С 29 логарифм свойства логарифмов – Подготовка к ЕГЭ по математике (видео). Уроки 29-31. Логарифм. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование

Подготовка к ЕГЭ по математике (видео). Уроки 29-31. Логарифм. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование

Подготовка к ЕГЭ по математике (видео). Уроки 29-31. Логарифм. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование

Вашему вниманию предлагается видеокурс "Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый и продвинутый уровни". Содержание курса соответствует программам подготовительных курсов на базе высших учебных заведений.
Видеокурс поможет Вам не только подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, но и к продолжению обучения в ВУЗе.

Урок №29. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Содержание урока №29:
1. Определение логарифма.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BAVm13N3RqZFBFeEE&pageId=111461369108681513628
https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BAUTB0UThCdUpfUG8&pageId=111461369108681513628
Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BATlJvRllxVVZRcWc&pageId=111461369108681513628

Урок №30. Свойства логарифмов. Решение упражнений

Содержание урока №30:
1. Свойства логарифмов.

2. Решение типовых упражнений на применение свойств логарифмов.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BAZzJlNHpKUTFualU&pageId=111461369108681513628
Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BATlJvRllxVVZRcWc&pageId=111461369108681513628

Урок №31. Логарифмирование и потенцирование

Содержание урока №31:
1. Логарифмирование.
2. Потенцирование.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BASzlaQ0VRQ3JZSm8&pageId=111461369108681513628
https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BAaWdVd2ppQXhjUlk&pageId=111461369108681513628
Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ--SEjA4BASnlRSFZiWFgxMU0&pageId=111461369108681513628

Смотрите все уроки видеокурса подряд: https://www.youtube.com/playlist?list=PLk91qesJngSI7sHLvugEqFr7TceS0bFzO

Учебно-методическое пособие на тему: Рабочая тетрадь по теме "Логарифмы. Свойства логарифмов"

Областное государственное профессиональное

образовательное бюджетное учреждение

«Многопрофильный лицей»

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по теме

«Логарифмы. Свойства логарифмов»

Дисциплина: Математика

Составитель: Дегтяренко А.В., преподаватель ОГПОБУ

«Многопрофильный лицей»

Введение

Данная  рабочая тетрадь  может использоваться  как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые  определения, подробные примеры и пояснения к ним),   так и совместно с  учебниками:

  • «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;
  • «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух  типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных  тестов по форме ЕГЭ (задания В3,В7).

В данной рабочей тетради  использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как  полноценный  конспект, в котором есть и теория, и  примеры решённых заданий, и  задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом  возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же  имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы.

 Определение логарифма, свойства логарифмов

Историческая справка

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней.

 В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М. Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2. Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г. Бриггс (1561-1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины "характеристика" и "мантисса" были предложены Бриггсом. Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e.

Определение логарифма

Определение: Логарифмом числа х по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число х.

Определение: Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Обозначение: logах (логарифм числа х по основанию а)

а -  основание логарифма

Задание 1: Прочитать:

log24, log381, log, log1664, log77, log51

Задание 2: Записать:

  1. логарифм числа 8 по основанию 2;
  2. логарифм числа 5 по основанию 5;
  3. логарифм числа по основанию 7

Задание 3: Сопоставить:

Определение:       logах=в, то х=ав

степень

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

число

2

1/4

1/2

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

3

1/9

1/3

3

9

27

81

243

729

2187

4

1/16

1/4

4

16

64

256

512

1024

5

1/25

1/5

5

25

125

625

3125

6

1/36

1/6

6

36

216

1296

7

1/49

1/7

7

49

343

8

1/64

1/8

8

64

512

9

1/81

1/9

9

81

729

Пример:  Вычислить:

  • log28=3, т.к. 23=8 (см. таблицу)
  • log232=5, т.к. 25=32
  • log2=-5, т.к. 2-5=

Задание 4: Вычислить:

1)log7343=3, т.к. 7…=343          3) log2         5) log381

2)log525=…., т.к. 5…=25          4) log216        6) log464

Задание 5: Найдите х

Задание 6:Найдите значение выражения:

Основные свойства:

  1. logаа =1
  2.  logа1=0
  3. а logах=х (х>0,a>0, а≠1, основное логарифмическое тождество)

Задание 7: Заполнить таблицу:

пример

свойство

ответ

1

log77

1)

1

2

log51

2)

3

12 log125

3)

4

log33

5

8 log84

6

log231

Задание 8: Решить пример, выбрать букву, которая совпадает с правильным ответом и номером задания и получить слово:

М

Е

Ц

О

Л

К

Д

1

1

2

3

4

5

6

7

 2

8

9

10

11

12

13

14

3

15

16

17

18

19

20

21

4

22

23

24

25

26

27

28

5

29

30

31

32

33

34

35

6

36

37

38

39

40

41

42

7

43

44

45

46

47

48

49

  1. log1111+ log111
  2. 43-72-22
  3. 57:3
  4. log5…=2
  5. log864+ log21024+23
  6. 18,5·2
  7. 3·105:7

Задание 9: «Магическая цепочка»

log28=….

                                                          (4)…. =….

                                                       

                                                         (…. )2 = ….

                                                       

log2… =….

….   + log636=………

Задание 10:

Действия с логарифмами

Теорема: Пусть а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0, р- любое действительное число. Тогда справедливы формулы:


логарифм произведения:



логарифм частного:



логарифм степени:



логарифм корня:



переход к новому основанию:




Дополнительные формулы:


Пример: Вычислить:

  1. log618+ log62= log6(18·2)= log636=2
  2. log1248- log124= log1212= 1

Задание 1: Дорешать, используя формулы:

  1. log122+ log1272= log12(2·72)= log12….=…..
  2. log75- log3= log()=……..
  3. log212- log215+ log220= log2(…..)=…….

Задание 2: Вычислить:

  1. log354- log32=      
  2. log147+ log142=
  3. log315+ log318- log310=
  4. log410+ log48- log45=

Задание 3: Заполнить таблицу:

пример

упростить

1

3 log5а+ 6log5в- 2log5с

log5()

2

4 log5а- 5log5в+7log5с

3

log5в+ 8log5с+2log5а

4

2log5с-2log5а-log5в

Самостоятельная работа

Базовый уровень:

№1. Вычислить:  1) ;        2) ;      3)  ;        4) ;  

                             5) ;    6) ;       7) ;         8)

№2. Вычислить: 1) ;  2) ;   3) ;

4) ;   5) ;   6) ; 7)

§3. Логарифм числа. Свойства логарифмов. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Определение логарифма (основание - целое число)

Сложность: лёгкое

1
2. Определение логарифма (основание - дробь)

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1
4. Вычисление логарифма, десятичные дроби

Сложность: лёгкое

1
5. Вычисление логарифма, обычные дроби

Сложность: лёгкое

1
6. Логарифм произведения

Сложность: лёгкое

2
7. Логарифм частного

Сложность: лёгкое

2
8. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию

Сложность: лёгкое

2
9. Сумма логарифмов, логарифм степени

Сложность: лёгкое

3
10. Применение свойств логарифмов, сумма логарифмов

Сложность: лёгкое

1
11. Применение свойств логарифмов, разность и сумма логарифмов

Сложность: лёгкое

3
12. Формула перехода логарифма к новому основанию

Сложность: лёгкое

1
13. Числовое значение выражения (сумма)

Сложность: лёгкое

3
14. Значение выражения (целые числа)

Сложность: лёгкое

3
15. Числовое значение выражения (разность)

Сложность: лёгкое

3
16. Основное логарифмическое тождество (сложение)

Сложность: среднее

3
17. Основное логарифмическое тождество (вычитание)

Сложность: среднее

3
18. Основное логарифмическое тождество (произведение)

Сложность: среднее

3
19. Основное логарифмическое тождество (основание - дробь)

Сложность: среднее

4
20. Основное логарифмическое тождество (произведение степеней)

Сложность: среднее

3
21. Основное логарифмическое тождество (основание - натуральное число)

Сложность: среднее

4
22. Основное логарифмическое тождество (логарифм степени)

Сложность: среднее

4
23. Свойства логарифмов (степени и произведения)

Сложность: среднее

4
24. Свойства логарифмов (степени и частного)

Сложность: среднее

4
25. Логарифм степени (произведение)

Сложность: среднее

3
26. Логарифм степени (частное)

Сложность: среднее

5
27. Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество)

Сложность: среднее

7
28. Основное тождество логарифмов

Сложность: среднее

2
29. Формула перехода к другому основанию, основаное логарифмическое тождество

Сложность: среднее

4
30. Логарифм произведения (сумма кубов)

Сложность: среднее

3
31. Неизвестное под знаком логарифма

Сложность: среднее

2
32. Неизвестное основание логарифма (целое число)

Сложность: среднее

2
33. Неизвестное основание логарифма (обыкновенная дробь)

Сложность: среднее

3
34. Определение логарифма (неизвестный показатель степени)

Сложность: сложное

4
35. Свойства логарифмов

Сложность: сложное

7
36. Формула перехода к новому основанию (метод подстановки)

Сложность: сложное

7
37. Логарифм произведения (тригонометрическое выражение)

Сложность: сложное

7
38. Логарифм произведения

Сложность: сложное

5
39. Логарифм произведения

Сложность: сложное

5
40. Область допустимых значений логарифма

Сложность: сложное

4
41. Определение логарифма (неизвестный показатель степени)

Сложность: сложное

4
42. Определение логарифма (неизвестное основание)

Сложность: сложное

6

§3. Логарифм числа. Свойства логарифмов

1. Определение логарифма (основание - целое число) 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Вычисление логарифма по определению
2. Определение логарифма (основание - дробь) 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Вычисление логарифма по определению
3. Вычисление десятичного логарифма 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Вычисление десятичного логарифма.
4. Вычисление логарифма, десятичные дроби 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Вычисление логарифма.
5. Вычисление логарифма, обычные дроби 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Вычисление логарифма.
6. Логарифм произведения 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Применение логарифма произведения
7. Логарифм частного 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Применение логарифма частного
8. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Применение формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию
9. Сумма логарифмов, логарифм степени 2 вид - интерпретация лёгкое 3 Б. Применение свойств логарифмов (логарифм степени и произведения)
10. Применение свойств логарифмов, сумма логарифмов 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Применение свойств логарифмов.
11. Применение свойств логарифмов, разность и сумма логарифмов 2 вид - интерпретация лёгкое 3 Б. Применение свойств логарифмов.
12. Формула перехода логарифма к новому основанию 2 вид - интерпретация лёгкое 1 Б. Использование формулы перехода логарифма к новому основанию.
13. Числовое значение выражения (сумма) 2 вид - интерпретация лёгкое 3 Б. Вычисление числового значения выражения.Применение определения логарифма. Сумма логарифмов
14. Значение выражения (целые числа) 2 вид - интерпретация лёгкое 3 Б. Найти значение выражения
15. Числовое значение выражения (разность) 2 вид - интерпретация лёгкое 3 Б. Вычисление числового значения выражения.Применение определения логарифма. Разность логарифмов
16. Основное логарифмическое тождество (сложение) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Применение основного логарифмического тождества
17. Основное логарифмическое тождество (вычитание) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Применение основного логарифмического тождества
18. Основное логарифмическое тождество (произведение) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Применение основного логарифмического тождества
19. Основное логарифмическое тождество (основание - дробь) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение основного логарифмического тождества (основание - дробь)
20. Основное логарифмическое тождество (произведение степеней) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Применение основного логарифмического тождества. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
21. Основное логарифмическое тождество (основание - натуральное число) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение основного логарифмического тождества. Возведение степени в степень
22. Основное логарифмическое тождество (логарифм степени) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение основного логарифмического тождества с логарифмом степени и определением логарифма
23. Свойства логарифмов (степени и произведения) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение свойств логарифмов (логарифм степени и произведения)
24. Свойства логарифмов (степени и частного) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение свойств логарифмов (логарифм степени и частного)
25. Логарифм степени (произведение) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Вычисление произведения логарифмов, используя логарифм степени
26. Логарифм степени (частное) 2 вид - интерпретация среднее 5 Б. Вычисление частного логарифмов, используя логарифм степени
27. Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество) 2 вид - интерпретация среднее 7 Б. Применение свойств логарифма (степень основания, основное логарифмическое тождество)
28. Основное тождество логарифмов 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Использование основного тождества логарифмов.
29. Формула перехода к другому основанию, основаное логарифмическое тождество 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Применение формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию и основного логарифмического тождества
30. Логарифм произведения (сумма кубов) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Сложение логарифмов (сумма кубов)
31. Неизвестное под знаком логарифма 1 вид - рецептивный среднее 2 Б. Найти неизвестное число под знаком логарифма по основанию и показателю степени.
32. Неизвестное основание логарифма (целое число) 1 вид - рецептивный среднее 2 Б. Вычисление неизвестного основания логарифма по определению (основание - целое число)
33. Неизвестное основание логарифма (обыкновенная дробь) 1 вид - рецептивный среднее 3 Б. Вычисление неизвестного основания логарифма по определению логарифма (основание - обыкновенная дробь)
34. Определение логарифма (неизвестный показатель степени) 2 вид - интерпретация сложное 4 Б. Вычисление неизвестного показателя степени по определению логарифма.Знаменатель - корень оn - oй степени
35. Свойства логарифмов 3 вид - анализ сложное 7 Б. Применение свойств логарифма (сложение логарифмов, логарифм степени)
36. Формула перехода к новому основанию (метод подстановки) 3 вид - анализ сложное 7 Б. Применение формулы перехода к новому основанию, метод введения новой переменной
37. Логарифм произведения (тригонометрическое выражение) 3 вид - анализ сложное 7 Б. Преобразование выражения, стоящего под знаком логарифма в формулу двойного аргумента
38. Логарифм произведения 3 вид - анализ сложное 5 Б. Применение свойств логарифм произведения и логарифм степени
39. Логарифм произведения 3 вид - анализ сложное 5 Б. Применение свойств логарифм произведения и логарифм степени
40. Область допустимых значений логарифма 2 вид - интерпретация сложное 4 Б. Определение области допустимых значений логарифма, применяя разность квадратов
41. Определение логарифма (неизвестный показатель степени) 2 вид - интерпретация сложное 4 Б. Вычисление неизвестного показателя степени по определению логарифма.Под знаком логарифма корень оn - oй степени
42. Определение логарифма (неизвестное основание) 2 вид - интерпретация сложное 6 Б. Вычисление неизвестного основания по определению логарифма.Под знаком логарифма - корень оn - oй степени

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *