привести подобные, затем найти корни.

Например:
         \(5x + 13 = 3x — 3 \\5x — 3x = — 3 — 13 \\2x = — 16 \\x = -8\)

Линейным уравнение с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где a и b – любые числа (коэффициенты).

Решить линейное уравнение – значит найти все значения переменной (неизвестной), при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

Если а = 0 и b = 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).

Если а = 0 и b ≠ 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения линейного уравнения ax + b = 0 в случае, когда а ≠ 0:

1. преобразовать уравнение к виду ax = –b;
2. записать корень уравнения в виде x = (–b) : а.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней. Равносильность уравнений обозначают символом «⇔».

Например: равносильны уравнения 4х – 2 = 0 и 2х – 1 = 0, каждый из них имеет корень х = 0,5.

Линейное уравнение — решение с помощью онлайн решателя

Применение линейных уравнений очень распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Линейные уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Линейное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Существует множество способов решения данных уравнений. Чтобы решить уравнения данного рода необходимо найти значение переменной. Сделать это можно с помощью простых правил переноса и несложных математических операций. Если решаемое вами уравнение находится в общем виде, то все решение сводится к переносу неизвестной в левую сторону, а чисел в правую.

Так же читайте нашу статью «Решить нелинейное уравнение онлайн решателем»

Если при решении вы зашли в тупик и не знаете, что дальше делать, то можно решить линейное уравнение онлайн с решением и на примере разобрать все тонкости данного процесса. С помощью примеров, которые представлены на этом сайте у вас все получится. Давайте для наглядности решим следующее уравнение:

\[3х + 2 = 11\]

Выполним перенос с учетом правил (при переносе знак меняется на противоположный):

\[3x = 11 — 2\]

\[3х = 9\]

\[х = \frac{9}{3}\]

\[x = 3\]

Ответ: \[3\]

Подставив 3 на место х, мы получим одинаковые числа с левой и правой стороны, что говорит о том, что уравнение решено правильно.

Где можно решить линейное уравнение онлайн решателем с решением?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Линейные уравнения с параметром. Анализ решений

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение:

\(x=\frac{q(a)}{p(a)}\) при \(p(a)≠0. \) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Пример 1

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac{5a-3}{a-7}.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. 2}{a}=5a.\) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Линейные уравнения 7 класс | Алгебра

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

   

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

   

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

   

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -9.

   

Раскрываем скобки:

   

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

   

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

   

Раскрываем скобки:

   

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

   

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

   

   

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

   

Раскрываем скобки:

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ:

   

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства

 

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.

1. 10*x + 25*y = 150;

2. x-y=5;

3. -7*x +y = 5;

Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.

Решение линейного уравнения

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором – значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения. 

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Применение различных способов для разложения на множители
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspГрафик линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

Пошаговое решение математических задач для линейных уравнений

6. 2 Решение линейных уравнений

Уравнения вида ax + b = 0 называются линейными уравнениями относительно переменной x. В этом разделе нас будет интересовать проблема решения линейных уравнений и уравнений, которые сводятся к линейным уравнениям.

Мы определяем два уравнения как эквивалентные, если они имеют один и тот же набор решений. Следующие две операции над уравнением всегда приводят к новому уравнению, эквивалентному исходному.Эти операции, иногда называемые элементарными преобразованиями, следующие:

T.1 Одно и то же выражение, представляющее действительное число, может быть добавлено к обеим сторонам уравнения.

T.2 Одно и то же выражение, представляющее ненулевое действительное число, может быть умножено на обе части уравнения.

Используя эти операции, мы можем преобразовать уравнение, набор решений которого не очевиден, с помощью ряда эквивалентных уравнений, в уравнение, которое имеет очевидный набор решений.

Пример 1. Решите уравнение

(а) 2x-3 = 4 + x

Добавьте -x к обеим сторонам, чтобы получить

-x + 2x-3 = -x + 4 + x (T.1)

или x-3 = 4

Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить

х-3 + 3 = 4 + 3 (Т.1)

или x = 7

Поскольку 2x-3 = 4 + x эквивалентно x-3 = 4, что, в свою очередь, эквивалентно x = 7, чье множество решений, очевидно, равно {7}, мы знаем, что множество решений для (a) {7}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает эту и подобные проблемы.Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Пример 2. Решите уравнение

(б) 1 / 2x + 2/3 = 5 / 2x-1

Добавьте — (1/2) x к обеим сторонам, чтобы получить

2/3 = 5 / 2x-1 / 2x-1 (T.1)

или 2/3 = 2x-1

Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить

1 + 2/3 = 2x (T.1)

или 5/3 = 2x

Умножьте обе стороны на 1/2, чтобы получить

5/6 = х (Т. 2)

Таким образом, набор решений (b) равен {5/6}.

Каждое линейное уравнение можно решить так же, как в приведенных выше примерах. Фактически, давайте рассмотрим общее линейное уравнение

топор + Ь = 0

Добавьте -b к обеим сторонам, чтобы получить

топор = -b

Умножьте обе стороны на 1 / a, чтобы получить

х = — (б / а)

, если a a! = 0. Таким образом, общее линейное уравнение имеет своим решением множество {b / a}, если a! = 0. Таким образом, каждое линейное уравнение имеет не более одного решения.

Следующие два примера относятся к уравнениям, которые сводятся к линейным уравнениям.2 в обе стороны, чтобы получить

23 + 16лет = 9 + 30лет

Теперь решаем, как в предыдущих примерах.

23 + 16лет = 9 + 30лет

23–9 = 30–16 лет

14 = 14 лет

г = 1

Таким образом, набор решений равен {1}.

Давайте посмотрим, как наш пошаговый математический решатель решает эту и подобные проблемы. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Пример 4. Решите уравнение

(в) (2x) / (x-1) = 2 / (x-1) +1

Набор для замены (c) — это все действительные числа, кроме 1.Предполагая, что x! = 1, мы умножаем обе части (c) на x-1, чтобы получить

(г) 2х = 2 + х-1, х! = 1

Решая уравнение 2x = 2 + x- 1, мы получаем 1 как единственное решение. Поскольку 1 не является заменой (d), (d) не имеет решения. Кроме того, (c) эквивалентно (d), поэтому (c) не имеет решения.

6.3 Решение буквальных уравнений

Уравнение, содержащее более одной переменной или содержащее символы, представляющие константы, такие как a, b и c, может быть решено для одного из символов в терминах остальных символов путем применения операций T.1 и Т.2 в предыдущем разделе. Студент столкнется с такими проблемами на других курсах.

