Sin x 1 x равен: Решите уравнение sin(x)=1/x (синус от (х) равно 1 делить на х)

Posted on by alexxlab

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28
Найти точное значение		 sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град.
)
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74
Найти точное значение		 tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94
Найти точное значение		 arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

 

  1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке [0; п] функция y = cos x убы­вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде­лению арккосинуса равен: x1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x

1, то есть

x2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор­мулу корней уравнения cos x = а при

| а | < 1:

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

  1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори­ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ­ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

k € Z.

Примеры

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

Russian — Доказательство: lim (sin x)/x=1

  • И снова здравствуйте!

  • Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия

  • (или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах),

  • мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел…

  • (напишу желтым цветом)…

  • предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1.

  • Итак, докажем эту теорему.

  • Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением.

  • Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности.

  • Нарисую лиловым. Итак, посмотрим…

  • Нужно нарисовать побольше.

  • Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую.

  • Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так.

  • Это наша единичная окружность.

  • Теперь нарисую радиус,

  • только я нарисую его выходящим за пределы окружности.

  • Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу.

  • Нет, это не то, что я хотела сделать.

  • Я хотела начать вот с этой точки.

  • А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так.

  • Теперь мы готовы приступить к решению.

  • Итак, это единичная окружность, правильно?

  • Что значит «единичная окружность»?

  • Это значит, что радиус этой окружности равен единице.

  • Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице.

  • И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка?

  • По определению, sin х является Y-координатой

  • любой точки на единичной окружности.

  • Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х).

  • А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка?

  • Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)?

  • Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое?

  • Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite»)

  • к прилежащему (от англ. «adjacent») — это тангенс. Тогда чему равен tg x?

  • Если это прямоугольный треугольник, то тангенс –

  • это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно?

  • Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»).

  • А чему равна длина прилежащего катета?

  • Чему равно основание вот этого, большего, треугольника?

  • Это ведь единичная окружность, правильно?

  • Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице.

  • Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице.

  • Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x.

  • Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета,

  • то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x.

  • Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу;

  • или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это.

  • Этот катет равен tg x.

  • А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры.

  • Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится.

  • Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник.

  • Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым.

  • Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника?

  • Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту.

  • Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно?

  • А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x.

  • Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника.

  • А чему равна площадь… не этого, не зеленого…

  • Обведу другим цветом. Например, красным.

  • Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.…

  • Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается.

  • Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга…

  • Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили.

  • Она будет немного больше потому,

  • что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно?

  • Чему же она равна?

  • Если этот угол равен х радиан,

  • то какую долю он составляет от целой единичной окружности?

  • В целой единичной окружности 2π радиан, так?

  • Тогда чему будет равна вот эта площадь?

  • Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так?

  • Т.е. х радиан разделить на 2π радиан

  • (это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам)

  • и умножить еще на площадь всего круга, правильно?

  • Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура,

  • и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга.

  • А чему равна площадь всего этого круга?

  • Она равна πR², а радиус равен единице, правильно?

  • Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1).

  • Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна…

  • π сокращаются, значит, получится х/2.

  • Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x.

  • Это площадь вот этого, зеленого, треугольника.

  • Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2.

  • А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника.

  • Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту.

  • Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x.

  • Значит, площадь равна 1/2*tg x.

  • При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно

  • (и неважно, где нарисована вот эта линия),

  • что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора,

  • а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно?

  • Запишем это в виде неравенства.

  • Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x,

  • меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2.

  • И обе эти площади меньше площади вот этого,

  • большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x.

  • Когда это неравенство справедливо?

  • Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно?

  • Пока мы находимся в 1-ой четверти.

  • Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть,

  • за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными,

  • и х также становится отрицательным.

  • Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль,

  • то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти.

  • Потому что, если пойти в отрицательном направлении,

  • и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться,

  • значит, и значения площадей будут положительными.

  • Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю.

  • И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым

  • как с положительной, так и с отрицательной стороны.

  • Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве.

  • Надеюсь, вам это понятно.

  • Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.…

  • И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти.

  • Итак, давайте возьмем абсолютные значения.

  • От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти.

  • Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать.

  • Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2.

  • Итак, модуль sin x меньше модуля х,

  • который в свою очередь меньше модуля tg x.

  • Надеюсь, я не запутала вас этими модулями.

  • Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти.

  • Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти,

  • потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон,

  • то беру здесь абсолютные значения.

  • Т.е. можно было бы провести линию вниз

  • и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти,

  • но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать.

  • Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство.

  • Возьмем это выражение и разделим все его части…

  • Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая.

  • Разделим их все на модуль sin x.

  • И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число,

  • то знаем и то, что вот эти знаки

  • Давайте разделим.

  • Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица.

  • Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.…

  • Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x.

  • Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x?

  • Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

  • Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть.

  • Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус.

  • И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль.

  • Что останется? Останется только единица разделить на….

  • синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x.

  • Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая.

  • И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство.

  • Что тогда произойдет?

  • Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу?

  • 1/1 – это просто единица.

  • Но если вы перевернете все части неравенства,

  • то и знак неравенства поменяется, правильно?

  • Если вам это непонятно, рассуждайте так:

  • если я скажу, что 1/2

  • то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно.

  • Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства,

  • то знаки неравенства я должна изменить.

  • Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х,

  • что в свою очередь больше модуля cos x.

  • Теперь я задам вам вопрос.

  • Модуль sin x… прежде всего, sin x/x.

  • Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x

  • в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»?

  • В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже.

  • Положительное значение, деленное на положительное,

  • в результате также даст положительное значение.

  • А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения

  • (т.к. y отрицательный и угол отрицательный),

  • значит, значения х также будут отрицательными.

  • В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение,

  • что в результате даст положительное значение.

  • Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны.

  • Тогда можно записать так: единица больше sin x/x…

  • И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях,

  • т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x,

  • а х в свою очередь меньше π/2.

  • Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях.

  • Будет ли cos x отрицательным?

  • По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные.

  • Значит, и в правой части неравенства

  • можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x.

  • Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах.

  • Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы?

  • Функция единицы всегда равна единице.

  • Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π.

  • И он всегда будет равен единице.

  • Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице.

  • А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x?

  • Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице.

  • Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице.

  • Итак, мы готовы использовать теорему сжатия.

  • При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице,

  • и вот эта функция тоже стремится к единице.

  • А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями.

  • И если она находится между двумя…

  • Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

  • и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

  • а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице

  • при х, стремящемся к 0-лю.

  • Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом.

  • И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы

  • (потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже)

  • предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице.

  • Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем:

  • если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю,

  • если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну,

  • значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим.

  • Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь.

  • Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите.

  • Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х,

  • что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2.

  • И, конечно, sin x/х не определен при х=0.

  • Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть.

  • Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1.

  • Светло-голубая линия – это график косинуса х.

  • А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь.

  • Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях,

  • т. е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями.

  • Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах.

  • Мы знаем, что для этой светло-голубой лини

  • предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

  • И знаем также, что для этой верхней, синей, линии

  • предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

  • А эта красная линия находится всегда между ними,

  • значит, предел этой функции тоже будет равен единице.

  • Что и требовалось доказать.

  • Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать,

  • что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице.

  • Еще этот предел называют замечательным пределом.

  • Почему его так называют, вы узнаете позже.

  • Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала.

  • На сегодня все! До встречи на следующем уроке!

    • Title:
    Доказательство: lim (sin x)/x=1
    Description:

    В этом видео с использованием теоремы сжатия приводится подробное доказательство того, что предел функции [sin x/x] при х, стремящемся к 0, равен 1. Этот предел еще называют замечательным пределом.

    Это видео — русская версия видео «Proof: lim (sin x)/x» Академии Хана (http://www.khanacademy.org/video?v=Ve99biD1KtA). Перевод и дублирование выполнены командой проектов «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) и «Study Planner» (http://www.studyplanner.org).

    This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video «Proof: lim (sin x)/x» (http://www.khanacademy.org/video?v=Ve99biD1KtA). The translation and sampling are made by the «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) and «Study Planner» team (http://www.studyplanner. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка…

    Урок 4. свойства и график функции y=sinx — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

    Урок №4. Свойства и график функции .

