Решение неравенств онлайн
Неравенства это выражения вида:
f (x) ≥0
где вместо знака ≥, может стоять знак ≤ или знаки < и >.
В приведенном выше примере, решить неравенство означает найти совокупность всех значений переменной x при которых выражение f (x) больше или равно 0.
Рассмотрим график произвольной функции f (x):
Реклама
Из графика мы может сразу же записать интервалы значений х при которых функция f (x) ≥0 (закрашены серым цветом):
f (x) ≥0 <=> { x є (−∞; x1] U [x2; x3] U [x4; +∞] }
Из графика видно, что функция меняет знак в точках пересечения оси X. Следовательно, для решения любых неравенств, сначала нужно определить такие значения x, при которых функция f (x) равна нулю, т.е. решить уравнение f (x) =0.
Полученный набор значений xi (т.е. корни уравнения f (x) =0) разбивает координатную ось на интервалы в каждом из которых значение функции сохраняет свой знак (либо больше, либо меньше нуля).
Для решения соответствующего неравенства, нужно определить знак функции в каждом из полученных интервалов и выбрать те из них , которые удовлетворяют условию неравенства. Для того, чтобы определить знак функции на некотором интервале (xi; xj), нужно подставить вместо значения x в выражение f (x) любое значение xk є (xi; xj).
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha LLC, способен получить решение для очень большого количества разнообразных неравеств.
mathforyou.net
Решите неравенство 2^x>-2006 (2 в степени х больше минус 2006)
Дано неравенство:$$2^{x} > -2006$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} = -2006$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} = -2006$$
или
$$2^{x} + 2006 = 0$$
или
$$2^{x} = -2006$$
или
$$2^{x} = -2006$$
— это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v + 2006 = 0$$
или
$$v + 2006 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = -2006$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = -2006$$
$$x_{1} = -2006$$
Данные корни
$$x_{1} = -2006$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{20061}{10}$$
=
$$- \frac{20061}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} > -2006$$
$$\frac{1}{2^{\frac{20061}{10}}} > -2006$$
9/10
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- > -2006
14696072899510457910180264975074329395485666586735298566113827031369808145822340017365241424851280254956108347379039523500123122699047108242251921358933160773008638610599971840088163730974725743542902654728126239332046779346737710585256579333179693308275839559444787047544912589519783891140629020412202583212053620350010688717104574055412999539319651392054912347738448106306817040926244005345442289064602444671410741520258787821875717396461207456197233847539467765831034596299478021012490490523728714592688694474716929987628644661687302977141155300336976022455747686505323874664699578081559660947075760128
значит решение неравенства будет при:
$$x
_____
\
-------ο-------
x1www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2*x^2+6*x+3
Дано неравенство:$$2 x^{2} + 6 x + 3 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 x^{2} + 6 x + 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 6$$
$$c = 3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(6)^2 - 4 * (2) * (3) = 12
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
___ 3 \/ 3 1 - - - ----- - -- 2 2 10
=
$$- \frac{8}{5} — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
подставляем в выражение
$$2 x^{2} + 6 x + 3 \leq 0$$
2
/ ___ \ / ___ \
| 3 \/ 3 1 | | 3 \/ 3 1 |
2*|- - - ----- - --| + 6*|- - - ----- - --| + 3 2
/ ___\
33 ___ | 8 \/ 3 |
но 2
/ ___\
33 ___ | 8 \/ 3 | >= 0
- -- - 3*\/ 3 + 2*|- - - -----|
5 \ 5 2 /
Тогда
$$x \leq - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \wedge x \leq - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ _____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1www.kontrolnaya-rabota.ru