Подготовка к ЕГЭ по математике (видео). Уроки 29-31. Логарифм. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование

Вашему вниманию предлагается видеокурс «Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый и продвинутый уровни». Содержание курса соответствует программам подготовительных курсов на базе высших учебных заведений.
Видеокурс поможет Вам не только подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, но и к продолжению обучения в ВУЗе.

Урок №29. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Содержание урока №29:
1. Определение логарифма.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BAVm13N3RqZFBFeEE&pageId=111461369108681513628
https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BAUTB0UThCdUpfUG8&pageId=111461369108681513628

Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BATlJvRllxVVZRcWc&pageId=111461369108681513628

Урок №30. Свойства логарифмов. Решение упражнений

Содержание урока №30:
1. Свойства логарифмов.

2. Решение типовых упражнений на применение свойств логарифмов.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BAZzJlNHpKUTFualU&pageId=111461369108681513628
Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BATlJvRllxVVZRcWc&pageId=111461369108681513628

Урок №31. Логарифмирование и потенцирование

Содержание урока №31:
1. Логарифмирование.
2. Потенцирование.
3. Домашнее задание: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BASzlaQ0VRQ3JZSm8&pageId=111461369108681513628

https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BAaWdVd2ppQXhjUlk&pageId=111461369108681513628
Ответы к ДЗ: https://drive.google.com/open?id=0BwZ—SEjA4BASnlRSFZiWFgxMU0&pageId=111461369108681513628

Смотрите все уроки видеокурса подряд: https://www.youtube.com/playlist?list=PLk91qesJngSI7sHLvugEqFr7TceS0bFzO

Учебно-методическое пособие на тему: Рабочая тетрадь по теме «Логарифмы. Свойства логарифмов»

Областное государственное профессиональное

образовательное бюджетное учреждение

«Многопрофильный лицей»

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по теме

«Логарифмы. Свойства логарифмов»

Дисциплина: Математика

Составитель: Дегтяренко А.В., преподаватель ОГПОБУ

«Многопрофильный лицей»

Введение

Данная  рабочая тетрадь  может использоваться  как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые  определения, подробные примеры и пояснения к ним),   так и совместно с  учебниками:

• «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;
• «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух  типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных  тестов по форме ЕГЭ (задания В3,В7).

В данной рабочей тетради  использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как  полноценный  конспект, в котором есть и теория, и  примеры решённых заданий, и  задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия — рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом  возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же  имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы.

 Определение логарифма, свойства логарифмов

Историческая справка

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней.

 В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М. Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2. Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г. Бриггс (1561-1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом. Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e.

Определение логарифма

Определение: Логарифмом числа х по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число х.

Определение: Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Обозначение: logах (логарифм числа х по основанию а)

а —  основание логарифма

Задание 1: Прочитать:

log24, log381, log, log1664, log77, log51

Задание 2: Записать:

1. логарифм числа 8 по основанию 2;
2. логарифм числа 5 по основанию 5;
3. логарифм числа по основанию 7

Задание 3: Сопоставить:

Определение:       logах=в, то х=ав

степень	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
число
2	1/4	1/2	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	1/9	1/3	3	9	27	81	243	729	2187
4	1/16	1/4	4	16	64	256	512	1024
5	1/25	1/5	5	25	125	625	3125
6	1/36	1/6	6	36	216	1296
7	1/49	1/7	7	49	343
8	1/64	1/8	8	64	512
9	1/81	1/9	9	81	729

Пример:  Вычислить:

• log28=3, т.к. 23=8 (см. таблицу)

• log232=5, т.к. 25=32
• log2=-5, т.к. 2-5=

Задание 4: Вычислить:

1)log7343=3, т.к. 7…=343          3) log2         5) log381

2)log525=…., т.к. 5…=25          4) log216        6) log464

Задание 5: Найдите х

Задание 6:Найдите значение выражения:

Основные свойства:

1. logаа =1
2.  logа1=0
3. а logах=х (х>0,a>0, а≠1, основное логарифмическое тождество)

Задание 7: Заполнить таблицу:

№	пример	свойство	ответ
1	log77	1)	1
2	log51	2)
3	12 log125	3)
4	log33
5	8 log84
6	log231

Задание 8: Решить пример, выбрать букву, которая совпадает с правильным ответом и номером задания и получить слово:

№	М	Е	Ц	О	Л	К	Д
1	1	2	3	4	5	6	7
2	8	9	10	11	12	13	14
3	15	16	17	18	19	20	21
4	22	23	24	25	26	27	28
5	29	30	31	32	33	34	35
6	36	37	38	39	40	41	42
7	43	44	45	46	47	48	49

1. log1111+ log111
2. 43-72-22
3. 57:3
4. log5…=2
5. log864+ log21024+23
6. 18,5·2
7. 3·105:7

Задание 9: «Магическая цепочка»

log28=….

                                                          (4)…. =….

                                                       

                                                         (…. )2 = ….

                                                       

log2… =….

….   + log636=………

Задание 10:

Действия с логарифмами

Теорема: Пусть а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0, р- любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

логарифм произведения:
логарифм частного:
логарифм степени:
логарифм корня:
переход к новому основанию:
Дополнительные формулы:

Пример: Вычислить:

1. log618+ log62= log6(18·2)= log636=2
2. log1248- log124= log1212= 1

Задание 1: Дорешать, используя формулы:

1. log122+ log1272= log12(2·72)= log12….=…..
2. log75- log3= log()=……..
3. log212- log215+ log220= log2(…..)=…….

Задание 2: Вычислить:

1. log354- log32=      
2. log147+ log142=
3. log315+ log318- log310=
4. log410+ log48- log45=

Задание 3: Заполнить таблицу:

№	пример	упростить
1	3 log5а+ 6log5в- 2log5с	log5()
2	4 log5а- 5log5в+7log5с
3	log5в+ 8log5с+2log5а
4	2log5с-2log5а-log5в

Самостоятельная работа

Базовый уровень:

№1. Вычислить:  1) ;        2) ;      3)  ;        4) ;  

                             5) ;    6) ;       7) ;         8)

№2. Вычислить: 1) ;  2) ;   3) ;

4) ;   5) ;   6) ; 7)

§3. Логарифм числа. Свойства логарифмов. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Определение логарифма (основание — целое число) Сложность: лёгкое	1
2.	Определение логарифма (основание — дробь) Сложность: лёгкое	1
3.	Вычисление десятичного логарифма Сложность: лёгкое	1
4.	Вычисление логарифма, десятичные дроби Сложность: лёгкое	1
5.	Вычисление логарифма, обычные дроби Сложность: лёгкое	1
6.	Логарифм произведения Сложность: лёгкое	2
7.	Логарифм частного Сложность: лёгкое	2
8.	Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию Сложность: лёгкое	2
9.	Сумма логарифмов, логарифм степени Сложность: лёгкое	3
10.	Применение свойств логарифмов, сумма логарифмов Сложность: лёгкое	1
11.	Применение свойств логарифмов, разность и сумма логарифмов Сложность: лёгкое	3
12.	Формула перехода логарифма к новому основанию Сложность: лёгкое	1
13.	Числовое значение выражения (сумма) Сложность: лёгкое	3
14.	Значение выражения (целые числа) Сложность: лёгкое	3
15.	Числовое значение выражения (разность) Сложность: лёгкое	3
16.	Основное логарифмическое тождество (сложение) Сложность: среднее	3
17.	Основное логарифмическое тождество (вычитание) Сложность: среднее	3
18.	Основное логарифмическое тождество (произведение) Сложность: среднее	3
19.	Основное логарифмическое тождество (основание — дробь) Сложность: среднее	4
20.	Основное логарифмическое тождество (произведение степеней) Сложность: среднее	3
21.	Основное логарифмическое тождество (основание — натуральное число) Сложность: среднее	4
22.	Основное логарифмическое тождество (логарифм степени) Сложность: среднее	4
23.	Свойства логарифмов (степени и произведения) Сложность: среднее	4
24.	Свойства логарифмов (степени и частного) Сложность: среднее	4
25.	Логарифм степени (произведение) Сложность: среднее	3
26.	Логарифм степени (частное) Сложность: среднее	5
27.	Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество) Сложность: среднее	7
28.	Основное тождество логарифмов Сложность: среднее	2
29.	Формула перехода к другому основанию, основаное логарифмическое тождество Сложность: среднее	4
30.	Логарифм произведения (сумма кубов) Сложность: среднее	3
31.	Неизвестное под знаком логарифма Сложность: среднее	2
32.	Неизвестное основание логарифма (целое число) Сложность: среднее	2
33.	Неизвестное основание логарифма (обыкновенная дробь) Сложность: среднее	3
34.	Определение логарифма (неизвестный показатель степени) Сложность: сложное	4
35.	Свойства логарифмов Сложность: сложное	7
36.	Формула перехода к новому основанию (метод подстановки) Сложность: сложное	7
37.	Логарифм произведения (тригонометрическое выражение) Сложность: сложное	7
38.	Логарифм произведения Сложность: сложное	5
39.	Логарифм произведения Сложность: сложное	5
40.	Область допустимых значений логарифма Сложность: сложное	4
41.	Определение логарифма (неизвестный показатель степени) Сложность: сложное	4
42.	Определение логарифма (неизвестное основание) Сложность: сложное	6

§3. Логарифм числа. Свойства логарифмов

1.	Определение логарифма (основание — целое число)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Вычисление логарифма по определению
2.	Определение логарифма (основание — дробь)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Вычисление логарифма по определению
3.	Вычисление десятичного логарифма	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление десятичного логарифма.
4.	Вычисление логарифма, десятичные дроби	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление логарифма.
5.	Вычисление логарифма, обычные дроби	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление логарифма.
6.	Логарифм произведения	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Применение логарифма произведения
7.	Логарифм частного	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Применение логарифма частного
8.	Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Применение формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию
9.	Сумма логарифмов, логарифм степени	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Применение свойств логарифмов (логарифм степени и произведения)
10.	Применение свойств логарифмов, сумма логарифмов	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Применение свойств логарифмов.
11.	Применение свойств логарифмов, разность и сумма логарифмов	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Применение свойств логарифмов.
12.	Формула перехода логарифма к новому основанию	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Использование формулы перехода логарифма к новому основанию.
13.	Числовое значение выражения (сумма)	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Вычисление числового значения выражения.Применение определения логарифма. Сумма логарифмов
14.	Значение выражения (целые числа)	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Найти значение выражения
15.	Числовое значение выражения (разность)	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Вычисление числового значения выражения.Применение определения логарифма. Разность логарифмов
16.	Основное логарифмическое тождество (сложение)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение основного логарифмического тождества
17.	Основное логарифмическое тождество (вычитание)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение основного логарифмического тождества
18.	Основное логарифмическое тождество (произведение)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение основного логарифмического тождества
19.	Основное логарифмическое тождество (основание — дробь)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение основного логарифмического тождества (основание — дробь)
20.	Основное логарифмическое тождество (произведение степеней)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение основного логарифмического тождества. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
21.	Основное логарифмическое тождество (основание — натуральное число)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение основного логарифмического тождества. Возведение степени в степень
22.	Основное логарифмическое тождество (логарифм степени)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение основного логарифмического тождества с логарифмом степени и определением логарифма
23.	Свойства логарифмов (степени и произведения)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойств логарифмов (логарифм степени и произведения)
24.	Свойства логарифмов (степени и частного)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойств логарифмов (логарифм степени и частного)
25.	Логарифм степени (произведение)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление произведения логарифмов, используя логарифм степени
26.	Логарифм степени (частное)	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Вычисление частного логарифмов, используя логарифм степени
27.	Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество)	2 вид — интерпретация	среднее	7 Б.	Применение свойств логарифма (степень основания, основное логарифмическое тождество)
28.	Основное тождество логарифмов	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Использование основного тождества логарифмов.
29.	Формула перехода к другому основанию, основаное логарифмическое тождество	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию и основного логарифмического тождества
30.	Логарифм произведения (сумма кубов)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Сложение логарифмов (сумма кубов)
31.	Неизвестное под знаком логарифма	1 вид — рецептивный	среднее	2 Б.	Найти неизвестное число под знаком логарифма по основанию и показателю степени.
32.	Неизвестное основание логарифма (целое число)	1 вид — рецептивный	среднее	2 Б.	Вычисление неизвестного основания логарифма по определению (основание — целое число)
33.	Неизвестное основание логарифма (обыкновенная дробь)	1 вид — рецептивный	среднее	3 Б.	Вычисление неизвестного основания логарифма по определению логарифма (основание — обыкновенная дробь)
34.	Определение логарифма (неизвестный показатель степени)	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Вычисление неизвестного показателя степени по определению логарифма.Знаменатель — корень оn — oй степени
35.	Свойства логарифмов	3 вид — анализ	сложное	7 Б.	Применение свойств логарифма (сложение логарифмов, логарифм степени)
36.	Формула перехода к новому основанию (метод подстановки)	3 вид — анализ	сложное	7 Б.	Применение формулы перехода к новому основанию, метод введения новой переменной
37.	Логарифм произведения (тригонометрическое выражение)	3 вид — анализ	сложное	7 Б.	Преобразование выражения, стоящего под знаком логарифма в формулу двойного аргумента
38.	Логарифм произведения	3 вид — анализ	сложное	5 Б.	Применение свойств логарифм произведения и логарифм степени
39.	Логарифм произведения	3 вид — анализ	сложное	5 Б.	Применение свойств логарифм произведения и логарифм степени
40.	Область допустимых значений логарифма	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Определение области допустимых значений логарифма, применяя разность квадратов
41.	Определение логарифма (неизвестный показатель степени)	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Вычисление неизвестного показателя степени по определению логарифма.Под знаком логарифма корень оn — oй степени
42.	Определение логарифма (неизвестное основание)	2 вид — интерпретация	сложное	6 Б.	Вычисление неизвестного основания по определению логарифма.Под знаком логарифма — корень оn — oй степени