Тригонометрические формулы

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|l|l|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} &\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \\&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} & 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm{tg}\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\, \alpha\pm \mathrm{tg}\, \beta}{1 \mp \mathrm{tg}\, \alpha\cdot \mathrm{tg}\, \beta} & \mathrm{ctg}\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac{1\mp \mathrm{ctg}\, \alpha\cdot \mathrm{ctg}\, \beta}{\mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta}\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin{array}{|c|} \hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы суммы/разности функций: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \sin\alpha-\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \cos\alpha -\cos\beta=-2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \mathrm{tg}\, \alpha \pm \mathrm{tg}\, \beta=\dfrac{\sin{(\alpha\pm\beta)}}{\cos\alpha\cos\beta} &&& \mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta= — \dfrac{\sin{(\alpha\pm \beta)}}{\sin\alpha\sin\beta}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{2\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} & \cos{2\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha}\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(x\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \text{Общий случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \end{array}\]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

 

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos{(\alpha -\beta)}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

 

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\). Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\). По теореме косинусов:

 

\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\)  (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)

 

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

 

\(AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\)

\(+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=\big(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\big)+\big(\cos^2\beta+\sin^2\beta\big)-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=\)

\(=1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big) \ (2)\)

 

Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\):

\(1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=1+1-2\cos(\alpha-\beta)\)

 

Отсюда и получается наша формула.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

 

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\):

 

1) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

 

2) \(\sin(\alpha+\beta)=\cos(90^\circ-(\alpha+\beta))=\cos((90^\circ-\alpha)-\beta)=\)

\(+\cos(90^\circ-\alpha)\cos\beta+\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

 

3) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

4) \(\mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\cos (\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\)

 

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm{ctg}\,\beta\), при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm{ctg}\,\alpha\)):

 

\(=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta}{1\mp\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta}\)

 

Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\).

 

5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:

 

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

 

1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)

 

2) \(\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)

 

Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

 

2.1) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\)

 

2.2) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)

 

3) \(\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\)

 

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,2\alpha=0\)):

 

\(=\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

 

Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\), а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm{tg}\,2\alpha\)).

 

4) \(\mathrm{ctg}\,2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\)

 

По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\).

 

5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)

\(=\sin\alpha-2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\)

 

6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:

 

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

 

1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2\)

 

2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2\)

 

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:

 

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

 

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

 

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

 

Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

 

\(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

 

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)

 

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

Получим: \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\Big)\)

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:

 

Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\). Тогда: \(\alpha=\dfrac{x+y}2, \ \beta=\dfrac{x-y}2\). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

 

1) \(2\cos{\dfrac{x+y}2}\cos{\dfrac{x-y}2}=\cos x+\cos y\)

 

Получили формулу суммы косинусов.

 

2) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\sin {\dfrac{x-y}2}=\cos y-\cos x\)

 

Получили формулу разности косинусов.

 

3) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\cos {\dfrac{x-y}2}=\sin y+\sin x\)

 

Получили формулу суммы синусов.

 

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

 

\(\sin x-\sin y=\sin x+\sin(-y)=2\sin {\dfrac{x-y}2}\cos {\dfrac{x+y}2}\)

 

5) \(\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)

 

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

 

1) \(\sin2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}1=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\)

 

(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\)):)

 

\(=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

 

2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\), выводится формула для косинуса.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:

 

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

 

Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\). Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt{a^2+b^2}\,\):

 

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)=\sqrt{a^2+b^2}\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)

 

Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\),   т.к. \(\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1\)

 

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\), для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\). Тогда наше выражение примет вид:

 

\(\sqrt{a^2+b^2}\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)

 

Значит, формула выглядит следующим образом: \[{\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{где } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] Заметим, что мы могли бы, например, принять за \(\cos \phi=b_1, \ \sin \phi=a_1\) и тогда формула выглядела бы как \[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos (x-\phi)\]

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

 

\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1{\sqrt2}\sin x\pm\dfrac1{\sqrt2}\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}4\right)\)

 

\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}6\right)\)

 

\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac{\sqrt3}2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}3\right)\)

 

shkolkovo.net

Формулы тригонометрии

Формулы тригонометрии (тригонометрические формулы) или тригонометрические тождества описывают зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и применяются при решении математических задач.

Ниже указаны основные тригонометрические тождества (равенства), формулы понижения степени, формулы двойного угла, косинус двойного угла, синус двойного угла, а также другие формулы. Дополнительно приведены значения тригонометрических функций для наиболее распространённых углов.

Основные тождества

… Подготовка формул …

Формулы двойного угла

… Подготовка формул …

Формулы тройного угла

… Подготовка формул …

Формулы понижения степени

… Подготовка формул …

Формулы понижения степени

… Подготовка формул …

Формулы понижения степени

… Подготовка формул …

Формулы половинного аргумента

Формулы понижения степени
половинного аргумента

… Подготовка формул …

Формулы сложения

… Подготовка формул …

Формулы вычитания

… Подготовка формул …

Формулы преобразования суммы
в формулы произведения

… Подготовка формул …

Формулы преобразования разности
в формулы произведения

… Подготовка формул …

Формулы преобразования суммы

… Подготовка формул …

Формулы преобразования произведения
в формулы суммы и разности

… Подготовка формул …

Формулы преобразования произведения
функций в степени

… Подготовка формул …

Формулы понижения степени

… Подготовка формул …

Универсальная
тригонометрическая подстановка

… Подготовка формул …

---

Значения тригонометрических функций

α	0
α°	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
sin α	0				1				0				−1				0
cos α	1				0				−1				0				1
tg α	0		1		−		−1		0		1		−		−1		0
ctg α	−		1		0		−1		−		1		0		−1		−

---

Теория

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Тождество – это равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него переменных

---

Скачать тригонометрические формулы

Вы можете скачать тригонометрические формулы в виде картинки:

doza.pro

Арксинус и решение уравнения sin x = a. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения sin x=a»  рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение sin x=a.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арксинус и решение уравнения sinx=a

На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности,  решается уравнение  при .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке

 она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арксинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

Определение:

Арксинусом числа  называется такой угол

 из промежутка , синус которого равен числу

Свойство: для любого , такого что выполняется равенство

Примеры 1. (рис. 1):

Построим единичную окружность и отметим на ней точки , найдем соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 3).

Рис. 2.

Пример 2. (рис. 2):

Свойство: для любого , такого, что выполняется равенство

Пример 3. (проверка свойства):

Пример 4. Решить уравнение

Решение: на оси синусов отметим точку  , проведем перпендикуляр к оси до пересечения с окружностью в точках  и  (рис. 3).

Рис. 3.

Объединим эти решения одной формулой:

Ответ:

В общем виде решение уравнения  при :

Рассмотрим подробней объединение двух серий решений

Перепишем их следующим образом:

Замечаем, что если перед  стоит знак , то у числа  множителем является четное число  (см. первую строку), если же перед  стоит знак -, то у числа  множителем является нечетное число  (см. вторую строку).

Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения:

 (рис. 4).

Рис. 4.

 (рис. 5).

Рис. 5.

 (рис. 6).

Рис. 6.

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арксинуса и решено уравнение вида , при  со своими частными случаями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1,  21.2, 21.19, 21.20(б).

interneturok.ru

Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1)	Основное тригонометрическое тождество	sin2(α) + cos2(α) = 1
(2)	Основное тождество через тангенс и косинус	1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3)	Основное тождество через котангенс и синус	1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4)	Соотношение между тангенсом и котангенсом	tg(α)ctg(α) = 1
(5)	Синус двойного угла	sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6)	Косинус двойного угла	cos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7)	Тангенс двойного угла	tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8)	Котангенс двойного угла	ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9)	Синус тройного угла	sin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10)	Косинус тройного угла	cos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11)	Косинус суммы/разности	cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12)	Синус суммы/разности	sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13)	Тангенс суммы/разности	tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14)	Котангенс суммы/разности	ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15)	Произведение синусов	sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16)	Произведение косинусов	cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17)	Произведение синуса на косинус	sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18)	Сумма/разность синусов	sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19)	Сумма косинусов	cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20)	Разность косинусов	cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21)	Сумма/разность тангенсов	tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22)	Формула понижения степени синуса	sin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23)	Формула понижения степени косинуса	cos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)	Сумма/разность синуса и косинуса	sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25)	Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами	Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26)	Основное соотношение арксинуса и арккосинуса	arcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27)	Основное соотношение арктангенса и арккотангенса	arctg(x) + arcctg(x) = π/2

scolaire.ru

Тригонометрические формулы / Блог

Основные тригонометрические тождества:

• \sin^2 x+ \cos^2 x = 1
• \tg x= \frac { \sin x } { \cos x }
• \ctg x= \frac { \cos x } { \sin x }
• \tg x \ctg x = 1
• \tg^ { 2 } x + 1 = \frac { 1 } { \cos^ { 2 } x }
• \ctg^ { 2 } x + 1 = \frac { 1 } { \sin^ { 2 } x }

Формулы понижения степени тригонометрических функций

• \sin^ { 2 } \alpha=\frac { 1-\cos2\alpha } { 2 }
• \cos^ { 2 } \alpha=\frac { 1+\cos2\alpha } { 2 }
• \sin^ { 3 } \alpha=\frac { 3\sin\alpha-\sin3\alpha } { 4 }
• \cos^ { 3 } \alpha=\frac { 3\cos\alpha-\cos3\alpha } { 4 }

 

Формулы приведения

 

Формулы тригонометрических функций суммы и разности углов

• \sin(\alpha \pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta
• \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta
• tg(\alpha \pm \beta) = \frac { tg\alpha \pm tg\beta } { 1 \mp tg\alpha * tg\beta }

Тригонометрические функции двойного и тройного угла

• \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha
• \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha — \sin^2\alpha, \cos(2\alpha) =1 — 2\sin^2\alpha, \cos(2\alpha) =2\cos^2\alpha -1
• \tg 2\alpha = \frac { 2\cdot \tg \alpha } { 1 — \tg^ { 2 } \alpha }
• \ctg 2\alpha = \frac { \ctg^ { 2 } \alpha — 1 } { 2 \cdot \ctg \alpha }
• \sin3\alpha = 3\sin\alpha \cos^ { 2 } \alpha -\sin^ { 3 } \alpha
• \sin3\alpha = 3\sin\alpha — 4\sin^ { 3 } \alpha
• \cos3\alpha = \cos^ { 3 } \alpha — 3\sin^ { 2 } \alpha\cos\alpha
• \cos3\alpha = -3\cos\alpha + 4\cos^ { 3 } \alpha
• \tg 3\alpha = \frac { 3\cdot \tg \alpha — \tg^3 \alpha } { 1 — 3\tg^ { 2 } \alpha }
• \ctg 3\alpha = \frac { \ctg^ { 3 } \alpha -3 \ctg \alpha } { 3 \cdot^2 \ctg \alpha — 1 }

Преобразование суммы в произведение:

• 2 \cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta)
• 2 \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta)
• 2 \sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)

 

---

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

bingoschool.ru

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

• Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

• Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

• Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

• Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

• Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

• Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

• В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
	0º 0 рад	30º $$\frac{\pi}{6}$$	45º $$\frac{\pi}{4}$$	60º $$\frac{\pi}{3}$$	90º $$\frac{\pi}{2}$$	180º $$\pi$$	270º $$\frac{3\pi}{2}$$	360º $$2\pi$$
$$\sin \alpha$$	0	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1	0	-1	0
$$\cos \alpha$$	1	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	0	-1	0	1
$${\rm tg}\, \alpha$$	0	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	1	$$\sqrt{3}$$	—	0	—	0
$${\rm ctg}\, \alpha$$	—	$$\sqrt{3}$$	1	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	0	—	0	—

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

1. Определение знака

   • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

   • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

   • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

   • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

   • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;

   • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.

   • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x².

   • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi-\alpha$	$2\pi+\alpha$
sin x	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos x	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg x	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg x	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2014/02/26 22:10 — ¶

wiki.eduvdom.com

Основные формулы тригонометрии

• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Основные формулы тригонометрии

Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

• Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
• Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
• Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
• Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ — с использованием формул.

\( \displaystyle A \)	\( \displaystyle a \)	\( \displaystyle -1 \)	\( \displaystyle 0 \)	\( \displaystyle 1 \)
\( \displaystyle \sin x=A \)	\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \)	\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)	\( \displaystyle \pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
\( \displaystyle \cos x=A \)	\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \)	\( \displaystyle \pi +2\pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)	\( \displaystyle 2\pi n \)
\( \displaystyle tgx=A \)	\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \)	\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \)	\( \displaystyle \pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
\( \displaystyle ctgx=A \)	\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)	\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

Второй способ — через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Основные формулы Тригонометрии:

Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]

---

Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]

---

Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]

---

Синус суммы и разности:

\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]

---

Косинус суммы и разности:

\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]

---

Тангенс суммы и разности:

\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

\[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

\[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]

\[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]

\[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]

\[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

Формулы преобразования произведений функций

\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Источник информации

×

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

calcsbox.com