Решите неравенство x^2-4*x-3>0 (х в квадрате минус 4 умножить на х минус 3 больше 0)
Дано неравенство:$$x^{2} — 4 x — 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} — 4 x — 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4)^2 - 4 * (1) * (-3) = 28
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = — \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = — \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = — \sqrt{7} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = — \sqrt{7} + 2$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
___ 1
2 - \/ 7 - --
10=
$$- \sqrt{7} + \frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} — 4 x — 3 > 0$$
2 / ___ 1 \ / ___ 1 \ |2 - \/ 7 - --| - 4*|2 - \/ 7 - --| - 3 > 0 \ 10/ \ 10/
2
53 /19 ___\ ___
- -- + |-- - \/ 7 | + 4*\/ 7 > 0
5 \10 /
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 + \sqrt{7}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^3-4*x>=0 (х в кубе минус 4 умножить на х больше или равно 0)
Дано неравенство:$$x^{3} — 4 x \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} — 4 x = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{2} — 4 = 0$$
Очевидно:
x0 = 0
далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -2 — содержит чётное число -2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = -1 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{5} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Данные корни
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} — 4 x \geq 0$$
3 /-21 \ 4*(-21) |----| - ------- >= 0 \ 10 / 10
-861 ----- >= 0 1000
но
-861 -----
Тогда
$$x \leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 0$$_____ _____ / \ / -------•-------•-------•------- x3 x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 2$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^3-4*x+3>0 (х в кубе минус 4 умножить на х плюс 3 больше 0)
Дано неравенство:$$x^{3} — 4 x + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} — 4 x + 3 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{3} = — \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{3} = — \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{3} = — \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
____ 1 \/ 13 1 - - - ------ - -- 2 2 10
=
$$- \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} — 4 x + 3 > 0$$
3 / ____ \ / ____ \ | 1 \/ 13 1 | | 1 \/ 13 1 | |- - - ------ - --| - 4*|- - - ------ - --| + 3 > 0 \ 2 2 10/ \ 2 2 10/
3
/ ____\
27 | 3 \/ 13 | ____ > 0
-- + |- - - ------| + 2*\/ 13
5 \ 5 2 / Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{1}{2} \wedge x
_____ _____
/ \ /
-------ο-------ο-------ο-------
x3 x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \frac{\sqrt{13}}{2} — \frac{1}{2} \wedge x $$x > — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Решите неравенство (x+3)*(x+4)*(2-x)>0 ((х плюс 3) умножить на (х плюс 4) умножить на (2 минус х) больше 0)
Дано неравенство:$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 3 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$- x + 2 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x1 = -3
2.
$$x + 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4$$
Получим ответ: x2 = -4
3.
$$- x + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-x = -2
Разделим обе части ур-ния на -1
x = -2 / (-1)
Получим ответ: x3 = 2
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \left(- x + 2\right) > 0$$
/ 41 \ / 41 \ / -41 \ |- -- + 3|*|- -- + 4|*|2 - ----| > 0 \ 10 / \ 10 / \ 10 /
671 ---- > 0 1000
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
_____ _____
\ / \
-------ο-------ο-------ο-------
x2 x1 x3Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > -3 \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 3^(2*x)-4*3^x+3
Дано неравенство:$$3^{2 x} — 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{2 x} — 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{2 x} — 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
или
$$3^{2 x} — 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} — 4 v + 3 = 0$$
или
$$v^{2} — 4 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$3^{2 x} — 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$$
2*9 --- 10 9/10 3 - 4*3 + 39/10 4/5 3 - 4*3 + 3*3
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$_____ _____ \ / -------•-------•------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 3$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x+3)*(x-4)>=0 ((х плюс 3) умножить на (х минус 4) больше или равно 0)
Дано неравенство:$$\left(x — 4\right) \left(x + 3\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 4\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — 4\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} — x — 12 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -12$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 4\right) \left(x + 3\right) \geq 0$$
$$\left(-4 + — \frac{31}{10}\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right) \geq 0$$
71 --- >= 0 100
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -3$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -3$$
$$x \geq 4$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x^2-4x+3)/(x^4-x^6)≤0.
Перед тем как решать данное неравенство надо разложить числитель на множители. Знаменатель не трогаем: с ним все отлично, он уже почти разложен как надо. Формула разложения квадратного трехчлена на множители выглядит так:
Чтобы ей воспользоваться, необходимо приравнять числитель к 0, найти корни получившегося квадратного уравнения и подставить их в формулу.
Теперь разложенный трехчлен записываем в числитель. В знаменателе видим формулу сокращенного умножения «разность квадратов». Раскладываем. Замечаем, что в числителе и знаменателе есть противоположные множители: (x-1) и (1-x). Их можно сократить поменяв знак неравенства, как я, или с помощью вынесения минуса из какой-то из этих скобок. В итоге все равно придется умножать на -1 для удобства и менять знак неравенства. (Если манипуляции с этим не понятны, то я распишу подробнее в комментариях, только скажите 🙂 )
Чертим координатную прямую. Отмечаем на ней точки, значения дроби в которых равны 0. Иными словами устно решаем три уравнения x-3=0, x^4=0 и 1+x=0. Их результаты и пойдут на наш чертеж.
На экзамене никогда не ставьте автоматом знаки + и -. Обязательно проверьте каждый интервал!!
Обычно начинают проверять знак дроби с правого интервала. Этот пример не будет исключением. Из промежутка от 3 до плюс бесконечности берем, например, число 4. Подставляем его в нашу дробь вместо икса (подстановка идет не в ту дробь, которая была в начале, а в ту, которую мы получили после преобразований!) , считаем (можно, кстати, не считать, а просто прикинуть положительная дробь будет или нет). Дробь будет положительна, значит на чертеже ставим «+». Из интервала от 0 до 3 возьмем 1. Так же подставляем: дробь отрицательна. И т.д.
Смотрим на знак нашего неравенства: больше или равно. Значит нас интересуют те интервалы, в которых дробь больше или равна 0, т.е. положительна. Смотрим туда, где плюсики стоят. Это интервалы от минус бесконечно до -1 и от 3 до плюс бесконечности. Обращаем внимание на то, что неравенство не строгое, значит точки на чертеже закрашенные, а скобки квадратные.
Ответ:
P.S. у бесконечностей всегда круглые скобки.
Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою на нашей странице в ВК!
https://vk.com/mymaths
xn--80aaasqmjacq0cd6n.xn--p1ai