Синус sin x косинус cos x
Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение синуса и косинуса
|BD| — длина дуги окружности с центром в точке A.
α — угол, выраженный в радианах.
- Синус (sin α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
- Косинус (cos α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.
Четность
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
Область значений | –1 ≤ y ≤ 1 | –1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = –1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
Далее мы полагаем, что – целое число.
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При , имеем:
; .
При :
; .
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
; .
Интегралы
;
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>
Разложения в ряды
{ –∞ < x < +∞ }
{ –∞ < x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
Уравнение sin x = a
Значения синуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 корней не имеет.
Обратимся к некоторым задачам.
Задача 1.
Решить уравнение sin x = 1/2.
Решение.
Отметим, что sin x – это ордината точки единичной окружности, которая получена в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Ордината, равная ½, присутствует у двух точек окружности М1 и М2.
Так как 1/2 = sin π/6, то точка М1 получается из точки Р (1; 0) посредством поворота на угол х1 = π/6, а также на углы х = π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Точка М2 получается из точки Р (1; 0) в результате поворота на угол х2 = 5π/6, а также на углы х = 5π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …, т.е. на углы х = π – π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, ….
Итак, все корни уравнения sin х = 1/2 можно найти по формулам х = π/6 + 2πk, х = π – π/6 + 2πk, где k € Z.
Эти формулы могут объединиться в одну: х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z (1).
Действительно, если n – четное число, т.е. n = 2k, то из формулы (1) получаем х = π/6 + 2πk, а если n – нечетное число, т.е. n = 2k + 1, то из формулы (1) получаем х = π – π/6 + 2πk.
Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z.
Задача 2.
Решить уравнение sin x = -1/2.
Решение.
Ординату -1/2 имеют две точки единичной окружности М1 и М2, где х1 = -π/6, х2 = -5π/6. Следовательно, все корни уравнения sin x = -1/2 можно найти по формулам х = -π/6 + 2πk, х = -5π/6 + 2πk, k € Z.
Эти формулы мы можем объединить в одну: х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z (2).
Действительно, если n = 2k, то по формуле (2) получаем х = -π/6 + 2πk, а если n = 2k – 1, то по формуле (2) находим х = -5π/6 + 2πk.
Ответ. х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z.
Таким образом, каждое из уравнений sin x = 1/2 и sin x = -1/2 имеет бесконечное множество корней.
На отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 каждое из этих уравнений имеет только один корень:
х1 = π/6 – корень уравнения sin x = 1/2 и х1 = -π/6 – корень уравнения sin x = -1/2.
Число π/6 называют арксинусом числа 1/2 и записывают: arcsin 1/2 = π/6; число -π/6 называют арксинусом числа -1/2 и пишут: arcsin (-1/2) = -π/6.
Вообще уравнение sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, на отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 имеет лишь один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке [0; π/2]; если а < 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Таким образом, арксинусом числа а € [–1; 1] называется такое число а € [–π/2; π/2], синус которого равен а.
аrcsin а = α, если sin α = а и -π/2 ≤ х ≤ π/2 (3).
Например, аrcsin √2/2 = π/4, так как sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, так как sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.
Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin х = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой
х = (-1)n аrcsin а + πn, n € Z (4).
Также мы можем доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) = -аrcsin а.
Из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:
sin х = 0 х = πn, n € Z (5)
sin х = 1 х = π/2 + 2πn, n € Z (6)
sin х = -1 х = -π/2 + 2πn, n € Z (7)
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.blog.tutoronline.ru
1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | sin(45) | |
3 | Найти точное значение | sin(60) | |
4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
15 | Найти точное значение | tan(60) | |
16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
20 | График | y=sin(x) | |
21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
23 | Найти точное значение | cos(150) | |
24 | Найти точное значение | tan(45) | |
25 | Найти точное значение | sin(30) | |
26 | Найти точное значение | sin(60) | |
27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
29 | График | y=sin(x) | |
30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
34 | Найти точное значение | sin(0) | |
35 | Найти точное значение | sin(120) | |
36 | Найти точное значение | cos(90) | |
37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
38 | Найти точное значение | sin(45) | |
39 | Найти точное значение | tan(30) | |
40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
41 | Найти точное значение | tan(60) | |
42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
43 | Найти точное значение | cos(45) | |
44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
49 | График | y=cos(x) | |
50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
59 | Найти точное значение | sin(300) | |
60 | Найти точное значение | cos(30) | |
61 | Найти точное значение | cos(60) | |
62 | Найти точное значение | cos(0) | |
63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
64 | Найти точное значение | cos(135) | |
65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
66 | Найти точное значение | cos(210) | |
67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
76 | Найти точное значение | sin(150) | |
77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
81 | Найти точное значение | sin(225) | |
82 | Найти точное значение | sin(240) | |
83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
84 | Найти точное значение | tan(45) | |
85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
86 | Найти точное значение | sec(0) | |
87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
89 | Найти точное значение | csc(30) | |
90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
92 | Найти точное значение | tan(0) | |
93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
Все формулы по тригонометрии
Все формулы по тригонометрии
Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы
Основные тригонометрические тождества
$$sin^2x+cos^2x=1$$$$tgx= \frac{sinx}{cosx}$$
$$ctgx= \frac{cosx}{sinx}$$
$$tgxctgx=1$$
$$tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}$$
$$ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}$$
Формулы двойного аргумента (угла)
$$sin2x=2cosxsinx$$\begin{align} sin2x &=\frac{2tgx}{1+tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\\ &= \frac{2}{tgx+ctgx} \end{align}
\begin{align} cos2x & = \cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x \end{align}
\begin{align} cos2x & = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\\ &= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \end{align}
\begin{align} tg2x & = \frac{2tgx}{1-tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{2}{ctgx-tgx} \end{align}
\begin{align} ctg2x & = \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{2} \end{align}
Формулы тройного аргумента (угла)
$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$
$$tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$
$$ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$
Формулы половинного аргумента (угла)
$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$
$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$
$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$
\begin{align} tg \frac{x}{2} & = \frac{1-cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1+cosx} \end{align}
\begin{align} ctg \frac{x}{2} & = \frac{1+cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1-cosx} \end{align}
Формулы квадратов тригонометрических функций
$$sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}$$$$cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}$$
$$tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$
$$ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$
$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$
$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$
$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$
$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$
Формулы кубов тригонометрических функций
$$sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}$$$$cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}$$
$$tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$
$$ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$
Формулы тригонометрических функций в четвертой степени
$$sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$$$cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$
Формулы сложения аргументов
$$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$$$$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta — sin \alpha sin \beta$$
$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 — tg \alpha tg \beta}$$
$$ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}$$
$$sin(\alpha — \beta) = sin \alpha cos \beta — cos \alpha sin \beta$$
$$cos(\alpha — \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$$
$$tg(\alpha — \beta)= \frac{tg \alpha — tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$$
$$ctg(\alpha — \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha — ctg \beta}$$
Формулы суммы тригонометрических функций
$$sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$$$cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$
$$tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$
$$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$
$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha$$
Формулы разности тригонометрических функций
$$sin\alpha — sin\beta = 2sin \frac{\alpha — \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$$$cos\alpha — cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha — \beta }{2}$$
$$tg\alpha — tg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$
$$ctg\alpha — ctg\beta = — \frac{sin(\alpha — \beta) }{sin \alpha sin \beta}$$
$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha$$
Формулы произведения тригонометрических функций
$$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}$$$$sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}$$
$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}$$
\begin{align} tg\alpha \cdot tg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} \end{align}
\begin{align} ctg\alpha \cdot ctg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta} \end{align}
$$tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}$$
www.100formul.ru
Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.
Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)
sin(2α)- через sin и cos:
sin(2α)- через tg и ctg:
cos(2α)- через sin и cos:
cos(2α)- через tg и ctg:
tg(2α) и сtg(2α):
Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):
Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов
sin(α)=OA
cos(α)=OC
tg(α)=DE
ctg(α)=MK
R=OB=1
Значения функций для некоторых углов, α
В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).
www-formula.ru
Основные формулы тригонометрии | umath.ru
1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Синус угла (обозначается ) – ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .
Косинус угла (обозначается ) – абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .
Тангенс угла (обозначается ) – отношение синуса угла к его косинусу, т.е.
Котангенс угла (обозначается ) – отношение косинуса угла к его синусу, т.е.
2. Основное тригонометрическое тождество:
3. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:
4. Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.
Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :
Синус и косинус – периодические с периодом 2\pi функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом функции: Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса.
Для любого целого справедливы равенства
5. Формулы сложения:
6. Формулы двойного и тройного аргумента:
7. Формулы понижения степени:
8. Формулы приведения:
9. Формулы суммы и разности синусов:
10. Формулы суммы и разности косинусов:
11. Формулы суммы и разности тангенсов:
12. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность):
13. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента:
umath.ru
sin x = 1 / 2 чему равен х
Задание.
Найти значение х при .
Решение.
Найти значение аргумента функции синус, при котором он равен какому-либо значению, означает определить, при каких аргументах значение синуса будет именно таким, как указано в условии.
В данном случае нам нужно выяснить, при каких значениях значение синуса будет равным 1/2. Это можно сделать несколькими способами.
Другим способом является использование тригонометрического круга. Напомню, что значения синусов лежат на оси Оу.
Самым распространенным способом является обращение к таблице значений синуса, особенно если речь идет о таких стандартных для этой функции значениях, как 1/2.
Во всех случаях не стоит забывать об одном из важнейших свойств синуса — о его периоде.
Найдем в таблице значение 1/2 для синуса и посмотрим какие аргументы ему соответствуют. Интересующие нас аргументы равны Пи / 6 и 5Пи / 6.
Запишем все корни, которые удовлетворяют заданное уравнение. Для этого записываем интересующий нас неизвестный аргумент х и одно из значений аргумента, полученное из таблицы, то есть Пи / 6. Запишем для него, учитывая период синуса, все значения аргумента:
Возьмем второе значение, и проделаем те же шаги, что и в предыдущем случае:
Полным решением исходного уравнения будет:
и
q может принимать значение любого целого числа.
Ответ. и , q — целое.
ru.solverbook.com