Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Вспомним, что сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат сторонам, а ребра — граням многогранника. Две соседние вершины принадлежат одной грани многогранника. 

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

 

В подсказках и ответах изображение  дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки .

Задание 1:

Подсказка. показать

Ответ. показать

Задание 2:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 3:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 4:

 

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 5:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 6:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 7:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 8:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 9:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 10:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

 

Задание 11:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Построение сечений многогранников

А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.

Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.

Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения

данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.

Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC₁, а точка N – ребру BB₁.

Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает  самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.

Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C

1B₁ в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).

Полученные точки P и P₁ и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA₁B₁C₁.  

После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.   

Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA₁, AC и BB₁ соответственно.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС₁, т.к. они лежат в плоскости грани AA₁C₁C. Назовем полученную точку P.

Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC₁B₁B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение. 

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

2) найти прямые, по которым пересекаются  плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.

Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сечение многогранников

Введение.

Особенность человеческого мышления такова, что даже простейшее восприятие и запоминание требуют неоднократного обращения к материалу. Начальные темы стереометрии изучаются длительное время, поэтому процесс забывания неизбежен. Следовательно, программой необходимо предусмотреть уроки тематического повторения, работающие на перспективу применения этих знаний в новой ситуации. Обобщающее повторение начал стереометрии имеет особое значение, т.к. является фундаментом для решения задач на построение сечений, нахождение их площадей, нахождение площадей поверхности и объемов и др. Для того, чтобы избежать однообразия и активизировать самостоятельную деятельность учащихся, необходимо расширить знания учащихся, предоставить другие формы деятельности. Современные информационные технологии позволяют  сделать это. Новыми преимуществами являются: возможность остановок в непрерывном процессе построения изображения, возможность возврата к более ранним стадиям процесса, возможность установки имеющихся материалов в информационных сетях разного уровня (что обеспечивает широкий доступ к ним) и, наконец, возможность использования мультимедийных технологий для анимации и озвучивания тех или иных фрагментов процесса обучения.

На основании этого вашему вниманию представлен обобщающий, интегрированный урок по теме «Сечение многогранников» в 10-м

Тема урока: «Сечение многогранников»

Цель урока:  Обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания и рассмотреть их развитие в перспективе.

Задачи урока:

Образовательная:

• обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания на предыдущих уроках,
• при помощи информационных технологий построить сечения,
• проверить свои знания с помощью теста.

Развивающая:

• развитие геометрической интуиции на образы, свойства, методы построения.
• развитие  пространственного мышления, пространственной абстракции, их общности, анализа и синтеза геометрических образов, пространственного воображения.
• развитие логического мышления (владение правилами логического вывода и построения, владение разными методами геометрии).

Воспитательная: воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность учащихся, интерес к предмету.

Тип урока: обобщающий, интегрированный урок.

Форма проведения урока: урок с компьютером.

Методы: словесные, наглядные, межпредметные связи, проектная деятельность.

Оборудование урока: компьютеры, проектор, экран.

План урока

1. Организационный момент — 1 мин.
2. Презентация тема «Сечение многогранника» — 3 мин.

• основные понятия
• демонстрация сечений

3. Устное решение задач.  5 мин.
4. Презентация методов построения сечений — 7 мин.
5. Аксиометрический  метод: метод следов

• Аксиометрический  метод: метод вспомогательных сечений
• Комбинированный метод.

6. Гимнастика для глаз — 1 мин.
7. Защита проектов — 15 мин
8. Тест по теме «Сечение многогранника»-10 мин
9. Подведение итогов урока. Рефлексия. — 2 мин.

Ход урока

Организация начала занятий.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Наши последние занятия были посвящены теме «Сечение многогранника», мы изучили основные определения, познакомились с различными методами построения сечений, решали задачи на построение и конечно же анализировали свои решения и результаты. Сегодня наш урок интегрированный, на занятии мы повторим,  обобщим, закрепим полученные знания, как на уроках геометрии, так  и на уроках информатики. Мы решим задачи на построение  сечений с помощь компьютера и конечно продемонстрируем свои творческие, проектные работы.

Учитель: Для начала вспомним, что мы называем многогранником и сечением многогранника.

Ученик 1: Многогранником называется — тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Ученик 2: Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Учитель: Замечательно, а каким способом можно задать секущую плоскость.

Ученик 3: Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».

Ученик 4: Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну».

 Ученик 5: Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».

Ученик 6: Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Учитель: А сейчас, я вам продемонстрирую сечения, а вы назовете их.

Ученик 7: Сечение параллельное плоскости основания, диагональное сечение, сечение параллельное плоскости грани.

Ученик 8: Если перед нами параллелепипед или прямая призма, то это может быть сечение перпендикулярное плоскости основания.

