Синус 0 градусов, sin 0
Синус нуля градусов равняется нулю. На картинке синуса это выглядит так:Вы, конечно, спросите: «А где же, собственно, сам синус на этой картинке?» А нет его, он в дырочку от нолика спрятался. Как мышонок в норку. Чтобы увидеть мышонка, нужно его выманить из норки. В мультиках утверждают, запах сыра очень помогает в этом деле. Синус сыром не поманишь. Но есть одна штучка, которая на синус действует безотказно. Называется эта волшебная приманка для синусов — угол. Не тот, в который деток ставят, а тот, который в градусах или радианах измеряется. Давайте повнимательнее понаблюдаем за этой охотой на синусов.
Нет у нас угла (угол равняется нулю) — нет и синуса.
sin 0° = sin 0π = 0
Теперь попробуем поманить синус самым маленьким уголком. Посмотрим, как отреагирует синус на угол в ноль градусов, ноль минут, одну тысячную секунды:
sin (0° 0′ 0,001″) = 0,00000000484813681109
Видите, из норки показался самый кончик любопытного носика? Попробуем увеличить в десять раз нашу приманку и возьмем угол в одну сотую секунды.
Количество ноликов перед циферками сократилось на один, а в конце показалась пятерка. Конечно, в норке прячется еще очень много циферок, которые при желании можно увидеть. Это скорее удав с длинню-ю-ю-ю-ющим хвостом из цифр. Еще в десять раз увеличим угол.
sin (0° 0′ 0,1″) = 0,00000048481368110954
Вы заметили, что циферки после ноликов совсем не меняются? Это не означает, что синус, как и угол, увеличивается ровно в десять раз. Где-то там, в дали от запятой, цифры меняются — мышонок шевелит хвостиком, но мы этого не видим. Мы наблюдаем только за первыми двадцатью цифрами после запятой.
Вот теперь у нас появилась уникальная возможность полюбоваться синусом одной секунды во всей его красе (точнее, его первых двух десятков цифр):
sin (0° 0′ 1″) = 0,00000484813681107637
Дальше посмотрим, как меняются первые десять цифр после запятой для 10, 20, 30, 40 и 50 секунд (совершенно естественно, что лишний хвостик мы округляем): sin (0° 0′ 10″) = 0,0000484814
sin (0° 0′ 20″) = 0,0000969627
sin (0° 0′ 30″) = 0,0001454441
sin (0° 0′ 40″) = 0,0001939255
sin (0° 0′ 50″) = 0,0002424068
Можно считать, что ради одной минуты синус уже полностью покидает свою норку и начинает резво носиться по окрестностям. Вы только посмотрите на синус 10, 20, 30, 40 и 50 минут:
sin (0° 1′) = 0,0002908882
sin (0° 10′) = 0,0029088780
sin (0° 20′) = 0,0058177314
sin (0° 30′) = 0,0087265355
sin (0° 40′) = 0,0116352658
sin (0° 50′) = 0,0145438977
Надеюсь, теперь вы понимаете, что когда угол достигает всего одного градуса, синус становится совсем большим. Маленький мышонок превращается во взрослую мышь. Посмотрите, как быстро меняются величины синуса для углов в 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 градусов:
sin 2° = 0,034899
sin 3° = 0,052336
sin 4° = 0,069756
sin 5° = 0,087156
sin 6° = 0,104528
sin 7° = 0,121869
sin 8° = 0,139173
sin 9° = 0,156434
sin 10° = 0,173648
Некоторые значения синуса угла альфа по заявкам посетителей:
sin 17° = 0,292372
Если вам еще не надоели наблюдения за синусом, тогда предлагаю перейти на страницу синус 30 градусов. Там его можно не только увидеть, но и потрогать руками, при желании.
На этой странице вы найдете ответы на следующие вопросы по тригонометрической функции синус: сколько равен sin 17, sin 0 градусов и 1 минуты, синус скольки равен нулю (здесь, правда, нужно помнить о периодичности тригонометрических функций и не забывать добавлять к 0 градусов или 180 градусам (или π) прериод 360 градусов (или 2π)).
| sin(1°) = 0,017452 sin(2°) = 0,034899 sin(3°) = 0,052336 sin(4°) = 0,069756 sin(5°) = 0,087156 sin(6°) = 0,104528 sin(7°) = 0,121869 sin(8°) = 0,139173 sin(9°) = 0,156434 sin(10°) = 0,173648 sin(11°) = 0,190809 sin(12°) = 0,207912 sin(13°) = 0,224951 sin(14°) = 0,241922 sin(15°) = 0,258819 sin(16°) = 0,275637 sin(17°) = 0,292372 sin(18°) = 0,309017 sin(19°) = 0,325568 sin(20°) = 0,342020 sin(21°) = 0,358368 sin(22°) = 0,374607 sin(23°) = 0,390731 sin(24°) = 0,406737 sin(25°) = 0,422618 sin(26°) = 0,438371 sin(27°) = 0,453990 sin(28°) = 0,469472 sin(29°) = 0,484810 sin(30°) = 0,5 | sin(31°) = 0,515038 sin(32°) = 0,529919 sin(33°) = 0,544639 sin(34°) = 0,559193 sin(35°) = 0,573576 sin(36°) = 0,587785 sin(37°) = 0,601815 sin(38°) = 0,615661 sin(39°) = 0,629320 sin(40°) = 0,642788 sin(42°) = 0,669131 sin(43°) = 0,681998 sin(44°) = 0,694658 sin(45°) = 0,707107 sin(46°) = 0,719340 sin(47°) = 0,731354 sin(48°) = 0,743145 sin(49°) = 0,754710 sin(50°) = 0,766044 sin(51°) = 0,777146 sin(52°) = 0,788011 sin(53°) = 0,798636 sin(54°) = 0,809017 sin(55°) = 0,819152 sin(56°) = 0,829038 sin(57°) = 0,838671 sin(58°) = 0,848048 sin(59°) = 0,857167 sin(60°) = 0,866025 | sin(61°) = 0,874620 sin(62°) = 0,882948 sin(63°) = 0,891007 sin(64°) = 0,898794 sin(65°) = 0,906308 sin(66°) = 0,913545 sin(67°) = 0,920505 sin(68°) = 0,927184 sin(69°) = 0,933580 sin(70°) = 0,939693 sin(71°) = 0,945519 sin(72°) = 0,951057 sin(73°) = 0,956305 sin(74°) = 0,961262 sin(75°) = 0,965926 sin(76°) = 0,970296 sin(77°) = 0,974370 sin(78°) = 0,978148 sin(79°) = 0,981627 sin(80°) = 0,984808 sin(81°) = 0,987688 sin(82°) = 0,990268 sin(83°) = 0,992546 sin(84°) = 0,994522 sin(85°) = 0,996195 sin(86°) = 0,997564 sin(87°) = 0,998630 sin(88°) = 0,999391 sin(89°) = 0,999848 sin(90°) = 1 |
Таблица синусов
Одной из самых часто используемых из всех тригонометрических таблиц Брадиса, является таблица синусов. В этой статье мы разберемся с таким понятием, как синус (sin), научимся находить значения синуса для различных углов (0, 30, 45, 60, 90), и поймем, для чего нужна таблица синусов.
Таблица синусов и её применение
Для начала нужно напомнить, что означает такое понятие, как синус угла.
Синус — это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Это справедливо в случае, если треугольник прямоугольный.
Стандартный прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) — катеты, сторона с (AB) — гипотенуза
Пример: найдем синус угла ⍺ и угла β
sin ⍺ = а/с или отношение стороны ВС к стороне АВ. Если брать угол β, то противостоящим будет считаться сторона b или АС. Гипотенуза в данном случае та же — AB. Тогда:
sin β = b/с или АС отношение АВ.
В прямоугольном треугольнике всегда 2 катета и только одна гипотенуза
Как известно, целых значений угла — 360. Но часто нужно рассчитать значения для самых популярных углов, таких как: синус 0°, синус 30°, синус 45°, синус 60°, синус 90°. Эти значения можно найти в таблицах Брадиса.
Несмотря на то, что в 2021 году она отмечает свой столетний юбилей, свою актуальность таблица Брадиса не утратила. В частности ее применяют архитекторы, проектанты, конструктора для проведения быстрых промежуточных расчетов. Таблицы Брадиса разрешены к использованию в школах при сдаче ЕГЭ, в отличие от калькуляторов.
Онлайн калькулятор расчета синуса угла
Как рассчитать синус угла
Некоторые значения синуса угла можно рассчитать достаточно просто, воспользовавшись таблицей синусов угла π (пи) в радианах.
π (пи) равно 3,14 или 180°
Пример: рассчитаем значения синуса следующих углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° в радианах с использованием π (пи)
Берем синус 0°, в радианах он будет 0, тут даже считать нечего.
Синус 30° равен π/6.
Потому что «все» π (пи) — это половина окружности или 180°. Поэтому 30° — это все 180° разделенные на 6. По таком же принципу находим значения синусов для остальных углов.
Синус 45° равен π/4 (180 градусов разделенные на 4).
Синус 60° равен π/3 (180 градусов разделенные на 3).
Синус 90° равен π/2 или 1 (180 градусов разделенные на 2).
Остальное дело калькулятора — просто переводим π в 3,14 и делим на нужное число 6, 4, 3 или 2.
Но часто нужно решить задачу для каких то либо целей, при котором значения углов будут другими. Посмотрим пример решения такой задачи.
Пример: рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катеты а и b имеют значение 5 и 2√6, нужно найти синус каждого острого угла. Рисунок и обозначения стандартные (смотри выше).
Используя теорему Пифагора, которая гласит, что «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов«, находим гипотенузу:
С₂=5х5+ (2√6)х(2√6) = 25 + 4х6 = 49 (см). Итог: С₂ = 7 (см).
Нам известно, что синус это есть отношение катета, который противолежит к искомому углу, к гипотенузе. То есть sin α = a/c, это значит, что sin α =5/7. Соответственно, sin β= b/с ,и sin β равен 2√6/7.
Теперь пробуем найти точное значение синуса и через таблицы Брадиса, найдя число 5/7, затем по таблице найти соответствующее ему значение угла в градусах. Потом от 90° отнимаем это значение, получаем градусы и переводим его в радианы.
Можно использовать формулу из теоремы синусов.
Её можно использовать в случае, если у нас известна гипотенуза треугольника и два угла или один из катетов. Тогда в соответствии с правилами пропорции находим:
Что найти синус угла, к примеру: α = 42°, угол β =48 °, открываем таблицу Брадиса. Так как у нас углы без минут, находим значение синуса угла по первой колонке. Sin α = 0,6691, sin β = 0,7431. Пусть в условии сторона с = 9 см, Синус 90° = 1. Подставляем значение и получаем: а = 9 х (0,6691: 1) = 6, 0219 (см).
Что такое таблица синусов π и таблица Брадиса
В таблице синусов значение угла α дается в:
- радианах,
- градусах,
- в виде числа, выраженного через квадратный корень.
Это таблица не только для синусов, но и для других тригонометрических знаков. Но в данном случае, мы приведем таблицу только для синусов.
| Значение угла α (градусов) | Значение угла α в радианах (через число пи) | sin (синус) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 15 | π/12 | (√3 — 1)/2√2 |
| 30 | π/6 | 1/2 |
| 45 | π/4 | √2/2 |
| 60 | π/3 | √3/2 |
| 75 | 5π/12 | (√3 + 1)/2√2 |
| 90 | π/2 | 1 |
| 105 | 7π/12 | (√3 + 1)/2√2 |
| 120 | 2π/3 | √3/2 |
| 135 | 3π/4 | √2/2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 |
| 180 | π | 0 |
| 210 | 7π/6 | -1/2 |
| 240 | 4π/3 | -√3/2 |
| 270 | 3π/2 | -1 |
| 360 | 2π | 0 |
Рассчитываем калькулятором значение π, данные можно посмотреть в таблице. Здесь включены значения синуса, которых нет в таблицах Брадиса, вычисления сделаны с точностью до 4 знака. Если нужно узнать, чему равен синус, это всегда можно посмотреть в таблице или рассчитать самому.
| Значение sin угла α в градусах | Значение sin угла α в радианах | Значение синуса угла α |
|---|---|---|
| Синус угла 0 градусов | 0 | 0 |
| Синус угла 15 градусов | π/12 | 0.2588 |
| Синус угла 30 градусов | π/6 | 0.5 |
| Синус угла 45 градусов | π/4 | 0.7071 |
| Синус угла 50 градусов | 5π/18 | 0.766 |
| Синус угла 60 градусов | π/3 | 0.866 |
| Синус угла 65 градусов | 13π/36 | 0.9063 |
| Синус угла 70 градусов | 7π/18 | 0.9397 |
| Синус угла 75 градусов | 5π/12 | 0.9659 |
| Синус угла 90 градусов | π/2 | 1 |
| Синус угла 105 градусов | 5π/12 | 0.9659 |
| Синус угла 120 градусов | 2π/3 | 0.866 |
| Синус угла 135 градусов | 3π/4 | 0.7071 |
| Синус угла 140 градусов | 7π/9 | 0.6428 |
| Синус угла 150 градусов | 5π/6 | 0.5 |
| Синус угла 180 градусов | π | 0 |
| Синус угла 270 градусов | 3π/2 | -1 |
| Синус угла 360 градусов | 2π | 0 |
Как пользоваться таблицей Брадиса для синусов
Если у вас стоит вопрос, как пользоваться таблицей Брадиса, для нахождения синуса угла, рассмотрим такой пример.
Пример: требуется найти числовое значение угла 26°32′
Для того, что бы найти числовое значение, находим в таблице значение, которое наиболее близкое, это синус 26°30′. Это 0, 4462. Не хватает 2′. Ищем слева напротив значения 2′ — это будет 0,0005. Прибавляем это число к полученному : 0,4462+0,0005= 0,4467.
Таблица синусов целиком
| sin | 0′ | 6′ | 12′ | 18′ | 24′ | 30′ | 36′ | 42′ | 48′ | 54′ | 60′ | 1′ | 2′ | 3′ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 60′ | 54′ | 48′ | 42′ | 36′ | 30′ | 24′ | 18′ | 12′ | 6′ | 0′ | 1′ | 2′ | 3′ |
| 0.0000 | ||||||||||||||
| 0° | 0.0000 | 17 | 35 | 52 | 70 | 87 | 105 | 122 | 140 | 157 | 175 | 3 | 6 | 9 |
| 1° | 175 | 192 | 209 | 227 | 244 | 262 | 279 | 297 | 314 | 332 | 349 | 3 | 6 | 9 |
| 2° | 349 | 366 | 384 | 401 | 419 | 436 | 454 | 471 | 488 | 506 | 523 | 3 | 6 | 9 |
| 3° | 523 | 541 | 558 | 576 | 593 | 610 | 628 | 645 | 663 | 680 | 698 | 3 | 6 | 9 |
| 4° | 698 | 715 | 732 | 750 | 767 | 785 | 802 | 819 | 837 | 854 | 0.0872 | 3 | 6 | 9 |
| 5° | 0.0872 | 889 | 906 | 924 | 941 | 958 | 976 | 993 | 1011 | 1028 | 1045 | 3 | 6 | 9 |
| 6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 3 | 6 | 9 |
| 7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 3 | 6 | 9 |
| 8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 3 | 6 | 9 |
| 9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 3 | 6 | 9 |
| 10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 3 | 6 | 9 |
| 11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 3 | 6 | 9 |
| 12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 3 | 6 | 9 |
| 13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 3 | 6 | 8 |
| 14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 3 | 6 | 8 |
| 15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 3 | 6 | 8 |
| 16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 3 | 6 | 8 |
| 17° | 2942 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 3 | 6 | 8 |
| 18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 3 | 6 | 8 |
| 19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 3 | 5 | 8 |
| 20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 3 | 5 | 8 |
| 21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 3 | 5 | 8 |
| 22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 3 | 5 | 8 |
| 23° | 3097 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 3 | 5 | 8 |
| 24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 3 | 5 | 8 |
| 25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 3 | 5 | 8 |
| 26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 3 | 5 | 8 |
| 27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 3 | 5 | 8 |
| 28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 3 | 5 | 8 |
| 29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 3 | 5 | 8 |
| 30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 3 | 5 | 8 |
| 31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 2 | 5 | 7 |
| 32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 2 | 5 | 7 |
| 33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 2 | 5 | 7 |
| 34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 2 | 5 | 7 |
| 35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 2 | 5 | 7 |
| 36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 2 | 5 | 7 |
| 37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 2 | 5 | 7 |
| 38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 2 | 5 | 7 |
| 39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 2 | 4 | 7 |
| 40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 2 | 4 | 7 |
| 41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 2 | 4 | 7 |
| 42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 2 | 4 | 6 |
| 43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 2 | 4 | 6 |
| 44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 2 | 4 | 6 |
| 45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 2 | 4 | 6 |
| 46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 2 | 4 | 6 |
| 47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 2 | 4 | 6 |
| 48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 2 | 4 | 6 |
| 49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 2 | 4 | 6 |
| 50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 2 | 4 | 6 |
| 51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 2 | 4 | 5 |
| 52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 2 | 4 | 5 |
| 53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 2 | 3 | 5 |
| 54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 2 | 3 | 5 |
| 55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 2 | 3 | 5 |
| 56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 2 | 3 | 5 |
| 57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 2 | 3 | 5 |
| 58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 2 | 3 | 5 |
| 59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 1 | 3 | 4 |
| 60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 1 | 3 | 4 |
| 61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 1 | 3 | 4 |
| 62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 1 | 3 | 4 |
| 63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 1 | 3 | 4 |
| 64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 1 | 3 | 4 |
| 65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 1 | 2 | 4 |
| 66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 1 | 2 | 3 |
| 67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 1 | 2 | 3 |
| 68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 1 | 2 | 3 |
| 69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 1 | 2 | 3 |
| 70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 1 | 2 | 3 |
| 71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 1 | 2 | 3 |
| 72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 1 | 2 | 3 |
| 73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 1 | 2 | 2 |
| 74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 1 | 2 | 2 |
| 75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 1 | 1 | 2 |
| 76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 1 | 1 | 2 |
| 77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 1 | 1 | 2 |
| 78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 1 | 1 | 2 |
| 79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 1 | 1 | 2 |
| 80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 0 | 1 | 1 |
| 81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 0 | 1 | 1 |
| 82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 0 | 1 | 1 |
| 83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 0 | 1 | 1 |
| 84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 0 | 1 | 1 |
| 85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 0 | 0 | 1 |
| 86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 0 | 0 | 0 |
| 87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 0 | 0 | 0 |
| 88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 0 | 0 | 0 |
| 89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0 | 0 | 0 |
| 90° | 1.0000 |
Таблица синусов.
Таблица синусов.Таблица синусов от 1 до 360 градусов. Значения синусов сведены в таблицу. На другой странице размещена тригонометрическая таблица с корнями для школьников.
Тригонометрическая таблица синусов начинается со значения угла альфа равного единице. Синус угла ноль градусов sin 0 равен нулю. Точно такое же значение имеет синус 360 градусов sin 360 или синус 2пи радиан, который можно найти в таблице синусов.
синус угла 0 градусов = синус угла 0 радиан = 0
sin 0 = 0
sin 360 = sin 2pi = 0
Синус 30 градусов sin 30 равен 0,5 или 1/2. В радианной мере мере углов это значение синуса соответствует синусу
синус угла 30 градусов = синус угла пи/6 радиан = 0,5
sin 30 = sin pi/6 = 0,5
Тригонометрическая таблица синусов, помимо широко распространнехых значений синуса, содержит так же следующие значения: синус 5, sin 6, синус 10 градусов в градусной мере углов, а так же sin 12, синус 15, sin 20 градусов.
Синус 45 градусов sin 45 равняется 0,7071 или корень из двух деленный на два. В радианах это соответствует синусу пи/4 радиан.
синус угла 45 градусов = синус угла пи/4 радиан = 0,7071
sin 45 = sin pi/4 = 0,7071
Синус 60 градусов sin 60 равняется 0,866 или корень из трех деленный на два, что равно значению синуса пи/3 радиан в радианной мере углов.
синус угла 60 градусов = синус угла пи/3 радиан = 0,866
sin 60 = sin pi/3 = 0,866
Синус 90 градусов sin 90 или синус пи/2 равняется 1 или единице.
синус угла 90 градусов = синус угла пи/2 радиан = 1
sin 90 = sin pi/2 = 1
Другие значения синуса, которые представлены в таблице для углов больше 90 градусов, можно получить так же при помощи формул приведения тригонометрических функций
Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.
4 декабря 2010 года — 28 февраля 2017 года.
© 2006 — 2019 Николай Хижняк. Все права защишены.
Замечательные пределы — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 декабря 2019; проверки требуют 5 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 декабря 2019; проверки требуют 5 правок.- Первый замечательный предел:
- limx→0sinxx=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
- Второй замечательный предел:
- limx→∞(1+1x)x=e.{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}
limx→0sinxx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
Доказательство:
Рассмотрим односторонние пределы limx→+0sinxx{\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}} и limx→−0sinxx{\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}} и докажем, что они равны 1.
Пусть x∈(0;π2){\displaystyle x\in \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}. Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью OX{\displaystyle OX}. Пусть K{\displaystyle K} — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка L{\displaystyle L} — с касательной к этой окружности в точке A=(1;0){\displaystyle A=\left(1;0\right)}. Точка H{\displaystyle H} — проекция точки K{\displaystyle K} на ось OX{\displaystyle OX}.
Очевидно, что:
- S△OAK<SsectKOA<S△OAL{\displaystyle S_{\triangle OAK}<S_{sectKOA}<S_{\triangle OAL}} (1)
(где SsectKOA{\displaystyle S_{sectKOA}} — площадь сектора KOA{\displaystyle KOA})
Поскольку |KH|=sinx,|LA|=tgx{\displaystyle \left|KH\right|=\sin x,\,\left|LA\right|=\operatorname {tg} x}:
- S△OAK=12⋅|OA|⋅|KH|=12⋅1⋅sinx=sinx2{\displaystyle S_{\triangle OAK}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|KH\right|={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2}}}
- SsectKOA=12⋅|OA|2⋅x=x2{\displaystyle S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|^{2}\cdot x={\frac {x}{2}}}
- S△OAL=12⋅|OA|⋅|LA|=tgx2{\displaystyle S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|LA\right|={\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}
Подставляя в (1), получим:
- sinx2<x2<tgx2{\displaystyle {\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}}
Так как при x→+0:sinx>0,x>0,tgx>0{\displaystyle x\to +0:\sin x>0,\,x>0,\,\operatorname {tg} x>0}:
- 1tgx<1x<1sinx{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}}
Умножаем на sinx{\displaystyle \sin x}:
- cosx<sinxx<1{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}
Перейдём к пределу:
- limx→+0cosx⩽limx→+0sinxx⩽1{\displaystyle \lim _{x\to +0}\cos x\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1}
- 1⩽limx→+0sinxx⩽1{\displaystyle 1\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1}
- limx→+0sinxx=1{\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):
- limx→−0sinxx=[u=−xx=−uu→+0x→−0]=limu→+0sin(−u)−u=limu→+0−sin(u)−u=limu→+0sin(u)u=1{\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=-x\\x=-u\\u\to +0\\x\to -0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(-u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {-\sin(u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(u)}{u}}=1}
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия:
- limx→0tgxx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=1}
- limx→0arcsinxx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=1}
- limx→0arctgxx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=1}
- limx→01−cosxx22=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=1}
Доказательство следствий
- limx→0tgxx=limx→0sinxxcosx=limx→0sinxx⋅limx→01cosx=1⋅1=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x\cos x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1}
- limx→0arcsinxx=[u=arcsinxx=sinuu→0x→0]=limu→0usinu=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arcsin} x\\x=\sin u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\sin u}}=1}
- limx→0arctgxx=[u=arctgxx=tguu→0x→0]=limu→0utgu=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arctg} x\\x=\operatorname {tg} u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\operatorname {tg} u}}=1}
- limx→01−cosxx22=limx→02⋅sin2x22⋅(x2)2=limx2→0(sinx2x2)2=12=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot \sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}=\lim _{{\frac {x}{2}}\to 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}=1^{2}=1}
limx→∞(1+1x)x=e{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e} или limx→0(1+x)1/x=e{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x}=e}
Доказательство существования второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x
◂{\displaystyle \blacktriangleleft } Докажем вначале теорему для случая последовательности xn=(1+1n)n; n∈N{\displaystyle x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n};\ n\in \mathbb {N} }
По формуле бинома Ньютона: (a+b)n=an + n1⋅an−1⋅b + n(n−1)1⋅2⋅an−2⋅b2 + … + n(n−1)(n−2)…(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅…⋅n⋅bn; n∈N{\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}~+~{\frac {n}{1}}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}~+~…~+~{\frac {n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}}\cdot b^{n};\ n\in \mathbb {N} }
Полагая a=1; b=1n{\displaystyle a=1;~b={\frac {1}{n}}}, получим:
- (1+1n)n=1 + n1⋅1n + n(n−1)1⋅2⋅1n2 + n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3⋅1n3 + … + n(n−1)(n−2)…(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅…⋅n⋅1nn={\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1~+~{\frac {n}{1}}\cdot {\frac {1}{n}}~+~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}~+~{\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}~+~…~+~{\frac {n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}}\cdot {\frac {1}{n^{n}}}=}
- =1 + 1 + 11⋅2⋅(1−1n) + 11⋅2⋅3⋅(1−1n)⋅(1−2n) + … + 11⋅2⋅3⋅…⋅n⋅(1−1n)⋅(1−2n)⋅…⋅(1−n−1n){\displaystyle =1~+~1~+~{\frac {1}{1\cdot 2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)~+~…~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot …\cdot \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)} (1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}} убывает, поэтому величины (1−1n),(1−2n),…{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n}}\right),\left(1-{\frac {2}{n}}\right),…} возрастают. Поэтому последовательность {xn}={(1+1n)n}; n∈N{\displaystyle \{x_{n}\}=\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\};\ n\in \mathbb {N} } — возрастающая, при этом
- (1+1n)n≥2,n∈N{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\geq 2,n\in \mathbb {N} } (2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
- (1+1n)n<1+1+11⋅2+11⋅2⋅3 + … + 11⋅2⋅3⋅…⋅n{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}~+~…~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}}}
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
- (1+1n)n<1+(1+12+122+…+12n−1){\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+…+{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)}.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
- 1+12+122+…+12n−1=1⋅(1−(12)n)1−12=2⋅(1−12n)<2{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+…+{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {1\cdot \left(1-({\frac {1}{2}})^{n}\right)}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)<2}.
Поэтому (1+1n)n<1+2=3{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+2=3} (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом ∀n∈N{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} } выполняются неравенства (2) и (3): 2≤(1+1n)n<3{\displaystyle 2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<3}.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность xn=(1+1n)n, n∈N{\displaystyle x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\ n\in \mathbb {N} } монотонно возрастает и ограничена, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. limn→∞(1+1n)n=e{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e} ▸{\displaystyle \blacktriangleright }
◂{\displaystyle \blacktriangleleft } Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что limx→∞(1+1x)x=e; x∈R{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e;\ x\in \mathbb {R} }. Рассмотрим два случая:
1. Пусть x→+∞{\displaystyle x\rightarrow +\infty }. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: n⩽x<n+1{\displaystyle n\leqslant x<n+1}, где n=[x]{\displaystyle n=[x]} — это целая часть x.
- Отсюда следует: 1n+1<1x⩽1n ⟺ 1+1n+1<1+1x⩽1+1n{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{x}}\leqslant {\frac {1}{n}}~~\Longleftrightarrow ~~1+{\frac {1}{n+1}}<1+{\frac {1}{x}}\leqslant 1+{\frac {1}{n}}}, поэтому
- (1+1n+1)n<(1+1x)x⩽(1+1n)n+1{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}\leqslant \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}.
- Если x→+∞{\displaystyle x\rightarrow +\infty }, то n→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }. Поэтому, согласно пределу limn→∞(1+1n)n=e{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}, имеем:
- limn→∞(1+1n+1)n=limn→∞(1+1n+1)n+1limn→∞(1+1n+1)=e1=e{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}{\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)}}={\frac {e}{1}}=e}
- limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)n⋅limn→∞(1+1n)=e⋅1=e{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}