4. Симметрические системы — ЗФТШ, МФТИ

Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^2y+y+2xy^2+x` являются симметрическими, а многочлены `x^2+y^2-6x` и `2x^5+2y` симметрическими не являются.

Многочлены `u=x+y` и `v=xy` называются элементарными симметрическими многочленами. Оказывается, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Последнее утверждение часто оказывается полезным при решении систем, в которых оба уравнения симметрические. А именно, такие системы обычно упрощаются при замене `x+y=u`, `xy=v`. Заметим, что

                             `x^2+y^2=(x^2+2xy+y^2)-2xy=(x+y)^2-2xy=u^2-2v`;           (10)

`x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=u((x^2+y^2)-xy)=`

                                                         `=u(u^2-2v-v)=u^3-3uv`;                                 (11)

`x^4+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=`

`(u^2-2v)^2-2v^2=u^4-4u^2v+2v^2`.

Если мы хотим получить выражение для  `x^5+y^5`, то можно, например, перемножить почленно два равенства (10) и (11), тогда получим:

`(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(u^2-2v)(u^3-3uv) iff`

`iff x^5+y^5+x^2y^3+x^3y^2=u^5-5u^3v+6uv^2 iff`

`iff x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-x^2y^2(x+y)`,

откуда `x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-v^2u=u^5-5u^3v+5uv^2`.

Решите системы уравнений:

а) x3+y3=7,xyx+y=-2;\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=7,\\xy\left(x+y\right)=-2;\end{array}\right.

б)  x2y-xy2=6,xy+x-y=5.\left\{\begin{array}{l}x^2y-xy^2=6,\\xy+x-y=5.\end{array}\right.

а) После замены система принимает вид

 u3-3uv=7,uv=-2,⇔u3=1,uv=-2,⇔u=1,v=-2.\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv=7,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u^3=1,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=1,\\v=-2.\end{array}\right.                    

Значит, x+y=1,xy=-2.\left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\xy=-2.\end{array}\right.

Решая эту систему[1], получаем две пары чисел: `(2;-1)` и `(-1;2)`.

`(2;-1)`, `(-1;2)`.

б) Введём замену `x=-z`. Тогда система принимает вид:

z2y+zy2=6,-zy-z-y=5,\left\{\begin{array}{l}z^2y+zy^2=6,\\-zy-z-y=5,\end{array}\right.

т. е. она становится симметрической! Пусть `y+z=u`, `yz=v`.  Система преобразуется к виду:

uv=6,u+v=-5⇔u=-3,  v=-2;u=-2,  v=-3.\left\{\begin{array}{l}uv=6,\\u+v=-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=-3,\;\;v=-2;\\u=-2,\;\;v=-3.\end{array}\right.

Если  `u=-3`, `v=-2`, то y+z=-3,yz=-2⇔y=-3-z,z2+3z-2=0.\left\{\begin{array}{l}y+z=-3,\\yz=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-3-z,\\z^2+3z-2=0.\end{array}\right.

Получаем две пары `y=(-3-sqrt(17))/2`, `z=(-3+sqrt(17))/2`  и  `y=(-3+sqrt(17))/2`, `z=(-3-sqrt(17))/2`. 

Если  `u=-2`, `v=-3`, то y+z=-2,yz=-3,\left\{\begin{array}{l}y+z=-2,\\yz=-3,\end{array}\right.      откуда  `y=-3`, `z=1` или `y=1`, `z=-3`.  

Учитывая, что `x=-z`, получаем такие решения:

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.

[1] Система уравнений  x+y=a,xy=b,\left\{\begin{array}{l}x+y=a,\\xy=b,\end{array}\right. где `a`, `b` — известные числа, может иметь не более двух решений (т. к. при подстановке `y=a-x` во второе уравнение получаем квадратное уравнение). Поэтому если нам удалось подобрать решение этой системы `(x_0;y_0)`, то вторым решением является `(y_0;x_0)` в силу симметричности, а других решений нет. (Если оказалось, что `y_0=x_0`, то можете в качестве упражнения показать, что такая система имеет ровно одно решение).

Иррациональные уравнения. Системы уравнений — 4. Симметрические системы — ЗФТШ, МФТИ

Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^2y+y+2xy^2+x` являются симметрическими, а многочлены `x^2+y^2-6x` и `2x^5+2y` симметрическими не являются.

Многочлены `u=x+y` и `v=xy` называются элементарными симметрическими многочленами. Оказывается, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Последнее утверждение часто оказывается полезным при решении систем, в которых оба уравнения симметрические. А именно, такие системы обычно упрощаются при замене `x+y=u`, `xy=v`. Заметим, что

                             `x^2+y^2=(x^2+2xy+y^2)-2xy=(x+y)^2-2xy=u^2-2v`;           (10)

`x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=u((x^2+y^2)-xy)=`

                                                         `=u(u^2-2v-v)=u^3-3uv`;                                 (11)

`x^4+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=`

`(u^2-2v)^2-2v^2=u^4-4u^2v+2v^2`.

Если мы хотим получить выражение для  `x^5+y^5`, то можно, например, перемножить почленно два равенства (10) и (11), тогда получим:

`(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(u^2-2v)(u^3-3uv) iff`

`iff x^5+y^5+x^2y^3+x^3y^2=u^5-5u^3v+6uv^2 iff`

`iff x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-x^2y^2(x+y)`,

откуда `x^5+y^5=u^5-5u^3v+6uv^2-v^2u=u^5-5u^3v+5uv^2`.

Решите системы уравнений:

а) x3+y3=7,xyx+y=-2;\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=7,\\xy\left(x+y\right)=-2;\end{array}\right.

б)  x2y-xy2=6,xy+x-y=5.\left\{\begin{array}{l}x^2y-xy^2=6,\\xy+x-y=5.\end{array}\right.

а) После замены система принимает вид

 u3-3uv=7,uv=-2,⇔u3=1,uv=-2,⇔u=1,v=-2.\left\{\begin{array}{l}u^3-3uv=7,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u^3=1,\\uv=-2,\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u=1,\\v=-2.\end{array}\right.                    

Значит, x+y=1,xy=-2.\left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\xy=-2.\end{array}\right.

Решая эту систему[1], получаем две пары чисел: `(2;-1)` и `(-1;2)`.

`(2;-1)`, `(-1;2)`.

б) Введём замену `x=-z`. Тогда система принимает вид:

z2y+zy2=6,-zy-z-y=5,\left\{\begin{array}{l}z^2y+zy^2=6,\\-zy-z-y=5,\end{array}\right.

т. е. она становится симметрической! Пусть `y+z=u`, `yz=v`.  Система преобразуется к виду:

uv=6,u+v=-5⇔u=-3,  v=-2;u=-2,  v=-3.\left\{\begin{array}{l}uv=6,\\u+v=-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=-3,\;\;v=-2;\\u=-2,\;\;v=-3.\end{array}\right.

Если  `u=-3`, `v=-2`, то y+z=-3,yz=-2⇔y=-3-z,z2+3z-2=0.\left\{\begin{array}{l}y+z=-3,\\yz=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-3-z,\\z^2+3z-2=0.\end{array}\right.

Получаем две пары `y=(-3-sqrt(17))/2`, `z=(-3+sqrt(17))/2`  и  `y=(-3+sqrt(17))/2`, `z=(-3-sqrt(17))/2`. 

Если  `u=-2`, `v=-3`, то y+z=-2,yz=-3,\left\{\begin{array}{l}y+z=-2,\\yz=-3,\end{array}\right.      откуда  `y=-3`, `z=1` или `y=1`, `z=-3`.  

Учитывая, что `x=-z`, получаем такие решения:

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.

`((3-sqrt(17))/2;(-3-sqrt(17))/2)`,  `((3+sqrt(17))/2;(-3+sqrt(17))/2)`,  `(-1;-3)`,  `(3;1)`.

[1] Система уравнений  x+y=a,xy=b,\left\{\begin{array}{l}x+y=a,\\xy=b,\end{array}\right. где `a`, `b` — известные числа, может иметь не более двух решений (т. к. при подстановке `y=a-x` во второе уравнение получаем квадратное уравнение). Поэтому если нам удалось подобрать решение этой системы `(x_0;y_0)`, то вторым решением является `(y_0;x_0)` в силу симметричности, а других решений нет. (Если оказалось, что `y_0=x_0`, то можете в качестве упражнения показать, что такая система имеет ровно одно решение).

Исследовательская работа на тему: “ Удивительная симметрия” (часть 2 из 2) — 16 Января 2013

Симметрия в алгебре. Симметрические выражения.
Решение симметрических систем уравнений.
Симметрия графиков функций.
Использование симметрии при решении задач.

Рассмотрим выражение с двумя переменными , , .

Если в каждом из них переставим переменные, то есть всюду вместо поставим , и вместо поставим , то получим тождественно равные им выражения:

; ;

Такие выражения называются симметрическим относительно этих переменных. Наиболее простыми симметрическими выражения относительно двух переменных являются сумма и произведение этих переменных, то есть и .

Через и можно выражать любое рациональное симметрическое выражение относительно и . Например:

1) ;

2) .
Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1:

Квадратное уравнение имеет корни и . Не решая этого уравнения, выразим через и суммы , . Выражение симметрическое относительно и . Выразим их через + и , а затем применим теорему Виета.

.

.

Пример 2:

Найдем такое значение , при котором сумма квадратов корней уравнения равна 13.

Пусть и корни уравнения . То условию =13. Левая часть последнего равенства симметрическое выражение относительно и . Выразим его через + и . Получим уравнение:

, т.к. , а , то получим .

Отсюда .

^

Если оба уравнения системы являются симметрическими многочленами от и , то систему уравнений называют симметрической системой уравнений.
При их решении полезной бывает такая замена неизвестных: , .
Пример 3:
Решим систему уравнений
Решение. Сделаем замену неизвестных , .Система примет вид:

Сложив эти уравнения получим уравнение с корнями .

Соответственно , . Остается решить систему уравнений:

а) и б)
Система а) имеет решения ; .

Система б) решений не имеет.
Ответ:

^

О симметрии графиков функций уместно говорить, когда функция является четной или нечетной. Вспомним определения:

— Если для всех из области определения функции , то функция называется нечетной, например:

Рис.16

— если для всех из области определения этой функции, то функция является четной, например:

а) б)

Рис.17

Отметим, что область определения и четной и нечетной функций симметрична относительно начала координат. Как же ведут же себя графики функций? Как видно из приведенных рисунков, график нечетной функции (Рис.16 а),б)) симметричен относительно начала координат (центральная симметрия), а график четной функции (Рис.17 а),б),в)) симметричен относительно оси ординат (осевая симметрия). Поэтому для построения графиков четной и нечетной функций достаточно провести исследование свойств функции на половине области определения данной функции. Далее, если функция четная — воспользоваться осевой симметрией, если нечетная – центральной.

^

Решения многих задач значительно упрощаются, если использовать симметрию.

Рассмотрим пример использования центральной симметрии при решении задач на построение.

Задача. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы:

а) отрезок этой прямой, заключенной внутри угла, делился данной точкой пополам.

б) прямая отсекала от угла треугольник наименьшей площади.

Рис.18

Решение:

а) Пусть М – данная точка. Построим угол, центрально-симметричный данному относительно точки М. Для этого достаточно построить точку О₁, центрально-симметричную вершине О данного угла, а затем провести через эту точку прямые, параллельные его сторонам (рис.18). Пусть А и В – точки пересечения этих прямых со сторонами угла. Тогда прямая АВ – искомая.

В самом деле, точка А является точкой пересечения прямых ОА и О₁А_1, а точка В – точкой пересечения симметричных им, относительно точки М прямых О₁В и ОВ, поэтому точки А и В симметричны относительно точки М, а значит АМ=МВ.

б) Вновь обратимся к рис.18 и докажем, что построенная нами прямая АВ – искомая.

В самом деле, проведем через точку М какую-нибудь другую прямую, пересекающую стороны данного угла в точках А₁ и В₁, и докажем, что площадь треугольника А₁ОВ₁ больше площади треугольника АОВ. Прямая А₁В₁ пересекает либо отрезок ОА, либо отрезок ОВ. Для определенности будем считать, что она пересекает отрезок ОА. Тогда она пересекает и симметричный ему относительно точки М отрезок О₁В. Пусть С – точка пересечения А₁В₁ и О₁В. Треугольники АА₁М и ВСМ симметричны относительно точки М и, следовательно, равны. Поэтому площадь треугольника АОВ равна площади трапеции ОВСА₁. Площадь же треугольника А₁ОВ₁ больше, так как она состоит из указанной трапеции и треугольника ВВ₁С.
Решение следующей задачи предполагает использование не только центральной, но и осевой симметрии.

Заключение
С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Симметрия в алгебре и геометрии имеет большое значение. Я рассмотрела основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений. Научилась решать симметрические системы уравнений, и узнала кое-что новое про симметрию графиков функций. Выбранная тема актуальна, так как в средней школе не рассматриваются все виды симметрий в алгебре и геометрии

Список использованной литературы:
1.Г. Вейль Симметрия, М., 2007

2.Энциклопедия для детей Математика, 2001г

3.Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1978

4.Кокстер Г. С., Введение в геометрию, М., 1966

5. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967. 284 с.

6.Л. В. Тарасов. Этот удивительно симметричный мир. Москва. 7.Просвещение, 1982.

8.Биология. Учебное пособие для 6 класса).

9.Современный словарь иностранных слов:. — М.; Русский язык 1993, с. 557

10. Журнал «Математика в школе», №10, 2004г.

11. Журнал «Математика в школе», №9, 2005г.

12.. И.С. Петраков, «Математические кружки», Москва, «Просвещение», 1987 г.

Источник

Запись системы в симметрической форме

Запись системы в симметрической форме. Нахождение интегрируемых комбинаций.

Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений: (1)

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. достаточно просто решаемые уравнения вида где — некоторая функция от искомой функции. Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где, то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений. Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме

(18)

В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций. Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции

(19)

где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом.

Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :

y’’ + (x) y’ +(x) y = f (x) (5.1) — ЛНДУ

(x) , (x) С (a, b) — непрерывная функция

y’’ + (x) y’ +(x) y = 0 (5.2) — соответствующее однородное уравнение

Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ

Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения

=

y = (5.3)

Доказательство:

y = +

y’ = ( ) ‘ + ’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’ + (x) ()’ ’ + (x) (+ ) = f (x)’

( ) ‘’ + (x) ()’ + (x) () + + (x) + (x) ) + (’’ + (x) ’ + (x) =f(x, y)

y= + (5.4)

Для этого нужно доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решениеудовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)

y () = y ‘() = (5.5)

= W 0

! ,

Квазиполином Эйлера

В этих случаях записываем ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляем в уравнение (5.1) y’’ + (x) y’ +(x) y = f (x)

Из получения тождестванаходим значения коэффициентов

Случай 1 : правая часть (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) имеет вид :

f(x) = α R

y’’ + p y’ + q y = (5.8)

В этом случае :

= Qn (x) (5.9)

Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения

При этом Qn (x) = x ‘’ + + …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…)

А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения :

+ p k + q = 0

α r = 0

= Q u (x) *

Б) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 1

= * Q n (x) *

В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения :

α = + p k + q = 0

r = 2

= * Q n (x) *

Случай 2 :

Правая часть (2.7) или вид : f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x )

Где)и Qm (x) многочлен степени nиm соответствуют α и β действительного числа

Уравнение (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) тогда запишется в виде

y’’ + py’ + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10)

= * * (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin βx ) (5.11)

r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :

+ pk + q = 0

Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом

Me (x)Ne (x)

е — max (n, m)

Замечание 1 :После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функциейв левой и правой частях уравнения

Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 или + Qm (x) 0

Замечание 3 : Если правая часть уравнения (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения используется теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

аu— частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

( ) ‘’ + ) ‘ +) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

Типы точек покоя. Фокус, центр.

Корни характеристического уравнения

= P q0

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ

Пример.

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

Решение: Дифференцируя второе уравнение, имеем:

Чтобы исключить из полученного уравнения и заменим в нем и их значениями из данной системы. Получим: , откуда;

; запишем , то есть ( , откуда , тогда .

Для нахождения воспользуемся вторым из уравнений системы и найденным значением . Имеем:

откуда . Следовательно, общим решение данной системы будет:

Решим теперь поставленную задачу Коши. Подставляя в общее решение вместо их начальные значения , имеем:

откуда , так что искомым частным решение будет:

 

 

НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ

Интегрируемые комбинации – легко интегрируемые дифференциальные уравнения, полученные из данной системы, путём несложных преобразований. Построение интегрируемых комбинаций позволяет находить первые интегралы системы и понижать порядок этой системы. В целом, если для системы, состоящей из уравнений, найдено независимых первых интегралов, то тем самым найден общий интеграл этой системы, и её интегрирование окончено.

 

Пример. Решить СДУ:

Для нахождения интегрируемых комбинаций данной системы перепишем ее в симметричной форме:

Умножим все знаменатели на

Одной из интегрируемых комбинаций будет

Для получения второй интегрируемой комбинации вычтем в системе в симметричной форме из числителя и знаменателя первой дроби, соответственно числитель и знаменатель второй дроби. Эта операция в данном случае осмыслена, так как равносильно вычитанию из первого уравнения исходной системы её второго уравнения.

Отсюда находим второй первый интеграл:

Общее решение имеет вид

 

 

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пример.

Решение: Первое уравнение решается независимо от второго. Разделяя в нём переменные и интегрируя, получим: . Подставляя найденное значение во второе уравнение, получим , откуда .

Общее решение:

.

СВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

Пример.

 

Решение: Дифференцируя обе части первого из данных уравнений имеем:

Из второго уравнения находим , следовательно:

Общее решение этого уравнения есть

Из первого уравнения системы находим

Окончательно, общее решение системы уравнений:

 

 

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

 

Решение: Из уравнения находим один из интегралов данной системы . Найдём ещё один интеграл, образовав интегрируемую комбинацию:

Имеем . Общее решение: .

 

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

 

с начальным условием =1, z(0)=2.

 

Решение. Имеем систему линейных дифференциальных уравнений. Вид её несимметричный, однако начальные условия дают основания проверить предположение, что искомые функции связаны соотношением . Проверим это предположение, исключая искомую функцию из системы подстановкой вместо неё функции . Оба уравнения системы при этом принимают вид , частное решение этого уравнения с учётом начального условия имеет вид . Одновременно найдена и другая искомая функция .

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Элективный курс по алгебре (10 класс) по теме: Элективное занятие .«Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными. »

Элективное занятие по теме

 «Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными ».

Класс – 10

Учитель – Давыдова Марина Георгиевна

МОУ «Гимназия №5 г. Белгорода»

Учебная задача: 1. формирование системы по изучению симметрических

уравнений;

2. формирование системы фактов «симметрические выражения от двух переменных», «симметрические уравнения, симметрические системы с двумя переменными» в курсе математики.

                                                                                

Цели:

Образовательные:

1. Организовать деятельность учащихся по комплексному применению знаний, умений и способов действия при решении симметрические систем с двумя переменными;
2. Обеспечить на занятии условия для продуктивной познавательной деятельности учащихся при решении задач конструктивного уровня;
3. Способствовать формированию познавательных и практических умений учащихся на всех этапах урока.

Развивающие:

1. Создать условия для развития учащихся исследовательской культуры:
2. Содействовать быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний, умений и способов действий в нестандартных ситуациях:
3. Обеспечить развитие у школьников умений сравнивать познавательные объекты (разные решения одной и той же задачи)

4. дидактическая: обобщение и систематизация сформированных ранее математических понятий, определений, фактов;
5. психологическая: формирование видов учебно-познавательной деятельности;
6. воспитательная: содействовать формированию у школьников чувства ответственности за собственную и коллективную деятельность,  способствовать сплочению классного коллектива, проверка грамотной устной и письменной математической речи учащихся.

Тип урока: комбинированный; урок – семинар.

Методы:         обучении- диалогический;

                        преподавания – частично – поисковый; исследовательский.

Дидактическое и методическое оснащение урока: задачник; ПК; презентации.

Знания и умения: продолжение совершенствование навыков решения задач на симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными

Цели урока: систематизировать и обобщить знания о симметрических системах с двумя переменными.

Ход занятия:

Тема учебного занятия: «Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными». Сегодня мы  систематизируем и обобщаем знания о симметрических системах с двумя переменными.

На I этапе занятия: устный опрос учащихся с целью установления содержательных связей между ведущими линиями школьного курса математики.

Вниманию учащихся предлагаются вопросы и задания.

1.Какие выражения называются симметрическими? Приведите  примеры.

Выражения p(х; у) называется симметрическим, если оно сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Примеры: х2у+ху2- симметрическое выражение при одновременной замене х на у и у на х получается выражение у2х+ух2, но это то же самое, что х2у+ху2.

2.Назовите основные симметрические выражения? (основные симметрические выражения ху и х+у)

3.Какие уравнения называются симметрическими?

Уравнения p(х; у)=0 называются симметрическим уравнением, если его левая часть – симметрическое выражение. Например: х2+у2=( х+у) 2-2ху.

4.Какие системы называются симметрическими?

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если она состоит из симметрических уравнений.

5.Назвать основную идею решения симметрических систем уравнений с двумя переменными.

Вводят две новые переменные u=x+y и v=xy, тогда все остальные симметрические многочлены выражаются через основные. Решение простейшей симметрической системы основано  на теореме, обратной теореме Виета. Необходимо составить квадратное уравнение с заданными суммой и произведением корней и решить его. Найденные корни будут значениями х и у.

6.Решить систему уравнений.

 ответ: (4;-1),(-1;4). (t2-3t-4=0)

 ответ: ( 3;4),(4;3)

На II этапе: защита реферата по теме «Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными». Ученик представляет презентацию. Какой вывод можно сделать из работы?

 

На III этапе: комплексное применение знаний, умений и способов действий по теме.

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «Что учиться можно только весело…» последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны.

Решите системы уравнений.

1.

Решение.

;    

Введем две новые переменные t=xу и a=x2+y2. Тогда заданная система примет вид

     

Выразим t из второго уравнения. Подставим полученное выражение вместо t в первое уравнение системы:

(37-а)а=300

37a-а2-300=0

а2-37а+300=0

а1=12 ,а2=25. Соответственно находим t1=25, t2=12.

Осталось решить совокупность двух простых систем уравнений:

         

Решим первую из этих систем методом алгебраического сложения. Решая ее, получаем ответ: (4;3),(-3;-4),(3;4),(-4,-3) . Вторая система решений не имеет.

Ответ: ( 4;3),(-3;-4),(3;4),(-4,-3)

2.

Решение: Введем две новые переменные v=xу и u=x+y.

Тогда х2+у2=(х+у)2-2ху= u2-2 v

Заданная система примет вид

Решив эту систему находим u1=-4,v1=9; u2=3,v2=2.

Решим вторую из этих систем. Решая ее, получаем ответ: (1;2),(2;1). Первая система решений не имеет.

Ответ: (1;2),(2;1).

3.

Решение: это симметрическая система. Введем две новые переменные          v=xу и u=x+y и зная, что    х2+у2=(х+у)2-2ху= u2-2 v, х4+у4= u4-4v u2+2v2

Запишем систему

Исключая из этой системы u2, (7+3v)2-4(7+3v)v+3v2=91

                                                     14v=42

                                                      v=3  тогда  u2=16, u=4.

Осталось решить совокупность двух простых систем уравнений:

Ответ: (1;3),(3;1),(-1;-3),(-3;-1).

На IV этапе: Содержательно – процессуальный.

Цель: проверить знания по теме, совершенствование вычислительных навыков. Самостоятельная работа по карточкам.  Каждый ученик класса работают по определенным индивидуальным заданиям. Проверка решения  по таблице ответов.

Номер карточки	ответ	Номер карточки	ответ
1	(3;5),(5;3)	6	(1;2),(2;1)
2	(-1;2),(2;-1)	7	(-1;2),(2;-1)
3	(1;3),(3;1)	8	(2;2),(2;2+), (2+;2-)
4	(5;1),(1;5) (3;2),(2;3)	9	(1;4),(4;1)
5	(1;3),(3;1)	10	(-2;-1),(-1;-2) (1;2),(2;1)

 VI этап. Подведение итогов занятия, рефлексия.

Закройте глаза, если вы взяли, что-то новое и это вам нужно. Если вам было не интересно, смотрите на доску.

 

Карточка № 1 Решить систему уравнений.	Карточка № 6 Решить систему уравнений
Карточка № 2 Решить систему уравнений	Карточка № 7 Решить систему уравнений
Карточка № 3 Решить систему уравнений	Карточка № 8 Решить систему уравнений
Карточка № 4 Решить систему уравнений	Карточка № 9 Решить систему  уравнений
Карточка № 5 Решить систему уравнений	Карточка № 10 Решить систему уравнений

Открытое элективное занятие

 для аттестационной комиссии

гимназии№5

май 2007год

по теме:

 «Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические системы с двумя переменными ».

Класс – 10