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

    Глоссарий по теме

    Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.

    Число │a│ называется амплитудой.

    Основная литература:

    Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

    Дополнительная литература:

    Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

    Открытые электронные ресурсы:

    Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

    Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:

    1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;

    2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];

    3) Функция косинуса периодическая, ;

    4) Функция чётная;

    5) Функция принимает:

    • значение, равное 0, при ;
    • наименьшее значение, равное –1, при

    ;

    • наибольшее значение, равное 1, при ;

    6) Функция

    • возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на .

    Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:

    • При движении точки до первой четверти ордината увеличивается;
    • При движении точки по второй четверти ордината постепенно уменьшается;
    • Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

    Свойства функции :

    1) D(y) =R;

    2) E (y) =[–1;1];

    3) Период функции равен ;

    4) Функция чётная/нечётная;

    5) Функция принимает:

    6) Функция 

    • возрастает на отрезке  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
    • убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .

    Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)

    Рис. 1 – графики синуса

    Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

    Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

    Правило: 
    1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох  на b единиц влево;


    2) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть вдоль оси  ОХ  на b единиц вправо.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Актуализация знаний

    1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.

    1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.

    2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.

    3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.

    Ответ: верно, неверно, верно.

    2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:

    1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?

    2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .

    3) Функция синуса чётная или нечётная?

    Ответ:1) 𝑥∈𝑅; 2) [–1;1]; 𝑦𝑚𝑎𝑥=3, 𝑦𝑚𝑖𝑛=–3; 3) чётная;

    Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

    Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

    Построим графики функций и (рис. 6)

    Рис. 7 – графики функций и .

    Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для

    Ответ: ; .

    Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

    Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и

    Ответ: , ,

    Таблица производных тригонометрических функций

    Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

    См. также:

    Таблица производных тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций

    Для нахождения производных от тригонометрических функций применяют следующие правила дифференцирования:
    1. (sin x )’ = cos x 
      Производная синуса от икс равна косинусу от икс
    2. (cos x )’ = -sin x 
      Производная косинуса от икс равна минус синус икс
    3. (tg x)’ = 1/ cos2x = 1 + tg2 x 
      Производную тангенса от икс можно найти как 
      • единицу, деленную на косинус квадрат икс
      • единицу плюс тангенс квадрат икс
    4. (ctg x)’ = — 1/ sin2x = -(1 + ctg2 x) 
      Производную котангенса от икс, аналогично можно представить двумя выражениями: 
      • минус единицу, деленную на синус квадрат икс
      • минус сумму единицы и котангенса квадрат икс
    5. (arcsin x)’ = 1/(√(1-x2))
      Производная арксинуса икс равна единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат
    6. (arccos x)’ = -1/(√(1-x2))
      Производная арккосинуса икс равна минус единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат
    7. ( arctg x )’ = 1 / ( 1 + x2 ) 
      Производная арктангенса от икс равна дроби, в числителе которой находится единица, а в знаменателе — единица плюс икс квадрат
    8. ( arcctg x )’ = -1 / ( 1 + x2 ) 
      Производная арккотангенса от икс равна минус единице, деленной на сумму единицы и икс квадрат
    9. (sex x)’ = tg x sec x
      Производная секанса от икс равна произведению тангенса икс и секанса икс
    10. (cosec x)’ = -ctg x cosec x
      Производная косеканса от икс равна минус котангенс икс умноженный на косеканс икс
    11. (arcsec x)’ = 1 / (|x|√(x2 -1))
      Производная арксеканса икс равна дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы
    12. (arccosec x)’ = — 1 / (|x|√(x2 -1)) 
      Производная арккосеканса икс равна дроби, в числителе которой минус единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы
     Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций | Описание курса | Производная числа 

       

    Область значений функции (множество значений функции).

    Необходимые понятия и примеры нахождения

    Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

    В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

    Начнем с базовых определений.

    Определение 1

    Множество значений функции y = f(x) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.

    Определение 2

    Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).

    Область значений некоторой функции принято обозначать E(f).

    Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

     Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.

    Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

    Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

    Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

    Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

    Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

    Пример 1

    Условие: найдите область значений y = arcsin x.

    Решение

    В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

    y’ = arcsin x’=11-x2

    Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.

    minx∈-1; 1arcsin x=arcsin-1=-π2maxx∈-1; 1arcsin x=arcsin 1=π2

    Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=-π2; π2.

    Ответ:  E(arcsin x)=-π2; π2

    Пример 2

    Условие: вычислите область значений y=x4-5×3+6×2 на заданном отрезке [1; 4].

    Решение 

    Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

    Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

    y’=x4-5×3+6×2’=4×3+15×2+12x=x4x2-15x+12y’=0⇔x(4×2-15x+12)=0x1=0∉1; 4 или 4×2-15x+12=0D=-152-4·4·12=33×2=15-338≈1.16∈1; 4; x3=15+338≈2.59∈1; 4

    Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x2=15-338; x3=15+338:

    y(1)=14-5·13+6·12=2y15-338=15-3384-5·15-3383+6·15-3382==117+16533512≈2. 08y15+338=15+3384-5·15+3383+6·15+3382==117-16533512≈-1.62y(4)=44-5·43+6·42=32

    Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117-16533512; 32.

    Ответ: 117-16533512; 32.

    Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

    Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

    Пример 3

    Условие: вычислите область значений функции y=1×2-4 на интервале (-2; 2).

    Решение

    Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

    y’=1×2-4’=-2x(x2-4)2y’=0⇔-2x(x2-4)2=0⇔x=0∈(-2; 2)

    У нас получилось максимальное значение, равное 0, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

    То есть  y(0)=102-4=-14 будет максимальным значений функции.

    Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к -2 с правой стороны и к +2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

    limx→-2+01×2-4=limx→-2+01(x-2)(x+2)==1-2+0-2-2+0+2=-14·1+0=-∞limx→2+01×2-4=limx→2+01(x-2)(x+2)==12-0-22-0+2=14·1-0=-∞

    У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до -14 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от -2 до 0. А когда аргумент меняется от 0 до 2, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (-∞; -14].

    Ответ: (-∞; -14].

    Пример 4

    Условие: укажите множество значений y=tg x на заданном интервале -π2; π2.

    Решение

    Нам известно, что в общем случае производная тангенса в -π2; π2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

    limx→π2+0tg x=tg-π2+0=-∞limx→π2-0tg x=tgπ2-0=+∞

    Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от -π2 до π2,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

    Ответ: -∞; +∞.

    Пример 5

    Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x.

    Решение

    Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D(y)=0; +∞. Производная на заданном интервале будет положительной: y’=ln x’=1x. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой  части), и когда x стремится к бесконечности:

    limx→0+0ln x=ln(0+0)=-∞limx→∞ln x=ln+∞=+∞

    Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

    Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание Пример 6

    Условие: определите, какова область значений функции y=9×2+1.

    Решение

    Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

    y’=9×2+1’=-18x(x2+1)2y’=0⇔x=0y’≤0⇔x≥0y’≥0⇔x≤0

    В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x≥0; возрастать, если x≤0; она имеет точку максимума y(0)=902+1=9 при переменной, равной 0.

    Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

    limx→-∞9×2+1=9-∞2+1=9·1+∞=+0limx→+∞9×2+1=9+∞2+1=9·1+∞=+0

    Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

    Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0. Мы отобразили это на рисунке:

    На нем видно, что областью значений функции будет интервал E(y)=(0; 9]

    Ответ: E(y)=(0; 9]

    Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

    А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

    Пример 7

    Условие: определите, какова будет область значений y=xx-2.

    Решение

    Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0, то D(y)=-∞; 2∪2; +∞.

    Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке -∞; 2, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

    limx→2-0xx-2=2-02-0-2=2-0=-∞limx→-∞xx-2=limx→-∞x-2+2x-2=limx→-∞1+2x-2=1+2-∞-2=1-0

    Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1. Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2, то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала -∞; 1. Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

    Для открытого луча 2; +∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

    limx→2+0xx-2=2+02+0-2=2+0=+∞limx→+∞xx-2=limx→+∞x-2+2x-2=limx→+∞1+2x-2=1+2+∞-2=1+0

    Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1; +∞. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств -∞; 1 и 1; +∞.

    Ответ: E(y)=-∞; 1∪1; +∞.

    Это можно увидеть на графике:

    Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

    Пример 8

    Условие: определите область значений синуса y = sin x.

    Решение

    Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0; 2π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

    y’=(sin x)’=cos xy’=0⇔cos x=0⇔x=π2+πk, k∈Z

    В рамках 0; 2π у функции будут точки экстремума π2 и x=3π2. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

    y(0)=sin 0=0yπ2=sin π2=1y3π2=sin3π2=-1y(2π)=sin(2π)=0⇔minx∈0; 2πsin x=sin3π2=-1, maxx∈0; 2πsin x=sinπ2=1

    Ответ: E(sin x)=-1; 1.

    Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

    Пример 9

    Условие: определите область значения y=3arccosx3+5π7-4.

    Решение

    Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E(arccos x)=0; π или 0≤arccos x≤π. Мы можем получить функцию arccosx3+5π7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси Ox, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0≤arccosx3+5π7≤π.

    Функция 3arccosx3+5π7 может быть получена из арккосинуса arccosx3+5π7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0≤3arccosx3+5π7≤3π. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси Oy на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:

    0-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4⇔-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4

    Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E(y)=-4; 3π-4.

    Ответ: E(y)=-4; 3π-4.

    Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

    Пример 10

    Условие: вычислите, какова будет область значений функции y=22x-1+3.

    Решение

    Перепишем функцию, заданную в условии, как y=2·(2x-1)-12+3. Для степенной функции y=x-12 область значений будет определена на промежутке 0; +∞, т.е. x-12>0. В таком случае:

    2x-1-12>0⇒2·(2x-1)-12>0⇒2·(2x-1)-12+3>3

    Значит, E(y)=3; +∞.

    Ответ: E(y)=3; +∞.

    Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

    Пример 11

    Условие: дана функция y=2sinx2-4, x≤-3-1, -3<x≤31x-3, x>3. Вычислите область ее значений.

    Решение

    Данная функция является определенной для всех значений  x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:

    limx→-3-0f(x)=limx→-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx→-3+0f(x)=limx→-3(1)=-1⇒limx→-3-0f(x)≠limx→-3+0f(x)

    Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.

    limx→3-0f(x)=limx→3-0(-1)=1limx→3+0f(x)=limx→3+01x-3=+∞

    Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

    Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-∞; -3], (-3; 3], (3; +∞).

    На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1≤sin x≤1, получаем:

    -1≤sinx2<1⇒-2≤2sinx2≤2⇒-6≤2sinx2-4≤-2

    Значит, на данном промежутке (-∞; -3] множество значении функции – [-6;2].

    На полуинтервале (-3; 3] получилась постоянная функция y =-1. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу -1.

    На втором промежутке 3; +∞ у нас есть функция y=1x-3. Она является убывающей, потому что y’=-1(x-3)2<0. Она будет убывать от плюс бесконечности до 0, но самого 0 не достигнет, потому что:

    limx→3+01x-3=13+0-3=1+0=+∞limx→+∞1x-3=1+∞-3=1+∞+0

    Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0; +∞. Теперь объединим полученные результаты: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.

    Ответ: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.

    Решение показано на графике:

    Пример 12

    Условие: есть функция y=x2-3ex. Определите множество ее значений.

    Решение

    Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

    y’=x2-3ex’=2xex-ex(x2-3)e2x=-x2+2x+3ex=-(x+1)(x-3)ex

    Мы знаем, что производная обратится в 0, если x=-1 и x=3. Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.

    Функция будет убывать на (-∞; -1]∪[3; +∞) и возрастать на [-1; 3]. Точкой минимума будет -1, максимума –3.

    Теперь найдем соответствующие значения функции:

    y(-1)=-12-3e-1=-2ey(3)=32-3e3=6e-3

    Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

    limx→-∞x2-3ex=-∞2-3e-∞=+∞+0=+∞limx→+∞x2-3ex=+∞2-3e+∞=+∞+∞==limx→+∞x2-3’ex’=limx→+∞2xex=+∞+∞==limx→+∞2x'(ex)’=2limx→+∞1ex=2·1+∞=+0

    Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

    На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до -2e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до -1. Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6e-3 до 0, но при этом 0 достигнут не будет.