Делаем выводы:

• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам.
• Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.
•  Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

3. Устное решение задач.  

Учитель: Вы хорошо справились с теоретическими вопросами, предлагаю устно решить задачи.

• Докажите, что сечение, проходящее через середины ребер пирамиды параллельна плоскости основания данной пирамиды.
• Найдите площадь данного сечения, если площадь основания равно 96. (24)
• Найдите площадь и периметр сечения, параллельного плоскости основания тетраэдра, ребро которого равно 10 см.   (15 и )
• Найдите диагональное сечение куба, ребро которого 8 см. ()
• Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а высота 8 см. Найдите площадь диагонального сечения. (40)
• Диагональное сечение куба имеет площадь , найдите ребро куба. (4)
• Докажите, что сечение параллельное боковой грани прямой призмы, перпендикулярно плоскости основания этой призмы.

4. Презентация методов построения сечений.

Учитель: Настало время поговорить о методах построения сечений, вспомним, какие мы рассматривали методы построения сечений?

Ученик: метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений.

Учитель: Итак, метод следов, на чём основывается?

Ученик: На аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Учитель: Вспомним метод следов на практике, для этого решим задачу.

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G

1. Проводим  через точки F и O прямую  FO.
2. Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.
3. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема:  Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

4. Проводим  прямую АВ, до пересечения с прямой FO.
5. Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.
6. Аналогичным образом получим точку R.
7. Через точки H и R, проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, что прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

• Так как прямая HR, пересекает нижнюю грань многогранника, то она пересекает нижнее основание в точках Е и S.
• Таким  образом, отрезок ES есть разрез грани ABCD.
• Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящейчерез точки O, F, G.

Задание № 1. Задание № 2  

Постройте сечения призмы по трем данным точкам.

А теперь проверь себя!!!

Отлично!

Учитель: Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы  секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ.
2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью  определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.
3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.
4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F’=PQ пересекается MF.
5. Так как точка F’ лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF’, и находим точку С’=RF’ пересекается МС. Точка С’, таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C’Q, D’, D’R, А’, А’Р, РС’. Четырехугольник РС’D’А’ — искомое сечение.

Задание № 3. Построить сечение призмы по трем данным точкам самостоятельно.

Желаю успеха!

Отлично!

Учитель: Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Постройте сечение куба, проходящее через точки  P, R, Q.

1. Точки P и R лежат в одной плоскости,  проведём прямую PR.
2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной  AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости  AA’D’D.
8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.
9. Проведем PM
10. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема:    Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема: Если две параллельные плоскости  пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Задание № 4

Постройте сечение куба, по трем данным точкам,  а потом проверьте себя, кликнув по этому рисунку

5. Гимнастика для глаз

6. Далее ребята защищают свои мини проекты по темам:

1. «Многоугольники, полученные в сечении куба».
2. «Нахождение площади сечений в многогранниках».

7. Тест по теме «Сечения многогранников».

8. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Приложение 1. Презентация «Сечение многогранников»

Приложение 2. Презентация «Нахождение площади сечения в многогранниках»

Приложение 3. Презентация «Многоугольники, получающиеся в сечении куба»

Приложение 4. Обзор электронных образовательных ресурсов

Приложение 5. Тест.

urok.1sept.ru

Учимся строить сечения многогранников.

Учимся строить сечения многогранников.

В этой статье я предлагаю вам самостоятельно построить сечения многогранника, проходящее через точки .  Каждое задание сопровождается видео с пошаговым построением сечения. Продолжение статьи читайте здесь.

Задание 1.

Построение. показать

 

Задание 2.

Построение. показать

Задание 3.

Построение. показать

Задание 4.

 

Построение. показать

Задание 5.

Построение. показать

Задание 6.

Построение. показать

 

 

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве”.

 

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

 

3. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

 

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

 

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).

 

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

 

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).

 

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

 

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

 

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости.

 

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\).

 

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

 

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

 

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\). Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\), не лежащей на прямой \(l\), то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

 

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\). Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\). Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

 

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

 

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA’\) и \(BB’\) (точки \(A’, B’\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A’B’\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\). Точка \(M=a\cap A’B’\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\).

 

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

 

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(A’P=\dfrac 14AA’, \ KC=\dfrac15 CC’\). Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\).

 

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA’, CC’\) перпендикулярны \((ABC)\), то точки \(A\) и \(C\) — проекции точек \(P\) и \(K\). Тогда прямая \(AC\) – проекция прямой \(PK\) на плоскость \(ABC\). Продлим отрезки \(PK\) и \(AC\) за точки \(K\) и \(C\) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\).

 

2) Найдем отношение \(AC:EC\). \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\) по двум углам (\(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\), то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\), высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\), считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\), считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

 

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). Т.к. \(DO\perp (ABC)\), то и \(NO\perp (ABC)\). Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\).
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\), то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\), то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\), следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\).

 

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). \(L\) – точка пересечения этих прямых.

 

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\), хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

 

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\). Тогда медиана \(AK=\dfrac{\sqrt3}2a\). Значит, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1{2\sqrt3}a\). Найдем длину отрезка \(OL\) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка \(OK\) находится точка \(L\): если \(OL>OK\) – то вне, иначе – внутри).

 

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{DO}=\dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{MA}{DA}=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a\]

Значит, \(QK=\dfrac{\sqrt3}2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a=\dfrac7{10\sqrt3}a\).

 

б) Обозначим \(KL=x\).
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\), значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\).

 

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)).

 

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\).

 

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\). Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\).

 

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\), она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\). Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\). Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\), получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\). Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

 

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\), то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\). Но \(SB=SD\), значит и \(SK=SP\). Таким образом, можно найти только \(SP:PD\).

 

Рассмотрим \(\triangle ASC\). \(CM, SH\) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\).

 

Теперь по теореме Фалеса из \(\triangle BSD\): \(\dfrac{SP}{PD}=\dfrac{SO}{OH}=\dfrac21\).

 

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(CO\perp BD\) как наклонная (\(OH\) – перпендикуляр на плоскость \(ABC\), \(CH\perp BD\) – проекция). Значит, \(CO\perp KP\). Таким образом, сечением является четырехугольник \(CPMK\), диагонали которого взаимно перпендикулярны.

 

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида \(DABC\) с ребром \(DB\), перпендикулярным плоскости \(ABC\). В основании лежит прямоугольный треугольник с \(\angle B=90^\circ\), причем \(AB=DB=CB\). Проведите через прямую \(AB\) плоскость, перпендикулярную грани \(DAC\), и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

 

Решение

1) Плоскость \(\alpha\) будет перпендикулярна грани \(DAC\), если она будет содержать прямую, перпендикулярную \(DAC\). Проведем из точки \(B\) перпендикуляр на плоскость \(DAC\) — \(BH\), \(H\in DAC\).

 

Проведем вспомогательные \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\) и \(DK\) – медиану в \(\triangle DAC\).
Т.к. \(AB=BC\), то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, значит, \(BK\) – высота, то есть \(BK\perp AC\).
Т.к. \(AB=DB=CB\) и \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), следовательно, \(AD=CD\), следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\).

 

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\); наклонная \(BK\perp AC\), значит и проекция \(HK\perp AC\). Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\). Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\).

 

Соединив точки \(A\) и \(H\), получим отрезок \(AN\), по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\). Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\).

 

Обозначим \(AB=CB=DB=x\). Тогда \(BK\), как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\), равна \(\frac12 AC\), следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\).

 

Рассмотрим \(\triangle BKD\). Найдем отношение \(DH:HK\).

 

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\), то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\). Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

 

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\). Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\).

shkolkovo.net

Памятка по построению сечений многогранников

В настоящее время многие школьники испытывают трудности в изображении восприятия фигур в пространстве, в частности в построении сечений, а построение сечений многогранников и других фигур широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроение и во многих других областях науки и техники. вместе с тем, задание 14 Единого государственного экзамена представляет собой именно стереометрическую задачу.

Сечение выпуклого многогранника – есть выпуклый многоугольник. Его вершины в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны – отрезками, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Задачи на сечения многогранника плоскостью обычно состоят в том, чтобы поострить параллельную проекцию сечения, имея параллельную проекцию самого многогранника и условия, которыми задается секущая плоскость, и вычислить площадь полученного сечения или отношение, в котором секущая плоскость делит объем многогранника. Решение каждой из двух частей такой задачи должно быть убедительно обосновано.

В зависимости от взаимного положения многогранника и секущей плоскости сечение может быть треугольником, четырехугольником и т.д., однако число сторон многоугольника-сечения не может превышать числа всех граней данного многогранника.

При построении сечения многогранника плоскостью, независимо от применяемого при этом метода, приходится решать две элементарные задачи:

1. Строить точку пересечения прямой (ребра многогранника) секущей плоскостью.

2. Строить линию пересечения двух плоскостей (секущей плоскости и плоскости грани).

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней — плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости — по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми — невидимые стороны полученного многоугольника — сечения (рис. 1-4).

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного Рис. 3

многогранника. Например, на рис. 1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ; на рис. 2 секущая плоскость задана точками М, N и L, принадлежащими ребрам соответственно АА₁, В₁С₁ и АD куба АВСDА₁B₁C₁D₁; на рис. 3 секущая плоскость проходит через вершину А основания АВСD перпендикулярно ребру РС правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, высота РО которой образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4 построено сечение куба АВСВА₁В₁С₁В₁ плоскостью, проходящей через его центр М перпендикулярно диагонали А₁С.

D₁ H С₁

Рис. 4

2.1. Метод следов

Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани. 

Основные правила построения сечений методом следа:

1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.

2. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)

3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 

Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. 

В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения». 

2.2. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название.

Задача 1. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 26, а).

Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К₁: К₁ = РК ∩ FR (рис. 26, г), при этом К₁ є α. Тогда: М є α, К₁ є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК₁ ∩ РD (рис. 26, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 26, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н₁ (рис. 26, ж). Тогда прямая RН₁ пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 26, з).

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К₁ = РК ∩ RF;

3. Q = МК₁ ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5. Н₁ = РН ∩ МQ; 6. N = RН₁ ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 26, и).

Динамика построения этого сечения пирамиды проиллюстрирована на рис. 26.

2.3. Комбинированный метод построения сечений

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Пример 1. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q — середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение (рисунок 14):

1. Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3. Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

4. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ — средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

5. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD’RB’ — искомое сечение.

2.3.1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой.

Пусть, например, требуется построить сечение многогранника плоскостью @, проходящей через заданную прямую р параллельную второй заданной прямой q. В общем случае решение этой задачи требует некоторых предварительных построений, которые можно выполнять по следующему плану:

1). Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой p проведем плоскость бетта (рис. 15 ).

2). В плоскости бетта через точку W проведем прямую q’ параллельную q.

3). Пересекающимися прямыми p и q’. Определяется плоскость @. На этом предварительные построения заканчиваются и можно переходить к построению непосредственно сечения многогранника плоскостью @. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяет осуществить и болле короткий план решения. Рассмотрим примеры.

2.3.2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым l и m. При решении задач этого вида можно применять следующий план построения:

1.Выберем некоторую точку W. (Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.)

2.Через точку W проведем прямые l’ и m’. (Естественно, если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой l, то прямая l’ совпадает с прямой l.)

3. Пересекающимися прямыми l’ и m’ определяется плоскость бетта — плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью бетта.

4. Построим сечения многогранника плоскостью альфа, проходящей через точку K, параллельно плоскости бетта.

infourok.ru

Мастер класс «Построение сечений многогранников»

Слайд 1

— Здравствуйте, сегодня я хотела бы вас познакомить с мастер класс на тему «Построение сечений многогранников»

Слайд 2

— Своеобразие геометрии, выделяющее её из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске).

В настоящее время многие школьники испытывают трудности в изображении восприятия фигур в пространстве, в частности в построении сечений, так как например в учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено всего три часа в 10 классе и рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда.

Слайд 3

Умение строить сечения помогает учащимся развивать пространственное мышление. Построение сечений многогранников и других фигур широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроение и во многих других областях науки и техники. Но и самое главное при сдаче единого государственного экзамена. (16 задание в ЕГЭ разделено на 2 пункта: нужно построить сечение, удовлетворяющее определенным условиям и либо найти площадь этого сечения, или расстояние от этого сечения до плоскости и т.д.) Поэтому я в своей работе этой теме уделяю особое внимание. Суть моей методики состоит в следующем:

1. Изготавливаю памятки, в которых отражаю определения, виды сечений, правила построения сечений многогранников.

2. Из всего многообразия задач на построение сечений выделяю ключевые: в тетраэдре по трем точкам, в параллелепипеде: по трем точкам, лежащим на трех соседних ребрах; по трем точкам, лежащим на трех параллельных ребрах; по трем точкам, не лежащим на трех параллельных ребрах. Разбор этих задач всегда сопровождается красочными презентациями

3. Для закрепления навыка построения сечений подготавливаю задания на готовых чертежах.

И сегодня, проводя мастер класс я хотела бы познакомить вас с основными методами и приемами построения сечений многогранников на примере тетраэдра.

Слайд 4

Существует много методов построения сечений многогранников, но я

использовала, на мой взгляд, самые распространенные:

1. Метод следов

2. Комбинированный.

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. (пример Слайд 5)

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. (пример Слайд 6)

На первый взгляд может показаться все это сложно. Давайте сегодня попробуем вместе с вами построить сечение на примере тетраэдра. Слайд 7

А теперь я предлагаю вам самим построить сечение. Перед вами на тренировочном листе параллелепипед. Давайте построим сечение по трем точкам. (Строят сами, а потом объясняю построение на презентации) Слайд 8

И свой мастер класс мне хотелось бы закончить словами В.Г. Белинского «Человек страшится только того, чего не знает, знанием побеждается всякий страх».

infourok.ru