Различные способы нахождения площади трапеции

Слайд 1

Различные способы доказательства площади трапеции Выполнила: ученица 8 класса «И» Бреус Екатерина Руководитель: Новолодская Л.В.

Слайд 2

«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» Пушкин А.С. Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел

Слайд 3

«Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту» Бертранд Рассел Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел

Слайд 4

Содержание I. Введение: 1. Общие сведения о трапециях II. Основное содержание 1. Различные способы доказательства площади трапеции 2. Задачи с применением различных способов нахождения площади трапеции 3. Трапеции окружающем мире III . Заключения IV. Приложения

Слайд 5

Цель: формирование представлений о нахождении площади трапеции различными способами; -формирование умений решения одной задачи через разные формулы площади трапеции. З адачи: Собрать информацию о различных видах трапеций. Систематизировать материал. Рассмотреть применение фигуры – трапеции в окружающем мире.

Слайд 6

Гипотеза: Актуальность: Новизна:

Слайд 7

По определению трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. А В С D Боковая Боковая Основание Основание

Слайд 8

Трапеция называется прямоугольной , если один из углов прямой. А В С D АВС D – прямоугольная трапеция, если ВС ∥ AD и ∠А = 90° , значит, ∠В= 90°.

Слайд 9

А В С D Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. АВС D – равнобедренная трапеция, где ВС ∥ AD , АВ = С D – боковые стороны.

Слайд 10

1 СПОСОБ

Слайд 11

2 СПОСОБ 2 СПОСОБ

Слайд 12

3 СПОСОБ

Слайд 13

Задачи о нахождении площади трапеции с применением различных способов Задача№1. В прямоугольной трапеции ABCD ˂А=90°, основания равны 16 и 20см, а боковая сторона CD=12см. ˂CDA=30°. Найти S ABCD . Задача №2 В прямоугольной трапеции ABCD ˂C=˂D=90°. BC=CD, AC=10см, AD=8см. Найти площадь трапеции.

Слайд 14

Задача №3 По рисунку найти площадь фигуры . Задача №4 По рисунку найти площадь фигуры .

Слайд 15

Фигуры-трапеции в окружающем мире Если влезть с пилой повыше, Отпилить у дома крышу, То хозяев мы обидим, Но трапецию увидим! А потом мы все починим И из шкафа юбку вынем. Мы увидим: юбка тоже На трапецию похожа!

Слайд 17

Список использованных источников 1 . http://100formul.ru/48 2. ru.wikipedia.org/wiki/ Трапеция 3. ЕГЭ2006. Математика. Учебно — тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор , ИСОП – М.:Интеллект -Центр, 2006» 4.Геометрия 7 – 9. Учебник для общеобразовательных учреждений, Москва «Просвещение», 2009 5.В.А.Далингер Методика обучения учащихся планиметрических задач. Омск — 2001

Слайд 18

Спасибо за внимание

nsportal.ru

Формула площади трапеции

В статье понятно и доступно разберем формулу площади трапеции, но для начала отработаем основные понятия!
Трапеция это геометрическая четырехугольная фигура, состоящая из двух параллельных линий называющихся основанием и двух боковых линии не являющиеся параллельными, называющиеся боковые стороны. Линия которая соединяет стороны как основные так и боковые посередине, называется — средней линией, высота выводится под углом 90⁰.
Площадью трапеции называется участок на плоскости, который ограничен данной фигурой, обозначается в единицах квадратных.

В случае если мы знаем величину средней линии k, формула меняется на более легкую, она приравнивается к половине суммы длины основных линий

В случае когда мы знаем длину всех сторон, можно рассчитать площадь используя данную формулу

Если разобрать данную формулу на примере, то мы получим следующее:
Рассмотрим для ясности: трапеция с длиной боковых линий х = 5 см, g = 4 см, основные линии y = 3 см, z = 7 см. Требуется найти S = ?.
Трапеция бывает однобокой, ещё ее называют равнобедренной — так как диагонали равны между собой. Для нее формула может складываться через радиус вписанной в нее окружности, диагонали и углы прилегающие к основанию.
В случае когда мы знаем длину диагоналей и угол находящийся между ними:

В том случае когда выводим формулу с помощью боковых сторон и углов прилегающих к основанию. Формула будет выглядеть так:

S = x * sin ?(y — x * cos ?)
S = x * sin ?(z + x * cos ?)

Вывод: Если нам известно одно основание из двух и величины углов принадлежащие этому основанию, мы без труда сможем узнать площадь трапеции.

Трапеция бывает криволинейной — это тогда, когда трапеция находится на оси координат, ограничена графиком продолжительной функции.
В случае когда основание трапеции находится на оси х и ограничено точками x1 = z, x2 = y. Вычислить площадь трапеции помогут интегралы

где F (z) — значение в точке z
F (y) — значение в точке y

Разберем для наглядности: Криволинейная трапеция, ограниченная функцией y = f(x). Функция F(x) = — x3 — 27×2 — 240x — 8. Нужно найти S = ?. Фигура ограничивается: графиком сверху y = f(x)., снизу ОХ осью, слева х = (-10), справа х = (-8).
Пользуемся данной формулой, получаем:

В условиях задачи дана функция. С помощью нее найдем значения точек.
1) F(-8) = -(-8)3 — 27 х (-8)2 — 240 х (-8) — 8 = 24-1728+1920 — 8 = 696
2) F(-10) = -(-10)3 — 27 х (-10)2 — 240 х (-10) — 8 = 1000-2700+240 — 8 = 692
3) F(-8) — F (-10) = 696 — 692 = 4
Ответ: S = 4

Вот собственно и всё по формулам площади для разных видов трапеций. Если у вас появились какие то вопросы, обязательно пишите их в комментариях. Успехов в учебе.
vamsochinenie.ru — база сочинений на самые разные темы.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Нахождение площади трапеции

С такими геометрическими фигурами, как трапеции, все мы очень часто встречаемся в жизни. Чаще других с ними приходится иметь дело инженерам-проектировщикам, разрабатывающим различные детали. При этом им практически всегда нужно определять площадь трапеции, форму которой будет иметь то или иное изделие.

На мебельных предприятиях часто изготавливаются столы с трапецеидальными столешницами, которые отличаются не только оригинальным дизайном, но еще и очень удобны в небольших и стесненных помещениях. Для того чтобы точно рассчитать расход материала, требуемого для изготовления этих изделий, их разработчики всегда используют формулу, по которой производится нахождение площади трапеции.

Вычисление площади трапеции

Формула расчёта площади трапеции

 

 

a – нижнее основание

b – верхнее основание

h – высота трапеции

S – площадь

Многие современные здания (причем как в городах, так и за их пределами) проектируются таким образом, чтобы их окна имели нестандартную и запоминающуюся форму, в том числе и трапецеидальную. Само собой разумеется, что при их разработке для тех, кто будет их, в конечном итоге, изготавливать, нужно точно определить не только длину нижнего и верхнего основания, а также размеры всех углов, и площадь самой сборки. При этом также применяется формула, на основании которой происходит

нахождение площади трапеции. Она, помимо общего расхода материала, необходимого для застекления таких окон, позволяет определить, соответствие в каждом конкретном случае действующим нормам относительно освещенности тех помещений, где их планируется смонтировать.

Детали трапецеидальной формы наличествуют практически в каждом современном автомобиле. К ним, к примеру, относятся почти все стекла, устанавливаемые в дверях. Поэтому при конструировании машин специалистам приходится пользоваться формулами, по которым происходит вычисление площади трапеции.

В последние годы многие наши соотечественники обзаводятся загородными домами, коттеджами и дачами, причем многие из этих строений имеют так называемые вальмовые крыши. Они представляют собой кровельные конструкции, состоящие из четырех скатов, два из которых, являющиеся торцевыми, имеют фору треугольников, а два других –

трапеций. На таких крышах практически никогда не задерживается снег, что очень важно в российских условиях. Перед тем, как производить кровельные работы, необходимо определить, какое количество материала для этого потребуется, а это значит, что нужно производить вычисление площади трапеции.

Отправляясь на какой-нибудь морской курорт, где отдыхающие не только проводят время на пляжах, но еще и активно занимаются водными видами спорта, то неподалеку о берега можно увидеть небольшие яхты, некоторые паруса которых изготовлены в форме трапеций.

simple-math.ru

Внеурочная деятельность «Мир геометрии» Тема: «Площадь трапеции» 4 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Майская гимназия Белгородского района Белгородской области»

4 класс

(Система Л.В. Занкова)

Подготовила

учитель начальных классов:

Пушкарева И.С.

Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации средствами технологии проблемного обучения и с использованием элементов личностно-ориентированного обучения.

Цели:

— продолжить формировать навыки выведения формул для вычисления площади многоугольников на примере трапеции, закрепить навыки решения задач по выведенной формуле;

-развитие воображения, мыслительных процессов анализа, сравнения, обобщения;

Формы работы: групповая работа.

Техническое оснащение урока: компьютер, проектор для демонстрации презентации, дидактический материал.

Личностные универсальные учебные действия

• учебно-познавательный интерес к новому учебному материалу и способам решения новой частной задачи;

• умение адекватно оценивать результаты своей работы на основе критерия успешности учебной деятельности;

• понимание причин успеха в учебной деятельности;

• умение определять границы своего незнания, преодолевать трудности с помощью одноклассников, учителя;

• представление об основных моральных нормах.

Регулятивные универсальные учебные действия

• принимать и сохранять учебную задачу;

• планировать этапы решения задачи, определять последовательность учебных действий в соответствии с поставленной задачей;

• осуществлять пошаговый и итоговый контроль по результату под руководством учителя;

• анализировать ошибки и определять пути их преодоления;

• различать способы и результат действия;

• адекватно воспринимать оценку сверстников и учителя.

Познавательные универсальные учебные действия

• анализировать объекты, выделять их характерные признаки и свойства, узнавать объекты по заданным признакам;

• анализировать информацию, выбирать рациональный способ решения задачи;

• находить сходства, различия, закономерности, основания для упорядочения объектов;

• выделять в тексте задания основную и второстепенную информацию;

• формулировать проблему;

• строить рассуждения об объекте, его форме, свойствах;

• устанавливать причинно-следственные отношения между изучаемыми понятиями и явлениями.

Коммуникативные универсальные учебные действия

• принимать участие в совместной работе коллектива;

• вести диалог, работая в парах, группах;

• допускать существование различных точек зрения, уважать чужое мнение;

• совершенствовать математическую речь;

• высказывать суждения, используя различные аналоги понятия; слова, словосочетания, уточняющие смысл высказывания.

Технологии: личностно– ориентированная, технология сотрудничества.

Формы организации внеурочной деятельности: индивидуальная, фронтальная, работа в группах.

Методы: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал – треугольники, четырехугольники, трапеции, презентация.

Компоненты учебного занятия

1. Организационно-подготовительный этап

До начала занятия учащиеся разбиваются на группы по 4 человека, выбирается в каждой группе ведущий (организует работу группы, осуществляет связь группы с учителем, фиксирует предложенные членами групп варианты ответов и оформляет результаты работы группы).

– Ребята, восточная мудрость гласит: “Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить”. И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он не старается узнать больше, нет желания работать над своим развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью. Сегодня у нас поисково-исследовательская работа. Мы с вами вспомним все, что изучили о площадях. И постараемся сделать открытие новой формулы. Ведь мы сегодня с вами кто? Правильно! Исследователи!

II. Диагностический этап

1. Что мы с вами изучали на предыдущих уроках? (Изучали формулы площадей квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, треугольника.)

2. Что понимают под площадью многоугольника? (Площадь – это величина той части плоскости, которую занимает данный многоугольник.)

3. Чем выражается площадь? (Площадь выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения укладывается в данном многоугольнике.)

4. Что принято за единицу площади? (За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единице длины.)

5. Какие единицы измерения площадей вы знаете? (1мм², 1см² , 1дм², 1м², 1км²; 1 а, 1 га – в сельском хозяйстве; 1 барн = 10^-28м² – в химии и физике.)

6. Какие старинные русские единицы площади вы знаете? (1 кв.верста, 1 десятина, 1 кв.сажень.)

7. Назовите свойства площадей.

– Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

– Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

 – Свойство 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

8. Как можно найти площадь произвольной геометрической фигуры? (При помощи палетки, но это не совсем удобный способ, да и не точный)

– Палетка (от франц. palette – пластинка, планка), начерченная на прозрачной бумаге, стекле или целлулоидной пластинке сетка линий, образующих квадраты известных размеров, при помощи которых определяется площадь участков на плане или карте.