    Таким образом, E(y)=[-2e; +∞).

    Ответ:  E(y)=[-2e; +∞)

    Расчет

    — Как доказать, что $ \ lim \ limits_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x = 1 $?

    Это новый пост на старой пиле, потому что это одна из тех вещей, где я могу видеть, как это, к сожалению, то, как мы структурировали текущую учебную программу по математике, на самом деле не позволяет делать справедливость, которую они заслуживают, и я думаю, что в конечном итоге это оказывает медвежью услугу многим учащимся.

    По правде говоря, этот предел не может быть честным доказательством без честного определения синусоидальной функции.И это , а не так просто, как кажется. Даже если мы рассмотрим простое понятие из многих тригонометрических трактовок, что синус равен «длине противоположной стороны прямоугольного треугольника, деленной на длину его гипотенузы», это не решит проблему, потому что на самом деле существует едва уловимый недостающий элемент, и это то, что синус является функцией не «прямоугольного треугольника» (хотя вы могли бы определить это, если бы захотели, и это было бы легко!), а угловой меры .И на самом деле выяснение того, что означает «угловая мера», оказывается, по сути, эквивалентно определению синусоидальной функции в первую очередь, так что этот подход является круговым! (каламбур наблюдается после написания, хотя изначально это не предназначалось!)

    Итак, как мы определяем синус или угловую меру? К сожалению, любой подход к этому таков, что должен включать в себя исчисление. Это связано с тем, что используемая нами угловая мера является «гладкой и устойчивой», что означает, что, по сути, если у нас есть некоторый угол, мы хотели бы разделить эту угловую меру, чтобы разделить угол таким же образом, как при разрезании кусков пирога: если у меня есть угол с заданной угловой мерой $ \ theta $, то для того, чтобы система измерения работала, я должен иметь возможность затем получить угол с мерой $ \ frac {\ theta} {n} $, должен быть углом, который геометрически $ n $ -сечение угла на $ n $ конгруэнтных меньших углов, которые в сумме составляют полный угол.

    Но уже сейчас мы видим, что это нетривиально: рассмотрим $ n = 3 $. Затем у нас есть знаменитая «невозможная» проблема «троекратного угла», которая раздражала даже древних греков и которую люди продолжали пытаться разгадывать, пока Пьер Ванцель, наконец, не доказал, что ее невозможно решить через тысяч лет спустя. Мы просим математический виджет, который может не только разделять на три части, но и углы, составляющие 5, 629 и т. Д., И в порядке систематически !

    Действительно, синусоидальная функция не только не является тривиальной, мы могли бы утверждать, что даже экспоненциальную функцию значительно легче обрабатывать, чем синусоидальную, хотя я не буду здесь приводить такую ​​трактовку.

    Итак, как мы это делаем? Что ж, ключевое наблюдение состоит в том, что наша «устойчивая» угловая мера фактически определяется длиной дуги сегмента круга, пересекаемого углом, когда он нарисован в центре круга и спроецирован наружу. В частности, это должно быть «очевидно» из геометрической формулы

    (вводимой по кругу).

    $$ \ mbox {Длина дуги окружности} = r \ theta $$

    Поскольку это всего лишь тривиальное умножение, вся нетривиальность должна заключаться либо в определении $ \ theta $ в терминах геометрических углов, образованных линиями, или в терминах определения «длины дуги окружности» и, более того, в этих двух задачах. должно быть одинаково сложно.Следовательно, мы сначала начнем с вопроса о дуге, и вы увидите, что в этом ответе будет использована изрядная часть материала по Исчислению II, чтобы ответить на этот вопрос уровня Исчисления I о математическом объекте , предположительно , предшествующем исчислению. В самом деле, это и есть вся «радианная мера»: это мера углов в терминах длины дуги куска, который они вырезали из единичной окружности (то есть $ r = 1 $). «Градусы» — это просто странная кратная единица фактической длины, равная $ \ frac {2 \ pi} {360} $ (или лучше $ \ frac {\ tau} {360} $) некоторой другой единицы длины. .

    Если вы воспользуетесь книгой по тригонометрии , несколько более , вы увидите кое-что о том, что синус и косинус определяются как в основном координаты на единичной окружности, когда угловая мера $ \ theta $ была размещена из $ x ось $:

    $$ C (\ theta): = (\ cos (\ theta), \ sin (\ theta)) $$

    Теперь, как сказано выше, $ \ theta $ — это длина дуги . Таким образом, то, что у нас есть выше, называется параметризацией длины дуги круга — и это говорит нам, как нам нужно действовать.{-1} (\ theta) $$

    .

    Наконец, на этом этапе, имея в руках полное, герметичное определение $ \ sin (x) $, мы готовы оценить предел:

    $$ \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x)} {x} $$

    Поскольку «реальная» или базовая функция здесь на самом деле является обратной функцией , то есть $ \ arcsin $, мы сначала выполняем замену переменных: вместо этого мы рассматриваем предел в терминах $ y $, где $ y (х): = \ arcsin (x) $. Обратите внимание, что тривиально $ \ arcsin (0) = 0 $ из определения интеграла, поэтому мы получаем

    $$ \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = \ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac {y} {\ arcsin (y)} $$

    Теперь что касается правого предела, нам нужно только рассмотреть поведение $ \ arcsin (y) $, когда $ y $ мало.{y} 1 \ d \ xi $$

    , когда $ y \ приблизительно 0 $, и тогда правый интеграл приблизительно равен $ y $, следовательно, $ \ arcsin (y) \ приблизительно y $, когда $ y \ приблизительно 0 $ и

    $$ \ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac {y} {\ arcsin (y)} = \ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac {y} {y} = \ lim_ {y \ rightarrow 0} 1 = 1 $$

    , следовательно,

    $$ \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 $$

    QED.

    Тем не менее, как я уже упоминал ранее, это не решает требований вопроса, который, хотя я уверен, что его первоначальный вопрос давно ушел, тем не менее, по-прежнему актуален для студентов, изучающих математику, за студентами, изучающими математику, вплоть до сегодняшнего дня: докажите ограничение, используя только методы Calculus I / pre-Calculus. 2} \ dx $$

    «Невозможно сделать», что в свете того, что мы видели такие вещи на раннем этапе, кажется еще одним болезненным читерством / недостатком в учебной программе.

    И в завершение — если вы скажете, что вычисление не может быть выполнено до триггера, я бы сказал, что очень плохо, что Архимеда здесь нет, поскольку он, вероятно, не разделил бы ваши чувства, поскольку на самом деле он был одним из Первым из них, который разработал даже частичную концепцию интегрирования , и не только это, но одним из его приложений было именно определение длины дуги окружности: вот почему $ \ pi $ называется постоянной Архимеда.

    тригонометрии — Почему не предел $ \ sin (1 / x) / (1 / x) $, когда x стремится к нулю 1?

    тригонометрия — Почему не предел $ \ sin (1 / x) / (1 / x) $, когда x стремится к нулю 1? — Обмен математическим стеком
    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    2. 0
    3. +0
    6. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 12к раз

    $ \ begingroup $

    Доказательство $ \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 $ Я помню, говорит, что потому что $ \ cos x \ leq \ dfrac {\ sin x} {x} \ leq 1 $ для всех $ — \ pi / 2

    Но если вы замените $ x $ на $ 1 / w $ для всех $ w $ в $ (- 2 / \ pi, 2 / \ pi) $. Но проблема в том, что $ \ frac {\ cos (1)} {0} $ не является определенным значением. Я не знаю, как здесь использовать теорему сжатия, помогите!

    Создан 27 фев.

    достопочтенный господин достопочтенный господин

    1,50522 золотых знака1515 серебряных знаков3131 бронзовый знак

    $ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

    ПОДСКАЗКА:

    $$ \ frac {\ sin (1 / x)} {1 / x} = x \ sin (1 / x) $$

    А синус-функция ограничена $ 1 $.