Пример 1. Решите cx-3a = b для x.

Добавьте 3a с обеих сторон.

сх = Ь + 3а

Умножьте обе стороны на 1 / c.

х = (b + 3a) / c

Последнее уравнение выражает x через другие символы.

Пример 2. Решите 3ay-2b = 2cy относительно y.

Добавьте 2b к обеим сторонам.

3ay = 2cy + 2b

Добавьте -2cy к обеим сторонам.

3ay-2cy = 2b

За вычетом y.

(3a-2c) y = 2b

Умножить обе стороны на 1 / ((3a-2c))

у = (2b) / (3a-2c)

Пример 3. Решите a / x + b / (2x) = c относительно x.

Умножьте обе стороны на 2x.

2a + b = 2cx

2cx = 2a + b

Умножить на 1 / (2c).

х = (2a + b) / (2c)

Мы завершаем этот раздел включением еще двух примеров, подобных тем, с которыми студент может столкнуться в других областях.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Пример 4. Решите A = P (1 + rt) для r.

Применить закон о распределении.

A = P + Prt

Добавьте -P с обеих сторон.

A-P = Prt

Умножьте обе стороны на 1 / (Pt).

(A-P) / (Pt) = r

Пример 5. Решите 1 / R = 1 / r_1 + 1 / r_2 для r_1.

Добавьте два члена с правой стороны.

1 / (R) = (r_2 + r_1) / (r_1r_2)

Умножить на Rr_1r_2.

r_1r_2 = R (r_2 + r_1)

r_1r_2 = Rr_2 + Rr_1

Добавьте -Rr_1 с обеих сторон.

r_1r_2-Rr_1 = Rr_2

Выносим за скобки r_1.

r_1 (r_2-R) = Rr_2

Умножить на 1 / (r_2-R).

r_1 = (Rr_2) / (r_2-R)

6.4 Решение задач в заявлении

Одно из фундаментальных приложений алгебры — решение задач, сформулированных на словах.Задача постановки — это словесное описание ситуации, в которой используются как известные, так и неизвестные величины. В этом разделе каждая проблема будет решена с помощью одного уравнения, содержащего одну неизвестную.

Наша задача — выбрать неизвестное и определить уравнение, которому оно должно удовлетворять. Хотя не существует единого подхода ко всем проблемам, иногда полезны следующие предложения:

1. Внимательно прочтите проблему, пока ситуация полностью не выяснится.

2. Определите, какие количества запрашиваются, затем выберите то, которое кажется лучшим для использования в качестве неизвестного.

3. Установите связь между неизвестным и другими величинами в задаче.

4. Найдите информацию, которая сообщает, какие две величины равны.

5. Используйте информацию в (4), чтобы написать уравнение.

6. Решите уравнение и проверьте решение, чтобы убедиться, что оно соответствует исходной задаче.

На этом этапе упор будет сделан на преобразование задач постановки в уравнения.Хотя некоторые проблемы можно решить практически путем осмотра, практика, которую мы получаем при составлении уравнений, окажется полезной при решении более сложных задач.

Пример 1. Если 2 раза прибавить определенное целое число к следующему целому числу подряд, получится 34. Найдите целые числа.
Шаг 1. Перечитать!
Шаг 2. Пусть x будет первым целым числом.
Шаг 3. Тогда x + 1 — следующее целое число подряд.
Шаг 4., умноженное на 2 определенного целого числа плюс следующее целое число подряд, равно 34.
Шаг 5. 2x + (x + 1) = 34

Шаг 6. Решить.

2x + (x + 1) = 34

3x + 1 = 34

3x = 33

х = 11

Проверить. 2 * 11 + (11 + 1) = 34

Пример 2. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов. Обоим платили по одинаковой ставке, но Боб работал в три раза дольше, чем Джо. Сколько получил каждый?

Шаг 1. Перечитать!

Шаг 2. Пусть x будет количеством долларов, которые получил Джо.

Шаг 3. Тогда 3x — это количество долларов, которые Боб получил

Шаг 4. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов.
Шаг 5. 3x + x = 60

Шаг 6. Решить.

3х + х = 60

4x = 60

х = 15

3x = 45

Проверка 3 * 15 + 15 = 60

Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна 12.Если цифры поменять местами, число уменьшается на 36. Что такое число?

Шаг 1. Перечитать!

Шаг 2. Пусть x будет цифрой десятков.

Шаг 3. Тогда 12 — x — это цифра единиц.

Шаг 4. Если цифры поменять местами, то число уменьшается на 36

Шаг 5. 10 (12-x) + x = 10x + (12-x) -36

Шаг 6. Решить.

10 (12-х) + х = 10х + (12-х) -36

= 120-10x + x = 10x + 12-x-36

= 120-9x = 9x-24

= 144 = 18x

= х = 8

= 12-х = 4

Следовательно, число 84.

Проверить. 84-36 = 48

Пример 4. Сколько фунтов конфет стоимостью 48 центов за фунт нужно добавить к 50 фунтам конфет стоимостью 80 центов за фунт, чтобы владелец магазина мог продать конфеты по 60 центов за фунт?
Шаг 1. Перечитать!
Шаг 2. Пусть x будет количеством фунтов 48 центов за фунт леденцов.
Шаг 3. Тогда 50 + x будут фунтами конфет, которые он получит по цене 60 центов за фунт.
Шаг 4. Количество конфет по цене 48 центов за фунт, умноженное на 48 центов, плюс количество конфет по цене 80 центов за фунт, умноженное на 80 центов, должно быть равно количеству конфет по цене 60 центов за фунт, умноженному на 60 центов.
Шаг 5. (48 / фунт) (x фунт) + (80 ¢ / фунт) (50 фунтов) = (60 ¢ / фунт) [(50 + x) фунт]

Шаг 6. Решить.

48x + 80 * 50 = 60 (50 + x)

48x + 4000 = 3000 + 60x

1000 = 12x

x = (83 (1) / 3) фунтов

Проверить. (83 + 1/3) 48 + 80 * 50 = 60 (50 + 83 + 1/3)

В задачах, связанных со скоростями (или скоростями), будет использоваться формула

d = rt

где d — пройденное расстояние, r — скорость, а t — время. При использовании формулы d и r должны быть выражены в одной и той же единице расстояния, а r и t должны быть выражены в одной и той же единице времени.

Пример 5. Группа студентов поехала к озеру в северном лесу, чтобы порыбачить. Они преодолели 380 миль за 7 часов, из которых 4 часа были по асфальтированной дороге, а оставшееся время — по грунтовой дороге. Если средняя скорость на грунтовой дороге была на 25 миль в час меньше, чем средняя скорость на шоссе, то найдите для каждой части поездки среднюю скорость и пройденное расстояние.

Шаг 1 . Перечитай!

Шаг 2. Пусть x будет скоростью на грунтовой дороге.

Шаг 3. Тогда x + 25 — скорость по шоссе.

Шаг 4. Расстояние, пройденное по шоссе плюс расстояние, пройденное по грунтовой дороге, равно 380 милям.

Шаг 5. Так как d = rt, имеем

[(x + 25) (миль) / (час)] (4 часа) + [x (миль) / (час)] (3 часа) = 380 миль

Шаг 6. Решить.

(х + 25) 4 + 3x = 380

4x + 100 + 3x = 380

7x = 280

x = 40 миль в час

x + 25 = 65 миль в час

Проверить.(40 + 25) 4 + 40 * 3 = 380

Рабочие задачи, которые связаны с производительностью, часто можно решить, сначала найдя дробную часть задачи, выполняемой каждым человеком или машиной за одну единицу времени, а затем найдя уравнение, которое связывает эти различные дробные части.

Пример 6. Мальчик может стричь газон за 4 часа, а отец — за 3 часа. Сколько времени им потребуется, чтобы вместе стричь один и тот же газон?

Шаг 1. Перечитать!

Шаг 2. Пусть x будет количеством часов, которое им потребуется, чтобы стричь газон Работая вместе.

Шаг 3 . В качестве единицы времени выберите один час. Теперь мальчик может стричь 1/4 газона за один час, отец может обрезать 1/3 газона за один час, и, вместе с тем, они могут обрезать 1/4 газона за один час.

Шаг 4. Сумма, которую мальчик вырезал за один час, плюс сумма, которую отец вырезал за один час, равна сумме, которую они могут вырезать за один час.

Шаг 5. 1/3 + 1/4 = 1 / x

Шаг 6. Решить.

1/3 + 1/4 = 1 / х

7/12 = 1 / х

x = 12/7 часов

Алгебра — линейные уравнения

Решите каждое из следующих уравнений.

Показать обсуждение

В следующих задачах мы подробно опишем первую проблему и оставим большую часть объяснений нижеприведенных проблем.

a \ (3 \ left ({x + 5} \ right) = 2 \ left ({- 6 — x} \ right) — 2x \) Показать решение

Для этой задачи нет дробей, поэтому нам не нужно беспокоиться о первом этапе процесса.На следующем шаге нужно упростить обе стороны. Итак, мы уберем все скобки, умножив числа, а затем объединим похожие термины.

\ [\ begin {align *} 3 \ left ({x + 5} \ right) & = 2 \ left ({- 6 — x} \ right) — 2x \\ 3x + 15 & = — 12 — 2x — 2x \\ 3x + 15 & = — 12 — 4x \ end {align *} \]

Следующий шаг — получить все \ (x \) с одной стороны и все числа с другой стороны. С какой стороны идти \ (x \) — решать вам и, вероятно, будет зависеть от проблемы.Как правило, мы помещаем переменные в ту сторону, которая дает положительный коэффициент. Это делается просто потому, что часто легко потерять из виду знак минус на коэффициенте, и поэтому, если мы убедимся, что он положительный, нам не нужно об этом беспокоиться.

Итак, для нашего случая это будет означать прибавление 4 \ (x \) к обеим сторонам и вычитание 15 с обеих сторон. Также обратите внимание, что, хотя мы фактически выполняем эти операции в это время, мы обычно выполняем эти операции в нашей голове.

\ [\ begin {align *} \ require {color} 3x + 15 & = — 12 — 4x \\ 3x + 15 {\ color {Red} — 15} {\ color {Blue} + 4x} & = — 12 — 4x {\ color {Blue} + 4x} {\ color {Red} — 15} \\ 7x & = — 27 \ end {align *} \]

На следующем этапе нужно получить коэффициент 1 перед \ (x \). В этом случае мы можем сделать это, разделив обе стороны на 7.

\ [\ begin {align *} \ frac {{7x}} {7} & = \ frac {{- 27}} {7} \\ x & = — \ frac {{27}} {7} \ end { выровнять*}\]

Итак, если мы выполнили всю нашу работу правильно, \ (x = — \ frac {{27}} {7} \) является решением уравнения.

Последний и последний шаг — проверить решение. Как указано в схеме процесса, нам необходимо проверить решение в исходном уравнении . Это важно, потому что мы могли допустить ошибку на самом первом шаге, и если мы сделали, а затем проверили ответ в результатах этого шага, может показаться, что решение верное, хотя на самом деле мы этого не делаем. У меня нет правильного ответа из-за ошибки, которую мы сделали изначально.? 2 \ left ({- \ frac {{15}} {7}} \ right) + \ frac {{54}} {7} \\ \ frac {{24}} {7} & = \ frac {{24 }} {7} \ hspace {0.5in} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]

Итак, мы выполнили свою работу правильно и решение уравнения:

\ [x = — \ frac {{27}} {7} \]

Обратите внимание, что здесь мы не использовали обозначение набора решений. Для отдельных решений мы редко будем делать это в этом классе. Однако, если бы мы хотели, чтобы обозначение набора решений для этой проблемы было бы

\ [\ left \ {{- \ frac {{27}} {7}} \ right \} \]

Прежде чем перейти к следующей задаче, давайте сначала кратко прокомментируем «беспорядок» этого ответа.НЕ ожидайте, что все ответы будут красивыми простыми целыми числами. Хотя мы стараемся, чтобы большинство ответов были простыми, часто они не будут таковыми, поэтому НЕ зацикливайтесь на идее, что ответ должен быть простым целым числом, что вы сразу же предполагаете, что сделали ошибку из-за «беспорядка» ответ.

b \ (\ displaystyle \ frac {{m — 2}} {3} + 1 = \ frac {{2m}} {7} \) Показать решение

Хорошо, с этим мы не будем так подробно объяснять проблему.

В этом случае у нас есть дроби, поэтому, чтобы облегчить нашу жизнь, мы умножим обе части на ЖК-дисплей, который в данном случае равен 21. После этого проблема будет очень похожа на предыдущую. Также обратите внимание, что знаменатели — это только числа, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль.

Давайте сначала умножим обе стороны на ЖК-дисплей.

\ [\ begin {align *} 21 \ left ({\ frac {{m — 2}} {3} + 1} \ right) & = \ left ({\ frac {{2m}} {7}} \ right ) 21 \\ 21 \ left ({\ frac {{m — 2}} {3}} \ right) + 21 \ left (1 \ right) & = \ left ({\ frac {{2m}} {7} } \ right) 21 \\ 7 \ left ({m — 2} \ right) + 21 & = \ left ({2m} \ right) \ left (3 \ right) \ end {align *} \]

Будьте осторожны, чтобы правильно распределить 21 в скобках с левой стороны.Все, что находится внутри скобок, нужно умножить на 21, прежде чем мы упростим. На данный момент у нас есть проблема, аналогичная предыдущей, и на этот раз мы не будем утруждать себя ее объяснениями.

\ [\ begin {align *} 7 \ ​​left ({m — 2} \ right) + 21 & = \ left ({2m} \ right) \ left (3 \ right) \\ 7m — 14 + 21 & = 6m \\ 7m + 7 & = 6m \\ m & = — 7 \ end {align *} \]

Итак, похоже, \ (m = — 7 \) — это решение.2} — 6 \ left (5 \ right) + 9}} \\ \ frac {5} {4} & = \ frac {5} {4} \ hspace {0.5in} {\ mbox {OK}} \ end {выровнять*}\]
d \ (\ displaystyle \ frac {{2z}} {{z + 3}} = \ frac {3} {{z — 10}} + 2 \) Показать решение

В этом случае ЖК-дисплей выглядит как \ (\ left ({z + 3} \ right) \ left ({z — 10} \ right) \), и также похоже, что нам нужно избегать \ (z = — 3 \) и \ (z = 10 \), чтобы не получить деление на ноль.

Приступим к работе над этой проблемой.2} — 7z — 30} \ right) \ end {align *} \]

На этом этапе давайте сделаем паузу и подтвердим, что у нас есть z ² в работе. 2}}} — 14z — 60 \ \ — 20z & = — 11z — 51 \\ 51 & = 9z \\ \ frac {{51}} {9} & = z \\ & \ frac {{17}} {3} = z \ end {align * } \]

Обратите внимание, что z ² действительно отменяются.? 3 \ left ({- \ frac {3} {{13}}} \ right) + 2 \\ \ frac {{17}} {{13}} & = \ frac {{17}} {{13}} \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {OK}} \ end {align *} \]

Иногда проверка может быть немного запутанной, но это означает, что мы ЗНАЕМ, что решение правильное.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение для прямой линии

Это все линейные уравнения:

		г = 2х + 1
		5x = 6 + 3 года
		y / 2 = 3 — x

Рассмотрим более подробно один пример:

Пример:

y = 2x + 1 — линейное уравнение:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

• Когда x увеличивается, y увеличивается в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
• Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
• Итак: y = 2x + 1

Вот несколько примеров значений:

x	y = 2x + 1
-1	y = 2 × (-1) + 1 = -1
0	y = 2 × 0 + 1 = 1
1	y = 2 × 1 + 1 = 3
2	y = 2 × 2 + 1 = 5

Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!

Различные формы

Существует много способов написания линейных уравнений, но они обычно содержат константы (например, «2» или «c») и должны иметь простые переменные (например, «x» или «y»).

Примеры: Это линейные уравнения:

Но переменные (например, «x» или «y») в линейных уравнениях не имеют НЕ :

Примеры: Это

НЕ линейные уравнения:

		y 2 — 2 = 0
		3√x — y = 6
		x 3 /2 = 16

Форма пересечения откоса

Наиболее распространенной формой является уравнение угла наклона прямой:

Пример: y = 2x + 1

• Уклон: м = 2
• Перехват: b = 1

Форма остроконечного откоса

Другой распространенной формой является форма «точка-уклон» уравнения прямой линии:

y — y 1 = m (x — x 1 )

Пример: y — 3 = (¼) (x — 2)

Он имеет вид y — y ₁ = m (x — x ₁ ) где:

Общая форма

А есть еще Общая форма уравнения прямой:

Ax + By + C = 0

(A и B не могут быть одновременно 0)

Пример: 3x + 2y — 4 = 0

Он имеет вид Ax + By + C = 0 где:

Есть и другие, менее распространенные формы.

как функция

Иногда линейное уравнение записывается как функция с f (x) вместо y:

y = 2x — 3

f (x) = 2x — 3

Это такие же!

И функции не всегда записываются с использованием f (x):

y = 2x — 3

w (u) = 2u — 3

h (z) = 2z — 3

Это тоже такие же!

Функция идентификации

Существует специальная линейная функция, которая называется «Функция идентичности»:

f (x) = x

А вот его график:

Получается под углом 45 ° (уклон 1)

Это называется «Идентификацией», потому что получается , идентичный тому, что входит:

В	Из
0	0
5	5
-2	-2
…etc	… и т. Д.

Постоянные функции

Другой особый тип линейной функции — это постоянная функция … это горизонтальная линия:

f (x) = C

Независимо от того, какое значение «x», f (x) всегда равно некоторому постоянному значению.

Использование линейных уравнений

Вы можете прочитать о том, что можно делать с помощью строк:

Решение одностадийных линейных уравнений: сложение и вычитание

Purplemath

«Линейные» уравнения — это уравнения с простой старой переменной, такой как « x », а не с чем-то более сложным, например, x ² или ^x / _y , квадратным корнем или другим более сложные выражения.Линейные уравнения — это простейшие уравнения, с которыми вам придется иметь дело.

Вы, наверное, уже решили линейные уравнения; ты просто не знал этого. Еще в ранние годы, когда вы учились сложению, ваш учитель, вероятно, дал вам рабочие листы для выполнения, в которых были упражнения вроде следующих:

Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5

Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5

Как только вы достаточно хорошо усвоили факты сложения, вы знали, что вам нужно поставить цифру «2» внутри квадрата.

MathHelp.com

Решение уравнений работает примерно так же, но теперь мы должны выяснить, что входит в x , а не то, что входит в коробку.Однако, поскольку сейчас мы старше, чем когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.

В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную сама по себе; технически мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение изменяется так, чтобы говорить «(переменная) равно (некоторому числу)», где (некоторое число) — это ответ, который они ищут.Например:

Переменная — это буква x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x отдельно; то есть мне нужно получить x с одной стороны от знака «равно» и какое-то число с другой стороны.

Поскольку я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится «плюс шесть», который в настоящее время находится на той же стороне, что и x . Поскольку 6 — это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этой 6, чтобы избавиться от нее.То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их добавление к нему 6.

Это вызывает наиболее важное соображение с уравнениями:

Неважно, с каким уравнением мы имеем дело — линейным или каким-либо другим — что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны сделать то же самое, что и , с другой стороной уравнения. В этом отношении уравнения похожи на малышей:

Мы должны быть полностью, полностью справедливыми по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!

Что бы вы ни делали с уравнением, проделайте ТОЧНО ТАКЖЕ с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!

Вероятно, лучший способ отследить это вычитание 6 с обеих сторон — это отформатировать свою работу следующим образом:

Изображение выше анимировано на «живой» странице.

Здесь вы видите, что я вычел 6 с обеих сторон, нарисовал горизонтальную полосу «равно» под всем уравнением, а затем сложил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:

x плюс ничего равно x , а 6 минус 6 равно нулю

В правой части (RHS) уравнения у меня:

Решение — последнее направление моей работы; а именно:

---

Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была объединена в пару с вычитанием.

Переменная находится в левой части (LHS) уравнения в паре с оператором «вычесть три». Поскольку я хочу получить x отдельно, мне не нравится вычитаемая из него цифра «3». Противоположность вычитанию — это сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим сторонам уравнения, а затем добавлю вниз, чтобы упростить, чтобы получить свой ответ:

Тогда мой ответ:

---

Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения тому, как решать уравнения.Чтобы выполнить эту «проверку», вам нужно всего лишь подставить свой ответ в исходное уравнение и убедиться, что вы получили верное утверждение. (В конце концов, это определение решения уравнения; а именно, решение — это любое значение или набор значений [для более сложных уравнений, позже], что делает исходное уравнение истинным.)

Итак, чтобы проверить мое решение вышеприведенного уравнения, вы должны подставить «–2» вместо x в левую часть (LHS) исходного уравнения и проверить, что это упрощается и дает исходное значение. для правой части (RHS) уравнения:

Проверок:

LHS: (–2) — 3 = –5

RHS: –5

Поскольку каждая сторона исходного уравнения теперь дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.

---

• Решите 4 =

  x — 3 и проверьте свое решение.

На этот раз переменная находится в правой части (RHS) уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я могу изолировать ее (то есть, пока я могу получить ее отдельно от знака «равно»).

В этом уравнении у меня вычитается тройка из переменной.Чтобы отменить вычитание, я добавлю по три с каждой стороны уравнения.

4 = х — 3
+3 + 3
———-
7 = х

(Я мог бы записать правую часть после добавления как « x + 0», но «плюс ноль» обычно игнорируется. Поэтому я перенес только x с правой стороны .)

Теперь, в рамках моей ручной работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, вставив его обратно в правую часть исходного уравнения и подтвердив, что в итоге я получил левую часть исходного уравнения; то есть я получаю 4:

«Проверка» — это то, что я сделал выше.Я постарался четко обозначить вещи, чтобы оценщик смог найти мой «чек» (так что я получу полную оценку за упражнение). Мой окончательный ответ:

---

Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ с помощью переменной слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она закончится.Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Почему? Так как.

---

Это уравнение почти решено. Но не совсем так. У меня нет старого доброго x с правой стороны; вместо этого у меня — x . Что делать?

Я могу представить — x как 0- x . Так что же произойдет, если я добавлю x к каждой стороне уравнения?

2 = –x
+ х + х
——-
х + 2 = 0

Хорошо; это помогло.Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится. И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от двойки в левой части, «вычтя ее» в правой части:

х + 2 = 0
-2 = -2
———-
х = -2

Этот ответ имеет смысл.Если отрицательное значение переменной равняется положительным двум, то положительное значение переменной должно равняться отрицательным двум. Итак, мой ответ:

---

Технически этот последний пример был двухэтапным уравнением, потому что для его решения нужно было добавить одну вещь к обеим сторонам уравнения, а затем вычесть другую вещь к обеим сторонам. Важно отметить, что вы можете складывать и вычитать переменные с другой стороны уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны.Точно такие же методы работают как с переменными, так и с числами.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

---

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

[латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если мы должны решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы имеем следующее:

[латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс]. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

Непоследовательное уравнение приводит к ложному утверждению.Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы имеем следующее:

[латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Subtract} 5x \ text {from обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс]. Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции.Ниже приводится краткий обзор этих операций.

Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

[латекс] ax + b = 0 [/ латекс]

, где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

Как: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное.Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
2. Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

Решение

Это уравнение можно записать в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс], вычитая [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон. Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

[латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}.\ hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].

Попробуй 1

Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

Решение

Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

Решение

Примените стандартные алгебраические свойства.

[латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

Попробуй 2

Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

Решение

Написание линейных уравнений с использованием формы углового пересечения (Алгебра 1, Формулирование линейных уравнений) — Mathplanet

Уравнение в форме пересечения наклона записывается как

$$ y = mx + b $$

Где m — наклон линии, а b — точка пересечения с y.Вы можете использовать это уравнение для написания уравнения, если знаете наклон и точку пересечения по оси Y.

---

Пример

Найдите уравнение прямой

Выберите две точки, которые находятся на линии

Рассчитайте наклон между двумя точками

$$ m = \ frac {y_ {2} \, -y_ ​​{1}} {x_ {2} \, -x_ {1}} = \ frac {\ left (-1 \ right) -3} {3 — \ left (-3 \ right)} = \ frac {-4} {6} = \ frac {-2} {3} $$

Мы можем найти значение b, точку пересечения оси y, посмотрев на график

б = 1

У нас есть значение для m и значение для b.Это дает нам линейную функцию

$$ y = — \ frac {2} {3} x + 1 $$

Во многих случаях значение b не так легко прочитать. В этих случаях или если вы не уверены, пересекает ли линия на самом деле ось Y в этой конкретной точке, вы можете вычислить b, решив уравнение для b, а затем заменив x и y одной из ваших двух точек.

Мы можем использовать приведенный выше пример, чтобы проиллюстрировать это. У нас есть две точки (-3, 3) и (3, -1). По этим двум точкам мы вычислили наклон

.

$$ m = — \ frac {2} {3} $$

Это дает нам уравнение

$$ y = — \ frac {2} {3} x + b $$

Отсюда мы можем решить уравнение для b

$$ b = y + \ frac {2} {3} x $$

И если мы введем значения из нашей первой точки (-3, 3), мы получим

$$ b = 3 + \ frac {2} {3} \ cdot \ left (-3 \ right) = 3 + \ left (-2 \ right) = 1 $$

Если мы введем это значение для b в уравнение, мы получим

$$ y = — \ frac {2} {3} x + 1 $$

, что является тем же уравнением, которое мы получили, когда считали точку пересечения оси Y с графика.

Чтобы вкратце описать, как написать линейное уравнение, используя форму пересечения наклона, вы

1. Определить уклон, м. Это можно сделать, вычислив наклон между двумя известными точками линии с помощью формулы наклона.
2. Найдите точку пересечения оси Y. Это можно сделать, подставив наклон и координаты точки (x, y) на прямой в формулу пересечения наклона, а затем решив относительно b.

Как только у вас есть m и b, вы можете просто поместить их в уравнение в их соответствующие позиции.

---

Видеоурок

Найдите уравнение к графику

2.4 Использование общей стратегии для решения линейных уравнений — элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите уравнения, используя общую стратегию
• Классифицируйте уравнения

Будьте готовы 2,8

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростите: — (a − 4) .− (a − 4).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.137.

Будьте готовы 2.9

Умножить: 32 (12x + 20) 32 (12x + 20).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.133.

Будьте готовы 2.10

Упростить: 5−2 (n + 1) 5−2 (n + 1).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.138.

Будьте готовы 2.11

Умножаем: 3 (7y + 9) 3 (7y + 9).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.132.

Будьте готовы 2.12

Умножаем: (2,5) (6,4) (2,5) (6,4).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.97.

Решение уравнений с использованием общей стратегии

До сих пор мы имели дело с решением одной конкретной формы линейного уравнения. Пришло время разработать одну общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения. Некоторые уравнения, которые мы решаем, не требуют выполнения всех этих шагов, но многие потребуют.

Если начать с упрощения каждой части уравнения, остальные шаги будут проще.

Пример 2.37

Как решать линейные уравнения с использованием общей стратегии

Решите: −6 (x + 3) = 24. −6 (x + 3) = 24.

Попробовать 2,73

Решите: 5 (x + 3) = 35,5 (x + 3) = 35.

Попробовать 2.74

Решить: 6 (y − 4) = — 18,6 (y − 4) = — 18.

How To

Общая стратегия решения линейных уравнений.

1. Шаг 1. Максимально упростите каждую часть уравнения.
   Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.
   Комбинируйте похожие термины.
2. Шаг 2. Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.
   Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
3. Шаг 3. Соберите все постоянные члены с другой стороны уравнения.
   Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
4. Шаг 4. Сделайте коэффициент при переменной члене равным 1.
   Используйте свойство равенства умножения или деления.
   Сформулируйте решение уравнения.
5. Шаг 5. Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.

Пример 2.38

Решите: — (y + 9) = 8 .− (y + 9) = 8.

Попробуйте 2.75

Решить: — (y + 8) = — 2 .− (y + 8) = — 2.

Попробуйте 2.76

Решить: — (z + 4) = — 12 .− (z + 4) = — 12.

Пример 2.39

Решите: 5 (a − 3) + 5 = −105 (a − 3) + 5 = −10.

Попробуйте 2.77

Решить: 2 (m − 4) + 3 = −12 (m − 4) + 3 = −1.

Попробуйте 2.78

Решите: 7 (n − 3) −8 = −157 (n − 3) −8 = −15.

Пример 2.40

Решите: 23 (6m − 3) = 8 − m23 (6m − 3) = 8 − m.

Попробовать 2.79

Решите: 13 (6u + 3) = 7 − u13 (6u + 3) = 7 − u.

Попробуйте 2.80

Решите: 23 (9x − 12) = 8 + 2×23 (9x − 12) = 8 + 2x.

Пример 2.41

Решите: 8−2 (3y + 5) = 08−2 (3y + 5) = 0.

Попробуй 2.81

Решите: 12−3 (4j + 3) = — 1712−3 (4j + 3) = — 17.

Попробуйте 2.82

Решите: −6−8 (k − 2) = — 10−6−8 (k − 2) = — 10.

Пример 2.42

Решите: 4 (x − 1) −2 = 5 (2x + 3) +64 (x − 1) −2 = 5 (2x + 3) +6.

Попробовать 2.83

Решите: 6 (p − 3) −7 = 5 (4p + 3) −126 (p − 3) −7 = 5 (4p + 3) −12.

Попробуйте 2.84

Решите: 8 (q + 1) −5 = 3 (2q − 4) −18 (q + 1) −5 = 3 (2q − 4) −1.

Пример 2.43

Решите: 10 [3−8 (2s − 5)] = 15 (40−5s) 10 [3−8 (2s − 5)] = 15 (40−5s).

Попробовать 2.85

Решите: 6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y) 6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y).

Попробовать 2.86

Решите: 12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z) 12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z).

Пример 2.44

Решите: 0,36 (100n + 5) = 0,6 (30n + 15) 0,36 (100n + 5) = 0,6 (30n + 15).

Попробовать 2.87

Решите: 0,55 (100n + 8) = 0,6 (85n + 14) 0,55 (100n + 8) = 0,6 (85n + 14).

Попробуйте 2.88

Решите: 0,15 (40m − 120) = 0,5 (60m + 12) 0,15 (40m − 120) = 0,5 (60m + 12).

Классифицируйте уравнения

Рассмотрим уравнение, которое мы решили в начале последнего раздела, 7x + 8 = −137x + 8 = −13. Мы нашли решение x = −3x = −3. Это означает, что уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13 верно, когда мы заменяем переменную x на значение −3−3. Мы показали это, когда проверили решение x = −3x = −3 и вычислили 7x + 8 = −137x + 8 = −13 для x = −3x = −3.

Если мы оценим 7x + 87x + 8 для другого значения x , левая часть не будет -13-13.

Уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13 верно, когда мы заменяем переменную x , на значение −3−3, но неверно, когда мы заменяем x любым другим значением. Верно ли уравнение 7x + 8 = −137x + 8 = −13, зависит от значения переменной. Подобные уравнения называются условными уравнениями.

Все решенные нами уравнения являются условными уравнениями.

Условное уравнение

Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, является условным уравнением.

Теперь рассмотрим уравнение 2y + 6 = 2 (y + 3) 2y + 6 = 2 (y + 3). Вы понимаете, что левая и правая стороны эквивалентны? Давайте посмотрим, что произойдет, если мы найдем y .

Распространение.
Вычтите 2y2y, чтобы уместить yy в одну сторону.
Упростите — yy больше нет!

Но 6 = 66 = 6 верно.

Это означает, что уравнение 2y + 6 = 2 (y + 3) 2y + 6 = 2 (y + 3) верно для любого значения y . Мы говорим, что решение уравнения — это все действительные числа. Уравнение, которое справедливо для любого значения переменной, как это, называется тождеством.

Личность

Уравнение, которое истинно для любого значения переменной, называется идентификатором .

Решение идентичности — все действительные числа.

Что произойдет, если мы решим уравнение 5z = 5z − 15z = 5z − 1?

Вычтите 5z5z, чтобы получить только константу справа.
Упростите — буквы zz больше нет!

Но 0 ≠ −10 ≠ −1.

Решение уравнения 5z = 5z − 15z = 5z − 1 привело к ложному утверждению 0 = −10 = −1. Уравнение 5z = 5z − 15z = 5z − 1 не будет выполняться ни при каком значении z. У него нет решения. Уравнение, не имеющее решения или неверное для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие

Уравнение, которое неверно для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие не имеет решения.

Пример 2.45

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1) 6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1)

Попробовать 2.89

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

4 + 9 (3x − 7) = — 42x − 13 + 23 (3x − 2) 4 + 9 (3x − 7) = — 42x − 13 + 23 (3x − 2)

Попробуй 2.90

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

8 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) +4 (x + 3) +18 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) + 4 (х + 3) +1

Пример 2.46

Классифицирует как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

10 + 4 (p − 5) = 010 + 4 (p − 5) = 0

Попробуйте 2.91

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение: 11 (q + 3) −5 = 1911 (q + 3) −5 = 19

Попробуй 2.92

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие и затем сформулируйте решение: 6 + 14 (k − 8) = 956 + 14 (k − 8) = 95

Пример 2.47

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

5 м + 3 (9 + 3 м) = 2 (7 м – 11) 5 м + 3 (9 + 3 м) = 2 (7 м – 11)

Попробовать 2.93

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4) 12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4)

Попробуй 2.94

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d

Тип уравнения	Что произойдет, когда вы его решите?	Решение
Условное уравнение	Истинно для одного или нескольких значений переменных и ложно для всех остальных значений	Одно или несколько значений
Идентификационный номер	Истинно для любого значения переменной	Все вещественные числа
Противоречие	Ложь для всех значений переменной	Нет решения

Таблица 2.5

Раздел 2.4 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с использованием общей стратегии решения линейных уравнений

В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение.

232.

15 (y − 9) = — 6015 (y − 9) = — 60

233.

21 (y − 5) = — 4221 (y − 5) = — 42

234.

−9 (2n + 1) = 36−9 (2n + 1) = 36

235.

−16 (3n + 4) = 32−16 (3n + 4) = 32

238.

— (w − 12) = 30− (w − 12) = 30

239.

— (t − 19) = 28− (t − 19) = 28

241.

8 (9b − 4) −12 = 1008 (9b − 4) −12 = 100

243.

21 + 2 (м − 4) = 2521 + 2 (м − 4) = 25

244.

51 + 5 (4 − q) = 5651 + 5 (4 − q) = 56

245.

−6 + 6 (5 − k) = 15−6 + 6 (5 − k) = 15

246.

2 (9s − 6) −62 = 162 (9s − 6) −62 = 16

247.

8 (6t − 5) −35 = −278 (6t − 5) −35 = −27

248.

3 (10−2x) + 54 = 03 (10−2x) + 54 = 0

249.

−2 (11−7x) + 54 = 4−2 (11−7x) + 54 = 4

250.

23 (9c − 3) = 2223 (9c − 3) = 22

251.

35 (10x − 5) = 2735 (10x − 5) = 27

252.

15 (15c + 10) = c + 715 (15c + 10) = c + 7

253.

14 (20d + 12) = d + 714 (20d + 12) = d + 7

254.

18− (9r + 7) = — 1618− (9r + 7) = — 16

255.

15− (3r + 8) = 2815− (3r + 8) = 28

256.

5− (n − 1) = 195− (n − 1) = 19

257.

−3− (м − 1) = 13−3− (м − 1) = 13

258.

11−4 (y − 8) = 4311−4 (y − 8) = 43

259.

18−2 (y − 3) = 3218−2 (y − 3) = 32

260.

24-8 (3м + 6) = 024-8 (3м + 6) = 0

261.

35−5 (2w + 8) = — 1035−5 (2w + 8) = — 10

262.

4 (а-12) = 3 (а + 5) 4 (а-12) = 3 (а + 5)

263.

−2 (a − 6) = 4 (a − 3) −2 (a − 6) = 4 (a − 3)

264.

2 (5 − u) = — 3 (2u + 6) 2 (5 − u) = — 3 (2u + 6)

265.

5 (8 − r) = — 2 (2r − 16) 5 (8 − r) = — 2 (2r − 16)

266.

3 (4n − 1) −2 = 8n + 33 (4n − 1) −2 = 8n + 3

267.

9 (2m − 3) −8 = 4m + 79 (2m − 3) −8 = 4m + 7

268.

12 + 2 (5−3y) = — 9 (y − 1) −212 + 2 (5−3y) = — 9 (y − 1) −2

269.

−15 + 4 (2−5y) = — 7 (y − 4) + 4−15 + 4 (2−5y) = — 7 (y − 4) +4

270.

8 (x − 4) −7x = 148 (x − 4) −7x = 14

271.

5 (x − 4) −4x = 145 (x − 4) −4x = 14

272.

5 + 6 (3s − 5) = — 3 + 2 (8s − 1) 5 + 6 (3s − 5) = — 3 + 2 (8s − 1)

273.

−12 + 8 (x − 5) = — 4 + 3 (5x − 2) −12 + 8 (x − 5) = — 4 + 3 (5x − 2)

274.

4 (u − 1) −8 = 6 (3u − 2) −74 (u − 1) −8 = 6 (3u − 2) −7

275.

7 (2n − 5) = 8 (4n − 1) −97 (2n − 5) = 8 (4n − 1) −9

276.

4 (p − 4) — (p + 7) = 5 (p − 3) 4 (p − 4) — (p + 7) = 5 (p − 3)

277.

3 (a − 2) — (a + 6) = 4 (a − 1) 3 (a − 2) — (a + 6) = 4 (a − 1)

278.

— (9y + 5) — (3y − 7) — (9y + 5) — (3y − 7) 90 247 = 16− (4y − 2) = 16− (4y − 2)

279.

— (7m + 4) — (2m − 5) — (7m + 4) — (2m − 5)
= 14− (5m − 3) = 14− (5m − 3)

280.

4 [5−8 (4c − 3)] 4 [5−8 (4c − 3)]
= 12 (1−13c) −8 = 12 (1−13c) −8

281.

5 [9−2 (6d − 1)] 5 [9−2 (6d − 1)]
= 11 (4−10d) −139 = 11 (4−10d) −139

282.

3 [−9 + 8 (4h − 3)] 3 [−9 + 8 (4h − 3)]
= 2 (5−12h) −19 = 2 (5−12h) −19

283.

3 [−14 + 2 (15k − 6)] 3 [−14 + 2 (15k − 6)]
= 8 (3−5k) −24 = 8 (3−5k) −24

284.

5 [2 (m + 4) +8 (m − 7)] 5 [2 (m + 4) +8 (m − 7)]
= 2 [3 (5 + m) — (21−3m)] = 2 [3 (5 + m) — (21−3m)]

285.

10 [5 (n + 1) +4 (n − 1)] 10 [5 (n + 1) +4 (n − 1)]
= 11 [7 (5 + n) — (25−3n)] = 11 [7 (5 + n) — (25−3n)]

286.

5 (1,2u-4,8) = — 125 (1,2u-4,8) = — 12

287.

4 (2,5v-0,6) = 7,64 (2,5v-0,6) = 7,6

288.

0,25 (q − 6) = 0,1 (q + 18) 0.25 (q − 6) = 0,1 (q + 18)

289.

0,2 ​​(p − 6) = 0,4 (p + 14) 0,2 (p − 6) = 0,4 (p + 14)

290.

0,2 ​​(30n + 50) = 280,2 (30n + 50) = 28

291.

0,5 (16 мес. + 34) = — 150,5 (16 мес. + 34) = — 15

Классифицируйте уравнения

В следующих упражнениях классифицируйте каждое уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение.

292.

23z + 19 = 3 (5z − 9) + 8z + 4623z + 19 = 3 (5z − 9) + 8z + 46

293.

15y + 32 = 2 (10y − 7) −5y + 4615y + 32 = 2 (10y − 7) −5y + 46

294.

5 (b − 9) +4 (3b + 9) = 6 (4b − 5) −7b + 215 (b − 9) +4 (3b + 9) = 6 (4b − 5) −7b + 21

295.

9 (a − 4) +3 (2a + 5) = 7 (3a − 4) −6a + 79 (a − 4) +3 (2a + 5) = 7 (3a − 4) −6a + 7

296.

18 (5j − 1) + 29 = 4718 (5j − 1) + 29 = 47

297.

24 (3d − 4) + 100 = 5224 (3d − 4) + 100 = 52

298.

22 (3m − 4) = 8 (2m + 9) 22 (3m − 4) = 8 (2m + 9)

299.

30 (2n − 1) = 5 (10n + 8) 30 (2n − 1) = 5 (10n + 8)

300.

7v + 42 = 11 (3v + 8) −2 (13v − 1) 7v + 42 = 11 (3v + 8) −2 (13v − 1)

301.

18u − 51 = 9 (4u + 5) −6 (3u − 10) 18u − 51 = 9 (4u + 5) −6 (3u − 10)

302.

3 (6q − 9) +7 (q + 4) = 5 (6q + 8) −5 (q + 1) 3 (6q − 9) +7 (q + 4) = 5 (6q + 8) −5 (q + 1)

303.

5 (p + 4) +8 (2p − 1) = 9 (3p − 5) −6 (p − 2) 5 (p + 4) +8 (2p − 1) = 9 (3p − 5) −6 (п − 2)

304.

12 (6h − 1) = 8 (8h + 5) −412 (6h − 1) = 8 (8h + 5) −4

305.

9 (4k − 7) = 11 (3k + 1) +49 (4k − 7) = 11 (3k + 1) +4

306.

45 (3y − 2) = 9 (15y − 6) 45 (3y − 2) = 9 (15y − 6)

307.

60 (2x − 1) = 15 (8x + 5) 60 (2x − 1) = 15 (8x + 5)

308.

16 (6n + 15) = 48 (2n + 5) 16 (6n + 15) = 48 (2n + 5)

309.

36 (4 мес. + 5) = 12 (12 мес. + 15) 36 (4 мес. + 5) = 12 (12 мес. + 15)

310.

9 (14d + 9) + 4d = 13 (10d + 6) +39 (14d + 9) + 4d = 13 (10d + 6) +3

311.

11 (8c + 5) −8c = 2 (40c + 25) +511 (8c + 5) −8c = 2 (40c + 25) +5

Повседневная математика

312.

Фехтование У Мики есть ограждение длиной 44 фута, чтобы заставить собаку бегать по его двору. Он хочет, чтобы длина была на 2,5 фута больше ширины. Найдите длину L , решив уравнение 2L + 2 (L − 2,5) = 442L + 2 (L − 2,5) = 44.

313.

монет У Ронды 1,90 доллара в никелях и десять центов. Количество десятицентовиков на единицу меньше двукратного количества пятаков.Найдите количество никелей, n , решив уравнение 0,05n + 0,10 (2n − 1) = 1,900,05n + 0,10 (2n − 1) = 1,90.

Письменные упражнения

314.

Своими словами перечислите этапы общей стратегии решения линейных уравнений.

315.

Объясните, почему вы должны максимально упростить обе стороны уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены — в другую.

316.

Какой первый шаг вы сделаете при решении уравнения 3−7 (y − 4) = 383−7 (y − 4) = 38 ? Почему это ваш первый шаг?

317.

Решите уравнение 14 (8x + 20) = 3x − 414 (8x + 20) = 3x − 4, объяснив все шаги вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении цели этого раздела.

ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое мастерство в этом разделе в свете ваших ответов в контрольном списке? Как это можно улучшить?

.