 9. Площади каких геометрических фигур мы умеем находить? Как? (площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, параллелограмма, ромба.)

10. Для чего нужно знать и уметь находить площади фигур? Где это применяется на практике? (В строительстве, в сельском хозяйстве.)

– Когда начали применять площади и для каких целей?

Сообщение.

Историческая справка

– Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово “геометрия”– греческое, в переводе означает “землемерие”. Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3–4 тыс.лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата, рек Китая имело значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенных знаний. По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н.э. люди умели определять площади треугольника, квадрата, прямоугольника, трапеции. Развитие архитектуры предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов площадей. Поэтому очень важно знать, как вычисляются площади фигур и уметь их вычислять.

III. Основной этап

– Ребята, послушайте высказывания, и выясните о какой фигуре пойдет речь на уроке. Свой ответ обоснуйте.

– Фигура представляет собой выпуклый многоугольник.

– Сумма её внутренних углов 360 градусов.

– А сумма внутренних углов, прилежащих к одной стороне 180 градусов.

– Данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.

– Что это за фигура?

– Правильно, это трапеция! Итак, сегодня мы поговорим о трапеции.

– А вам хотелось бы научиться находить площадь трапеции? (Да!)

IV. Систематизированный этап

Тема сегодняшнегозанятия: “Площадь трапеции”.

– Какой вопрос вы сейчас себе задаёте? (как найти площадь трапеции, для чего это нужно знать и где это будет использоваться?)

– Итак, вы сейчас сами сформулировали цельзанятия: найти удобный способ вычисления площади трапеции. Поисками этого способа мы сейчас и займёмся.

– Сначала вспомним определение трапеции. (Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.)

– Как называются стороны трапеции? (Основания и боковые.)

– Какое другое значение имеет это слово? Я просила вас найти информацию в толковом словаре или в Интернете. (Трапеция – цирковой снаряд; трапеция – стиль одежды.)

– Слово “трапеция” – произошло от слова “трапеза” – это обед у монахов или столик для принятия пищи.

– Как вы думаете, почему? (Трапеция похожа на столик.)

– Сегодня мы будем искать более удобный, более точный способ нахождения площади трапеции. У каждого из вас на столе лежат модели трапеции. Вы можете разрезать её на такие фигуры, площади которых мы умеем находить. Можете разбивать с помощью карандаша и линейки. Используя свойства площадей, найдите площадь трапеции.

– Как нужно обращаться с ножницами? (Осторожно, передавать только тупыми краями.)

– Итак, работаем! (Учащиеся работают: разрезают трапеции на части, выполняют необходимые измерения и вычисляют площади получившихся фигур.)

– Подведём итоги: назовите ваши результаты: S_тр= …

– Как вы находили S_тр?

– Какой способ лучше? (Последний.)

S = S₁ + S₂= ½ à·h + _.½ â·h= ½ (à + в)·h

Итак, S_тр= ½ (à + в)·h, где а и в – основания, h – высота.

Это и есть формула для вычисления площади трапеции. Записываем в тетрадь.

Ура! Мы с вами сделали открытие!

– В группах обменяться информацией о способах нахождения площади трапеции.

Возможные варианты предложенных решений(всего 12 способов) – и это не предел.

1. S трапеции=S треугольника +S прямоугольника +S треугольника.

2. S трапеции=S большого треугольника – S маленького треугольника.

3. S трапеции=S параллелограмма – S треугольника.

4. S трапеции=S прямоугольника – S треугольника –S треугольника.

5. S трапеции=S треугольника +S треугольника.

6. S трапеции=S параллелограмма +S треугольника.

– В группах обсудить варианты словесных формулировок формулы для нахождения площади трапеции.

Каждая группа предлагает свой вариант формулировки. После совместного обсуждения выбирается наилучший вариант.

– Сравнить полученную формулу и формулировку с предложенными в учебнике. Каждый ученик записывает в тетрадь формулу площади трапеции и формулировку, выбранную им.

V. Аналитический этап

Задачи.

1. Найдите площадь трапеции, если основания равны 6 см и 8см,а высота 4 см. (28 см²)

2. Верно ли найдена площадь трапеции?

