2 = 2x

Решение.
Графическое решение уравнений сводится к тому, что нужно построить функции, которые стоят по обе стороны от знака равенства в уравнении, и найти их точки пересечения. Абсциссы этих точек и будут являться корнями заданного уравнения.
Итак, имеем уравнение:

   

Данное уравнение состоит из двух функций, равных между собой:

   

   

Построим первую функцию. Для этого проведем небольшой ее анализ.
Функция квадратичная, следовательно, графиком ее будет парабола. Перед квадратом х стоит знак минус, значит, функция направлена ветвями вниз. Функция четная, так как она квадратичная. Никаких коэффициентов и свободных членов у функции нет, значит, вершина ее будет в начале координат.
Найдем несколько точек, через которые проходит функция. Для этого вместо переменной х подставим значения 1, —1, 2 и —2.
, — точка (—1; —1)
, — точка (1; —1)
, — точка (—2; —4)
, — точка (2; —4)

Нанесем все точки на плоскость и проведем через них плавную кривую.
Построим вторую функцию. Функция является линейной, следовательно, для ее построения достаточно двух точек. Найдем эти точки как точки пересечения функции с осями координат.
С осью Ох: у = 0. Подставим значение у в уравнение:

   

   

С осью Оу: х = 0.

   

Получили только одну точку (0; 0). Чтобы найти вторую, подставим вместо переменно х произвольное значение, например, 1.

   

Вторая точка — (1; 2)
Нанесем эти две точки на ту же координатную плоскость и проведем через них прямую.
Теперь нужно из точек пересечения графиков функций опустить перпендикуляры на ось Ох и получим точки 0 и —2.
Эти значения и являются результатом графического решения исходного уравнения.

Ответ. 0 и —2.

Равносильные уравнения и правила преобразований с примерами

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Пара уравнений

Корни

Вывод

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$\implies$ уравнения равносильны

(x — 3)(x + 2) = 0

2x + 4 = 0

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

x = -2

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$\implies$ уравнения неравносильны

$\varnothing$

$\varnothing$

Оба уравнения не имеют решений

$\implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

• 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
• 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
• 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ \frac {1}{5}x = 12 — 7x$

Решение:

$ \frac {1}{5}x = 12 — 7x \iff \frac {1}{5}x + 7x = 12 \iff 7 \frac {1}{5}x = 12 \iff x = 12:7 \frac {1}{5} \iff$

$ x = 12 \cdot \frac {5}{36} = \frac {5}{3} =1 \frac {2}{3} $

Ответ: x = 1 \frac {2}{3}

Пример 2. Решите уравнение $ \frac {3x}{7} — \frac {x}{14} = 10$

Решение:

$ \frac {3x}{7} — \frac {x}{14} = 10 | \times 14 \iff 6x — x = 140 \iff 5x = 140 \iff x = 140 : 5 = 28$

Ответ: x = 28

Пример 3. Решите уравнение $7x — \frac {2}{5} =\frac 15 (3x+14)$

Решение:

$7x — \frac 25 = \frac 15 (3x + 14) | \times 5 \iff 35x — 2 = 3x + 14 \iff 35x — 3x = 14 + 2 \iff$

$ \iff 32x = 16 \iff x = \frac {16}{32} = \frac 12$

Ответ: x = \frac 12

Пример 4. Решите уравнение $\frac {5x-1}{2} — \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4}$

Решение:

$\frac {5x-1}{2} — \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4} | \times 8 \iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) \iff $

$ \iff 15x=2 \iff x= \frac {2}{15} $

Ответ: x = $\frac {2}{15}$

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

3(x-1)=5-x и ax=x+a

Решение:

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x \iff 3x-3=5-x \iff 3x+x=5+3 \iff 4x=8 \iff x=2$

Подставим во второе

$a \cdot 2=2+a \iff 2a-a=2 \iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

Ответ: a=2

11.3.4. Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 415 Опубликовано

2 июля 2012

Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax²+bx+c=0.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 4^x+2^x+1-3=0. Представим 4^x в виде степени с основанием 2.

(2²)^x+2^x∙2¹-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

(2^x)²+2∙2^x-3=0;

вводим новую переменную: пусть 2^x=y;

y²+2y-3=0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D₁=1²-1∙(-3)=1+3=4=2² – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂=-2, y₁∙y₂=-3. Подбираем корни: y₁=-3, y₂=1.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2^x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2^x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2^x=2⁰;

x=0.

Ответ: 0.

2) 0,25^2x-5∙0,5^2x+4=0.  Решаем аналогично. Представляем 0,25^2x— в виде степени с основанием 0,5.

(0,5²)^2x-5∙0,5^2x+4=0;

(0,5^2x)²-5∙0,5^2x+4=0.

0,5^2x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y²—5y+4

=0;

Дискриминант D=b²-4ac=5²-4∙1∙4=25-16=9=3² — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂=5, y₁+y₂=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y₁=1, y₂=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5^2x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5^2x=0,5⁰;

2x=0;

x=0.

2) 0,5^2x=4; приведем степень  0,5^2x  к основанию 2, применив формулу:   (1/a)^x =а^-х 

(¹/₂)²

^x=2²;

2^-2x=2²; приравниваем показатели:

— 2x=2 |:(-2)

x=-1.

Ответ: -1; 0.

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а^-х=1/a^x  и  a^x∙a^y=a^x+y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета:  сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2-2 * x-1 — ((x-1) * 2) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

 (((x  2  ) - 2x) - 1) - 2 • (x - 1) = 0
 

Шаг 2:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

2.1 Факторинг x ² -4x + 1

Первый член x ² , его коэффициент равен 1.
Средний член равен -4x, его коэффициент равен -4.
Последний член, «константа», равен +1

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 1 = 1

Шаг-2: Найдите два множителя 1, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -4.

	-1	+	-1	=	-2
	1	+	1	=	2

Наблюдение: Нет двух таких факторов !!
Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 2:

 x  2  - 4x + 1 = 0
 

Шаг 3:

 
 Парабола, поиск вершины: 
 
 3.1 Найдите вершину y = x  2  -4x + 1 
 
 Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля). 
 
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения. 
 
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины. 
 
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 2,0000 
 
 Подставив в формулу параболы 2,0000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 1,0 * 2,00 * 2,00 — 4,0 * 2,00 + 1,0 
 или y = -3,000 
 
 Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения с осью X: 
 
 Корневой график для: y = x  2  -4x + 1 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {2.00} 
 Вершина в точке {x, y} = {2.00, — 3.00} 
 x -Перехват (корни): 
 Корень 1 при {x, y} = {0,27, 0,00} 
 Корень 2 при {x, y} = {3.73, 0.00} 
 
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 
 3.2 Решение x  2  -4x + 1 = 0, заполнив квадрат. 
 
 Вычтем 1 из обеих частей уравнения: 
 x  2  -4x = -1 
 
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 4, разделите его на два, получив 2, и возведите его в квадрат. 4 
 
 Добавьте 4 к обеим частям уравнения: 
 В правой части получим: 
 -1 + 4 или, (-1/1) + (4/1) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 1. Добавление (-1/1) + (4/1) дает 3/1 
 Таким образом, добавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем: 
 x  2  -4x + 4 = 3 
 
 Добавление 4 завершило левую часть в полный квадрат: 
 x  2  -4x + 4 = 
 (x-2) • (x-2) = 
 (x-2)  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу .Поскольку 
 x  2  -4x + 4 = 3 и 
 x  2  -4x + 4 = (x-2)  2  
, то согласно закону транзитивности 
 (x-2)  2  = 3 
 
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1 
 
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны. 
 
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x-2)  2  равен 
 (x-2)  2/2  = 
 (x-2)  1  = 
 x-2 
 
 Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем: 
 x-2 = √ 3 
 
 Добавьте 2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 2 + √ 3 
 
 Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное, 
 x  2  — 4x + 1 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 2 + √ 3 
 или 
 x = 2 — √ 3 
 
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 
 3.3 Решение x  2  -4x + 1 = 0 по квадратичной формуле. 
 
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A 
 
 В нашем случае A = 1 
 B = -4 
 C = 1 
 
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 16 — 4 = 
 12 
 
 Применение формулы квадратного уравнения: 
 
 4 ± √ 12 
 x = ————— 
 2 
 
 Можно ли упростить √ 12? 
 
 Да! Разложение 12 на простые множители равно 
 2 • 2 • 3 
 Чтобы удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i. 2».2-2 * x-1- (1) = 0 
 
 Пошаговое решение: 
 
 Шаг 1: 
 
 Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 
 
 1.1 Факторинг x  2  -2x-2 
 
 первый член, x  2 , его коэффициент равен 1. 
 Средний член равен -2x, его коэффициент равен -2. 
 Последний член, «константа», равен -2 
 
 Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -2 = -2 
 
 Шаг-2: Найдите два множителя -2, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному -2.
 
 
 
 
 
 
 
-2 
 
 + 
 
 1 
 
 = 
 
-1 
 
 
 
 
 
 
-1 
 
 + 
 
 2 
 
 = 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 Наблюдение: Нет двух таких факторов !! 
 Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители 
 
 Уравнение в конце шага 1: 
  
 x  2  - 2x - 2 = 0
 
 Шаг 2: 
 
 Парабола, поиск вершины: 
 2.1 Найдите вершину y = x  2  -2x-2
 Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 1.0000
 Подставив в формулу параболы 1.0000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 1.0 * 1.00 * 1.00 — 2.0 * 1.00 — 2.0 
 или y = -3.000
 Parabola, Графическое изображение вершины и пересечения по оси X: 
 Корневой график для: y = x  2  -2x-2 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1,00} 
 Вершина в точке {x, y} = {1,00, — 3.00} 
 x -Перехват (корни): 
 Корень 1 при {x, y} = {-0.73, 0.00} 
 Корень 2 при {x, y} = {2.73, 0.00}
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 2.2 Решение x  2  -2x-2 = 0, заполнив квадрат.
 Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения: 
 x  2  -2x = 2
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат, получив 1
 Добавьте 1 к обеим частям уравнения: 
 В правой части мы имеем: 
 2 + 1 или, (2/1) + (1/1) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (2 / 1) + (1/1) дает 3/1 
 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы в итоге получаем: 
 x  2  -2x + 1 = 3
 При сложении 1 левая часть завершается в виде идеального квадрата: 
 x  2  -2x + 1 = 
 (x-1) • (x-1) = 
 (x-1)  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку 
 x  2  -2x + 1 = 3 и 
 x  2  -2x + 1 = (x-1)  2  
, то согласно закону транзитивности 
 (x-1)  2  = 3
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x-1)  2  равен 
 (x-1)  2/2  = 
 (x-1)  1  = 
 x-1
 Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 2.2.1 получаем: 
 x-1 = √ 3
 Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1 + √ 3
 Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — 2x — 2 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1 + √ 3 
 или 
 x = 1 — √ 3
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 2.3 Решение x  2  -2x-2 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = 1 
 B = -2 
 C = -2
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 4 — (-8) = 
 12
 Применение квадратичной формулы:
 2 ± √ 12 
 x = ————— 
 2
 Можно ли упростить √ 12?
 Да! Разложение 12 на простые множители равно 
 2 • 2 • 3 
 Чтобы удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).
 √ 12 = √ 2 • 2 • 3 = 
 ± 2 • √ 3
 √ 3, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 1,7321 
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (2 ± 2 • 1,732) / 2
 Два реальных решения:
 x = (2 + √12) / 2 = 1 + √ 3 = 2,732
 или:
 x = (2-√12) / 2 = 1-√ 3 = -0,732
 Было найдено два решения: 
 x = (2-√12) / 2 = 1-√ 3 = -0,732
 x = (2 + √12) / 2 = 1 + √ 3 = 2,732
 Решение квадратных уравнений: выбор метода 
 Purplemath 
 Когда вы решаете квадратные уравнения в своем домашнем задании, вы часто можете получить «подсказку» относительно лучшего метода, основанного на теме и заголовке раздела.Например, если вы работаете над домашним заданием в разделе «Решение с помощью факторинга», то вы знаете, что должны решать с помощью факторинга. Но в обзоре главы и на тесте вы не знаете, из какого раздела вашего учебника была взята та или иная квадратичная диаграмма. Какой метод лучше использовать?
 Вы можете использовать квадратичную формулу для всего, но формула может занять много времени.
  
 Например:
 MathHelp.com 
 Решить (
 x  + 1) ( x  — 3) = 0.
 Чтобы решить это квадратное уравнение, я мог бы перемножить выражение в левой части, упростить поиск коэффициентов, вставить эти значения коэффициентов в квадратную формулу и перейти к ответу.
 Но зачем мне это? Я имею в виду, ради всего святого, это факторинг, и они уже учли его и установили для меня равным нулю. Хотя квадратичная формула определенно дала бы мне правильный ответ, зачем с ней возиться?
 
 Вместо этого я сразу решу два фактора, которые они мне дали:
 ( x  + 1) ( x  — 3) = 0
  x  + 1 = 0,  x  — 3 = 0
  x  = –1,  x  = 3
 Это было быстро! И мой ответ:
 Кстати, строгого порядка решений нет.Да, я обычно размещаю свои решения в числовом порядке, поэтому в приведенном выше случае отрицательный ответ предшествовал положительному. Но, если ваш инструктор ничего не сказал (и я был бы удивлен, если бы это было так), приведенный выше ответ был бы столь же правильным, если бы он был написан как « x  = 3, –1».
 Квадратичное выражение в левой части знака «равно» не учитывается.
 (Как я очень быстро узнал об этом? Для факторизации должны быть целые множители  ac  = (1) (- 4) = –4, что в сумме дает  b  = 1.Я вижу, что их нет.)
 Эта квадратичная величина не была предоставлена ​​мне в «(переменная часть)  2  равно (некоторое число)», поэтому решение путем извлечения квадратных корней невозможно.
 Я мог бы решить это уравнение, заполнив квадрат, но это утомительно и чревато ошибками. Я мог бы попытаться решить, построив график, но лучшее, что я смогу сделать, это получить десятичное приближение из моего «программного обеспечения» (то есть моего графического калькулятора).
 Чтобы получить точный и быстрый ответ, я воспользуюсь квадратичной формулой:
 Поскольку в инструкциях ничего не упоминается о десятичных приближениях, я оставлю свой ответ в форме квадратного корня:
 Решить 
 x   2  — 3  x  — 4 = 0.
 Это уравнение не настроено для меня как готовое к извлечению квадратного корня, и я никогда не буду использовать завершение квадрата, если они специально не скажут мне об этом. Однако, прежде чем применять квадратичную формулу, я сначала быстро проверю, можно ли факторизовать выражение в левой части этого уравнения.
 Существуют ли целые множители  ac  = (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –3? Да: –4 и +1.Таким образом, эта квадратичная величина факторизуема, и я уже нашел числа, которые можно использовать для ее разложения (поскольку ведущий коэффициент равен 1):
  x   2  — 3  x  — 4 = 0
 ( x  + 1) ( x  — 4) = 0
  x  + 1 = 0,  x  — 4 = 0
  x  = –1,  x  = 4
 И я закончил, просто так быстро.Мой ответ:
 Квадратичное выражение в левой части этого уравнения содержит только два члена, и ни один из них не вычитается, поэтому я не буду использовать простые методы разложения на множители. Но я замечаю, что это разница квадратов, и я знаю, что могу множить разницу квадратов.
  x   2  — 4 = 0
 ( x  + 2) ( x  — 2) = 0
  x  + 2 = 0,  x  — 2 = 0
  x  = –2,  x  = 2
 Тогда мой ответ:
 Примечание: я мог бы переместить 4 в правую часть уравнения, а затем извлечь квадратный корень из любой стороны  x   2  = 4.Этот метод дал бы мне тот же ответ, что и приведенный выше факторинг. Если не указано иное, вы должны использовать тот метод, который вам больше нравится.
 Решить 6 
 x   2  + 11  x  — 35 = 0.
 Ик.
 Квадратичное выражение в левой части этого уравнения  может множить , но похоже, что нахождение этой факторизации, если таковая имеется, будет неприятным объемом работы.Сейчас я чувствую себя немного бездумным и ленивым, поэтому я воспользуюсь квадратичной формулой. Во время работы мне нужно не забывать ставить ± перед радикалом и ставить черту дроби под всем числителем, представляющим собой целую часть « b   2  ± (корень квадратный)»:
 Значения решения представляют собой дроби без радикалов, что означает, что квадратичное  могло быть разложено на множители . Но теперь у меня есть ответ, поэтому меня больше не волнует факторизация.
 Это квадратное выражение состоит из двух членов и ничего не вычитает, так что либо это разница в квадратах (которую я могу разложить на множители), либо ее можно отформатировать как «(переменная часть)  2  равно (число)», чтобы я мог квадратный корень с обеих сторон. Поскольку 48 не является квадратом, я не могу применить формулу разности квадратов. Вместо этого мне придется извлекать квадратный корень из обеих сторон:
 Итак, мой точный ответ:
 Примечание. Если вам специально не сказано предоставлять десятичное приближение для решений, содержащих радикалы, вы должны предположить, что они хотят, чтобы вы дали «точную» форму ответа; то есть они хотят видеть эти квадратные корни.
 В этом квадратичном выражении есть два члена, которые легко множить:
  x   2 -7  x  = 0
  x  ( x -7) = 0
  x  = 0,  x  — 7 = 0
  x  = 0,  x  = 7
 Мой ответ:
 Найдите решения квадратичного уравнения, представленного в таблице ниже: 
  x  -значение
 –1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
  y  -значение
 16
 9
 4
 1
 0
 1
 4
 9
 Прежде чем я паникую, я думаю об одном методе «решения», который не включает в себя фактическое квадратное уравнение: решение с помощью построения графиков.
 Когда они хотят, чтобы я решил квадратное уравнение  , построив график, они на самом деле просят меня найти точки пересечения  x  соответствующей квадратичной функции  . И под словом «найти» они подразумевают «с красивой картинки». Но дело в том, что они хотят, чтобы я отметил связь между ними и предоставил затем значения  x , когда  y  = 0.
 Я могу сделать это по картинке или по Т-образной диаграмме значений.В данном случае вместо графика мне дали таблицу. Есть две точки, у которых одна из координат равна нулю; а именно (0, 9) и (3, 0). Что из этого я хочу? Тот, у которого  y  = 0, это вторая из двух точек. И мое решение — соответствующее значение  x .
 Скорее всего, вы не увидите много, а может быть, и каких-либо других упражнений этого последнего типа.
 Кстати, если вам интересно, почему было только одно решение этой квадратичной, это потому, что (предполагаемое и лежащее в основе) уравнение было ( x  — 3)  2  = 0.Итак, одно решение было «повторено».
 При решении квадратных уравнений в целом сначала перенесите все на одну сторону от знака «равно» (что уже было сделано в приведенных выше примерах). Затем сначала проверьте, есть ли очевидное факторинг или очевидное извлечение квадратного корня, которое вы можете сделать. Если нет, то обычно лучше прибегать к квадратичной формуле. Но не используйте квадратичную формулу для всего; хотя он всегда даст вам ответ — в конечном итоге — это не всегда самый быстрый метод.И скорость может иметь большое значение в ходе тестов по времени.
 URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad6.htm
 Пр. 4.2 = 2 (х — 3)  𝑥2 + 12 + 2 × 𝑥 × 1 = 2 (𝑥 − 3)
𝑥2 + 1 + 2𝑥 = 2𝑥 — 6
 𝑥2 + 1+ 2𝑥 — 2𝑥 + 6 = 0
 𝑥2 + 1 +6 = 0
 𝑥2 + 7 = 0
 𝑥2 + 0𝑥 + 7 = 0  Поскольку он имеет вид 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Где 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 7  Следовательно, это квадратное уравнение  Пр. 4.1, 1
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными:
(ii) x2 — 2x = (-2) (3 — x) 
х2 — 2х = (-2) (3 — х)
x2 — 2x = (-2) 3 — (–2) x
x2 — 2x = –6 + 2x
х2 — 2х — 2х + 6 = 0
х2 — 4х + 6 = 0  Это форма ax2 + bx + c = 0
Где a = 1, b = — 4, c = 6  Следовательно, это квадратное уравнение.Пр. 4.1, 1
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными:
(iii) (x — 2) (x + 1) = (x — 1) (x + 3)  (𝑥 — 2) (𝑥 + 1) = (𝑥 — 1) (𝑥 + 3)
 𝑥 (𝑥 + 1) — 2 (𝑥 + 1) = 𝑥 (𝑥 + 3) — 1 (𝑥 + 3)
 𝑥2 + 𝑥 — 2𝑥 — 2 = 𝑥2 + 3𝑥 — 𝑥 — 3
 𝑥2 + 𝑥 — 2𝑥 — 2 — 𝑥2 — 3𝑥 + 𝑥 + 3 = 0
 (𝑥2 — 𝑥2) + (𝑥 — 2𝑥 — 3𝑥 + 𝑥) — 2 + 3 = 0
 0 — 3𝑥 + 1 = 0
— 3𝑥 + 1 = 0  Поскольку наибольшая степень равна 1, а не 2,
Это не в виде 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0  Следовательно, это не квадратное уравнение.Пр. 4.1, 1
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными:
(iv) (x — 3) (2x +1) = x (x + 5)  (𝑥 — 3) (2𝑥 + 1) = 𝑥 (𝑥 + 5)
 𝑥 (2𝑥 + 1) — 3 (2𝑥 + 1) = 𝑥 (𝑥 + 5)
 2𝑥2 + 𝑥 — 6𝑥 −3 = 𝑥2 + 5𝑥
 2𝑥2 + 𝑥 — 6𝑥 — 3 — 𝑥2 — 5𝑥 = 0
 2𝑥2 — 𝑥2 + 𝑥 — 6𝑥 — 5𝑥 — 3 = 0
 𝑥2 — 10 𝑥 — 3 = 0  Поскольку уравнение имеет вид 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Где, a = 1, b = — 10, c = — 3  Следовательно, это квадратное уравнение.  Пр. 4.1, 1
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными:
(v) (2x — 1) (x — 3) = (x + 5) (x — 1)  (2𝑥 — 1) (𝑥 — 3) = (𝑥 + 5) (𝑥 — 1)
 2𝑥 (𝑥 — 3) — 1 (𝑥 — 3) = 𝑥 (𝑥 — 1) + 5 (𝑥 — 1)
 2𝑥2 — 6𝑥 — 𝑥 + 3 = 𝑥2 — 𝑥 + 5𝑥 — 5
 2𝑥2 — 6𝑥 — 𝑥 + 3 — 𝑥2 + 𝑥 — 5𝑥 + 5 = 0
 2𝑥2 — 𝑥2 — 6𝑥 — 𝑥 + 𝑥 — 5𝑥 + 3 + 5 = 0
 𝑥2 — 11𝑥 + 8 = 0  Поскольку он имеет вид 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Где a = 1, b = — 11, c = 8  Следовательно, это квадратное уравнение.  Пр. 4.2  𝑥2 + 3𝑥 +1 = 𝑥2 + 22−2 × 𝑥 × 2
 𝑥2 + 3𝑥 +1 = 𝑥2 + 4 — 4𝑥
𝑥2 + 3𝑥 + 1 — 𝑥2 — 4+ 4𝑥 = 0
𝑥2 — 𝑥2 + 3𝑥 + 4𝑥 + 1-4 = 0
 0 + 7𝑥 — 3 = 0
 7𝑥 — 3 = 0  Поскольку наибольшая степень равна 1, а не 2,
Это не в виде 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0  Следовательно, это не квадратное уравнение.  Пр. 4.1, 1
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными:
(vii) (x + 2) 3 = 2x (x2 — 1)  (х + 2) 3 = 2х (х2 — 1)  x3 + 23 + 3 × 𝑥 × 2 (𝑥 + 2) = 2𝑥 (x2 — 1)
 𝑥3 + 8 + 6𝑥 (𝑥 + 2) = 2𝑥3−2𝑥
𝑥2 + 8 + 6𝑥2 + 12𝑥 = 2𝑥3 — 2𝑥
 𝑥3 + 8 + 6𝑥2 + 12𝑥 — 2𝑥3 + 2𝑥 = 0
 𝑥3 — 2𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 2𝑥 + 8 = 0
 — 𝑥3 + 6𝑥2 + 14𝑥 + 8 = 0  Поскольку наибольшая степень равна 3, а не 2,
Это не в виде 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0  Следовательно, это не квадратное уравнение  Пр. 4.3  𝑥3 — 4𝑥2 — 𝑥 + 1 = 𝑥3 –23 −3 × 𝑥 × 2 (x − 2)
𝑥3 — 4𝑥2 — 𝑥 + 1 = 𝑥3 — 8 — 6𝑥 (𝑥 — 2)
 𝑥3 — 4𝑥2 — 𝑥 +1 = 𝑥3 — 8 — 6𝑥2 + 12 𝑥
 𝑥3 — 4𝑥2 — 𝑥 + 1 — 𝑥3 + 8 + 6𝑥2 — 12𝑥 = 0
 𝑥3 — 𝑥3 — 4𝑥2 + 6𝑥2 — 𝑥 — 12𝑥 + 1 + 8 = 0
 0 + 2𝑥2 — 13𝑥 + 9 = 0
 2𝑥2 — 13𝑥 + 9 = 0  Он имеет вид ax2 + bx + c = 0
Где a = 2, b = — 13 и c = 9  Следовательно, это квадратное уравнение 
 Показать больше
 Блок 17 Раздел 3: Квадратные уравнения: завершение квадрата 
 Модуль 17 Раздел 3: Квадратные уравнения: завершение квадрата
 Заполнение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений..2 + 4x — 20 = 0.
 (б)
 Решить 2x-1 / 3-1 / 2 (x-1 / 6-2x-3/3) = 2x-frac {x-2} {36} | Microsoft Math Solver 
 12 \ left (2x-1 \ right) -18 \ left (\ frac {x-1} {6} — \ frac {2x-3} {3} \ right) = 72x- \ left ( x-2 \ right)
 Умножьте обе части уравнения на 36, наименьшее общее кратное 3,2,6,36.
 24x-12-18 \ left (\ frac {x-1} {6} — \ frac {2x-3} {3} \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Используйте распределительное свойство умножить 12 на 2x-1.
 24x-12-18 \ left (\ frac {x-1} {6} — \ frac {2 \ left (2x-3 \ right)} {6} \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Чтобы складывать или вычитать выражения, разверните их, чтобы знаменатели совпадали. Наименьшее общее кратное 6 и 3 равно 6. Умножьте \ frac {2x-3} {3} на \ frac {2} {2}.
 24x-12-18 \ times \ left (\ frac {x-1-2 \ left (2x-3 \ right)} {6} \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Поскольку \ frac {x-1} {6} и \ frac {2 \ left (2x-3 \ right)} {6} имеют одинаковый знаменатель, вычтите их, вычитая их числители.
 24x-12-18 \ times \ left (\ frac {x-1-4x + 6} {6} \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Произведите умножение на x-1 -2 \ влево (2х-3 \ вправо).
 24x-12-18 \ times \ left (\ frac {5-3x} {6} \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Объедините похожие термины в x-1-4x + 6 .
 24x-12-3 \ left (5-3x \ right) = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Сократите 6, наибольший общий делитель для 18 и 6.
 24x-12-15 + 9x = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить -3 на 5-3x.
 24x-27 + 9x = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Вычтем 15 из -12, чтобы получить -27.
 33x-27 = 72x- \ left (x-2 \ right)
 Объедините 24x и 9x, чтобы получить 33x.
 33x-27 = 72x-x- \ left (-2 \ right)
 Чтобы найти противоположность x-2, найдите противоположность каждого члена.
 33x-27 = 72x-x + 2
 Противоположность -2 равна 2.
 33x-27 = 71x + 2
 Объедините 72x и -x, чтобы получить 71x.
 33x-27-71x = 2
 Вычтем 71x с обеих сторон.
 -38x-27 = 2
 Объедините 33x и -71x, чтобы получить -38x.
 -38x = 2 + 27
 Добавьте 27 с обеих сторон.
 -38x = 29
 Добавьте 2 и 27, чтобы получить 29.
 x = \ frac {29} {- 38}
 Разделите обе стороны на -38.
 x = — \ frac {29} {38}
 Дробь \ frac {29} {- 38} может быть переписана как — \ frac {29} {38} путем извлечения отрицательного знака.
 Quanta Magazine 
 Вы сидите в конце длинного стола для переговоров и проводите собеседование по поводу работы своей мечты.Вы зашли так далеко, но вам нужно ответить еще на один вопрос.
 «Может ли линия, проходящая через начало координат, проходить через другие рациональные точки?»
 Пять пар пристальных глаз наблюдают за вами, ожидая вашего ответа. Вы получаете работу?
 Вы могли подумать, что это происходит только в задачах рассказа, но это случилось со мной. «Рациональные точки» — это точки на плоскости, все координаты которых являются рациональными числами. Например, $ latex \ left (\ frac {12} {5}, — \ frac {2} {3} \ right) $, $ latex \ left (3, \ frac {1} {2} \ right) $ и (11, 4) — рациональные точки, но (4, $ latex \ sqrt {2} $) и (π, -1) — нет, поскольку $ latex \ sqrt {2} $ и π иррациональны.Рациональные точки важны для теоретиков чисел и криптографов, и они даже лежат в основе одной из самых известных математических теорем всех времен. Но вопрос, который стоял передо мной, был связан с линией, проходящей через начало координат, что означает, что у нее есть по крайней мере одна рациональная точка, а именно (0, 0). Могла ли она избежать прохождения через другую? Я не сразу узнал ответ, поэтому мне пришлось подумать над ним.
 Сначала кажется, что ответ должен быть отрицательным. Вокруг любой точки координатной плоскости рядом бесконечно много рациональных точек.С такой плотной упаковкой рациональных точек кажется невозможным, чтобы линия могла избежать их всех.
 Но, как оказалось, это возможно.
 Ключевой вывод приходит из размышлений о наклоне линии. Вы можете знать наклон как «подъем за пробегом»: это просто отношение изменения координаты  y  («подъем») к изменению координаты  x  («бег»), когда вы двигаться по линии. Например, если вы находитесь на линии с уклоном  м  и увеличили свою координату  x  на 1, вам придется увеличить координату  y  на  м , чтобы оставаться на этой линии.Вот как работает наклон.
 Теперь представьте, что вы начинаете в точке (0, 0) на линии с уклоном  м . Пройдя 1 вправо и поднявшись на  м , вы попадете на линию в точке (1,  м ). Таким образом, если  м  рационально, эта линия должна проходить через другую рациональную точку. Фактически, точки (2, 2  м ), (3, 3  м ) и т. Д. Должны все находиться на линии, показывая, что если линия, проходящая через начало координат, имеет рациональный наклон, она фактически проходит бесконечно. много рациональных моментов.
 Чтобы ответить на вопрос интервью, вы должны рассмотреть линии с иррациональным наклоном. Как только вы это сделаете, ответ придет сразу. Например, рассмотрим линию, проходящую через начало координат с наклоном $ latex \ sqrt {2} $, которая имеет уравнение  y  = $ latex \ sqrt {2} $  x . Если точка ( a ,  b ) лежит на этой линии, тогда  b  = $ latex \ sqrt {2} a $, и до тех пор, пока  a  ≠ 0, мы можем переставить это как $ latex \ frac {b} {a} $ = $ latex \ sqrt {2} $.Но если ( a ,  b ) — рациональная точка, то это невозможно: левая часть этого уравнения не может быть рациональной, в то время как правая часть, $ latex \ sqrt {2} $, равна иррационально. Так что на этой линии не может быть никаких других рациональных точек. (Интересный дополнительный вопрос, который мы исследуем в упражнениях в конце столбца: есть ли на плоскости какие-либо линии, которые не проходят через рациональные точки?)
 Быстрое размышление о линиях помогло мне получить работу, но математики уже давно изучают рациональные точки на кривых, и они все еще изучают сложную структуру этих точек.Чтобы понять это, давайте посмотрим, как рациональные точки работают на кругах на плоскости. Для простоты мы просто рассмотрим окружности с центром в начале координат и радиусом  r , уравнения которого всегда равны
.
  x   2  +  y   2  =  r   2 .
 Некоторые из этих кругов не проходят через рациональные точки. Но, что любопытно, если круг содержит одну рациональную точку, то он содержит бесконечно много. Посмотрим почему.
 Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом 5. Этот круг имеет уравнение  x   2  +  y   2  = 25, и он содержит рациональные точки, такие как (0, 5) и (3, 4 ), а также другие точки, например (2, $ latex \ sqrt {21} $) и ($ latex \ sqrt {11} $, — $ latex \ sqrt {14} $). Но знание только одной рациональной точки на круге может привести нас к бесконечному множеству других, и мы можем использовать то, что мы только что узнали о линиях, чтобы найти их.
 Представьте себе прямую, проходящую через рациональную точку (0, 5) на окружности, и предположим, что прямая имеет рациональный наклон, например 2.Эта линия будет проходить через круг во второй точке, и оказывается, что это другое пересечение также должно быть рациональной точкой.
 Некоторая алгебра покажет нам, почему. Поскольку линия имеет наклон 2 и угол пересечения 5  y , мы можем записать ее уравнение как  y  = 2  x  + 5. Уравнение круга:  x   2  +  y   2  = 25, поэтому, чтобы найти точки пересечения, мы просто решаем следующую систему уравнений:
  x   2  +  y   2  = 25 
  y  = 2  x  + 5.
 Одним из подходов к решению этой системы является замена: поскольку  y  = 2  x  + 5, мы можем заменить 2  x  + 5 на  y  в уравнении круга, чтобы получить
  x   2  + (2  x  + 5)  2  = 25.
 У вас может возникнуть соблазн просто решить это уравнение, используя вашу любимую технику, но прежде чем мы это сделаем, давайте сделаем несколько наблюдений.
 Во-первых, это квадратное уравнение. Квадратные уравнения могут иметь два решения или корня, и мы уже знаем одно из них: поскольку (0, 5) является точкой пересечения прямой и окружности,  x  = 0 должно быть решением нашего уравнения.Обратите внимание, что это решение, или корень, является рациональным.
 Во-вторых, поскольку все числа в уравнении рациональны, когда мы приведем нашу квадратичную в «стандартную форму» —  ax   2  +  bx  +  c  = 0 — все коэффициенты будут рациональными. Известный результат, известный как формула Виета, гласит, что для квадратного уравнения в стандартной форме сумма корней равна — $ latex \ frac {b} {a} $. В нашем случае эта сумма рациональна, поэтому, если один корень рациональный, другой тоже должен быть.
 Это означает, что обе точки пересечения имеют рациональные координаты  x , поэтому «пробег» между ними является рациональным. А поскольку линия, проходящая через них, имеет рациональный наклон, то и их «подъем» должен быть рациональным. Это гарантирует, что вторая точка пересечения имеет рациональную координату  y , что делает ее второй рациональной точкой на окружности.
 В нашем примере, вероятно, было бы проще просто решить систему уравнений и найти другую точку пересечения, которая оказывается рациональной точкой (-4, -3).Но приведенный выше аргумент очень хорошо обобщает. Представьте себе любую прямую  y  =  mx  +  b  с рациональным наклоном, которая проходит через наш круг в рациональной точке. Система уравнений
  x   2  +  y   2  = 25 
  y  =  mx  +  b 
 приводит к квадратному уравнению
  x   2  + ( mx + b )  2  = 25
 со всеми рациональными коэффициентами.Согласно приведенному выше аргументу, если линия снова проходит через круг, другая точка пересечения также должна быть рациональной. Итак, если вы знаете одну рациональную точку на окружности, вы можете найти бесконечно много других, просто взяв линию с рациональным наклоном, проведя ее через свою рациональную точку и найдя другую точку пересечения.
 Аналогичный подход можно использовать для поиска рациональных точек на так называемых эллиптических кривых. Это «кубические» кривые с уравнениями, в которых переменные возведены в третью степень.Они сложнее линий и кругов и представляют большой интерес для теоретиков чисел и криптографов. Изучение эллиптических кривых даже сыграло важную роль в решении Великой теоремы Ферма — теоремы о нахождении целочисленных точек на определенных кривых, которая была доказана Эндрю Уайлсом в 1990-х годах (примерно через 350 лет после того, как Пьер де Ферма, как известно, утверждал, что на полях тетрадь по математике, что у него было красивое доказательство, но поле было слишком маленьким, чтобы вместить его).
 Есть много разных типов эллиптических кривых.Вот простой пример:
  y   2  =  x   3  — 4  x  + 1.
 А вот его график в плоскости:
 Хотя это и не очевидно, на этой эллиптической кривой есть много рациональных точек. Например, (0, 1) и (4, 7) оба лежат на этой кривой, поскольку
 1  2  = 0  3  — 4 × 0 + 1
 и
 7  2  = 4  3  — 4 × 4 + 1.
 И, как и в случае с кругами, есть умный способ использовать эти известные рациональные точки, чтобы найти больше на кривой.Секрет снова в использовании линий.
 Уравнение прямой, проходящей через (0, 1) и (4, 7), найти достаточно легко: наклон — это изменение  y  по сравнению с изменением  x , или  м  = $ latex \ frac {7-1} {4-0} $ = $ latex \ frac {6} {4} $ = $ latex \ frac {3} {2} $, и поскольку линия проходит через (0, 1), ее  y  -пересечение равно 1. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через эти две точки, составляет  y  = $ latex \ frac {3} {2} $  x  + 1. Вот график линии вместе с эллиптической кривой. :
 Обратите внимание, что линия трижды пересекает эллиптическую кривую: в точках (0, 1), (4, 7) и в третьей неизвестной точке.Оказывается, третий пункт тоже должен быть рациональным.
 Рассмотрим эллиптическую кривую и прямую как систему уравнений:
  y   2  =  x   3  — 4  x  + 1 
  y  = $ latex \ frac {3} {2} $  x  + 1.
 Мы можем сделать замену так же, как мы сделали с кругом и линией. Вот что мы получаем:
 $ латекс \ left (\ frac {3} {2} x + 1 \ right) $  2  =  x   3  — 4  x  + 1.
 Это кубическое уравнение с рациональными коэффициентами. Кубическое уравнение может иметь до трех реальных решений, что имеет смысл, потому что мы ищем три точки пересечения. И мы уже знаем два из этих решений:  x  = 0, что соответствует точке (0, 1), и  x  = 4, что соответствует точке (4, 7).
 Итак, мы знаем, что два из трех решений рациональны. А как насчет третьего? Что ж, как и в случае с нашим квадратным уравнением, формула Виета гарантирует, что сумма корней этого кубического уравнения должна быть рациональной, поэтому, если два решения рациональны, третье тоже должно быть рациональным.И это решение приведет нас к новой рациональной точке на эллиптической кривой. Нетрудно решить наше кубическое уравнение и найти третью точку пересечения $ latex \ left (- \ frac {7} {4}, — \ frac {13} {8} \ right) $. Как и в случае с кругом, этот аргумент обобщает: если прямая пересекает нашу эллиптическую кривую в двух рациональных точках, то если есть третье пересечение, она также должна быть рациональной.
 Этот метод особенно полезен в сочетании с другой приятной особенностью этой эллиптической кривой.Обратите внимание, что график симметричен относительно оси  x : нижняя половина кривой является отражением верхней. Алгебраически это означает, что если точка ( a ,  b ) находится на кривой, точка ( a , —  b ) также должна быть на кривой. Таким образом, если $ latex \ left (- \ frac {7} {4}, — \ frac {13} {8} \ right) $ лежит на кривой, $ latex \ left (- \ frac {7} { 4}, \ frac {13} {8} \ right) $.
 Эта симметрия не просто дает нам еще одну рациональную точку на кривой.Это дает нам новую пару точек, через которые можно провести линию.
 Линия, проходящая через рациональные точки $ latex \ left (- \ frac {7} {4}, \ frac {13} {8} \ right) $ и (0, 1), даст еще одну рациональную точку на кривой. Мы можем отразить этот момент, повторить нашу процедуру и продолжить поиск еще более рациональных моментов. Эта процедура использовалась математиками для создания криптографии с эллиптическими кривыми, средства создания секретных кодов, которые используют структуру этих рациональных точек на эллиптических кривых.Эту процедуру легко использовать для поиска рациональных точек на кривой, но если вам просто дана рациональная точка, трудно точно определить, где эта процедура началась. Такой труднообратимый процесс важен для создания безопасных секретных кодов.
 Богатая структура рациональных точек на эллиптических кривых — активная область математических исследований. Начиная с точки (0, 1), мы сгенерировали бесконечный список рациональных точек на кривой  y   2  =  x   3 -4  x  + 1, каждая из которых может привести нас к другим .Но это еще не все. Рациональная точка (-1, 2) лежит на кривой, но ее нет в этом списке, и мы можем использовать ее для создания второго бесконечного набора рациональных точек на  y   2  =  x   3  — 4  x  + 1. Оказывается, каждая рациональная точка на этой кривой представляет собой комбинацию этих двух начальных точек, что означает, что «ранг» кривой равен 2: две начальные точки — это все, что необходимо для создания всех бесконечно много рациональных точек на кривой.Математики активно изучают ранг таких кривых, и в настоящее время неизвестно, существует ли максимальный ранг для эллиптических кривых.
 От поиска целочисленных решений уравнений 2000 лет назад до Великой теоремы Ферма до криптографии на основе эллиптических кривых сегодня, изучение рациональных точек начинается с алгебры и геометрии в старших классах и приводит к продвинутой математике красивым и удовлетворительным образом. Это может даже помочь вам получить работу своей мечты.
 Упражнения 
 1.Приведите уравнение прямой, не проходящей через рациональные точки.
 2. Точки (0, 1) и (4, -7) обе лежат на эллиптической кривой  y   2  =  x   3  — 4  x  + 1, и уравнение прямой между ними  y  = -2  x  + 1. И все же система уравнений
  y  = -2  x  + 1 
  y   2  =  x   3  — 4  x  + 1
 имеет только два различных реальных решения.Почему это не противоречит аргументам, приведенным в столбце?
 3. Покажите, что круг с уравнением  x   2  +  y   2  = 3 не проходит через рациональные точки.
 4. Какая третья точка пересечения линии, проходящей через $ latex \ left (- \ frac {7} {4}, \ frac {13} {8} \ right) $ и (0, 1), и эллиптической кривая  y   2  =  x   3 -4  x  + 1? (Внимание: только для любителей алгебры и арифметики!)
 ответы 
 Нажмите, чтобы ответить 1:
 Простой ответ:  y  = $ latex \ sqrt {2} $.Каждая точка на этой линии будет иметь координату  y  $ latex \ sqrt {2} $, поэтому ни одна точка не может быть рациональной. Более интересный ответ:  x  +  y  = $ latex \ sqrt {2} $. Вы понимаете, почему во второй строке нет рациональных точек?
 Нажмите, чтобы ответить 2:
 Линия  y  = -2  x  + 1 касается эллиптической кривой в точке (0, 1), поэтому кубическое уравнение (-2  x  + 1)  2  =  x   3  — 4  x  + 1 имеет повторяющийся корень  x  = 0.
 Это уравнение легко решить, упростив и разложив на множители:
 (-2  x  +1)  2  =  x   3  — 4  x  + 1 
 4  x   2  — 4  x  + 1 =  x   3  — 4  x  + 1 
 0 =  x   3  — 4  x   2  
 0 =  x   2  ( x  — 4).
 Поскольку  x   2  появляется в факторизованной форме кубики, решение  x  = 0 имеет кратность 2.Фактически, именно так вы начинаете процедуру поиска рациональных точек на эллиптических кривых: найдите единственную рациональную точку, затем найдите уравнение касательной линии и посмотрите, где она снова пересекает кривую. Поскольку точка касания является двойным корнем, третий корень, соответствующий другой точке пересечения, должен быть рациональным.
 Нажмите, чтобы ответить 3:
 Предположим, что окружность проходит через рациональную точку $ latex \ left (\ frac {m} {n}, \ frac {p} {q} \ right) $, где  m ,  n ,  p  и  q  — целые числа, $ latex \ frac {m} {n} $ и $ latex \ frac {p} {q} $ находятся в младших членах (т.е.{2} $ = 3 и, следовательно,  м   2  +  p   2  = 3  n   2 . Обратите внимание, что правая часть уравнения делится на три, поэтому левая часть также должна делиться на три. Интересный факт о полных квадратах состоит в том, что каждый идеальный квадрат либо кратен трем, либо на единицу больше, чем кратное 3 (это можно показать с помощью модульной арифметики). Это означает, что только так сумма двух полных квадратов может быть равна кратное трем, если каждый из полных квадратов кратен трем.
 Итак,  m   2  и  p   2  делятся на 3. Поскольку 3 — простое число, это означает, что  m  и  p  делятся на 3, и поэтому левая часть часть уравнения на самом деле делится на 9. Это означает, что правая часть уравнения делится на 9, и поэтому n должно делиться на 3. Но это нарушает предположение, что $ latex \ frac {m} {n} $ находится в самых низких ценах. Таким образом, не может быть рациональной точки на  x   2  +  y   2  = 3.
 Интересный и сложный вопрос о расширении: при каких значениях  k   x   2  +  y   2  =  k  не пройдут через рациональные точки?
 Нажмите, чтобы ответить 4:
 $ латекс \ left (\ frac {92} {49}, \ frac {113} {343} \ right) $.
 Линия имеет уравнение:  y  = $ latex — \ frac {5} {14} x $ + 1.