Степень уравнения это – Степень уравнения

Степень уравнения

Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.

Чтобы определить степень данного уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:

  • раскрыть скобки,
  • освободить уравнение от дробных членов,
  • перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
  • сделать приведение подобных членов.

После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:

Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.

Примеры:

10 - x = 2 – уравнение первой степени с одним неизвестным.
x2 + 7x = 16 – уравнение второй степени с одним неизвестным.
x3 = 8 – уравнение третьей степени с одним неизвестным.

Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.

Для примера возьмём уравнение

3x2y + xy + 25 = 0

Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):

3x2y1 + x1y1 + 251 = 0

Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:

3x2y1 – сумма показателей равна 2 + 1 = 3
x1y1 – сумма показателей равна 1 + 1 = 2

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Ещё примеры:

2xy - x = 25 – уравнение второй степени с двумя неизвестным,
xy2 - 2xy + 8y = 0 – уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

naobumium.info

Как определить степень уравнения

Как определить степень уравнения

Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.

Инструкция

1

Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество - выражение, не вызывающее никаких сомнений.

2

Степень уравнения - это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет

степень уравнения.

3

Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a - любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.

4

Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.

5

Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение - дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.

6

Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.

7

Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.

videouroki.net

Степенные или показательные уравнения. | tutomath

Приветствую вас дорогие учащиеся!

Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=an

1. a0 = 1 (a ≠ 0)

2. a1 = a

3. an • am = an + m

4. (an)m = anm

5. anbn = (ab)n

6. a-n= 1/an

7. an/am= an — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2x*5=10
16x — 4x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2х = 23

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2х = 23
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2х+2 = 24

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 — 9х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3 = 9х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=32 . Воспользуемся формулой степеней (an)m = anm.

3 = (32)х+8

Получим 9х+8 =(32)х+8 =3 2х+16

3 = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

22х+4 — 10•4х = 24

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.

4х = (22)х = 2

И еще используем одну формулу an • am = an + m:

22х+4 = 2•24

Добавляем в уравнение:

2•24 — 10•2 = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2,вот и ответ — 2 мы можем вынести за скобки:

2(24 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

24 — 10 = 16 — 10 = 6

6•2 = 24

Все уравнение делим на 6:

2= 4

Представим 4=2

2:

2 = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9х – 12*3х +27= 0

Преобразуем:
9х = (32)х = 3

Получаем уравнение:
3 — 12•3х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3х = t

Тогда 3 = (3х)2 = t2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t1:
t1 = 9 = 3х

Стало быть,

3х = 9
3х = 32
х

1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3х
3х = 31
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ

tutomath.ru

Показательные уравнения

Основные понятия и свойства

    Первоначально приведем основные свойства степеней, посредством применения которых преобразуются показательные уравнение.

    Пусть  ,  ,  , и  натуральные числа, тогда

 

    1.  ,

    2.   ,

 

    3.   ,

 

    4.   ,

 

    5.   ,

 

    6.   ,

    7.  .

 

    8.   .

    При решении некоторых показательных уравнений можно эффективно использовать свойства монотонности функции  .

    1. Если  , то функция   является убывающей на всей числовой оси .

    2. Если  ,  то функция   возрастает для любых  .

 

    Также при решении показательных уравнений в ряде случаев используется основное логарифмическое свойство   , где  ,    и  .

 

    Рассмотрим примеры задач на решение показательных уравнений, расположенных в порядке возрастания их сложности.

Примеры решения задач

 

Пример 1.   Решить уравнение  

 

                                         .                                          (1)

 

Решение.  Так как   и   , то уравнение (1) равносильно уравнению   . Отсюда получаем    или  .  Корнями квадратного уравнения являются   и  .

Ответ:  , .

 

Пример 2.   Решить уравнение  

 

                                   .                                     (2)

 

Решение.  Обозначим   и перепишем уравнение (2) в виде равносильного квадратного уравнения   , где   .

Уравнение   имеет единственный положительный корень  . Так как   , то  ,    и   .   

Ответ:  .

 

Пример 3.   Решить уравнение  

 

                      .                                  (3)

 

Решение. Если обозначить , то уравнение (3) примет вид  

                  

,

,   ,

,    или  .

    Отсюда следует, что  ,    или  .

    Ответ:  .

 

Пример 4.   Решить уравнение  

 

                               .                              (4)

 

    Решение. Так как   , то   и из уравнения (4) получаем   ,    или  

.  Корнями данного уравнения являются    и  .

    Ответ: , .

 

Пример 5.   Решить уравнение

 

                               .                              (5)                                    

 

    Решение.  Поскольку     и  , то уравнение (5) можно переписать как  . Отсюда следует, что   или  . Корнями квадратного уравнения являются    и  .

    Ответ:  , .

 

Пример 6.   Решить уравнение  

 

                                       .                                       (6)

 

    Решение. Обозначим   и из уравнения (6) получим квадратное уравнение  , где  .

    Так как уравнение   имеет единственный положительный корень , то    и  .

    Ответ:  .

 

Пример 7.   Решить уравнение  

 

                                    .                                      (7)

 

    Решение. Разделим обе части уравнения (7) на выражение   и получим квадратное уравнение  , где   и  .

    Так как  ,  то     или   .

       

    Ответ:  .

 

       

   

    Пример 8.  Решить уравнение

 

                                               .                                               (8)

 

    Решение. Нетрудно видеть, что значение    является корнем уравнения (8). Покажем, что это уравнение других корней не имеет. Для этого обе части уравнения разделим на выражение    и получим

                                                 .                                                (9)

    Так как функции   и    являются монотонными на всей числовой оси  , причем первая из них убывает, а вторая возрастает, то уравнение (9) не может иметь более одного корня.

   

    Ответ:  .

 

Пример 9.  Решить уравнение  

 

                                            .                                       (10)

 

    Решение.  Обозначим     и перепишем уравнение (10) в виде кубического уравнения

                                             ,                                       (11)

где . Так как    и , то уравнение (11) равносильно уравнению   .

    Следовательно, имеем  ,    и  .

    Ответ:  .

 

Пример 10.   Решить уравнение  

 

                       .                               (12)

 

    Решение.  Обозначим  . Так как

,

то    и  уравнение (12) принимает вид     или  

                                                .                                        (13)

    Решая уравнение (13), получаем     и  . Рассмотрим два случая.

    1.  Если   ,  то    и   .

    2.  Если   ,  то    или

.

    В таком случае  .

    Ответ:  , .

 

Пример 11.  Решить уравнение  

 

                                       .                                (14)

 

Решение.  Из уравнения (14) следует, что  . Преобразуем уравнение (14) следующим образом:     ,

   или   ,

где    и  .  Уравнение    имеет два положительных корня:    и  

    Так как  , то    и  . Отсюда следует, что    и  . Однако  , поэтому уравнение (14) имеет только один первый корень.

Ответ:  .

 

Пример 12.  Решить уравнение  

 

                                  .                                     (15)

 

    Решение. Обозначим   . Так как   , то  или  . В этой связи уравнение (15) принимает вид    или   ,  где    и  .

    Так как уравнение    имеет один положительный корень   ,  то    или  .

    Однако  

blog.tutoronline.ru

Уравнения высших степеней

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х3 – 1)2 + х5 = х6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х5 – 2х3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Рn(х) = (х – α) · Qn – 1(x), где Qn – 1(x) – многочлен степени (n – 1).Уравнения высших степеней

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р3(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn – действительные корни многочлена

Р(х) = а0хn + а1хn - 1 + … + аn, то имеют место следующие равенства:

х1 + х2 +  …  + хn = -а10,

х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn – 1 · хn = a20,

х1 · х2 · х3 + … + хn – 2 · хn – 1 · хn = -a3 / а0,

х1 · х2 · х3 · хn = (-1)nan / а0.

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х3 + 2/3 x2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х3 + 3x2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.Уравнения высших степеней

Решение:

3 + 3x2 – 2х + 3| х + 2

3 + 4x2               2x2 – x

         -x2 – 2x

         -x2 – 2x

                        3      

Ответ: R = 3; частное: 2х2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

2 + х + 1)2 – 3х2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

2 + х + 1)2  – 3(х2 + x) – 1 = 0.

2 + х + 1)2  – 3(х2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х2 + х + 1) = t.

t2 – 3t + 2 = 0.

t1 = 2, t2 = 1. Обратная замена:

х2 + х + 1 = 2 или х2 + х + 1 = 1;

х2 + х - 1 = 0 или х2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим - 3x2 = -2x2 – x2 и сгруппируем:

4 – 2x2) – (x2 – 4х + 3) = 0.

4 – 2x2 +1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.

2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.

2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х - 2) = 0.

2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.

х2 – х + 1 = 0 или х2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х3 + 4x2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х – а)(x2 + bх + c),

х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 +bx2 + cх – ax2 – abх – ac,

х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 + (b – a)x2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

получим

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х + 1)(x2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициентуУравнения высших степеней

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а0, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

3 + 7x2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

2 : p = ±1, ±2

6 : q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Алгебраические уравнения степени n. Кубические уравнения

Определение

 

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_{n-1},\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_n\ne 0\), называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\)-ой степени.

 

Обозначим \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

 

Замечание

 

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

 

Теорема

 

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

 

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

 

Следствие: количество корней уравнения

 

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

 

Замечание

 

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

 

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Известно, что \(x=2\) является корнем уравнения \(2x^3-9x^2+x^4-x+6=0\). Найдите частное от деления \(2x^3-9x^2+x^4-x+6\) на \(x-2\).

 

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ &&\\ \end{array}\]

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала \(x^4\), затем \(2x^3\) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель \(x-2\) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

 

Посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(x^4+2x^3\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(x^4\,\).
На \(x^3\). Тогда после вычитания \(x^4+2x^3-x^3(x-2)\) останется \(4x^3\). Снесем слагаемое \(-9x^2\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \end{array}\]

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(4x^3-9x^2\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(4x^3\).
На \(4x^2\): \(\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2\).
Опять снесем следующее слагаемое \(-x\):

 

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\;\phantom{000000}&&\\[-3pt] -x^2 - x\phantom{000}\;&&\\ \end{array}\]

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 - \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \end{array}\]

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x-3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 - \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \underline{-\;3x+6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, можно сказать, что \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)\).

 

Замечание

 

1) Если \(x=x_0\) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть \(0\). В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

 

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен \(0\)) на \(x+a\), то он также будет делиться без остатка на \(c(x+a)\) для любого числа \(c\ne 0\). Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на \(2x-4\), то получили бы в частном \(\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32\).
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим \(10\) на \(2\), то получим \(5\); а если разделим \(10\) на \(3\cdot 2\), то получим \(\frac53\).

 

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=0\), необходимо найти корни уравнения \(x^3+4x^2-x-3=0\).
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

 

Теорема

 

Если число \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

\[a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0\]

Доказательство

 

Действительно, так как \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то после подстановки \(x=1\) в него мы получим верное равенство. Так как \(1\) в любой степени равен \(1\), то слева мы действительно получим сумму коэффициентов \(a_i\), которая будет равна нулю.

 

Пример

 

У уравнения \(x^2-6x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю: \(1-6+5=0\). Следовательно, \(x=1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: \(1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\).

 

Теорема

 

Если число \(x=-1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма коэффициентов при четных степенях \(x\) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях \(x\).

 

Доказательство

 

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\):

\(a_n\cdot (-1)^n+a_{n-1}\cdot (-1)^{n-1}+a_{n-2}\cdot (-1)^{n-2}+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\)   \(a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\)   \(a_n+a_{n-2}+\dots+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1\)

 

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

 

Пример

 

В уравнении \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

\[1+2-8+5=0\]

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3+2x^2-8x+5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\\[-3pt] 3x^2 - 8x\,\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2 - 3x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] -5x + 5&&\\ \underline{-5x +5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2+3x-5=0\).

 

А это \(x_{1,2}=-\dfrac 32\pm \dfrac{\sqrt{29}}2\).

 

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

 

Пример

 

В уравнении \(x^3-x^2+x+3=0\) сумма коэффициентов при четных степенях \(-1+3=2\), а при нечетных: \(1+1=2\). Таким образом, число \(x=-1\) является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик \(x^3-x^2+x+3\) на \(x+1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{x^3+x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[-3pt] -2x^2 + x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 -\! 2x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x + 3&&\\ \underline{3x +3}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 - 2x +3)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2-2x+3=0\).
Но это уравнение не имеет корней (\(D<0\)), значит, исходное уравнение имеет всего один корень \(x=-1\).

 

Замечание

 

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

 

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

 

Теорема

 

Если алгебраическое уравнение

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,\] где \(a_n, \dots, a_0\) — целые числа,
имеет рациональный корень \(x=\dfrac pq\), то число \(p\) является делителем свободного члена \(a_0\), а число \(q\) — делителем старшего коэффициента \(a_n\).

 

Пример

 

Рассмотрим уравнение \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0\).

 

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1, \pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

 

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

 

После деления в столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\):

\[\begin{array}{rr|l} 2x^4-5x^3-\ x^2-5x-3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x^2-5x-3 \qquad}\\ \underline{2x^4-5x^3-3x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \qquad x^2+0x+1\\[-3pt] 0x^3 +2x^2-5x\phantom{0000}&&\\ \underline{0x^3 + 0x^2+0x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2x^2 - 5x-3\,&&\\ \underline{2x^2-5x-3}\;&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

получим, что \(P_2(x)=x^2+1\). Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: \(x=-\frac12\) и \(x=3\).

 

Замечание

 

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение \(x^3-2=0\) имеет корень — это \(x=\sqrt[3]2\), и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

 

Пример

 

Найдите корни уравнения \(4x^3-3x^2-\frac{23}6x-1=0\).

 

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при \(x\) равен \(-\frac{23}6\)). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на \(6\):

\[24x^3-18x^2-23x-6=0\]
Делители свободного члена: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Делители старшего коэффициента: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).
Получилось достаточно много \(:)\)
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text{\small{и т.д.}}\]

Перебирая варианты, убеждаемся, что \(\frac32\) подходит. Значит, многочлен \(24x^3-18x^2-23x-6\) должен без остатка поделиться на \(x-\frac32\). Для удобства разделим на \(2(x-\frac32)=2x-3\) (чтобы не работать с дробями):

\[\begin{array}{rr|l} 24x^3-18x^2-23x-6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x-3 \qquad}\\ \underline{24x^3-36x^2}\;\; \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 12x^2 +9x +2\\[-3pt] 18x^2 -23x\phantom{0000}&&\\ \underline{18x^2 -27x}\,\;\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x -6&&\\ \underline{4x -6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)\). Уравнение \(12x^2 +9x +2=0\) в свою очередь корней не имеет. Значит, \(x=\frac32\) – единственный корень исходного уравнения.

 

Теорема

 

Любой многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) можно разложить на произведение множителей: линейных (\(ax+b, a\ne 0\)) и квадратичных (\(cx^2+px+q, c\ne 0\)) с отрицательным дискриминантом.

 

Следствие

 

Кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

\[Ax^3+Bx^2+Cx+D=A(x+r)(x^2+px+q)=0\]

Замечание

 

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\).

shkolkovo.net

Простейшие показательные уравнения, тест | Подготовка к ЕГЭ по математике

В Заданиях №5 ЕГЭ по математике проверяется умение решать простейшие
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические,
тригонометрические уравнения.

 

Сейчас мы рассмотрим основные типы простейших показательных уравнений, которые могут встретится на экзамене. Если вы плохо помните свойства степеней, то загляните прежде сюда.

Хорошо, если вы помните значения основных натуральных степеней:

таблица степеней

Но, согласитесь, можно и не удержать в голове, что, например, 2187 – это седьмая степень тройки. Какие наши действия, если в показательных уравнениях нам попадается, например,  2187?

Во-первых, понимаем, что число делится на 3, так как сумма цифр числа делится на 3. Берем, и делим 2187 на 3. Получим 729. Еще раз делим на 3, если не узнаем по-прежнему, что перед нами шестая степень тройки. Получаем 243… И так далее. В итоге, сообразим, что 2187=3^7.

Задание 1.

Найдите корень уравнения  2^{3-4x}=128.

Решение: + показать

Заметим,

128=2^7.

Поэтому, уравнение перепишем так:

2^{3-4x}=2^7.

Равны основания, значит, чтобы выполнялось равенство, необходимо, чтобы

3-4x=7;

 x=-1;

Ответ: -1. 

Задание 2. 

Решить уравнение: (\frac{1}{0.125})^x=8.

Решение: + показать

Что скрыто от нас в левой части уравнения?

\frac{1}{0.125}=\frac{1}{\frac{125}{1000}}=\frac{1000}{125}=8.

Поэтому перепишем уравнение следующим образом:

8^x=8^1;

Тогда  x=1;

Ответ: 1. 

Задание 3. 

Решить уравнение: 6^{x-8}=36^{x-18}.

Решение: + показать

Задание 4.

Решить уравнение: \frac{1}{7}=7^{x-17}.

Решение: + показать

Задание 5.

Решить уравнение: 12^{11-x}=5^{11-x}.

Решение: + показать

Поскольку основания  – разные, а сами степени при этом равны, то это возможно только в случае, когда показатели степеней нулевые.

11-x=;

x=11.

Ответ: 11. 

Задание 6.

Решите уравнение  9^{5+2x}=0,81\cdot 10^{5+2x}.

Решение:  + показать

 9^{5+2x}=\frac{81}{100}\cdot 10^{5+2x}

9^{5+2x}=(\frac{9}{10})^2\cdot 10^{5+2x}

9^{5+2x}=9^2\cdot 10^{5+2x}:10^2

Применяем к 10^{5+2x}:10^2 свойство степени №2,

получаем следующее уравнение:

9^{5+2x}=9^2\cdot 10^{3+2x}.

И разделим обе части равенства на 9^2, применяя все то же свойство степени №2:

 9^{3+2x}=10^{3+2x};

Откуда

3+2x=0;

x=-1,5.

Ответ: -1,5. 

Задание 7.

Решите уравнение  5^x\cdot 2^{-x}=0,4.

Решение: + показать

5^x\cdot 2^{-x}=0,4\;\Leftrightarrow\; (\frac{5}{2})^x=\frac{4}{10}\;\Leftrightarrow\;(\frac{5}{2})^x=\frac{2}{5}\;\Leftrightarrow\;(\frac{5}{2})^x=(\frac{5}{2})^{-1}\;\Leftrightarrow\;x=-1.

Ответ: -1. 

Задание 8.

Решите уравнение  (5^{x^2+x-2})^{3-x}=1. В ответе укажите наименьший из корней, если их несколько.

Решение: + показать

Unknown

 

Вы можете пройти тест №3 по теме «Задачи №5».

 

 

egemaximum.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск