Решение заданий по математике огэ – задания, ответы, решения. Обучающая система «РЕШУ ЕГЭ» Дмитрия Гущина.

Содержание

Разбор и решение задания №6 ОГЭ по математике


Уравнения, неравенства и их системы


задание 4 ОГЭ по математикеВ шестом задании модуля алгебра ОГЭ по математике нам предлагают решить уравнения. Это могут быть как линейные уравнения, которые решаются переносом всех известных членов в одну сторону, а неизвестных (x) в другую, так и квадратные уравнения, которые в свою очередь могут быть полными и неполными.

Судя по материалам ОГЭ и практике проведения экзамена, наиболее вероятным заданием может быть решение линейного или квадратного уравнения. Тем не менее мы рассмотрим задания по всей этой тематике. Сложность заданий как всегда возрастает от задания к заданию.

Ответом в задании №6 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №6


Ниже я привел теорию по решениям линейных и квадратных уравнений:

Схема решения, правила и алгоритм действий при решении линейного уравнения:

решение линейного уравнения

Схема решения, правила и порядок действий при решении квадратного уравнения:

решение квадратного уравнения

В трех типовых вариантах я разобрал данные случаи - в первом варианте вы найдете подробные указания по решению линейных уравнений, во втором разобран пример решения неполного квадратного уравнения, а в третьем - решение полного квадратного уравнения с вычислением дискриминанта.


Разбор типовых вариантов задания №6 ОГЭ по математике


Первый вариант задания (линейные уравнения)

Найдите корень уравнения:

10 ( x — 9 ) = 7

Решение:

Данное уравнение представляет собой обыкновенное уравнение первой степени и решается переносом всех известных частей в правую часть, оставив x слева.

Для начала следует раскрыть скобки: 10x - 90 = 7

Затем переносим 90 в правую часть (не забываем поменять знак):

10x = 7 + 90

10x = 97

Затем делим обе части на 10:

x = 9,7

Ответ: 9,7


Второй вариант задания (неполные квадратные уравнения)

Решите уравнение:

3 x² + 12 x = 0

Решение:

Это неполное квадратное уравнение, в котором не обязательно вычислять дискриминант, а достаточно вынести x за скобку:

x ( 3 x + 12 ) = 0

Произведение множителей тогда равно нулю, когда один из множителей равен нолю:

x = 0

или

3 x + 12 = 0

3 x = -12

x = -4

Так как в ответе просят указать наименьший корень, то это -4.

Ответ: -4


Третий вариант задания (квадратные уравнения)

Решите уравнение:

8 x² — 10x + 2 = 0

Решение:

Уравнение является полным квадратным уравнением, поэтому классическим вариантом решения является вычисление дискриминанта. Но в данном случае можно заметить, что все множители кратны двум, поэтому можно все уравнение разделить на 2 для удобства вычисления:

4 x² — 5x + 1 = 0

Далее вычисляем дискриминант:

D = b² — 4ac

D = 5² — 4 •4•1 = 9

Вычисляем корни:

x = (- b — √D) / 2a = (5 — 3 )/ 2 •4 = 0,25

x = (- b + √D) / 2a = (5 + 3 )/ 2 •4 = 1

Так как нам нужно выбрать меньший из корней по условию, то выбираем 0,25

Ответ: 0,25


Четвертый вариант задания (демонстрационный вариант ОГЭ 2017)

Решите уравнение:

7х — 9 = 40

Решение:

В данной задаче нам предстоит решить линейное уравнение. Подход к решению таких уравнений достаточно простой - всё, что известно переносим в правую часть, всё, что неизвестно - оставляем в левой. Далее выполняем необходимое арифметическое действие.

Решение:

7х - 9 = 40

Переносим 9 в правую часть (не забываем про смену знака):

7х = 40 + 9, что эквивалентно

7х = 49

х в нашем случае - это неизвестный множитель, следовательно, чтобы его найти, делим произведение на известный множитель:

х = 49/7, откуда

х = 7

Ответ: 7


Пятый вариант задания (рациональные уравнения)

Найдите корень уравнения:

решение квадратного уравнения

Решение:

Прежде всего, исключим корень, который не входит в ОДЗ:

x+6≠0  → х≠–6

Далее решаем уравнение.

Представляем число 2 в уравнении справа в виде дроби 2/1. Уравнение получает вид пропорции:

решение квадратного уравнения

Применим правило пропорции. Перемножим между собой крайние ее члены и средние:

1·1=(х+6)·2

Выполним умножение в левой части уравнения и раскроем скобки справа:

1=2х+12

Поменяем местами левую и правую части уравнения, чтобы оно приняло привычный вид:

2х+12=1

Переносим 12 из левой части в правую:

2х=1–12

2х=–11

Находим корень:

х=–11/2=–5,5

ОДЗ это значение не исключает, поэтому оно является искомым результатом.

Ответ: –5,5


Шестой вариант задания(рациональные уравнения)

Найдите корень уравнения:

решение квадратного уравнения

Решение:

Обе части уравнения приводим к единому знаменателю 12:

решение квадратного уравнения

Т.к. знаменатели в левой и правой частях уравнения одинаковы, не равны нулю и не содержат переменных, то их можно сократить (т.е. ими можно пренебречь). Тогда получаем:

11х=44

х=44:11

х=4

Ответ: 4

Разбор и решение задания №3 ОГЭ по математике


Числовые неравенства, координатная прямая


задание 2 ОГЭ по математикеТретье задание ОГЭ по математике проверяет знания в области представления чисел, положение одних чисел относительно других. Задания могут сводится к переводу одного формата чисел в другой, например перевод обыкновенной дроби в десятичную, приблизительное вычисление корня или определение знака выражения, если известно положение на координатной прямой.


Теория к заданию №3


Для того, чтобы переводить дроби из обыкновенного вида в десятичный, необходимо выполнить деление столбиком.

Для успешного вычисления примерного значения корня достаточно иметь представления о вычисляемых подкоренных выражениях, а для этого необходимо хорошо знать

таблицу квадратов натуральных чисел!

Таблица квадратов натуральных чисел

таблица квадратов натуральных чисел

В заданиях на определение знака выражения я рекомендую подставлять числа и вычислять выражение - подробная инструкция по этому методу изложена в третьем варианте.


Разбор типовых вариантов задания №3 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Какое из следующих чисел заключено между числами 8 / 3 и 11 / 4 ?

  1. 2,7
  2. 2,8
  3. 2,9
  4. 3
Решение:

В задании данного типа необходимо выполнить деление 8 на 3 и 11 на 4, то есть перевести дробь из обыкновенного вида в десятичный. Сами дроби могут не иметь представления в десятичном виде, однако в нашем случае достаточно выполнить деление но второго знака после запятой, так как в ответе приведены числа до первого знака после запятой. Итак, выполняем деление:

2-12-2

Получаем значения 2,666.. или 2,(6) и 2,75. Смотрим на варианты ответов и выбираем, соответственно, первый, так как 2,7 находится между 2,(6) и 2,75.

Ответ: 1 (2,7)


Второй вариант задания

Какое из данных чисел принадлежит промежутку [ 6 ; 7 ] ?

  1. √6
  2. √7
  3. √38
  4. √50
Решение:

Для решения этого задания достаточно представлять себе значения чисел меньше и больше заданного, корни которых подлежат вычислению.

  • Рассмотрим √6. √4 — это 2, √9 — это 3, значит √6 лежит в промежутке между 2 и 3
  • Рассмотрим √7. Ситуация аналогична √6. √4 — это 2, √9 — это 3, значит √6 лежит в промежутке между 2 и 3
  • Рассмотрим √38. Ближайшее вычисляемое число меньше 38 — 36, √36 = 6, ближайшее вычисляемое число больше 38 — 49, √49 = 7, значит √38 лежит между 6 и 7
  • Рассмотрим √50. Ближайшее вычисляемое число меньше 50 — 49, √49 = 7, ближайшее вычисляемое число больше 50 — 64, √64 = 8, значит √50 лежит между 7 и 8

Значит, нам подходит третий вариант ответа —  √38.

Ответ: 3


Третий вариант задания

На координатной прямо отмечены числа a и b:

2-3

Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:

  1. ab²<0
  2. a — b > 0
  3. a + b < 0
  4. ab < 0
Решение:

Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b < 0, так как расположено слева. К тому же, b значительно более удалено от ноля, а значит больше по модулю.

Для удобства, исходя из вышеизложенных рассуждений, примем a = 1, а b = -2.

Теперь подставим значения в данные неравенства:

1 • (-2)² = 4 > 0

Значит, утверждение неверно.

1 — (-2) = 3  > 0

Утверждение верно.

1 + (-2) = -1 < 0

Утверждение верно.

1 • (-2) = -2 < 0

Утверждение верно.

Следовательно, правильный ответ первый.

Ответ: 1


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

На координатной прямой отмечена точка А:

2oge

Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка А?

  1. 181/16
  2. √37
  3. 0,6
  4. 4
Решение:

Подход к решению в данной задаче сводится к визуальной оценки имеющихся вариантов на координатной прямой, для этого необходимо предварительно перевести варианты ответов к примерному десятичному виду.

Оцениваем 181/16 - можно поделить 181 на 16, тогда получим 11,3125. Это явно выходит за указанный диапазон, поэтому данный вариант нам не подходит.

Оцениваем √37 - самое близкое значение, из которого вычисляется квадратный корень - это 36, значит  √37 - это 6 и что-то еще, что вычислять нам не обязательно. Данное значение нам подходит, так как лежит чуть правее середины отрезка 0-10, как и точка А.

Посмотрим на вариант 0,6 - это явно меньше единицы, а точка А, как мы уже выяснили, лежит в диапазоне 5-10. Данный вариант нам не подойдет.

Вариант с ответом 4 также не подойдет по вышеуказанной причине.

Ответ: 2


Четвертый вариант задания

Одно из чисел 2oge отмечено на прямой точкой.

2oge

Какое это число?

2oge

Решение:

Точка, обозначенная на прямой, лежит между 2 и 3. Т.е. соответствующее ей число больше 1. Это значит, что дробь, которая соответствует этой точке, должна быть неправильной. Но все приведенные в условии дроби неправильные. Чтобы понять, какая из них находится именно на промежутке (2; 3), необходимо выделить их целые части. Та из дробей, у которой целая часть окажется равной 2, и есть искомый результат.

Итак, выделяем целые части:

2oge

Целую часть, равную 2, имеют две дроби – 1-я и 4-я. Но посмотрим внимательно на прямую. Обозначенная на ней точка находится близко к делению 3. Проанализируем в этом контексте подходящие нам дроби. У первой недостает всего 2/11, чтобы она стала равной 3, между тем как четвертая лишь на 2/11 удалена от деления 2. Следовательно, правильным ответом в данном случае является дробь 31/11. Она соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 2


Пятый вариант задания

На координатной прямой точки А, В, С и D соответствуют числам -0,201; -0,012; -0,304; 0,021.

2oge

Какой точке соответствует число -0,304?

1) А                    2) В                    3) С                    4) D

Решение:

Сформируем из чисел ряд от наименьшего из них до наибольшего. Для этого сначала разделим их на положительные и отрицательные. И сразу получим наибольшее в ряду (поскольку оно единственное больше нуля): 0,021.

Три оставшихся отрицательных распределим по их модулям. Известно, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Тогда получаем, что –0,304<–0,201<–0,012.

В итоге имеем возрастающий ряд: –0,304; –0,201; –0,012; 0,021.

Поскольку стрелка положительного направления на координатной прямой направлена вправо, то А<B<C<D. Следовательно, А=–0,304; В=–0,201; С=–0,012; D=0,021. Значит, числу –0,304 соответствует точка А.

Ответ: 1

Разбор и решение задания №20 ОГЭ по математике


Анализ геометрических высказываний


В 20 задании из приведенных утверждений необходимо выбрать одно или несколько правильных. Утверждения из общего теоретического курса геометрии, поэтому, какие-то определенные рекомендации здесь дать нельзя, кроме как полного повторения теоретического курса. Другое дело, что если вы точно не знаете какое-либо утверждение, то решить задачу можно наоборот - выбирая и отсеивая неправильные. Это задание не имеет какого либо подхода к решению, однако ниже я привел несколько разобранных задач.


Разбор типовых вариантов задания №20 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Все диаметры окружности равны между собой.
  2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
  3. Любые два равносторонних треугольника подобны.
Решение:

Все диаметры окружности всегда равны между собой - это даже интуитивно понятно. Что касается второго утверждения, то оно неверно - вписанный угол всегда в два раза меньше центрального. А вот третье утверждение тоже верно - треугольники могут быть подобны по трем углам, а у равносторонних треугольников они всегда равны.

Ответ: 1,3.


Второй вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Все высоты равностороннего треугольники равны.
  2. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
  3. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
Решение:

Первое утверждение верно, так как у равностороннего треугольника все стороны равнозначны, а значит и все элементы, проведенные к ним, тоже. Второе утверждение тоже верно, так как нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку. Третье утверждение неверно - если диагонали равны, то это либо прямоугольник, либо квадрат.

Ответ: 1,2.


Третий вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
  2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
  3. Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
Решение:

Первое утверждение верно из общих свойств треугольника - сумма двух сторон всегда больше третьей. Второе утверждение тоже верно - действительно, любой прямоугольник можно вписать в окружность. Третье утверждение неверно, так как я писал уже чуть выше, что нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку.


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Укажите номера верных утверждений.

  1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
  2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
  3. Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
  4. В любом параллелограмме диагонали равны.
Решение:

Проанализируем каждое из утверждений:

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Да, такое утверждение в геометрии есть, с дополнением " и только одну" :

"Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и причем только одну."

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Для существования треугольника должно выполняться следующее правило:

Сумма двух сторон всегда больше третьей. В данном случае это не так, так как 1 + 2 < 4

3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.

Действительно, ромб - параллелограмм с равными сторонами, если у него один из углов будет равен 90°, а значит и все остальные, то тогда он станет квадратом.

4) В любом параллелограмме диагонали равны.

Нет, такого утверждения в геометрии нет, они равны только в квадрате и прямоугольнике.

Ответ: 1,3


Четвертый вариант задания

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

2) Смежные углы всегда равны.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение.

1) Это утверждение верно, поскольку равенство и перпендикулярность диагоналей является одним из свойств именно квадрата.

2) Это утверждение неверно. Основание – соответствующая теорема, которой утверждается, что смежные углы в сумме имеют 1800, т.е. дополняют друг друга до развернутого угла. Следовательно, равенство смежных углов может иметь место только в случае, если достоверно известно, что один из них прямой.

3) Утверждение неверно. Высотой является только биссектриса, опущенная на основание равнобедренного треугольника.

Ответ: 1


Пятый вариант задания

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Решение:

Выполняем анализ утверждений.

1) Согласно теореме о смежных углах, их сумма всегда равна 1800. Это означает, что любой из смежных углов является разностью 1800 и величины 2-го смежного угла. Если первый смежный угол острый, значит, второй равен разности 1800 и острого угла (т.е. угла, меньшего 900), которая в любом случае окажется больше 900. А угол, больший 900, по определению тупой. Итак, утверждение неверно.

2) Одно из свойств ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны. Однако и диагонали квадрата тоже пересекаются под прямым углом. Но поскольку квадрат является частным случаем ромба, то и в этом противоречия заданному утверждению нет. Т.е. в целом утверждение верно.

3) Одно из основных св-в касательных к окружности заключается в том, что касательная всегда перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра этой окружности в точку касания. Оно противоречит заданному утверждению, поэтому утверждение неверно.

Ответ: 2

Разбор и решение задания №15 ОГЭ по математике


Практические задачи по геометрии


15 задание - применение знания геометрии в окружающем мире. Самые распространенные задания - на прямоугольные треугольники и вычисление расстояния по теореме Пифагора, а также определение положения стрелок в градусах. Итак, перейдем к рассмотрению примеров.


Разбор типовых вариантов задания №15 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 18:00?решение 17 задания огэ по математике

Решение:

Данный пример несложный - стрелки образуют прямую, а значит, угол равен 180 градусов.

Ответ: 180


Второй вариант задания

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,2 метра от земли. Длина троса равна 4 метра. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

решение 17 задания огэ по математике

Решение:

Так как на чертеже - прямоугольный треугольник, применяем теорему Пифагора:

4² = 3,2² + x²

16 = 10,24 + x²

x² = 16 - 10,24

x² = 5,76

x = √5,76

x = 2,4 метра

Ответ: 2,4 метра


Третий вариант задания

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 4 минуты?

решение 17 задания огэ по математике

Решение:

Вначале найдем сколько в одной минуте градусов - так как в круге 60 минут и 360 градусов, то:

360 / 60 = 6 градусов - в одной минуте

В 4 минутах, соответственно:

6 • 4 = 24 градуса

Ответ: 24


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой.  средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах. 

решение 17 задания огэ по математике

Решение:

В данном задании необходимо применить знания из геометрии, а именно:

"Средняя линия трапеции равна среднему арифметическому двух оснований."

Нам известна средняя линия  - средняя опора, и малое основание - малая опора.

Из этих данных находим большее основание большую опору):

( Малое основание + Большее основание ) / 2 = Средняя линия

( 1,7 + Большее основание ) / 2 = 2,1

Можем переписать в виде уравнения, где х - Большее основание

( 1,7 + х ) / 2 = 2,1

Решая, получаем:

х = 2,5 (м)

Ответ: 2,5


Четвертый вариант задания

На рисунке изображено колесо с пятью спицами.

Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 600?

решение 17 задания огэ по математике

Решение:

Из рисунка видно, что кол-во секторов, на которые колесо разделяется спицами, равно кол-ву спиц. Добавив еще одну спицу, получим еще один сектор. И так далее. Поэтому в произвольной ситуации число спиц и число секторов колеса всегда будет равно.

В колесе, которое нам предлагается рассмотреть, углы между любой парой спиц равны (по условию =600). Значит, колесо разделено на одинаковые сектора. Полный круг колеса составляет угол в 3600. Если каждый сектор равен 600, то всего имеется секторов

3600 : 600 = 6.

Поскольку число секторов и спиц совпадает, то и число спиц равно 6.

Ответ: 6


Пятый вариант задания

Проектор полностью освещает экран А высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

решение 17 задания огэ по математике

Решение:

Малый экран, с линиями, показывающими полное его освещение проектором, образует т.н. малый треугольник. Соответственно, большой экран образует аналогичный треугольник, который назовем большим.

Т.к. экраны расположены параллельно между собой, то малый и большой треугольники подобны (у них боковые стороны являются продолжением друг друга, третьи стороны параллельны, следовательно, образуемые в треугольниках соответствующие углы равны). Если так, то соответствующие стороны и другие элементы треугольников  пропорциональны. В нашем случае АС пропорционально КВ, а PD пропорционально PN:

решение 17 задания огэ по математике

Тогда составим пропорцию:

АС : КВ = PD : PN.

Применив правило пропорции (произведение крайних ее членов = произведению средних), выразим искомую величину PN (миним.расстояние от проектора до большого экрана):

PN = KB ·PD / AC.

По условию КВ=150 см (величина большого экрана), PD=100 см (расстояние от проектора до малого экрана), АС=50 см (величина малого экрана).

Вычислим PN:

PN = 150 · 100 / 50 = 300 (см).

Ответ: 300

Разбор и решение задания №17 ОГЭ по математике


Окружность, круг и их элементы


В 17 задании ОГЭ по математике необходимо решить простую задачу по геометрии. Для успешного решения необходимо обладать базовыми знаниями по геометрии вообще, так как сложно выделить какую-то одну тему, по которой даны задания. Это относится ко всему модулю геометрии. Я рекомендую повторить понятия центральные и вписанные углы, свойства касательных к окружности, взаимосвязь между радиусом описанной или вписанной окружности в геометрические фигуры - в первую очередь прямоугольный треугольник и квадрат.

По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей.

Ответом в задании 17 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №17


Несмотря на то, что в задании №17 могут потребоваться любые знания по геометрии, в данном разделе мы разберем теорию по теме "окружность".

