Способы решения простейших показательных уравнений – Урок 22. показательные уравнения. системы показательных уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 03.08.202021.01.2020 by alexxlab

Содержание

11. Методы решения показательных уравнений

Приведение к одному основанию

Логарифмирование обеих частей уравнения

Вынесение за скобку

Составление отношения

Замена переменной

12. Логарифмы

Логарифмом положительного числа а по положительному и не равному единице основанию b называется показатель степени, в который надо возвести число b, чтобы получить а.
	тогда и только тогда, когда		b ^c=a.
Основное логарифмическое тождество: .
Свойства логарифмов

Основные соотношения		Дополнительные соотношения
Логарифм произведения: . Логарифм частного: . Логарифм степени: . Переход к новому основанию: .
Примеры

Сравнить: Так как то

13. Логарифмическая функция

ешение простейших логарифмических уравнений основано на монотон-

ности логарифмической функции (а>0, а≠1).

у у

x>0

при любом

а>1

1 0<а<1

0 1 а х 0 1 х

возрастающая функция убывающая функция

14. Методы решения логарифмических уравнений

Метод уравнивания оснований

Замена переменной	Потенцирование уравнений

15. Тригонометрические функции

Косинусом числа t называется абсцисса точки Р_t единичной окружности, а синусом – ордината этой точки.

sin t Р_t (cos t; sin t)

1 0 t 1

cos t х

1

Тангенсом числа t

называется отношение sin t к cos t (cost≠0).

Ось тангенсов – прямая х=1.

Котангенсом числа t называется отношение cos t к sin t.

Ось котангенсов – прямая у=1.

у х=1

N(ctg t; 1) 1

ty=1

0 1 x

M(1; tg t)

Основные формулы

Дополнительные формулы



+

cost

 cos

sin

 sin

sin

sint

sin

 sin

cos

 cos

tgt

tg

tg

ctg

 ctg

ctg

 ctg

Периодичность

Четность

Значения тригонометрических функций некоторых углов

, рад

/6

/4

/3

/2



3/2

0⁰

30⁰

45⁰

60⁰

90⁰

180⁰

270⁰

sin

–1

cos

–1

tg

не опр.

ctg

не опр.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

 с

Формулы понижения степени

Дополнительные формулы

Конспект для обучающихся «Решение простейших показательных уравнений»

Тема: Показательные уравнения. Решение простейших показательных уравнений.

Комментарии

Решение

Задание 1. Найти корень уравнения:

Показательные уравнения удобно решать по следующей простой схеме.

1-й этап: привести обе части уравнения к одинаковым основаниям. В принципе, можно приводить левое основание к правому, правое к левому или оба основания к какому-либо третьему. А выбирать нужно тот вариант приведения, который проще с точки зрения вычислений.

В нашем примере удобнее поработать с правой частью:

Тогда уравнение будет выглядеть так:

2-й этап: приравнять «верхушки», то есть показатели степени.

3-этап: проверить полученный корень (корни).

Подставляем в исходное уравнение и проверяем, будут ли равны обе части уравнения:

Действительно, при левая часть уравнения равна правой.

4-й этап: внимательно (!) записать ответ.

Ответ: 14.

Задание 2. Найти корень уравнения:

1-й этап: привести обе части уравнения к одинаковым основаниям. Проще преобразовать правую часть уравнения к основанию 4:

Тогда уравнение будет выглядеть так:

2-й этап: приравнять «верхушки», то есть показатели степени.

3-этап: проверить полученный корень (корни):

Проверка показала, что корень найден правильно.

4-й этап: внимательно (!) записать ответ.

Ответ: 2.

Задание 2. Найти корень уравнения:

1-й этап: привести обе части уравнения к одинаковым основаниям. В этом примере лучше преобразовать обе части уравнения к основанию 8. С учетом того, что:

Получим такое уравнение:

2-й этап: приравнять «верхушки», то есть показатели степени.

3-этап: проверить полученный корень (корни):

Уравнение решено правильно.

4-й этап: внимательно (!) записать ответ.

Ответ: 10.

Тема: «Решение простейших показательных уравнений».

10 верно выполненных заданий – «5»

9, 8 верно выполненных заданий – «4»

7, 6, 5, 4 верно выполненных заданий – «3»

Ответы:

8,75

12,75

Показательные уравнения

Тема: Показательные уравнения (Приложение 1, слайд 1).

Цель:

1. Познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений.

2. Сформировать умения и навыки решения несложных показательных уравнений. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки взаимоконтроля.

3. Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности студентов. (Приложение 1, слайд 2)

Студент должен знать: способы решения простейших показательных уравнений.

Студент должен уметь: решать несложные уравнения, приводимые к видам: а^F(x)=a^G(x), а^F(x)=b.

Оборудование: плакат с устными упражнениями, раздаточный материал, учебник, жетоны, ПК.

Литература: Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, I ч., Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент.