S_{АВСД=50 см}²

Находят ошибку, анализируют ее и исправляют. (30 см²)

Ученикам предлагается решить задачу:

Найти площадь трапеции со сторонами оснований 10 см, 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

Каждая группа выбирает одно из решений и оформляет его в тетради. У доски демонстрируются планы решения задачи представителями групп.

Презентация проектов, оформление решения.

– А теперь, ребята, определим самое рациональное и оригинальное решение (? способ),

Самое естественное решение (? способ).

После того как задача решена несколькими способами, попробуем ответить на следующие вопросы:

1. Какими способами была решена задача?

2. Какой из них наиболее рациональный?

3. Какая закономерность между данными задачами была основной в каждом способе?

4. Нельзя ли рассмотреть эту задачу как частный случай более общей задачи?

5. Чем интересна данная задача?

Вопросы помогают учащимся осознать, какими новыми приемами обогатился их опыт решения задач.

– Исследование задачи при изменении фигуры.

После обсуждения способов решений, ребятам предлагаются задания на изменение фигуры. Можно предложить ответить на вопросы исследовательского характера:

1. Всегда ли трапецию можно разбить на три равных треугольника?

Это можно сделать только тогда, если одно основание в два раза больше другого.

2. Может ли трапеция быть составлена из трех равных треугольников другого вида?

Трапецию можно составить из трех правильных треугольников, равнобедренных и произвольных треугольников.

3. Сохраняться ли способы решения в этих случаях? Какие способы будут наиболее рациональными?

VI. Рефлексивный этап

Притча:

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день?”, и тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма”.

– Ребята, давайте попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок:

– Кто работал так, как первый человек? (Поднимают руки.)

– Кто работал добросовестно?

– Кто принимал участие в строительстве храма знаний?

Выставление оценок и их комментирование.

Дается оценка работы класса, отдельных учащихся.

VII. Информационный этап

Конструирование фигур из деталей игры «Танграм».

Урок сегодня завершен, 
Но каждый должен знать: 
Познание, упорство, труд, 
К прогрессу в жизни приведут!

Приложение №1

Найти площадь трапеции со сторонами оснований 10 см, 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

infourok.ru

Конспект урока «Площадь трапеции»

“ …Всё в природе подлежит измерению,
всё может быть сосчитано”
Лобачевский Н. И.

Дидактическая цель урока: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации средствами технологии проблемного обучения и с использованием элементов личностно-ориентированного обучения.

Цели урока:

• образовательные: продолжить формировать навыки выведения формул для вычисления площади многоугольников на примере трапеции, закрепить навыки решения задач по выведенной формуле;
• развивающие:
развитие воображения, мыслительных процессов анализа, сравнения, обобщения;
• воспитательные:
формирование коммуникативных умений.

Номер урока: первый.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления новых знаний.

Технологии обучения: личностно– ориентированная, технология сотрудничества.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, работа в группах.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал – треугольники, четырехугольники, трапеции, презентация.

Этапы урока:

1. Организационный этап.
2. Этап проверки домашнего задания.
3. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению материала.
4. Этап усвоения новых знаний.
5. Первичная проверка усвоения знаний.
6. Физкультминутка.
7. Этап первичного закрепления знаний.
8. Подведение итогов урока. .Рефлексия.
9. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Ход урока

1. Организационный момент. (1 мин.)

До начала урока учащиеся разбиваются на группы по 4 человека, выбирается в каждой группе ведущий (организует работу группы, осуществляет связь группы с учителем, фиксирует предложенные членами групп варианты ответов и оформляет результаты работы группы).

– Ребята, восточная мудрость гласит: “Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить”. И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он не старается узнать больше, нет желания работать над своим развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью. Сегодня у нас поисково – исследовательская работа. Мы с вами вспомним все, что изучили о площадях. И постараемся сделать открытие новой формулы. Ведь мы сегодня с вами кто? Правильно! Исследователи!

II. Этап проверки домашнего задания. (2 мин.)

1. Что мы с вами изучали на предыдущих уроках? (Изучали формулы площадей квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, треугольника.)

2. Что понимают под площадью многоугольника? (Площадь – это величина той части плоскости, которую занимает данный многоугольник.)

3. Чем выражается площадь? (Площадь выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения укладывается в данном многоугольнике.)

4. Что принято за единицу площади? (За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единице длины.)