Начнем рассмотрение с понятия вписанная окружность:

  1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  2. Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d

вписанная окружность

Длинна окружности и площадь:

длина и площадь окружности

Касательная и секущая:

  • Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
  • Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

касательная и секущая

Описанная окружность и её свойства:

  1. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
  2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
  3. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
  4. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой.

описанная окружность

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

  • Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
  • В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
  • Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

хорда

Центральный и вписанный углы:

центральный и вписанный углы

Ниже я разобрал три различных примера 10 задания. Если у вас остались пожелания, или вы хотите разобрать задачу, которой здесь нет, напишите об этом в комментарии.


Разбор типовых вариантов заданий №17 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математике

Решение:

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD - на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти - ABD, опирается на дугу AD - которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD:

∠ABD = 92 - 60 = 32

Ответ: 32°


Второй вариант задания

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2º. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математике

Решение:

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны:

(180 - 2) / 2 = 89°

Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов.

Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен:

90 - 89 = 1°

Ответ: 1


Третий вариант задания

В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90º. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

решение 10 задания огэ по математике

Решение:

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина - радиусом.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

AB = √400 = 20

Гипотенуза равна 20, значит радиус - 10.

Ответ: 10


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

10

Решение:

Для решения данной задачи необходимо провести радиус окружности к точке начала хорды:

10

Получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза c - радиус и равна 13 см, b - расстояние до хорды - 5 см. По теореме Пифагора находим катет a:

a² + b² = c²

a² = c² - b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

Откуда

а = √144 = 12

Но а - лишь половина хорды, поэтому вся хорда равна 2 • а = 24

Ответ: 24


Четвертый вариант задания

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 10. Найдите ВС, если АС=16.

10

Решение:

Сторона АВ треуг-ка АСВ является диаметром окружности. Это означает, что угол АСВ опирается на диаметр. Тогда угол АСВ равен 900, и, следовательно, ∆АСВ прямоугольный.

Если ∆АСВ прямоугольный, то для нахождения одной из его сторон можно применить т.Пифагора. По т.Пифагора

АС2+ВС2=АВ2  (1)

По условию АС=16, радиус окружности R=10. Если R=10, то АВ=2R=2·10=20.

Тогда из (1) получим:

10

Ответ: 12


Пятый вариант задания

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 1130. Ответ дайте в градусах.

10

Решение:

Поскольку вершина О угла АОВ лежит в центре окружности, значит, этот угол центральный. А если так, то он равен величине дуги АВ. Т.е. ᴗАВ=1130.

Угол АСВ является вписанным. Следовательно, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Из рисунка видно, что оба угла (АОВ и АСВ) опираются на одну и ту же дугу. Т.к.  ᴗАВ=1130, то угол АСВ равен

0,5 · ᴗАВ = 0,5 · 1130 = 56,50.

Ответ: 56,5

Разбор и решение задания №18 ОГЭ по математике


Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы


В 18 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить
заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 16 является целое число или конечная десятичная дробь.


Теория к заданию №18


Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

выпуклый четырехугольник

Правильный многоугольник:

  • Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
  • Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

правильный многоугольник

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника:

формулы многоугольников

Разберем пример четырехугольника - ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

  • Диагональ ромба является его осью симметрии.
  • Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали являются биссектрисами углов.

ромб

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

трапеция

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.


Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.

решение 10 задания огэ по математике

Решение:

Найдем угол BAD - это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 - 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65


Второй вариант задания

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основаниям равен 45°. Найдите площадь трапеции.

решение 11 задания огэ по математике

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

решение 11 задания огэ по математике

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный - потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.решение 11 задания огэ по математике

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 - 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18


Третий вариант задания

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

решение 11 задания огэ по математике

Решение:

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

11

Решение:

Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это

"полусумма оснований умноженная на высоту"

Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:

  1. Верхнее основание равно 7
  2. Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
  3. Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
  4. Высота равна 12

Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см²

Ответ: 168


Четвертый вариант задания

Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

11

Решение:

Площадь ромба будем искать по формуле:

S=ah,

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а.

По условию а=4.

Найдем h. Для этого рассмотрим  ∆ОКС и ∆АРС:

11

Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2.

Отсюда получаем:

S=4·1=4.

Ответ: 4


Пятый вариант задания

Найдите величину острого угла параллелограмма АВСD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 410. Ответ дайте в градусах.

11

Решение:

Т.к. АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х.

Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=1800. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=1800–2х.

Рассм. ∆АВК:

11

По теореме о сумме углов треуг-ка ∠ВАК+∠В+∠ВКА=1800.

По условию ∠ВКА = 410.

Отсюда получаем:

х+ 1800–2х+410=1800

х–2х=1800–1800–410

х=–410

х=410

Значит, искомый (острый) ∠А=2·410=820

Ответ: 82

Разбор и решение задания №13 ОГЭ по математике


Расчеты по формулам


задание 20 ОГЭ по математикеПерейдем к рассмотрению тестового задания ОГЭ по математике - задания №13. В данном задании нам необходимо поработать с формулами - либо просто подставить значения в формулу и провести вычисления, либо вначале выразить неизвестную величину, а затем произвести подстановку.

Итак, рассмотрим конкретные типовые примеры.


Разбор типовых вариантов задания №13 ОГЭ по математике


Первый вариант задания

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 224 Вт, а сила тока равна 4 А.

Решение:

Выразим сопротивление R:

R = P / I2

Подставим значения в полученную формулу:

R = 224 / 42 = 224 / 16 = 14 ом

Ответ: 14


Второй вариант задания

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле:

С = 6000 + 4100•n,

где n — число колец, установленных в колодце.

Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 7 колец. Ответ укажите в рублях.

Решение:

В данном случае выражать из формулы нам ничего не требуется, поэтому подставим в данную форму лу значение n = 7:

С = 6000 + 4100•7 = 6000 + 28700 = 34700

Ответ: 34700


Третий вариант задания

Период колебания математического маятника T (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле:

T = 2 • √l 

где l — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Решение:

Выразим из формулы l, для этого возведем обе части в квадрат, получим:

T ² = 4 • l ,

тогда:

l  = T ² / 4

Подставляя значения из условия, получаем:

l = 3 ² / 4 = 9 / 4 = 2,25

Ответ 2,25


Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой

tF = 1,8 • tC + 32,

где tC — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта.

Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует -25° по шкале Цельсия?

Решение:

Подставляем значение -25 в формулу:

tF = 1,8 • (-25) + 32 = -45 + 32 = -13

Ответ: -13


Четвертый вариант задания

Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя электрическими зарядами. Закон можно записать в виде

задание 20 ОГЭ по математике

где F — сила взаимодействия в ньютонах, q1 и q2 — величины зарядов в кулонах, k — коэффициент пропорциональности в Н·м2/Кл2, а r — расстояние между зарядами в метрах. Пользуясь формулой, найдите величину заряда q1 (в кулонах), если k=9·109 Н·м2/Кл2, q2=0,004 Кл, r=600 м, F=0,4 Н.

Решение:

Поскольку искомая величина стоит в формуле справа и не является результирующей), необходимо преобразовать эту формулу. Результатом преобразования в данном случае должно стать уравнение, в котором слева будет зафиксировано искомое q1, а справа – все остальные величины, фигурирующие в начальной формуле.

Для удобства преобразования сначала поменяем местами левую и правую части начальной формулы:

задание 20 ОГЭ по математике

Далее r2 из знаменателя слева переносим в числитель справа, а k и q2 из числителя слева – в знаменатель справа. Получим:

задание 20 ОГЭ по математике

Результат мы получим в кулонах, как и требуется по условию. Основание для этого утверждения таково: т.к. все величины в условии даны в единицах СИ, то и результат будет получен только в СИ, а в этой системе единицей измерения эл.заряда является кулон (Кл).

Подставим в полученную формулу числовые данные из условия и вычислим искомую величину:

задание 20 ОГЭ по математике

Ответ: 0,004


Пятый вариант задания

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

задание 20 ОГЭ по математике

где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1=13, sinα=3/13, а S=25,5.

Решение:

Т.к. искомая величина является в формуле частью выражения справа, то ее необходимо выразить через остальные величины. Тогда получим:

задание 20 ОГЭ по математике

В полученную формулу подставим числовые данные из условия и вычислим искомую диагональ:

задание 20 ОГЭ по математике

Ответ: 17

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *