Система линейных уравнений с двумя переменными – Системы линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1. Метод подстановки для решения системы линейных уравнений с двумя переменными

Содержание

Системы линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1. Метод подстановки для решения системы линейных уравнений с двумя переменными

Мы научились составлять математическую модель для решения различных прикладных задач. В результате задача сводится к технике – решению уравнения или системы уравнений. На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, а именно системы линейных уравнений с двумя переменными.

Мы уже умеем решать линейные уравнения. Займёмся решением систем линейных уравнений, а именно таких систем, в которых есть две переменные, например:

Есть два основных метода решения любых систем уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод домножения и сложения.

Идея этого метода в следующем: пусть мы знаем значение одной из переменных. Тогда, чтобы найти вторую переменную, нужно подставить значение первой переменной в любое из уравнений. В результате получается обычное линейное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Пример 1.

Рассмотрим в качестве примера систему уравнений:

Если нам скажут, что , то найти  не составит труда – подставим значение , например, во второе уравнение:



Такой же результат получится, если подставить известное значение  в первое уравнение:



Т. е. мы подставляем известное значение переменной, получаем линейное уравнение с одной переменной, которое мы уже умеем решать.

Но что делать, если ни одно из значений переменных нам не известно?

Предположим, что мы уже знаем значение переменной

. Тогда из первого уравнения мы бы получили такое значение второй переменной:

Но значение переменной  в обоих уравнениях должно получиться одинаковым:

Или:

Решим это линейное уравнение – домножим обе части уравнения на 2:


Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без неё – в другую:


Получим решение системы:


interneturok.ru

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На данном уроке мы вспомним понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, ее общий вид, варианты и способы решения. Мы вспомним некоторую терминологию и решим несколько примеров.

Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:

Из первого уравнения  можно получить линейную функцию, в случае если : . График данного уравнения – прямая линия.

Bторое линейное уравнение:

, из него также можно получить линейную функцию, при условии, что

: . График данного уравнения – также прямая линия.

Запишем систему в другом виде:

Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если

. Две прямые также при некоторых значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться условия:  и . Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться условия:  и
.

Пример 1:

На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.

1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:

2 способ &n

r3test.interneturok.ru

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей

Приложение №1. Презентация

Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.

Ход урока

Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом и алгебраическим (подстановкой и методом алгебраического сложения).

Сегодня мы познакомимся с еще одним способом решения таких систем.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

Приложение №2

Умножим первое уравнение на b2, а второе уравнение на -b1 и сложим эти уравнения

Приложение №3

__________________________________________

Приложение №4

Если , то находим х:

Приложение №5

Аналогично, умножим первое уравнение на –а2, а второе – на

а1 и сложим эти уравнения.

_________________________________________

Приложение №6

Если , то находим у

Итак, система уравнений решена.

Замечаем, что решение стало возможным при условии .

Упростим нашу работу, введя математическое обозначение: определитель второго порядка. Это символ , который носит смысл выражения . Чтобы легче это запомнить, воспользуемся правилом:

Приложение №7

Введем понятия: главного определителя, который составлен из коэффициентов при х и у :

Приложение №8

=

и вспомогательных определителей:

Приложение №9

=

=

Приложение №10

Тогда, при условии, что , и , , система имеет единственное решение

, ,

Приложение №11

Если же , а , , то система не имеет решений.

Приложение №12

Если , то система имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим конкретные примеры:

Приложение №13

 

Решение.

Приложение №14

Вычислим определители

Приложение №15

    , ,

Ответ: (5;2)

Приложение №16

Решение.

Найдем определители

Приложение №17

    , ,

Ответ: (4;5)

Приложение №18

Решение.

Приложение №19

Преобразуем систему к стандартному виду:

[Слайд №20]

Найдем определители

следовательно,

Приложение №21

наша система или не имеет решение, или имеет бесконечно много решений. Чтобы это узнать, найдем вспомогательные определители

Приложение №22

Итак,

Ответ: система не имеет решений.

Итак, мы познакомились с новым методом решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Этот метод позволяет весьма лаконично решать системы, расширяет ваш кругозор. Познавателен с точки зрения знакомства с определителями второго порядка.

Приложение №23

Домашнее задание: №12.5 (а) решить четырьмя способами.

urok.1sept.ru

Комплект урока алгебры по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными «

Открытый урок по математикев 7 классе с применением ИКТ

«Решение систем уравнений с двумя переменными»

Цель урока:

Выработать и систематизировать знания, умения и навыки учащихся при решении систем уравнений с двумя переменными разными способами.

Задачи урока:

Образовательные: (формирование познавательных УУД):

  • повторение основных понятий по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

  • обобщение и систематизация способов решения систем линейных уравнений.

  • восполнение пробелов в знаниях, умениях и навыках учащихся.

Воспитательные: (формирование коммуникативных и личностных УУД):

  • воспитание навыков контроля и самоконтроля;

  • воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала; взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем;

  • воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Развивающие: (формирование регулятивных УУД):

  • развивать умения в применении знаний в конкретной ситуации;

  • развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации, умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли;

  • развивать самостоятельную деятельность учащихся.

    • развитие целеполагания – постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно о линейных уравнениях;

Тип урока: урок – путешествие (урок закрепления знаний, умений и навыков) с использованием ЭОР.

Формы работы учащихся:

Необходимое техническое оборудование

Оборудование: мультимедиа-проектор, экран, компьютерная презентация (приложение)

Ход урока:

I. Организационный момент. Ребята, достаньте пожалуйста, все что сегодня потребуется на уроке. Сегодня у нас необычный урок.

II. Проверка домашнего задания. Сначала мы проверим домашнее задание .

III. Формулирование цели и задачи урока.

Сегодня на уроке наша основная цель направлена на усовершенствование умений и навыков, решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Ребята, сегодня мы с вами отправляемся в путешествие.

Узнать хотим мы путь в стану,

Решив задачку не одну,

А если трудно будет нам идти,

Верное решение сумеем обязательно найти.

Надежную имеем мы закалку,

Если надо применим смекалку.

Нам правила

И формулы все по зубам,

Единством мысли мы докажем вам.

IV. Усовершенствование умений и навыков. Повторение изученного

Мы посетим страну Уравнений. В этой стране мы сделаем несколько остановок таких как – Дорога Устных вычислений, Деревня Теоритическая, Поляна Систем уравнений, Остановка Тестовая, и закончим свой путь на остановке Результативной. На каждой остановке вам надо будет показать свои знания, умения, находчивость и смекалку. Итак, в путь!

Попасть в страну Уравнений, минуя Дорогу Устных вычислений, нельзя. Мы знаем, что устный счёт необходим. Поэтому первую остановку мы сделаем здесь.

Дорога Устных вычислений

  1. Какое уравнение лишнее?

х + 4у = 7; 2х +3у = 5; 3х – 4 = 8; 5х – 6у = 10

2. Проходит ли через точку М (1;3) график уравнения: 5х — 2у = -1

3. В какой точке пересекаются прямые? x-y=3 и y=3, 3x+y=8 и y=x

4. Решите системы линейных уравнений

hello_html_m1c98d1b6.gif

Мы подходим к Деревне Теоретической

  1. Линейным уравнением с двумя переменными называется…?

  2.  Решением уравнения с двумя переменными называют…

  3. Графиком уравнения ах+by=c является…

  4. Системой уравнений называется…

  5. Фигурная скобка означает ….

  6. Решением системы уравнений с двумя переменными называется …

  7. Решить систему уравнений —

Ну что, Теоретическая остановка уже позади. Впереди Поляна систем уравнений. Давайте погуляем по ней.

V. Закрепление изученного материала

Поляна систем уравнений

Дети, давайте вспомним какие способы решения систем уравнений мы прошли на прошлых уроках.

Способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными:

Графический способ Способ подстановки Способ сложения

А также вспомним алгоритмы решения систем уравнений для каждого способа решения.

Решить систему графическим способом

у – х = 2

2у + 4х = 16

Метод подстановки

Метод сложения

Самостоятельная работа

4х + у = 3, 3х + 2у = 7,

6х – 2у = 1. х – 2у = — 3.

Подведем итоги.

Остановка Тестовая

Знакомая всем остановка. Вы, конечно, догадались, что будем сейчас выполнять тестовые задания. Уч-ся должен ответить на 6 вопросов с выбором ответа в программе Excel.

VI. Итоги урока

Остановка Результативная

Путешествие наше по стране Уравнений заканчивается. Мы с вами обошли не все уголки этой страны. Впереди у нас еще будут и другие остановки, леса, горы. Потому ,что уравнения изучаются во всех классах, начиная с начальной школы и по 11 класс. Сейчас давайте подведем итог нашего путешествия. Выставление оценок.

Что мы сегодня повторили на уроке?

Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений графическим способом, методом подстановки, методом сложения.

Домашнее задание

Учебник — № 1171, 1176 (а).

Творческое задание: составить кроссворд по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными и способы решения»

Рефлексия.

Ребята, пожалуйста, отобразите в тетрадях свое настроение, свои эмоции , которые у вас были на сегоднешнем уроке. Нарисуйте смайлики на листочках для самостоятельных работ.

infourok.ru

Решение систем линейных уравнений

Напомним для начала определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Рисунок 1.

Существуют три способа решения систем линейных уравнений: способ подстановки, способ сложения и графический способ. Рассмотрим его на следующем примере:

Рисунок 2.

Способ подстановки

Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Рисунок 3.

Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:

Подставим в первое уравнение, найдем $x$:

Найдем $y$:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ сложения

Рассмотрим данный способ на примере:

Рисунок 4.

Умножим второе уравнение на $3$, получим:

Рисунок 5.

Теперь сложим оба уравнения между собой:

Найдем $y$ из второго уравнения:

Ответ: $(-2,\ 3)$

!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Графический способ

Графический способ заключается в следующем: Оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Рисунок 6.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 7.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 8.

Ответ: $(-2,\ 3)$

Пример решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 1

Решить систему уравнений тремя способами:

Рисунок 9.

Решение:

1) Способ подстановки.

Выразим $x$ через $y$:

\[x=y\]

Подставим в второе уравнение, найдем $y$:

\[2y+3y=-5\] \[y=-1\]

Найдем $x$:

\[x=-1\]

Ответ: $(-1,-1)$

2) Способ сложения.

Умножим первое уравнение на $3$, получим:

Рисунок 10.

сложим оба уравнения между собой:

\[5x=-5\] \[x=-1\]

Найдем $y$ из первого уравнения:

\[-1-y=0\] \[y=-1\]

Ответ: $(-1,\ -1)$

3) Графический способ.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 11.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 12.

Ответ: $(-1,\ -1)$

spravochnick.ru

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Просмотр содержимого документа
«конспект урока»

Просмотр содержимого документа
«рабочая тетрадь»

Просмотр содержимого презентации
«Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

1. Выразите неизвестное у  через х : 2х + у=11; 3х – у=9; х-у=5; 2х + 2у=6; у=11-2х; у=3х-9; у=х-5; у=3-х;

1. Выразите неизвестное у через х :

2х + у=11;

3х – у=9;

х-у=5;

2х + 2у=6;

у=11-2х;

у=3х-9;

у=х-5;

у=3-х;

2. Основные свойства уравнения.  (вставьте пропущенные слова) Свойство 1. Любой член уравнения можно __________ из одной части уравнения в другую, изменив его ____на _________________. Свойство 2. Обе части уравнения можно __________или __________ на одно и то же число, не равное _____.

2. Основные свойства уравнения. (вставьте пропущенные слова)

Свойство 1.

Любой член уравнения можно __________ из одной части уравнения в другую, изменив его ____на _________________.

Свойство 2.

Обе части уравнения можно __________или __________ на одно и то же число, не равное _____.

2. Основные свойства уравнения.  (вставьте пропущенные слова) Свойство 1. Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Свойство 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю .

2. Основные свойства уравнения. (вставьте пропущенные слова)

Свойство 1.

Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Свойство 2.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю .

3.Постройте график функции у = 2х – 3 у у = 2х – 3 7 х х 0 0 у у 3 -3 3 3 6 5 4 3 2 1 х 0 1 -2 2 4 3 6 5 -1 -1 -2 -3

3.Постройте график функции у = 2х – 3

у

у = 2х – 3

7

х

х

0

0

у

у

3

-3

3

3

6

5

4

3

2

1

х

0

1

-2

2

4

3

6

5

-1

-1

-2

-3

Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это самый легкий, и путь опыта - это самый горький.    Конфуций

Три пути ведут к знанию: путь размышления — это путь самый благородный, путь подражания — это самый легкий, и путь опыта — это самый горький.

Конфуций

.  Решение систем линейных уравнений с двумя переменными. Алгебра 7 класс.

.

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными.

Алгебра 7 класс.

Решение системы способом подстановки Выразим у через х Подставим х и найдем у  -х+у=1, 2х+у=4;  Подставим полученное выражение в другое уравнение х=1, - 1+у=1; У = х + 1, 2х+у=4; ____________ х=1, у=2; 2х + х + 1= 4, 3х =4 – 1, 3х = 3 Х = 1; Решим уравнение Ответ: (1; 2)

Решение системы способом подстановки

Выразим у через х

Подставим х и найдем у

-х+у=1,

2х+у=4;

Подставим полученное выражение в другое уравнение

х=1,

— 1+у=1;

У = х + 1,

2х+у=4;

____________

х=1,

у=2;

2х + х + 1= 4,

3х =4 – 1,

3х = 3

Х = 1;

Решим

уравнение

Ответ: (1; 2)

Алгоритм решения систем уравнений способом подстановки .

Алгоритм решения систем уравнений способом подстановки .

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы
  • решить полученное уравнение с одной переменной;
  • найти соответствующее значение второй переменной.
Решение системы способом сложения Уравняем модули коэффициентов  перед уравнением Решим уравнение х=3, 7·3+2у=1;  7х+2у=1,

Решение системы способом сложения

Уравняем

модули

коэффициентов

перед уравнением

Решим

уравнение

х=3,

7·3+2у=1;

7х+2у=1,

||·(-3)

17х+6у=-9;

Сложим уравне-

ния почленно

х=3,

21+2у=1;

-21х-6у=-3,

17х+6у=-9;

+

____________

Решим

х=3,

2у=-20;

уравнение

— 4х = — 12,

7х+2у=1;

х=3,

у=-10.

Подставим

х=3,

7х+2у=1;

Ответ: (3; — 10)

Алгоритм решения систем уравнений способом сложения.

Алгоритм решения систем уравнений способом сложения.

  • умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
  • сложить почленно левые и правые части уравнений системы;
  • решить получившееся уравнение с одной переменной;
  • найти соответствующее значение второй переменной.
Решение системы графическим способом Выразим у через х у - х=2, у+х=10; y y=x+2 10 у=х+2, у=10-х; Построим график первого уравнения 6 у=х+2 y=10 - x х 0 -2 у 2 2 0 1 Построим график второго уравнения -2 4 x 10 0 1 у=10 - х х 0 10 Ответ: (4; 6) у 10 0

Решение системы графическим способом

Выразим у

через х

у — х=2,

у+х=10;

y

y=x+2

10

у=х+2,

у=10-х;

Построим график

первого уравнения

6

у=х+2

y=10 — x

х

0

-2

у

2

2

0

1

Построим график

второго уравнения

-2

4

x

10

0

1

у=10 — х

х

0

10

Ответ: (4; 6)

у

10

0

Алгоритм графического способа решения систем уравнений.

Алгоритм графического способа решения систем уравнений.

  • Выразить в каждом уравнении неизвестное у через х;
  • Построить графики каждого из уравнений системы;
  • Найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они пересекаются)
Случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости.

Случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости.

  • Прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Тогда система имеет единственное решение.
  • Прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек. Тогда система уравнений не имеет решений.
  • Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.
4. Решить систему уравнений  5х-2у=6,  7х+2=6;  2х+у=11,  3х-у=9;  х+2у=5,  х+3у=6,  2х-у=5;  2х+у=7;

4. Решить систему уравнений

5х-2у=6,

7х+2=6;

2х+у=11,

3х-у=9;

х+2у=5,

х+3у=6,

2х-у=5;

2х+у=7;

5. Сделай вывод Методы решения Преимущества Графический Недостатки Подстановки Сложения

5. Сделай вывод

Методы решения

Преимущества

Графический

Недостатки

Подстановки

Сложения

5. Сделай вывод Методы решения Преимущества Графический Недостатки Наглядность Подстановки Громоздкость, неточность Точный Сложения Трудоемкие выкладки Точный В выборе множителя

5. Сделай вывод

Методы решения

Преимущества

Графический

Недостатки

Наглядность

Подстановки

Громоздкость, неточность

Точный

Сложения

Трудоемкие выкладки

Точный

В выборе множителя

6. Самостоятельная работа

6. Самостоятельная работа

6. Самостоятельная работа

6. Самостоятельная работа

7. Домашняя работа

7. Домашняя работа

multiurok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *