2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример:

(Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.
1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\)	Раскроем скобки.
\(21x+14-21x-6>2x\)	Приведем подобные слагаемые.
\(8>2x\)	Перевернем получившееся неравенство.
\(2x<8\)	Поделим все неравенство на \(2\).
\(x<4\)	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ для первого неравенства.
\(x∈(-∞;4)\)	Теперь решим второе неравенство.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.
	Запишем ответ для второго неравенства.2\)
\(10-2x≥0\)	Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.
\(-2x≥-10\)	Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.
\(x≤5\)	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ к первому неравенству.
\(x∈(-∞;5]\)	На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	Отметим решения неравенств на числовых прямых.
	Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ.

Ответ: \([50;+∞)\)

Смотрите также:

Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Скачать статью

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение

: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу.

На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)		Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)		Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)		Упрощаем получившееся выражение…
\(=7x+10-6x-2y=\)		…и приводим подобные.
\(=x+10-2y\)		Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)		Вновь приводим подобные.
\(=-(10x-18)=\)		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
\(=-10x+18\)		Готово.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Как решать систему неравенств 8 класс

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

• a < b — это значит, что a меньше, чем b.
• a > b — это значит, что a больше, чем b.
• a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

• a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
• a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
• знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

• a ≠ b — означает, что a не равно b.
• a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
• a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
• знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

 

1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
   Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
   Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
   Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
   Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
   Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

6. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и

   .

   Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
   Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и

   .

   Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

7. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
   Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
   Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
   Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b². На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то .
   Если а < b , то .

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ (−∞; c)
x ≤ c		x ∈ (−∞; c]
x > c		x ∈ (c; +∞)
x ≥ c		x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

• Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.

• Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.

• Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

• ax < b,
• ax ≤ b,
• ax > b,
• ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые. 6 − 3x > 18 −3x > 18 − 6 −3x > 12 Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный.  x < 12−3 x < −4 Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один

Как решаем Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как — 2 < 0, знак меняется на противоположный.  Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка

Как решаем Проверим, что неизвестное находится слева. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.  Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

Запомнить все правила и научиться быстро их применять помогут на уроках математики в детской школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0,x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

• Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

• Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    −3<0,  знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество    6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15    |  ÷3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3>0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5;  +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:
1. x – любое число
2. x∈(−∞;+∞)
3. x∈ℝ

 

 

 

 

№2. Решить неравенство    x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем   a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство    −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   −.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥, выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство   4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство   x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <, выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство   x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,   выбираем в ответ интервал со знаком   −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство   x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

1. Приравнять числитель дроби к нулю   f(x)=0.  Найти нули числителя.
1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g(x)=0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.
1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравниваем числитель к нулю  f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство   3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду  f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   ≤,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ:   x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство   x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1  — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5 

2x≤8|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3),  поскольку  −3<0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ:   x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств   {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3,  поскольку  3>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ:   x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств   {3x+1≤2xx−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x

3x−2x≤−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2,  поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ:   x∈∅

№4. Решить систему неравенств   {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

 

Скачать домашнее задание к уроку 8.

 

определение, неравенства и их системы

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся  примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

• количество неравенств системы;
• количество переменных записи;
• вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x≥-2,y≤5,x+y+z≥3,z≤1-x2-4·y2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x, y, z. Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544-4-x32-2-x≥17,logx216x+2016≤1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Определение 2

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x>7,2-3·x≤0

Если значение х=8, то решение системы очевидно, так как выполняется 8>7 и 2−3·8≤0. При х=1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1>7. Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Определение 3

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х=1 и у=2 будет решением неравенства x+y<7x-y<0, потому как выражения 1+2<7 и 1−2<0 верны. Если подставить числовую пару (3, 5, 3), тогда система не даст значения переменных и неравенство  будет неверным 3,5−3<0.

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное.  Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Урок 28. системы неравенств с двумя переменными — Алгебра — 9 класс


Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными.
y – x>5,
x² – 1>y
Пара чисел 6 и 12 являются решением данной системы, так как при подстановке этих значений вместо переменных получаются верные числовые неравенства.
Сделаем вывод: пара чисел, которая является общим решением всех неравенств системы, называется решением системы неравенств с двумя переменными, а множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
Рассмотрим пример. Выясним, какое множество точек задает на координатной плоскости данная система.
x² + y² ≤16
x – y ≤ 4
Для этого изобразим соответствующие графики функций на одной координатной плоскости. Графиком первой функции будет являться окружность с центром в точке начала отсчета и радиусом 4, а второй – прямая.
Множеством решений первого неравенства изначальной системы будет область внутри круга, включая точки окружности, а решением второго неравенства, полуплоскость, которая находится ниже прямой, включая все точки прямой.
Итак, множество точек, которые являются решением данной системы неравенств является часть плоскости, отмеченная на рисунке двойной штриховкой.
Рассмотрим еще один пример.
y>x² + 3
x² + y²<25
Множеством точек, задаваемым первым неравенством, является часть плоскость, расположенная выше параболы игрик равен икс в квадрате плюс три.
А второе неравенство задает множество точек, расположенных внутри круга с центром в точек нуль нуль и радусом 5.
Пересечение этих множеств является решением данной системы неравенств.


Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

, откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

Решение:

,

следовательно, координаты точки B: .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0), B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0):

,

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

,

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC. Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC, является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE.

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.

Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый многогранник или выпуклое множество точек.

Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено выпуклое множество, а справа — невыпуклое.

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество.

Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок, для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству. Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.

Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Система неравенств | Блестящая вики по математике и науке

Решение системы неравенств по двум переменным часто отображается в виде заштрихованного графика на координатной плоскости. Заштрихованные области показывают области, содержащие точки в решении. Если линия сплошная, то точки на ней содержатся в растворе. Если линия пунктирна, то точки на этой линии не содержатся в решении, но любая смежная заштрихованная область действительно содержит точки в решении.

{y≤2x + 3y> −13x − 1 \ begin {cases} у \ ле 2х + 3 \\ у> — \ frac {1} {3} х-1 \ end {case} {y≤2x + 3y> −31 x − 1

Заштрихованная область — это пересечение неравенств.Каждая точка в заштрихованной области и на сплошном луче является частью решения. Пунктирные линии и лучи не являются частью решения.

Следующий процесс работает путем выделения переменной yyy в каждом неравенстве. Поскольку большие значения yyy находятся выше в координатной плоскости, символ >>> или ≥ \ ge≥ означает, что решение существует над линией неравенства. Точно так же символ <<< или ≤ \ le≤ означает, что решение существует ниже строки неравенства.

Построение графиков линейных систем неравенств: метод затенения с пересечением наклона

• Представьте каждое неравенство в форме пересечения наклона.

• Постройте линию, ограничивающую каждое неравенство. Если символ ≤ \ le≤ или ≥, \ ge, ≥, тогда линия должна быть сплошной, чтобы показать, что точки на линии включены в решение. Если символ <, <, <,>,>,> или ≠, \ ne,  =, то линия должна быть пунктирной, чтобы показать, что точки на линии не включены в решение.

• Для каждого неравенства, если символ ≥ \ ge≥ или>,>,>, затем закройте линию над линией. Если символ ≤ \ le≤ или <, <, <, затем закройте линию под линией. Если символ ≠, \ ne,  =, заштрихуйте обе стороны линии.

• Если система представляет собой объединение , то ваш график завершен. Если система представляет собой перекресток , то в решении будут только области, которые являются частью всех неравенств. Вы должны стереть все тени, линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график объединения неравенств

г> 3x∪y <2x. \ Begin {array} {ccc} у> 3x & \ чашка & y <2x. \ end {array} y> 3x ∪ y <2x.

---

Начните с построения графика линии каждого неравенства. Это символы >>> и <, <, <, поэтому линии должны быть пунктирными.

Первое неравенство имеет y> 3x, y> 3x, y> 3x, поэтому штриховка должна быть выше линии.

Во втором неравенстве y <2x, y <2x, y <2x, поэтому штриховка должна быть ниже линии.

Поскольку эта система является объединением, все заштрихованные части являются частью неравенства. Для наглядности каждая заштрихованная область должна быть одного цвета, а пунктирные линии в заштрихованной области должны быть сплошными, чтобы указать, что они являются частью раствора.

Каждая точка в заштрихованной области имеет либо y> 3xy> 3xy> 3x, либо y <2x.у <2x.y <2x. □ _ \ квадрат □

Латоя управляет фабрикой по производству мебели, готовой к сборке. Она планирует, как выделить ресурсы на оборудование для производства столов. Машина A \ text {A} A может производить 6 рабочих столов в час и стоит 100 долларов за каждый час работы. Машина B \ text {B} B может производить 10 рабочих столов в час и стоит 200 долларов за каждый час работы. У Латоя есть рабочие, которые могут работать на машинах до 50 часов на этой неделе, и она выделила 8000 долларов из своего бюджета на работу этих машин.Составьте график, показывающий, как она может распределять ресурсы для производства столов.

---

Пусть aaa будет количеством часов, которое работает машина A \ text {A} A, и пусть B \ text {B} B будет количеством часов, которые работает машина B \ text {B} B. Можно написать систему неравенств, описывающую ограничения на использование этих машин.

Во-первых, опишите, как машины ограничены временем:

a + b≤50.a + b \ le 50.a + b≤50.

Затем опишите, как машины ограничены стоимостью:

100a + 200b≤8000a + 2b≤80.\ begin {выровнено} 100а + 200б \ ле 8000 \ а + 2b & \ le 80. \ end {align} 100a + 200ba + 2b ≤8000≤80.

Кроме того, машины не могут работать менее 0 часов:

a≥0b≥0. \ Begin {выравнивается} a & \ ge 0 \\ b & \ ge 0. \ end {выравнивается} ab ≥0≥0.

Пусть aaa отображается на оси xxx, а bbb — на оси yyy. Решение относительно bbb в каждом неравенстве, кроме a≥0a \ ge 0a≥0, дает системе

{b≤ − a + 50b≤ − 12a + 40a≥0b≥0. \ Begin {cases} б \ ле -а + 50 \\ б \ le — \ frac {1} {2} а + 40 \\ а \ ge 0 \\ б \ гэ 0.\ end {ases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ b≤ − a + 50b≤ − 21 a + 40a≥0b≥0.

Постройте график каждой из линий.

Поскольку в первом неравенстве есть символ <<<, заштрихуйте под линией.

Примените тот же принцип, чтобы затенить все остальные неравенства. Неравенство a≥0a \ ge 0a≥0 заштриховано справа, потому что более высокие значения aaa существуют дальше прямо на графике.

Это оставляет заштрихованным весь график.Однако эта система представляет собой перекресток , поскольку все неравенства должны быть удовлетворены. Следовательно, все штриховки, которых нет в , все неравенства должны быть удалены.

Оставшаяся заштрихованная область — это решение системы неравенств. Любая заказанная пара в этом решении дала бы Латойе реальный способ спланировать использование своего оборудования. Вы могли заметить, что количество изготовленных столов не было включено в этот анализ.Если цель состоит в разработке оптимального способа производства столов , то необходимо использовать линейное программирование. □ _ \ квадрат □

Следующий процесс работает, потому что линии каждого неравенства разделяют координатную плоскость на области. Если точка в координатной плоскости удовлетворяет системе, то все точки в той же области, что и эта точка, также будут удовлетворять системе.

Решение линейных систем неравенств: метод контрольных точек

• Постройте линию для каждого неравенства.Следуйте тем же правилам для пунктирных и сплошных линий, что и раньше.

• Для каждой области, разделяемой линиями, выберите точку в этой области. Проверьте точку, подставляя значения xxx и yyy в каждое неравенство.

• Если система представляет собой объединение , то контрольная точка должна удовлетворять только одному из неравенств. Если система представляет собой перекресток , то она должна удовлетворять всем неравенствам. Если контрольная точка соответствует системе, закрасьте область, в которой находится контрольная точка.

• Сотрите все линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график решения следующей системы неравенств

{2x + 3y≤4x − 4y> 2. \ Begin {cases} \ begin {выровнены} 2х + 3у & \ ле 4 \\ х-4у &> 2. \ end {align} \ end {case} {2x + 3yx − 4y ≤4> 2.

Обратите внимание, что эта система представляет собой перекресток . Сначала нарисуйте линию для каждого неравенства. Первое неравенство должно быть сплошной линией, а второе неравенство — пунктирной линией.Эти линии делят график на 4 области.

Выберите точку в каждом регионе и проверьте ее на неравенства:

1: (0,0) {2 (0) +3 (0) ≤4 ✓0−4 (0)> 2×2: (2,1) {2 (2) +3 (1) ≤4×2−4 ( 1)> 2×3: (3,0) {2 (3) +3 (0) ≤4×3−4 (0)> 2 ✓4: (2, −1) {2 (2) +3 (−1) ≤ 4 ✓ 2−4 (−1)> 2 ✓ \ begin {array} {ccl} \ boxed {1}: & (0,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (0) +3 (0) & \ le 4 & \ checkmark \\ 0-4 (0) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {2}: & (2,1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (1) & \ le 4 & \ text {x} \\ 2-4 (1) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {3}: & (3,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (3) +3 (0) & \ le 4 & \ text {x} \\ 3-4 (0) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {4}: & (2, -1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (-1) & \ le 4 & \ checkmark \\ 2-4 ( -1) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case} \ end {array} 1: 2: 3: 4: (0,0) (2,1) (3,0) (2, −1) {2 (0) +3 (0) 0−4 (0) ≤4> 2 ✓x {2 (2) +3 (1) 2−4 (1) ≤4> 2 xx {2 (3) +3 (0 ) 3−4 (0) ≤4> 2 x ✓ {2 (2) +3 (−1) 2−4 (−1) ≤4> 2 ✓ ✓

Единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это точка в области 4.Заштрихуйте эту область и удалите все сплошные лучи, которых нет в этой области.

□ _ \ квадрат □

Круг> Прямоугольник> Треугольник Прямоугольник> Треугольник> Круг Треугольник> Прямоугольник> Круг Прямоугольник> Круг> Треугольник Круг> Треугольник> Прямоугольник Треугольник> Круг> Прямоугольник

Выше показано, как мобильный телефон будет сбалансирован, если его оставить висеть.Предположим, что точка опоры находится в центре каждого стержня.

Каков относительный вес этих фигур?

Система линейных неравенств — объяснение и примеры

Прежде чем решать системы линейных неравенств , давайте посмотрим, что означает неравенство. Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.

В основном, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Это меньше (<), больше (>), меньше или равно (≤), больше или равно (≥) и символ «не равно» (≠). Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Что такое система линейного неравенства?

Система линейных неравенств — это система уравнений линейных неравенств, содержащих одинаковые переменные.

Несколько методов решения систем линейных уравнений переводятся в систему линейных неравенств.Однако решение системы линейных неравенств несколько отличается от линейных уравнений, потому что знаки неравенства мешают нам решить с помощью метода замены или исключения. Возможно, лучший метод решения систем линейных неравенств — это графическое отображение неравенств.

Как решать системы линейных неравенств?

Ранее вы научились решать простое линейное неравенство с помощью построения графиков. В этой статье мы узнаем, как найти решения для системы линейных неравенств путем одновременного построения графиков двух или более линейных неравенств.

Решением системы линейных неравенств является область, в которой пересекаются графики всех линейных неравенств в системе.

Чтобы решить систему неравенств, изобразите каждое линейное неравенство в системе на одной оси x-y, выполнив следующие шаги: :

• Выделите переменную y в каждом линейном неравенстве.
• Нарисуйте и заштрихуйте область над линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов> и ≥ соответственно.
• Аналогичным образом нарисуйте и закрасьте область под линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов <и ≤ соответственно.
• Закрасьте область, где все уравнения перекрываются или пересекаются. Если нет области пересечения, то делаем вывод, что система неравенств не имеет решения.

Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы понять эти шаги.

Пример 1

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

y ≤ x — 1 и y <–2x + 1

Раствор

Изобразите первое неравенство y ≤ x — 1.

• Из-за символа «меньше или равно» мы нарисуем сплошную границу и сделаем штриховку под линией.
• Также изобразите второе неравенство y <–2x + 1 на той же оси x-y.
• В этом случае наша граница будет пунктирной или пунктирной из-за символа «меньше». Заштрихуйте область ниже границы.

Следовательно, решением этой системы неравенств является более темная заштрихованная область, продолжающаяся вечно в направлении вниз, как показано ниже.

Пример 2

Решите следующую систему неравенств:

х — 5y ≥ 6

3x + 2y> 1

Раствор

• Сначала выделите переменную y слева в каждом неравенстве.

Для x — 5y ≥ 6;

=> х ≥ 6 + 5у

=> 5y ≤ x — 6

=> y ≤ 0,2 x — 1,2

А для 3х + 2у> 1;

=> 2y> 1 — 3x

=> у> 0.5 — 1,5x

• Построим график y ≤ 2 x — 1,2 и y> 0,5 — 1,5x, используя сплошную и ломаную линии соответственно.

Решение системы неравенства — более темная заштрихованная область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения.

Пример 3

Изобразите следующую систему линейных неравенств.

у ≤ (1/2) х + 1,

г ≥ 2x — 2,

у ≥ — (1/2) х — 3.

Раствор

Эта система неравенств состоит из трех уравнений, которые связаны символом «равно». Это говорит нам о том, что все границы будут прочными. График трех неравенств показан ниже.

Заштрихованная область трех уравнений перекрывается прямо в средней части. Следовательно, решения системы лежат в ограниченной области, как показано на графике.

Пример 4

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

x + 2y <2, y> –1,

x ≥ –3.

Раствор

Выделите переменную y в первом неравенстве, которое нужно получить;

y <- x / 2 +1 Обратите внимание, что неравенства y> –1 и x ≥ –3 будут иметь горизонтальные и вертикальные граничные линии соответственно. Давайте изобразим три неравенства, как показано ниже.

Более темная заштрихованная область, ограниченная двумя сегментами пунктирной линии и одним сегментом сплошной линии, дает три неравенства.

Пример 5

Решите следующую систему линейных неравенств:

–2x -y <-1

4x + 2y ≤-6

Раствор

Выделите переменную y в каждом неравенстве.

–2x -y <-1 => y> –2x + 1

4x + 2y ≤ -6 => y ≤ -2x -3

Давайте продолжим и построим график y> –2x + 1 и y ≤ -2x -3:

Поскольку заштрихованные области двух неравенств не пересекаются, мы можем сделать вывод, что система неравенств не имеет решения.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Графические системы линейных неравенств

Чтобы построить линейный неравенство в двух переменных (скажем, Икс а также у ), сначала получите у один на одной стороне.Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.

Если неравенство строгое ( < или же > ), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое ( ≤ или же ≥ ), начертите сплошной линией.

Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке ( ( 0 , 0 ) обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет.Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.

Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение система неравенства — область пересечения всех решений в системе.

Пример 1:

Решите систему неравенств, построив графики:

у ≤ Икс — 2 у > — 3 Икс + 5

Сначала изобразим неравенство у ≤ Икс — 2 .Связанное уравнение у знак равно Икс — 2 .

Поскольку неравенство ≤ , не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство у ≤ Икс — 2 .

0 ≤ 0 — 2 0 ≤ — 2

Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте нижнюю половину линии.

Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства у > — 3 Икс + 5 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.

Пример 2:

Решите систему неравенств, построив графики:

2 Икс + 3 у ≥ 12 8 Икс — 4 у > 1 Икс < 4

Перепишем первые два неравенства с у один на одной стороне.

3 у ≥ — 2 Икс + 12 у ≥ — 2 3 Икс + 4 — 4 у > — 8 Икс + 1 у < 2 Икс - 1 4

Теперь изобразим неравенство у ≥ — 2 3 Икс + 4 .Связанное уравнение у знак равно — 2 3 Икс + 4 .

Поскольку неравенство ≥ , не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство.

0 ≥ — 2 3 ( 0 ) + 4 0 ≥ 4

Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте верхнюю половину линии.

Аналогичным образом проведем пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства у < 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Нарисуйте пунктирную вертикальную линию Икс знак равно 4 которое является родственным уравнением третьего неравенства.

Здесь точка ( 0 , 0 ) удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.

Системы линейных неравенств

Системы линейных неравенств (стр. 1 из 2) Как только вы научитесь построить линейный график неравенство, вы можно перейти к решению систем линейных неравенств. А «система» линейные неравенства — это набор линейных неравенств, с которыми вы имеете дело все вместе. Обычно вы начинаете с двух или трех линейных неравенств. Методика решения этих систем довольно проста. Вот пример. Решите следующие проблемы система: Так же, как и при решении одиночных линейных неравенств, обычно лучше всего решать как можно больше возможные неравенства для « y » на одной стороне.Решая первые два неравенства, я переставляю система: «Решающие» системы линейных неравенств означает «графическое отображение каждого отдельного неравенства, а затем нахожу совпадения различных решений «. Итак, я рисую каждое неравенство, а затем найти перекрывающиеся части решения регионы. Линия для первое неравенство в вышеприведенной системе, y > ( 2 / 3 ) x 4, выглядит так: Это неравенство неравенство «больше, чем», поэтому я хочу заштриховать над линией.Тем не мение. поскольку будет более одного неравенства на этом графике я не знаю (пока), сколько из этой верхней стороны Мне действительно понадобится. Пока я не узнаю, я могу отслеживать Дело в том, что я хочу, чтобы верхняя область нарисовала небольшую «бахрому» вдоль верхней стороны линии, например: Теперь я построю график линия для второго неравенства выше, y < ( 1 / 5 ) x + 4: …и с тех пор это неравенство «меньше», я нарисую бахрому по низу строки: Последнее неравенство обычное ограничение «реальной жизни»: разрешить только х быть позитивным.Линия « x = 0 » это просто ось y , и я хочу правую сторону. Мне нужно не забыть разбить в строке, потому что это не неравенство «или равно», поэтому граница (линия) не включена в решение: «Решение» системы — это регион, где устраивают все неравенства; то есть решение там, где работают все неравенства, область, в которой перекрываются все три отдельные области решения.В данном случае решением является заштрихованная часть посередине: Верх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >> Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«Системы линейных неравенств». Пурпурная Математика . Имеется в наличии из https://www.purplemath.com/modules/syslneq.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Решение систем неравенств — Бесплатная математическая справка

Сначала нам нужно рассмотреть символы неравенства:

• Символ <означает меньше чем.
• Символ> означает больше чем.
• Символ \ (\ leq \) означает меньше или равно. Обычно на компьютерах это пишется как <=, потому что это легче вводить.
• Символ \ (\ geq \) означает больше или равно. Иногда на компьютерах это пишется как> =, потому что так легче набирать.

Существует бесконечное множество решений для неравенства. В свете этого факта может быть проще всего найти набор решений для неравенств, решив систему графически.

Как решить системы неравенств графически

1) Запишите неравенство в форме пересечения наклона или в форме \ (y = mx + b \).

Например, если вас попросят решить \ (x + y \ leq 10 \), мы сначала перепишем как \ (y \ leq -x + 10 \).

2) Временно замените данный символ неравенства (в данном случае \ (\ leq \)) на просто равный символ. При этом вы можете рассматривать неравенство как уравнение. НО НЕ забудьте заменить символ равенства на исходный символ неравенства в КОНЕЦ задачи!

Итак, \ (y \ leq -x + 10 \) на данный момент становится \ (y = -x + 10 \).

3) Изобразите линию, найденную на шаге 2. Это сформирует «границу» неравенства — с одной стороны линии условие будет истинным, с другой — нет. Посмотрите, как построить линию здесь.

4) Вернемся к найденному ранее неравенству как \ (y \ leq -x + 10 \). Обратите внимание, что это верно, когда y меньше или равно. На шаге 3 мы построили линию (случай равенства), поэтому теперь нам нужно учесть случай «меньше чем». Поскольку y меньше определенного значения в нижней части оси, мы закрасим область под линией, чтобы указать, что неравенство верно для всех точек ниже линии:

5) Проверить.Вставьте точку не на линии, например (0,0). Убедитесь, что неравенство выполнено. В данном случае это означает \ (0 \ leq -0 + 10 \), что явно верно. Мы заштриховали правильную сторону линии.

Пример:

Найдите все значения x и y, которые удовлетворяют: \ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \).

Обратите внимание, что это неравенство уже имеет форму пересечения наклона. Я заменю данный символ неравенства на символ равенства для построения линии.

\ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \) становится \ (y = \ frac {-3} {2} x + 6 \).Теперь постройте эту линию, как показано:

Поскольку это случай, когда неравенство верно для значений y, которые больше или равны чему-то, мы закрасили область над линией. Все точки на этой линии графика или ВЫШЕ будут удовлетворять нашему неравенству. Опять же, выберите любую точку над линией графика, чтобы убедиться, что она удовлетворяет или раскрывает ИСТИННОЕ утверждение с точки зрения исходного неравенства. Например, (5,3). Подключите это, и у нас будет \ (3 \ geq \ frac {-3} {2} * 5 + 6 \). Упростив его до \ (3 \ geq -1.5 \), мы увидим, что неравенство верно в точке (5,3).Поскольку эта точка находилась над нашей линией, она должна быть заштрихована, что подтверждает наше решение.

Множественные неравенства — система неравенств

Система неравенств содержит более одного утверждения неравенства, которое должно быть выполнено. Графически это означает, что нам нужно сделать то, что мы только что сделали — построить линию, представленную каждым неравенством, — а затем найти область графика, которая верна для ОБОИХ неравенств. Для двух приведенных выше примеров мы можем объединить оба графика и построить площадь, разделяемую двумя неравенствами.

Какой набор решений? Набор решений для ОБЕИХ неравенств будет ЛЮБОЙ ТОЧКОЙ, где ОБЕИ области закрашены вместе или где встречаются ОБЕ заштрихованные области.

Первоначально принадлежит г-ну Фелизу, © 2005

Решение систем линейных неравенств

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями.Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы.

Ключевые термины

o Система линейных неравенств

o Линейная оптимизация

o Линейное программирование

Цели

o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств

o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств — использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях.

2 x -5 y ≤ 3

y — 3 900 10 x ≤ 1

Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически.

2 x — 5 y ≤ 3 y — 3 x ≤ 1

2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 x + 1

5 y ≥ 2 x — 3

y ≥ 0.4 х — 0,6

Теперь построим график этих неравенств.

На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии закрашены, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как

0,4 x — 0,6 ≤ y ≤ 3 900 10 x + 1

Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее — построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее.

Практическая задача: Найдите и изобразите на графике множество решений следующей системы неравенств:

x -5 y ≥ 6

3 x + 2 y > 1

Решение : Сначала решим выражения для y .

x -5 y ≥ 6 3 900 10 x + 2 y > 1

x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 900 10 x

5 y ≤ x — 6 y > 0,5 — 1,5 x

y ≤ 0,2 900 10 x — 1,2

Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом:

0.5 — 1,5 x < y ≤ 0,2 x — 1,2

Построим график набора решений. Сначала мы нанесем на график линии, соответствующие двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную для второго), а затем соответствующим образом закрасим две области.

Решение — это более темная заштрихованная область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного яснее.

Линейная оптимизация

Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс поиска максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче.

Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0.

Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. Затем в этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить.

–3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0

2 y ≤ 3 900 10 x + 4 y ≤ 1 — 900 10 x

y ≤ 1,5 x + 2

Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае.

Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.)

Графики линейных неравенств

Это график линейного неравенства:


Неравенство y ≤ x + 2

Вы можете увидеть линию y = x + 2, а заштрихованная область — это место, где y меньше или равно x + 2

Линейное неравенство

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение (например, y = 2x + 1 )…

… но у него будет неравенство типа <,>, ≤ или ≥ вместо = .

Как построить график линейного неравенства

Сначала нарисуйте линию «равно», затем заштрихуйте нужную область.

Есть три шага:

• Переставьте уравнение так, чтобы «y» находилось слева, а все остальное — справа.
• Постройте линию « y = » (сделайте ее сплошной линией для y≤ или y≥ и пунктирной линией для y < или y> )
• Затенение над линией для «больше чем» ( y> или y≥ )
  или ниже линии для «меньше чем» ( y < или y≤ ).

Давайте попробуем несколько примеров:

Пример: y≤2x-1

1. Неравенство уже имеет «y» слева и все остальное справа, поэтому нет необходимости переставлять

2. График y = 2x-1 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

3. Закрасьте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

Пример: 2y — x ≤ 6

1.Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

Начать с: 2y — x ≤ 6

Добавьте x к обеим сторонам: 2y ≤ x + 6

Разделить все на 2: y ≤ x / 2 + 3

2. Теперь постройте y = x / 2 + 3 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

3. Закрасьте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

Пример: y / 2 + 2> x

1.Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

Начать с: y / 2 + 2> x

Вычтем 2 с обеих сторон: y / 2> x — 2

Умножить все на 2: y> 2x — 4

2. Теперь постройте y = 2x — 4 (пунктирной линией, потому что y> не включает равно)

3. Закрасьте область выше (поскольку y на больше )

Пунктирная линия показывает, что неравенство не включает линию y = 2x-4 .

Два особых случая

У вас также может быть горизонтальная или вертикальная линия:

Здесь показано, где y меньше 4 (от линии y = 4 вниз, но не включая ее) Обратите внимание, что у нас есть пунктирная линия, чтобы показать, что она не включает где y = 4	В этом даже нет y! Он имеет линию x = 1 и закрашен для всех значений x, превышающих (или равных) 1

.