Решите неравенство x 3 4 x 0 – Решите неравенство (x-3)*(5*x-4)*(8-x)>=0 ((х минус 3) умножить на (5 умножить на х минус 4) умножить на (8 минус х) больше или равно 0)

Решите неравенство x^2-4*x-3>0 (х в квадрате минус 4 умножить на х минус 3 больше 0)

Дано неравенство:
$$x^{2} - 4 x - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - 4 x - 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-4)^2 - 4 * (1) * (-3) = 28

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
      ___   1 
2 - \/ 7  - --
            10

=
$$- \sqrt{7} + \frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - 4 x - 3 > 0$$
                2                             
/      ___   1 \      /      ___   1 \        
|2 - \/ 7  - --|  - 4*|2 - \/ 7  - --| - 3 > 0
\            10/      \            10/        
                   2              
  53   /19     ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 7 |  + 4*\/ 7  > 0
  5    \10        /               
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 + \sqrt{7}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^3-4*x>=0 (х в кубе минус 4 умножить на х больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$x^{3} - 4 x \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - 4 x = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{2} - 4 = 0$$
Очевидно:
x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -2 - содержит чётное число -2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = -1 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{5} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Данные корни
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - 4 x \geq 0$$

      3               
/-21 \    4*(-21)     
|----|  - ------- >= 0
\ 10 /       10       
-861      
----- >= 0
 1000     

но
-861     
----- 
Тогда
$$x \leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 0$$
         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 2$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^3-4*x+3>0 (х в кубе минус 4 умножить на х плюс 3 больше 0)

Дано неравенство:
$$x^{3} - 4 x + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - 4 x + 3 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
        ____     
  1   \/ 13    1 
- - - ------ - --
  2     2      10

=
$$- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - 4 x + 3 > 0$$
                   3                                
/        ____     \      /        ____     \        
|  1   \/ 13    1 |      |  1   \/ 13    1 |        
|- - - ------ - --|  - 4*|- - - ------ - --| + 3 > 0
\  2     2      10/      \  2     2      10/        
                   3               
     /        ____\                
27   |  3   \/ 13 |        ____ > 0
-- + |- - - ------|  + 2*\/ 13     
5    \  5     2   /                

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x
         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x $$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x+3)*(x+4)*(2-x)>0 ((х плюс 3) умножить на (х плюс 4) умножить на (2 минус х) больше 0)

Дано неравенство:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 3 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$- x + 2 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x1 = -3
2.
$$x + 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4$$
Получим ответ: x2 = -4
3.
$$- x + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-x = -2

Разделим обе части ур-ния на -1
x = -2 / (-1)

Получим ответ: x3 = 2
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) > 0$$
/  41    \ /  41    \ /    -41 \    
|- -- + 3|*|- -- + 4|*|2 - ----| > 0
\  10    / \  10    / \     10 /    
671     
---- > 0
1000    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x1      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > -3 \wedge x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 3^(2*x)-4*3^x+3

Дано неравенство:
$$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
или
$$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v + 3 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$$
 2*9                   
 ---                   
  10      9/10         
3    - 4*3     + 3 
       9/10      4/5     
3 - 4*3     + 3*3    
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 3$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x+3)*(x-4)>=0 ((х плюс 3) умножить на (х минус 4) больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - x - 12 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -12$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \geq 0$$
$$\left(-4 + - \frac{31}{10}\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right) \geq 0$$
 71     
--- >= 0
100     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -3$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -3$$
$$x \geq 4$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x^2-4x+3)/(x^4-x^6)≤0.

Перед тем как решать данное неравенство надо разложить числитель на множители. Знаменатель не трогаем: с ним все отлично, он уже почти разложен как надо. Формула разложения квадратного трехчлена на множители выглядит так:

Чтобы ей воспользоваться, необходимо приравнять числитель к 0, найти корни получившегося квадратного уравнения и подставить их в формулу.

Теперь разложенный трехчлен записываем в числитель. В знаменателе видим формулу сокращенного умножения "разность квадратов". Раскладываем. Замечаем, что в числителе и знаменателе есть противоположные множители: (x-1) и (1-x). Их можно сократить поменяв знак неравенства, как я, или с помощью вынесения минуса из какой-то из этих скобок. В итоге все равно придется умножать на -1 для удобства и менять знак неравенства. (Если манипуляции с этим не понятны, то я распишу подробнее в комментариях, только скажите 🙂 )

Чертим координатную прямую. Отмечаем на ней точки, значения дроби в которых равны 0. Иными словами устно решаем три уравнения x-3=0, x^4=0 и 1+x=0. Их результаты и пойдут на наш чертеж.

На экзамене никогда не ставьте автоматом знаки + и -. Обязательно проверьте каждый интервал!! 

Обычно начинают проверять знак дроби с правого интервала. Этот пример не будет исключением. Из промежутка от 3 до плюс бесконечности берем, например, число 4. Подставляем его в нашу дробь вместо икса (подстановка идет не в ту дробь, которая была в начале, а в ту, которую мы получили после преобразований!) , считаем (можно, кстати, не считать, а просто прикинуть положительная дробь будет или нет). Дробь будет положительна, значит на чертеже ставим "+". Из интервала от 0 до 3 возьмем 1. Так же подставляем: дробь отрицательна. И т.д.

Смотрим на знак нашего неравенства: больше или равно. Значит нас интересуют те интервалы, в которых дробь больше или равна 0, т.е. положительна. Смотрим туда, где плюсики стоят. Это интервалы от минус бесконечно до -1 и от 3 до плюс бесконечности. Обращаем внимание на то, что неравенство не строгое, значит точки на чертеже закрашенные, а скобки квадратные.

Ответ:

P.S. у бесконечностей всегда круглые скобки.

 

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою на нашей странице в ВК!

https://vk.com/mymaths

xn--80aaasqmjacq0cd6n.xn--p1ai

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *