6. Показательные уравнения и неравенства

6.1. Показательные уравнения

Определение 6.1. Показательными называются уравнения, у которых переменная содержится в показатели степени.

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.

1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию:

, где ,.

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Уравнения, в которых правая и левая часть не приводится к одному основанию, можно решить логарифмированием:

.

4. Введение новой переменной.

5. Уравнение вида , где,,,,.

6. Показательно-степенные уравнения

7. Функциональный метод.

Пример 6.1. Решить уравнение

.

Решение.

Ответ: .

Пример 6.1. Решить уравнение .

Решение. Найдем предварительно ОДЗ уравнения:

.

Тогда на ОДЗ получим:

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

Пример 6.2. Решить уравнение .

Решение. Так как левая часть является строго убывающей функцией, то любое положительное значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем, что решением уравнения является

.

Ответ: .

Пример 6.3. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 4:

.

Ответ:

.

Пример 6.4. Решить уравнение: .

Решение. Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 4. Тогда:

Ответ: .

Пример 6.5. Решить уравнение

.

Решение. Отметим, что

, ,.

Введем замену ,, тогда уравнение примет вид:

Сделаем замену: ,, тогда

.

Переходя обратно к переменной , получаем

Ответ: .

Пример 6.6. Решить уравнение

Решение. Проведем предварительно преобразование правой части уравнения

.

Тогда исходное уравнение привет вид:

Ответ: .

6.2. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств основывается на свойствах монотонности показательной функции . Напомним, что прифункция строго возрастает, а прифункция убывает.

Перечислим основные методы решения показательных неравенств.

1. Приведение обеих частей неравенства к одинаковому основанию:

;

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Введение новой переменной.

4. Логарифмирование обеих частей неравенства по выбранному основанию.

5. Неравенства вида , где,,,,.

6. Неравенства вида

Пример 6.7. Решить неравенство .

Решение. Так как ;, то, учитывая, что основание, исходное неравенство перепишется в виде:

.

Ответ:

.

Пример 6.8. Решить неравенство .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.9. Решить неравенство .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.10. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.11. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.12. Решить неравенство .

Решение. .

Сделаем замену ,, тогда исходное неравенство примет вид:

.

Ответ: .

Пример 6.13. Решить неравенство

Решение. .

Сделаем замену: ,, тогда

.

Ответ: .

Пример 6.14. Решить неравенство:

Решение.

Разделим обе части неравенства на , получаем.

Сделаем замену , тогда

.

Ответ: .

Пример 6.15. Решить неравенство:

Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

.

Ответ: .

Пример 6.16. Решить неравенство:

Решение.

Решим первую систему полученной совокупности:

Данная система решений не имеет.

Решим вторую систему совокупности:

.

Ответ: .

Пример 6.17. Решить неравенство .

Решение.

.

.

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

1.

2.

Сравним числа и. Так как, а, то, значит. Тогда получаем, что первая система решений не имеет, а решением второй служит промежуток.

Ответ: .

Пример 6.18. Решить неравенство: .

Решение. Область определения неравенства определяется условием . Исходное неравенство равносильно совокупности:

.

Из уравнения получаем.

Так как , то первое неравенство системы можно записать в виде

Учитывая условие , получаем решение системы – промежуток. Тогда решение исходного неравенства имеет вид.

Ответ: .

Пример 6.19. Решить неравенство

Решение. .

Сделаем замену , тогда

.

Ответ: .

Показательные уравнения и неравенства.

Инструкционная карта № 14

Тақырыбы/ Тема: «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств».

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с методами решения простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств. Уметь применять эти методы при решении упражнений.

2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).

3. Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.

Теоретический материал:

 Основные методы и приемы решения показательных уравнений

Пример 1. 3^х2-х-2=81— Метод уравнивания показателей.

Решение:

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример 2. 4^х+1+4^х=320— Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=3204^х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙4³, тогда:4^х∙5=5∙4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4^х=4³

Приравняем показатели: х=3

Ответ: 3

Пример 3. 4^х — 3·2^х +2 = 0 — Метод замены переменных

Сначала — как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение: 2^2х — 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае — 2^х) пишем другой, попроще (например — t).

Итак, пусть 2^х = t. Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t² — 3t+2 = 0

Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: t₁ = 2 ; t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает… Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁: t₁ = 2 = 2^х

Стало быть, 2^х = 2; х₁ = 1 Один корень нашли. Ищем второй, из t₂: t₂ = 1 = 2^х ; 2^х = 1

Гм… Слева 2^х, справа 1… Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да…), что единичка — это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: 1 = 2⁰ 2^х = 2⁰ х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня: х₁ = 1 х₂ = 0 — Это ответ.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах — считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего — квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству .
Если 0 монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству 

Пример 4. Решим неравенство 

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х

Ответ: .

Практическая часть:

I Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 0,8; б) ; в) 3; г) 4.

1. Решите неравенства:

а) 2 .

3. Решите систему уравнений: .

II Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 3; б) 2; в) 2; г) 9.

1. Решите неравенства.

а) 51; б) 0,7^х.

3. Решите систему уравнений: .

III Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 9^-х=27; б) ; в) 5; г) 9.

1. Решите неравенства:

а) ; б) 48.

3. Решите систему уравнений: .

IV Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 8^-х=16; б) 10^2х=0,1; в) 3; г) 4.

1. Решите неравенства:

а) ^-0,5; б) 9

3. Решите систему уравнений: .

V Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 2^х+2^х-3=18; б) ; в) ; г) 8.

2.Решите неравенства:

а) 5; б) 3

3. Решите систему уравнений: .

Контрольные вопросы:

1. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям?

2. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

3. Что общего в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?

4. Перечислите основные требования, соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств?

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Цель урока:

1. систематизировать знания о некоторых нестандартных способах решения, умение применять свойства функций, правила при решении уравнений и неравенств;
2. развивать умение видеть, умение распознавать рациональность применения того или иного способа;
3. прививать интерес к математике, воспитывать математическую грамотность ученика, как при устной, так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

• знакомство с целью урока; задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
• использование при решении задач:
  – монотонности функций;
  – «правила знаков»;
  – метода оценки;
  – освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

 / :

(Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

  следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

(Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

– Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:

– Применим теорему для функции f(f(x)).

– Сформулируем теорему:

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

Решение:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

– приведем подобные

 т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где  — возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

– Учитывая ОДЗ, получим:

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

Решение:

–Заметим, что .

;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4 группа. Решить уравнение:

;

Решение:

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

 

Решение: Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

функция f(x) > 0 при  учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:  

IV. Защита проектов.

– От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Решить уравнение:

I вариант.

II вариант.

– Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

 – Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1) Решить уравнение:

2) Решить неравенство:

а)

б)

VII. Итог урока.

– Подведем итог. Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке? На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки. Рассматриваются графические интерпретации этих способов.)

Показательно-степенные уравнения и неравенства (стр. 1 из 12)

белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Дипломная работа студента физико-математического факультета

Научный руководитель:

______________________________

Рецензент : _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г.

Содержание.

Введение.

«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со­стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попы­таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ­ляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи­терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходи­мостью — и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Введение.

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

1.Обучающий материал.

2.Задачи для самостоятельного решения.

Заключение. Выводы и предложения.

Список использованной литературы.

В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».

В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.

В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.

В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.

В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хⁿ, где n— натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxⁿ, где число kназывается коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) y = kx— нечетная функция (f( — х) = k( — х)= — kx= —k(х)).

3) При k> 0 функция возрастает, а при k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х², ее свойства:

Функция у —х². Перечислим свойства функции у = х².

Урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств» в рамках подготовки к ЕГЭ

Тип урока: повторительно-обобщающий урок.

Цели урока:

• образовательные – повторить различные методы решения показательных уравнений и неравенств,
• развивающие – развивать речь учащихся через обогащение и усложнение её словарного запаса, развивать мышление учащихся через умение анализировать, обобщать и систематизировать материал
• воспитательные – формирование гуманного отношения у учащихся к участникам образовательного процесса

Оборудование урока:

• интерактивная доска
• плакаты с графиками показательных функций
• конверты с заданиями, картами тематического контроля, карточками-консультантами.

Структура урока:

№	Основные этапы урока	Задачи, решаемые на данном этапе	Время
1	Организационный момент, вводная часть	создание доброжелательной атмосферы в классе настроить учащихся на продуктивную работу определить отсутствующих проверить готовность учащихся к уроку	2 мин.
2	Подготовка учащихся к активной работе (повторение)	проверить знания учащихся по теме: «Показательные функции – область определения, возрастание и убывание» осуществление развития речи и мышления отвечающих учащихся развитие аналитичности и критичности мышления учащихся через комментирование ответов одноклассников организовывать учебную деятельность всего класса во время ответа вызванных к доске учащихся	7 мин.
3	Этап обобщения и систематизации изученного материала (работа в группах)	проверить у учащихся умение решать показательные уравнения и неравенства различных видов сформировать у учащихся знания, отражаемые в виде идей и теорий, переход от частных идей к более широким обобщениям осуществлять формирование нравственных отношений учащихся к участникам образовательного процесса (во время групповой работы)	25 мин.
4	Проверка выполнения работы, корректировка (при необходимости)	проверить выполнение данных для групп заданий (их правильность) продолжать формировать у учащихся умение анализировать, выделять главное, строить аналогии, обобщать и систематизировать развивать умение вести дискуссии	8 мин.
5	Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания	сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения мотивировать необходимость и обязательность выполнения домашнего задания подвести итоги урока	3 мин.

Формы организации познавательной деятельности учащихся:

• фронтальная форма познавательной деятельности – на этапах II, IV, V.
• групповая форма познавательной деятельности – на III этапе.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый, аналитический, сравнительный, обобщающий, традуктивный.

Ход урока

I. Организационный момент, вводная часть

Учитель объявляет тему урока, цели урока и основные моменты урока. Проверяет готовность класса к работе.

II. Подготовка учащихся к активной работе (повторение)

1) На доске вывешены плакаты с графиками показательных функций. Учащиеся отвечают на вопросы (одинаковые для каждого вида графика), которые представлены на интерактивной деске.

• Назовите область определения функции
• Назовите область значений функции
• Найдите нули функции
• Какая из показательных функций является возрастающей, какая убывающей (от чего это зависит)
• Дать определение возрастающей функции на множестве Х (иллюстрация на интерактивной доске <Рисунок 1>)
• Дать определение убывающей функции на множестве Х (иллюстрация на интерактивной доске <Рисунок 2>)

2) Среди данных графиков выбрать те, уравнения которых приведены ниже, объяснить методику построения графиков (работа с интерактивной доской <Рисунок 3>).

Ответ:

а	б	в	г	д
№4	№5	№3	№8	№2

III. Этап обобщения и систематизации изученного материала (работа в группах)

Весь класс разбивается по группам (5-6 человек в группе). Желательно, чтобы в одной группе были учащиеся разного уровня подготовки. Среди них назначается руководитель группы (самый сильный учащийся), который и будет руководить работой группы.
Все группы получают конверты с заданиями (они одинаковы для всех групп), карточки консультанты (для слабых учащихся) <Приложение 1> и листы тематического контроля <Приложение 2>. В листах тематического контроля руководитель группы выставляет оценки каждому учащемуся группы за каждое задание и отмечает затруднения, которые возникли у учащихся при выполнении конкретных заданий.

Карточка с заданиями (* — указывает уровень сложности).

Задания для работы в группах.

I. Решить уравнения.

.

II. Решить неравенства.

;

IV. Проверка выполнения работы, корректировка (при необходимости)

Проверку выполнения заданий можно осуществлять следующим образом: дать на выполнение всех заданий 25 минут и начать проверку. Правильность выполнения заданий хорошо проверять с помощью интерактивной доски, на которой будет зафиксирован поэтапный ход решения <Приложение 3> . Разбор может проводится как кем-либо из учеников, так и учителем (в более трудных случаях).

V. Подведение итогов урока

Во время подведения итогов урока ещё раз следует обратить внимание учащихся на принципы решения показательных уравнений и неравенств. При даче домашнего задания произвести разбор наиболее трудных номеров.

Приложения

Решение показательных уравнений и неравенств.

Функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a^x:

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение a^f(x) = a^g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

  

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

  

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

  

Переходя к обратной подстановке, получаем:

  

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

  

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9^4-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2^x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4^x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3^x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

  

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3^2x, при этом (в силу положительности функции y = 3^2x) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

  

Решение:

  

Делим обе части неравенства на выражение:

  

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

  

Воспользуемся заменой переменной:

  

Исходное уравнение тогда принимает вид:

  

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

  

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

  

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

  

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

  

Итак, окончательный ответ:

  

Пример 10. Решите неравенство:

  

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x² направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

  

Ветви параболы y = x²-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

  

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3^x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3¹ = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

Цели и задачи:

— обобщить и закрепить знание основных свойств показательной функции и применение их при решении задач;

— закрепить умение распознавать виды показательных уравнений и неравенств и находить методы их решения;

— развивать навыки логического мышления и вычислительные навыки;

— воспитывать внимательность, аккуратность при выполнении графических работ.

План проведения урока.

I. Проверка домашней работы.

II. Устная работа.

III. Решение задач.

IV. Подведение итогов урока.

V. Домашнее задание.

Работа на уроке: дифференцированная. Уровни дифференциации: I — учащиеся с низкой степенью успешности обучения, II – учащиеся со средней степенью успешности обучения, III – учащиеся с высокой степенью успешности.

I. Проверка домашней работы

1. У доски проверяются задания, вызвавшие затруднения, и задания, которые необходимо обсудить.

2. Нескольким ученикам предлагаются карточки индивидуальной работы (желательно, дифференцированные). Примеры заданий для индивидуального опроса, где карточки №1 и №2 предназначены для учащихся I уровня, №3 и №4 – II уровня, №5 и №6 – III уровня.

№1. 1) Решите уравнение .

2) Сколько корней имеет уравнение ?

№2. 1) Решите неравенство .

2) Сколько решений имеет система уравнений .

№3. 1) Решите уравнение .

2) Простройте график функции .

Укажите множество значений функции.

№4. 1) Решите неравенство .

2) Постройте график функции .

№5. 1) Решите неравенство .

2) При каких значениях параметра m уравнение

не имеет решений?

№6. 1) Решите неравенство .

3. При каких значениях параметра n уравнение имеет решение?

II. Устная работа

Проводится одновременно с проверкой домашней работы. Устную работу лучше проводить в парах. Ответы на вопросы записываются каждым учеником пары, По окончании работы один экземпляр ответов сдаётся на проверку учителю, второй остаётся у учащихся для проверки правильности выполнения заданий при разборе результатов устной работы.

I вариант

1. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

2. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) .

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

II вариант

1. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) , где .

2. Какому из промежутков при надлежит корень уравнения:

а) ; б) ; в) ?

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

III вариант

1. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

III. Решение задач

Этот этап урока также проводится дифференцированно. Для выполнения каждого задания вызывается по одному ученику с каждого варианта. Ученик работает у доски, при этом учащиеся этого варианта, работающие индивидуально, имеют возможность контролировать правильность выполнения задания как у себя в тетради, так и у вызванного к доске школьника.

I вариант

1. Решите уравнения:

а) ; б) и найдите сумму корней уравнения.

2. Решите неравенства:

а) . Является ли число -1 решением этого неравенства?

б) ; в) .

3. Решите графически неравенство .

II вариант

1. Решите уравнения:

а) . Если уравнение имеет более одного корня, укажите их произведение.

б) .

2. Решите неравенства:

а) . Укажите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства.

б) .

3. Решите графически неравенство: .

III вариант

1. Решите уравнения:

а) на отрезке ;

б) .

2. Решите неравенства:

а) ; б) .

3. Постройте график функции . Сколько корней имеет уравнение при всех значениях параметра k?

IV. Подведение итогов урока

Ученикам объявляются оценки, даются рекомендации по исправлению недостатков в знаниях и работе, выслушивается мнение учеников о составляющих урока.

V. Домашнее задание

№ 210 (2,3), № 211 (1), № 213 (1) — для учащихся I уровня;

№ 210 (5,6), №211 (4), №213 (4) — для учащихся II уровня;

№214 (1,4), № 218 (2), № 222 (1) — для учащихся III уровня.