Плоскость в пространстве – необходимые сведения
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Понятие плоскости и ее обозначения
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B, A, d, q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая DB и точки D и B.
Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α, γ или π.
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
Определение 1В любой плоскости есть точки.
Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈. Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π, то мы пишем: A∈π.
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Определение 2Что такое геометрические символы. Какие геометрические символы используются в магии — Альтернативный взгляд Salik.biz
Геометрические символы это всевозможного рода линии (прямые, кривые, ломанные и комбинированные), геометрические фигуры (круг, крест, треугольник и т.д.) и тела (шар, куб, пирамида и т.д.), которые в двухмерном пространстве приобретают вид фигур.
Геометрические символы представляли собой структуру космического пространства, а также структуру ритуального пространства (храм, гробница) и формы священных предметов. С помощью геометрических символов изображалась структура и устройство социального общества, а также духовное (этическое) пространство (любовь, вера, надежда, стойкость и т.д.) Разберём более подробно наиболее популярные геометрические символы, используемые как в магии, так и в науке.
— Salik.bizНаиболее распространённые геометрические символы:
Линии
Чаще всего в магии используются прямые линии, ломанные (зигзагообразные), спирали и вольты, которые соотносились с громом, водой, землёй, змеёй и т.д. Также в качестве магического символа могут использовать непрерывную, изломанную под прямым углом, линию иначе называемую – меандром. Эта линия символизировала отсутствие начала и конца – вечность. В Древней Греции меандр сравнивался с лабиринтом, а в Древнем Китае – с реинкарнацией.
Спираль
Рекламное видео:Спираль является довольно неоднозначным символом. Спиралью как магическим символом пользовались ещё Древнем Египте, Месопотамии, Индии, Китае, Европе, Японии, Океании, доколумбовой Америке, Скандинавских странах и на Крите. Спираль является символом солнечной и лунной энергии, грома, молнии, вихря и созидательных сил.
Треугольник
Форма этой геометрической фигуры определяет и её символику. Треугольник символизирует число 3, а также троицу во всех её сочетаниях: рождение-жизнь-смерть, тело-ум-душа, отец-мать-дети, небо-земля-подземный мир.
Кроме всего прочего треугольник является символом плодоносности земли, брака, пламени, горы, пирамиды, физической стабильности, главы Бога.
Если соединить три треугольника, то получится пифагорейский символ здоровья. Также этот символ является эмблемой Массонов.
Свастика, находящаяся внутри треугольника – это символ космической гармонии.
Треугольник, помещённый в границы квадрата – символ сочетания всего божественного и человеческого, небесного и земного, духовного и телесного.
Треугольник внутри круга – символ троичности в едином целом, а два пересекающихся треугольника – божественность, соединение огня и воды, победы духа над материей.
Звезда Давида
Шестиконечная звезда Давида или иначе гексаграмма по преданию была гербом израильского царя Давида в десятом веке до нашей эры. Именно этот факт и послужил основой названия этого символа. Также этот символ был изображён на амулете вавилонского царя Куригальсу современника библейского Моисея и на печати царя Соломона.
Пентаграмма
Пентаграмма (пятиконечная звезда) является символом микрокосма, а также фигуры человека. Обозначает пентаграмма пять таинственных центров силы, пять чувств человека, пять элементов в природе, пять конечностей человеческого тела. С помощью пентаграммы человек может управлять низкими созданиями и требовать помощи у высоких созданий.
Квадрат
Квадрат является символом стабильности и постоянства, а также совершенной формой закрытого и мистического союза четырёх элементов.
Пентагон
Пентагон – это правильный пятиугольник в виде звезды. Он являет собой символ вечности, совершенства и Вселенной. Также пентагон может служить амулетом здоровья. Если этот символ начертить на дверях, то он будет отгонять ведьм и злых сущностей. Пентагон применяется в различных магических заговорах и ритуалах.
Гексагон
Гексагон – правильный шестиугольник – это символ красоты и гармонии. Также он является образом человека – две руки, две ноги, голова и туловище. Благодаря тому, что с одной стороны гексагон имеет углы, а с другой – приближен к форме круга – в мистических обрядах он соотносится с идеей энергии и мира, а также с Солнцем.
Круг
Круг является универсальным символом целостности, гармонии и совершенства. Округлая форма издревле считалась священной, так как являлась самой естественной формой в природе. Круг символизировал то, что в современном мире называют – пространственно-временным континуумом, а также то, что лежит вне времени и пространства. Круг не имеет ни начала, ни конца, ни верха, ни низа.
Круг с точкой в центре является символом полного временного цикла. В астрологии круг – это символ Солнца, а в алхимии – символ Солнца и Луны.
Два концентрических круга символизируют Солнце и Луну. Три концентрированных круга – символизируют – прошлое, настоящее и будущее; три сферы – символ рая, земли и ада.
Круг, внутри которого размещён крест – обозначает Рай и четыре его реки, вытекающие из центра, а также Древо Жизни.
Крест
Возникновение символа креста исходит ещё к эпохе неолита. Крест является одним из самых распространённых религиозных символов высших сакральных ценностей. В отличие от круга и квадрата, основная символическая идея которых заключается в разграничении внутреннего и внешнего, крест подчёркивает идею центра и основных направлений, ведущих от него. По сути, крест – это центр мира и точка соединения между небесами и землёй – космическая ось.
Крест часто выступал как модель человека или антропоморфного божества. Вместе с тем крест модерирует и духовный аспект, способность к бесконечному и гармоничному растяжению в вертикальном и горизонтальном направлениях.
В вертикальном направлении – это восхождение духа, устремление к Богу, вечности: звёздная, интеллектуальная, позитивная, активная, мужская сила.
В горизонтальном направлении – это земная, рациональная, пассивная, негативная, женская сила. В целом же крест формирует андрогин (особь одного пола, у которого имеются признаки другого пола), а также отражает дуализм в природе и союз противоположностей. Крест представляет собой духовный союз и целостность человеческого духа в вертикально-горизонтальных аспектах, что необходимо для полноты жизни. Иначе говоря, крест – это фигура человека с распростертыми руками, а также символ нисхождения духа в материю.
Известны различные формы креста. Крест с петлёй в верхней части понимался как ключ, которым открываются врата к божественному знанию. Т-образная часть символа относилась к мудрости – каплевидный кружочек – к вечному, началу.Кест с петлей
Т-образный крест – тау-крест. У древних египтян этот символ обозначал расположение рогов у быка или барана – вертикальная часть – морда животного. У древних иудеев – это символ ожидаемого мессии. В Древнем Риме – на таком кресте распинались преступники – использовался как орудие казни.
Позднее в религиозных различных течениях и политических союзах изобрели свои, определённой формы, кресты: бургундский, мальтийский, андреевский и др.
Свастика
Свастика это крест с равновеликими петлями, концы которых загнуты в форме греческой буквы гамма – религиозный индусский символ. В Азии и Европе свастика считалась тайным магическим знаком. Это – солнце, источник жизни и плодородия, и одновременно – символ грома и небесного огня.
Аксиомы стереометрии
Материал урока.
На прошлом уроке мы познакомились с разделом геометрии – cтереометрия. Мы сказали, что основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Мы вспомнили, как обозначаются точки, прямые, плоскости. Давайте еще раз повторим, что точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита, плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита. Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Представление о плоскости дают нам ровные поверхности, например, лист бумаги или школьная доска.
Как правило, такие предметы имеют прямоугольную форму, но если посмотреть на эти предметы под углом и на большом расстоянии, то они покажутся нам параллелограммами. Поэтому чаще всего, плоскости изображают параллелограммами или просто в виде произвольной области.
Сразу оговоримся, что хоть плоскость и изображается параллелограммом, но она понимается неограниченной во все стороны.
Очевидно, что в любой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.
Например, на нашем рисунке изображена плоскость и несколько точек.
Легко заметить, что точки A и B лежат на плоскости α, а точки C, D, E – не лежат на этой плоскости. Математически это можно записать так:
Когда мы с вами начинали изучать планиметрию, мы начинали с аксиом планиметрии. Напомним, что аксиома – утверждение, не требующее доказательства. В аксиомах стереометрии выражаются основные свойства точек, прямых и плоскостей, которые касаются их взаимного расположения.
Прежде всего, давайте определим, сколько точек надо взять, чтобы плоскость задавалась однозначно. Если мы возьмем одну точку, то через нее можно провести не менее двух плоскостей, то есть одна точка не задает однозначно плоскость.
Возьмем две точки. Согласно аксиомам планиметрии, через две точки можно провести прямую и притом только одну, то есть две точки однозначно задают только прямую. Через эту прямую можно провести не менее двух плоскостей, то есть и две точки не задают однозначно плоскость.
Теперь давайте посмотрим на дверь. Она крепится к стене с помощью петель. И относительно петель поворачивается. Если петли обозначить точками и провести через них прямую, а полотно двери обозначить за плоскость, то получим, что плоскость поворачивается относительно прямой. Теперь давайте дверную ручку обозначим за точку, тогда получим, что прямая и одна точка задают плоскость, причем однозначно. То есть плоскость однозначно задается тремя точками. Об этом и говорит первая аксиома.
Итак, сформулируем первую аксиому. Для удобства аксиомы мы будем обозначать большой буквой А с нижним индексом, который будет обозначать номер аксиомы.
A1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство.
Давайте теперь схематично изобразим эту аксиому. Отметим произвольные точки A, B, C, которые не лежат на одной прямой, и проведем плоскость α.
Тогда можно записать, что каждая из этих точек принадлежит плоскости α. Аксиома утверждает, что такая плоскость единственная.
Примером этой аксиомы может служить детский велосипед с тремя колесами. Если мы обозначим место соприкасания колес с дорожкой точкой, то получим три точки, которые задают плоскость дорожки. Благодаря этому трехколесный велосипед устойчиво стоит на дорожке.
Перейдем ко второй аксиоме.
A2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Тогда говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Схематически аксиому можно изобразить так. Изобразим точки Aи B и проведем через них прямую a и плоскость α.
Тогда можно записать, что если точки A и B принадлежат прямой a и плоскости α, то прямая a лежит в плоскости α. Записывается это так:
Давайте сразу определимся в каком случае
какой символ принадлежности надо писать. Если речь идет о принадлежности
точки чему-то, то пишем такой символ
. Если
мы говорим о принадлежности прямой чему-то, то тогда надо писать такой
символ
.
Вторую аксиому можно использовать для проверки ровности стола. Для этого надо взять линейку и приложить ее краем к поверхности стола, если поверхность стола ровная, то просветов между линейкой и столом не будет, а если поверхность стола не совсем ровная, то будут зазоры между линейкой и столом.
Из этой аксиомы следует:
Если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с плоскостью не более одной общей точки.
Покажем это на чертеже. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Перейдем к следующей аксиоме.
A3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
Сделаем схематический рисунок этой аксиомы.
Пусть нам дана точка А и две плоскости, которые проходят через эту точку. Обозначим эти плоскости за α и β. Запишем, что если А принадлежит плоскостям α и β, то плоскости α и β пересекаются по прямой a.
Примеров этой аксиомы очень много. Например, обыкновенная открытка (здесь плоскостями будут части открытки, а линия сгиба – линией их пересечения) или стены в комнате (здесь сами стены будут плоскостями, а линия их соединения – линией их пересечения).
Вторая и третья аксиомы говорят о расположении прямых и плоскостей в пространстве. Кроме того, они выражают свойство не искривлённости прямой и плоскости. Две плоскости не могут располагаться как на рисунке, а прямая не может отклоняться от плоскости.
Отметим, что все аксиомы и утверждения планиметрии справедливы в стереометрии на каждой плоскости пространства.
Например, признаки равенства треугольников, которые мы изучали в планиметрии, справедливы и для треугольников, которые расположены в разных плоскостях.
Аналогично для треугольников, которые расположены в разных плоскостях, справедливы признаки подобия
Сейчас давайте рассмотрим обозначения, которые будут использоваться при решении задач и доказательстве теорем.
Сделаем чертеж.
На чертеже видно, что точка А лежит на
прямой a. Записывается
Читается
так: точка А принадлежит прямой a или другими словами,
прямая aпроходит (или проведена) через точку А.
Точка B не
принадлежит прямой А. Записывается 
Читается:
точка B не принадлежит прямой a или, другими словами, прямая a не
проходит (или не проведена) через точку B.
Теперь давайте запишем как располагаются точки А и B относительно плоскости α. Записывается это точно так же как и в случае точек и прямой a, но при прочтении слово прямой заменяется словом плоскости.
Теперь давайте посмотрим на расположение
прямых и плоскости. Прямая a лежит в плоскости α.
Записывается это так
Читается: прямая aпринадлежит плоскости α или
другими словами плоскость α проходит (проведена) через прямую a.
Прямая b не лежит в
плоскости α. Записывается это так
Читается: прямая b не принадлежит плоскости α или
другими словами плоскость α не проходит (не проведена) через прямую b.
Теперь рассмотрим взаимное расположение
прямыхa и b. Эти прямые
пересекаются. Записывается это так
Читается: прямая a пересекает прямую b
в точке А.
Давайте построим еще одну плоскость β.
Очевидно, что α и β пересекаются. Записывается это так
Читается: плоскость альфа пересекает плоскость β
по прямой c.
Выполним задание. Прочитать записи и сделать схематический рисунок.
В первом случае прочитать записи можно так: плоскость α проходит через точку А и прямую a, но точка А не принадлежит прямой a.
Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость α и отметим на ней прямую a и точку А так, чтобы точка А не лежала на прямой a.
Во втором случае прочитать записи можно так: прямая a пересекает плоскость α в точке А, прямая b пересекает плоскость α в точке В.
Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость альфа и проведем прямые a и b так, чтобы они пересекали плоскость α соответственно в точках А и B.
Мы знаем, что помимо строчных букв латинского алфавита прямые могут обозначаться двумя заглавными буквами, которые соответствуют точкам, лежащим на прямой. Аналогично и плоскости могут называться тремя заглавными буквами латинского алфавита, которые соответствуют точкам, которые задают плоскость. Например, плоскость на рисунке можно назвать плоскость альфа или плоскость ABC.
Решим еще одну задачу.
Решение.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали основные аксиомы стереометрии. Показали, как записываются и читаются некоторые математические символы.
Энциклопедия символов. Геометрические символы
Геометрические символы. Класс знаков по форме идентичных геометрическим
Геометрические символы
Оглавление
Свастика прямая (левосторонняя)
Свастика как солнечный символ
Прямая (левосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми влево. Вращение считается происходящим по часовой стрелке (в определении направления движения мнения иногда расходятся).
Прямая свастика – символ благословения, доброго предзнаменования, благополучия, удачи и отвращения беды, а также символ плодородия, долгожительства, здоровья и жизни. Это также символ мужского начала, духовности, тормозящей поток низших (физических) сил и позволяющей проявляться энергиям высшей, божественной природы.
Свастика обратная (правосторонняя)
Свастика на нацистской военной медали
Обратная (правосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми вправо. Вращение считается происходящим против часовой стрелки.
Обратная свастика связывается обычно с женским началом. Иногда она ассоциируется с запуском негативных (физических) энергий, закрывающих проход возвышенным силам духа.
Шумерская свастика, образованная четырьмя женщинами и их волосами, символизирует женскую порождающую силу
Пентаграмма (пентакль): общее значение символа
Знак пентаграммы
Пентаграмма, написанная одной линией, – самый древний из всех символов, которыми мы владеем. Имела разные толкования в разные исторические времена человечества. Она стала шумерским и египетским знаком звезд.
Более поздняя символика: пять чувств; мужское и женское начала, выраженные пятью точками; гармония, здоровье и мистические силы. Пентаграмма также символ победы духовного над материальным, символ безопасности, охранения, благополучного возвращения домой.
Пентаграмма как магический символ
Пентаграммы Белого и Черного магов
Пентакль с одним концом вверх и двумя вниз является знаком белой магии, известным как «нога друида»; с одним концом вниз и двумя вверх он представляет так называемое «копыто козла» и рога дьявола – характерное для символики изменение знака с позитивного на негативный при его переворачивании.
Пентаграмма Белого мага – символ магического воздействия и господства дисциплинированной Воли над явлениями мира. Воля Черного мага направлена к разрушению, к отказу от выполнения духовной задачи, поэтому перевернутая пентаграмма рассматривается как символ зла.
Пентаграмма как символ совершенного человека
Пентаграмма, символизирующая совершенного человека
Пентаграмма, пятиконечная звезда, – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта.
Истина принадлежит духу, любовь – душе, мудрость – интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воле.
Двойная пентаграмма
Двойная пентаграмма (человек и Вселенная)
Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект – воздуху, душа – огню, дух – эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ними. Именно в этом смысл символа двойной пентаграммы, в которой малая вписана в большую: человек (микрокосм) живет и действует внутри Вселенной (макрокосма).
Гексаграмма
Изображение гексаграммы
Гексаграмма – фигура, составленная двумя полярными треугольниками, шестиконечная звезда. Это сложная и цельная симметричная форма, в которой шесть маленьких отдельных треугольников группируются вокруг большого центрального шестиугольника. В результате образуется звезда, хотя первоначальные треугольники сохраняют свою индивидуальность. Поскольку обращенный вверх треугольник – небесный символ, а обращенный вниз – символ земной, то вместе они – символ человека, объединяющего эти два мира. Это символ совершенного брака, который связывает мужчину и женщину.
Печать Соломона
Печать Соломона, или звезда Давида
Это знаменитая магическая печать Соломона, или звезда Давида. Верхний треугольник в ее изображении – белый, а нижний – черный. Она символизирует, в первую очередь, абсолютный закон аналогии, выражаемый мистической формулой: «То, что внизу, подобно тому, что вверху».
Печать Соломона – это также символ эволюции человека: надо научиться не только брать, но и давать, поглощать и излучать одновременно, излучать – для Земли, воспринимать – от Неба. Мы получаем и наполняемся, только когда отдаем другим. Это совершенный союз духа и материи в человеке – союз солнечного сплетения и мозга.
Пятиконечная звезда
Пятиконечная звезда
Вифлеемская звезда
Пятиконечная звезда толкуется по-разному, в том числе она символизирует радость и счастье. Это также эмблема семитской богини Иштар в ее воинственном воплощении, а кроме того, Вифлеемская звезда. У масонов пятиконечная звезда символизирует мистический центр.
Египтяне придавали огромное значение пяти– и шестиконечным звездам, как явствует из текста, сохранившегося на стене погребального храма Хатшепсут.
Семиконечная звезда
Семиконечная звезда магов
В семиконечной звезде повторяются характерные черты пятиконечной. Семь лучей имеет гностическая звезда.
Семи– и девятиконечные звезды, начерченные одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.
Звезда магов читается двояко: последовательно по ходу лучей (по линии начертания звезды) и по окружности. По ходу лучей расположены планеты, управляющие днями недели: Солнце – воскресенье, Луна – понедельник, Марс – вторник, Меркурий – среда, Юпитер – четверг, Венера – пятница, Сатурн – суббота.
Девятиконечная звезда
Девятиконечная звезда магов
Девятиконечные звезды, как и семиконечные, если они начерчены одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.
Девятиконечная звезда, составленная из трех треугольников, символизирует Святой Дух.
Монада
Четыре составные части монады
Это магический символ, названный монадой Джоном Ди (1527–1608), советником и астрологом английской королевы Елизаветы I.
Ди представляет природу магических символов в терминах геометрии и проверяет монаду в ряде теорем.
Ди проводит исследование монады на таком глубоком уровне, что находит связи своей теории с пифагорейской гармонией, библейским знанием и математическими пропорциями.
Спираль
Спиральная структура Млечного Пути
Спиральные формы встречаются в природе очень часто, начиная от спиральных галактик и до водоворотов и смерчей, от раковин моллюсков до рисунков на человеческих пальцах, и даже молекула ДНК имеет форму двойной спирали.
Спираль – весьма сложный и многозначный символ. Но прежде всего – это символ великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосма. Спираль является символом времени, циклических ритмов, смены сезонов года, рождения и смерти, фаз «старения» и «роста» Луны, а также самого Солнца.
Древо Жизни
Древо Жизни в человеческом существе
Древо Жизни
Древо Жизни не принадлежит ни одной культуре – даже египтянам. Оно вне рас и религий. Этот образ является неотъемлемой частью природы… Сам человек представляет собой миниатюрное Древо Жизни. Он обладал бессмертием, когда был связан с этим деревом. О Древе Жизни можно размышлять как об артериях большого космического тела. По этим артериям, как по каналам, текут живительные силы космоса, которые питают все формы существования, и в них бьется космический пульс жизни. Древо Жизни является отдельной секцией, частью схемы универсального кода жизни.
Сфера
Армиллярная сфера (гравюра из книги Тихо Браге)
Символ плодородия (как и круг), а также целостности. В Древней Греции знаком сферы был крест в круге – древняя эмблема власти. Сфера, составленная из нескольких металлических колец, иллюстрирующая космогоническую теорию Птолемея, который полагал, что Земля находится в центре Вселенной, – старинная эмблема астрономии.
Платоновы тела
Платоновы тела, вписанные в сферу
Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики и такие великие умы, как Пифагор, считали, что эти тела связаны с определенными элементами: куб (А) – земля, тетраэдр (В) – огонь, октаэдр (С) – воздух, икосаэдр (D) – вода, додекаэдр (E)– эфир, а сфера – пустота. Эти шесть элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества Вселенной.
Символы планет
Символы планет
Планеты изображаются комбинацией простейших геометрических символов. Это круг, крест, дуга.
Рассмотрим, например, символ Венеры. Круг расположен над крестом, что олицетворяет некое «спиритуальное притяжение», которое тянет крест вверх, в принадлежащие кругу возвышенные области. Крест, подчиненный законам зарождения, увядания и смерти, обретет свое искупление, если будет вознесен внутрь этого великого круга духовности. Символ в целом представляет женское начало в мире, которое пытается одухотворить и защитить сферу материального.
Пирамида
Великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина
Пирамида – символ иерархии, существующей во Вселенной. В любой области символ пирамиды может помочь перейти от низшего плана множественности и раздробленности к высшему плану единства.
Считается, что посвященные избрали форму пирамиды для своих святилищ потому, что хотели, чтобы сходящиеся к вершине, устремляющиеся к Солнцу линии преподали человечеству урок единства.
Звездный тетраэдр
Звездный тетраэдр
Звездный тетраэдр – фигура, состоящая из двух взаимопересекающихся тетраэдров. Эту фигуру можно также воспринимать как трехмерную звезду Давида.
Тетраэдры проявляются как два противоположных закона: закон духа (излучение, отдача, самоотверженность, бескорыстие) и закон материи (втягивание внутрь, охлаждение, застывание, паралич). Только человек может сознательно совмещать эти два закона, так как он – связующее звено между миром духа и миром материи.
Таким образом, звездный тетраэдр представляет собой два полюса творения в полном равновесии.
Предмет стереометрии
Мы с вами геометрию изучаем уже третий год и практически постоянно имели дело с плоскими фигурами, то есть с фигурами, которые целиком расположены в одной плоскости. Раздел геометрии, который занимается изучением свойств плоских фигур называется планиметрия. Основными фигурами планиметрии являются точка и прямая.
У плоских фигур есть только два измерения: длина и ширина, эти измерения используются для нахождения площади фигур.
Но давайте посмотрим вокруг. В природе практически нет плоских тел. Все предметы располагаются в пространстве и не умещаются в одной плоскости. Раздел геометрии, который изучает свойства таких фигур, называется стереометрией.
Например, если в планиметрии мы говорили о квадрате, то в стереометрии мы будем говорить о кубе, который состоит из квадратов.
Если в планиметрии мы говорили о прямоугольном треугольнике, то в стереометрии из треугольника, вращая его вокруг одного из катетов, мы получим конус.
Слово стереометрия происходит от двух древне-греческих слов στερεός — «твёрый, пространственный» и слово μετρέω — «измеряю». В отличии от планиметрии основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость.
Точки, как и в планиметрии обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита.
Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Для обозначения плоскости используются строчные буквы греческого алфавита.
Наряду с этими понятиями в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. У геометрических тел три измерения: длина, ширина и высота. Эти измерения позволяют вычислить объем фигуры, то есть геометрические тело обладают вместимостью. Практически каждый окружающий нас предмет можно представить в виде геометрических тел.
Тела, поверхность которых состоят из многоугольников называют многогранниками.
Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась вместе с человеком. Геометрия была очень нужна строителям, которые возводили на реках дамбы, перекидывали с одного берега на другой мосты, виадуки, создавали многоэтажные здания и величественные храмы.
Ярким примером этого являются египетские пирамиды, сооруженные за два четыре тысячелетия до нашей эры. До сих пор эти пирамиды поражают точностью своих метрических соотношений.
Считается, что геометрия появилась в древнем Египте около 2000 лет до нашей эры. В 5 веке нашей эры древнегреческий ученый Геродот о появлении геометрии писал так: Египетский фараон Сеозоострис разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию.
Геродо́т Галикарна́сский (около 484 г до н. э. — около 425 г до н. э.)
Сначала геометрия была интуитивной. То есть факты признавались существующими и никак не доказывались. Но в шестисотом году до нашей эры греческий ученый Фалес выдвинул и развил идею о том, что должны быть пути, доказывающие справедливость тех или иных фактов. В геометрии факты называются теоремами. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого.
Фалес Милетский
640/624 — 548/545 гг. до н. э.
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии.
Одной из самых первых и самых известных геометрических школ была пифагорейская, она существовала в шестом пятом веках до нашей эры. Названа она была в честь своего основателя древнегреческого ученого Пифагора.
Пифагор Самосский
570 — 490 гг. до н. э.
Пифагорейцы использовали правильные многогранники для философских теорий. Так огню они придавали форму тэтраэдра (пирамиды), земле – форму гексаэдра (куба), воздуху – форму октаэдра (фигуры, которая образована восьмью равносторонними треугольниками), воде – форму икосаэдра (фигуры, которая образована двадцатью равносторонними треугольниками).
По их мнению вся вселенная имеет форму додекаэдра (фигуры, которая состоит из двенадцати правильных пятиугольников).
Нетрудно заметить, что названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. Первая часть названия показывает количество граней из которых состоит фигура, а слово эдр произошло от древнегреческого слова «эдра» — грань.
Еще одной известной школой, которая занималась вопросами геометрии, является Александрийская философская школа. Выходцем этой школы был знаменитый ученый Евклид, который жил около трехсотого года до нашей эры.
Эвклид
ок. 325 — 265 гг. до н. э.
Евклид является автором «Начала», работы, которая состоит из тринадцати книг и содержит изложение планиметрии, стереометрии, ряда вопросов теории чисел. Этой работой Евклид создал фундамент дальнейшего развития математики. До сих пор этот труд считается основой изучения курса геометрии.
Он сформулировал 5 постулатов:
1. Через две точки можно провести прямую.
2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.
Широко известен факт о том, что царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». На что Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути».
В 19 веке в геометрии появились новые методы, которые позволили переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Возникли и развиваются новые направления геометрических исследований: геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология, компьютерная геометрия и так далее.
В 1829 году русский математик Николай Лобачевский написал работу «О началах геометрии», в которой заявил, что можно построить геометрию такую же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова. Если геометрию Евклида можно назвать геометрией земных пространств и расстояний, то геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.
Николай Иванович Лобачевский
1792 – 1856 гг
Основное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида заключается в так называемом «пятом постулате». Евклид утверждал, что «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её». В геометрии Лобачевского вместо этой аксиомы принимается другая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
В 1899 году немецкий математик Давид Гильберт написал труд «Основания геометрии». Эта работа стала образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.
Давид Гильберт
1862 – 1943 гг
Геометрические тела как и все геометрические фигуры являются воображаемыми объектами. Геометрическое тело – часть пространства, отделенное от остальной части пространства границей этого тела. Другими словами, мы представляем геометрические тела «пустыми», то есть есть оболочка, а внутри находить пустое пространство. Например, границей шара является сфера. По аналогии с планиметрией, когда окружность – являлась границей круга. Для каждого тела можно провести плоскость, по обе стороны которой будут находится точки этого тела. Такая плоскость является секущей.
При изучении пространственных фигур пользуются изображением этих фигур на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одну и ту же фигуру можно изобразить по разному. Например, пирамиду можно изобразить так:
Штриховыми линиями изображаются невидимые части фигуры.
Обычно выбирают то изображение, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. Очевидно, что для изображения пирамиды мы выберем вот этот чертеж.
В 9 классе мы рассмотрим только несколько геометрических тел. Такие как призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. При этом мы будем в основном опираться на наглядные представления. Более подробно эти тела мы будем изучать в курсах геометрии 10 и 11 классов.
Стереометрия — геометрия и искусство
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,
Аксиомы стереометрии и их следствия
1.Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
2.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.
3.Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости.
4.Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
5.Существует хотя бы одна плоскость.
Примечания.
1. Точки, прямые и плоскости можно рассматривать как три множества объектов любой природы и не требовать, чтобы прямые и плоскости были множествами точек.
2. В некоторых системах аксиом за основу принято понятие расстояния между двумя точками или аксиоматизируется разбиение пространства плоскостью.
3. Часто в качестве аксиомы принимают тот факт, что две различные пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой. Однако это утверждение можно доказать, используя аксиомы 1 и 3.
Простейшие следствия из аксиом.
1. Для любой плоскости существует точка, не принадлежащая этой плоскости.
2.Через две различные точки можно провести прямую, и эта прямая единственна.
3.Через прямую и точку вне прямой можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
4.Через две различные пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
5.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.
6. Плоскость разбивает пространство на две части (два полупространства) такие; что отрезок, соединяющий две точки одного полупространства, не пересекается с плоскостью, а соединяющий точки разных — пересекается.
Как видно из аксиом и следствий из них, плоскость задается однозначно, если задан следующий набор элементов:
а) даны три точки, не лежащие на одной прямой;
б) дана прямая и не принадлежащая ей точка;
в) даны две пересекающиеся прямые.
Кроме этого, две параллельные прямые в пространстве однозначно задают плоскость.