Список интегралов – Список интегралов элементарных функций — это… Что такое Список интегралов элементарных функций?

Содержание

Список интегралов от рациональных функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от рациональных функций.

∫(ax+b)ndx={(ax+b)n+1a(n+1),n≠−11aln⁡|ax+b|,n=−1{\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}},&n\neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}}
∫x(ax+b)ndx={a(n+1)x−ba2(n+1)(n+2)(ax+b)n+1,n∉{−1,−2}xa−ba2ln⁡|ax+b|,n=−1ba2(ax+b)+1a2ln⁡|ax+b|,n=−2{\displaystyle \int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)x-b}{a^{2}(n+1)(n+2)}}(ax+b)^{n+1},&n\not \in \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}}
∫x(ax+b)ndx=a(1−n)x−ba2(n−1)(n−2)(ax+b)n−1,n∉{1,2}{\displaystyle \int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)x-b}{a^{2}(n-1)(n-2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\not \in \{1,2\}}
∫dxx2n+1=∑k=12n−1{12n−1[sin⁡((2k−1)π2n)arctg⁡[(x−cos⁡((2k−1)π2n))cosec⁡((2k−1)π2n)]]−{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\{{\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\operatorname {arctg} \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right)\operatorname {cosec} \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right]\right]-\right.} −12n[cos⁡((2k−1)π2n)ln⁡|x2−2xcos⁡((2k−1)π2n)+1|]}+C{\displaystyle \quad \left.-\,{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)+1\right|\right]\right\}+C}
∫x2ax+bdx=1a3((ax+b)22−2b(ax+b)+b2ln⁡|ax+b|){\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^{2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)}
∫x2(ax+b)2dx=1a3(ax+b−2bln⁡|ax+b|−b2ax+b){\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b-2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)}
∫x2(ax+b)3dx=1a3(ln⁡|ax+b|+2bax+b−b22(ax+b)2){\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left|ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)}
∫x2(ax+b)ndx=1a3(−1(n−3)(ax+b)n−3+2b(n−2)(ax+b)n−2−b2(n−1)(ax+b)n−1),{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{\frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\right),} для n∉{1,2,3}{\displaystyle n\not \in \{1,2,3\}}
∫dxx(ax+b)=−1bln⁡|ax+bx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|}
∫dxx2(ax+b)=−1bx+ab2ln⁡|ax+bx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|}
∫dxx2(ax+b)2=−a(1b2(ax+b)+1ab2x−2b3ln⁡|ax+bx|){\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|\right)}
∫dxa2x2+b2=1abarctg⁡axb{\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\operatorname {arctg} {\frac {ax}{b}}}
∫dx(x2+a2)2=x2a2(x2+a2)+12a3arctg⁡xa{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}}
∫dx(x2+a2)3=x4a2(x2+a2)2+3x8a4(x2+a2)+38a5arctg⁡xa{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2}+a^{2})^{2}}}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {3}{8a^{5}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}}
∫dxx2−a2=−1aarth⁡xa=12aln⁡a−xa+x,{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a-x}{a+x}},} для |x|<|a|{\displaystyle |x|<|a|}
∫dxx2−a2=−1aarcth⁡xa=12aln⁡x−ax+a,{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arcth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}},} для |x|>|a|{\displaystyle |x|>|a|}
∫dxax2+bx+c=24ac−b2arctg⁡2ax+b4ac−b2,{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\operatorname {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4ac−b2>0{\displaystyle 4ac-b^{2}>0}
∫dxax2+bx+c=2b2−4acarth⁡2ax+bb2−4ac=1b2−4acln⁡|2ax+b−b2−4ac2ax+b+b2−4ac|,{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\operatorname {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,} для 4ac−b2<0{\displaystyle 4ac-b^{2}<0}
∫dxax2+bx+c=−22ax+b(for 4ac−b2=0){\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(for }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}}
∫xax2+bx+cdx=12aln⁡|ax2+bx+c|−b2a∫dxax2+bx+c{\displaystyle \int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
∫mx+nax2+bx+cdx=m2aln⁡|ax2+bx+c|+2an−bma4ac−b2arctg⁡2ax+b4ac−b2,{\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\operatorname {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4ac−b2>0{\displaystyle 4ac-b^{2}>0}
∫mx+nax2+bx+cdx=m2aln⁡|ax2+bx+c|−2an−bmab2−4acarth⁡2ax+bb2−4ac,{\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\,\operatorname {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}},} для 4ac−b2<0{\displaystyle 4ac-b^{2}<0}
∫mx+nax2+bx+cdx=m2aln⁡|ax2+bx+c|−2an−bma(2ax+b),{\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)}},} для 4ac−b2=0{\displaystyle 4ac-b^{2}=0}
∫dx(ax2+bx+c)n=2ax+b(n−1)(4ac−b2)(ax2+bx+c)n−1+(2n−3)2a(n−1)(4ac−b2)∫dx(ax2+bx+c)n−1{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}}
∫x(ax2+bx+c)ndx=bx+2c(n−1)(4ac−b2)(ax2+bx+c)n−1−b(2n−3)(n−1)(4ac−b2)∫dx(ax2+bx+c)n−1{\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}}
∫dxx(ax2+bx+c)=12cln⁡|x2ax2+bx+c|−b2c∫dxax2+bx+c{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2}}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
Книги
  • Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов

Список интегралов от тригонометрических функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от тригонометрических функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Константа c{\displaystyle c} не равняется нулю.

Содержание

  • 1 Интегралы, содержащие только синус
  • 2 Интегралы, содержащие только косинус
  • 3 Интегралы, содержащие только тангенс
  • 4 Интегралы, содержащие только секанс
  • 5 Интегралы, содержащие только косеканс
  • 6 Интегралы, содержащие только котангенс
  • 7 Интегралы, содержащие только синус и косинус
  • 8 Интегралы, содержащие только синус и тангенс
  • 9 Интегралы, содержащие только косинус и тангенс
  • 10 Интегралы, содержащие только синус и котангенс
  • 11 Интегралы, содержащие только косинус и котангенс
  • 12 Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс
  • 13 Библиография
∫sin⁡cxdx=−1ccos⁡cx{\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx}
∫sinn⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcos⁡cxnc+n−1n∫sinn−2⁡cxdx( n>0){\displaystyle \int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
∫xsin⁡cxdx=sin⁡cxc2−xcos⁡cxc{\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}}
∫x2sin⁡cxdx=2cos⁡cxc3+2xsin⁡cxc2−x2cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}}
∫x3sin⁡cxdx=−6sin⁡cxc4+6xcos⁡cxc3+3x2sin⁡cxc2−x3cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}}
∫x4sin⁡cxdx=−24cos⁡cxc5−24xsin⁡cxc4+12x2cos⁡cxc3+4x3sin⁡cxc2−x4cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{4}\cos cx}{c}}}
∫x5sin⁡cxdx=120sin⁡cxc6−120xcos⁡cxc5−60x2sin⁡cxc4+20x3cos⁡cxc3+5x4sin⁡cxc2−x5cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6}}}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}}
∫xnsin⁡cxdx=n!⋅sin⁡cx[xn−1c2⋅(n−1)!−xn−3c4⋅(n−3)!+xn−5c6⋅(n−5)!−...]−−n!⋅cos⁡cx[xnc⋅n!−xn−2c3⋅(n−2)!+xn−4c5⋅(n−4)!−...]{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin cx\;dx&=n!\cdot \sin cx\left[{\frac {x^{n-1}}{c^{2}\cdot (n-1)!}}-{\frac {x^{n-3}}{c^{4}\cdot (n-3)!}}+{\frac {x^{n-5}}{c^{6}\cdot (n-5)!}}-...\right]-\\&-n!\cdot \cos cx\left[{\frac {x^{n}}{c\cdot n!}}-{\frac {x^{n-2}}{c^{3}\cdot (n-2)!}}+{\frac {x^{n-4}}{c^{5}\cdot (n-4)!}}-...\right]\end{aligned}}}
∫xnsin⁡cxdx=−xnccos⁡cx+nc∫xn−1cos⁡cxdx( n≥0){\displaystyle \int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\geq 0{\mbox{)}}}
∫sin⁡cxxdx=∑i=0∞(−1)i(cx)2i+1(2i+1)⋅(2i+1)!{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}}
∫sin⁡cxxndx=−sin⁡cx(n−1)xn−1+cn−1∫cos⁡cxxn−1dx{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx}
∫dxsin⁡cx=1cln⁡|tg⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}\right|}
∫dxsinn⁡cx=cos⁡cxc(1−n)sinn−1⁡cx+n−2n−1∫dxsinn−2⁡cx( n>1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{)}}}
∫dx1±sin⁡cx=1ctg⁡(cx2∓π4){\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)}
∫xdx1+sin⁡cx=xctg⁡(cx2−π4)+2c2ln⁡|cos⁡(cx2−π4)|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
∫xdx1−sin⁡cx=xcctg⁡(π4−cx2)+2c2ln⁡|sin⁡(π4−cx2)|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|}
∫sin⁡cxdx1±sin⁡cx=±x+1ctg⁡(π4∓cx2){\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)}
∫sin⁡c1xsin⁡c2xdx=sin⁡((c1−c2)x)2(c1−c2)−sin⁡((c1+c2)x)2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){\displaystyle \int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin((c_{1}-c_{2})x)}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin((c_{1}+c_{2})x)}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}}
∫cos⁡cxdx=1csin⁡cx{\displaystyle \int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx}
∫cosn⁡cxdx=cosn−1⁡cxsin⁡cxnc+n−1n∫cosn−2⁡cxdx( n>0){\displaystyle \int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
∫xcos⁡cxdx=cos⁡cxc2+xsin⁡cxc{\displaystyle \int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}}
∫xncos⁡cxdx=xnsin⁡cxc−nc∫xn−1sin⁡cxdx{\displaystyle \int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx}
∫cos⁡cxxdx=ln⁡|cx|+∑i=1∞(−1)i(cx)2i2i⋅(2i)!{\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}}
∫cos⁡cxxndx=−cos⁡cx(n−1)xn−1−cn−1∫sin⁡cxxn−1dx( n≠1){\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dxcos⁡cx=1cln⁡|tg⁡(cx2+π4)|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
∫dxcosn⁡cx=sin⁡cxc(n−1)cosn−1⁡cx+n−2n−1∫dxcosn−2⁡cx( n>1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{)}}}
∫dx1+cos⁡cx=1ctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}}
∫dx1−cos⁡cx=−1cctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}}
∫xdx1+cos⁡cx=xctg⁡cx2+2c2ln⁡|cos⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|}
∫xdx1−cos⁡cx=−xcctg⁡cx2+2c2ln⁡|sin⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|}
∫cos⁡cxdx1+cos⁡cx=x−1ctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}}
∫cos⁡cxdx1−cos⁡cx=−x−1cctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}}
∫cos⁡c1xcos⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)+sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){\displaystyle \int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}}
∫tg⁡cxdx=−1cln⁡|cos⁡cx|{\displaystyle \int \operatorname {tg} cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\ln |\cos cx|}
∫tgn⁡cxdx=1c(n−1)tgn−1⁡cx−∫tgn−2⁡cxdx( n≠1){\displaystyle \int \operatorname {tg} ^{n}cx\;dx={\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {tg} ^{n-1}cx-\int \operatorname {tg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dxtg⁡cx+1=x2+12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|}
∫dxtg⁡cx−1=−x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {tg} cx-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|}
∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1=x2−12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|}
∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1=x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|}
∫sec⁡cxdx=1cln⁡|sec⁡cx+tg⁡cx|{\displaystyle \int \sec {cx}\,dx={\frac {1}{c}}\ln {\left|\sec {cx}+\operatorname {tg} {cx}\right|}}
∫secn⁡cxdx=secn−1⁡cxsin⁡cxc(n−1)+n−2n−1∫secn−2⁡cxdx ( n≠1){\displaystyle \int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{cx}\sin {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dxsec⁡x+1=x−tg⁡x2{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}
∫cosec⁡cxdx=−1cln⁡|cosec⁡cx+ctg⁡cx|{\displaystyle \int \operatorname {cosec} {cx}\,dx=-{\frac {1}{c}}\ln {\left|\operatorname {cosec} {cx}+\operatorname {ctg} {cx}\right|}}
∫cosecn⁡cxdx=−cosecn−1⁡cxcos⁡cxc(n−1)+n−2n−1∫cosecn−2⁡cxdx ( n≠1){\displaystyle \int \operatorname {cosec} ^{n}{cx}\,dx=-{\frac {\operatorname {cosec} ^{n-1}{cx}\cos {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \operatorname {cosec} ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ctg⁡cxdx=1cln⁡|sin⁡cx|{\displaystyle \int \operatorname {ctg} cx\;dx={\frac {1}{c}}\ln |\sin cx|}
∫ctgn⁡cxdx=−1c(n−1)ctgn−1⁡cx−∫ctgn−2⁡cxdx( n≠1){\displaystyle \int \operatorname {ctg} ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {ctg} ^{n-1}cx-\int \operatorname {ctg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dx1+ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\operatorname {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx+1}}}
∫dx1−ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\operatorname {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx-1}}}

Интегралы, содержащие только синус и косинус[править | править код]

∫dxcos⁡cx±sin⁡cx=1c2ln⁡|tg⁡(cx2±π8

Список интегралов от логарифмических функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от логарифмической функции. В списке везде предполагается x>0{\displaystyle x>0}. Аддитивная константа опущена.

∫ln⁡cxdx=xln⁡cx−cx{\displaystyle \int \ln cx\,dx=x\ln cx-cx}
∫(ln⁡x)2dx=x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2x{\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
∫(ln⁡cx)ndx=x(ln⁡cx)n−n∫(ln⁡cx)n−1dx{\displaystyle \int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx}
∫dxln⁡x=ln⁡|ln⁡x|+∑i=1∞(ln⁡x)ii⋅i!{\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫dx(ln⁡x)n=−x(n−1)(ln⁡x)n−1+1n−1∫dx(ln⁡x)n−1{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}} для n≠1{\displaystyle n\neq 1}
∫xmln⁡xdx=xm+1(ln⁡xm+1−1(m+1)2){\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)} для m≠−1{\displaystyle m\neq -1}
∫xm(ln⁡x)ndx=xm+1(ln⁡x)nm+1−nm+1∫xm(ln⁡x)n−1dx{\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx} для m≠−1{\displaystyle m\neq -1}
∫(ln⁡x)ndxx=(ln⁡x)n+1n+1{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}} для n≠−1{\displaystyle n\neq -1}
∫ln⁡xdxxm=−ln⁡x(m−1)xm−1−1(m−1)2xm−1{\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}} для m≠1{\displaystyle m\neq 1}
∫(ln⁡x)ndxxm=−(ln⁡x)n(m−1)xm−1+nm−1∫(ln⁡x)n−1dxxm{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}} для m≠1{\displaystyle m\neq 1}
∫xmdx(ln⁡x)n=−xm+1(n−1)(ln⁡x)n−1+m+1n−1∫xmdx(ln⁡x)n−1{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}} для n≠1{\displaystyle n\neq 1}
∫xmdxln⁡x=Ei((m+1)ln⁡x){\displaystyle \int {\frac {x^{m}dx}{\ln x}}=\mathrm {Ei} \left(\left(m+1\right)\ln x\right)},
где Ei(x) — интегральная экспонента
∫dxxln⁡x=ln⁡|ln⁡x|{\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|}
∫dxxnln⁡x=ln⁡|ln⁡x|+∑i=1∞(−1)i(n−1)i(ln⁡x)ii⋅i!{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫dxx(ln⁡x)n=−1(n−1)(ln⁡x)n−1,{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}},} для n≠1{\displaystyle n\neq 1}
∫sin⁡(ln⁡x)dx=x2(sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)){\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}
∫cos⁡(ln⁡x)dx=x2(sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)){\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}
Книги
  • Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов

Интеграл — Википедия

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл)[1]. Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие[2].

Неопределённый интеграл[править | править код]

Пусть дана f(x){\displaystyle f(x)} — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции f(x){\displaystyle f(x)}, или её первообразной, называется такая функция F(x){\displaystyle F(x)}, производная которой равна f(x){\displaystyle f(x)}, то есть F′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)}. Обозначается это так:

F(x)=∫f(x)dx{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}

В этой записи ∫{\displaystyle \int } — знак интеграла, f(x){\displaystyle f(x)} называется подынтегральной функцией, а dx{\displaystyle dx} — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную C{\displaystyle C}, например

∫x2dx=x33+C,∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

ddx∫f(x)dx=f(x),∫df(x)dxdx=f(x)+C{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}

Определённый интеграл[править | править код]

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C} Интеграл как площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Что такое интеграл, анимация (нажмите для воспроизведения)

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a{\displaystyle x=a} и x=b{\displaystyle x=b} и графиком функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок [a;b]{\displaystyle [a;b]} на меньшие отрезки точками xi{\displaystyle x_{i}}, такими что a=x0<...<xi<xi+1<...<xn=b{\displaystyle a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b}, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками [xi;xi+1]{\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке ξi∈[xi;xi+1]{\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}. Ввиду того, что длина i{\displaystyle i}-го отрезка Δxi=xi+1−xi{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} мала, будем считать значение функции f(x){\displaystyle f(x)} на нём примерно постоянным и равным yi=f(ξi){\displaystyle y_{i}=f(\xi _{i})}. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

S≈∑i=0n−1yiΔxi(∗){\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (maxΔxi→0{\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0}), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек ξi{\displaystyle \xi _{i}}, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции f(x){\displaystyle f(x)} по отрезку [a;b]{\displaystyle [a;b]} и обозначается

∫abf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке [a;b]{\displaystyle [a;b]}. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при x{\displaystyle x} рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в R{\displaystyle {\mathbb {R} }}, выбором точек ξi{\displaystyle \xi _{i}} можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до b−a{\displaystyle b-a}.

Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

∫f(x)dx=F(x)+C{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}

то

∫abf(x)dx=F(b)−F(a){\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл в пространствах большей размерности[править | править код]

Двойные и кратные интегралы[править | править код]

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} Двойной интеграл как объём цилиндрического бруса

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру D{\displaystyle D} на плоскости XY{\displaystyle XY} и заданную на ней функцию двух переменных f(x,y){\displaystyle f(x,y)}. Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахождении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру D{\displaystyle D} на достаточно малые области di{\displaystyle d_{i}}, возьмём в каждой по точке ξi=(xi,yi){\displaystyle \xi _{i}=(x_{i},y_{i})} и составим интегральную сумму

∑if(xi,yi)S(di){\displaystyle \sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})}

где S(di){\displaystyle S(d_{i})} — площадь области di{\displaystyle d_{i}}. Если существует, независимо от выбора разбиения и точек ξi{\displaystyle \xi _{i}}, предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции f(x,y){\displaystyle f(x,y)} по области D{\displaystyle D} и обозначается

∫Df(x,y)dS{\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dS}, ∫Df(x,y)dxdy{\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dxdy}, или ∬Df(x,y)dxdy{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)dxdy}

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

Криволинейный интеграл[править | править код]

Поверхностный интеграл[править | править код]

К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела. Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью ρ(x){\displaystyle \rho (x)} даётся интегралом

M=∫ρ(x)dx{\displaystyle M=\int \rho (x)dx}

в аналогичном случае плоской фигуры

M=∬ρ(x,y)dxdy{\displaystyle M=\iint \rho (x,y)dxdy}

и для трёхмерного тела

M=∭ρ(x,y,z)dxdydz{\displaystyle M=\iiint \rho (x,y,z)dxdydz}

Интеграл Лебега[править | править код]

