Урок 13. степень с натуральным показателем — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 13

Степень с натуральным показателем

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— понятие степени с натуральным показателем;

— вычисление квадрата числа;

— вычисление куба числа.

Тезаурус

Степень числа а с натуральным показателем n (n > 1) – это произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а. Записывается aⁿ, а- основание степени, n- показатель.

Квадрат числа – это вторая степень числа.

Куб числа – это третья степень числа.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нам известно, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче – в виде произведения:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 5

Произведение одинаковых чисел также можно записать короче:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4⁵

Это произведение можно записать короче, полученный результат называют степенью. Читается так: «четыре в пятой степени».

Запись 4³ (четыре в степени три) означает 4 ∙ 4 ∙ 4.

Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называют произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а:

Рассмотрим несколько примеров. Вычислим 2⁵, 2 в качестве множителя повторяется 5 раз, значит: 2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32.

Теперь вычислим 3⁷. 3 в качестве множителя повторяется 7 раз, значит: 3⁷ = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 2187.

Таким образом, можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, большим единицы. Стоит запомнить, что любое число в первой степени будет ровняться ему самому, т. е. a¹ = a.

Вторую степень числа называют квадратом числа. Запись 4² читают «четыре в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа. Запись 4³ читают «четыре в кубе».

Обратите внимание на таблицы квадратов и кубов натуральных чисел. Со временем вы их запомните.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Найдите чему равно 13⁴ = ____.

Решение: чтобы узнать чему равно 13⁴, надо представить 13⁴ в виде произведения четырёх одинаковых множителей и выполнить умножение: 13⁴ = 13 ∙ 13∙ 13 ∙ 13 = 28561.

Ответ: 13⁴ = 28561

№ 2. Чему равна пятая степень 19? Выберите верный ответ.

1. 247699
2. 2476099
3. 247609
4. 2467099

Решение: чтобы вычислить 19⁵, надо представить 19⁵ в виде произведения пяти одинаковых множителей и выполнить умножение: 19⁵ = 19 ∙ 19∙ 19 ∙ 19 = 2476099.

Ответ: 2. 2476099

Возведение в степень | Математика

6. Подобно тому, как сложение одинаковых чисел привело к новому действию – к умножению, так точно умножение одинаковых чисел может привести к мысли о необходимости создания нового действия. Это новое действие, заменяющее собой умножение одинаковых чисел, называется возведением в степень.

Вместо a ∙ a ∙ a ∙ a пишут a⁴,

что читают: «возвести число a в четвертую степень». Также точно:

17² = 17 ∙ 17 = 289; 6³ = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216; 3⁵ = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243;
; и т. п.

Для возведения в степень задаются 2 числа: одно выражает каждый множитель, – и оно называется основанием степени, другое показывает число одинаковых множителей, – оно называется показателем степени; в результате возведения в степень получается новое число, выражающее произведение одинаковых множителей – оно называется степенью. Вот пример, где указано значение этих названий:

Если показатель степени = 2, то вместо «возвести во вторую степень» говорят «возвести в квадрат», а вместо слова «степень» употребляют название «квадрат». Также точно вместо «третьей степени» употребляют название «куб» («возвести в куб»).

Читают:
     a². . . . . квадрат числа a
     b³. . . . . куб числа b
     x⁴. . . . . четвертая степень числа x
     cⁿ. . . . . n-ая степень числа c и т. д.

Вот более сложные формулы:
     a² + b² . . . . сумма квадратов чисел a и b
     (a + b)² . . . . квадрат суммы чисел a и b
     (a + b + c)³ . . куб суммы трех чисел
     . . . частное от деления разности квадратов двух чисел на сумму квадратов тех же чисел
     a + a² + a³ + a⁴ . . . сумма первой, второй, третьей и четвертой степеней числа a и т. д.

Возведение в степень не обладает переместительным законом, т. е. a^b не равно b^a. Это видно из простейших примеров:

3² = 3 ∙ 3 = 9, но 2³ = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени

Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

Так      2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
     2.2.2 = 8, куб или третья степень.
     2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также,      10.10 = 100, вторая степень 10.
     10.10.10 = 1000, третья степень.
    10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И      a.a = aa, вторая степень a
     a.a.a = aaa, третья степень a
     a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а² равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a³ означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a¹ записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a.      Но a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a^x, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, b^m и dⁿ возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b^m = b³; но если m = 5, тогда b^m=b⁵.

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде      aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или        a⁵, a⁴, a³, a², a¹;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a², второй член. И a³.a = a⁴
     a².a = a³, третий член. a⁴.a = a⁵.

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a⁵:a = a⁴      и a³:a = a².
a⁴:a = a³       a²:a = a¹

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
     1:a = 1/a      (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a⁵, a⁴, a³, a², a, 1, 1/a, 1/a², 1/a³.

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a³) = a³.

Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b)³, (a + b)², (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)², 1/(a + b)³.

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a¹ = a^-1. И 1/aaa или 1/a³ = a^-3.
1/aa или 1/a² = a^-2. 1/aaaa или 1/a⁴ = a^-4.

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a⁰.

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать      a⁴, a³, a², a¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.
Или      a⁺⁴, a⁺³, a⁺², a⁺¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
     +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa)² есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa)³ есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a⁴ или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y⁶ или yyyyyy.
N-ая степень x есть xⁿ или xxx….. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay)² =a²y²; (ay)² = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a²y².
Так, (bmx)³ = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b³m³x³.

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)⁴, или d⁴h⁴y⁴.

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)³, или 4³b³, или 64b³.

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)ⁿ или 6ⁿaⁿdⁿ.

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)³, или 27m³.8y³.

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

Квадрат a — b, есть a² — 2ab + b².

Квадрат a + b + h есть a² + 2ab + 2ah + b² + 2bh + h²

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a² + 2ah + h²      также, (a — h)(a — h) = a² — 2ah + h².

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a² + 4ab + b².

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a²b² + 2abcd + c²d².

Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d₂ + 6dh + h².

Пример 4. Квадрат a — 1 есть a² — 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b)².
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)ⁿ

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]² или (a + b)².(c + d)².

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]³, или a³.(b + d)³.

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a²
Третья степень (-a) есть -a³
Четвёртая степень (-a) есть +a⁴
Пятая степень (-a) есть -a⁵

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a²
И -a.-a = +a²

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Для a² = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a⁶; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a².

Четвертая степень a³b² есть a^3.4b^2.4 = a¹²b⁸

Третья степень 4a²x есть 64a⁶x³.

Пятая степень (a + b)² есть (a + b)¹⁰.

N-ая степень a³ есть a³ⁿ

N-ая степень (x — y)^m есть (x — y)^mn

(a³. b³)² = a⁶.b⁶

(a³b²h⁴)³ = a⁹b⁶h¹²

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a^-2 есть a^-3.3=a^-6.

Для a^-2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a⁶ = a^-6

Четвертая степень a²b^-3 есть a⁸b^-12 или a⁸/b¹².

Квадрат b³x^-1, есть b⁶x^-2.

N-ая cтепень ax^-m есть x^-mn или 1/x.

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a³ есть +a⁶. Квадрат -a³ есть -a³.-a³, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a⁶.

2. Но куб -a³ есть -a⁹. Для -a³.-a³.-a³ = -a⁹.

3. N-ая степень -a³ есть a³ⁿ.

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a²/b². Согласно правилу умножению дробей,
     (a/b)(a/b) = aa/bb = a²b²

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a², 1/a³ и 1/aⁿ.

Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2)² = x² + 2.x.(1/2) + 1/2² = x² + x + 1/4
(x — 1/2)² = x² — 2. x.(1/2) + 1/2² = x² — x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a² + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x² + bx + b²/4.

4 Квадрат x — b/m есть x² — 2bx/m + b²/m².

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

Так, в дроби ax^-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax_-2/y = (a/y).x^-2 = (a/y).(1/x² = a/yx².

В дроби a/by³ мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by₂ = (a/b).(1/y³) = (a/b).y^-3 = ay^-3/b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax³/b = a/bx^-3. Для x³ обратным есть x_-3, что есть x³ = 1/x^-3.

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba^-1, or ab^-1.

Свойства степени

Наверное, ни для кого не является секретом, что большинство математических утверждений, прежде, чем установится, проходят несколько этапов. Давайте подробно рассмотрим, как же.

Первый этап – это, конечно же, когда человек замечает некоторую одну и ту же закономерность в ряде случаев.

Второй этап – формулировка закономерности. Говоря проще, человек пытается предположить, что данная закономерность действует не только в одном конкретном случае, а и во всех подобных.

Третий этап – человек пытается доказать то, что закономерность, которую он подметил, а потом сформулировал, верна, то есть он пытается ее доказать. 2

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Степень с целочисленным показателем

      Понятие степени с целочисленным показателем включает в себя три определения.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число. Тогда   n – ой степенью числа   a   называют произведение   n   сомножителей, равных   a :

      Число   a   называют основанием степени, а число   n   – показателем степени.

      Определение. Пусть   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

a⁰ = 1 .

      Число a называют основанием степени, а число   0   – показателем степени.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

      Число   a   называют основанием степени, а число   (– n)   – показателем степени.

      Таким образом, степень с целочисленным показателем определена.

      Пример 1.

      Замечание 1. Число нуль нельзя возвести в нулевую степень и нельзя возвести в отрицательную степень.

Арифметический корень

      Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное положительное число.

      Определение. Число   x   называют арифметическим корнем   n – ой степени из числа   a ,   если, во-первых, число   x   положительное, а, во-вторых, является решением уравнения

xⁿ = a .

      В этом случае при     для арифметического корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

      Если же   n = 2,   то для арифметического квадратного корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

      Замечание 2. В курсах математики, выходящих за рамки средней школы, доказывается, что арифметический корень всегда существует, причем только один.

      Замечание 3. Очень важно помнить о том, что в формуле

содержится ошибка, за которую мгновенно следует безжалостная кара на экзаменах.

      Пример 2. Решить уравнение

x² = 25 .

      Решение. Это уравнение имеет два корня:

x₁ = 5       и       x₂ = – 5 .

      Корень уравнения   x₁ = 5   является арифметическим квадратным корнем из числа 25, а корень уравнения     x₂ = – 5     является числом, противоположным к арифметическому квадратному корню из числа 25.

      Пример 3. Решить уравнение

x³ = – 27 .

      Решение. Это уравнение имеет единственный вещественный корень   x = – 3,   но это число не является арифметическим кубическим корнем из числа   (– 27), так как у отрицательных чисел не бывает арифметических корней. Число   x = – 3   является числом, противоположным к арифметическому кубическому корню из числа   27.   Поэтому

      Замечание 4. Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Избавление от иррациональностей в знаменателе дроби

      В некоторых задачах требуется перейти от дроби к равной ей дроби, но такой, у которой в знаменателе нет корней (иррациональностей). Эта операция носит название «избавление от иррациональностей в знаменателе дроби» и осуществляется при помощи умножения числителя и знаменателя дроби на подходящее число. Часто это число находится с помощью формул сокращенного умножения. Покажем это на примере.

      Пример 4. Преобразовать дробь

к такому виду, чтобы в знаменателе не было иррациональностей.

      Решение. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов», совершим следующие эквивалентные преобразования:

      Мы получили дробь, у которой в знаменателе иррациональностей нет, что и требовалось.

      С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

      Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На сайте можно также ознакомиться с нашимиучебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени

Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например,

 Выражение 5⁷ читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с показателем семь».

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Степень числа а с показателем n обозначают так: аⁿ. Выражение аⁿ называют степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.

По определению степени:

Вообще,

Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:

При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Например,

Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.

Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. при любом а.

Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдем значение выражения :

Значит,

Пример 2. Найдем значение выражения

Значит,

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ

Выражение а²а³ представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:

Значит,

Мы видим, что произведение а²а³ равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.

Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

Для этого, используя определение степени и свойства умножения, представим выражение а^mаⁿ сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени:

Таким образом,

Доказанное равенство выражает свойство произведения степеней. Его называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.

Например,

Отсюда следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Приведем примеры:

Выражение а⁷:а³ является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Это частное при можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как , то по определению частного

Мы видим, что частное а⁷:а³ равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Докажем, что для любого числа и произвольных натуральных чисел тип, таких, что ,

Покажем, что .

Действительно, по основному свойству степени

Значит, по определению частного

Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Приведем примеры:

Мы вывели правило деления ат на а^m для случая, когда . Если это правило применить к частному aⁿ:aⁿ, то получится

Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком   и любом натуральном n

то считают, что при

Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Например, 2° — 1, (— 3,5)° =1. Выражение 0° не имеет смысла.

Теперь, после введения нулевой степени, мы можем применять формулу и в том случае, когда m = 0 или n = 0 (при ). Точно так же формула справедлива и тогда, когда или .

 ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ

Выражение является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:

Значит,

Мы видим, что четвертая степень произведения аb равна произведению четвертых степеней множителей а и b.

Докажем, что для любых а и b и произвольного натурального числа n

По определению степени

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим :

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно,

Свойство степени произведения, выраженное равенством , распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,

Отсюда следует правило: (пpu возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

Выражение есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:

В результате возведения степени а⁵ в третью степень мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей 5 и 3.

Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

По определению степени

Согласно основному свойству степени

Заменим сумму  произведением mn.

Тогда получим:

Следовательно,

Из равенства следует правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Свойства степеней, выраженные формулами и , имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).

Математические действия на английском языке

Даже если ваша профессиональная деятельность никак не связана с точными науками, хотя бы основные математические действия на английском знать нужно. Они встречаются не только в специальной литературе, но и в фильмах, книгах, повседневной речи. В этой статье мы рассмотрим термины, связанные с арифметическими задачами, дробями, процентами. В конце я привожу озвученные карточки со основными словами на тему математики.

Обратите внимание, здесь рассматриваются только математические термины. Если вы ищете сведения о числительных, рекомендую эту статью: Числительные в английском языке.

Содержание:

Основные математические действия на английском: сложение, вычитание, умножение и деление

Наиболее употребительные математические термины относятся к арифметике. Обратите внимание, в русском языке у нас есть такие слова, как:

1. Сложение, вычитание, деление, умножение – название действия.
2. Складывать, вычитать, делить, умножать – глагол, обозначающий действие.
3. Плюс, минус, разделить, умножить  – название действия, которое мы используем в речи, когда читаем выражение, именно оно используется чаще всего.

В английском языке точно так же, поэтому представим арифметические действия в виде таблицы:

Сама арифметическая задача (например, 2+2) называется problem (по-научному) или sum (разговорный вариант), решение или ответ – answer, а глагол “решать” – to solve (the problem).

Приведу примеры:

• 2+2=4 – Two plus two equals four.
• 7-2=5 – Seven minus two equals five.

Часто вместо equals или is equal to говорят просто is.

• 5×3=15 – Five times three is fifteen.
• 8÷4=2 – Eight divided by four is two.

Дроби на английском языке

Простые дроби – common fractions

Если у вас с математикой так же “прекрасно”, как у меня, напомню самое основное о дробях.

Простые дроби (common fractions) состоят из числителя (numerator) и знаменателя (denominator). Напоминаю, числитель сверху, знаменатель снизу 🙂 Если число состоит из целого и дроби, например 1½, – это называется смешанная дробь или смешанное число (mixed numeral).

Числитель выражается количественным числительным, а знаменатель порядковым. Наиболее употребительные в речи дроби 1/2, 1/3, 1/4 в русском языке имеют не только “умные” называния “одна вторая”, “одна третья”, одна четвертая, но и простые: половина, треть, четверть. В английском точно так же.

• 1/2 – a half, one half.
• 1/3 – a third, one third.
• 1/4 – a quarter, one fourth.
• 1/5 – one fifth.
• 1/6 – one sixth.
• 2/3 – two thirds.
• 3/4 – three fourths.
• 1/8 – one eighth.
• 1/10 – a tenth.
• 1/100 – a hundredth.
• 1¼ – one and a quarter.
• 1½ – one and a half.
• 1¾ – one and three quarters.

Обратите внимание, когда числитель больше одного, к окончанию добавляется -s, так как знаменатель используется во множественном числе (как и в русском: две третьих, три четвертых).

Существительное, которое определяется дробью, используется с предлогом of:

• 3/4 mile – Three fourths of a mile.
• 1/4 bottle – A quarter of a bottle.

Существительное, определяемое смешанной дробью, используется без предлога, но во множественном числе:

• 2 ½ miles – Two and a half miles.
• 1¼ bottles – One and a quarter bottles.

Десятичные дроби – decimal fractions, decimals

В английском в десятичных дробях (decimals) целое от дроби отделяется точкой (point), а не запятой, как у нас.

Ноль перед точкой называется zero или (британский вариант) nought. Ноль после точки может называться oh (как буква “o”), zero, nought. Лично я для простоты всегда говорю zero, потому что это слово проще выговорить и расслышать. Если целое число в дроби равно нулю, его часто опускают в речи, начиная говорить сразу с “point”.

Целое число читается как обычное количественное числительное, например 45.1 – forty five point one. Но в дробной части каждая цифра читается отдельно тоже как количественное: 2.45 – two point four five (а не two point forty five).

Примеры:

• 0.1 – Point one, zero point one.
• 0.35 – Point three five, zero point three five.
• 1.25 – One point two five.
• 35.158 – Thirty five point one five eight.
• 15.05 – Fifteen point zero five.

Проценты в английском языке, трудности с числом глагола

Сотые доли могут выражаться с помощью процентов, тогда используется стандартный значок % и слово percent, всегда использующееся в единственном числе.

• 1% – One percent.
• 10% – Ten percent.
• 17% – Seventeen percent.

Трудность может вызвать число глагола в выражениях с процентами. Например:

• Twenty percent of the students are/is present. – 20% студентов присутствуют.
• The remaining twenty percent of the script has/have been rewritten. – Оставшиеся 20% сценария были переписаны.

В таких случаях глагол согласуется в числе с существительным после of:

• Twenty percent of the students are present (т. к. students – мн. число).
• The remaining twenty percent of the script has been rewritten (т. к. script – ед. число).

Возведение в степень в английском

Для обозначение степени используются выражения to the power of five, to the fifth power, raised to the power of five, raised to the fifth power. Для 2-ой и 3-ей степени используются термины “в квадрате” (squared) и “в кубе” (cubed).

• 3^{2 –} Three squared, three to the second power.
• 3^{3 –} Three cubed, three to the third power.
• 10^{4 –} Ten to the fourth power, ten to the power of four.
• 30^{24 –} Thirty to the power of twenty four.

Квадратный корень называется square root:

• √16 = 4 – The square root of sixteen is four.
• √25 = 5 – The square root of twenty five is five.

Математические выражения со скобками

Круглые скобки называются parentheses (ед. число parenthesis) или, проще, round brackets. Если выражение стоит в скобках, и к нему применяется операция, используется слово quantity.

• (2+3)×4=24 – Two plus three quantity times four equals to twenty four.
• (3+5)²=64 Three plus five quantity squared is sixty four.

Карточки с английскими словами на тему “Математика”

Математические термины из этой статьи можно выучить с помощью карточек на Quizlet и PDF-карточек для распечатки.

Здравствуйте! Меня зовут Сергей Ним, я автор этого сайта, а также книг, курсов, видеоуроков по английскому языку.

Друзья! Меня часто спрашивают, но я не занимаюсь сейчас репетиторством. Если вам нужен репетитор, я рекомендую зайти на этот чудесный сайт.  Здесь вы найдете учителей носителей и не носителей языка👅 для любых целей и на любой карман😄 Я сам прошел там более 100 уроков, рекомендую попробовать и вам!

Что вы можете сделать со степенью математика?

Называете ли вы это «математикой» или «математикой» или предпочитаете традиционную «математику», если вы изучаете числа в университете, ваши карьерные возможности не только многочисленны, но и весьма прибыльны.

Благодаря тому, что все виды организаций придают все большее значение технологиям, большим данным и экономической эффективности, все более востребованы экспертные вычисления. Фактически, по данным Бюро статистики труда США, в период с 2018 по 2028 год ожидается, что рынок труда для математиков вырастет на колоссальные 30 процентов при прогнозируемой средней заработной плате в размере 88 190 долларов США.

Те, кто изучает математику, умеют решать задачи, стремясь разобраться даже в самых сложных уравнениях. Академические исследования — это обычная карьера, но также и карьера в бизнесе, экономике и банковском деле. Этот широкий спектр возможностей исходит из всеобщей потребности в выпускниках с сильными аналитическими навыками и навыками решения проблем, которые выпускники математики должны иметь в большом количестве.

Что можно делать со степенью математика?

Итак, что можно делать со степенью математика? Математические специалисты востребованы во всех отраслях промышленности во всем мире.Изучите математику, и у вас будет доступ к карьерным возможностям в секторах, о которых вы, возможно, даже не задумывались, включая такие специализированные области, как право или медицина. Тем не менее, большое количество математических карьер базируется в сфере бизнеса или связанных с наукой и технологиями секторов, при этом выпускники математики занимают такие должности, как бухгалтер, актуарий, статистик, техник, экономист или исследователь рынка.

Прочтите несколько возможных ответов на вопрос «, что вы можете сделать со степенью математика? ”, включая информацию о том, чего ожидать и какие навыки вам понадобятся.

Карьера в области бухгалтерского учета и финансов

Карьера в области бухгалтерского учета предлагает ряд возможностей для выпускников математических факультетов из самых разных отраслей. Бухгалтерские должности включают в себя такие роли, как аудитор, налоговый бухгалтер, судебный бухгалтер, управленческий бухгалтер и корпоративный советник. Чтобы стать дипломированным бухгалтером, вам необходимо не только получить степень бакалавра в области математики или другой смежной области, но и получить дополнительную профессиональную квалификацию. Однако часто, если вы начинаете в компании в качестве стажера в этой области, ваш работодатель поможет вам получить как опыт, так и профессиональную сертификацию, необходимые для развития вашей должности.

Карьера в банковской сфере

Возможности в банковском деле варьируются от мира розничных банковских услуг до корпоративного инвестиционного банкинга. Обе области занимаются финансовой оценкой — государственной и частной — с возможностью специализироваться в таких областях, как слияния и поглощения, облигации и акции, приватизация, кредитование и IPO (первичное публичное размещение акций). Обязанности могут включать исследование рынка, создание новых возможностей для бизнеса и разработку финансовых моделей и решений для представления клиентам.Карьера математика в банковском деле может быть прибыльной, но, опять же, для выполнения некоторых ролей потребуется профессиональная квалификация в области финансов.

Актуарные вакансии

актуариев оценивают финансовые риски для управления и консультирования клиентов. Сочетая навыки анализа рисков с глубокими знаниями экономики и бизнеса, актуарии обеспечивают надежные инвестиции и достижение коммерческих / деловых целей. Большинство новых актуариев начинают работать в сфере пенсионного обеспечения и страхования, области относительно низкого риска, в то время как в будущем вы можете получить работу в банковском деле, здравоохранении или инвестициях. Актуарные роли могут быть ориентированы на клиентов, как в случае с консультационными агентствами и пенсионными / страховыми компаниями, и всем актуариям потребуются навыки передачи сложных данных и анализа неспециалистам.

Карьера в статистике

Статистики — специалисты в области статистики — сопоставления, анализа, интерпретации и представления статистических и количественных данных. Навыки статистиков требуются во многих отраслях, от здравоохранения до правительства и от финансов до спорта.Вам будет поручено управлять, собирать и систематизировать данные с помощью опросов, экспериментов и контекстного анализа. Затем вас могут попросить создать отчеты и посоветовать клиентам / коллегам возможные стратегии, например, для принятия правильных финансовых решений для достижения бизнес-целей. Как статистик, вы будете обладать экспертными аналитическими навыками, а также хорошими коммуникативными и ИТ-навыками.

Карьера в научных кругах и исследованиях

Карьера в академических и исследовательских кругах очень популярна среди студентов-математиков.Этот путь может понравиться тем, кто хочет стать лидером следующей серии открытий, теорий и приложений в этой области, а также престижно проследить за некоторыми из величайших математических умов истории.

Академическая и основанная на исследованиях карьера в математике может быть невероятно разнообразной и будет зависеть от того, в какой области вы хотите специализироваться. Многие из них базируются на университетских факультетах, хотя давно работающие ученые также часто участвуют в публикациях, участвуя в журналах и специализированные периодические издания, или помощь в выпуске полных публикаций (в творческий отпуск или параллельно с другими обязательствами).

—

Другие общие математические карьеры включают: разведывательный анализ, операционные исследования, статистические исследования, логистика, финансовый анализ, исследование рынка (для бизнеса), консультирование по вопросам управления, ИТ (системный анализ, разработка или исследование), программная инженерия, компьютерное программирование, государственный сектор (консультативные возможности как ученый или статистик), научные исследования и разработки (например, биотехнология, метеорология или океанография).

Менее типичная математическая карьера

Инженерное дело

Хотя наиболее распространенный способ поступить в инженерное дело — получить степень инженера, диплом по математике также может помочь вам в некоторых специализированных должностях.Выпускники математики часто хорошо помогают в решении реальных физических задач, и их можно найти работающими в области механики, строительства, авиации и многих других инженерных областях. Тем не менее, инженерная карьера часто требует специальных знаний, не охваченных математической степенью. Инженерная стажировка и опыт работы могут помочь, если вы хотите улучшить свои возможности трудоустройства сразу после университета.

Метеорология

Метеорология — это больше, чем просто отображение погоды.Эта роль включает изучение погодных условий с использованием данных, собранных с метеостанций, радаров, удаленных датчиков и спутниковых изображений по всему миру, чтобы интерпретировать причины и составлять прогнозы. Вам понадобятся отличные ИТ-навыки, а также сильные навыки анализа и интерпретации сложных математических данных.

Обучение

Помимо академических ролей с исследовательской направленностью, многие успешные математические карьеры можно найти в преподавании. Счетность всегда является высоким приоритетом в системах начального и среднего образования, что делает высокообразованных выпускников, заинтересованных в преподавании, востребованными.Чтобы преподавать в большинстве стран, вам потребуется формальная педагогическая квалификация. Обычно это можно получить за чуть более года, и часто оно сильно субсидируется государством, при этом часто предоставляются гранты для покрытия сборов. Чтобы преподавать в университете, часто требуется аспирантура по соответствующей специальности. Если вы выберете этот путь, у вас также будет возможность продолжить собственное академическое исследование.

—

«Что вы можете сделать со степенью математика?» является частью нашей серии «Что вы можете сделать с…». Мы также охватили искусство, биологию, бизнес, коммуникации, информатику, английский язык, инженерию, моду, историю, географию, право, маркетинг, исполнительское искусство, философию, политику, психологию, социологию, химию, экономику и физику.

Эта статья написана в феврале 2015 г. и обновлена ​​в ноябре 2019 г.

Хотите больше подобного контента? Зарегистрируйтесь для бесплатного членства на сайте , чтобы получать регулярные обновления и свой личный канал контента.

Справочник по различным математическим специальностям в колледже

Математика очень разнообразна. Специалисты по чистой математике борются с математическими теориями и концепциями, чтобы создать элегантные доказательства. Специалисты по прикладной математике используют концепции, изученные в классе, и применяют их в реальных ситуациях в различных отраслях промышленности.

У потенциальных математиков есть несколько вариантов для их конкретной области обучения, поскольку «математика» может означать что угодно, от чистой математики до статистики и информатики.

Если вы хотите получить степень по математике, но не уверены, какую специальность выбрать, продолжайте читать, чтобы получить представление о различных специальностях и карьерных путях, которые могут вам подойти.

 холодная сварка.runtime.TemplateNotFoundException: файл не найден: /V6/MajorTab_Overview.cfm
в coldfusion.filter.PathFilter.invoke (PathFilter.java:156)
в coldfusion.filter.ExceptionFilter.invoke (ExceptionFilter.java:94)
в coldfusion.filter.BrowserDebugFilter.invoke (BrowserDebugFilter.java:78)
в coldfusion.filter.ClientScopePersistenceFilter.invoke (ClientScopePersistenceFilter.java:28)
в coldfusion.filter.BrowserFilter.invoke (BrowserFilter.java:38)
в coldfusion.filter.NoCacheFilter.invoke (NoCacheFilter.java:60)
в coldfusion.filter.GlobalsFilter.invoke (GlobalsFilter.java:38)
в coldfusion.filter.DatasourceFilter.invoke (DatasourceFilter.java:22)
в coldfusion.filter.CachingFilter. invoke (CachingFilter.java:62)
в coldfusion.CfmServlet.service (CfmServlet.java:223)
в coldfusion.bootstrap.BootstrapServlet.service (BootstrapServlet.java:89)
в org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter (ApplicationFilterChain.java:231)
в орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter (ApplicationFilterChain.java:166)
в coldfusion.monitor.event.MonitoringServletFilter.doFilter (MonitoringServletFilter.java:42)
в coldfusion.bootstrap.BootstrapFilter.doFilter (BootstrapFilter.java:46)
в org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter (ApplicationFilterChain.java:193)
в org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter (ApplicationFilterChain.java:166)
на org.apache.tomcat.websocket.server.WsFilter.doFilter (WsFilter.java:52)
в org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter (ApplicationFilterChain.java:193)
в org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter (ApplicationFilterChain.java:166)
at sun.reflect.GeneratedMethodAccessor74.invoke (Неизвестный источник)
в sun.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke (DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
в java.lang.reflect.Method.invoke (Method.java:498)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filterchain.WrappedFilterChain.doFilter (WrappedFilterChain.java:134)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filter.FusionReactorRequestHandler.doNext (FusionReactorRequestHandler.java:802)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filter.FusionReactorRequestHandler.doHttpServletRequest (FusionReactorRequestHandler.java:339)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filter.FusionReactorRequestHandler.doFusionRequest (FusionReactorRequestHandler.java:215)
на com.intergral.fusionreactor.j2ee.filter.FusionReactorRequestHandler.handle (FusionReactorRequestHandler.java:839)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filter.FusionReactorCoreFilter.doFilter (FusionReactorCoreFilter.java:36)
at sun.reflect.GeneratedMethodAccessor73.invoke (Неизвестный источник)
в sun.reflect. DelegatingMethodAccessorImpl.invoke (DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
в java.lang.reflect.Method.invoke (Method.java:498)
в com.intergral.fusionreactor.j2ee.filterchain.WrappedFilterChain.doFilter (WrappedFilterChain.java: 71)
at sun.reflect.GeneratedMethodAccessor72.invoke (Неизвестный источник)
в sun.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke (DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
в java.lang.reflect.Method.invoke (Method.java:498)
в com.intergral.fusionreactor.agent.filter.FusionReactorStaticFilter.doFilter (FusionReactorStaticFilter.java:53)
в com.intergral.fusionreactor.agent.pointcuts.NewFilterChainPointCut $ 1.invoke (NewFilterChainPointCut.java:41)
на org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter (ApplicationFilterChain.java)
в org.apache.catalina.core.StandardWrapperValve.invoke (StandardWrapperValve.java:200)
в org.apache.catalina.core.StandardContextValve.invoke (StandardContextValve.java:96)
в org.apache.catalina.authenticator.AuthenticatorBase.invoke (AuthenticatorBase.java:493)
в org.apache.catalina.core.StandardHostValve.invoke (StandardHostValve.java:137)
в org.apache.catalina.valves.ErrorReportValve.invoke (ErrorReportValve.java: 81)
в org.apache.catalina.core.StandardEngineValve.invoke (StandardEngineValve.java:87)
в org.apache.catalina.connector.CoyoteAdapter.service (CoyoteAdapter.java:356)
в org.apache.coyote.ajp.AjpProcessor.service (AjpProcessor.java:507)
в org.apache.coyote.AbstractProcessorLight.process (AbstractProcessorLight.java:66)
в org.apache.coyote.AbstractProtocol $ ConnectionHandler.process (AbstractProtocol.java:808)
в org.apache.tomcat.util.net.NioEndpoint $ SocketProcessor.doRun (NioEndpoint.java:1498)
в org.apache.tomcat.util.net.SocketProcessorBase.run (SocketProcessorBase.java:49)
в java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor.runWorker (ThreadPoolExecutor.java:1142)
в java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor $ Worker.run (ThreadPoolExecutor.java:617)
в org.apache.tomcat.util.threads.TaskThread $ WrappingRunnable. run (TaskThread.java:61)
в java.lang.Thread.run (Thread.java:745)