5. Какие единицы измерения площадей вы знаете? (1мм², 1см² , 1дм², 1м², 1км²; 1 а, 1 га – в сельском хозяйстве; 1 барн = 10^-28м² – в химии и физике.)

6. Какие старинные русские единицы площади вы знаете? (1 кв.верста, 1 десятина, 1 кв.сажень.)

7. Назовите свойства площадей.

– Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

– Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

 – Свойство 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

8. Как можно найти площадь произвольной геометрической фигуры? (При помощи палетки, но это не совсем удобный способ, да и не точныйю)

– Палетка (от франц. palette – пластинка, планка), начерченная на прозрачной бумаге, стекле или целлулоидной пластинке сетка линий, образующих квадраты известных размеров, при помощи которых определяется площадь участков на плане или карте.

 9. Площади каких геометрических фигур мы умеем находить? Как? (площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, параллелограмма, ромба.)

10. Для чего нужно знать и уметь находить площади фигур? Где это применяется на практике? (В строительстве, в сельском хозяйстве.)

– Когда начали применять площади и для каких целей?

Сообщение.

Историческая справка (2 мин).

– Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово “геометрия”– греческое, в переводе означает “землемерие”. Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3–4 тыс.лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата, рек Китая имело значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенных знаний. По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н.э. люди умели определять площади треугольника, квадрата, прямоугольника, трапеции. Развитие архитектуры предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов площадей. Поэтому очень важно знать, как вычисляются площади фигур и уметь их вычислять.

1) Тест по проверке теоретического материала.

1. Выберите верные утверждения:

а) площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;

б) площадь квадрата равна квадрату его стороны;

в) площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.

2. Закончите фразу: площадь ромба равна половине произведения…

а) его сторон;

б) его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;

в) его диагоналей.

3. По формуле S= a∙h_а можно вычислить площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника;

в) прямоугольника.

4. Выберите верное утверждение. Площадь прямоугольного треугольника равна:

а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

б) половине произведения его катетов;

в) произведению его стороны на проведенную к ней высоту.

5. Площадь треугольника по известным трем сторонам можно вычислить с помощью:

а) теоремы Пифагора;

б) теоремы Фалеса;

в) формулы Герона.

– А теперь поменяйтесь тетрадями с соседом и выполните проверку. За каждое правильно выполненное задание 1 балл.

(Ответы высвечиваются на экране.)

Ответы: 1) а, б; 2) в; 3) а; 4)б; 5) в.

III. Актуализация знаний. (2 мин.)

– Ребята, послушайте высказывания, и выясните о какой фигуре пойдет речь на уроке. Свой ответ обоснуйте.

– Фигура представляет собой выпуклый многоугольник.

– Сумма её внутренних углов 360 градусов.

– А сумма внутренних углов, прилежащих к одной стороне 180 градусов.

– Данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.

– Что это за фигура?

– Правильно, это трапеция! Итак, сегодня мы поговорим о трапеции.

– А вам хотелось бы научиться находить площадь трапеции? (Да!)

IV. Изучение нового материала. (15 мин.)

Тема сегодняшнего урока: “Площадь трапеции”.

– Какой вопрос вы сейчас себе задаёте? (как найти площадь трапеции, для чего это нужно знать и где это будет использоваться?)

– Итак, вы сейчас сами сформулировали цель нашего урока: найти удобный способ вычисления площади трапеции. Поисками этого способа мы сейчас и займёмся.

– Сначала вспомним определение трапеции. (Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.)

– Как называются стороны трапеции? (Основания и боковые.)

– Какое другое значение имеет это слово? Я просила вас найти информацию в толковом словаре или в Интернете. (Трапеция – цирковой снаряд; трапеция – стиль одежды.)

– Слово “трапеция” – произошло от слова “трапеза” – это обед у монахов или столик для принятия пищи.

– Как вы думаете, почему? (Трапеция похожа на столик.)

– Сегодня мы будем искать более удобный, более точный способ нахождения площади трапеции. У каждого из вас на столе лежат модели трапеции. Вы можете разрезать её на такие фигуры, площади которых мы умеем находить. Можете разбивать с помощью карандаша и линейки. Используя свойства площадей, найдите площадь трапеции.

– Как нужно обращаться с ножницами? (Осторожно, передавать только тупыми краями.)

– Итак, работаем! (Учащиеся работают: разрезают трапеции на части, выполняют необходимые измерения и вычисляют площади получившихся фигур.)

– Подведём итоги: назовите ваши результаты: S_тр= …

– Как вы находили S_тр?

– Какой способ лучше? (Последний.)

S = S₁ + S₂= ½ à·h + _.½ â·h= ½ (à + в)·h

Итак, S_тр= ½ (à + в)·h, где а и в – основания, h – высота.

Это и есть формула для вычисления площади трапеции. Записываем в тетрадь.

Ура! Мы с вами сделали открытие!

– В группах обменяться информацией о способах нахождения площади трапеции.

Возможные варианты предложенных решений(всего 12 способов) – и это не предел.

1. S трапеции=S треугольника +S прямоугольника +S треугольника.
2. S трапеции=S большого треугольника – S маленького треугольника.
3. S трапеции=S параллелограмма – S треугольника.
4. S трапеции=S прямоугольника – S треугольника –S треугольника.
5. S трапеции=S треугольника +S треугольника.
6. S трапеции=S параллелограмма +S треугольника.

– В группах обсудить варианты словесных формулировок формулы для нахождения площади трапеции.

Каждая группа предлагает свой вариант формулировки. После совместного обсуждения выбирается наилучший вариант.

– Сравнить полученную формулу и формулировку с предложенными в учебнике. Каждый ученик записывает в тетрадь формулу площади трапеции и формулировку, выбранную им.

V. Первичное закрепление изученного материала.

Задачи.

1. Найдите площадь трапеции, если основания равны 6 см и 8см,а высота 4 см. (28 см²)

2. Верно ли найдена площадь трапеции?

S_{АВСД=50 см}²

Находят ошибку, анализируют ее и исправляют. (30 см²)

VI. Физкультминутка.

VII. Групповая работа, составление планов решения задачи.

Ученикам предлагается решить задачу:

Найти площадь трапеции со сторонами оснований 10 см, 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

Каждая группа выбирает одно из решений и оформляет его в тетради. У доски демонстрируются планы решения задачи представителями групп.

Презентация проектов, оформление решения.

– А теперь, ребята, определим самое рациональное и оригинальное решение (? способ),

Самое естественное решение (? способ).

После того как задача решена несколькими способами, попробуем ответить на следующие вопросы:

1. Какими способами была решена задача?
2. Какой из них наиболее рациональный?
3. Какая закономерность между данными задачами была основной в каждом способе?
4. Нельзя ли рассмотреть эту задачу как частный случай более общей задачи?
5. Чем интересна данная задача?

Вопросы помогают учащимся осознать, какими новыми приемами обогатился их опыт решения задач.

– Исследование задачи при изменении фигуры.

После обсуждения способов решений, ребятам предлагаются задания на изменение фигуры. Можно предложить ответить на вопросы исследовательского характера:

1. Всегда ли трапецию можно разбить на три равных треугольника?

Это можно сделать только тогда, если одно основание в два раза больше другого.

2. Может ли трапеция быть составлена из трех равных треугольников другого вида?

Трапецию можно составить из трех правильных треугольников, равнобедренных и произвольных треугольников.

3. Сохраняться ли способы решения в этих случаях? Какие способы будут наиболее рациональными?

VIII. Итог урока. Рефлексия.

Притча:

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день?”, и тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма”.

– Ребята, давайте попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок:

– Кто работал так, как первый человек? (Поднимают руки.)

– Кто работал добросовестно?

– Кто принимал участие в строительстве храма знаний?

Выставление оценок и их комментирование.

Дается оценка работы класса, отдельных учащихся.

IX. Домашнее задание: п. 126, задачи:

1. Найти площадь трапеции, у которой параллельные стороны имеют длины 25 см и 11 см, а непараллельные – 13 см и 15 см. Если вы найдете 5–6 решений, то получите за домашнюю работу оценку “5”, если 3–4 решения, то – “4”, если 1–2 решения, то “3”.
2. Составить трапецию из трех равнобедренных треугольников, выбрать самостоятельно длины сторон и вычислить площадь трапеции.

Урок сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд,
К прогрессу в жизни приведут!

urok.1sept.ru