Решения простейших тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

ГАПОУ «Чебоксарский техникум транспортных и строительных технологий»
 

Решения простейших тригонометрических уравнений

 

Преподаватель: Дмитриева М.В.

 

Введение.

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.
Тригонометрические уравнения занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности. Которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера. Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений создаёт предпосылки для систематизации знаний студентов, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.). И даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.). Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений, предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Цель: Обобщить знания обучающихся об алгоритмах решения простейших тригонометрических уравнений, систематизировать знания, формировать умение их применять при решении профессионально значимых задач; создать условия для более глубокого усвоения обучающимися знаний по указанной теме урока с помощью инновационных компьютерных технологий; развивать у обучающихся умение самостоятельной деятельности, логического мышления.

Задачи:
1.Обобщение и распространение собственного педагогического опыта.

2. Классифицировать уравнения по методам решения;

3. Решать тригонометрические уравнения, выбирая для каждого соответствующий метод решения.

Актуальность темы: Анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача – формировать у обучающихся умения решать уравнения каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Дидактическая структура урока:

Этапы урока

1. Организационный этап.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3. Этап актуализации необходимых знаний и умений, включая

4. Проверка домашнего задания;

5. Этап усвоения новых знаний. (Объяснение нового материала).

6. Этап закрепления новых знаний.

7. Контроль усвоенного на уроке материала.

8. Подведение итогов.

9. Этап информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

1. Организационный этап Показатели выполнения психологической задачи этапа:

— доброжелательный настрой учителя и учащихся;

— быстрое включение класса в деловой ритм;

— организация внимания всех учащихся;

— полная готовность класса и оборудования к работе.

2. Постановка цели. Мотивация Постановка цели может проводится с помощью иллюстрации, анимации, презентации или картографической карты.

3. Этап проверки ранее усвоенных знаний Опрос должен быть интересен ученикам, а для этого известный фактический материал должен рассматриваться в новом свете, теоретические знания применяться на практике. На этапе актуализации знаний возможно использование ПК для организации разных видов устного счета, проведения автоматизированных математических диктантов, что способствует развитию внимания, дисциплинированности т.к. учащиеся понимают, что задания дает машина, а она не может повторяться или останавливаться по чьей-либо просьбе. Возможно создание проблемной ситуации. Даются задания, которые обучающиеся решают с легкостью, а затем предлагается задача, с которой ребята не знакомы.

4. Этап приобретения новых знаний. На этапе приобретения новых знаний компьютер выступает в роли мощного демонстрационного средства, обеспечивая высокий уровень наглядности. Сочетание рассказа учителя с демонстрацией презентации позволяет акцентировать внимание учащихся на особо значимых моментах учебного материала. Возможна демонстрация пошагового решения задачи. На этом этапе один из действенных способов повышения интереса – это использование на уроке сведений из истории математики. К тому же это несет воспитательный характер, служит развитию эстетического вкуса учеников, а также привитию нравственных качеств.

5. Этап первичного закрепления. На этапе первичного закрепления можно давать схемы, чертежи, таблицы, опорные конспекты, алгоритмы и т.д., помогающие находить решение задачи. Контроль знаний и умений обучающихся является одним из важнейших элементов учебного процесса. Другая форма проведения контроля знаний и умений – это тестирование. Тесты могут быть различными: контролирующие т.е. проверяющие уровень усвоения ЗУН обучающимися или обучающее — корректирующие, т.е. имеющие справочный материал, к которому ученик может обратиться в случае затруднения или неверного ответа. Я считаю, что тесты незаменимы для проведения контроля, т.к. помогают быстро определить типичные ошибки, что позволяет сразу же устранить пробелы в знаниях. Конечно, использовать для проверки уровня усвоения учебного материала только тесты, нецелесообразно. Можно проводить самостоятельные работы по вариантам. Рассмотрим конкретный пример урока на тему «Методы решения простейших тригонометрических уравнений».

