Что такое дробно-рациональные уравнения, примеры решения уравнений

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили мимо ушей то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Для начала давайте разберемся, что же это такое – дробно-рациональные уравнения?  В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональным уравнением, называется уравнение вида \(fxg(x)=0\).

И конечно, это определение, ни о чем вам не говорит. Тогда я привожу примеры, а вы постарайтесь выявить закономерность, найти что-то общее.

\({{-2x-4}\over {x^2-4}}={{x+5}\over {x-2}}\)         \({{3x^2-6}\over 2(x+1)} =x-1\)    \({x\over x-2 } + {8\over{4-x^2}} — {1\over x+2}=0\)

 

А эти уравнения не являются дробно-рациональными:

\(3x^2+x-25=0 \)               \({{2-x}\over {2}}+{{3x\over 5}}=4\)              \({{2x-1}\over 2}+{5x\over6}-{1-x\over 3}=3x-2\)

 

Два последних уравнения точно не относятся к дробно-рациональным, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое важное, что в знаменателе нет переменной (буквы). А вот в дробно-рациональном уравнении в знаменателе всегда есть переменная.            

Итак, после того, как вы верно определили, какое именно епред вами уранвение, начнем его решать. Первое, что нужно сделать, обозначается тремя большими буквами, О.Д.З. Что же означают эти буквы? Область Допустимых Значений. Что это означает в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторить тему «Алгебраические дроби». А вот для нашей цели это означает следующее: мы берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и отмечаем, что они не равны нулю.

Если для примера использовать наши уравнения \({{-2x-4}\over x^2-4}={x+5\over x-2}\)  , делаем так:      

ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)              

                                                            \( x-2≠0 \)               

\({3x^2-6\over 2(x+1)} =x-1 \)

ОДЗ: \(x+1≠0\)

Почему не указали множитель 2? Так ясно же, что 2≠0

\({x\over x-2}+{8\over 4-x^2}-{1\over x+2}=0\)

ОДЗ: \(x-2≠0\)

      \(4-x^2≠0\)

       \(x+2≠0\)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если вы можете, то решите эти уравнения со знаком , а если не можешь, пока оставьте так, как есть. И идем дальше.

Дальше все дроби, входящие в уравнения, нужно представить в виде одной дроби. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. И в конце выписать то, что получилось, в числителе и приравнять это выражение к нулю. А потом решить уравнение.

Вернемся к нашим примерам: \({-2x-4\over x^2-4}={x+5 \over x-2} \) ОДЗ: \(x^2-4≠0\)

                                                   \({-2x-4\over x^2-4}-{x+5 \over x-2}=0 \)                          \(x-2≠0 \)

Перенесли дробь влево, при  этом поменяли знак. Замечаем, что знаменатель \(x^2-4 \)  можно разложить на множители, с помощью формулы сокращенного умножения \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), а в числителе можно вынести общий множитель «-2» за скобку.

\({-2(x+2)\over (x+2)(x-2)} -{x+5\over x-2}=0\)

Еще раз смотрим на ОДЗ, есть он у нас? Есть! Тогда можно сократить первую дробь на x+2.  Если ОДЗ нет, сокращать нельзя!  Получаем:

\({-2\over x-2}-{x+5 \over x-2}=0\)

Дроби имеют общий знаменатель, значит, их можно отнять:

\({-2-x-5\over x-2}=0\)

Обращаем внимание, так как дроби отнимаем, знак «+» во второй дроби меняем на минус! Приводим в числителе подобные слагаемые:

\({-x-7 \over x-2}=0\)

Вспомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Пора указать, что числитель равен нулю:

\(-x-7=0\)

Это линейное уравнение, переносим «-7» вправо, меняем знак:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Вспоминаем про ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)           \(x-2≠0\).  Если вы смогли решить, то решили так:   \(x^2≠4 \)              \(x≠2\)

                                  \(x_1≠2 \) \(x_2≠-2\)

А если решить не смогли, то подставляем в ОДЗ вместо «x» то, что получилось. У нас \(x=-7\)

Тогда: \((-7)^2-4≠0\)? Выполняется? Выполняется!  

Работаем дальше: \(-7-2≠0\)? Выполняется? Выполняется!

Значит, ответ нашего уравнения: \(x=-7\)

Рассмотрим следующее уравнение: \({3x^2-6\over 2(x+1)}={x-1}\)

Решаем тем же способом. Сначала указываем ОДЗ: \(x+1≠0\)

Затем переносим x-1 влево, сразу этому выражению приписываем знаменатель 1, это можно сделать, так как знаменатель 1 ни на что не влияет.

Получаем:   \({3x^2-6\over 2(x+1)} -{x-1\over1}=0\)

Ищем общий знаменатель, это \(2(x+1)\). Вторую дробь домножаем на это выражение.

Получили:  \({3x^2-6\over2(x+1)} -{(x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)} =0\)      

           \({ 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)} =0 \)

Если сложно, поясню: \(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \)   А так как перед второй дробью стоит знак «-», то, объединяя эти дроби в одну, мы знаки меняем на противоположные.

Дальше приводим в числителе подобные слагаемые:   \({x^2-4\over2(x+1)} =0\)

Замечаем, что \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) и переписываем так: \({(x-2)(x+2)\over2(x+1)} =0\)

Дальше используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, укажем, что числитель равен нулю. \((x-2)(x+2)=0\).   И решим это уравнение. Оно состоит из двух множителей x-2 иx+2. Помним, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Значит: x+2=0 или   x-2=0

Из первого уравнения получаем x=-2 , из второго x=2  . Переносим число, и знак меняем.

На последнем этапе проверяем ОДЗ: x+1≠0

Подставляем вместо x числа 2 и -2.

Получаем 2+1≠0. Выполняется? Да! Значит x=2 — наш корень. Проверяем следующий: -2+1≠0.   Выполняется. Да. Значит и x=-2, тоже наш корень. Итак, ответ: 2 и -2.

Последнее уравнение решим без пояснений. Алгоритм тот же:

1. ОДЗ

2. Общий знаменатель.

3. Числитель приравниваем к нулю.

4. Решаем получившееся уравнение.

5. Проверяем ОДЗ на выполнение.

Попробуйте решить самостоятельно, решение сверьте с образцом:

\({{x\over x-2}+{8\over 4-x^2}-{1\over x+2}}=0 \)   

ОДЗ: \( x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)                                  

\({x\over x-2}+{8\over (2-x)(2+x)} -{1\over x+2}=0 \)

\({x\over x-2}-{8\over(x-2)(2+x)} -{1\over x+2}=0\)            

\({x⋅(x+2)\over x-2}-{8\over(x-2)(x+2)}-{1⋅(x-2)\over x+2}=0\)     

\({x⋅(x+2)-8-1⋅(x-2)}\over{(x-2)(x+2)} =0\)            

\({x^2+2x-8-x+2}\over{(x-2)(x+2)} =0\)         

\({x^2+x-6}\over{(x-2)(x+2)} =0\)

\(x^2+x-6=0\)

\(D=b^2-4ac=1-4⋅1⋅(-6)=1+24=25=5^2\)

\(x_1=-{{b+√D}\over2a}={-1+5\over2}=2\)

\(x_2=-{b-√D\over2a}={-1-5\over2}=-3\)

ОДЗ: 2-2≠0.    Не выполняется, значит x=2 не наш корень.

\(-3-2≠0 \) Выполняется!

\(4-(-3)^2≠0\) Выполняется!

\(-3+2≠0 \) Выполняется! Следовательно, x=-3 решение нашего уравнения.

Уверена, что ваше решение сошлось с образцом.

Напоследок хочу сказать, что мы рассмотрели только один способ решения дробно-рациональных уравнений. Надеюсь, что этот способ не показался вам сложным. Успехов в учебе!

myalfaschool.ru

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:».

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений.

В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

• Задачи на движение по местности.
• Задачи на движение по воде.
• Задачи на работу.
• Задачи на нахождение дробей и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть км/ч - скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение:

, ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) — 720х= х (х+10),

х²+10х-7200=0,

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

х₁=80,

х₂=-90,

-90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Ответ: 80км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений.

Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время.

Используемая литература:

1. И.Л.Бродский, А.М.Видус, А.Б.Коротаев «Сборник текстовых задач по математике для профильных классов».
2. В.И. Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк «Дидактические материалы по алгебре 8 класс».
3. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы под редакцией С.А.Шестакова.
4. Ш.А.Алимов, М.Ю.Колягин и др. «Алгебра 8 класс».
5. А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса».

urok.1sept.ru

Тема урока. Дробно рациональные уравнения.

Алгебра . 8 класс.

Учитель математики

высшей квалификационной категории

школы – лицея № 14

Абушова Н.Ф.

Тема урока. Дробно рациональные уравнения.

Дата проведения 17.02.2016

Тип урока : урок изучения новой темы, интерактивный урок.

Цель урока :

Научить

-решать дробно- рациональные уравнения ;

-находить область допустимых значений дробно- рационального выражения;

-исключать посторонние корни .

Задачи урока :

— познакомиться с понятием дробно- рациональные уравнения;

— изучить методы решения дробно- рациональных уравнений;

— сформировать первичный навык выбора рационального метода решения дробно- рациональных уравнений

Оборудование:

интерактивная доска, интерактивная панель, устройства для голосования ACTIVOTE (тестирующие средства ).

Учебно — методический комплекс урока :

учебник по алгебре 8 класс, авторский флипчарт, раздаточный материал , дидактический материал по математике.

Ход урока :

1. Сообщение темы урока и плана урока. Актуализация знаний учащихся проходит в форме беседы учителя и учащегося по целеполаганию урока.

Вопрос: как вы думаете чем мы сегодня будем заниматься ? (страница флипчарта с целями и задачами урока).

2. Проверка домашнего задания.

Фронтальный разбор трудностей, проверка правильности оформления заданий и выполнения заданий. Запись наиболее интересных индивидуальных творческих заданий .

3. Проверка усвоения изученного.

Работа учащихся в виде индивидуального тестирования с помощью устройства для голосования ACTIVOTE (тестирующие средства ).

Вопросы теста:

1.Решить уравнение х ² + 7=0

2.Найти корни уравнения х² +5х=0

3. Решить уравнение х ² + 5х — 6 = 0

4.Решить квадратного уравнения х² + 6х + 8 = 0

5. Корнями квадратного уравнения х²— 2 х — 15 = 0 являются

6. Корни квадратного уравнения 2 х² + 3х +1 =0.

Задания изображены на интерактивной доске , на их выполнение дается 1,5 минуты. После выполнения всех заданий каждый учащийся получает объективную оценку, поставленную ПК.

4. Изучение новой темы.

Актуализация знаний и мотивация к учебной деятельности

Беседа учителя с учениками

1. Что такое уравнения ?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что значит решить уравнение ?

Работа по кластеру .

Какие уравнения мы умеем решать

Определение дробно – рационального уравнения – учащиеся сами находят в параграфе определения – учитель акцентирует внимания на их виде. Учитель приводит примеры дробно- рациональных уравнений, после чего предлагает учащимся назвать свои варианты.

ИНТЕРАКТИВНОЕ ЗАДАНИЕ.

Определите какие из предложенных уравнений являются дробно- рациональными и отметьте их звездочкой.

Учащиеся по цепочке выходят к доске и выполняют задания.

Выявление проблемы:

Используя имеющие знания, попробуйте решить уравнения :

На выполнения учащимся предлагается 1 минута. Возникли трудности и проблема недостаточности знаний для выполнения предложенных заданий.

Проблемное изложение.

Работа с кластером «Методы и приемы решения дробно -рациональных уравнений ».

Детализация каждого свойства совместно с учащимися и активным привлечением их к решению заданий ( обратная связь).

1 случай

2 случай

3 случай

Разбор проблемных вопросов , возникших до изучения новой темы – учащиеся сами решают задания без помощи учителя.

РЕФЛЕКСИЯ ПО ТЕМЕ :

Разбор вопросов , предложенных учителем на интерактивной доске

— с какими новыми понятиями вы познакомились?

— вспомните какие свойства будем использовать при решение дробно- рационального уравнений ?

— над чем надо работать?

4. Закрепление изученного:

Решение у доски по цепочке №558,560 –фронтальная работа у доски и индивидуальная работа в тетрадях с учебником.

Домашнее задание.

1. Параграф 21 , новые понятия выучить

2. № 559

5. РЕФЛЕКСИЯ ПО УРОКУ. Итоги урока- оценки за урок. Работа по дневнику двойной записи.

Что понял хорошо.

Что вызывает трудности. Над чем надо еще поработать….

Алгебра . 8 класс.

Учитель математики

высшей квалификационной категории

школы – лицея № 14

Абушова Н.Ф.

Тема урока. Решение неполных квадратных уравнений .

Тип урока : урок изучения новой темы, интерактивный урок.

Цель урока :

Научить решать неполные квадратные уравнения различных видов.

Задачи урока :

— познакомиться с видами неполных квадратных уравнений ;

— изучить методы решения неполных квадратных уравнений;

— сформировать первичный навык выбора метода решения квадратных уравнений:

— развить навык устного счета и устного вычисления.

Оборудование:

интерактивная доска, интерактивная панель, устройства для голосования ACTIVOTE (тестирующие средства ).

Учебно — методический комплекс урока :

пробный учебник по алгебре 8 класс, авторский флипчарт, раздаточный материал, дидактический материал по математике.

Ход урока :

1. Сообщение темы урока и плана урока. Актуализация знаний учащихся проходит в форме беседы учителя и учащегося по целеполаганию урока. (страница флипчарта с целями и задачами урока).

2.Проверка домашнего задания.

Фронтальный разбор трудностей, проверка правильности оформления заданий и выполнения заданий. Работа одного учащего у доски, остальные проверяют по образцу.

3. Изучение новой темы .

Проблемное изложение .

Сегодня на уроке

-познакомимся с квадратными уравнения, ее видами и способами решения уравнений ;

научимся определять коэффициенты квадратного уравнения и находить корни неполного квадратного уравнения.

Определение квадратного уравнения , примеры приводят сами учащиеся.

Практическая работа учащихся

Составьте квадратные уравнения по заданным коэффициентам

1) а=2,в=5,с=-6

2) а=-12,в=-10,с=0,6

3) а=1,в=-3,с=12

4) а=2,в=0,с=-6

5) а=-6,в=0,5,с=0

Доказать все ли из полученных уравнений – квадратные? Какие из полученных уравнений вызывают сомнения ? ПОЧЕМУ?

Работа по кластеру .

Разбор способы решения каждого неполного уравнения отдельно.

4 . Закрепление изученного.

А) Устная работа по математическому тренажеру электронного учебника «Витаминный курс» 8 класс.

Б) Решение у доски № 444,447, устно 443

5.Домашнее задание с инструкцией. № 448, выучить все правила и определения

6. Рефлексия по уроку.

Перед вашими глазами «Девево математический знаний», каждый из нас по разному добивается результатов и грызет гранит науки …А попробуйте Вы по деятельности на уроке определи свое положение

Математика 5 класс.

Учитель математики

высшей квалификационной категории

школы – лицея № 14

Абушова Н.Ф.

Тема урока. НОД и НОК чисел.

Дата проведения 4.12.2016

Тип урока : урок изучения новой темы, интерактивный урок.

Цель урока :

научить находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел.

Задачи урока :

— познакомиться с понятием НОД и НОК чисел и алгоритмом нахождения данных понятий ;

— проанализировать сходства и отличие алгоритма нахождения НОД и НОК чисел;

— сформировать навык нахождения НОД и НОК;

— развить технологию устного счета.

Оборудование:

интерактивная доска, интерактивная панель.

Учебно — методический комплекс урока :

пробный учебник по математике 5 класс, авторский флипчарт, авторская интерактивная презентация .

ХОД УРОКА :

1. 1. Сообщение темы урока и плана урока. Актуализация знаний учащихся проходит в форме беседы учителя и учащегося по целеполаганию урока.

Вопрос: как вы думаете чем мы сегодня будем заниматься ? (страница флипчарта с целями и задачами урока).

2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

Фронтальный разбор трудностей, проверка правильности оформления заданий и выполнения заданий. Проверка по образцу, подготовленному учителем на странице флипчарта.

3. ПРОВЕРКА УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ.

Работа с интерактивной игрой в ходе, которой учащиеся устно выполняя задания, открывают изображение с темой урока

3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ .

Проблемная задача 1

На какое наибольшее количество ребят можно разделить поровну 12 яблок и 9 конфет? (учащиеся высказывают предположение с помощью метода подбора)

Существует аналитический метод решения данной задачи.

НОД (12;9)=

(интерактивная презентация)

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя:

1. Разложить числа на простые множители.

2. Найти одинаковые множители . У одного из чисел взять их в кружок.

3. Найти произведение тех множителей, которые взяли в кружок.

! НОД чисел всегда меньше заданных чисел. ПОЧЕМУ?

Самостоятельная практическая работа по вариантам (взаимопроверка) :

1 вариант : самостоятельная работа № 15 стр. 23 дидактического материала для 5 класса 12- летней школы

2 вариант : самостоятельная работа № 15 стр. 24 дидактического материала для 5 класса 12- летней школы

Проблемная задача 2.

Какое количество конфет нужно взять, чтобы их можно было поделить и между тремя, и между шестью детьми поровну?

НОК(6;3)=

(интерактивная презентация)

Нахождение наменьшего общего кратного:

1. Разложить числа на простые множители.

2. Найти одинаковые множители . У одного из чисел взять их в кружок.

3. Найти произведение тех множителей, которые не взяли в кружок.

! НОК чисел всегда больше заданных чисел. ПОЧЕМУ?

Самостоятельная практическая работа по вариантам (взаимопроверка) :

1 вариант : самостоятельная работа № 15 стр. 23 дидактического материала для 5 класса 12- летней школы

2 вариант : самостоятельная работа № 15 стр. 24 дидактического материала для 5 класса 12- летней школы

Задание исследовательского характера. (Работа в парах)

НОД(9,12)=3

НОК (9;12)=36

При этом 9 умножить на 12= 108 и 3 умножить на 12= 108

СДЕЛАЙТЕ ВЫВОД. ПРОВЕРЬТЕ ЭТО УТВЕРЖДЕНИЕ ДЛЯ ДВУХ ДРУГИХ ЧИСЕЛ.

4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА.

а) Устная работа учащихся по математическому тренажеру «Витаминный курс 5 класс » по теме «НОД и НОК чисел» (фронтально)

б) Работа с учебником № 337,338,341,343 (с пояснениями и аргументирование собственных действий).

5. ДОМАШНЯЯ РАБОТА. П. 2.6, №344, 346

6. РЕФЛЕКСИЯ ПО УРОКУ.

А) Работа по дневнику тройной записи:

Что нового узнал на уроке?

Что знал , но забыл?

Над чем буду работать дома и на последующих уроках?

Б) Эмоциональный настрой учащихся. ( учащиеся выражают свое эмоциональное состояние в виде смайликов)

7. ИТОГО УРОКА (подведение итога урока, оценивание учащихся).

infourok.ru

Урок «Дробно- рациональные уравнения»

Урок № 23(в теме № 7) Дата: 20.11

Тема: Дробные рациональные уравнения

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробно- рационального уравнения;

• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

План урока

№ п/п

Этапы урока

Продолжи-тельность

1.

Организационный момент

1 мин

2.

Сообщение темы и цели урока

2 мин

3.

Актуализация знаний

2 мин

4.

Изучение нового материала

20 мин

5

Физкультминутка

1 мин

6.

Первичное закрепление нового материала

15 мин

7.

Подведение итогов урока

2 мин

8.

Постановка домашнего задания

1 мин

9.

Рефлексия

1 мин

Ход урока

1. Организационный момент. Настроимся на урок! (1 мин)

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь! Глубоко вдохните и выдохните. Посмотрите, пожалуйста, друг на друга и улыбнитесь. Начнем урок с проверки домашнего задания (Есть ли у вас вопросы по д/з).

2. Сообщение темы и цели урока(2 мин)

Учитель: Девиз нашего урока

Торопись, ведь дни проходят,

Ты у времени в гостях.

Не рассчитывай на завтра,

Помни: все в твоих руках.

Учитель: На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

Учитель: Как называются выражения из которых составлены 5,6 и 7 уравнения? (дробно-рациональными). Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений»,( а учитель пишет на доске). Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока) (дать определение «дробно-рациональные уравнения», показать способы решения таких уравнений)

3. Актуализация знаний: (2 мин)

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)

• • Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

  • Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (С помощью дискриминанта, используя теорему Виета и ее следствия.)

• Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

4. Изучение нового материала.(20 мин)

Итак, на нашем уроке вы не просто ученики 9 класса, а представители трех племен. Как вы думаете, почему я так вас назвала? (правильно, потому что при решении уравнений вы будете пользоваться определенными правилами. Что же это за правила? Вы сами сейчас попробуете их сформулировать:

1. Племя «Пропорция» будет искать решение, применяя свойство пропорции. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Сформулируйте основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Карточка 1: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

2. Племя «Дробь» — применяя свойство равенства дроби нулю. Ответьте когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения надо умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

2. Племя «Знаменатель» решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске.

3. / *4х 1. 2. , х≠0

х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х

х²-6х=0 2х³-12х²=0

х=0 или х=6 2х²(х-6)=0

Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6

Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0

Ответ: х=6

Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы:

Давайте с вами сравним ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? (До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.)

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7,? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной.)

• Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.)

• Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку.)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения.

Возникает вопрос: что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку ( исключить посторонние корни) ?Я ( дописываю на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).

Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня, т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти область допустимых значений дробей, входящих в уравнение.

2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

4. Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.

5. Физкультминутка .(1 мин)

Учитель: Устали? Давайте отдохнём, проведем физкультминутку.

— Повернитесь ко мне. Я проговариваю предложения. Если оно справедливо – вы встаёте, если нет – то остаётесь сидеть.

1) 5х = 7 имеет единственный корень.(встают) 

2) 4х =4 имеет 2 корня. (сидят)
3) Если Д > 0, то квадратное уравнение имеет два корня. (встают)
4) Если Д < 0, то квадратное уравнение имеет 1 корень. (сидят)

6. Первичное закрепление нового материала.(15 мин)

1. Назовите у каждого уравнения ОДЗ. (устно)(2 мин)

а) ; х≠ 0

б) ; х≠-2, х≠-1

в) ; х≠0

г) ; х≠-5

2. Работа с учебником:(13 мин) Сейчас поработаем с учебником, выполним №289. Прочитайте задание, к доске пойдет Чурилов Сергей. (Решение см приложение)

7. Подведение итогов урока.(2 мин)

Подведем итог урока: что нового вы узнали и чему вы научились на уроке?

– Опишите алгоритм решения дробно-рационального уравнения.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.

8. Постановка домашнего задания(1 мин): Задание на дом: п.13, №290,302.

9.Рефлексия.(1мин)
Уроку подошел конец.

Пусть каждый из вас, ребята, оценит наш урок. У вас на столе лежат смайлики, прикрепите выбранный вами смайлик на доску:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, не понятно.

Спасибо за урок!

infourok.ru

Технологическая карта урока алгебры на тему «Решение дробно рациональных уравнений»

Тема урока: Решение дробно-рациональных уравнений.

Тип урока: урок закрепления знаний

Формируемые результаты

Предметные: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения.

Личностные: формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием.

Метапредметные: формировать умение устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации.

Планируемые результаты: учащийся научится решать дробно-рациональные уравнения.

Основные понятия: линейное уравнение, КВУР, биквадратное уравнение, дробно-рациональное уравнение.

Формы работы: индивидуальная, групповая, коллективная.

Ресурсы: учебник, раздаточный материал, компьютер, презентация.

Организационная структура урока

Задания для учащихся, выполнение которых

приведёт к достижению запланированных результатов

Учебник

Дидактические материалы

1. Организационный этап

Быстренько проверь, дружок,
Готов ли ты начать урок?
Всё ль на месте, всё ль в порядке?
Книжка, ручка и тетрадка?
Проверили? Садитесь!
С усердием трудитесь!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Ф

1) При каких значениях х имеет смысл выражение

;+ ; .

2) Решите уравнение:

а) х (х – 6) = 0

б) х² – 4х = 0

в) х² – 25 = 0

г) (4 – х)(5 + х) = 0

д) х² + 16 = 0

1. 3. Создание проблемной ситуации.

Ф

2. На доске написаны уравнения. Разбейте их на группы. Сколько групп получилось?

1) х – 4 = 3х

2) х² – 5х + 6 = 0

3) х⁴ – 5х² + 4 = 0

4) 5х + 6 = 3х – 9

5) (3х – 7)5 = х – 9

6)

7) 7х – 14 = 0

8) х⁴ – 2х² + 24 = 0

9)

10)

11)

12)

13) х² -7х + 10 = 0

14)

2. 4. Формулирование проблемы: тема и цель урока.

Ф

Ответ: линейные, КВУР, биквадратные, дробно-рациональные.

Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений». Чему вы должны научиться сегодня?

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

Решим уравнение №1

2. Как называется уравнение №2? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

Решим уравнение №2

3. Что представляет собой уравнение №6? (Пропорцию). Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Решим уравнение №6

Решение:

9х = 18 ∙ 5

9х = 90

х = 90 : 9

х = 10

Ответ: 10

Дать определение:

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробно-рациональными уравнениями.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№11). Но так как данное уравнение имеет знаменатель, содержащий неизвестное, то необходимо написать …? ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: х ≠ − 2, х ≠ 4

(х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3)

х² – 4х – 2х + 8 = х² + 3х + 2х + 6

х² – 6х – х² – 5х = 6 – 8

-11х = -2

х = -2 : (-11)

Ответ:

4. Решим уравнение № 10. Какие свойство используются при решении этого уравнения? (Если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

Решение:

| ∙ 6

3х – 3 + 4х = 5х

7х – 5х = 3

2х = 3

х = 3 : 2

х = 1,5

Ответ: 1,5

Какое дробно-рациональное уравнение можно решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№ 12).

Решение:

| ∙ (7 – х)

12 = х(7 – х)

12 = 7х – х²

х² – 7х + 12 = 0

D = 1 > 0, х₁ = 3, х₂ = 4.

Ответ: 3; 4.

5. Теперь решим уравнение № 14 двумя способами.

Решение:

1 способ:

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

х² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

х² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х₁ = 5, х₂ = − 2

х = 5 не удовлетворяет ОДЗ. Говорят, 5 – посторонний корень.

Ответ: − 2

Решение:

2 способ:

| ∙ х(х – 5) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

х(х – 3) + х – 5 = х + 5

х² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

х² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х₁ = 5, х₂ = − 2

х = 5 не удовлетворяет ОДЗ. 5 – посторонний корень.

Ответ: − 2

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Решить уравнение, используя правило: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)

5. Записать ответ.

Другой способ решения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель; не забыв написать ОДЗ

3. Решить получившееся целое уравнение;

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель (используя ОДЗ или проверкой)

5. Записать ответ.

Также можно решить уравнение, используя основное свойство пропорции, не забыв исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)

3. 5. Физкультминутка

4. 6. Первичное закрепление.

Г

№ 777 (1, 4, 11)

Индивидуальное задание Набиеву В.

5. 7. Рефлексия деятельности (итог урока).

Ф

И

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. На следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

И в завершении нашего урока, я хочу, чтобы каждый из вас дал оценку своей работе на уроке. Нарисуйте у себя в тетради того человечка, который соответствует вашему восприятию урока.

8. Информация о домашнем задании

Ф

№ 778 (1, 3, 6, 8), № 745 (1, 3, 5),

№ 746

infourok.ru

Решение дробно-рациональных уравнений — Математика

8 кл. Тема урока: Решение дробно-рациональных уравнений

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробно- рационального уравнения;

• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

8.

Как называются выражения из которых составлены 5,6, 7 и 8 уравнения? (дробно-рациональными)

Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока)

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)

• Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

• Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

• Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

3. Объяснение нового материала.

Итак, на нашем уроке вы не просто ученики 9 класса, а представители одного из трех племен. Как вы думаете, почему я их так назвала? (правильно, потому что при решении уравнений вы будете пользоваться определенными правилами. Что же это за правила? Попробуйте мне их сформулировать:

1. Племя «Пропорция» будет искать решение, применяя свойство пропорции. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Сформулируйте основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Карточка 1: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

1. Племя «Дробь» — применяя свойство равенства дроби нулю. Ответьте когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

1. Племя «Знаменатель» решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске.

/ *4х ОДЗ : х≠0

х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х

х²-6х=0 2х³-12х²=0

х=0 или х=6 2х²(х-6)=0

Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6

Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0

Ответ: х=6

Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы:

Сравниваем ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? (До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.)

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7,8? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-8 – выражения с переменной.)

• Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.)

• Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку.)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения.

Возникает вопрос: что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку? ( исключить посторонние корни) —— дописываем на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).

Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня, т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данными способами. Рассмотрим первый способ: равенство дроби нулю. Дети сами формулируют алгоритм

1. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Решить уравнение.

5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

6. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется основное свойство пропорции?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних

членов равно произведению средних.

2. Решить полученное целое уравнение.

3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

4. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?

3. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Решить получившееся целое уравнение.

4. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

Назовите у каждого уравнения ОДЗ. Мы с вами рассмотрели три способа решения дробных рациональных уравнений.

а) ; х≠ 0

б) ; х≠-2, х≠-1

в) ; х≠0

г) ; х≠-5

4. Первичное осмысление нового материала.

А теперь каждой группе я предлагаю решить уравнения из предложенных любым из способов.

Карточки для групп: Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

(Работа в группах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске

а) Ответ: х =1, х =

б) Ответ: а=3,5

в) Ответ: х = -3, х =2

г) -5 – посторонний корень. Ответ: х = 5;

5. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Но, независимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

1. Постановка домашнего задания.

multiurok.ru

Решение дробных рациональных уравнений

Дата: 17.02.2017 Урок № 63 алгебра 8-А класс

Учитель Чукарина И.В.

Тема: Решение дробно-рациональных уравнений.

Цели урока:

Образовательные

• Совершенствовать навыки решения дробно рациональных уравнений, различными методами.

• Сформировать умения проводить дополнительные исследования, позволяющие исключать посторонние корни.

Развивающие

• Воспитание познавательного интереса к учебному предмету.

• Формирование умений осуществлять самоконтроль.

• Способствовать проявлению личных качеств и способностей.

• Обогащение межличностных отношений.

• Выработать ответственность за принятие и выбор решения, самостоятельность.

Воспитательные

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка, презентация

ХОД УРОКА

1. Организационный этап

Приветствие.

Начинается урок,
Он пойдёт ребятам впрок.
Постарайтесь всё понять —
И внимательно считать.

2. Постановка цели и задач урока.

Вопрос Учителя: Какой была тема предыдущего урока? (Решение дробных рациональных уравнений)

Сегодня на уроке мы постараемся совершенствовать ваши навыки решения дробно-рациональных уравнений. Т.е., тема сегодняшнего урока так же…

3. Актуализация и систематизация знаний.

Блиц-опрос.

1. Какое уравнение называют рациональным?

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

2. Дать определение целого уравнения.

Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями, называют целыми уравнениями.

3. Какое уравнение называют дробным рациональным?

Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.

4. Как решить дробно рациональное уравнение?

• Найти общий знаменатель дробей

• Умножить обе части уравнения на общий знаменатель

• Решить целое уравнение

• Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель

• Записать ответ.

4. Проверка домашнего задания.

Как вы разобрались с домашним заданием и насколько правильно умеете решать рациональные уравнения, попробуем разобраться в ходе решения заданий из математического лото.

Математическое лото.

Учащиеся решают задания и зачеркивают верный ответ в лотерейном билете.

1. Найдите корни квадратного уравнения х²-х-12=0

2. При каких значениях х выражение имеет смысл?

3. Каков общий знаменатель у дробей: и

4. Дробное рациональное уравнение имеет вид…

5. Какова область допустимых значений выражения

6. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0

7. При каких значениях дробь равна «0»?

Лотерейный билет № 1, 3, 5, 7, 9, 11

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 2, 4, 6, 8, 10

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Проверка:

• Билет №1, 3, 5, 7, 9, 11 не закрыты , -1;

• Билет №2, 4, 6, 8, 10 не закрыты , -2.

Оценка:

• “5” выполнено без ошибок;

• “4” выполнено с 1 ошибкой;

• “3” – 2-3 ошибки.

5. Работа в группах.

Домино.

Задание выполняется в течении 7-10 минут.

Команды получают карточки математического домино, которое нужно составить по принципу обычного домино: на каждой последующей карточке содержится ответ уравнения, записанного на предыдущей. Первая карточка содержит слово «начало», последней должна быть карточка со словом «конец».

За выполнение данного задания команда получает по 5 баллов каждому участнику, плюс 1 балл каждому за скорость.

Начало

6

1,5

5

2 и -0,6

=30

-6

=

0 и 1

=

0

конец

6. Физминутка

7. Работа с учебником в парах.

Решение № 690 (д, е) в парах.

1. Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2. Распределите, кто выполняет задание д), а кто – задание е), и выполните их.

3. Проверьте друг друга, правильно ли решено уравнение.

д)

Ответ : 12

е)

Ответ : корней нет

8. Домашнее задание.

№ 690 (ж, з) – задание на оценку «3»;

+ № 609 (в, г) – на оценку «4»;

+ № 606 (а) – на оценку «5».

Акцентировать внимание учащихся на использование формул сокращенного умножения при нахождении общего знаменателя в рациональных уравнениях.

9. Подведение итогов урока.

Выставление оценок в оценочный лист.

10. Рефлексия.

Задачей нашего урока было совершенствование навыков решения дробно-рациональных уравнений. Насколько вы справились с этой задачей, что вам удалось, а что нет попробуем разобраться в ходе следующего упражнения. «Плюс-минус-интересно»

В графу «П» – «плюс» записывается все, что понравилось на уроке, информация и формы работы, которые вызвали положительные эмоции, либо по мнению ученика могут быть ему полезны для достижения каких-то целей.

В графу «М» – «минус» записывается все, что не понравилось на уроке, показалось скучным, вызвало неприязнь, осталось непонятным, или информация, которая, по мнению ученика, оказалась для него не нужной, бесполезной с точки зрения решения жизненных ситуаций.

В графу «И» – «интересно» учащиеся вписывают все любопытные факты, о которых узнали на уроке и что бы еще хотелось узнать по данной проблеме, вопросы к учителю.

Оценочный лист

Ф.И.

Проверка домашнего задания

Лото

2-5 баллов

Опрос

1 балл за каждый верный ответ

Работа в группах Домино

1-6 баллов

Работа в парах

1-5 баллов

Всего баллов

Оценка

14-17 баллов – оценка «5»;

11-13 баллов – оценка «4»;

6-10 баллов – оценка «3»;

0-5 баллов – оценка «2»;

Лотерейный билет № 1

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 3

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 5

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 7

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 9

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 11

х ≠ 2

х

(х + 2) (х – 2)

х₁=-3, х₂=4

-1

2

Лотерейный билет № 2

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Лотерейный билет № 4

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Лотерейный билет № 6

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Лотерейный билет № 8

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Лотерейный билет № 10

х₁=-3, х₂=4

2

х

х = 0 и х = -4

х ≠ 2

-2

Оценочный лист

Ф.И.

Проверка домашнего задания

Лото

2-5 баллов

Опрос

1 балл за каждый верный ответ

Работа в группах Домино

1-6 баллов

Работа в парах

1-5 баллов

Всего баллов

Оценка

14-17 баллов – оценка «5»;

11-13 баллов – оценка «4»;

6-10 баллов – оценка «3»;

0-5 баллов – оценка «2»;

Оценочный лист

Ф.И.

Проверка домашнего задания

Лото

2-5 баллов

Опрос

1 балл за каждый верный ответ

Работа в группах Домино

1-6 баллов

Работа в парах

1-5 баллов

Всего баллов

Оценка

14-17 баллов – оценка «5»;

11-13 баллов – оценка «4»;

6-10 баллов – оценка «3»;

0-5 баллов – оценка «2»;

Начало

6

1,5

5

2 и -0,6

=30

-6

=

0 и 1

=

0

конец

Начало

6

1,5

5

2 и -0,6

=30

-6

=

0 и 1

=

0

конец

Начало

6

1,5

5

2 и -0,6

=30

-6

=

0 и 1

=

0

конец

infourok.ru