7. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Из названия раздела следует, что предметом исследования являются геометрические объекты, расположенные в некоторой плоскости. При этом исследования проводятся не с помощью построений, как это делалось ранее, а с использованием формул, определяющих эти объекты. Другими словами, применяется описанный выше координатный метод, увязывающий точку плоскости, как геометрический объект, с упорядоченной парой чисел, являющихся координатами этой точки в некоторой системе координат.

Ранее, в разделе «векторная алгебра» точке ставилась в соответствие упорядоченная тройка чисел, так как исследовались пространственные геометрические объекты.

Декартова и полярная система координат, связь между ними

Декартова прямоугольная система координат

В

ведем декартову прямоугольную систему координат как частный случай пространственной декартовой системы координат. В качестве базисных векторов выберем единичные векторыи, направленные вдоль осей, исоответственно.

Тогда началу координат соответствует пара чисел , точкаимеет координаты. При этом любой точке плоскости соответствует единственная пара чисел из области

.

Рисунок 8.

Полярная система координат

Достаточно часто используется другая система координат – полярная. Вводится она следующим образом. Выберем некоторую точку плоскости и назовем ее полюсом, проведем через нее ось, называют ее полярной осью. Расстояние от полюса до некоторой точки обозначим, угол между полярной осью и лучом, соединяющим полюс с произвольной точкой плоскости – полярный угол – обозначим. Тогда паре чисел

соответствует точка плоскости.

Если считать , то в полярной системе координат каждой точке плоскости (кроме полюса!) соответствует

Рисунок 9.

единственная пара чисел — полярные координаты точки. За одним исключением — полюсу соответствует бесчисленное множество пар чисел , причемможет принимать любые значения в указанной выше области. Это является недостатком полярной системы координат, однако, польза от принятия данной координатной системы часто перекрывает указанный недостаток.

Пример. Паре чисел

соответствует точка, лежащая на луче, проведенным под угломк полярной оси, причем расстояние от полюса до этой точки равно 2.

Связь между полярной и декартовой системами координат

Совместим две системы координат, как это показано на рисунке, то есть начало декартовой системы координат с полюсом, полярную ось – с осью. Тогда точкаимеет декартовы координаты, полярные ее координаты

. Из рисунка следует, что, в то же время.

Рисунок 10.

С помощью этих формул в случае необходимости осуществляется переход от одной системы координат к другой. Так, точка с полярными координатами , имеет декартовы координаты,.

Расстояние между двумя точками плоскости

Пусть в декартовой системе координат точки заданы координатами и

. Тогда вектор. Его длина и есть расстояние между этими точками. Очевидно

.

Деление отрезка в заданном отношении

Дан отрезок , причеми. Определить координаты

точки , делящей отрезок в отношении. Очевидно,.

Если векторы и сонаправлены (внутренняя точка отрезка), то последнее соотношение можно представить в векторной форме, и поскольку , получаем векторное уравнение

.

Известно, что два вектора равны, если равны их соответствующие проекции, отсюда следует

.

Из этой системы уравнений определяем искомые координаты точки

:

.

Замечание 1. В полученных формулах существенно, какая точка отрезка считается первой, и какая второй. В самом деле, если , то. Другими словами, одна и та же точкаделит отрезкиив различном отношении.

Замечание 2. Если за основное принять векторное равенство

, точкаможет находиться вне отрезка, тогда векторыи противоположно направлены, полученные формулы при этом справедливы, но.

При имеем известные их школы формулы координат середины отрезка

.

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Расстояние между двумя точками.

Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

. (1.1)

Например, если даны точки

и, то расстояние между ними:

.

2. Площадь треугольника.

Теорема 2. Для любых точек

, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:

. (1.2)

Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.

.

Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть

–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек

и найти координаты точки.

Теорема 3. Если точка делит отрезок в отношении

, то координаты этой точки определяются формулами: (1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие: Если – середина отрезка

, где и, то(1.4) (т.к.).

Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к

Решение: Искомая точка делит отрезок

в отношении так как, тогда,, получили

.

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки , называемойполюсом, и исходящего из нее луча –полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть– расстояние от точки

до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом, число – второй координатой и называетсяполярным углом.

Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем считать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.

С другой стороны, по теореме Пифагора и

(1.6) – эти формулы, выражают полярные координаты через прямоугольные.

Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.

Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.

Пример 1: Найти точку, симметричную точке

относительно биссектрисы первого координатного угла.

Решение:

Проведем через точку А прямую l₁, перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l₁ отложим отрезок СА₁, равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А₁СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА| = |OA₁|. Треугольники ADO и ОЕА₁ также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD| = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA₁| = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А₁(4;-2).

Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A₁, симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.

Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.

Решение:

Координаты искомой точки С есть (x; 0). А так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(x₃-x₁)(y₂-y₁)=0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А, – точкиВ, – точкиС. Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..

Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти: а) расстояние между точками и ; б) площадь треугольника ОМ₁М₂ (О – полюс).

Решение:

а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

,

то есть, .

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ₁М₂. .

Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками

Урок № 15

Тема: Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками

Наглядность и оборудование: учебник.

1. 
   Теоретическая часть.
   

Прямоугольная система координат в пространстве.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (см. рис.). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис.). Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ точка положительной полуоси; х = -ОМ₁, если М₁точка отрицательной полуоси; х = 0, если М₁ совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) y точки М, а с помощью точки М₃ третья координата (аппликата) z точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей – аппликату.

Например. Задайте на координатной прямой точки:

А (9; 5; 10)

В (4; -3; 6)

С (9; 0; 0)

Е (4; 0; 5)

Е (0; 3; 0)

F (0; 0; -3).

Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если М ϵ Оху, то аппликата точки М равна нулю: z = 0. Аналогично если М ϵ Охz, то у = 0, а если М ϵ Оуz, то х = 0. Если М ϵ Ох, то ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и z = 0 (например, у точки С на рисунке). Если М ϵ Оу, то х = 0 и z = 0; если М ϵ Оz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты начала координат равны нулю: 0 (0; 0; 0).

Расстояние между двумя точками

Рассмотрим точки А₁(х₁; у₁; z₁) и А₂(х₂; у₂; z₂) и найдем расстояние между ними:

А₁А₂ = √ (х₂ – х₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²

Например. Найдите расстояние между точками А(2; 5;6) и В(7;3;2).

АВ = √ (7 – 2)² + (3 – 5)² + (2 – 6)² = √ 5² + (-2)² + (-4)² = √25 + 4 + 16 = √45 = 3√5

2. 
   Практическая часть.
   

Выполнение устных упражнений:

1. 
   Найти координаты точек:
   

Выполнение письменных упражнений:

2. 
   Работа с учебником: выполнить задание 776, 796, 797.
   

3. 
   Домашнее задание.
   

Устно: повторить п. 24

Письменно: выполнить задание 788, 791.

Достарыңызбен бөлісу:

Простейшие задачи в координатах / Метод координат / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Метод координат
5. Простейшие задачи в координатах

Метод координат — это подход к изучению свойств геометрических фигур, используя методы алгебры.

Задачи

1. Координаты середины отрезка.

Дано: система координат , А(₁; ₁), В(₂; ₂), С середина отрезка АВ.

Выразить: координаты С(; ) через координаты концов отрезка АВ.

Решение:

С — середина отрезка АВ, поэтому .  (1)

(Доказательство утверждения (1) приведено в разделе «Применение векторов к решению задач»).

Координаты векторов , и равны соответствующим координатам точек С, А и В:

, и .

Записывая равенство (1) в координатах, получим:

, следовательно, и .

Вывод:

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

1. и .

Отложим от начала координат вектор и проведем через точку А перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям и .

Координаты точки А равны координатам вектора , т.е. (; ). Поэтому . По теореме Пифагора: .

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

2. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

.

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

3. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

.

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

Вывод:

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат данного вектора.

3. Расстояние между двумя точками.

Дано: М₁(₁; ₁), М₂(₂; ₂), — расстояние между М₁ и М₂.

Выразить: через координаты М₁ и М₂.

Решение:

Рассмотрим вектор , каждая его координата равна разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. . Следовательно, длина этого вектора: .

Но , значит, расстояние между точками М₁(₁; ₁) и М₂(₂; ₂) выражается формулой:

.

Вывод:

Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Координаты вектора

Связь между координатами вектора его начала и конца

Уравнение линии на плоскости

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Взаимное расположение двух окружностей

Метод координат

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 936, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 951, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 952, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 955, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 969, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 991, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 997, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1006, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1048, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка_геометрия 10 класс

Дата_17.02.16-19.02.16 Геометрия 10 класс

Урок 43-44

Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Цели урока:

• Закрепить полученные знания   по теме системы координат и координаты точки в пространстве; выработать умения строить точку по заданным её координатам; находить координаты точек, изображённой в заданной системе координат;

• Способствовать развитию пространственного воображения учащихся;  умение развивать аналогии сравнение; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

• Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Ход урока

1. Организационный момент, приветствие, пожелания плодотворной работы.

2. Мотивация урока.

Ребята, чтобы найти конкретного человека на нашей планете, что необходимо нам знать? Правильно его место нахождение, т.е. другими словами мы должны знать его координаты.

Как не потеряться в этой жизни? Я думаю нам помогут координаты!!!!

3.Актуализация знаний.

Фронтальный опрос по технологии «Микрофон».

1. В каком направлении можно двигаться на плоскости?

2. Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве?

3. Чем определяются точки на координатной плоскости?

4. Что такое координата?

5. Как задать координатную плоскость?

6. Как называется ось 0Х, 0У, OZ?

7. Назовите координаты точек (по таблице)

8. Назовите формулу нахождения середины отрезка, длину отрезка

4. Работа с изученным материалом, Формирование первичных умений и навыков

Вся система обозначается Охуz.

Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох — координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

Проведем через точку М три плоскости, перепендикулярные к осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃, точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. М₁ – абсцисса, М₂ – ордината, М₃ – аппликата точки М. Координаты точки М записываются: М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z-аппликата.

Задание:

Назовите координаты точек, лежащих на координатных осях.

Какие из данных точек лежат на координатных осях и на какой: А(5;0;0),

В(-7;5;0), С(0;0;-9), М(0;8;0), Р(0;1;0)?

— Назовите координаты точек, лежащих в координатных плоскостях.

Какие из данных точек лежат в координатных плоскостях и в какой из плоскостей: А(3;0;5), В(-1; 4; 6), С(0;5;-9), М(5;5;0), Х(9;7;0)?

— Назовите координаты точки, совпадающей с началом координат; лежащих в пространстве.

Выбрать среди заданных точек те, которые лежат в пространстве или в начале координат: А(0;7;-2), О (0;0;0), В(2;4;-4), М(8;-5;2), Р(0;0;0).

Задача. Письменно

Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ = = = 2.

Ответ: С (2;0;0), АВ = 2.

3) Подготовка к ЕНТ (сб. тестов НЦТ 2009 год, В 3 № 24)

Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках

1)А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2) и С(8; 7; -8).

2) А. (-2; -2; 1), В. (-5; 3; 9), С. (2; 2; 1),

Ответ:1) D. (2; 2; -1), 2) Е. (2; -2; -1).

Решение.

Координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки, если не учитывать ее толщину, равны среднему арифметическому однородных координат ее вершин. Координаты центра тяжести треугольника, расположенного в пространстве будут находиться по формулам:

Z_{Е =}

3

Z₁ + Z₂ + Z₃

Возвращаясь к условию задачи, получим: Е (Х_ц; У_ц; Z_ц)

Х_ц = (3-5+8 ): 3 = 2 ; У_ц = (-4+3+7) : 3 = 2 ; Z_ц = ( 7- 2 – 8) : 3 = -1

Е(2; 2; -1) – D.

Задача . Самостоятельно (сб. апробационных тестов НЦТ 2013 год, В 0173 № 24)

1. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках

А(7; -4), В(-1; 8) и С(-12; -1).

А. (2; 1), В. (-2; 1), С. (3; -2), D. (-1; 2), Е. (2,5; 3).

(Ответ: В(-2; 1) ).

2. Даны точки: А(-3; 0; 0), В(5; 0; -1), С(0; 0; 8), D (-1;5;0), Е(0; 7;4), F(-6;-1; 0), К(0;0;0), М(0;-3;5), N(2;4;-1), Р(0;-6;0). Определите точки, принадлежащие: а) осям координат х, у, z; б) координатным плоскостям ху, хz, уz.

5. Минута отдыха.

Массаж ушных раковин.

Более тысячи биологически активных точек на ухе известно в настоящее время, поэтому, массируя их, можно последовательно воздействовать на весь организм. Нужно стараться так помассировать ушные раковины, чтобы уши «горели». Упражнение можно выполнять в такой последовательности:
1) потягивание за мочки сверху вниз;
2) потягивание ушной раковины вверх;
3) потягивание ушной раковины к наружи;
4) круговые движения ушной раковины по часовой стрелке и против;

5) растирание ушей до ощущения «горения».

6. Закрепление нового материала.

7. Самостоятельная работа с последующей проверкой: тест
8. Итоги урока. Рефлексия.

9. Д/з §19, § 20, теория, составить кластер по теме (работа в группах),

№ 4, №5 стр. 66; № 8 стр. 68

На уроке закрепили знания по теме прямоугольная система координат в пространстве, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.

Никитенко Ольга Александровна, учитель информатики математики

КГУ «Средняя школа№13», г. Усть-Каменогорск

Приложение