Электронный справочник по математике для школьников тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Рис.1

Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Рис.2

Синусом угла называют дробь:

Косинусом угла называют дробь:

Тангенсом угла называют дробь:

Котангенсом угла называют дробь:

Синус, косинус, тангенс и котангенс, и их комбинации называют тригонометрическими функциями. В данном разделе справочника тригонометрические функции вводятся

для острых углов. В следующем разделе даётся определение тригонометрических функций для произвольных углов.

Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

Рис.3

В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

    

     

      Следовательно,

   

   

Кроме того, справедливы формулы:

sin α = cos β,      cos α = sin β,       tg α = ctg β,         ctg α = tg β,

которые можно переписать в виде:

sin α = cos (90° – α),      cos α = sin (90° – α),

tg α = ctg (90° – α),      ctg α = tg (90° – α).

ПРИМЕР. Найти тригонометрические функции углов  30°,  45°,  60°.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим

равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD.

Рис.4

Тогда

      Поэтому

Кроме того

Теперь рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, катеты которого равны 1 (рис. 5).

Тогда

Поэтому

Определение тригонометрических функций произвольного угла приводится в разделе справочника «Тригонометрические функции произвольного угла».

Формулы приведения / Блог / Справочник :: Бингоскул

Таблица формул приведения

Два правила формул приведения

1. при 90⁰ и при 270⁰ (в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a)) — функция меняется на кофункцию (sin на cos либо в обратную сторону, tg на ctg либо в обратную).
2. при 180⁰ и при 360⁰ (в виде (π ±a) или (2*π ±a)) — функция НЕ изменяется.

 

2 способа запоминания формул приведения

1. «Правило лошади»:

 

• Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

 

• Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет свое название.

 

• Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.

 

2. Использование четности и периодичности.

нечетная функция

• sin (-α) = -sin α
• tg (-α) = -tg α
• сtg (-α) = -сtg α

 

четная функция

 

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими:

• sin α, cos α — периодические функции с наименьшим положительным периодом 2π: sin(α+2kπ) = sin α,cos(α+2kπ) = cos α, k ∈ Z.
• tg α, ctg α — периодические функции с наименьшим положительным периодом π: tg(α+kπ) = tgα, ctg(α+kπ) = ctg α, k ∈ Z.

 

Формулы приведения в виде списка

sin

• sin(90⁰ — α) = cos α
• sin (90⁰ + α) = cos α
• sin (180⁰ — α) = sin α
• sin (180⁰ + α) = -sin α
• sin (270⁰ — α) = -cos α
• sin (270⁰ + α) = -cos α
• sin (360⁰ — α) = -sin α
• sin (360⁰ + α) = sin α

cos

• cos (90⁰ — α) = sin α
• cos (90⁰ + α) = -sin α
• cos (180⁰ — α) = -cos α
• cos (180⁰ + α) = -cos α
• cos (270⁰ — α) = -sin α
• cos (270⁰ + α) = sin α
• cos (360⁰ — α) = cos α
• cos (360⁰ + α) = cos α

tg

• tg(90⁰ — α) = ctg α
• tg (90⁰ + α) = -ctg α
• tg (180⁰ — α) = -tg α
• tg (180⁰ + α) = tg α
• tg (270⁰ — α) = ctg α
• tg (270⁰ + α) = -ctg α
• tg (360⁰ — α) = -tg α
• tg (360⁰ + α) = tg α

ctg

• ctg (90⁰ — α) = tg α
• ctg (90⁰ + α) = -tg α
• ctg (180⁰ — α) = -ctg α
• ctg (180⁰ + α) = ctg α
• ctg (270⁰ — α) = tg α
• ctg (270⁰ + α) = -tg α
• ctg (360⁰ — α) = -ctg α
• ctg (360⁰ + α) = ctg α

Угол альфа α находится в интервале 0 — 90°.

Знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти

 

 

---

Дополнительный материал: Формулы тригонометрии

 

Смотри также: Основные формулы по математике

 

синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

Единичная окружность

Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Вычисления и основные формулы




Значения тригонометрических функций

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов.k * arcsin α + πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, |a| > 1, нет решений.
5. cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

• sin(900 — α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 — α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 — α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 — α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса угла:

• cos(900 — α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 — α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 — α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 — α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

• с sin на cos;
• с cos на sin;
• с tg на ctg;
• с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции.2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Частные для синуса:

Значение sin x	Значение x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk

Частные для косинуса:

Значение cos x	Значение х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Частные для тангенса:

Значение tg x	Значение х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Частные для котангенса:

Значение ctg x	Значение x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремы

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный.2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладное применение

Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание — она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза — это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза — это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул — как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих — в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла — полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата — можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение — это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

Инструкция

Воспользуйтесь знаниями планиметрии, чтобы выразить синус через косинус . Согласно определению, синус ом угла в прямоугольном треугольнике длины противолежащего к , а косинус ом – прилежащего катета к гипотенузе. Даже знание теоремы Пифагора позволит вам в некоторых случаях быстро искомое преобразование.

Выразите синус через косинус , воспользовавшись простейшим тригонометрическим тождеством, согласно которому сумма квадратов этих величин дает единицу. Обратите внимание, что корректно выполнить задание вы сможете, только если знаете, в четверти находится искомый угол, в противном случае вы получите два возможных результата – с положительным и знаком.

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Обозначим противоположный стороне а угол через?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.

Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинус а угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Найти соs?, если известны длины сторон а и b ( треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы правильность полученной формулы, подставим в нее из примера 1, т.е.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из примера, получаем:

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу? катет является проекцией гипотенузы, его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

Значит, все наши формулы верны.

Для того чтобы получить формулу, связывающую синус и косинус угла, необходимо дать или вспомнить некоторые определения. Так, синус угла — это отношение (частное от деления) противолежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Инструкция

Полезный совет

Величина синуса и косинуса любого угла не может быть больше 1.

Синус и косинус — это прямые тригонометрические функции, для которых существует несколько определений — через окружность в декартовой системе координат, через решения дифференциального уравнения, через острые углы в прямоугольном треугольнике. Каждое из таких определений позволяет вывести зависимость между этими двумя функциями. Ниже приведен самый, пожалуй, простой способ выразить косинус через синус — через их определения для острых углов прямоугольного треугольника.

Инструкция

Выразите синус острого угла прямоугольного треугольника через длины сторон этой фигуры. Согласно определению, синус угла (α) должен быть отношению длины стороны (a), лежащей напротив него — катета — к длине стороны (c), противолежащей прямому углу — гипотенузы: sin(α) = a/c.

Найдите аналогичную формулу для косинус а того же угла. По определению эта величина должна выражаться отношением длины стороны (b), примыкающей к этому углу (второго катета), к длине стороны (c), лежащей напротив прямого угла: cos(а) = a/c.

Перепишите равенство, вытекающее из теоремы Пифагора, таким образом, чтобы в нем были задействованы соотношения между катетами и гипотенузой, выведенные на двух предыдущих шагах. Для этого сначала разделите обе исходного этой теоремы (a² + b² = c²) на квадрат гипотенузы (a²/c² + b²/c² = 1), а затем полученное равенство перепишите в таком виде: (a/c)² + (b/c)² = 1.

Замените в полученном выражении соотношения длин катетов и гипотенузы тригонометрическими функциями, исходя из формул первого и второго шага: sin²(а) + cos²(а) = 1. Выразите косинус из полученного равенства: cos(a) = √(1 — sin²(а)). На этом задачу можно решенной в общем виде.

Если кроме общего нужно получить численный результат, воспользуйтесь, например, калькулятором, встроенным в операционную систему Windows. Ссылку на его запуск в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» меню ОС. Эта ссылка сформулирована лаконично — «Калькулятор». Чтобы иметь возможность вычислять с этой программы тригонометрические функции включите ее «инженерный» интерфейс — нажмите комбинацию клавиш Alt + 2.

Введите в условиях значение синуса угла и кликните по кнопке интерфейса с обозначением x² — так вы возведете исходное значение в квадрат. Затем наберите на клавиатуре *-1, нажмите Enter, введите +1 и нажмите Enter еще раз — таким способом вы вычтите из единицы квадрат синуса. Щелкните по клавише со значком радикала, чтобы извлечь квадратный и получить окончательный результат.

Одной из фундаментальных основ точных наук является понятие о тригонометрических функциях. Они определяют простые отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Найти его, зная угол, можно большим количеством способов, включающих экспериментальные, вычислительные методы, а также использование справочной информации.

Вам понадобится

• — калькулятор;
• — компьютер;
• — электронные таблицы;
• — таблицы брадиса;
• — бумага;
• — карандаш.

Инструкция

Используйте с функцией вычисления синуса для получения нужных значений на основании знания угла. Подобный функционал сегодня имеют даже самые простые . При этом вычисления производятся с очень высокой степенью точности (как правило, до восьми и более знаков после запятой).

Примените программное обеспечение, представляющее собой среду для работы с электронными таблицами, запущенное на персональном компьютере. Примерами подобных приложений являются Microsoft Office Excel и OpenOffice.org Calc. Введите в любую ячейку формулу, состоящую из вызова функции вычисления синуса с нужным аргументом. Нажмите Enter. В ячейке отобразится искомая величина. Преимуществом электронных таблиц является возможность быстрого расчета значений функций для большого набора аргументов.

Узнайте приближенное значение синуса угла из таблиц Брадиса, если они имеются в наличии. Их недостатком является точность значений, ограниченная четырьмя знаками после запятой.

Найдите приближенное значение синуса угла, совершив геометрические построения. На листе бумаги вычертите отрезок. При помощи транспортира отложите от него угол, синус которого необходимо найти. Начертите еще один отрезок, пересекающий первый в некоторой точке. Перпендикулярно первому же отрезку проведите прямую линию, пересекающую два уже существующих отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Измерьте длину его гипотенузы и катета, противолежащего углу, построенному при помощи транспортира.9)/9! — … Для повышения скорости расчетов записывайте текущее значение числителя и знаменателя последнего члена ряда, производя вычисление следующего значения на основе предыдущего. Увеличивайте длину ряда для получения более точной величины.

Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов.

Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними».

Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная — математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин.

При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса — синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними.

Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов.

Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть.

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Угол х (в градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Угол х (в радианах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.

1. Формулы сложения:

косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус. И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.

Синусы — «смешиваются» : синус-косинус, косинус-синус.

2. Формулы суммы и разности:

косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.

Синусы — «смешиваются» :

3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.

Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому

Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:

«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:

В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность

а во вторых — сумму

Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать.°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
\(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
\(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
\(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус.°}}=\)

 

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

\(= 18\)

 

Записываем ответ

Ответ:  \(18\)

Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

Решение:

\(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)		Рассмотрим первое слагаемое числителя: \(\sin⁡(π-a)\). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно: \((π-a)\) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс; \(π\) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же. Таким образом, \(\sin⁡(π-a)=\sin⁡a\)
\(=\frac{3 \sin{⁡a}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)		Второе слагаемое числителя: \(\cos⁡{(\frac{π}{2} + a)}\): \((\frac{π}{2} + a)\) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус. \(\frac{π}{2}\) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус. Таким образом, \(\cos{⁡(\frac{π}{2} + a)}=-\sin⁡a\)
\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)		Теперь знаменатель: \(\cos⁡(\frac{3π}{2} — a)\). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. \(\cos⁡(\frac{3π}{2} — a)=-\sin{⁡a}\)
\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{-\sin⁡ {a}}=\)		Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
\(=\frac{3 \sin{⁡a}+\sin{a}}{-\sin⁡ {a}}=\frac{4\sin{a}}{-\sin{a}}\)		Сократив на \(\sin⁡{a}\), получаем ответ.
\(=\frac{4 }{-1}=\)\(-4\)

Ответ:  \(-4\)

Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

Решение:

\(ctg(-a-\frac{7π}{2}) =\)		Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, \(a\) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.
\(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)		Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
\(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)		Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть \(ctg\) \((-t)=- ctg\) \(t\). Преобразовываем наше выражение.
\(= — ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)		Несмотря на то, что точка привязки \(\frac{7π}{2}\) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что \(\frac{7π}{2}\) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). \((\frac{7π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{7π}{2}+a)=-tg a\) .
\(= — (- tg\) \(a) = tg\) \(a = 2\)		Готов ответ.

Ответ:  \(2\)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) — это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

\(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= …=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
\(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= …=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)).
\(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= …=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)
\(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= …=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5 ).

Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве приближенного значения косинуса малого угла α можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла α, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо?

Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде.

Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абсцисс в начале координат (рис. 6.4 ). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со скоростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо).

а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M, касающаяся в первый момент оси абсцисс.

б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения.

Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометрически, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометрический смысл.

Для этого проведем через точку с координатами (1; 0) (начало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси

Рис. 6.5. Ось тангенсов.

ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5 ). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордината точки пересечения равна tg t.

В самом деле, треугольники NOS и MP S на рис. 6.5 , очевид-

	но, подобны. Отсюда
	что и утверждалось.									или (0; −1), то пря-
	Если точка M имеет координаты (0; 1)

мая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен.

6.2. Знаки тригонометрических функций

Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс положительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на

Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.

Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y , a = x , c = R, то:

y x
sin t = — , cos t = —.
R R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

tg t = y /x ,

ctg = x /y .

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

y
sin t = — = y ,
1

x
cos t = — = x .
1

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

Уравнения числовой окружности.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

	1-я четверть	2-я четверть	3-я четверть	4-я четверть

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

1 √2 √3
0; -; —; —; 1.
2 2 2

Сделайте для себя это «открытие» — и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х ), разумеется, косинусы равны модулю 1 , а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у ) синусы равны модулю 1 , а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать :

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» — впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; —; —; -; 0; – -; – —; – —; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.

Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус — получаем тангенс. Делим косинус на синус — получаем котангенс. Результаты этого деления — на рисунке.

ПРИМЕЧАНИЕ : В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.

Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.

Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.

На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.

Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у ) тангенс не существует.

Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х ) котангенс не существует.

В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:

1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.

2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.

3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.

Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.

Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.

Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.

Представим, что определенная точка М имеет значение t.

Свойство 1 :

sin (– t) = – sin t

cos (– t) = cos t

tg (– t) = – tg t

ctg (– t) = – ctg t

Пояснение . Пусть t = –60º и t = –210º.

cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º и 60º равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

cos (– t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (– t) = – sin t.

Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойство 2: Так как t = t + 2πk , то:

sin (t + 2π k ) = sin t

cos (t + 2π k ) = cos t

Пояснение : t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

sin (t + π ) = – sin t

cos (t + π ) = – cos t

tg (t + π ) = tg t

ctg (t + π ) = ctg t

Пояснение : Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).

Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:

–sin t
tg (t + π) = —- = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = —- = ctg t
–sin t

Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

π sin (t + — ) = cos t 2

π cos (t + -) = –sin t 2

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида	Косинусоида
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная	cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функция является возрастающей.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = ctg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функция является убывающей.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Формулы приведения, калькулятор онлайн, конвертер

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы тригонометрии

Тригонометрические формулы – список основных формул

Познакомьтесь с основными тригонометрическими формулами, перепишите себе все таблицы формул и всегда держите их перед глазами, изучая тригонометрию.

Основные тригонометрические тождества

Разберитесь с основными тригонометрическими тождествами, запомните формулы и рассмотрите их вывод.

Формулы приведения

Научитесь пользоваться формулами приведения, их запоминанию способствует мнемоническое правило, посмотрите на примеры применения формул приведения.

Формулы сложения в тригонометрии

Разберитесь в формулах сложения, рассмотрите их доказательство и конкретные примеры их применения.

Формулы двойного угла

Дан список формул двойного угла, приведено их доказательство и показаны примеры применения, перечислены формулы других кратных углов: тройного, четверного и т.д.

Формулы половинного угла

Запомните еще ряд формул тригонометрии — формулы половинного угла, рассмотрите решения примеров с их использованием.

Формулы понижения степени

Рассмотрите формулы, позволяющие понижать степень тригонометрических функций, ознакомьтесь с их применением на практике.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Дан вывод формул суммы синусов, суммы косинусов, разности синусов и разности косинусов, разобрано как они применяются.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Приведен список формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус, показано их доказательство и примеры использования.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Познакомьтесь с формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла, разберите их применение на примерах.

Формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg

Рассмотрите основные формулы, использующиеся при работе с обратными тригонометрическими функциями.

Произведение тригонометрических функций

В предыдущем разделе, когда мы выводили ф-лы для вычисления суммы синусов и косинусов, мы сначала получали уравнения:

Далее мы производили замену переменных sи t. Однако давайте вместо этого просто поделим первые два уравнения на двойку, а третье – на (– 2):

В случае с последней формулой мы воспользовались правилом, по которому знак минус перед дробью можно убрать, если в числителе поменять местами вычитаемое и уменьшаемое.

Получили ф-лы, которые позволяют заменять произведение тригонометрических ф-ций их суммой.

Задание. Преобразуйте произведение в сумму:

Решение.

На этом наше знакомство с основными тригонометрическими формулами заканчивается. Ещё раз напомним, что в рамках школьного курса заучивать все ф-лы не нужно, можно при необходимости пользоваться смотреть в справочник. Тригон-кие преобразования помогут в будущем при решении сложных тригон-ких уравнений.

В самом конце приведем перечень всех формул, выведенными в этом уроке:

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t,  3π/2 – t,  π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

Правило приведения:

Для выражений π + t,   π – t,   2π + t,   2π – t	Для выражений π/2 + t,   π/2 – t,   3π/2 + t,  3π/2 – t
В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения. Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0	В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны

Формулы приведения.

cos (π + t) = –cos t	sin (π + t) = –sin t	tg (π + t) = tg t	ctg (π + t) = ctg t
cos (π – t) = –cos t	sin (π – t) = sin t	tg (π – t) = –tg t	ctg (π – t) = –ctg t
cos (2π + t) = cos t	sin (2π + t) = sin t	tg (2π + t) = tg t	ctg (2π + t) = ctg t
cos (2π – t) = cos t	sin (2π – t) = –sin t	tg (2π – t) = –tg t	ctg (2π – t) = –ctg t
cos (π/2 + t) = –sin t	sin (π/2 + t) = cos t	tg (π/2 + t) = –ctg t	ctg (π/2 + t) = –tg t
cos (π/2 – t) = sin t	sin (π/2 – t) = cos t	tg (π/2 – t) = ctg t	ctg (π/2 – t) = tg t
cos (3π/2 + t) = sin t	sin (3π/2 + t) = –cos t	tg (3π/2 + t) = –ctg t	ctg (3π/2 + t) = –tg t
cos (3π/2 – t) = –sin t	sin (3π/2 – t) = –cos t	tg (3π/2 – t) = ctg t	ctg (3π/2 – t) = tg t

Примечание: Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила. Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.

Два правила формул приведения, примеры.

Формул приведения много, но все они подчиняются двум правилам:

Первое правило:

Для аргументов  функция меняется на кофункцию, т.е. синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот.

Для аргументов  функция не меняется.

Примеры на первое правило:

Знак пока не учитываем, он определяется вторым правилом, пока важно понять, в каких случаях функция меняется на кофункцию, а в каких не меняется. 1) 

1) 

2) 

3) 

4) 

Для аргументов вида наименование функции следует изменить на кофункцию.

5) 

6) 

7) 

8) 

Для аргументов вида наименование функции не меняется.

Второе правило (для знака приведенной функции, функции угла ).

1) Считаем угол  острым,

2) Определяем четверть и знак в ней приводимой функции (функции слева).

3) Ставим этот знак перед приведенной к углу  функцией (функцией справа).

Примечание: Угол  может быть любым, острым мы его считаем условно, для применения правила.

Примеры на второе правило:

1)  

Рис. 2.

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак плюс.

2) 

Рис

Угол  находится в третьей четверти. В третьей четверти  ставим знак минус.

3) 

Рис. 4.

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти  ставим знак минус.

4) 

Рис. 5.

Угол  находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти  ставим знак минус.

5) 

Рис. 6.

Угол  находится в третьей четверти. В третьей четверти  ставим знак минус.

6) 

Рис. 7.

Угол  находится во второй четверти, во второй четверти  ставим знак минус.

7) 

Рис. 8.

Угол  находится во второй четверти. Во второй четверти  ставим знак минус.

8) 

Рис. 9.

Угол  находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти  ставим знак минус.

Итак, мы рассмотрели различные примеры применения первого и второго правил формул приведения.

Формулы двойного и половинного аргумента

Теперь перейдем к формулам двойного аргумента и следствиям из них. Напомним:

Получить формулы для тангенса и котангенса двойного угла очень просто. Этот прием мы уже неоднократно использовали сегодня  в уроке. Расписываем по определению:

По сути, мы получили формулу для тангенса двойного угла. Ее можно преобразовать и к другому виду, разделив числитель и знаменатель на :

Получилась многоэтажная дробь, разберем ее числитель и знаменатель отдельно:

В итоге тангенс двойного угла мы выразили только через тангенс одинарного.

Аналогичным образом можно поступить и с котангенсом.

Задание 7. Найти , если .

Решение

Обратим внимание, что аргументы отличаются в 2 раза. Значит, нам понадобятся формулы двойного угла или же следствия из них – формулы половинного угла

Способ 1. Попробуем использовать формулы двойного угла:

По условию, это выражение равно :

Тут у нас косинус квадрат и синус квадрат. Для них мы знаем еще одно соотношение – основное тригонометрическое тождество:

Из этих двух соотношений мы можем найти значения  и . Сложив их, получим:

Тогда:

Требуется найти . Как обычно, расписываем по определению:

Способ 2. Можно использовать формулы половинного аргумента. Тогда  и  можно сразу выразить:

Ответ: .

Вторым способом получилось быстрее, но нужно помнить больше формул. Каждый сам может выбрать более удобный для себя способ решения: больше запоминать, но быстрее решать или же запоминать меньше, но тогда решение может оказаться длиннее.

Уметь применять формулы двойных аргументов нужно как слева направо, так и справа налево. Слева направо это сделать проще, а вот справа налево их нужно «увидеть». Вспомните: похожая ситуация была с формулами сокращенного умножения. Найти выражение вида  просто: увидел – применил формулу. А вот в обратную сторону выражение вида  нужно еще заметить.

Итак, посмотрим на правые части формул двойных аргументов и подумаем, на что же нам обращать внимание

Для синусов справа стоит произведение синуса и косинуса с одинаковыми аргументами

Именно на это мы будет обращать внимание. Умножить и разделить выражение на  – это не проблема

Для косинусов справа стоит разность квадратов. Не путайте с основным тригонометрическим тождеством – там сумма квадратов.

Задание 8. Найти значение выражения:

Решение

Видим произведение косинуса и синуса одного аргумента. Это показатель того, что нужно применить формулу синуса двойного угла. Не хватает двойки перед выражением. Поэтому умножим и разделим выражение на :

Теперь можем применить формулу:

Далее нужно применить формулы приведения. Можете самостоятельно потренироваться это делать. В итоге вы должны получить ответ . Если ответ не совпал, смотрите решение ниже.

Ответ: .

Использование формул приведения

Выделим в дроби целую часть:

Тогда:

У нас по-прежнему в аргументе не острый угол. Попробуем еще раз выделить :

Осталось применить формулу приведения для отрицательных углов и найти значение по таблице:

Тогда:

Список литературы

1. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник. ФГОС», АО «Издательство «Просвещение» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. 10–11.
2. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа». 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций (базовый уровень). В 2 ч., ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА» Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г. 10–11.
3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, АО «Издательство «Просвещение» Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. 10.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал cleverstudents.ru
2. Интернет-портал ru.solverbook.com
3. Интернет-портал yaklass.ru

Домашнее задание

1. Вычислить:   
2. Вычислить, если известно, что :   
3. Доказать тождество:   

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы  в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо  запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!»  – это значит, что  действительно,  это необходимо  именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

• задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
• задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
• задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
• стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от  0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

Запомните следующее:

Функция изменяется на кофункцию

Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

• Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
• Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
• Угол лежит во второй  четверти, синус во второй  четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт  –  синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить  значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию.°-a). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:

• как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
• как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Основное тригонометрическое тождество

Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:

Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:

АВ2 + ОВ2 = ОА2

Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:

sin2α + соs2α = 1

Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.

Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:

sin2α + соs2α = 1

0,82 + соs2α = 1

0,64 + соs2α = 1

соs2α = 1 – 0,64

соs2α = 0,36

соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Ответ: 0,6.

Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:

По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.

Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

Решение.

sin2α + соs2α = 1

0,282 + sin2α = 1

0,0784 + sin2α = 1

sin2α = 1 – 0,0784

sin2α = 0,9216

sin α = –0,96 или sin α = 0,96

Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.

Ответ: – 0,96.

Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2

Решение. Здесь задача уже в два действия! Сначала определим соsα:

sin2α + соs2α = 1

соs2α = 1 – sin2α = 1 – (5/13)2 = 169/169 – 25/169 = 144/169

соsα = – 12/13 или соsα = 12/13

Условие π/2

Далее находим тангенс, просто деля синус на косинус:

tgα = sinα:соsα = (5/13):(12/13) = (5/13)•(13/12) = 5/12

Ответ: 5/12

Рассмотренный пример показал нам, что, зная синус, можно рассчитать не только косинус, но и тангенс. А возможно ли совершить обратное действие, найти по тангенсу синус или косинус? Да, но для этого нужно получить новую тригонометрическую формулу.

Запишем тождество

sin2α + соs2α = 1

Далее поделим его на величину соs2α:

Крайнее левое слагаемое – это величина tg2α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:

В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin2α:

Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

Решение.

Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:

Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то

соsα = – 0,8

Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:

sin2α + соs2α = 1

sin2α = 1 – соs2α = 1 – (– 0,8)2 = 1 – 0,64 = 0,36

sinα = – 0,6 или sinα = 0,6

С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6

Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.

Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin2α + соs2α = 1 несложно получить из выражения

sin2α = 1 – соs2α

и

соs2α = 1 – sin2α

которые помогают в работе с длинными ф-лами.

Задание. Упростите выражение

4sin2α + 9соs2α – 6

таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

Решение. Произведем замену sin2α = 1 – соs2α:

4sin2α+ 9соs2α – 6 = 4(1 – соs2α)+ 9соs2α – 6 =

= 4 – 4 соs2α + 9соs2α – 6 = 5соs2α – 2

Видим, что получилось значительно более простое выражение.

Ответ: 5соs2α – 2.

Задание. Избавьтесь от синуса в выражении

sin4α – соs4α

Решение. Воспользуемся ф-лой :

sin4α – соs4α = (sin2α – соs2α)(sin2α + соs2α) = (sin2α – соs2α)•1 =

= 1 – соs2α– соs2α = 1 – 2 соs2α

Ответ:1 – 2 соs2α.

Задание. Упростите дробь

Решение.

Ответ: ctg6α.

Для достижения наилучшего результата важно структурировать знания. В этом вам помогут онлайн-курсы по математике

Формулы приведения. Быстро и легко!

Тригонометрия.Формулы приведения.

Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода.

Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.

Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a). Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.

В первой четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти. И функция cos(a)>0, потому что ось X положительна в этой четверти.

Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).

Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a)

В четвертой четверти видно, что функция sin(a)0, потому что ось X положительна в этой четверти.Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).

Теперь рассмотрим сами формулы приведения.

Запомним простой алгоритм:

• Четверть. (Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
• Знак. (Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
• Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется.

И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.

Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)

Рассуждаем по алгоритму:

• Четверть первая.
• В первой четверти знак у функции косинуса положительный.
• В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.

Будет cos(90-α) = sin(α).

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

ACT Тригонометрия: полное руководство

Тригонометрия — это раздел математики, который имеет дело с прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами. (Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)

Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, касающихся тригонометрии (официальные инструкции по тестированию ACT говорят, что задачи тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.

Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из самых сложных тригонометрических задач ACT.

Что такое тригонометрия и как ею пользоваться?

Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.

Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.

Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника. А если у вас есть две стороны прямоугольного треугольника, вы сможете найти меру всех внутренних углов.

Если у нас есть две стороны, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью.2 = 340 $

$ c = √340 $ или $ c = 2√85 $

Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?

Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $

Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $

Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

(Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! Что касается вашей подготовки к математике ACT, поймите, что тест будет предлагать вам только вычислить достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosine‌x = 4/5 $». Вам никогда не придется находить фактическую угловую меру из х по АКТ.

Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , о котором мы поговорим чуть позже.> / P>

Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT

Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

# 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.

# 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.

Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

А.10 $ ‌tan‌23 ° $

Б. 10 $ sin‌23 ° $

C. 10 $ cos‌23 ° $

D. $ cos‌ {10/23} $

E. $ sin {10/23}

$

# 3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла от заданного sin, cos или tan и диапазона, в который попадает угол.