Приветствие;
Перекличка;

II. Проверка д/з.

У доски на изученную тему, но несколько сложнее домашней, выполнить задание по карточке. (К₁)
На местах выполнить на отдельном листочке задания подобные д/р – 4 человека. (К₂, К₃, К₄, К₅)
Фронтально с группой (за правильный ответ студент получает жетон). (Приложение 1, слайды 3-16)

Какая функция называется показательной?

Какие из функций являются показательными?

у = 2^х

у =0,2^х

у = (х-2)²

у = х²

у = (П)^х

у = 3^-х

у = (-3)^х

у = 0,5^х

Какие характеристики функции вы знаете?

Что такое область определения функции?

Какова область определения показательной функции?

А какова область определения для функции у = (0,3)^х?

Что называется областью изменения функции?

Какова область изменения показательной функции?

А какова область изменения для функции у = (0,3)^х?

Какими свойствами может обладать показательная функция? Как эти свойства иллюстрируются графиком? (По таблице)

Какие функции называются монотонными?

Дайте определение возрастающей функции?

Дайте определение убывающей функции?

При каком условии показательная функция является возрастающей?

При каком условии показательная функция является убывающей?

Какие из показательных функций являются возрастающими и какие убывающими? (Приложение 1, слайд 17)

у = 5^х

у = (0,5)^х

у = (0,2)^х

у = (2/3)^х

у = 7^-х

у = (П)^х

у = (1/3)^х

Сравнить: (Приложение 1, слайд 18)

Вычисляя значения показательной функции, мы постоянно обращаемся к таблице степеней и свойствам степеней. (Приложение 1, слайд 19)

Используя свойство степеней, упростить выражения:

Разложить на множители: (Приложение 1, слайд 20)

Как эту степень представить в виде квадрата, какой-то другой степени? (Приложение 1, слайд 21)

25^х, 16^х, 81^х, 49^х, 4^х, 36^х.

Давайте послушаем и проверим, как на доске выполнено задание по карточке.

Зачитайте задание.

Графики, каких функций вы строили?

Как называется метод, которым вы решали данное уравнение?

Остальные карточки я проверю, и итог подведу в конце урока.

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. На прошлом занятии несколько ребят получили задание подготовить сообщения о применении показательной функции в природе и технике. Этого материала в учебнике нет. Вы должны расширять свой кругозор и в этом помогут их небольшие сообщения. Послушаем их.

Применение в природе и технике.

Нобелевские лауреаты. (Приложение 1, слайд 29)

Итак, показательная функция является основой изучения многих наук, в частности, вы будете изучать явления с помощью показательной функции на уроках физики, электротехники, на уроках механических дисциплин, материаловедении, экономике. Поэтому материал этот очень значимый. И сегодня на уроке мы будем опираться на ваши знания по показательной функции.

III. Мотивация учебной деятельности.

Какие задачи, связанные с понятием показательной функции у = а^х, мы можем решать?

Строить график.
Читать график.
Определять принадлежность тоски графику функции.
Находить область определения и область изменения функции.

А можно ли с помощью графика функции у = 2^х найти значение аргумента, при котором значение функции равно 64 или 32?

С помощью графика это сделать практически невозможно.

Значит, нам нужно найти новый метод решения задач такого типа.

Как называется такой метод?

Аналитический, алгебраический.

Как будет выглядеть запись поставленной задачи?

2^х = 64, 2^х = 32.

Что за выражение мы получили?

Уравнения, в которых переменная стоит в показателе степени.

Таким образом, тема нашего занятия “Показательные уравнения”, а цель: (Приложение 1, слайд 2)

Из всего многообразия уравнений уметь выделять показательные уравнения.
Познакомиться с методами решения показательных уравнений.
Научиться решать простейшие показательные уравнения.

IV. Изучение нового материала.

1. Определение. (Приложение 1, слайд 22)

Уравнения, содержащие переменную только в показателе степени, называются показательными.

2. Являются уравнения из домашней работы показательными? Откройте тетради и посмотрите. Объясните.

3. Рассмотрим методы решения показательных уравнений:

1) Метод уравнивания оснований: (Приложение 1, слайд 23)

кто сможет решить эти уравнения?

а) 2^х = 64, в) 3^х-2 = , б) 2^х = 32,

, , е) 4^2х-5 = -, ж) 5^х = 1

2) Метод вынесения общего множителя за скобки: (Приложение 1, слайд 24)

3) Метод логарифмирования: (Приложение 1, слайд 25)

Какую операцию будем применять к уравнениям в данном методе.

4) Метод замены переменной: (Приложение 1, слайд 26)

V. Закрепление изученного материала.

Трудная задача – научиться решать показательные уравнения будет упрощена, если уметь классифицировать уравнения по методам их решения.

1) Давайте, вместе определим метод решения данных показательных уравнений:

2^х+1 = 32,

7^х + 7^х+2 = 350,

25^х +5^х+1 -6 = 0,

9^х+4 = 2.

2) Предлагаю самостоятельно выполнить следующее задание.

Сгруппировать уравнения по методам решения. Таблица

Результаты занесите в таблицу: (Приложение 1, слайд 26)

Логарифмирования	Замена переменного (приведение к квадратному)	Уравнивание основание оснований	Вынесение общего множителя за скобки

А теперь поменяйтесь вариантами и проверьте соседа, как он выполнил задание.

И так, подведем итог. Что получилось в вашей таблице?

Смотрим на экран: “50 лет, юбилей, 1956”. (Приложение 1, слайд 29)

Наш техникум образован в 1956 году и осенью 2006 года отметил свой юбилей – 50 лет.

3) Работаем по учебнику Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике: стр.64, № 27 (2), 29 (3), 30 (1) решаем у доски.

4) Выполните самостоятельную работу по решению посмотреть, показательных уравнений.

Задания дифференцированные, по уровню сложности. Уровень сложности вы для себя выберете сами.

Самостоятельная работа

Собираю жетоны, оцениваю работы по карточкам, выставляю оценки.

Собираю работы за 5 мин до звонка.

VI. Домашнее задание: по учебнику Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, I ч, §23, п. 1, № 5.29, № 5,30, стр.225.

(Приложение 1, слайд 30)

Выберите каждый по 4 уравнения – степень сложности определите сами. А я буду оценивать д/р с учетом ваших возможностей.

Итог занятия.

VII. Озвучиваю и выставляю оценки.

Сегодня мы с вами познакомились с новым видом уравнений – показательными уравнениями, познакомились с методами их решения и научились решать простейшие уравнения. Мы говорили, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых того времени. Сейчас на дворе XXI век. Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте, достигайте уровня ученых наших дней. Информация к размышлению: в этом году Россия не получила ни одной Нобелевской премии.

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Урок «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений»

Цели урока:

Образовательные – Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приёмами решения показательных уравнений.
Развивающие – Сформировать умения и навыки решения несложные показательных уравнений. Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развить навыки самостоятельной работы. Развить навыки взаимоконтроля.
Воспитательные – Развить познавательный интерес к предмету. Развить творческие способности учащихся.

Оборудование урока: Кодоскоп, карточки с заданием, таблицы, меловые записи.

Тип урока: Комбинированный

Методические рекомендации

Для формирования мотиватиции познавательной деятельности учащихся использую систему проблемных вопросов, межпредметные связи. Адаптация материала к будущей профессиональной деятельности учащихся, студентов.

Преподаватель сообщает учащимся, что для изучения устройства и принципов работы подвижного состава необходимо умение пользоваться графическим материалом, чертежами.

А при изучении темs, связанной с электрическими установками, от учащихся требуется, чтобы они хорошо разбирались в графиках и их свойствах, умели преобразовывать графики этих функций.

Последовательность изложения.

I. Проверка усвоения учащимися пройденного материала через:

индивидуальную работу с учащимися по карточкам.

Устные упражнения.

Проверка домашнего задания через кодоскоп

II. Изучения нового материала.

Определение показательного уравнения.

Способы решения показательных уравнений.

Решение показательных уравнений.

III. Подведение итогов.

IV. Задание на дом.

V. Проверка знаний (самостоятельная работа).

Ход урока
Организационный момент.

Задача : подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие : проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид), организация внимания.

Этап проверки домашнего задания.

Задача : установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умение и навыки учащихся в области показательной функции.
Проверка домашнего задания через кодоскоп.
(а) Двое учащихся готовят домашние задание на пленке и проверяют через кодоскоп.
Карточка №1
Используя графики, найти корни уравнения:
(1\3)^x= х+1
Карточка № 2
Используя график, найти корни уравнения:
3^х= 11–х
(б) Двое учащихся выполняют задания на месте по карточкам
Карточка №3.
С целью определения пробелов в знаниях.
Вычислите:
2^4\5 * 2^4\5

((4\5)^–3)^–4\5

(16*25^)1\2

(5,1)⁰

16*2

Сравните: (1\3) ^1,4и (1\3)^1,28

Сравните: 2^3\5и 3^3\5

Карточка №4
Решение графических уравнений аналогичных домашним заданиям (1/2)^х=х+3.
(в) С остальными учащимися проводится фронтальная беседа по пройденной теме. Следить за правильностью ответов: активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.
Вопросы:
Дайте определение показательных функций.

Назовите основные свойства этой функции. Укажите, как эти свойства иллюстрируются графиком функции.

Какие из этих функций являются показательными:

А) у=2^х
Б) у=(O 2)^х
В) у=(х–2)³
Г) у=х²
Д) у=(п)^х
Е) у=(–3)^х
Ж) у=3^–х

Какие из показательных функций являются возрастающими и какие убывающими?

А) у=5^х
Б) у=(0,5)^х
В) у=(O 2)^х
Г) у=(2/3)^х
Д) у=(7)^–х
Е) у=(п)^х
Ж) у=(1/3)^х

Устная работа – актуализация знаний.

Как степень представить в виде произведения двух степеней?

А) 3^х* 3¹
Б) 5^х* 3²
В) 2^х+3
Г) 7^х+2

Вопросы:

а) Как можно упростить выражения?
б) Какое свойство степени мы применим?
в) А теперь мы применим эти свойства в обратном порядке, т.е. справа налево.

Как эту степень представить в виде квадрата, какой–то другой степени.

9^х=(3²)^х=(3^х)²
25^х=(5²)^х=(5^х)²
16^х=(4²)^х=(4^х)²
81^х=(9²)^х=(9^х)²
49^х=(7²)^х=(7^х)²

III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материла.
Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новой теме : “Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений”.
Преподаватель обращает внимание на уравнение 2^х= 16 и плакат (таб.№1), где сделана запись терминологии урока. И предлагает учащимся указать, какое из названных терминов соответствует этому уроку.
Итог этапа III – формирование темы урока.
IV. Этап изучения нового материала.
Задача: дать определения показательного уравнения, способы их решения, добиться умения определять вид показательного уравнения, отработать навыки их решения.
На доске записано определение показательного уравнения. Вывешивается плакат “Простейшие показательные уравнения” (таб.№2). Рассматривается на конкретных примерах методы и приемы решений показательных уравнений.
1. Метод уравнивания показателей. Записывает на доске следующее уравнение: 2^2х–4=64. И с помощью вопросов подключает учащихся к активной работе.
Предлагаем учащимся по желанию выйти к доске и решить уравнение: 5^3х–2=5^10–х
Делаем проверку. Ответ: х=3
Предлагаем учащимся по желанию выйти к доске и решить уравнение: 5^х2–5х+6=1
С помощью вопросов подключает учащихся к активной работе.
Делаем проверку. Ответ: х₁=2; х₂=3.
Преподаватель решает уравнение: 4^х–1=3^3х на доске, подробно объясняя ход решения, с помощью вопросов подключая учащихся к активной работе.
Как вы думаете можно ли таким методом решить это уравнение? Придется искать другой метод. В чем заключается этот метод (логарифмирования).
Ответ: x=1/1–3log₄3.
2. Метод замены переменных.
Преподаватель решает уравнение: 2*9^х–3^х+1–2=0 на доске, подробно объясняя ход действия.
Вопросы:
А можно ли это уравнение привести к одному основанию?
Чем оно отличается от предыдущего?
Какой вид можно придать этому уравнению?
Получаем квадратное уравнение относительно у.
Ответ: х= log₃2
Предлагается учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение: 4^х+2^х+1–24=0.
Делаем проверку. Ответ: x=2.
3. Метод вынесения общего множителя за скобки.
Преподаватель обращает внимание: за скобки выносите член с наименьшим показателем степени. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящий в левой части уравнении, разделить на вынесенный многочлен. Деление выполняется по правилу: a^m/aⁿ=a^m–n.
Решаем уравнение: 4^х+2–3*4^х–1=122.
Ответ: х=2/3
Преподаватель предлагает учащимся работу в парах решить уравнение: 7^х+2+4*7^х–1=347.
Ответ: х=1
Преподаватель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить уравнение: 5^х–3=7^х–3
Ответ: х=3
IV. Этап. Преподаватель подводит итоги с помощью устных вопросов, используются карточки (таб. №3):
– С какими методами решения показательных уравнений мы познакомились?
– Объясните методы следующих уравнений:

1) 3^х+2–3^х=72
2) 2 ^Цх+3=4
3) 7^2х–6*7^х+5=0
4) 4^х–2^х+1=48
5) 2^х=3+х
6) 2^х=3

Затем отмечает хорошую работу одних, недостаточную работу других учащихся, выставляет оценки за работу на уроке.

V. Этап. Домашнее задание.
Задачи: Сообщить домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Предлагает учащимся записать домашнее задание: п. 36(1) упр. № 460(б) 464(б)

VI. Этап. Закрепление нового материала.
Задача: Закрепить те знания и умения, которые необходимо для самостоятельной работы по новому материалу.
Учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу. Включается кодоскоп.
Самостоятельная работа.
1 вариант.

Решите уравнение:
1) 2^х+1=32;
2) 25^х+5^х+1– 6=0;
3) 3^х+1+3^х=108.

2 вариант.

Решите уравнение:
1) 3^2х–1=81;
2) 7^х+7^х+2=350;
3) 4^х+2*2^х–80=0.

Происходит взаимопроверка.
На кодоскопе даются ответы самостоятельной работы.

Линейное
Квадратное

Показательное

Логарифмическое

Иррациональное

Тригонометрическое

Таб.№1

Таб. №2
Основные методы и приемы решения показательных уравнений

Таб. №3
План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»

Цели урока:

Образовательные:
познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:
развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:
воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Оформление: эпиграф:
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.
С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:
Какая функция называется показательной?

Область значений показательной функции.

Что называется корнем уравнения?

Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4^х?

Сравнить числа 2,7³ и 1.

Что является графиком линейной функции?

Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5^x, 4) у = x³.

3
. Математический диктант.
Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).
1.а) является ли убывающей функция y =2^x.
б) является ли возрастающей функция y = (0,3)^x.
2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?
3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?
4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a^x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a^x = b не имеет корней.
5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2^x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3^x = 0,09.
4. Изложение нового материала.
Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.
Так как показательная функция а^хмонотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в^{>0. Именно к виду а^х=в надо
сводить более сложные уравнения.}
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.
1.Простейшие уравнения: (устно)
а)2^х-5= 16
Приведение обеих частей к общему основанию:
2^х-5= 2⁴
Данное уравнение равносильно уравнению:
х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.
б)3^х= -9
Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.
7^х + 7^х+2= 350
7^х + 7^х7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х= 7
х = 1
Ответ: х=1.
3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
16^х – 174^х + 16 = 0
Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:
t² — 17t + 16 = 0
Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:
t₁=1, t₂=16
Если t₁= 1, то 4^х = 1, 4^х= 4⁰, х₁= 0.
Если t₁= 16, то 4^х = 16, 4^х= 4², х₂= 2
Ответ: х₁= 0, х₂= 2.
4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.
При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.
15^х + 20^х = 25^х
Корень данного уравнения равен 2.
Действительно, при подстановке получаем верное равенство:
15²+ 20² = 25²
625 = 625
Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:
+= 1
+= 1
Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: х = 2.
5. Графический метод.
Решить уравнение: 4^х = 5-х
В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^хи у = 5-х
Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций
у = 4^хи у = 5-х
Проверка: х = 1, 4¹= 5-1, 4 = 4 (верно)
Ответ: х = 1.
6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.
2 · 2³· 2⁵·… ·2^2х-1 = 512
2^{1+3+5+…+2х-1} = 512
Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁= 1:
S_n =х= х·х = х²
⁹
х² = 9
х₁= 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)
Ответ: х = 3.
7.Однородные показательные уравнения второй степени.
6 ·4^х – 13 6^х + 6 ·9^х = 0
6 ·2^х – 13 ·2^х 3^х +6· 3^2х = 0
Так как 3^2х0, то разделим обе части уравнения на 3^2х, тогда получим
^–
6· (^2х – 13· (^х + 6 = 0
Путь(^х =t, тогда получим уравнение 6t² – 13t + 6 = 0
D = 13² -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25
t₁=_, t₂ =_.
Если t₁=^х = _,^х = ()¹, х₁= 1.
Если t₂=^х = _,^х = ()^-1, х₂= -1.
Ответ: х₁= 1, х₂= -1.
Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.
На доске написаны 5 уравнений:
2.3^х-1 -3^х + 3^х+1= 63
3.3^-х = —
4.64^х – 8^х –56 = 0
5.3^х +4^х = 5^х ( устно)
К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.
Так как 31, то
= 0
По теореме Виета получаем:
х₁₌4, х₂=5.
Ответ: х₁=_{4, х₂= 5.}
2. 3^х-1 — 3^х + 3^х+1= 63
Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:
3^х 3^-1 – 3^х + 3^х 3 = 63
Выносим общий множитель за скобки:
3^х(
3^х
3^х =
3^х = 27
3^х= 3³
х = 3
Ответ: х = 3.
3.3^-х = —
Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3^-х и у = –
Ответ: х=-1.
4.64^х – 8^х – 56 = 0
(8²)^х – 8^х – 56 = 0 или
(8^х)² – 8^х – 56 = 0
Введем новую переменную t = 8^х, тогда уравнение примет вид:
t²– t – 56 = 0
По теореме Виета:
t₁+ t₂=_{1

t₁ t₂=
– 56

t₁= 8, t₂= -7 (не удовлетворяет, так как
показательная функция принимает только
положительные значения)}
Если t₁= 8, то 8^х= 8, 8^х= 8¹, х = 1.
Ответ: х = 1.
5.3^х + 4^х = 5^х (устно)
Ответ: х = 2.

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.
Домашняя контрольная работа.

I вариант

II вариант

Решите уравнения.

Решите уравнения.

5^2-3x = 1/25;

6^x+2 – 2•6^x = 34;

4•2^2x – 5•2^x+1 = 0;

5^2x+5– 2^2x+10+ 3•5^{2x+2 –} 2^2x+8 = 0;

25^x = 7^2x;

3^x = -x-2/3.

4^1-2x = 1/16;

2^x+3+ 3•2^x+1 = 28;

6•3^2x – 3^x – 5 = 0;

3^2x+5 – 2^2x+7 + 3^2x+4 – 2^2x+4 = 0.

2^2x = 91^x;

5^x = -x + 6.

Резерв.
Кроссворд “И в шутку и всерьез”.
По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.
По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.
Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.
Семинар «Методы решения показательных уравнений». 11-й класс

Цели урока:
1. Изучить основные методы решения показательных уравнений.
2. Развитие логического мышления учащихся на основе единства этих методов для уравнений всех типов.
3. Воспитание грамотности речи, аккуратности, культуры поведения.

Тип урока: семинар.

Оборудование: мультимедийная приставка, ПК, экран.

Структура урока

I
Актуализация опорных знаний
5 мин

II
Изучение нового материала
20 мин

III
Закрепление материала
10 мин

IV
Домашнее задание
2 мин

V
Итоги урока
5 мин

I. Актуализация опорных знаний

Устный счет: 1. Вычислите:
2. Упростите выражения:
А) , где а>0
Б) , где а<0
В)
3. Укажите область значений функции:

II. Изучение нового материала

Изучение нового материала проводится в форме семинара. Для этого учащиеся за неделю до урока разбиваются на группы, каждая из которых, готовит задания по одному из методов решения показательных уравнений. Группа технического обеспечения подготовила весь учебный материал семинара в Power Point. Группа экспертов прорабатывала весь материал и составляла вопросы выступающим.
Тема урока (создание проблемной ситуации): довольно часто при решении различных задач приходится отыскивать показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое. Например: = 1; = -3; = и т. д.
Не всегда это возможно сделать устно, поэтому необходимо знать методы решения показательных уравнений, т. e. уравнений, неизвестные величины которых представляют собой показатели степеней. С методами решения таких уравнений мы и познакомимся на сегодняшнем семинаре. Сообщаю тему и план семинара.
Семинар.

Методы решения показательных уравнений.
1. Простейшие показательные уравнения.
Ученик выходит к экрану, на который спроектировано решение уравнений (1), (2), (3) и поясняет их решение. Ученики записывают их решение в тетрадь и задают вопросы.

Задают вопросы и представители группы экспертов:
Почему при решении уравнения (2) > 0 ?

Как иначе можно представить решение уравнения (3) ?

Аналогично рассматриваются оставшиеся вопросы семинара.

2. Метод приведения к одному основанию.
Вопросы экспертов:
От чего зависит количество корней данного уравнения ?

Какое свойство степеней используется при освобождении от квадратного корня ?

3. Способ подстановки.
Вопросы экспертов:
Какое свойство степеней используется при преобразовании уравнения?

Почему t>0?

Какую другую замену можно сделать при решении этого уравнения?

4. Метод почленного деления.
Вопросы экспертов:
Почему не сделали проверку при условии, что =0 ?

Можно ли произвести деление обеих частей уравнения на ,

5. Метод группировки.
Вопросы экспертов:
Что нужно изменить в решении уравнения, чтобы получить основание степени ?

При каком условии данное уравнение не имело бы решения ?

Какой ответ мы бы получили, если бы пришли к простейшему уравнению вида ?

Выслушав выступления своих товарищей, учащиеся класса заполняют табличку рейтинга выступлений, в которой цифрами 1, 2, 3, 4, 5 указывают места понравившихся ответов.
Группа экспертов подводит итоги рейтинга каждого выступающего и ее представитель при подведении итогов урока сообщает это всему классу.

III. Закрепление материала

Для закрепления материала я использую таблицу (Таблица 1), на которой представлены показательные уравнения, для решения которых, нужно использовать разные способы решения и предлагаю провести их классификацию по методам решения. Работа идет в форме беседы.

IV. Домашнее задание

Для выполнения домашнего задания предлагаю учащимся решить пять уравнений из таблицы (по одному на каждый из методов решения). Для группы увлекающихся математикой решить уравнения, обозначенные звездочкой.

V. Итоги урока

При подведении итогов урока учащиеся кратко отвечают на вопросы:
Назовите тему семинара?

Какие методы решения показательных уравнений вы изучили?

Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?

Какой из методов решения показательных уравнений вам понравился больше всего и почему?

Эксперт знакомит учащихся с результатами рейтингов ответов.
Презентация
Урок алгебры по теме «Решение показательных уравнений»
Урок по теме: «Решение показательных уравнений»
( модульная технология)
Учитель математики
МБОУ»Богатищевская СОШ»
Артамонова А.Е.
Тип урока: урок повторения и обобщения знаний, закрепления умений.
Цели и задачи урока:
1) образовательные – сформировать у учащихся умение различать показательные уравнения по способам решения, отработать навыки решения всех видов показательных уравнений;
2) развивающие – развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания; развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации; развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, делать выводы и обобщать;
3) воспитательные – воспитывать трудолюбие, умение общаться со своими сверстниками в процессе работы в парах, культуру поведения, чувство ответственности.
Оборудование урока: презентация, магнитная доска, карточки; чистые листы для самостоятельной работы; основные формулы свойств степеней;
Литература:
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. : Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни /С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — 3-е изд. -М.: Просвещение, 2016.
М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл сред. шк..
Решение задач по математике. М. И. Сканави / Авт.- сост. Мардыко Е.Н. – Мн.: «современное слово» 1999.
Математика. Задачи М. И. Сканави с решениями. М.34. Сост. С. М. Марач, П. В. Полуносик. – Мн.: изд. В. М. Скакун,1998.
Структура урока:
Организационный этап
Мотивация.
Этап применения знаний и способов деятельности
Подведение итогов. Рефлексия.
Ход урока:
Учебный материал с указанием заданий.
Руководство по усвоению материала
УЭ0
2
мин
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ:
Задача: подготовить учащихся к работе на уроке. Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку, организация внимания.
Знания, не рожденные опытом, матерью всякой достоверности, бесплодны и полны ошибок.
Леонардо да Винчи
Сегодня на уроке мы повторяем, приводим в систему наши знания по решению показательных уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.
Напомнить учащимся, что в процессе работы над учебными элементами учащиеся они уметь:
1 уровень – решать простейшие показательные уравнения; решать показательные уравнения по заданному алгоритму.
2 уровень – решать показательные уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.
3 уровень – применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
1 уровень – самый общий, т.е. знаниями этого уровня должны овладеть все учащиеся.
2 уровень включает все, что достигнуто на 1 уровне, но в более сложном виде.
3 уровень – все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, но теперь должно применяться в нестандартных ситуациях.
Внимательно ознакомьтесь с интегрирующей целью модуля.
УЭ1-УЭ4 соответствуют 1 уровню подготовки.
УЭ5 обеспечивает 2 уровень.
УЭ7 – 3 уровень подготовки.
Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом.
УЭ 1
7мин
Показательные уравнения встречаются при проведении всевозможных экзаменов (в том числе ЕГЭ), конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень важно научиться их решать, определять способы решения показательных уравнений.
Решите уравнения

4.Найти ошибки в решениях показательных уравнений:
УЭ 2
10
мин
Цель: закрепить решение простейших показательных уравнений.
Решите самостоятельно уравнения :
2 вариант
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(2 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(2 балла)
Вспомните основные правила решения показательных уравнений, используя учебник под редакцией С.М Никольского
Выполните письменно самостоятельную работу.
Проверьте правильность решения с учителем. Проставьте число набранных баллов в свой оценочный лист. Если набрано 5 баллов и больше, переходите к УЭ2. Если набрано меньше 5-ти баллов, следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».
УЭ 3
10
мин
Цель: закрепить решение показательных уравнений, разложением на множители.
Метод разложения на множители состоит в том, что надо вынести общий множитель за скобки, преобразовать выражение в скобках и перейти к простейшему показательному уравнению.
Пример. Решить уравнение .
Воспользуемся основными свойствами показательной функции : .
Вынесем общий множитель за скобку, получим:
,
,
,

х=1
Ответ: 1.
2 вариант
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(3 балла)
(3 балла)
Работая в парах, прочитайте внимательно данные объяснения.
Выполните самостоятельные работы.
Проверьте свою работу с учителем, исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.
Если набрано 4 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.
УЭ4
(8 мин)
Цель: закрепить умения решать показательные уравнения методом сведения к квадратному.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через у, получив при этом квадратное уравнение относительно у.
Пример. Решить уравнение .
Решение: ,
,

Если ввести y = , учитывая, что у0, то получим квадратное уравнение
Оно имеет корни у=1 и у = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
или = 3.
Уравнение имеет решение x = 0.
Уравнение = 3 имеет решение x = 1.
Ответ: 0; 1.
Выполните самостоятельные работы.
Проверьте свою работу с учителем, исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.
Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.
УЭ5
(8 мин)
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.
Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.
Пример 1. Решить уравнение .
Поделим обе части уравнения на или . Необходимо указать, что это выражение никогда не обращается в нуль, значит можно поделить уравнение на :
Получим уравнение . Отсюда ,т.е.х= 0.
Решение однородных уравнений вида кначинается с того, что обе части уравнения делят на .
Пример 2. .
Решение. Данное уравнение является однородным. Так как
то можно обе части уравнения поделить на любое из них. Получим ,
,
Обозначим получим . Корнями квадратного уравнения являются числа у= -2 и у= 1.
Учитывая, что у0, получаем т. е. х=0
Ответ: 0.
Самостоятельная работа.
Работая в парах, прочитайте пояснения и выполните самостоятельно задания.
Если набрано 5 баллов, то можно переходить к УЭ5. Если набрано менее 5 баллов, то нужно прорешать тот пример другого варианта, где допущена ошибка.
УЭ 6
(2 м)
Физкультминутка. Примите удобную позу сидя на стуле. В положении сидя, ноги согнуты в коленях под углом приблизительно 100 градусов. Согните стопу, опираясь на пятку и приведя к голени, свободно отпустите. Вместе и попеременно.
УЭ 7
(20 мин)
Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Самостоятельная работа.
(задания не ограничиваются временными рамками, так как их решают далеко не все учащиеся )
(3 балла)
(3 балла)
3 (4 балла)
(4 балла)
(3 балла)
(4 балла)
Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.
Можно воспользоваться подсказками.
1.Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и перейдите к дробно рациональному уравнению.
2. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и перейдите к квадратному уравнению.
3. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и примените способ группировки.
4. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и приведите к одному основанию.
5.Преобразуйте левую часть уравнения и приведите к одному основанию.
6.Воспользуйтесь формулой двойного угла для cos2x, и перейдите к квадратному уравнению.
УЭ 8
Дифференцированная домашняя работа.
На “3”. Решите уравнения:
1)
2)
3)
На “4”. Решите уравнение:
1)
2)
3)
На “ 5”. Решите уравнение:
1)
2)
3)
Дети выбирают сами.
3
мин
Подведение итогов. Выставление оценок.
Оценка за весь модуль зависит от суммы баллов по всем учебным элементам. Если сумма больше 22, то вы получаете «5», при получении от 15 до 22 баллов – оценка «4», при получении от 10 до 14 баллов – оценка «3», менее 10 балла вы получаете «2». Для тех, кто получил неудовлетворительную оценку проводится коррекционная контрольная работа.
Рефлексия.
1.Прочитайте ещё раз требования к уровню подготовки и ответьте на вопрос:
— Достигли ли Вы цели урока? Над чем необходимо поработать?
2. Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?
Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.
Приложение 1. Оценочный лист учащегося.
2 вариант
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(2 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(2 балла)
Вспомните основные правила решения показательных уравнений, используя учебник под редакцией А.Н.Колмогорова.
Выполните письменно самостоятельную работу.
Проверьте правильность решения с учителем. Проставьте число набранных баллов в свой оценочный лист. Если набрано 5 баллов и больше, переходите к УЭ2. Если набрано меньше 5-ти баллов, следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».
УЭ 3
10
мин
Цель: закрепить решение показательных уравнений, разложением на множители.
Метод разложения на множители состоит в том, что надо вынести общий множитель за скобки, преобразовать выражение в скобках и перейти к простейшему показательному уравнению.
Пример. Решить уравнение .
Воспользуемся основными свойствами показательной функции : .
Вынесем общий множитель за скобку, получим:
,
,

х=1
Ответ: 1.
2 вариант
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(1 балл)
(2 балл)
(2 балла)
(3 балла)
(3 балла)
Работая в парах, прочитайте внимательно данные объяснения.
Выполните самостоятельные работы.
Проверьте свою работу с учителем, исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.
Если набрано 4 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.
УЭ4
(8 мин)
Цель: закрепить умения решать показательные уравнения методом сведения к квадратному.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через у, получив при этом квадратное уравнение относительно у.
Пример. Решить уравнение .
Решение: ,
,

Если ввести y = , учитывая, что у0, то получим квадратное уравнение
Оно имеет корни у=1 и у = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
или = 3.
Уравнение имеет решение x = 0.
Уравнение = 3 имеет решение x = 1.
Ответ: 0; 1.
Выполните самостоятельные работы.
Проверьте свою работу с учителем, исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.
Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.
УЭ5
(8 мин)
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.
Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.
Пример 1. Решить уравнение .
Поделим обе части уравнения на или . Необходимо указать, что это выражение никогда не обращается в нуль, значит можно поделить уравнение на :
Получим уравнение . Отсюда ,т.е.х= 0.
Решение однородных уравнений вида кначинается с того, что обе части уравнения делят на .
Пример 2. .
Решение. Данное уравнение является однородным. Так как
то можно обе части уравнения поделить на любое из них. Получим ,
,
Обозначим получим . Корнями квадратного уравнения являются числа у= -2 и у= 1.
Учитывая, что у0, получаем т. е. х=0
Ответ: 0.
Самостоятельная работа.
Работая в парах, прочитайте пояснения и выполните самостоятельно задания.
Если набрано 5 баллов, то можно переходить к УЭ5. Если набрано менее 5 баллов, то нужно прорешать тот пример другого варианта, где допущена ошибка.
УЭ 7
(20 мин)
Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Самостоятельная работа.
(задания не ограничиваются временными рамками, так как их решают далеко не все учащиеся )
(3 балла)
(3 балла)
3 (4 балла)
(4 балла)
(3 балла)
(4 балла)
Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.
Можно воспользоваться подсказками.
1.Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и перейдите к дробно рациональному уравнению.
2. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и перейдите к квадратному уравнению.
3. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и примените способ группировки.
4. Воспользуйтесь основными свойствами показательной функции и приведите к одному основанию.
5.Преобразуйте левую часть уравнения и приведите к одному основанию.
6.Воспользуйтесь формулой двойного угла для cos2x, и перейдите к квадратному уравнению.
УЭ 8
Дифференцированная домашняя работа.
На “3”. Решите уравнения:
1)
2)
3)
На “4”. Решите уравнение:
1)
2)
3)
На “ 5”. Решите уравнение:
1)
2)
3)
Дети выбирают сами.