Решить уравнение sin^2(x/2)-cos^2(x/2)=cos2x

  Здравствуете, Дорогие друзья! В этой статье мы разберём очередной пример, где  требуется решить тригонометрическое уравнение и найти корни принадлежащие заданному отрезку. Способов определения корней, которые принадлежат отрезку несколько.

Кому-то понятнее определять их по тригонометрической окружности, кому-то используя числовую ось. Здесь представлено два алгебраических способа. Каждый из них уже рассматрен отдельно: один в этой статье, другой здесь. Эти способы позволяют найти корни посредством алгебраических вычислений (без построения тригонометрической окружности или числовой оси).

Тригонометрические уравнения, которые будут на ЕГЭ по математике, не требуют ни каких «глубоких» умений в их преобразовании, достаточно знать основные формулы и иметь навык их использования.

Ещё раз отмчу, что для решения подобных заданий  необходимо в совершенстве владеть методикой решения простейших тригонометрических уравнений; знать табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 90 градусов; знать формулы приведения; уметь проводить преобразования, используя тригонометрические формулы; переводить радианы в градусы и обратно. 

Дано уравнение:

а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку.

Решение:

а) Преобразуем уравнение (и левую и правую часть по формуле косинуса двойного аргумента):

Произведём замену переменной: пусть cos x = t.

Получили квадратное уравнение  2t² + t – 1 = 0.

Решим его, получим  простейшие тригонометрические уравнения:

Изобразим корни на тригонометрической окружности:

 

б) Первый способ:

Переведём  радианы в  градусы. Так как Пи  радиан это 180 градусов, то отрезок

в градусах будет выглядеть следующим образом: [– 270⁰; 540⁰].

Определим  корни. Суть подхода: берём произвольные коэффициенты k и подставляем в каждый из корней, далее вычисляем и смотрим – принадлежат ли полученные корни заданному  интервалу. Если принадлежат, то отмечаем их как верный ответ.

Ещё раз запишем все полученные (в пункте а) корни:

При k = 0:

При k = 1:

При k = 2:

 

При k = – 1:

При k = – 2:

Таким образом, отрезку [– 270⁰; 540⁰]  принадлежат корни:

– 180⁰; – 60⁰; 60⁰; 180⁰; 300⁰;  420⁰  и 540⁰

в радианах это

Вопрос: какие «произвольные» коэффициенты k брать?

В пределах от –3 до 3, так как границы заданного интервала в подобных типовых заданиях ЕГЭ обычно лежат «недалеко» от нуля.

Данный способ совершенным назвать нельзя. Но он, безусловно, позволяет находить верное решение. Важно перебрать необходимые значения k и убедиться, что получены все корни принадлежащие данному отрезку.

Для чего углы мы переводили из радианной меры в градусную?

Многим  наиболее «понятна» работа с углами в градусной мере.

 

Второй способ:

Суть его заключается в следующем:

1.    Берём один из корней.

2.    Составляем неравенство (корень принадлежит указанному интервалу).

3.    Решаем это неравенство.

4.    Находим коэффициент(ы) k

5.    Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в этот корень, и затем вычисляем.

И так поступаем с каждым корнем (полученным в пункте а).

Первый корень:

Решаем неравенство:

Так как число k целое, то значит    k₁ = 0    k₂ = 1

Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:

Следующий корень:

Решаем неравенство:

Так как число k целое, то значит    k₁ = 0    k₂ = 1

Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:

Следующий корень:

Решаем неравенство:

Так как число k целое, то значит    k₁ = – 1,    k₂ = 0,      k₃ = 1

Вычисляем корни принадлежащие интервалу:

Всего получили семь корней:

Ответ:

matematikalegko.ru

Решите уравнение cos(2*x)+sin(x)^(2)=cos(x) (косинус от (2 умножить на х) плюс синус от (х) в степени (2) равно косинус от (х))

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = \cos{\left (x \right )}$$
преобразуем
$$\left(\cos{\left (x \right )} — 1\right) \cos{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = 0$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \frac{\pi}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

sin 2x — cos 2x = 0 решение

Доброй ночи!
Вы попросили решить тригонометрическое уравнение. В нём нет ничего сложного, если иметь представление о базовых формулах и понятиях, которые здесь могут быть вовлечены.
Я считаю, что рациональней сразу показать шаги решения на конкретном примере, то есть Вашем: sin 2x — cos 2x = 0.
Итак, рассмотрим тригонометрическое уравнение:

   

Имея изначальный вид, мы сделать с этим уравнением ничего не можем. То есть надо как-то преобразовывать данное уравнение. Давайте разделим все члены уравнения на , так как на ноль делить нельзя. Из этого мы получаем, что: 

   

Мы с Вами знаем, что: 

   

И уже из этого получим преобразование такого вида: 

   

Используя данные тригонометрических превращений, мы с Вами знаем, что: 

   

Теперь можем выполнить полное преобразование: 

   

Теперь дело за малым. Осталось использовать основные правила математики и получаем превращение в тангенс угла (tg 2x): 

   

Теперь решаем обычным способом. Используя простое правило:  

   

 

   

Но у нас будет не просто х, а двойной:  

   

А сейчас применим общее правило на конкретном примере: 

   

 

   

По таблице основных значений тригонометрических функций мы получим, что: 

   

Подставим: 

   

Чтоб найти х поделим получившееся значение на 2 и из этого следует, что х будет равен: 

   

Вот и всё!
Ответ: 

ru.solverbook.com

– sin 2x + cos 2x = 1

Задание.
Решить уравнение cos 2x — sin 2x = 1 и найти количество его корней.

Решение.
В уравнении оба слагаемых правой части содержат двойной угол (2х). Воспользуемся этим и будем применять формулы для синуса и косинуса двойного угла. А правую часть запишем как сумму квадратов функции синус и косинус (по осн. тригонометрическому тождеству). Подставив их в уравнение, получим:

   

Упростим уравнение, сложив подобные слагаемые:

   

Уравнение можно сократить на 2 и вынести синус за скобки:

   

Решим полученное уравнение, приравняв для этого оба множителя к нулю (произведение может быть равным нулю, лишь когда один из множителей будет равен нулю). В таком случае получим два уравнения, одно из которых является простейшим тригонометрическим и его решение можно получить даже из таблицы значений тригонометрических функций. Этим решением будет:

   

Чтобы решить второе из получившихся уравнений, разделим его на косинус. Получаем:

   

Получили также простейшее уравнение, которое имеет решение:

   

Поскольку — это любое целое число, а множество целых чисел бесконечно, то и количество корней данного уравнения — бесконечно.

Ответ. , , может быть любым целым числом.

ru.solverbook.com

Решите уравнение 2*sin(x)^(2)+cos(x)-1=0 (2 умножить на синус от (х) в степени (2) плюс косинус от (х) минус 1 равно 0)

Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$\cos{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$- 2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \pi$$

www.kontrolnaya-rabota.ru