Если $ tan‌Θ = 3/4 \ и 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

A. $ 4/3 $

Б. $ -4 / 3 $

C. $ -3 / 4 $

Д.$ 3/5 $

-3 Э. $ / 5

# 4: Определение периода или амплитуды графика.

Какова амплитуда графика?

А. 1

Б. 2

К. π

Д. 2π

E. 0

# 5: Закон синусов или закон косинусов.

Для такого вопроса, , они дадут вам формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не нужно беспокоиться об их запоминании.Однако наличие формулы вам не очень поможет, если она вам покажется или звучит как тарабарщина. По мере того, как вы будете изучать это руководство, выполнять практические вопросы по математике ACT, которые мы предоставили, и знакомиться с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.

Мы рассмотрим, как решить каждую из этих проблем, , но это даст вам представление о том, как будут выглядеть триггерные проблемы ACT в тесте.

SOH, CAH, TOA

Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.

SOH (синус)

Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «грехом») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.

SOH : S in $ Θ $ = O одна сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

Итак, в этом треугольнике $ sin‌Θ = b / c $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а гипотенуза — c .

CAH (косинус)

Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$ cos $») угла тета ($ Θ $) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $ Θ $ (т. Е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.

CAH : C os $ Θ $ = A соседняя сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

Примечание: смежный означает, что сторона треугольника касается угла / помогает создать угол $ Θ $.

В этом же треугольнике $ cos‌Θ = a / c $, потому что сторона, примыкающая к углу $ Θ $, равна a , а гипотенуза — c .

TOA (касательная)

Касательная — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенс») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, по соседней стороне треугольника к тета (что не является гипотенуза).

TOA : T и $ $ = O заданная сторона треугольника / A смежная сторона треугольника.

В этом же треугольнике $ tan‌Θ = b / a $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а смежная сторона — a .

Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими устройствами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, немного более сложный вопрос может выглядеть примерно так:

Вам даны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи требуется длина третьей стороны.2 = 21 $

$ x = √21 $

Теперь, когда у вас есть размер третьей стороны, вы можете найти $ tan‌B $.

$ Tan‌B = \ напротив / \ Соседний $

$ TanB = √21 / 2 $

Итак, ответ: F , √21 $ / 2 $

Какие стороны противоположные или смежные?

Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или смежные стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.

Например, если вы пытаетесь найти $ sin $ угла $ γ $, вы должны использовать соотношение $ b / c $; если вы пытаетесь найти грех угла $ ξ $, вы должны использовать соотношение $ a / c $.2 = 44 $

$ x = √44 $

Теперь $ sin $ = $ \ Against / \ hypotenuse $, поэтому $ sin‌M = √44 / 12 $.

Итак, ответ K.

Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или обратный синус) угла M на вашем калькуляторе — это все, что вам нужно.

Вам также может быть предоставлено значение угла и длины стороны знаменателя вашего соотношения. В этом случае управляйте уравнением, как алгебраическим уравнением, и умножайте противоположную сторону на знаменатель.

$ sin Θ = \ напротив / \ гипотенуза $

$ гипотенуза $ * sinΘ = $ напротив

Поскольку вас спрашивают о длине лодки до дока, а эта сторона составляет против , угол 52 °, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (cos использует смежную и гипотенузу, а не противоположную).

Вам также дается смежная длина , 30 миль, поэтому вы будете использовать tan. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).

$ tan‌Θ = \ напротив / \ рядом $

So $ tan‌52 ° = x / 30 $

30‌ $ тан52 ° = x

долл. США

Итак, ответ — франков, длина лодки до причала 30 тангенциальных 52 °.

И снова проблема со словом из ранее.

Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

А.10 ‌ $ загар‌23 ° $

Б. 10‌ $ sin‌23 ° $

C. 10 $ cos‌23 ° $

D. $ cos‌10 / 23 $

E. $ sin‌10 / 23 $

Во-первых, нарисуйте свою картинку, чтобы легче было представить, о чем вас просят.

Итак, расстояние между лестницей и землей составляет 23 ° $. Также мы работаем с длинами соседней стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $ cos‌Θ = \ напротив / \ hypoteneuse $

.

Итак, $ cos‌23 ° = \ смежный / 10 $ (Почему 10? Длина лестницы 10 футов)

Это становится 10 $ ‌cos‌23 ° = \ смежный $

Итак, ответ: C , 10 $ ‌cos‌23 ° $

Придется ли мне определять угол?

Короткий ответ: нет, вас не попросят определить точную величину угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}

долл. США

Когда Sin, Cos и Tan являются положительными или отрицательными?

В зависимости от того, где расположен треугольник в двумерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.

В двухмерном пространстве четыре квадранта, разделенных по осям x и y.

• В квадранте I и x, и y положительны.
• В квадранте II x отрицателен, а y положителен
• В квадранте III оба значения x и y отрицательны
• А в квадранте IV x положителен, а y отрицателен

Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник / угол.

• В квадранте I все положительные
• В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
• В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
• В квадранте IV cos положительна, а sin и tan отрицательны

Хороший способ запомнить это — мнемоническое сокращение ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций является положительной в зависимости от квадранта.

Итак, A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III, а C os положительны в квадранте IV

Если $ tan‌Θ = 3/4 $ и $ 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

A. $ 4/3 $

Б. $ −4 / 3 $

C. $ -3 / 4 $

D. $ 3/5 $

-3 Э. $ / 5

Чтобы решить эту проблему, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о 3-4-5 треугольниках).2 = 25 9000 долларов США 3

$ c = 5

$

Итак, наша гипотенуза равна 5.

Мы знаем, что $ sin Θ = \ Against / \ hypotenuse $. Итак, $ sin‌Θ = 3/5 $.

Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку они сказали нам, что $ Θ $ лежит между $ 180 ° $ и $ 270 ° $, мы знаем, что значение sin для $ Θ $ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $ Θ $ будет положительным между 180 ° $ и 270 ° $.

Итак, наш окончательный ответ — E, $ — 3/5 $

Вторичные триггерные функции

В редких случаях на ACT вам будет предложено указать одну из вторичных триггерных функций.Это косеканс, секанс и котангенс. Максимум один вопрос за тест.

Вы могли заметить, что они похожи на основные триггерные функции, которые вы изучили выше. Фактически, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и касательной.

Чтобы помочь вам запомнить, что есть что, обратите внимание на третью букву каждого слова:

• Co s ecant = величина, обратная s ine
• Se c ant = аналог c osine
• Co t Угол = величина, обратная t Угол

Косеканс

Косеканс — величина, обратная синусу.$ Косеканс Θ = \ гипотенуза / \ напротив $

Секант

Секанс — величина, обратная косинусу. $ Секанс Θ = \ гипотенуза / \ смежный $

Котангенс

Котангенс — величина, обратная касательной. $ Котангенс Θ = \ смежный / \ противоположный $

Полезные формулы с Sin, Cos и Tan

Есть две формулы, которые время от времени будут появляться в ACT. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь об их запоминании — они когда-либо поднимут не более одного вопроса за тест .2 {x}) $, что также равно 1.

Итак, мы имеем 1 + 1 = 2

Окончательный ответ: H , 2.

$$ (sin‌Θ) / (cos‌Θ) = tan‌Θ $$

Это уравнение имеет логический смысл, если представить его в виде диаграммы. Допустим, у вас есть треугольник, который выглядит так

$ Sin Θ $ будет 5 $ / 13 $. $ Cos Θ $ будет $ 12/13 $. $ Tan Θ $ будет 5 долларов США / 12%.

Вы также можете сказать $ tan‌Θ = {sin‌Θ} / {cos‌Θ} = {5/14} / {12/13} = (5/13) (13/12) = 65/156 $ (вы также можете просто отменить обе 13s для упрощения) = 5 $ / 12 $

Графические триггерные функции

ACT не будет запрашивать у вас график триггерной функции, но вам нужно распознать, как каждая функция выглядит в виде графика.

Синус

Синусоидальный график пересекает начало координат в волновой структуре. Он всегда возрастает после $ x = 0 $, после пересечения начала координат.

Это «нечетная» функция, потому что она не симметрична относительно оси y.

Косинус

График косинусов также «волнистый», но не пересекает начало координат. Он спускается после $ x = 0 $.

Это может помочь вам запомнить, что косинус убывает после x = 0, если подумать, что « co — это low »

Косинус является «четной» функцией, потому что он симметричен относительно оси y.Это означает, что для всех значений $ x $ $ f (x) = f (-x) $.

Например, на графике выше $ y = 0,7 $ как при $ x = 1 $ , так и при $ x = -1 $

.

Иногда все, что вам зададут, — это определить, является ли график четным или нечетным, а также является ли график sin или cos. Вам будет легко понять это, если вы помните основные элементы тригонометрических графиков.

Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы узнаете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.

Касательная

Касательный график выглядит совсем иначе, чем графики sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать касательный график, когда вы его видите.

Периоды и амплитуды

ACT иногда просит вас найти период или амплитуду синусоидального или косинусного графика.

Период

Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после завершения полного цикла .

Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем окончательно вернуться к $ y = 0 $.

Период косинусного графика здесь также равен 2π. Он должен сначала спуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться в исходное положение при $ y = 1 $.

Амплитуда

Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его наивысшим значением $ y $ и $ x = 0 $.

Итак, чтобы использовать тот же график, что и выше:

И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).

Радианы

Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не в градусах. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).

Если у вас есть полный круг, то это 360 градусов. Это также 2π радиан.

Почему 2π радиан? Что ж, придумайте формулу длины окружности. С = 2πr. Если ваш радиус равен 1, тогда ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.

Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Радианы удобно рассматривать, помещая их на единичный круг.

Итак, если у вас есть полукруг, это 180 ° или π радиан.

И так далее. 90 ° — это $ π / 2 $ радиан, 270 ° — $ (3π) / 2 $ радиан.

Для преобразования градусов в радианы проще всего использовать преобразование между 180 ° и π .

Преобразовать 45 ° в радианы => $ (45) {π / 180} = π / 4 $ ‌радиан

Преобразовать $ (3π) / 4 $ радиан в градусы => $ {(3π) / 4} (180 / π) $ = 135 °

Шаги к решению триггерного вопроса

Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос

# 1: Определите, требует ли проблема тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:

• Проблема упоминает sin, cos или tan в вопросе или в вариантах ответа

• Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.

• Как мы видели в этой задаче ранее — вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить задачу триггера с помощью только , используя теорему Пифагора.

• Проблема показывает вам «волнистый» график по осям x и y

• Задача запрашивает период или амплитуду графика

# 2: Помните SOH, CAH, TOA.2 {‌Θ} и др.

# 4 :. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.

И знайте, что:

Период = горизонтальное расстояние

Амплитуда = вертикальное расстояние

# 5: Празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!

Итоги

Хотя тригонометрические задачи могут показаться устрашающими, почти каждый вопрос о тригонометрии ACT может быть решен, если вы знаете основные элементы тригонометрии.

Чтобы получить максимальную отдачу от подготовки к математике ACT, запомните эти три триггерные концепции: SOH, CAH, TOA, как управлять своими уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы запомните их, вы обнаружите, что решаете практически все триггерные вопросы, которые ACT может бросить вам.

Что дальше?

Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Прочтите нашу статью по всем математическим темам, протестированным на ACT, чтобы убедиться, что вы их хорошо усвоили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Не забудьте освежить в памяти все, что вам нужно.

Хотите получить высший балл по математике в ACT? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 36 баллов в разделе ACT Math от тестера ACT-Score.

Чувствуете себя подавленным? Не знаю, с чего начать? Не ищите дальше наших статей о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни проводится ACT? Ознакомьтесь с нашим полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.

И если вы обнаружите, что у вас не хватает времени на математический раздел, посмотрите не дальше нашей статьи о том, как перестать не хватать времени на математику ACT.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Оцените нашу 5-дневную бесплатную пробную версию:

Косинус — математический способ

В прямоугольном треугольнике косинус угла θ определяется как отношение соседнего катета ( b ) к гипотенузе ( c ).

Это одно из тригонометрических соотношений.Их называют отношениями, потому что они выражаются как отношение двух сторон прямоугольного треугольника.

Его аббревиатура — cos (от латинского cosinus ).

Косинусы для специальных общих углов

В следующей таблице приведены значения косинусов для общих углов :

Свойства косинуса

Графическое представление функции косинуса

Косинус — это периодическая функция с периодом 2π радиан (360 градусов), поэтому этот участок графика будет повторяться в разные периоды.

Геометрическое представление косинуса

Связь между косинусом и другими тригонометрическими функциями

Есть несколько основных тригонометрических тождеств, включающих косинус :

(1) Примечание : знак зависит от квадранта исходного угла.

Тригонометрические тождества с функцией косинуса

Косинус дополнительных, дополнительных и сопряженных углов

Косинус отрицательных углов

Косинус углов, отличающихся на 90 ° или 180 °

Сумма, разность, двойной, полуугловой и тройной угол тождества для косинуса

Эти идентификаторы помогают преобразовать тригонометрическое выражение, представленное как произведение, в сумму или наоборот:

Закон косинусов (или правило косинусов ) связывает одну сторону треугольника с двумя другими и углом, который они образуют.Теорема утверждает, что:

Квадрат любой стороны ( a , b или c ) треугольника равен , равному сумме квадратов двух оставшихся сторон минус удвоенное их произведение на косинус угол ( A , B или C ) они образуют:

Закон косинусов является обобщением теоремы Пифагора , которая верна только для прямоугольных треугольников.Фактически, если A является прямым углом (90º), его косинус равен нулю и, следовательно, a ² = b ² + c ² .

Если угол A тупой, то есть> 90º, то косинус отрицательный.

Другие тригонометрические соотношения

Тригонометрические отношения угла θ — это отношения, полученные между тремя сторонами прямоугольного треугольника. Это сравнение по частному его трех сторон: a , b и c .

• Синус — это отношение между длиной противоположного плеча ( a ), деленной на длину гипотенузы ( c ). В формуле это записывается просто как грех:
• Касательная — это отношение к между длиной противоположного участка ( a ), деленной на длину соседнего участка ( b ). В формуле это записывается просто как tan :

Тригонометрические соотношения для специальных общих углов

Тригонометрические отношения для наиболее распространенных углов (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º и 270º) составляют:

Взаимосвязи между тригонометрическими функциями

Любое тригонометрическое соотношение можно выразить через любое другое.В следующей таблице показаны формулы, с помощью которых каждая из них выражается как функция другой:

Примечание : знак + или — зависит от квадранта исходного угла.

Взаимные тригонометрические отношения — это мультипликативные обратные тригонометрические отношения. Это:

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции также называются круговыми функциями. Причина в том, что в прямоугольном треугольнике, начерченном на координатной оси, с вершиной угла θ в центре круга ( O ), то есть в стандартном положении, его вершина B может идти через все точки этого круга.

тригонометрических функций и взаимных тригонометрических функций можно графически представить в прямоугольном треугольнике на окружности r = 1.

Искусство решения проблем

В геометрии тригонометрия — это изучение тригонометрических функций , функций , которые стремятся связать длины и углы треугольников. Тригонометрия является неотъемлемой частью геометрии, поскольку многие известные результаты были подтверждены с помощью тригонометрии.

В математике для соревнований использование тригонометрии не ограничивается только геометрией; проблемы, связанные с уравнениями с тригонометрическими функциями, очень распространены. Они часто решаются с помощью умного использования множества тождеств тригонометрических функций, которые значительно упрощают выражения.

Помимо математики соревнований, тригонометрия является основой большей части анализа, особенно анализа Фурье.

Определения

Тригонометрические функции имеют несколько определений.Определение, которое обычно преподается первым, — это определение прямоугольного треугольника из-за простоты доступа. Курс геометрии от среднего до олимпиадного обычно использует определение единичного круга тригонометрии. В комплексном анализе определение тригонометрии ряда Тейлора предпочтительнее для расширения тригонометрии на сложную область, хотя это выходит за рамки математики конкуренции.

Определение прямоугольного треугольника

Определение прямоугольного треугольника в тригонометрии включает отношения между краями прямоугольного треугольника по отношению к заданному углу.Приведенные ниже определения относятся к углу, длина сторон которого указана на схеме. Поскольку угол должен быть меньше, чем для того, чтобы треугольник оставался прямым, эти определения работают только для острых углов.

Обычный пневмонический знак, который следует запомнить, это SOH-CAH-TOA , где S ine = O pposite / H ypotenuse, C osine = A djacent / H ypotenuse, и H ypotenuse, и H ypotenuse angent = O pposite / A djacent

Более редкими являются значения, обратные тригонометрическим функциям, перечисленным ниже.

Это определение чаще всего преподается на вводных уроках геометрии из-за его простоты. Однако это ограничение. Он работает только в том случае, если он прав, а это означает, что тригонометрические функции определяются только при остром угле.

Определение единичной окружности

Рассмотрим единичный круг, круг радиуса один с центром в начале координат. Начиная с, пройдите расстояние против часовой стрелки вокруг единичного круга, как показано на схеме. Координаты этой точки определены как.

Что касается других тригонометрических функций, определяется как отношение к, а косеканс, секанс и котангенс определяются как обратные величины синуса, косинуса и тангенса соответственно.

Преимущество этого определения в том, что оно соответствует определению прямоугольного треугольника для острых углов, но расширяет их область от острых углов до всех действительных углов. Таким образом, это определение обычно предпочтительнее для промежуточных настроек геометрии олимпиады.

Определение серии Тейлора

Ряды Тейлора для синуса и косинуса используются в качестве определения синуса и косинуса в анализе, особенно в комплексном анализе.Такое определение тригонометрических функций дает конкретный способ расширить определение тригонометрии от действительных чисел до полной комплексной плоскости. Ряды Тейлора для синуса и косинуса показаны ниже: Эти определения не используются на олимпиадах по математике в старших классах; тем не менее, они участвуют в конкурсе Putnam и других университетских соревнованиях.

Приложения к геометрии

Тригонометрия находит широкое применение в промежуточной геометрии. Помимо возврата соотношений прямоугольных треугольников, тригонометрия может применяться ко всем треугольникам через закон синусов и закон косинусов.

Закон синусов

Закон синусов гласит, что в любом, где — сторона, противоположная, противоположная, противоположная, и — радиус описанной окружности. Закон синусов особенно удобен в задачах, связанных с радиусом описанной окружности, поскольку он чрезвычайно широко используется в промежуточной геометрии.

Закон косинусов

Закон косинусов гласит, что в любом, где — сторона, противоположная, противоположная и противоположная. Это обобщение теоремы Пифагора и используется для доказательства нескольких известных результатов, таких как формула Герона и теорема Стюарта.Однако он видит ограниченную применимость по сравнению с законом синусов, поскольку использование закона косинусов может быть очень сложным для алгебры. Полезно запоминать «хорошие» значения синуса и косинуса, поскольку это может пригодиться в соревнованиях, особенно если вы хотите применить либо этот закон, либо закон синусов.

Тригонометрические идентификаторы

Тригонометрические тождества — это выражения, включающие тригонометрические функции, которые верны для всех входных данных. Тригонометрические функции известны своим тождеством.Наиболее часто используемые идентичности в математике соревнований:

• Пифагорейские тождества
• Идентификаторы сложения углов
• Идентификаторы с двойным углом
• Идентификаторы половинного угла
• Идентификаторы суммы к продукту
• Идентификаторы произведения к сумме

См. Также

7.4: Другие тригонометрические функции

Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем продвинуться дальше в отношениях и получить некоторые фундаментальные идентичности.Идентичности — это утверждения, которые верны для всех значений входных данных, на которых они определены. Обычно идентичность можно вывести из уже известных нам определений и отношений. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование идентификаторов для упрощения тригонометрических выражений

Упростить \ (\ frac {\ sec t} {\ tan t}. \)

Решение

Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.

\ [\ begin {array} {lll} \ dfrac {\ sec t} {\ tan t} & = \ dfrac {1 / \ cos t} {\ sin t / \ cos t} & \ text {Чтобы разделить функции, мы умножаем на обратную.} \\ \ text {} & = \ dfrac {1} {\ cos t} \ dfrac {\ cos t} {\ sin t} & \ text {Разделим косинусы.} \ \ \ text {} & = \ dfrac {1} {\ sin t} & \ text {Упростите и используйте идентичность.} \\ \ text {} & = \ csc t \ end {array} \]

Показав, что \ (\ frac {\ sec t} {\ tan t} \) можно упростить до \ (\ csc t \), мы фактически установили новую идентичность.2 t & = \ dfrac {25} {169} \\ \ sin t & = ± \ sqrt {\ dfrac {25} {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {\ sqrt {25}} { \ sqrt {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {5} {13} \ end {align} \]

Знак синуса зависит от значений y в квадранте, где расположен угол. Поскольку угол находится в квадранте IV, где значения y отрицательны, его синус отрицательный, \ (- \ frac {5} {13} \).

Остальные функции можно вычислить с помощью тождеств, связывающих их с синусом и косинусом.

\ [\ begin {align} \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {5} {13}} {\ frac {12} {13}} = — \ dfrac {5} {12} \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {12} {13}} = \ dfrac {13} {12 } \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {13}} = — \ dfrac {13} {5} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {12}} = — \ dfrac {12} {5} \ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \):

Если \ (\ sec (t) = — \ frac {17} {8} \) и \ (0

Решение

\ (\ cos t = — \ frac {8} {17}, \ sin t = \ frac {15} {17}, \ tan t = — \ frac {15} {8} \)

\ (\ csc t = \ frac {17} {15}, \ cot t = — \ frac {8} {15} \)

Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени, известна как периодическая функция . Тригонометрические функции периодические. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или \ (2π \) приведет к одинаковым результатам для этих функций.А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты.

Другие функции также могут быть периодическими. Например, продолжительность месяцев повторяется каждые четыре года. Если x x представляет собой продолжительность, измеряемую в годах, а \ (f (x) \) представляет количество дней в феврале, тогда \ (f (x + 4) = f (x) \). Этот образец повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и 4 годами ранее. Положительное число 4 — это наименьшее положительное число, которое удовлетворяет этому условию и называется периодом.Период — это самый короткий интервал, в течение которого функция выполняет один полный цикл — в этом примере период равен 4 и представляет время, необходимое нам, чтобы убедиться, что в феврале такое же количество дней.

СРОК РАБОТЫ

Период \ (P \) повторяющейся функции f f — это число, представляющее интервал, такой что \ (f (x + P) = f (x) \) для любого значения \ (x \).

Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен \ (2π \).

Период функций касательной и котангенса равен \ (π \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск значений тригонометрических функций

Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) на основе рисунка \ (\ PageIndex {9} \) .

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Решение

\ [\ begin {align *} \ sin t & = y = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t & = x = — \ dfrac {1} {2} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {- \ frac {1} {2}} = \ sqrt {3 } \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {- \ frac {1} {2}} = — 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = — \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {\ sqrt {3}} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) на основе рисунка \ (\ PageIndex {10} \) .

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Решение

\ (\ begin {align} \ sin t & = — 1, \ cos t = 0, \ tan t = \ text {Undefined} \\ \\ sec t & = \ text {Undefined}, \ csc t = — 1, \ cot t = 0 \ end {align} \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): поиск значения тригонометрических функций

Если \ (\ sin (t) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {1} {2} \), найдите \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \ cot (t). \)

Решение

\ [\ begin {align} \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {1} {2}} = 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} — \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} = — \ sqrt {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ sqrt {3}} = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \):

Если \ (\ sin (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \) найти \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \) и \ (\ cot (t) \).

Решение

\ (\ sec t = \ sqrt {2}, \ csc t = \ sqrt {2}, \ tan t = 1, \ cot t = 1 \)

Калькулятор тригонометрии

. Простой способ найти sin, cos, tan, cot

Этот калькулятор тригонометрии поможет вам в двух популярных случаях, когда необходима тригонометрия. Если вы хотите найти значения синуса, косинуса, тангенса и их обратных функций, используйте первую часть калькулятора. Ищете недостающую сторону или угол в прямоугольном треугольнике с помощью тригонометрии? Наш инструмент — тоже беспроигрышный вариант! Введите 2–3 заданных значения во второй части калькулятора, и вы в мгновение ока найдете ответ.Прокрутите вниз, если хотите узнать больше о тригонометрии и о том, где ее можно применить.

Есть много других инструментов, полезных при решении задач тригонометрии. Ознакомьтесь с двумя популярными тригонометрическими законами: калькуляторами закона синусов и закона косинусов, которые помогают решить любой тип треугольника. Если вы хотите узнать больше о тригонометрических функциях, перейдите к нашим специальным инструментам:

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это раздел математики. Само это слово происходит от греческого слова trignon (что означает «треугольник») и metron («мера»).Как следует из названия, тригонометрия имеет дело в основном с углами и треугольниками ; в частности, он определяет и использует отношения и соотношения между углами и сторонами в треугольниках. Таким образом, основное приложение — решение треугольников, в частности прямоугольных, а также любого другого типа треугольника, который вам нравится.

Тригонометрия имеет множество приложений: от повседневных задач, таких как вычисление высоты или расстояния между объектами, до спутниковой навигационной системы, астрономии и географии.Кроме того, функции синуса и косинуса являются фундаментальными для описания периодических явлений — благодаря им мы можем описывать колебательные движения (как простой маятник) и волны, такие как звук, вибрация или свет.

Тригонометрия и тригонометрические функции используются во многих различных областях науки и техники, если упомянуть лишь некоторые из них: музыка, акустика, электроника, медицина и медицинская визуализация, биология, химия, метеорология, электротехника, машиностроение и гражданское строительство, даже экономика. Тригонометрические функции действительно вокруг нас!

Калькулятор триггеров нахождения sin, cos, tan, cot, sec, csc

Чтобы найти тригонометрические функции угла, введите выбранный угол в градусах или радианах.Под калькулятором появятся шесть самых популярных триггерных функций — три основных: синус, косинус и тангенс, а также их обратные величины: косеканс, секанс и котангенс. Кроме того, если угол острый, будет отображаться прямоугольный треугольник, который может помочь вам понять, как могут быть интерпретированы функции.

Чтобы найти недостающие стороны или углы прямоугольного треугольника, все, что вам нужно сделать, это ввести известные переменные в калькулятор тригонометрии. Вам нужны только два заданных значения в случае:

• односторонний и один угловой
• с двух сторон
• площадь и одна сторона

Помните, что если вы знаете два угла, этого недостаточно, чтобы найти стороны треугольника.Два треугольника, имеющие одинаковую форму (что означает, что они имеют равные углы), могут иметь разные размеры (не одинаковую длину стороны) — такая взаимосвязь называется сходством треугольника . Если стороны имеют одинаковую длину, то треугольники равны и соответствуют .

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это исследование отношений внутри треугольника . Для прямоугольных треугольников соотношение между любыми двумя сторонами всегда одинаково и задается в виде тригонометрических соотношений, cos, sin и tan.Тригонометрия также может помочь найти некоторую недостающую треугольную информацию , например, правило синуса.

Сложна ли тригонометрия?

Поначалу тригонометрия может быть сложной задачей, но после некоторой практики вы ее освоите! Вот несколько советов по тригонометрии: Обозначьте гипотенузу, смежную и противоположную на вашем треугольнике, чтобы помочь вам выяснить, какую идентичность использовать, и запомните мнемонику SOHCAHTOA для тригонометрических отношений!

Для чего используется тригонометрия?

Тригонометрия используется для поиска информации обо всех треугольниках и, в частности, прямоугольных треугольниках.Поскольку треугольников повсюду в природе , тригонометрия используется вне математики, в таких областях, как строительство, физика, химическая инженерия и астрономия.

Кто изобрел тригонометрию?

Поскольку тригонометрия — это соотношение между углами и сторонами треугольника, никто не придумал ее , она все равно была бы там, даже если бы об этом никто не знал! Первыми людьми, открывшими часть тригонометрии, были древние египтяне и вавилоняне , но Евклид и Архемид первыми подтвердили идентичность, хотя они сделали это с помощью форм, а не алгебры.

Какой уровень у тригонометрии?

Тригонометрия — это , которые обычно преподают подросткам в возрасте 13-15 лет , что составляет 8 и 9 классов в США и лет 9 и 10 в Великобритании. Точный возраст преподавания тригонометрии зависит от страны, школы и способностей учеников.

Как научиться тригонометрии интуитивно — лучше объяснять

Мнемоники триггеров, такие как SOH-CAH-TOA, сосредоточены на вычислениях, а не на концепциях:

TOA объясняет касательную примерно так же, как $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $ описывает окружность.Конечно, если вы математический робот, уравнения достаточно. Остальным из нас, с органическим мозгом, наполовину посвященным обработке зрения, кажется, нравятся образы. А «TOA» вызывает потрясающую красоту абстрактного соотношения.

Думаю, вы заслуживаете большего, и вот что сделало триггерный клик для меня.

• Визуализируйте купол, стену и потолок
• Триггерные функции — это процентное соотношение к трем формам

Мотивация: Триг — это анатомия

Представьте себе Боба-инопланетянина, который посещает Землю, чтобы изучить наш вид.

Без новых слов трудно описать людей: «Наверху есть сфера, которая иногда царапается» или «Два удлиненных цилиндра, кажется, обеспечивают движение».

После создания конкретных терминов для анатомии Боб может записать типичные пропорции тела:

• Размах рук (от кончиков пальцев до кончиков пальцев) приблизительно равен высоте
• Голова шириной 5 глаз
• Взрослые, рост 8 голов

Чем это полезно?

Ну, когда Боб находит куртку, он может поднять ее, протянуть руки и оценить рост владельца.И размер головы. И шириной глаз. Один факт связан с множеством выводов.

Еще лучше, человеческая биология объясняет человеческое мышление. У столов есть ноги, у организаций есть голова, у криминальных авторитетов есть мускулы. Наша биология предлагает готовые аналогии, которые появляются в созданных руками человека творениях.

Теперь поворот сюжета: вы, — Боб-инопланетянин, изучающий существ в математической стране!

Общие слова, такие как «треугольник», не слишком полезны. Но обозначение синуса, косинуса и гипотенузы помогает нам заметить более глубокие связи.И ученые могут изучать гаверсин, эксеканс и гамзин, как биологи, которые находят связь между вашей голенью и ключицей.

И поскольку треугольники появляются в кругах…

… и круги появляются циклически, наша терминология треугольников помогает описать повторяющиеся узоры!

Trig — это книга по анатомии «математических» объектов. Если нам удастся найти метафорический треугольник, мы бесплатно получим армаду выводов.

Синус / косинус: купол

Вместо того, чтобы смотреть на треугольники сами по себе, как замороженный во льду пещерный человек, представьте их в сценарии охоты на этого мамонта.

Представьте, что вы находитесь в центре купола и собираетесь повесить киноэкран. Вы указываете на некоторый угол «x», и именно там экран будет висеть.

Угол, на который вы указываете, определяет:

• синус (x) = sin (x) = высота экрана, свисающий как знак
• косинус (x) = cos (x) = расстояние до экрана по земле [«cos» ~ насколько «близко»]
• гипотенуза, расстояние до верхнего края экрана всегда одинаково

Хотите максимально большой экран? Укажите прямо вверх.Он находится в центре, на макушке вашей головы, но это большой дагнаббит.

Хотите, чтобы экран находился как можно дальше? Конечно. Укажите прямо, 0 градусов. В этом положении экран имеет нулевую высоту и находится далеко, как вы и просили.

Высота и расстояние меняются в противоположных направлениях: поднесите экран ближе, и он станет выше.

Совет: триггерные значения — это проценты

Никто никогда не говорил мне, когда я учился в школе: синус и косинус — это проценты .Они варьируются от + 100% до 0 до -100% или от максимального положительного значения до нуля до максимального отрицательного.

Допустим, я заплатил 14 долларов в виде налога. Вы понятия не имеете, дорого ли это. Но если я скажу, что заплатил 95% налога, вы знаете, что меня ограбят.

Абсолютная высота бесполезна, но если ваше значение синуса 0,95, я знаю, что вы почти на вершине своего купола. Довольно скоро вы достигнете максимума, а затем снова начнете снижаться.

Как вычислить процент? Просто: разделите текущее значение на максимально возможное (радиус купола, он же гипотенуза).

Это , почему нам говорят: «Синус = Противоположность / Гипотенуза». Чтобы получить проценты! Лучшая формулировка: «Синус — это ваш рост в процентах от гипотенузы». (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает «под землю». Косинус становится отрицательным, когда ваш угол направлен назад.)

Давайте упростим расчет, предположив, что мы находимся на единичной окружности (радиус 1). Теперь мы можем пропустить деление на 1 и просто сказать синус = высота.

Каждый круг — это действительно единичный круг, увеличенный или уменьшенный до разного размера.Так что проработайте связи на единичном круге и примените результаты к вашему конкретному сценарию.

Попробуйте: подключите угол и посмотрите, какой процент высоты и ширины он достигает:

Линия роста синуса не является ровной. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (от 80 до 90) покрывают только 2%.

Это должно иметь смысл: при 0 градусах вы двигаетесь почти вертикально, но когда вы добираетесь до вершины купола, ваша высота меняет свой уровень.

Касательная / секущая: стена

Однажды ваш сосед ставит стену прямо рядом с от вашего купола. Ага, твой взгляд! Ваша стоимость при перепродаже!

Но можем ли мы извлечь максимальную пользу из плохой ситуации?

Конечно. Что, если мы повесим киноэкран на стену? Вы указываете под углом (x) и получаете:

• тангенс (x) = загар (x) = высота экрана на стене
• расстояние до экрана: 1 (экран всегда находится на одинаковом расстоянии от земли, верно?)
• секанс (x) = sec (x) = «лестничное расстояние» до экрана

У нас есть новые причудливые термины.Представьте себе, что вы видите витрувианского «ДЖЕНТЛЬМЕНА», проецируемого на стену. Вы поднимаетесь по лестнице, чтобы убедиться, что вы можете «ВИДЕТЬ, НЕ МОЖЕТЕ?». (Да, он голый … не забудете аналогию, ладно?)

Обратите внимание на касательную высоту экрана.

• Начинается с 0 и идет бесконечно высоко. Вы можете продолжать указывать на стену все выше и выше, чтобы получить бесконечно большой экран! (Это будет стоить вам.)

• Касательная — это просто увеличенная версия синуса! Она никогда не становится меньше, и хотя синусоида «достигает вершины» по мере изгиба купола, касательная продолжает расти.

Как насчет секанса, лестничного расстояния?

• Секущая начинается с 1 (лестница от пола к стене) и растет оттуда
• Секущая всегда длиннее касательной. Наклонная лестница, по которой крепится экран, должна быть длиннее самого экрана, верно? (При огромных размерах, когда лестница почти вертикальна, они близки. Но секущая всегда немного длиннее.)

Помните, значения процентов . Если вы указываете под углом 50 градусов, tan (50) = 1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние до стены (радиус купола).

(Подключите x = 0 и проверьте свою интуицию, что tan (0) = 0, а sec (0) = 1.)

Котангенс / косеканс: потолок

Удивительно, но теперь ваш сосед решает построить потолок на вершине вашего купола, далеко за горизонтом. ( Что с этим парнем? Ах, случай с голым мужчиной на стене… )

Что ж, пора построить пандус до потолка и немного поболтать.Вы выбираете угол для построения и тренировки:

• котангенс (x) = кроватка (x) = насколько далеко простирается потолок до соединения
• косеканс (x) = csc (x) = как долго мы идем по рампе
• пройденное вертикальное расстояние всегда равно 1

Касательная / секущая описывает стену, а СО-касательная и СО-секанс — потолок.

Наши интуитивные факты аналогичны:

• Если вы выберете угол 0, ваш пандус будет плоским (бесконечным) и никогда не достигнет потолка.Облом.
• Самый короткий «наклон» — это когда вы указываете на 90 градусов прямо вверх. Котангенс равен 0 (мы не двигались по потолку), а косеканс — 1 («длина пандуса» минимальна).

Визуализируйте связи

Недавно у меня было ноль «интуитивных выводов» о косеканте. Но с метафорой купола / стены / потолка мы видим следующее:

Ого, это тот же треугольник, только увеличенный до стены и потолка.2 $) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника.

И из сходства, отношения, такие как «высота к ширине», должны быть одинаковыми для этих треугольников. (Интуиция: отойдите от большого треугольника. Теперь он кажется меньше в вашем поле зрения, но внутренние соотношения не могли измениться.)

Вот как мы находим «синус / косинус = тангенс / 1».

Я всегда пытался запомнить эти факты, когда они просто выскакивают на нас при визуализации. 2 $, за исключением глупых тестов, которые ошибочно принимают пустяки за понимание.В этом случае потратьте минуту, чтобы нарисовать схему купола / стены / потолка, заполните метки (загорелый джентльмен, вы же видите, не так ли?) И создайте шпаргалку для себя.

В дальнейшем мы узнаем о построении графиков, дополнениях и использовании формулы Эйлера, чтобы найти еще больше связей.

Приложение: Исходное определение тангенса

Вы можете увидеть касательную, определяемую как длина касательной линии от круга до оси x (любители геометрии могут с этим справиться).

Как и ожидалось, на вершине круга (x = 90) касательная линия никогда не может достигать оси x и является бесконечно длинной.

Мне нравится эта интуиция, потому что она помогает нам запомнить название «касательная», и вот хорошее интерактивное руководство по триггерам для изучения:

Тем не менее, очень важно расположить касательную вертикаль и распознать, что это просто синус, спроецированный на заднюю стену (вместе с другими соединениями треугольника). {- 1} $ или $ \ arcsin $ («арксинус»), и часто записываются как asin на различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% от купола, какой у нас угол?

Если вставить asin (0,25) в калькулятор, получится угол 14,5 градусов.

А что насчет чего-нибудь экзотического, например, обратной секущей? Часто он недоступен как функция калькулятора (даже тот, который я построил, вздох).

Глядя на нашу шпаргалку по триггерам, мы находим простое соотношение, в котором мы можем сравнить секанс с 1. Например, секанс с 1 (гипотенуза по горизонтали) совпадает с 1 по косинусу:

Предположим, что наш секанс равен 3.5, т.е. 350% радиуса единичной окружности. Какой угол к стене?

Приложение: несколько примеров

Пример: найти синус угла x.

Ack, какой скучный вопрос. Вместо того, чтобы «найти синус», подумайте: «Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?».

Во-первых, обратите внимание на треугольник, повернутый назад. Это нормально. У него все еще есть высота, зеленая.

Какая максимальная высота? По теореме Пифагора мы знаем

Хорошо! Синус — это высота в процентах от максимума, равная 3/5 или.60.

Продолжение: Найдите угол.

Конечно. У нас есть несколько способов. Теперь, когда мы знаем, что синус = 0,60, мы можем просто сделать:

Вот еще один подход. Вместо использования синуса обратите внимание, что треугольник «упирается в стену», поэтому можно использовать касательную. Высота 3, расстояние до стены 4, поэтому касательная высота 3/4 или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы снова превратить процентное значение в угол:

Пример: Сможете ли вы добраться до берега?

Вы находитесь на лодке, у которой достаточно топлива, чтобы проплыть 2 мили.Сейчас вы находитесь в 0,25 милях от берега. Какой самый большой угол вы можете использовать и при этом дотянуться до земли? Кроме того, единственная доступная ссылка — это «Сборник арккосинов» Хуберта, 3-е изд. . (Поистине адское путешествие.)

Хорошо. Здесь мы можем визуализировать пляж как «стену», а «расстояние по лестнице» до стены — это секущая.

Во-первых, нам нужно все нормализовать в процентах. У нас есть 2 / 0,25 = 8 «единиц гипотенузы» топлива. Итак, наибольшая секущая, которую мы могли допустить, составляет 8-кратное расстояние до стены.

Мы бы выбрали как , чтобы спросить: «Какой угол имеет секущую 8?». Но мы не можем, поскольку у нас есть только книга арккосинусов.

Мы используем нашу шпаргалку, чтобы связать секанс с косинусом: А, я вижу, что «sec / 1 = 1 / cos», поэтому

Секанс 8 означает косинус 1/8. Угол с косинусом 1/8 равен arccos (1/8) = 82,8 градуса, это самый большой угол, который мы можем себе позволить.

Неплохо, правда? До аналогии купола / стены / потолка я бы тонул в беспорядке вычислений.Визуализация сценария позволяет легко и даже весело увидеть, какой приятель по триггеру может нам помочь.

В своей задаче подумайте: меня интересует купол (sin / cos), стена (tan / sec) или потолок (cot / csc)?

Счастливая математика.

Обновление: Владелец Gray Matters собрал интерактивные диаграммы для аналогий (перетащите ползунок слева, чтобы изменить угол):

Спасибо!

Другие сообщения из этой серии

1. Как интуитивно научиться тригонометрии
2. Тождества Easy Trig с формулой Эйлера
3. Интуиция к закону косинусов
4. Интуиция к закону синуса

Идентификаторов суммы углов и разностей

Идентификаторов суммы углов и разностей

---

Мы используем MathJax

Тождества суммы углов и разностей

Встречаются тригонометрические функции суммы или разности двух углов. часто в приложениях.Есть несколько способов подтвердить эти результаты.

Теорема о сумме и разности углов

Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено:

$ \ sin (A \ pm B) = \ sin A \ cos B \ pm \ cos A \ sin B $

$ \ cos (A \ pm B) = \ cos A \ cos B \ mp \ sin A \ sin B $

$ \ tan (A \ pm B) = \ dfrac {\ tan A \ pm \ tan B} {1 \ mp \ tan A \ tan B} $

$ \ cot (A \ pm B) = \ dfrac {\ cot A \ cot B \ mp 1} {\ cot B \ pm \ cot A} $

$ \ sec (A \ pm B) = \ dfrac {\ sec A \ sec B \ csc A \ csc B} {\ csc A \ csc B \ mp \ sec A \ sec B} $

$ \ csc (A \ pm B) = \ dfrac {\ sec A \ sec B \ csc A \ csc B} {\ sec A \ csc B \ pm \ csc A \ sec B} $

Доказательство: Пусть $ P $ будет точкой с координаты $ (1,0) $.Измеряется против часовой стрелки из точки $ P $, пусть $ Q $ — точка, длина дуги которой равна $ A $, пусть $ R $ — точка, длина дуги которой равна $ A + B $, и пусть $ S $ будет точкой, длина дуги которой равна $ -B $. 2 \ end {уравнение *}

Благодаря использованию симметричного и пифагорейского тождеств, это упрощается и становится формулой суммы углов для косинуса.

Доказательство формулы разности углов для косинус выглядит следующим образом:

\ begin {align} \ cos (A-B) & = \ cos (A + (- B)) \\ & = \ cos A \ cos (-B) — \ sin A \ sin (-B) \\ & = \ соз А \ соз В + \ грех А \ грех В \ end {align}

Тогда, используя теорему о совместных функциях, мы можем получить формулы для синуса:

\ begin {align} \ sin (A \ pm B) & = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — (A \ pm B) \ right) \\ & = \ cos \ left (\ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ mp B \ right) \\ & = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ cos B \ pm \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ sin B \\ & = \ sin A \ cos B \ pm \ cos A \ sin B \ end {align}

По результатам формул синуса и косинуса можно вывести другие четыре формулы.♦

Формулы также можно выводить с помощью треугольников. Хотя мы ссылаемся на следующий вывод как на доказательство, на самом деле допустимые при выводе значения углов $ A $ и $ B $ весьма ограничены, а на самом деле требуется более общее доказательство.

Альтернативное подтверждение: Пусть положительный углы $ A $ и $ B $, сумма которых меньше 90 градусов. Постройте отрезок $ PU $ длиной 1. Построить треугольник $ TPU $ так, чтобы угол $ TPU $ был равен угол $ A $, а угол $ TUP $ равен дополнению к $ A $.Построить описанный прямоугольник $ PQRS $ так, чтобы угол $ QPT $ был равен углу $ B $, угол $ QPU $ равна сумме углов $ A $ и $ B $, точка $ T $ находится на сегмент $ QR $ и $ U $ находится в сегменте $ RS $. Обратите внимание, что угол $ RTU $ также равен углу $ B $.

У треугольника Соотношения Теорема, имеем:

\ begin {align} \ sin (A + B) & = UV \\ & = RT + QT \\ & = TU \ cos B + PT \ sin B \\ & = \ грех А \ соз В + \ соз А \ грех В \ end {align}

Доказательство тождества суммы углов для косинуса: похожий.Идентификаторы угловой разницы могут быть получены напрямую из того же рисунка, отождествив угол $ A $ с углом $ TPS $, а также угол $ B $ с углом $ TPU $. ♦

Есть несколько классов идентификаторов, которые непосредственные следствия суммы углов и Теорема о разности. 2 t} $ $ \ csc 2t = \ dfrac {\ sec t \ csc t} {2} $

Доказательство: Доказательство двойного Формула угла для синуса выглядит следующим образом:

\ begin {align} \ sin 2t & = \ sin (t + t) \\ & = \ sin t \ cos t + \ cos t \ sin t \\ & = 2 \ грех т \ соз т \ end {align}

Доказательства формулы двойного угла для другого пять функций аналогичны.2 t = \ dfrac {2} {1- \ cos 2t} долл. США

Проба: Чтобы найти понижающий формулу для синуса, мы начинаем с косинуса двойного угол формулу и замените член в квадрате косинуса, используя тождество Пифагора. Полученное уравнение можно решить для члена с синусом в квадрате. Доказательства степенных формул для остальных пяти функций похожи. ♦

Теорема о половинном угле

Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено:

$

$ \ sin \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1- \ cos t} {2}} $	$ \ cos \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1+ \ cos t} {2}} $
$ \ tan \ dfrac {t} {2} = \ dfrac {1- \ cos t} {\ sin t} $	$ \ cot \ dfrac {t} {2} = \ dfrac {\ sin t} {1+ \ cos t} $
$ \ sec \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {2 \ sec t} {\ sec t + 1}}	$ \ csc \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {2 \ sec t} {\ sec t-1}} $

Доказательство: Формулы полуугла для синус и косинус находятся сразу после уменьшения мощности формулы подстановкой и извлечением квадратного корня.2 t} {2 \ sin t \ cos t} = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ tan t \ end {align}

Подстановка в этот результат дает касательную формула полуугла. Доказательство формулы котангенса аналогичный. ♦

Теорема произведения к сумме

Следующие ниже тождества верны для всех реальных ценностей.

$ \ sin A \ sin B = \ dfrac12 [(\ cos (A-B) — \ cos (A + B)] $

$ \ sin A \ cos B = \ dfrac12 [(\ sin (A + B) + \ sin (A-B)] $

$ \ cos A \ cos B = \ dfrac12 [(\ cos (A + B) + \ cos (A-B)] $

Доказательство: Расширение и упрощение правая часть каждой формулы, используя угол Сумма и теорема разности даст левую часть.♦

Теорема о сумме-произведении

Следующие ниже тождества верны для всех реальных ценностей.

$ \ sin A \ pm \ sin B = 2 \ sin \ dfrac {A \ pm B} {2} \ cos \ dfrac {A \ mp B} {2} $

$ \ cos A + \ cos B = 2 \ cos \ dfrac {A + B} {2} \ cos \ dfrac {A-B} {2} $

$ \ cos A- \ cos B = -2 \ sin \ dfrac {A + B} {2} \ sin \ dfrac {A-B} {2} $

Доказательство: Путем замены переменных $ \ dfrac {A \ pm B} {2} $ в произведении на сумму формулы, эти формулы могут быть выведены.