Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?

У меня две дроби. У этих дробей один и тот же знаменатель. Эти дроби будут равны, если их числители также совпадают, и только тогда. Итак, я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:

• Решите следующее уравнение:

( x — 3) / 7 = (4 x + 12) / 7

В этом уравнении дроби по обе стороны от знака «равно».У двух дробей одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, когда их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:

x — 3 = 4 x + 12

–3 — 12 = 4 x — x

–15 = 3 x

–5 = x

• Решите следующее уравнение:

Это уравнение состоит из двух равных друг другу дробей (которые можно рассматривать как пропорцию).Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.

Метод 1: преобразование к общему знаменателю:

Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:

Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:

Метод 2: Умножение на общий знаменатель:

Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:

x — 1 = 2 (3)

х — 1 = 6

х = 7

Метод 3: Перекрестное умножение:

Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят.Но это термин, который вы услышите, и он обозначает метод, который может оказаться полезным.

Так как это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал это:

Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.

Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:

5 ( x — 1) = 15 (2)

5 х — 5 = 30

5 х = 35

х = 7

Итак, по каждому из методов мой ответ:

Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равную ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, мы должны использовать Метод 1 или Метод 2.

• Решите следующее уравнение:

В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:

Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5 x ( x + 2), а затем сравнить числители:

Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями x быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:

15 x — (5 x + 10) = x + 2

10 x — 10 = x + 2

9 х = 12

x = ¹² / ₉ = ⁴ / ₃

Так как x = ⁴ / ₃ не вызовет каких-либо проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, то это решение действительно.

Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу обе части на общий знаменатель. Это избавит от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:

В любом случае мой ответ один и тот же:

Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты обычно довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm

Решение рациональных уравнений

Пример 1 — Решить:

Пример 2 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 6 —

Щелкните здесь для практических задач

Как решить рациональное уравнение — видео и стенограмма урока

Пример № 1

Пример номер один: решить. Не забудьте проверить наличие посторонних решений. (3 / ( x + 3)) + (4 / ( x — 2)) = 2 / ( x + 3).

Нашим первым шагом является выяснение терминов, которые нужно освободить от знаменателей. Я смотрю на 3 / ( x + 3). Я записываю ( x + 3) как один из моих общих знаменателей. Я смотрю на 4 / ( x — 2). Я записываю ( x — 2) как другую часть моего общего знаменателя. Я смотрю на 2 / ( x + 3). Поскольку у меня уже есть ( x + 3), записанное в моем знаменателе, мне не нужно его дублировать.

Затем мы умножаем все на наш общий знаменатель — ( x +3) ( x -2).Вот как это будет выглядеть: ((3 ( x + 3) ( x — 2)) / ( x + 3)) + ((4 ( x + 3) ( x — 2)) / ( x — 2)) = (2 ( x + 3) ( x — 2)) / ( x + 3))

Знаменателям нелегко быть выпущеным; происходит битва, и подобные термины в числителе и знаменателе отменяются (или сокращаются). Уберите (или отмените) все ( x + 3) и ( x — 2) в знаменателе и числителе.Наше новое уравнение выглядит так: 3 ( x — 2) + 4 ( x + 3) = 2 ( x — 2).

Распределить для упрощения: (3 x — 6) + (4 x + 12) = 2 x — 4. Соберите похожие термины и решите. 3 x + 4 x = 7 x , -6 + 12 = 6. В итоге получаем 7 x + 6 = 2 x — 4.

Вычтите 2 x с обеих сторон: 7 x — 2 x = 5 x . Вычитание с другой стороны просто отменяет 2 x , и мы получаем 5 x + 6 = -4. Вычтем 6 с обеих сторон: -4 — 6 = -10. Опять же, вычитание 6 приведет к отмене +6, поэтому мы получим 5 x = — 10. Разделим на 5 с обеих сторон, мы сократим 5 и получим x = — 2. x = — 2.

Причина, по которой мы проверяем наши ответы, заключается в том, что иногда мы получаем вирус или, говоря математическим языком, посторонние решения.2 — 1 = ( x + 1) ( x — 1).

Наше новое уравнение выглядит так: (4 / ( x + 1)) — (3 / ( x — 1)) = -2 / ( x + 1) ( x — 1) .

Смотрю на 4 / ( x + 1). Я записываю ( x + 1) как один из моих общих знаменателей. Я смотрю на 3 / ( x — 1). Я записываю ( x — 1) как другую часть моего общего знаменателя. Я смотрю на -2 / ( x + 1) ( x — 1).2 — 1? Отличный вопрос! У нас уже выпущены ( x + 1) и ( x — 1). Нам не нужно делать это дважды.

Теперь умножим каждую часть уравнения на общий знаменатель — ( x + 1) ( x — 1). Считайте это ключом к тюрьме: (4 ( x + 1) ( x -1) / ( x + 1)) — (3 ( x + 1) ( x — 1) / ( x — 1)) = -2 ( x + 1) ( x — 1) / ( x + 1) ( x — 1).

Знаменатели выпустить непросто; идет битва, и подобные условия отменяются (или сокращаются)! Уберите (или отмените) все ( x + 1) и ( x — 1) в знаменателе и числителе. Остается 4 ( x — 1) — 3 ( x + 1) = -2.

Теперь нам нужно найти x .Распределите 4 на ( x — 1) и -3 на ( x + 1). (4 x — 4) — (3 x — 3) = -2. Соберите похожие термины: x — 7 = — 2. Добавьте 7 к обеим сторонам знака равенства: x = 5.

Похоже, наш ответ — 5, но нам нужно перепроверить. Я заменяю все x на 5 и упрощаю. Оказывается, 5 работ, и это решение нашего уравнения. И так наше решение проверяет!

Краткое содержание урока

Для решения рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите общий знаменатель.
2. Умножьте все на общий знаменатель.
3. Упростить.
4. Проверьте ответ (ы), чтобы убедиться, что нет постороннего решения.

Решите рациональные уравнения | Промежуточная алгебра

Результаты обучения

• Решить рациональные уравнения, очистив знаменатели
• Определить посторонние решения в рациональном выражении

Уравнения, содержащие рациональные выражения, называются рациональными уравнениями .Например, [latex] \ frac {2x + 1} {4} = \ frac {x} {3} [/ latex] — рациональное уравнение. Рациональные уравнения могут быть полезны для представления реальных жизненных ситуаций и для поиска ответов на реальные проблемы. В частности, они неплохо подходят для описания множества пропорциональных соотношений.

Один из самых простых способов решить рациональное уравнение — исключить знаменатели с общим знаменателем, а затем использовать свойства равенства, чтобы изолировать переменную. Этот метод часто используется для решения линейных уравнений, в которых используются дроби, как в следующем примере:

Решите [латекс] \ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x [/ latex], сначала очистив дроби в уравнении.

Умножьте обе части уравнения на [латекс] 4 [/ латекс], общий знаменатель дробных коэффициентов.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \\ 4 \ left (\ frac {1} {2} x -3 \ right) = 4 \ left (2- \ frac {3} {4} x \ right) \\\ text {} \\\, \, \, \, 4 \ left (\ frac {1} { 2} x \ right) -4 \ left (3 \ right) = 4 \ left (2 \ right) +4 \ left (- \ frac {3} {4} x \ right) \\ 2x-12 = 8- 3x \\\ подчеркивание {+ 3x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ underline {+ 3x} \\ 5x-12 = 8 \, \, \, \, \, \, \, \, \\\, \, \, \, \, \, \, \ underline {+12} \, \, \, \, \ underline {+12} \\ 5x = 20 \ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Мы могли бы найти общий знаменатель и работать с дробями, но это часто приводит к большему количеству ошибок.Мы можем применить ту же идею к решению рациональных уравнений. Разница между линейным уравнением и рациональным уравнением состоит в том, что рациональные уравнения могут иметь многочлены в числителе и знаменателе дробей. Это означает, что очистка знаменателя может иногда означать умножение всего рационального уравнения на полином. В следующем примере мы очистим знаменатели рационального уравнения с помощью члена, в числителе которого есть многочлен.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} [/ latex].

Найдите наименьший общий знаменатель для [латекс] 4 [/ латекс] и [латекс] 8 [/ латекс]. Помните, чтобы найти ЖК-дисплей, определите наибольшее количество раз, когда каждый фактор появляется в каждой факторизации. Здесь [latex] 2 [/ latex] появляется [latex] 3 [/ latex] раза, поэтому ЖК-дисплеем будет [latex] 2 \ cdot2 \ cdot2 [/ latex] или [latex] 8 [/ latex].

Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, [латекс] 8 [/ латекс], чтобы уравнение оставалось сбалансированным и чтобы исключить знаменатели.

[латекс] \ begin {array} {r} 8 \ cdot \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} \ cdot 8 \, \, \, \, \, \, \ , \\\\\ frac {8 (x + 5)} {8} = \ frac {7 (8)} {4} \, \, \, \, \, \, \\\\\ frac {8 } {8} \ cdot (x + 5) = \ frac {7 (4 \ cdot 2)} {4} \\\\\ frac {8} {8} \ cdot (x + 5) = 7 \ cdot 2 \ cdot \ frac {4} {4} \\\\ 1 \ cdot (x + 5) = 14 \ cdot 1 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите для x .

[латекс] \ begin {массив} {r} x + 5 = 14 \\ x = 9 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение, заменив [latex] 9 [/ latex] на x в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} \\\\\ frac {9 + 5} {8} = \ frac {7 } {4} \\\\\ frac {14} {8} = \ frac {7} {4} \\\\\ frac {7} {4} = \ frac {7} {4} \ end {array } [/ latex]

Следовательно, [латекс] х = 9 [/ латекс].

В следующем примере мы показываем, как решить рациональное уравнение с биномом в знаменателе одного члена.Мы будем использовать общий знаменатель, чтобы исключить знаменатели из обеих дробей. Обратите внимание, что ЖК-дисплей является продуктом обоих знаменателей, потому что у них нет общих факторов.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {8} {x + 1} = \ frac {4} {3} [/ latex].

Очистите знаменатели, умножив каждую сторону на общий знаменатель. Общий знаменатель — [латекс] 3 \ left (x + 1 \ right) [/ latex], поскольку [latex] 3 \ text {и} x + 1 [/ latex] не имеют общих множителей.

[латекс] \ begin {array} {c} 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {8} {x + 1} \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \ слева (\ frac {4} {3} \ right) \ end {array} [/ latex]

Упростите общие множители.

[латекс] \ begin {array} {c} 3 \ cancel {\ left (x + 1 \ right)} \ left (\ frac {8} {\ cancel {x + 1}} \ right) = \ cancel { 3} \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {\ cancel {3}} \ right) \\ 24 = 4 \ left (x + 1 \ right) \\ 24 = 4x + 4 \ end {array} [/ latex]

Теперь это выглядит как линейное уравнение, и для его решения мы можем использовать свойства равенства и умножения.

[латекс] \ begin {array} {c} 24 = 4x + 4 \\\ подчеркивание {-4} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ underline {-4} \\ 20 = 4x \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ frac {8} {\ left (x + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\ \\ frac {8} {\ left (5 + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\\\ frac {8} {6} = \ frac {4} {3} \\\ frac {4} {3} = \ frac {4} {3} \ end {array} [/ latex]

Следовательно, [латекс] х = 5 [/ латекс].

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {x} {3} + 1 = \ frac {4} {3} [/ latex].

Обе фракции в уравнении имеют знаменатель [латекс] 3 [/ латекс]. Умножьте каждый член в обеих частях уравнения (а не только дроби!) На [латекс] 3 [/ латекс].

[латекс] 3 \ left (\ frac {x} {3} +1 \ right) = 3 \ left (\ frac {4} {3} \ right) [/ latex]

Примените свойство распределения и умножьте [латекс] 3 [/ латекс] на каждый член в круглых скобках. Затем упростите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (\ frac {x} {3} \ right) +3 \ left (1 \ right) = 3 \ left (\ frac {4} {3} \ вправо) \\\\\ cancel {3} \ left (\ frac {x} {\ cancel {3}} \ right) +3 \ left (1 \ right) = \ cancel {3} \ left (\ frac { 4} {\ cancel {3}} \ right) \\\\ x + 3 = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ underline {-3} \, \, \, \, \, \ underline {-3} \\\\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Следовательно, [латекс] х = 1 [/ латекс].

В следующем видео мы представляем два способа решения рациональных уравнений с целыми и переменными знаменателями.

Исключенные значения и посторонние решения

Как вы видели, у некоторых рациональных выражений в знаменателе есть переменная. В этом случае требуется дополнительный шаг для их решения. Поскольку деление на [latex] 0 [/ latex] не определено, вы должны исключить значения переменной, которые приведут к знаменателю [latex] 0 [/ latex].Эти значения называются исключенными значениями . Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} [/ latex].

Определите любые значения для x , при которых знаменатель [латекс] 0 [/ латекс].

[латекс] \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} [/ latex]

[латекс] 5 [/ латекс] является исключенным значением, потому что оно делает знаменатель [латекс] x-5 [/ латекс] равным [латекс] 0 [/ латекс].

Поскольку знаменатели всех выражений в уравнении одинаковы, числители должны быть одинаковыми. Приравняйте числители друг к другу и решите относительно x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-5 = 15 \\ 2x = 20 \ x = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \, \, \\\\\ frac {2 (10) -5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\\ frac {20-5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\ \ frac {15} {5} = \ frac {15} {5} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Следовательно, [латекс] х = 10 [/ латекс].

В следующем видео мы представляем пример решения рационального уравнения с переменными в знаменателе.

Вы видели, что существует более одного способа решения рациональных уравнений. Поскольку оба этих метода манипулируют терминами и переписывают их, иногда они могут давать решения, которые не работают в исходной форме уравнения. Эти типы ответов называются посторонними решениями . Вот почему всегда важно проверять все решения в исходных уравнениях — вы можете обнаружить, что они дают неверные утверждения или дают неопределенные выражения. {2}}} {- 4 + 4} \\\\\ frac {16} {0} = \ frac {16} {0} \ end {array} [/ latex]

[latex] -4 [/ latex] исключается, поскольку приводит к делению на [latex] 0 [/ latex].{2}}} {4 + 4} \\\\\ frac {16} {8} = \ frac {16} {8} \ end {array} [/ latex]

Следовательно, [латекс] m = 4 [/ латекс].

Сводка

Вы можете решить рациональные уравнения, найдя общий знаменатель. Переписав уравнение так, чтобы все члены имели общий знаменатель, вы можете найти переменную, используя только числители. Или вы можете умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей, чтобы все члены стали полиномами, а не рациональными выражениями.

Важным шагом в решении рациональных уравнений является отказ от любых посторонних решений из окончательного ответа. Посторонние решения — это решения, которые не удовлетворяют исходной форме уравнения, потому что они приводят к неверным утверждениям или являются исключенными значениями, из-за которых знаменатель становится равным [латекс] 0 [/ латекс].

Решите рациональные уравнения | Начальная алгебра

Результаты обучения

• Решите рациональные уравнения
  • Решить рациональные уравнения, очистив знаменатели
  • Определить посторонние решения в рациональном уравнении
  • Найти переменную в рациональной формуле
• Приложения рациональных уравнений
  • Определите компоненты уравнения работы
  • Решите уравнение работы
  • Определите и запишите пропорцию
  • Решение задач пропорциональности с использованием чертежей в масштабе
  • Определение прямого изменения и решение задач, связанных с прямым изменением
  • Определение обратной вариации и решение задач, связанных с обратной вариацией
  • Определение вариации сочленения и решение проблем, связанных с вариацией сочленения

Уравнения, содержащие рациональные выражения, называются рациональными уравнениями .Например, [latex] \ frac {2x + 1} {4} = \ frac {x} {3} [/ latex] — рациональное уравнение. Рациональные уравнения могут быть полезны для представления реальных жизненных ситуаций и для поиска ответов на реальные проблемы. В частности, они неплохо подходят для описания множества пропорциональных соотношений.

Один из самых простых способов решить рациональное уравнение — исключить знаменатели с общим знаменателем, а затем использовать свойства равенства, чтобы изолировать переменную. Этот метод часто используется для решения линейных уравнений, в которых используются дроби, как в следующем примере:

Решите [латекс] \ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x [/ latex], сначала очистив дроби в уравнении.

Умножьте обе части уравнения на 4, общий знаменатель дробных коэффициентов.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \\ 4 \ left (\ frac {1} {2} x -3 \ right) = 4 \ left (2- \ frac {3} {4} x \ right) \\\ text {} \\\, \, \, \, 4 \ left (\ frac {1} { 2} x \ right) -4 \ left (3 \ right) = 4 \ left (2 \ right) +4 \ left (- \ frac {3} {4} x \ right) \\ 2x-12 = 8- 3x \\\ подчеркивание {+ 3x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ underline {+ 3x} \\ 5x-12 = 8 \, \, \, \, \, \, \, \, \\\, \, \, \, \, \, \, \ underline {+12} \, \, \, \, \ underline {+12} \\ 5x = 20 \ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Мы могли бы найти общий знаменатель и работать с дробями, но это часто приводит к большему количеству ошибок.Мы можем применить ту же идею к решению рациональных уравнений. Разница между линейным уравнением и рациональным уравнением состоит в том, что рациональные уравнения могут иметь многочлены в числителе и знаменателе дробей. Это означает, что очистка знаменателя может иногда означать умножение всего рационального уравнения на полином. В следующем примере мы очистим знаменатели рационального уравнения с помощью членов, в числителе которых есть многочлен.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} 4 = 2 \ cdot2 \\ 8 = 2 \ cdot2 \ cdot2 \ cdot2 \\\ text {LCM} = 2 \ cdot2 \ cdot2 \\\ text {LCM} = 8 \ end {array} [/ latex]

НОК 4 и 8 также является наименьшим общим знаменателем для двух дробей.

Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, 8, чтобы уравнение оставалось сбалансированным, и чтобы избавиться от знаменателей.

[латекс] \ begin {array} {r} 8 \ cdot \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} \ cdot 8 \, \, \, \, \, \, \ , \\\\\ frac {8 (x + 5)} {8} = \ frac {7 (8)} {4} \, \, \, \, \, \, \\\\\ frac {8 } {8} \ cdot (x + 5) = \ frac {7 (4 \ cdot 2)} {4} \\\\\ frac {8} {8} \ cdot (x + 5) = 7 \ cdot 2 \ cdot \ frac {4} {4} \\\\ 1 \ cdot (x + 5) = 14 \ cdot 1 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите для x .

[латекс] \ begin {массив} {r} x + 5 = 14 \\ x = 9 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение, заменив 9 на x в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {x + 5} {8} = \ frac {7} {4} \\\\\ frac {9 + 5} {8} = \ frac {7 } {4} \\\\\ frac {14} {8} = \ frac {7} {4} \\\\\ frac {7} {4} = \ frac {7} {4} \ end {array } [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 9 [/ латекс]

В следующем примере мы показываем, как решить рациональное уравнение с биномом в знаменателе одного члена. Мы будем использовать общий знаменатель, чтобы исключить знаменатели из обеих дробей. Обратите внимание, что ЖК-дисплей является продуктом обоих знаменателей, потому что у них нет общих факторов.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {8} {x + 1} = \ frac {4} {3} [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {c} 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {8} {x + 1} \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \ слева (\ frac {4} {3} \ right) \ end {array} [/ latex]

Упростите общие множители.

[латекс] \ begin {array} {c} 3 \ cancel {\ left (x + 1 \ right)} \ left (\ frac {8} {\ cancel {x + 1}} \ right) = \ cancel { 3} \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {\ cancel {3}} \ right) \\ 24 = 4 \ left (x + 1 \ right) \\ 24 = 4x + 4 \ end {array} [/ latex]

Теперь это выглядит как линейное уравнение, и для его решения мы можем использовать свойства равенства и умножения.

[латекс] \ begin {array} {c} 24 = 4x + 4 \\\ подчеркивание {-4} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ underline {-4} \\ 20 = 4x \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ frac {8} {\ left (x + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\ \\ frac {8} {\ left (5 + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\\\ frac {8} {6} = \ frac {4} {3} \ end { array} [/ latex]

Уменьшите долю [латекс] \ frac {8} {6} [/ latex], упростив общий множитель 2:

[латекс] \ large \ frac {\ cancel {2} \ cdot4} {\ cancel {2} \ cdot3} \ normalsize = \ large \ frac {4} {3} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 1 [/ латекс]

Вы также можете решить эту проблему, умножив каждый член в уравнении на 3, чтобы полностью исключить дроби.Вот как бы это выглядело.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {x} {3} + 1 = \ frac {4} {3} [/ latex].

[латекс] 3 \ left (\ frac {x} {3} +1 \ right) = 3 \ left (\ frac {4} {3} \ right) [/ latex]

Примените свойство распределения и умножьте 3 на каждый член в круглых скобках. Затем упростите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (\ frac {x} {3} \ right) +3 \ left (1 \ right) = 3 \ left (\ frac {4} {3} \ вправо) \\\\\ cancel {3} \ left (\ frac {x} {\ cancel {3}} \ right) +3 \ left (1 \ right) = \ cancel {3} \ left (\ frac { 4} {\ cancel {3}} \ right) \\\\ x + 3 = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ underline {-3} \, \, \, \, \, \ underline {-3} \\\\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 1 [/ латекс]

В следующем видео мы представляем два способа решения рациональных уравнений с целыми и переменными знаменателями.

Исключенные значения и посторонние решения

Некоторые рациональные выражения имеют переменную в знаменателе. В этом случае требуется дополнительный шаг для их решения. Поскольку деление на 0 не определено, вы должны исключить значения переменной, в результате которых знаменатель будет равен 0. Эти значения называются исключенными значениями . Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите уравнение [латекс] \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} [/ latex].

[латекс] \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} [/ latex]

5 является исключенным значением, поскольку оно делает знаменатель [латекс] x-5 [/ латекс] равным 0.

Поскольку знаменатели всех выражений в уравнении одинаковы, числители должны быть одинаковыми. Приравняйте числители друг к другу и решите относительно x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-5 = 15 \\ 2x = 20 \ x = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте решение в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \, \, \\\\\ frac {2 (10) -5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\\ frac {20-5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\ \ frac {15} {5} = \ frac {15} {5} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 10 [/ латекс]

В следующем видео мы представляем пример решения рационального уравнения с переменными в знаменателе.

Вы видели, что существует более одного способа решения рациональных уравнений.{2}}} {4 + 4} \\\\\ frac {16} {8} = \ frac {16} {8} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] m = 4 [/ латекс]

Рациональные формулы

Рациональные формулы могут быть полезными инструментами для представления реальных ситуаций и поиска ответов на реальные проблемы. Уравнения, представляющие прямую, обратную и совместную вариацию, являются примерами рациональных формул, которые могут моделировать многие реальные жизненные ситуации. Как вы увидите, если вам удастся найти формулу, вы сможете разобраться в ситуации.

При решении задач с использованием рациональных формул часто бывает полезно сначала решить формулу для указанной переменной. Например, в рабочих задачах вас просят подсчитать, сколько времени потребуется разным людям, работающим с разной скоростью, чтобы выполнить задачу. Алгебраические модели таких ситуаций часто включают рациональные уравнения, выведенные из рабочей формулы, [латекс] W = rt [/ латекс]. Объем выполненной работы ( Вт, ) является произведением объема работы ( r ) и затраченного времени ( t ).Используя алгебру, вы можете записать формулу работы 3 способами:

[латекс] W = RT [/ латекс]

Найдите время (t): [латекс] t = \ frac {W} {r} [/ latex] (разделите обе стороны на r)

Найдите коэффициент (r): [латекс] r = \ frac {W} {t} [/ latex] (разделите обе стороны на t)

Пример

Формула для определения плотности объекта: [латекс] D = \ frac {m} {v} [/ latex], где D — плотность, м — масса объекта и v объем объекта.Измените формулу, чтобы найти массу ( м ), а затем объем ( v ).

[латекс] D = \ frac {m} {v} [/ латекс]

Умножьте обе части уравнения на v , чтобы получить м.

[латекс] v \ cdot D = \ frac {m} {v} \ cdot v [/ латекс]

Упростите и перепишите уравнение, решив для м .

[латекс] \ begin {array} {l} v \ cdot D = m \ cdot \ frac {v} {v} \\ v \ cdot D = m \ cdot 1 \\ v \ cdot D = m \ end { array} [/ latex]

Чтобы решить уравнение [латекс] D = \ frac {m} {v} [/ latex] в терминах v , вам нужно будет проделать те же шаги до этой точки, а затем разделить обе стороны на D .{2}}} [/ латекс]

В следующем видео мы даем еще один пример решения переменной в формуле или, как их еще называют, буквального уравнения.

Приложения рациональных уравнений

Рациональные уравнения могут использоваться для решения множества задач, связанных с расходами, временем и трудозатратами. Использование рациональных выражений и уравнений может помочь вам ответить на вопросы о том, как объединить рабочих или машины для выполнения работы в соответствии с графиком.

Работа хорошего дня

Работа

«Рабочая проблема» — это пример реальной жизненной ситуации, которую можно смоделировать и решить с помощью рационального уравнения.Рабочие задачи часто просят вас подсчитать, сколько времени потребуется разным людям, работающим с разной скоростью, чтобы выполнить задачу. Алгебраические модели таких ситуаций часто включают рациональные уравнения, выведенные из рабочей формулы, [латекс] W = rt [/ латекс]. (Обратите внимание, что формула работы очень похожа на соотношение между расстоянием, скоростью и временем, или [латекс] d = rt [/ латекс].) Объем выполненной работы ( Вт, ) является произведением скорости работы ( т, ) и затраченного времени ( т, ).Формула работы имеет 3 варианта.

[латекс] \ begin {array} {l} W = rt \\\\\, \, \, \, \, t = \ frac {W} {r} \\\\\, \, \, \ , \, r = \ frac {W} {t} \ end {array} [/ latex]

Некоторые рабочие проблемы заключаются в том, что несколько машин или людей работают вместе над проектом в течение одного и того же времени, но с разной скоростью. В этом случае вы можете сложить их индивидуальные показатели работы вместе, чтобы получить общую норму работы. Давайте посмотрим на пример.

Пример

Myra за 2 часа посадит 50 цветочных луковиц. Фрэнсису требуется 3 часа, чтобы посадить 45 цветочных луковиц.Сколько времени нужно, работая вместе, чтобы посадить 150 луковиц?

Myra: [латекс] \ frac {50 \, \, \ text {bulbs}} {2 \, \, \ text {hours}} [/ latex] или [латекс] \ frac {25 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} [/ latex]

Фрэнсис: [латекс] \ frac {45 \, \, \ text {bulbs}} {3 \, \, \ text {hours}} [/ latex] или [латекс] \ frac {15 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} [/ latex]

Объедините их почасовые ставки, чтобы определить ставку, в которой они работают вместе.

Майра и Фрэнсис вместе:

[латекс] \ frac {25 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} + \ frac {15 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \ , \ text {hour}} = \ frac {40 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} [/ latex]

Используйте одну из рабочих формул, чтобы написать рациональное уравнение, например [latex] r = \ frac {W} {t} [/ latex]. Вы знаете r , комбинированную норму работы, и вы знаете W , объем работы, который необходимо выполнить. Вы не знаете, сколько времени потребуется, чтобы выполнить необходимую работу с установленной скоростью.

[латекс] \ frac {40} {1} = \ frac {150} {t} [/ latex]

Решите уравнение, умножив обе части на общий знаменатель, а затем выделив t .

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {40} {1} \ cdot 1t = \ frac {150} {t} \ cdot 1t \\\\ 40t = 150 \\\\ t = \ frac {150} {40} = \ frac {15} {4} \\\\ t = 3 \ frac {3} {4} \ text {hours} \ end {array} [/ latex]

Ответ

Майре и Фрэнсису потребуется 3 часа 45 минут, чтобы вместе посадить 150 луковиц.

Другие проблемы в работе идут другим путем.Вы можете рассчитать, сколько времени потребуется одному человеку, чтобы выполнить работу в одиночку, если вы знаете, сколько времени требуется людям, работающим вместе, чтобы завершить работу.

Пример

Джо и Джон планируют вместе красить дом. Джон думает, что если бы он работал один, ему потребовалось бы в 3 раза больше времени, чем Джо, чтобы покрасить весь дом. Работая вместе, они могут выполнить работу за 24 часа. Сколько времени потребуется каждому из них, работая в одиночку, чтобы выполнить задание?

Пусть x = время, необходимое Джо для выполнения задания

3 x = время, необходимое Джону для выполнения задания

Работа заключается в том, чтобы покрасить 1 дом или 1. Напишите выражение, представляющее рейтинг каждого человека, используя формулу [latex] r = \ frac {W} {t} [/ latex] _.

Рейтинг Джо: [латекс] \ frac {1} {x} [/ латекс]

Рейтинг Джона: [латекс] \ frac {1} {3x} [/ латекс]

Их комбинированная ставка — это сумма их индивидуальных ставок.Используйте эту скорость, чтобы написать новое уравнение по формуле [latex] W = rt [/ latex].

комбинированный коэффициент: [латекс] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {3x} [/ latex]

Проблема гласит, что им требуется 24 часа вместе, чтобы покрасить дом, поэтому, если вы умножите их совокупную почасовую ставку [латекс] \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {3x} \ right) [/ latex] к 24 вы получите 1 — количество домов, которое они могут покрасить за 24 часа.

[латекс] \ begin {array} {l} 1 = \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {3x} \ right) 24 \\\\ 1 = \ frac {24} { x} + \ frac {24} {3x} \ end {array} [/ latex]

Теперь решите уравнение для x .(Помните, что x представляет количество часов, которое потребуется Джо, чтобы закончить работу.)

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, 1 = \ frac {3} {3} \ cdot \ frac {24} {x} + \ frac {24} {3x} \\\ \\, \, \, 1 = \ frac {3 \ cdot 24} {3x} + \ frac {24} {3x} \\\\\, \, \, 1 = \ frac {72} {3x} + \ frac {24} {3x} \\\\\, \, \, 1 = \ frac {72 + 24} {3x} \\\\\, \, \, 1 = \ frac {96} {3x} \\\\ 3x = 96 \\\\\, \, \, x = 32 \ end {array} [/ latex]

Проверьте решения в исходном уравнении.

[латекс] \ begin {array} {l} 1 = \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {3x} \ right) 24 \\\\ 1 = \ left [\ frac { \ text {1}} {\ text {32}} + \ frac {1} {3 \ text {(32})} \ right] 24 \\\\ 1 = \ frac {24} {\ text {32} } + \ frac {24} {3 \ text {(32})} \\\\ 1 = \ frac {24} {\ text {32}} + \ frac {24} {96} \\\\ 1 = \ frac {3} {3} \ cdot \ frac {24} {\ text {32}} + \ frac {24} {96} \\\\ 1 = \ frac {72} {96} + \ frac {24 } {96} [\ end {array} [/ latex]

Решение проверяет.Поскольку [latex] x = 32 [/ latex], Джо самостоятельно покрасит дом за 32 часа. Время Джона составляет 3 x , поэтому ему потребуется 96 часов, чтобы выполнить такой же объем работы.

Ответ

Джо сам покрасит дом за 32 часа, а Джон сам покрасит дом.

В следующем видео мы показываем еще один пример определения скорости работы одного человека по совокупной скорости работы.

Как показано выше, многие рабочие задачи могут быть представлены уравнением [латекс] \ frac {t} {a} + \ frac {t} {b} = 1 [/ latex], где t — время, необходимое для выполнения вместе, a — это время, которое требуется человеку A для выполнения работы, а b — это время, которое требуется человеку B для выполнения работы.1 относится к общему количеству проделанной работы — в данном случае работа заключалась в покраске 1 дома.

Основная идея здесь — выяснить индивидуальную норму работы каждого рабочего. Затем, как только эти нормы определены, сложите их, умножьте на время t , установите его равным объему проделанной работы и решите рациональное уравнение.

В следующем видео мы представляем еще один пример того, как два человека рисуют с разной скоростью.

Пропорции

Матрешка, или матрешки.

Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны друг другу. Есть много вещей, которые могут быть представлены в соотношениях, в том числе фактическое расстояние на Земле, отображаемое на карте. На самом деле, вы, вероятно, регулярно используете пропорциональные рассуждения и не осознаёте этого. Например, предположим, что вы вызвались предоставить напитки для общественного мероприятия. Вас просят принести достаточно напитков на 35-40 человек. В магазине вы видите, что напитки продаются в упаковках по 12 штук.Вы умножаете 12 на 3 и получаете 36 — этого может быть недостаточно, если появятся 40 человек, поэтому вы решаете купить 4 упаковки напитков на всякий случай.

Этот процесс также может быть выражен в виде пропорционального уравнения и решен с использованием математических принципов. Во-первых, мы можем выразить количество напитков в упаковке как соотношение:

[латекс] \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} [/ латекс]

Затем мы выражаем количество людей, для которых мы покупаем напитки, как отношение к неизвестному количеству необходимых нам упаковок.Мы будем использовать максимум, чтобы у нас было достаточно.

[латекс] \ frac {40 \ text {people}} {x \ text {packages}} [/ latex]

Мы можем узнать, сколько пакетов приобрести, установив выражения, равные друг другу:

[латекс] \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ text {people}} {x \ text {packages}} [/ latex]

Чтобы найти x, мы можем использовать методы решения линейных уравнений, или мы можем использовать перекрестное умножение в качестве ярлыка.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \ frac {12 \ text {drinks}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ текст {люди}} {x \ text {пакеты}} \\\ text {} \\ x \ cdot \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ text { люди}} {x \ text {пакеты}} \ cdot {x} \\\ text {} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 12x = 40 \\\ текст {} \\\, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = \ frac {40} {12} = \ frac {10} {3} = 3.33 \ end {array} [/ latex]

Мы можем округлить до 4, поскольку нет смысла округлять до 0,33 упаковки напитков. Конечно, вы не записываете свое мышление таким образом, когда находитесь в продуктовом магазине, но это помогает вам применить концепции к менее очевидным проблемам. В следующем примере мы покажем, как использовать пропорцию, чтобы найти количество людей на планете, у которых нет доступа к туалету.

Пример

По состоянию на март 2016 года население мира оценивалось в 7 человек.4 миллиарда. . По данным water.org, каждый третий человек на планете не имеет доступа к туалету. Найдите количество людей на планете, у которых нет доступа к туалету.

Прочтите и поймите: Мы можем использовать пропорцию, чтобы найти неизвестное количество людей, которые живут без туалета, поскольку нам дано, что каждый третий не имеет доступа, и нам дано население планеты.

Define and Translate: Мы знаем, что 1 из каждых 3 человек не имеет доступа, поэтому мы можем записать это как отношение (дробь)

[латекс] \ frac {1 \ text {не}} {3 \ text {do}} [/ latex].

Пусть количество людей, не имеющих доступа к туалету, будет x. Соотношение людей с туалетами и без них составляет

[латекс] \ frac {x \ text {not}} {7.4 \ text {миллиард do}} [/ latex]

Обратите внимание, как использование описаний или единиц измерения помогает узнать, где разместить данные числа в пропорции.

Запишите и решите: Приравняйте два отношения, поскольку они представляют одну и ту же дробную часть генеральной совокупности.

[латекс] \ frac {1} {3} = \ frac {x} {7.4 \ text {миллиард}} [/ latex]

Решить:

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {1} {3} = \ frac {x} {7.4} \\\ text {} \\ 7.4 \ cdot \ frac {1} {3} = \ frac {x} {7.4} \ cdot {7.4} \\\ text {} \\ 2.46 = x \ end {array} [/ latex]

Интерпретация: Первоначально единицы были миллиардами людей, поэтому наш ответ: [латекс] 2,46 [/ латекс] миллиарда человек не имеют доступа к туалету. Ого, народу много.

Ответ

2,46 миллиарда человек не имеют доступа к туалету.

В следующем примере мы будем использовать длину не бедренной кости человека, чтобы оценить его рост.Этот процесс используется в судебной медицине и антропологии, и многие научные исследования показали, что это очень хорошая оценка.

Пример

Было доказано, что рост человека пропорционален длине бедра. Учитывая, что человек ростом 71 дюйм имеет длину бедра 17,75 дюйма, каков рост человека с длиной бедра 16 дюймов?

Прочтите и поймите: Высота и длина бедра пропорциональны для всех, поэтому мы можем определить соотношение с заданными высотой и длиной бедра.Затем мы можем использовать это, чтобы написать пропорцию, чтобы найти неизвестную высоту.

Определить и перевести: Пусть x будет неизвестной высотой. Определите соотношение длины и высоты бедра для обоих людей, используя данные измерения.

Человек 1: [латекс] \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {17.75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} [/ латекс]

Человек 2: [латекс] \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} [/ латекс]

Напишите и решите: Приравняйте отношения, так как мы предполагаем, что рост и длина бедра пропорциональны для всех.

[латекс] \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} [/ латекс]

Решите, используя общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Общий знаменатель: [латекс] 71x [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {17.75} {71} = \ frac {16} {x} \\\\ 71x \ cdot \ frac {17.75} {71} = \ frac {16} {x} \ cdot {71x} \\\\ 17.75 \ cdot {x} = 16 \ cdot {71} \\\\ x = \ frac {16 \ cdot {71}} {17.75} = 64 \ end {массив } [/ latex]

Толкование: Неизвестный рост человека 2 составляет 64 дюйма.В общем, мы можем уменьшить дробь [латекс] \ frac {17.75} {71} = 0,25 = \ frac {1} {4} [/ latex], чтобы найти общее правило для всех. Это означает, что для каждой длины бедренной кости рост человека в 4 раза больше.

Другой способ описать отношение длины бедра к высоте, которое мы нашли в последнем примере, — это сказать, что существует соотношение между длиной и высотой бедра 1: 4, или от 1 до 4.

Соотношения также используются в масштабных чертежах. Масштабные чертежи — это увеличенные или уменьшенные чертежи объектов, зданий, дорог и карт.Карты меньше того, что они представляют, и рисунок дендритных клеток в вашем мозгу, скорее всего, больше, чем то, что он представляет. Масштаб чертежа — это соотношение, которое представляет собой сравнение длины фактического объекта и его изображения на чертеже. На изображении ниже показана карта США в масштабе 1 дюйм, представляющая 557 миль. Мы могли бы записать масштабный коэффициент в виде дроби [латекс] \ frac {1} {557} [/ latex] или, как мы это делали с соотношением высоты бедра, 1: 557.

Карта с масштабным коэффициентом

В следующем примере мы будем использовать масштабный коэффициент, указанный на изображении выше, чтобы найти расстояние между Сиэтлом, Вашингтоном и Сан-Хосе, Калифорния.

Пример

Учитывая масштабный коэффициент 1: 557 на карте США, если расстояние от Сиэтла, штат Вашингтон, до Сан-Хосе, штат Калифорния, составляет 1,5 дюйма на карте, определите пропорцию, чтобы найти фактическое расстояние между ними.

Прочтите и поймите: Нам нужно определить пропорцию, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе.

Определить и перевести: T Масштабный коэффициент равен 1: 557, и мы назовем неизвестное расстояние x.Отношение дюймов к милям: [латекс] \ frac {1} {557} [/ латекс].

Мы знаем дюймы между двумя городами, но не знаем миль, поэтому соотношение, описывающее расстояние между ними, равно [latex] \ frac {1.5} {x} [/ latex].

Напишите и решите: Пропорция, которая поможет нам решить эту проблему, равна [latex] \ frac {1} {557} = \ frac {1.5} {x} [/ latex].

Решите, используя общий знаменатель [латекс] 557x [/ латекс], чтобы очистить фракции.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {1} {557} = \ frac {1.5} {x} \\\\ 557x \ cdot \ frac {1} {557} = \ frac {1.5} {x} \ cdot {557x} \\\\ x = 1.5 \ cdot {557} = 835.5 [/ латекс]

Интерпретация: Мы использовали масштабный коэффициент 1: 557, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе. Мы также проверили наш ответ о 835,5 миль с помощью карт Google и обнаружили, что расстояние составляет 839,9 миль, так что у нас все хорошо!

В следующем примере мы найдем коэффициент масштабирования с учетом протяженности между двумя городами на карте и их фактического расстояния друг от друга.

Пример

Два города — 2.На карте 5 дюймов друг от друга. Их фактическое расстояние друг от друга составляет 325 миль. Напишите пропорцию и решите масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Прочтите и поймите: Мы знаем, что каждые 2,5 дюйма на карте представляют 325 фактических миль. Ищем масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Определить и перевести: Нам нужно соотношение [latex] \ frac {1} {x} [/ latex], где x — это фактическое расстояние, представленное на карте одним дюймом.Мы знаем, что на каждые 2,5 дюйма приходится 325 фактических миль, поэтому мы можем определить это соотношение как [latex] \ frac {2.5} {325} [/ latex]

Запишите и решите: Мы можем использовать пропорцию, чтобы приравнять два отношения и найти неизвестное расстояние.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {1} {x} = \ frac {2.5} {325} \\\\ 325x \ cdot \ frac {1} {x} = \ frac {2.5} {325} \ cdot {325x} \\\\ 325 = 2,5x \\\\ x = 130 [/ латекс]

Интерпретация: Масштабный коэффициент для одного дюйма на карте равен 1: 130, или для каждого дюйма карты есть 130 фактических миль.

В следующем видео показан еще один пример определения фактического расстояния с использованием масштабного коэффициента на карте.

В следующем видео мы представляем пример использования пропорций для получения правильного количества лекарства для пациента, а также для поиска нужной смеси кофе.

Вариант

Так много машин, так много шин.

Прямое изменение

Уравнения вариации являются примерами рациональных формул и используются для описания взаимосвязи между переменными.Например, представьте себе стоянку, заполненную машинами. Общее количество шин на стоянке зависит от общего количества автомобилей. Алгебраически вы можете представить эту взаимосвязь уравнением.

[латекс] \ text {количество шин} = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} [/ latex]

Число 4 показывает скорость, с которой связаны автомобили и шины. Вы называете скорость постоянной вариации . Это постоянная величина, потому что это число не меняется. Поскольку количество автомобилей и количество шин связаны константой, изменения количества автомобилей вызывают пропорциональное и устойчивое изменение количества шин.Это пример прямой модификации , где количество шин напрямую зависит от количества автомобилей.

Вы можете использовать уравнение автомобиля и шины как основу для написания общего алгебраического уравнения, которое будет работать для всех примеров прямого изменения. В этом примере количество шин — это выходные данные, 4 — константа, а количество автомобилей — входные данные. Давайте введем эти общие термины в уравнение. Получается [латекс] y = kx [/ latex]. Это формула для всех уравнений прямой вариации.

[латекс] \ text {количество шин} = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \\\ text {output} = \ text {константа} \ cdot \ text {input} [/ latex]

Пример

Решите для k , константу вариации, в задаче прямого изменения, где [латекс] y = 300 [/ латекс] и [латекс] x = 10 [/ латекс].

[латекс] y = kx [/ латекс]

Подставьте известные значения в уравнение.

[латекс] 300 = k \ влево (10 \ вправо) [/ латекс]

Решите относительно k , разделив обе части уравнения на 10.

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {300} {10} = \ frac {10k} {10} \\\\\, \, \, \, 30 = k \ end {array} [ / латекс]

Ответ

Константа изменения, k , равна 30.

В следующем видео мы представляем пример решения уравнения прямой вариации.

Обратная вариация

Другой вид вариации называется обратным вариантом . В этих уравнениях выход равен константе, деленной на входную переменную, которая изменяется.В символической форме это уравнение [латекс] y = \ frac {k} {x} [/ latex].

Одним из примеров обратного изменения является скорость, необходимая для перемещения между двумя городами за заданный промежуток времени.

Допустим, вам нужно ехать из Бостона в Чикаго, а это примерно 1000 миль. Чем больше у вас времени, тем медленнее вы сможете двигаться. Если вы хотите добраться туда за 20 часов, вам нужно ехать со скоростью 50 миль в час (при условии, что вы не прекращаете водить!), Потому что [latex] \ frac {1,000} {20} = 50 [/ latex]. Но если вы можете добраться туда за 40 часов, вам нужно будет в среднем всего 25 миль в час, поскольку [latex] \ frac {1,000} {40} = 25 [/ latex].

Уравнение для определения скорости передвижения из имеющегося у вас времени: [latex] speed = \ frac {miles} {time} [/ latex]. Это уравнение должно напоминать вам формулу расстояния [latex] d = rt [/ latex]. Если вы решите [latex] d = rt [/ latex] для r , вы получите [latex] r = \ frac {d} {t} [/ latex] или [latex] speed = \ frac {miles} { время} [/ латекс].

В случае поездки из Бостона в Чикаго можно написать [latex] s = \ frac {1,000} {t} [/ latex]. Обратите внимание, что это та же форма, что и формула обратной функции вариации, [latex] y = \ frac {k} {x} [/ latex].

Пример

Решите для k , константу вариации, в обратной задаче вариации, где [latex] x = 5 [/ latex] и [latex] y = 25 [/ latex].

[латекс] y = \ frac {k} {x} [/ латекс]

Подставьте известные значения в уравнение.

[латекс] 25 = \ frac {k} {5} [/ латекс]

Решите относительно k , умножив обе части уравнения на 5.

[латекс] \ begin {array} {c} 5 \ cdot 25 = \ frac {k} {5} \ cdot 5 \\\\ 125 = \ frac {5k} {5} \\\\ 125 = k \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Константа изменения, k , равна 125.

В следующем примере мы найдем температуру воды в океане на глубине 500 метров. Температура воды обратно пропорциональна глубине океана.

Температура воды в океане обратно пропорциональна глубине.

Пример

Температура воды в океане обратно пропорциональна глубине воды. Чем глубже ныряет человек, тем холоднее становится вода. На глубине 1000 метров температура воды составляет 5 градусов по Цельсию. Какая температура воды на глубине 500 метров?

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = \ frac {k} {x} \\\\ temp = \ frac {k} {depth} \ end {array} [/ latex]

Подставьте известные значения в уравнение.

[латекс] 5 = \ frac {k} {1,000} [/ латекс]

Решить относительно k .

[латекс] \ begin {array} {l} 1,000 \ cdot5 = \ frac {k} {1,000} \ cdot 1,000 \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, 5,000 = \ frac {1,000k} {1,000} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, 5,000 = k \ end {array} [/ latex]

Теперь, когда известна постоянная вариации k , используйте эту информацию для решения задачи: найдите температуру воды на 500 метрах.

[латекс] \ begin {array} {l} temp = \ frac {k} {depth} \\\\ temp = \ frac {5,000} {500} \\\\ temp = 10 \ end {array} [/ латекс]

Ответ

На высоте 500 метров температура воды 10 ° C.

В следующем видео мы представляем пример обратной вариации.

Вариант совместного

Третий тип изменения называется вариантом шарнира . Совместное изменение такое же, как прямое изменение, за исключением двух или более величин. {2}} h [/ latex] — еще один пример вариации соединения.{2} [/ latex] для основания 10 дюймов и высоты 6 дюймов найдите постоянную вариации и площадь треугольника с основанием 15 дюймов и высотой 20 дюймов.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = kxz \\ Area = k (base) (высота) \ end {array } [/ latex]

Подставьте известные значения в уравнение и решите относительно k .

[латекс] 30 = k \ left (10 \ right) \ left (6 \ right) \\ 30 = 60k \\\\\ frac {30} {60} = \ frac {60k} {60} \\\ \\ frac {1} {2} = k [/ латекс]

Теперь, когда известно k , решите площадь треугольника, основание которого 15 дюймов, а высота 20 дюймов.

[латекс] \ begin {array} {l} Площадь = k (основание) (высота) \\\\ Площадь = (15) (20) (\ frac {1} {2}) \\\\ Площадь = \ frac {300} {2} \\\\ Площадь = 150 \, \, \ text {квадратные дюймы} \ end {array} [/ latex]

Ответ

Константа вариации, k , равна [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], а площадь треугольника составляет 150 квадратных дюймов.

То, что k представляет собой [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], не должно вызывать удивления. Вы знаете, что площадь треугольника равна половине базовой, умноженной на высоту, [латекс] A = \ frac {1} {2} bh [/ latex]. [Latex] \ frac {1} {2} [/ latex] в этой формуле точно такой же [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], который вы рассчитали в этом примере!

В следующем видео мы показываем пример нахождения постоянной вариации для совместно изменяющегося отношения.

Прямая, совместная и обратная вариация

k — постоянная вариации.Во всех случаях [латекс] k \ neq0 [/ latex].

• Прямая вариация: [латекс] y = kx [/ латекс]
• Обратная вариация: [латекс] y = \ frac {k} {x} [/ latex]
• Вариант соединения: [латекс] y = kxz [/ латекс]

Сводка

Рациональные формулы можно использовать для решения множества задач, связанных с тарифами, временем и трудозатратами. Прямые, обратные уравнения и уравнения совместной вариации являются примерами рациональных формул. В прямом изменении переменные имеют прямую взаимосвязь — по мере увеличения одной величины другая величина также будет увеличиваться.Когда одно количество уменьшается, другое количество уменьшается. В обратной вариации переменные имеют обратную зависимость: когда одна переменная увеличивается, другая уменьшается, и наоборот. Совместная вариация такая же, как прямая вариация, за исключением двух или более переменных.

Сводка

Вы можете решить рациональные уравнения, найдя общий знаменатель. Переписав уравнение так, чтобы все члены имели общий знаменатель, вы можете найти переменную, используя только числители.Или вы можете умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы все члены превратились в полиномы вместо рациональных выражений.

Важным шагом в решении рациональных уравнений является отказ от любых посторонних решений из окончательного ответа. Посторонние решения — это решения, которые не удовлетворяют исходной форме уравнения, потому что они приводят к неверным утверждениям или являются исключенными значениями, делающими знаменатель равным 0.

Как найти решение рационального уравнения с помощью LCD

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решите рациональные уравнения — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решить рациональные уравнения
• Решить рациональное уравнение для конкретной переменной

Определив термины выражение и уравнение в начале работы «Основы», мы использовали их в этой книге.У нас есть упрощенных многих видов выражений и решенных многих видов уравнений . До сих пор в этой главе мы упростили многие рациональные выражения. Теперь решим рациональные уравнения.

Определение рационального уравнения аналогично определению уравнения, которое мы использовали в «Основах».

Рациональное уравнение

Рациональное уравнение — это два рациональных выражения, соединенных знаком равенства.

Вы должны знать разницу между рациональными выражениями и рациональными уравнениями.Уравнение содержит знак равенства.

Решите рациональные уравнения

Мы уже решили линейные уравнения, содержащие дроби. Мы нашли ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, а затем умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы «очистить» дроби.

Вот пример, который мы сделали, когда работали с линейными уравнениями:

Мы будем использовать ту же стратегию для решения рациональных уравнений. Мы умножим обе части уравнения на ЖК-дисплей.Тогда у нас будет уравнение, не содержащее рациональных выражений, и поэтому его намного легче решить.

Но поскольку исходное уравнение может иметь переменную в знаменателе, мы должны быть осторожны, чтобы не получить решение, которое сделало бы знаменатель равным нулю.

Итак, прежде чем мы начнем решать рациональное уравнение, мы сначала исследуем его, чтобы найти значения, которые сделали бы все знаменатели равными нулю. Таким образом, когда мы решаем рациональное уравнение, мы будем знать, есть ли какие-либо алгебраические решения, которые мы должны отбросить.

Алгебраическое решение рационального уравнения, которое привело бы к неопределенности любого из рациональных выражений, называется посторонним решением .

Постороннее решение рационального уравнения

Постороннее решение рационального уравнения — это алгебраическое решение, которое может привести к тому, что любое из выражений в исходном уравнении будет неопределенным.

Мы отмечаем любые возможные посторонние решения, c , записывая рядом с уравнением.

Как решать уравнения с рациональными выражениями

Решить:

Решить:

Решить:

Шаги этого метода показаны ниже.

Решайте уравнения с рациональными выражениями.

1. Обратите внимание на любое значение переменной, при котором любой знаменатель будет равен нулю.
2. Найдите наименьший общий знаменатель всех знаменателей в уравнении.
3. Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей.
4. Решите полученное уравнение.
5. Проверить.
   • Если какие-либо значения, найденные на шаге 1, являются алгебраическими решениями, отбросьте их.
   • Проверьте все оставшиеся решения в исходном уравнении.

Мы всегда начинаем с отметки значений, при которых любые знаменатели будут равны нулю.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Если один из знаменателей является квадратичным, не забудьте сначала разложить его на множители, чтобы найти ЖК-дисплей.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Уравнение, которое мы решили на (рис.), Имело только одно алгебраическое решение, но это было постороннее решение. Это не оставило нам решения уравнения. Некоторые уравнения не имеют решения.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решение рационального уравнения для конкретной переменной

Решая линейные уравнения, мы научились решать формулу для конкретной переменной. Многие формулы, используемые в бизнесе, науке, экономике и других областях, используют рациональные уравнения для моделирования отношений между двумя или более переменными.Теперь мы увидим, как решить рациональное уравнение для конкретной переменной.

Начнем с формулы, связывающей расстояние, скорость и время. Мы использовали его много раз раньше, но обычно не в такой форме.

Решить:

(рисунок) использует формулу для наклона, которую мы использовали для получения формы точечного наклона уравнения прямой.

Решить:

Обязательно выполните все шаги, указанные на (Рисунок). Это может показаться очень простой формулой, но мы не можем решить ее мгновенно для любого знаменателя.

Решить

Решение

Обратите внимание, что, хотя мы исключили из исходного уравнения, теперь мы также должны указать это.

Ключевые понятия

• Стратегия решения уравнений с рациональными выражениями
  1. Обратите внимание на любое значение переменной, при котором любой знаменатель будет равен нулю.
  2. Найдите наименьший общий знаменатель всех знаменателей в уравнении.
  3. Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей.
  4. Решите полученное уравнение.
  5. Проверить.
  • Если какие-либо значения, найденные на шаге 1, являются алгебраическими решениями, отбросьте их.
  • Проверьте все оставшиеся решения в исходном уравнении.

Практика ведет к совершенству

Решите рациональные уравнения

В следующих упражнениях решите.

Решение рационального уравнения для конкретной переменной

В следующих упражнениях решите.

Повседневная математика

Роспись дома Ален может покрасить дом за 4 дня.Спиро нужно было 7 дней, чтобы покрасить тот же дом. Решите уравнение для t , чтобы найти количество дней, которое им потребуется, чтобы покрасить дом, если они будут работать вместе.

дней

Катание на лодке Ари может проехать на своей лодке 18 миль по течению за то же время, которое требуется, чтобы проехать 10 миль против течения. Если скорость лодки составляет 7 узлов, решите уравнение для c , чтобы найти скорость течения.

Письменные упражнения

Почему нет решения уравнения?

Пит считает, что уравнение имеет два решения.Объясните, почему Пит ошибается.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

рациональное уравнение

Рациональное уравнение — это два рациональных выражения, соединенных знаком равенства.

Постороннее решение рационального уравнения

Постороннее решение рационального уравнения — это алгебраическое решение, которое может привести к тому, что любое из выражений в исходном уравнении будет неопределенным.