определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координа

zaochnik.com

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 

zaochnik.com

Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) однозначно определяют острый угол. Это значит, что если нам известно значение хотя бы одной из этих функций, то мы можем найти и сам острый угол, и значение оставшихся трех тригонометрических функций (см. рис. 1).

Рис. 1. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Например, глядя на определения тангенса и котангенса, легко заметить, что:

Потому что , и наоборот.

Можно переписать в эквивалентном виде:

Если мы знаем, что , то сразу скажем: . Нам даже не надо искать само значение угла.

Кроме того, несложно заметить, что:

И аналогично:

Мы уже почти научились по значению одной тригонометрической функции угла находить остальные. Нужно только связать между собой синус и косинус.

Вспомним, что для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора:

Чтобы перейти к формулам для синуса и косинуса, разделим обе части этого равенства на . Получим:

Откуда, по определению:

Можно получить и другие формулы, связывающие тригонометрические функции одного угла. Например, если мы хотим связать тангенс и косинус, то, взяв формулу

, поделим обе части на , получим:

Откуда:

Аналогично можно получить формулу:

Полученные нами формулы называются основными тригонометрическими тождествами

. С их помощью можно, зная значение одной из тригонометрических функций острого угла, найти значения трех остальных. С примером решения такой задачи можно ознакомиться ниже.

---

 

Вычисление значений тригонометрических функций

Предположим, что нам известно значение синуса острого угла:

Найдем значения остальных тригонометрических функций этого угла.

Зная синус, несложно найти косинус, используя формулу:

Подставляем, получаем:

Поскольку косинус острого угла, по определению, – это отношение длин двух сторон, то он может принимать только положительные значения. Значит,

Теперь найти тангенс и котангенс не составит проблем:

Можно было действовать и по-другому, например найти котангенс через синус, используя формулу:

Потренируйтесь самостоятельно находить значения остальных тригонометрических функций острого угла по известному тангенсу или котангенсу.

---

Возникает вопрос: зачем нужно рассматривать целых четыре функции, если можно использовать одну, а все остальные при необходимости выражать через эту одну?

Конечно, можно. Вопрос только в удобстве. Если какая-то конструкция часто используется, то ее удобно обозначить отдельно, а также вывести ее свойства, чтобы использовать их при решении конкретных задач.

К примеру, длину можно было бы измерять только в метрах. Но расстояние между городами или размеры телефона в них измерять не очень удобно. Не говоря уже про размеры бактерий или расстояния между планетами. Поэтому люди используют разные единицы измерения для одной и той же величины (миллиметры, километры, дюймы, мили, световые года и т. д.) в зависимости от удобства при решении той или иной задачи (см. рис. 2).

Рис. 2. Использование различных единиц измерения

Такая же ситуация с тригонометрическими функциями – оказалось, что эти  соотношения используются настолько часто, что удобнее ввести и изучать их отдельно, чем выражать через одно.

Более того, можно ввести и другие тригонометрические функции, но они не прижились именно из-за того, что редко встречаются при решении практических задач. Подробнее о них ниже.

vetkaДругие тригонометрические функции

Наблюдательный человек заметит, что при определении тригонометрических функций мы перебрали не все комбинации (см. рис. 3): можно гипотенузу разделить на каждый из катетов.

Рис. 3. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Действительно, можно ввести еще две функции – секанс и косеканс:

Несложно заметить, что мы получили функции, обратные синусу и косинусу.

В наше время эти функции практически не используют. Слишком просто их заменить синусом и косинусом. Кстати, по этой причине в некоторой литературе не выписываются свойства для котангенса – считается, что его проще выражать через тангенс.

На самом деле, никакой принципиальности в том, чтобы использовать именно эти, а не другие функции, нет. Просто при решении различных задач чаще встречались именно выражения, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, поэтому им дали отдельные названия и их подробно изучают.

Какие значения могут принимать тригонометрические функции? Рассмотрим . Поскольку мы определяли синус для острых углов прямоугольных треугольников, то угол  может принимать значение от  до . Формально, не включая эти значения. Но угол может сколь угодно близко к ним приближаться.

Зафиксируем гипотенузу  и уменьшим угол  почти до нуля (см. рис. 4).

Рис. 4. Уменьшенный почти до  угол  при зафиксированной гипотенузе

Почти до нуля уменьшится и катет . А вместе с ним и :

Поэтому можем определить:

Если начать увеличивать  (см. рис. 5), то будет увеличиваться и катет , а вместе с ним будет увеличиваться и значение синуса.

Рис. 5. Увеличенный почти до  угол

Чем ближе к  будет угол, тем ближе катет  будет к гипотенузе . Значит:

Поэтому можем определить:

interneturok.ru

Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции.

 

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

 

Правила:

Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α: b = c · sin α Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α: a = c · cos α Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α: b = a · tg α Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α: a = b · ctg α

 

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

b                   sin α = —                               c	sin2 α + cos2 α = 1	α + β = 90˚
a                   cos α = —                                c	1            1 + tg2 α = ——                             cos2 α	cos α = sin β
b                   tg α = —                              a	1            1 + ctg2 α =  ——                                 sin2 α	sin α = cos β
a                   ctg α = —                                b	1            1             1  + ——  =  ——                     tg2 α      sin2 α	tg α = ctg β
sin α                   tg α = ——                             cos α

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение:

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

 

Решение.

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

               BC      3      1
sin A = —— = — = —
              AB      6       2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

              BC       3      1
cos B = —— = — = —
              AB      6       2

 В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

Или:

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
    sin (90º – 60º) = cos 60º.
    sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
    cos (90° – 30º) = sin 30º.
    cos 60° = sin 30º.

 

(Подробнее о тригонометрии — см.раздел Алгебра)

raal100.narod.ru

Тригонометричні функції — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тригонометри́чні фу́нкції — функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об’єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

• синус (sin α)
• косинус (cos α)
• тангенс (tg α = sin α / cos α)
• котангенс (ctg α = cos α / sin α)
• секанс (sec α = 1 / cos α)
• косеканс (cosec α = 1 / sin α)

Геометричне визначення[ред. | ред. код]

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника. Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

cos⁡α=ACAB=bc,   cos⁡β=BCAB=ac .{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}},~~~\cos \beta ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}}~.}

Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

sin⁡α=BCAB=ac,   sin⁡β=ACAB=bc .{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}},~~~\sin \beta ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}}~.}

Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

tg α=BCAC=ab,   tg β=ACBC=ba .{\displaystyle {\mbox{tg}}~\alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}},~~~{\mbox{tg}}~\beta ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}}~.}

Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

ctg α=ACBC=ba,   ctg β=BCAC=ab .{\displaystyle {\mbox{ctg}}~\alpha ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}},~~~{\mbox{ctg}}~\beta ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}}~.}

Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

Один період функцій sin(x) та cos(x)

sinx{\displaystyle \sin \,x} та cosx{\displaystyle \cos \,x} це періодичні функції із періодом  2π,{\displaystyle \ 2\pi ,}
tgx{\displaystyle \operatorname {tg} \,x} та ctgx{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x} мають період  π.{\displaystyle \ \pi .}

Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,π2]{\displaystyle [0,{\pi \over 2}]}

sin⁡x=cos⁡(π2−x){\displaystyle \sin x=\cos \left({\pi \over 2}-x\right)}

cos⁡x=sin⁡(π2−x){\displaystyle \cos x=\sin \left({\pi \over 2}-x\right)}

tg⁡x=ctg⁡(π2−x){\displaystyle \operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\pi \over 2}-x\right)}

ctg⁡x=tg⁡(π2−x){\displaystyle \operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\pi \over 2}-x\right)}

Основні співвідношення[ред. | ред. код]

Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:

 sin2⁡x+cos2⁡x=1{\displaystyle ~\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}

Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред. | ред. код]

Формули для функцій суми кутів[ред. | ред. код]

Із основного співвідношення

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin {\left(\alpha +\beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }

отримуємо

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,{\displaystyle \sin {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,}

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β,{\displaystyle \cos {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,}

tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β,   ctg⁡(α±β)=ctg⁡αctg⁡β∓1ctg⁡β±ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta } \over {1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }},~~~\operatorname {ctg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}

Формули для функцій подвійних кутів[ред. | ред. код]

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α{\displaystyle \sin {2\alpha }=2\sin \alpha \cos \alpha }

cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α=2cos2⁡α−1=1−2sin2⁡α{\displaystyle \cos {2\alpha }=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }

tg⁡2α=2tg⁡α1−tg2⁡α ,   ctg⁡2α=ctg2⁡α−12ctg⁡α=12(ctg⁡α−tg⁡α){\displaystyle \operatorname {tg} {2\alpha }={{2\operatorname {tg} \alpha } \over {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}~,~~~\operatorname {ctg} {2\alpha }={{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1} \over {2\operatorname {ctg} \alpha }}={1 \over 2}{\left(\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha \right)}}

Формули для функцій потрійних кутів[ред. | ред. код]

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin3⁡α ,   cos⁡3α=4cos3⁡α−3cos⁡α{\displaystyle \sin {3\alpha }=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ~,~~~\cos {3\alpha }=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }

Формули для функцій половинних кутів[ред. | ред. код]

sin⁡α2=1−cos⁡α2 ,   cos⁡α2=1+cos⁡α2{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={\sqrt {{1-\cos \alpha } \over 2}}~,~~~\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {{1+\cos \alpha } \over 2}}}

tg⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α ,   ctg⁡α2=sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1+\cos \alpha }}={{1-\cos \alpha } \over \sin \alpha }~,~~~\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1-\cos \alpha }}={{1+\cos \alpha } \over \sin \alpha }}

Формули для суми функцій кута[ред. | ред. код]

asin⁡A+bcos⁡B=rsin⁡(A+B)=rcos⁡(π2−A−B), r=a2+b2, tgB=ba{\displaystyle a\sin A+b\cos B=r\sin {\left(A+B\right)}=r\cos \left({\pi \over 2}-A-B\right),~{r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},~{tgB={b \over a}}}

sin⁡A±sin⁡B=2sin⁡A±B2cos⁡A∓B2{\displaystyle \sin A\pm \sin B=2\sin {{A\pm B} \over 2}\cos {{A\mp B} \over 2}}

cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2{\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {{A+B} \over 2}\cos {{A-B} \over 2}}

cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2{\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {{A+B} \over 2}\sin {{A-B} \over 2}}

tg⁡A±tg⁡B=sin⁡A±Bcos⁡Acos⁡B ,  ctg⁡A±ctg⁡B=sin⁡B±Asin⁡Asin⁡B{\displaystyle \operatorname {tg} A\pm \operatorname {tg} B={\sin {A\pm B} \over {\cos A\cos B}}~,~~\operatorname {ctg} A\pm \operatorname {ctg} B={\sin {B\pm A} \over {\sin A\sin B}}}

Загальні формули для функцій кратних кутів[ред. | ред. код]

Якщо n є цілим додатнім числом, то

sin⁡nA=(n1)cosn−1⁡Asin⁡A−(n3)cosn−3⁡Asin3⁡A+(n5)cosn−5⁡Asin5⁡A∓⋯{\displaystyle \sin {nA}={n \choose 1}\cos ^{n-1}A\sin A-{n \choose 3}\cos ^{n-3}A\sin ^{3}A+{n \choose 5}\cos ^{n-5}A\sin ^{5}A\mp \cdots }

cos⁡nA=cosn⁡A−(n2)cosn−2⁡Asin2⁡A+(n4)cosn−4⁡Asin4⁡A∓⋯{\displaystyle \cos {nA}=\cos ^{n}A-{n \choose 2}\cos ^{n-2}A\sin ^{2}A+{n \choose 4}\cos ^{n-4}A\sin ^{4}A\mp \cdots }

Загальні формули для степенів функцій[ред. | ред. код]

Якщо n є цілим непарним числом, то

sinn⁡x=(−1)n−122n−1[sin⁡nx−(n1)sin⁡(n−2)x+(n2)sin⁡(n−4)x−(n3)sin⁡(n−6)x+⋯+(−1)n−12(nn−12)sin⁡x]{\displaystyle \sin ^{n}x={{(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}}}\left[\sin {nx}-{n \choose 1}\sin {(n-2)x}+{n \choose 2}\sin {(n-4)x}-{n \choose 3}\sin {(n-6)x}+\cdots +(-1)^{{n-1} \over 2}{n \choose {{n-1} \over 2}}\sin x\right]}

cosn⁡x=(12)n−1[cos⁡nx+(n1)cos⁡(n−2)x+(n2)cos⁡(n−4)x+(n3)cos⁡(n−6)x+⋯+(nn−12)cos⁡x]{\displaystyle \cos ^{n}x={\left({1 \over 2}\right)}^{n-1}\left[\cos {nx}+{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}+{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{n \choose {{n-1} \over 2}}\cos x\right]}

Якщо n є цілим парним числом, то

sinn⁡x=(−1)n22n−1[cos⁡nx−(n1)cos⁡(n−2)x+(n2)cos⁡(n−4)x−(n3)cos⁡(n−6)x+⋯+(−1)n−22(nn−22)cos⁡2x]+12n(nn2){\displaystyle \sin ^{n}x={{{\left(-1\right)}^{n \over 2}} \over {2^{n-1}}}\left[\cos {nx}-{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}-{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{\left(-1\right)}^{{n-2} \over 2}{n \choose {{n-2} \over 2}}\cos {2x}\right]+{1 \over 2^{n}}{n \choose {n \over 2}}}

cosn⁡x=(12)n−1[cos⁡nx+(n1)cos⁡(n−2)x+(n2)cos⁡(n−4)x+(n3)cos⁡(n−6)x+⋯+(nn−22)cos⁡2x]+12n(nn2){\displaystyle \cos ^{n}x={\left({1 \over 2}\right)}^{n-1}\left[\cos {nx}+{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}+{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{n \choose {{n-2} \over 2}}\cos {2x}\right]+{1 \over 2^{n}}{n \choose {n \over 2}}}

Розклади в ряд Тейлора[ред. | ред. код]

Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

tg⁡x=∑n=0∞U2n+1x2n+1(2n+1)!=∑n=1∞(−1)n−1

uk.wikipedia.org

Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.

 

 

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

В треугольнике \(AOX\):

sinα=AXAO;cosα=OXAO.

Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

 Acosα;sinα.

Следовательно, для углов 0°≤α≤180° видно, что −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

 

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,  

tgα=AXOX=sinαcosα.

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0°;90°;180°.

 

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0;sin90°=1;cos90°=0;tg90° не существует;sin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0.

 

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90°, то оба выразим через α.

 

 

Если sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°−α=OXAO;cos90°−α=AXAO.

 

Видим, что справедливы равенства:

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α.

 

 

Справедливы следующие равенства:

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Эти формулы называются формулами приведения:

 

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX2+OX2=1. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем  

Главное тригонометрическое тождество

sin2α+cos2α=1.

Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус

(как уже отмечено, синус для углов 0°≤α≤180° только 0 или положительный):

 

sin2α+cos2α=1;sin2α=1−cos2α;sinα=1−cos2α 

 

— или величину косинуса угла, если дан синус:

 

sin2α+cos2α=1;cos2α=1−sin2α;cosα=±1−sin2α.

 

Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.

www.yaklass.ru

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha.

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha.

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha.

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha.

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM, где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M}, \cos \alpha=x_{M}, tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}}, ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}}.

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4}, то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2}, абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2};

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2};

tg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1.

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

	0^{\circ} (0)	30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)	45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)	60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)	90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)	180^{\circ}\left(\pi\right)	270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)	360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac{\sqrt 3}{2}	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac{\sqrt 3}{2}	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac12	0	−1	0	1
tg \alpha	0	\frac{\sqrt 3}{3}	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg \alpha	—	\sqrt3	1	\frac{\sqrt 3}{3}	0	—	0	—

academyege.ru