Тема урока: Методы решения простейших тригонометрических уравнений.

Цели урока:

Образовательные: ознакомление с новым математическим понятием; формирование новых ЗУН; научить решать простейшие тригонометрические уравнения, используя ранее приобретенные знания; учить умению анализировать, творчески подходить к поставленной задаче; помочь учащимся подготовиться к экзаменам.

Развивающие: развитие самостоятельного мышления учащихся, развитие навыков правильной речи школьников.

Воспитывающие: воспитывать аккуратность, четкое оформление решений задач, положительный интерес к изучению математики, самостоятельности, инициативности учащихся на уроке. Воспитать уважительного отношения друг к другу.

 

Оборудование: экран, компьютер, мультимедиа, рабочая карта для подведения итогов урока, презентация, задачи для домашней работы, справочники.

Тип урока: комбинированный.

Вид урока: урок смешанный.

Метод обучения: проблемно-поисковый, беседа.

Основные вопросы:

1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Алгоритм решения.

3. Решение тригонометрических уравнений, выбирая для каждого соответствующий метод решения.

План урока

1) Организационный момент.

2) Проверка домашней работы.

3) Актуализация опорных знаний, умений и навыков.

4) Изучение нового материала.

5) Усвоение навыков и умений.

6) Физ.минутка.

7) Подведение итогов урока.

8) Этап рефлексии

9). Домашнее задание.

 

Ход урок

1. Организационный момент.

Взаимное приветствие учителя и студентов, фиксация отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Студентам сообщается  план урока. Записывают в тетрадях: число, классная работа, тема урока.

Учитель формулирует тему и цели урока. Сегодня на уроке мы с вами изучим тригонометрические уравнения. Научимся решать простейшие тригонометрические уравнения, выбирая для каждого соответствующий метод решения.

 

2.Проверка домашней работы.

Проверка теоретических знаний проводится в виде теста.

Учитель раздаёт листы с заданиями, оказывает консультации студентам по заполнению листов с ответами. Обучающиеся знакомятся с тестом, решают задания, заносят ответы в карточки.

 

 

3)Актуализация опорных знаний, умений и навыков.

Проводится фронтальный опрос учащихся по теме домашнего задания.

1. Сформулировать определение арксинуса числа.

2. Сформулировать определение арккосинуса числа.

3. Сформулировать определение арктангенса числа.

4. Сформулировать определение арккотангенса числа.

3. Проверить, верно ли равенство:

 

 

 

4) Изучение нового материала.

Объяснение новой темы. Простейшие тригонометрические уравнения. Определение. Уравнения вида , где – данное число, а – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Пусть дано простейшее уравнение .

Данное уравнение:

При имеет две серии корней

б) при имеет одну серию решений

, ;

в) при имеет одну серию решений

, ;

г) при имеет две серии корней

,

, .

Обе серии можно записать в одну серию ,

д) при и уравнение не имеет корней.

5) Усвоение навыков и умений

Упражнения по образцу.

6) Физкультминутка. Перед закреплением теоретического материала проводится

7. Итог урока.

Итак, подводим итог урока. Что нового узнали? Как решать простейшие тригонометрические уравнения?

Сегодня вы научились решать простейшие тригонометрические уравнения, которые попробуйте использовать.

 

8) Рефлексия:

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я повторил …

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

Спасибо за работу!

 

 

9) Задание на дом:

Решить простейшие тригонометрические уравнения:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

 

ТЕСТ

I вариант	II вариант
1) Все корни уравнения находятся по формуле А) x = (-1) n arccos a + 2; пZ Б) x = ± arccos a + 2п; пZ В) x = (-1)n arccos a + п; пZ Г) x = ± arccos a + п; пZ 2) Решить уравнение А) Б) В) Г) 3) Найдите корни уравнения А) Б) В) Г) 4) Дополните формулу А) Б) В) Г) 5) Укажите решение уравнения: А) Б) В) Г) 6) Вычислите А) 0 Б) 3 — 2 В) -3 Г) 3	1) Все корни уравнения находятся по формуле А) x = ± arcsin a + 2п; пZ Б) x = ± arcsin a + п; пZ В) x = (-1)n arcsin a + п; пZ Г) x = (-1)n arcsin a + 2п; пZ 2) Решить уравнение А) Б) В) Г) 3) Найдите корни уравнения А) Б) В) Г) 4) Дополните формулу А) Б) В) Г) 5) Укажите решение уравнения: А) Б) В) Г) 6) Вычислите А) Б) В) Г)

Заключение.

Решение любых тригонометрических уравнений сводится к решению рассмотренных выше простейших тригонометрических уравнений. Для этого применяются тождественные преобразования, изученные Вами ранее: различные тригонометрические формулы, различные способы решения алгебраических уравнений, формулы сокращенного умножения и т.д..

 

 

Литература

 

Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.

ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.

ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах — М.:Наука. Главная редакция физико – математической литературы,1986.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

 

Уравнение cos x = a

  

 

 

Примеры решения задач

 

 

Уравнение sin x = a

 

Примеры решения задач

 

Уравнение tg x = a и ctg x = a

 

 

Примеры решения задач

  

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром:

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение ил используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции

 

Решение простейших тригонометрических неравенств

 

 

 

ya-znau.ru

Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: «Простейшие тригонометрические уравнения»

План-конспект урока

Преподаватель: Садыкова Рамзия Нурзадаевна

Учебная дисциплин:  математика

Тема урока: «Простейшие тригонометрические  уравнения»

Время урока: 1 час 20 минут

Тип урока: комбинированный

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения: частично-поисковый.

Способы контроля:   тестовая проверка уровня знаний, самопроверка, самооценка, самоконтроль.

Внутрипредметные связи: решение простейшего тригонометрического уравнения для решения сложных тригонометрических уравнений используемых в разделах математического анализа.

Межпредметные связи: использование расчетов найденных корней тригонометрических уравнений при нахождении точек соприкосновения волн синусоиды с поверхностью при построении моделей.

 

Материально-техническое и дидактическое оснащение урока: доска, проектор, ноутбук,  тесты, оценочный лист  студента, карточки  обратной связи, справочный материал.

 

Уровень освоения: второй

Результаты освоения:

 личностные:

o   сформированность представлений о тригонометрических уравнениях;

o   понимание значимости тригонометрических уравнений для научно-технического прогресса;

o   сформированность отношения к тригонометрическим уравнениям как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития уравнений;

o   развитие логического мышления, алгоритмической культуры, необходимого для будущей профессиональной деятельности и самообразования;

o   готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной  деятельности;

метапредметные:

o   умение самостоятельно определять методы решения тригонометрических уравнений;

o   самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность;

o   использовать все возможные ресурсы для достижения  поставленных целей и реализации планов деятельности;

o   выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

o   владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых  действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

предметные •  :

o   сформированность представлений о тригонометрических уравнениях  как части математики;

o   владение стандартными приемами решения  тригонометрических уравнений, использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений;                         

Цели урока:

·         Обучающие:

o    обобщение,  проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;

o    обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;

o    повторение основных теоретических сведений по тригонометрии;

o    овладения приёмами решений тригонометрических уравнений.

·         Развивающие:

o    развитие самостоятельности, внимательности и умения аргументированного  участия в обсуждении решений;

o    формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;

·         Воспитательные:

• формирование культуры математической речи;
• содействие воспитанию интереса к математике;
• развитие интереса к выбранной профессии;

Этапы работы

1.      Организационный момент  (5 мин)

2.      Актуализация.  (20 мин)

3.      Изучение нового учебного материала.(15 мин)

4.      Закрепление учебного  материала. (20)

5.      Домашнее задание и инструктаж по его выполнению.(10)

6.      Рефлексия.(10)

nsportal.ru