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие σ{\displaystyle \sigma }-аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Интеграл Лебега функции f{\displaystyle f} определённой на пространстве X{\displaystyle X} по мере μ{\displaystyle \mu } обозначают

∫Xfμ{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu }, ∫x∈Xf(x)μ{\displaystyle \int \limits _{x\in X}f(x)\mu } или ∫Xf(x)μ(dx){\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\mu (dx)}

последнее два обозначения употребляют если необходимо подчеркнуть что интегрирование ведётся по переменной x{\displaystyle x}. Однако часто пользуются следующим не вполне правильным обозначением

∫Xfdμ.{\displaystyle \int \limits _{X}fd\mu .}

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в R2{\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}, в R3){\displaystyle {\mathbb {R} }^{3})}.

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество X{\displaystyle X}, на котором задана σ{\displaystyle \sigma }-аддитивная мера μ{\displaystyle \mu }, и функция f:X→R{\displaystyle f:X\to {\mathbb {R} }}. При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества

Ea={x∈X:f(x)<a}{\displaystyle E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}}

измеримы для любого a∈R{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }} (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений ai{\displaystyle a_{i}}:

∫Xfμ=∑iaiμ(f−1(ai)){\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))}

где f−1(ai){\displaystyle f^{-1}(a_{i})} — полный прообраз точки ai{\displaystyle a_{i}}; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию f{\displaystyle f} назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию f{\displaystyle f} интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций fn{\displaystyle f_{n}}, равномерно сходящаяся к f{\displaystyle f}. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции f{\displaystyle f} по мере μ{\displaystyle \mu }:

∫Xfμ=lim∫Xfnμ{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu }

Если рассматривать функции на Rn{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века (первые публикации состоялись в 1675 году). Лейбницу принадлежит обозначение интеграла ∫ydx{\displaystyle \int ydx}, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ ∫{\displaystyle \int }, от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма)[3]. Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде ∫ab{\displaystyle \int _{a}^{b}} введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

  • Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций.

∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x+1−x2+C{\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫arcsin⁡xadx=xarcsin⁡xa+a2−x2+C{\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫xarcsin⁡xadx=(x22−a24)arcsin⁡xa+x4a2−x2+C{\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫x2arcsin⁡xadx=x33arcsin⁡xa+x2+2a29a2−x2+C{\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫xnarcsin⁡xdx=1n+1(xn+1arcsin⁡x+xn1−x2−nxn−1arcsin⁡xn−1+n∫xn−2arcsin⁡xdx){\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\,dx\right)}
∫cosn⁡xarcsin⁡xdx=(xn2+1arccos⁡x+xn1−x4−nxn2−1arccos⁡xn2−1+n∫xn2−2arccos⁡xdx){\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\,dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\,dx\right)}
∫arccos⁡xdx=xarccos⁡x−1−x2+C{\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫arccos⁡xadx=xarccos⁡xa−a2−x2+C{\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫xarccos⁡xadx=(x22−a24)arccos⁡xa−x4a2−x2+C{\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫x2arccos⁡xadx=x33arccos⁡xa−x2+2a29a2−x2+C{\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫arctgxdx=xarctgx−12ln⁡(1+x2)+C{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
∫arctgxadx=xarctgxa−a2ln⁡(1+x2a2)+C{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C}
∫xarctgxadx=(a2+x2)arctgxa−ax2+C{\displaystyle \int x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-ax}{2}}+C}
∫x2arctgxadx=x33arctgxa−ax26+a36ln⁡(a2+x2)+C{\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C}
∫xnarctgxadx=xn+1n+1arctgxa−an+1∫xn+1a2+x2dx,n≠−1{\displaystyle \int x^{n}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1}
∫arcctgxdx=xarcctgx+12ln⁡(1+x2)+C{\displaystyle \int \operatorname {arcctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
∫arcctgxadx=xarcctgxa+a2ln⁡(a2+x2)+C{\displaystyle \int \operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫xarcctgxadx=a2+x22arcctgxa+ax2+C{\displaystyle \int x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C}
∫x2arcctgxadx=x33arcctgxa+ax26−a36ln⁡(a2+x2)+C{\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫xnarcctgxadx=xn+1n+1arcctgxa+an+1∫xn+1a2+x2dx,n≠−1{\displaystyle \int x^{n}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1}
∫arcsec⁡xdx=xarcsec⁡x−ln⁡|x+xx2−1x2|+C{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}
∫arcsec⁡xadx=xarcsec⁡xa+xa|x|ln⁡|x±x2−1|+C{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}
∫xarcsec⁡xdx=12(x2arcsec⁡x−x2−1)+C{\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C}
∫xnarcsec⁡xdx=1n+1(xn+1arcsec⁡x−1n[xn−1x2−1+[1−n](xn−1arcsec⁡x+(1−n)∫xn−2arcsec⁡xdx)]){\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\,dx\right)\right]\right)}
∫arccosecxdx=xarccosecx+ln⁡|x+xx2−1x2|+C{\displaystyle \int \operatorname {arccosec} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}
∫arccosecxadx=xarccosecxa+aln⁡(xa(1−a2x2+1))+C{\displaystyle \int \,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{a}\ln {\left({\frac {x}{a}}\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1\right)\right)}+C}
∫xarccosecxadx=x22arccosecxa+ax21−a2x2+C{\displaystyle \int x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C}
Книги
  • Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов

Список интегралов - это... Что такое Список интегралов?


Список интегралов

Смотрите следующие страницы для списка интегралов:

Библиография

Книги

  • Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.: Наука, 1963.
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с.
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964.

Электронные таблицы интегралов

Вычисление интегралов

Существует несколько вебсайтов, которые могут вычислять интегралы:

Категория:
  • Списки интегралов

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Вепсская национальная волость
  • Список интегралов от обратных гиперболических функций

Смотреть что такое "Список интегралов" в других словарях:

  • Список интегралов элементарных функций — Интегрирование  это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… …   Википедия

  • Список интегралов от обратных гиперболических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных гиперболических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и список интегралов …   Википедия

  • Список интегралов от рациональных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от рациональных функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов …   Википедия

  • Список интегралов от иррациональных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от иррациональных функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования.… …   Википедия

  • Список интегралов от логарифмических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от логарифмической функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Замечание: в этой статье предполагаются . Аддитивная константа опущена …   Википедия

  • Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для …   Википедия

  • Список интегралов от тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования.… …   Википедия

  • Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус …   Википедия

  • Список интегралов от гиперболических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от гиперболических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования …   Википедия

  • Список объектов — Список объектов, названных в честь Исаака Ньютона Существует несколько математических и физических объектов, названных в честь Исаака Ньютона: Содержание 1 Теоремы 2 Законы 3 Уравнения …   Википедия


Список интегралов от обратных гиперболических функций — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных гиперболических функций. В формулах опущена аддитивная константа интегрирования.

∫arshxcdx=xarshxc−x2+c2{\displaystyle \int \mathrm {arsh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}
∫archxcdx=xarchxc−x2−c2{\displaystyle \int \mathrm {arch} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arch} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}-c^{2}}}}
∫arthxcdx=xarthxc+c2ln⁡|c2−x2|( |x|<|c|){\displaystyle \int \mathrm {arth} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arth} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |c^{2}-x^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|<|c|{\mbox{)}}}
∫arcthxcdx=xarcthxc+c2ln⁡|x2−c2|( |x|>|c|){\displaystyle \int \mathrm {arcth} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcth} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |x^{2}-c^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|>|c|{\mbox{)}}}
∫arsechxcdx=xarsechxc−carctgxc−xc+xx−c( x∈(0,c)){\displaystyle \int \mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}-c\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x\,{\sqrt {\frac {c-x}{c+x}}}}{x-c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
∫arcschxcdx=xarcschxc+clnx+x2+c2c( x∈(0,c)){\displaystyle \int \mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}+c\,\ln \,{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}{c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
Книги
  • Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
  • D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *