Степени в математике формулы: Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 26.02.197019.07.2021 by alexxlab

Содержание

Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

К оглавлению…

При выполнении численных вычислений с большим количеством операций и дробей желательно выполнять следующие рекомендации:

Переводите десятичные дроби в обыкновенные, т.е. такие у которых есть числитель и знаменатель.
Не старайтесь посчитать сразу все выражение. Выполняйте вычисления по одному действию, пошагово. При этом учтите, что:
- сначала выполняют операции в скобках;
- затем считают произведения и/или деления;
- потом суммируют или вычитают;
- и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель;
- причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.
Не спешите умножать и делить «страшные числа». Скорее всего, в одном из следующих действий что-то сократится. Чтобы проще было сократить можно числа раскладывать на простые множители.
При сложении и вычитании выделяйте в дробях целую часть (если это возможно). При умножении и делении, наоборот, приводите дробь к виду без целой части.

От корней в знаменателе принято избавляться. Для избавления от корня над всем знаменателем умножают числитель и знаменатель на выражение, равное знаменателю. Для избавления от корня над частью знаменателя умножают числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае образуется разность квадратов (сопряжённым для (a — b) является выражение (a + b) и наоборот).

При преобразовании или упрощении алгебраических выражений последовательность действий такова:

Разложить на множители все, что можно разложить на множители.
Сократить все, что можно сократить.
И только потом приводить к общему знаменателю. Ни в коем случае не пытайтесь сразу сломя голову приводить к общему знаменателю. Пример будет становиться чем дальше, тем страшнее.
Снова разложить на множители и сократить.

Для того чтобы перевести десятичную периодическую дробь в обыкновенную (с числителем и знаменателем) необходимо:

Из числа, стоящего до второго периода в исходной периодической дроби вычесть число, стоящее до первого периода в этой же дроби и записать полученную разность в числитель будущей обыкновенной дроби.
В знаменателе же записать столько девяток, сколько цифр в периоде исходной дроби, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Не забыть про целую часть, если она есть.

При решении задач из данной темы также необходимо помнить много сведений из предыдущих тем. Приведём далее основные из них.

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратный трехчлен и теорема Виета

К оглавлению…

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то

разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

Итак, еще раз о теореме Виета:

Если D < 0 (дискриминант отрицателен), то уравнение корней не имеет и теорему Виета применять нельзя.
Если D > 0 (дискриминант положителен), то уравнение имеет два корня и теорема Виета прекрасно работает.
Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, для которого бессмысленно вводить понятие суммы или произведения корней, поэтому теорему Виета тоже не применяем.

Основные свойства степеней

К оглавлению…

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если

n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)² = (x + y)(x + y) ,
(x + y)³ = (x + y)²(x + y) ,
(x + y)⁴ = (x + y)³(x + y)

и т.д.

Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y)² = x² + 2xy + y²
Куб (третья степень) суммы	(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Четвертая степень суммы	(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
Пятая степень суммы	(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵
Шестая степень суммы	(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶
…	…

Квадрат (вторая степень) суммы

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Куб (третья степень) суммы

(x + y)³ =
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Четвертая степень суммы

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y +
+ 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Пятая степень суммы

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y +
+ 10x³y² +
+ 10x²y³ +
+ 5xy⁴ + y⁵

Шестая степень суммы

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y +
+ 15x⁴y² +
+ 20x³y³ +
+ 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

…

Общая формула для вычисления суммы

(x + y)ⁿ

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

Таблица 2. – Степень разности

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y)² = x² – 2xy + y²
Куб (третья степень) разности	(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy²– y³
Четвертая степень разности	(x – y)⁴ = x⁴ – 4x³y + 6x²y² – 4xy³ + y⁴
Пятая степень разности	(x – y)⁵ = x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴– y⁵
Шестая степень разности	(x – y)⁶ = x⁶ – 6x⁵y + 15x⁴y² – 20x³y³ + 15x²y⁴ – 6xy⁵ + y⁶
…	…

Квадрат (вторая степень) разности

(x – y)² = x² – 2xy + y²

Куб (третья степень) разности

(x – y)³ =
= x³ – 3x²y + 3xy²– y³

Четвертая степень разности

(x – y)⁴ = x⁴ – 4x³y +
+ 6x²y² – 4xy³ + y⁴

Пятая степень разности

(x – y)⁵ = x⁵ – 5x⁴y +
+ 10x³y² –
– 10x²y³ +
+ 5xy⁴– y⁵

Шестая степень разности

(x – y)⁶ = x⁶ – 6x⁵y +
+ 15x⁴y² –
– 20x³y³ +
+ 15x²y⁴ – 6xy⁵ + y⁶

…

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)³ =
= x³ + y³ + z³ + 3x²y +
+ 3x²z + 3xy² +
+ 3xz² +
+ 3y²z + 3yz² + 6xyz .

Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня.{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{\beta}$

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

aⁿ — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

aⁿ · a^m = a^m+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(aⁿ)^m = a^{n· m}

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

a⁵ · b⁵ = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)⁵
3⁵ · 4⁵ = (3·4)⁵ = 12⁵ = 248 832
16a² = 4²·a² = (4a)²

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

a^m · aⁿ= a^m+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

3⁵ · 3² = 3⁵⁺³ = 3⁸ = 6561
2⁸ · 8¹= 2⁸ · 2³ = 2¹¹ = 2048

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 2⁸ · 8¹= 2⁸ · 2³ = 2¹¹ = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, где

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения позволяют преобразовать математическое выражение к более простому виду, который позволяет выполнить дальнейшие преобразования или найти нужное решение. Примером формул для математических преобразований является факторизация многочленов, с помощью которой выполнятся понижение степени многочленов. А например с помощью Бинома Ньютона выполняется разложение на отдельные слагаемые степени двух переменных.

Формулы упрощения применяются для раскрытия скобок степеней, понижения степени суммы или разности, а так же для других математических упрощений. В приведенных ниже формулах, вместо символов «a» и «b» могут применяться числовые значения, переменные или любые математические выражения и формулы.

Внизу страницы можно скачать формулы в виде картинок для последующей печати и использования в качестве справочного материала при решении задач.

1. Квадрат суммы

… … подготовка формул … …

2. Квадрат разности

3. Сумма и разность квадратов

4. Сумма в третьей степени (куб суммы)

5. Разность в третьей степени (куб разности)

6. Сумма и разность кубов

7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени

8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени

9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени

10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

n — любое натуральное число

11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

n — четное положительное число

12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

n — нечетное положительное число

13. Некоторые свойства формул

Скачать формулы в виде изображения в виде картинок

Скачать формулы в виде изображения:

формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: am·an=am+n

Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n

3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn

5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk

6. Сравниваем степень с нулем:

если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
при a, равном 0, an также будет равна нулю;
при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.

7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Это можно сократить до (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

Пример 2

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

am−n·an=a(m−n)+n=am

Из него можно вывести: am−n·an=am

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn.

Пример 4

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

Пример 6

Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

Пример 7

Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

apqys=ap·q·y·s

Пример 8

Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

Тогда:

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a2·m также положительны.

Пример 11

Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.

Тогда

Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 12

Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an

Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: 37>32

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. am·an=am+n

2. am:an=am−n

3. (a·b)n=an·bn

4. (a:b)n=an:bn

5. (am)n=am·n

6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b

7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1 am>an.

Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)

Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.

Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:

(a0)q=1q=1 a0·q=a0=1

Следовательно, (a0)q=a0·q

Для q=0 все точно так же:

(ap)0=1 ap·0=a0=1

Итог: (ap)0=ap·0.

Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.

Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1apq=1qapq

Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.

Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

1an>1bn

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

1an-1bn=bn-anan·bn

Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0.

an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Определение 3

1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).

3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).

4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени).

6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2

Из этого получаем: am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Преобразуем:

am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Показатель степени можно записать в виде:

m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2

Доказательства остальных равенств:

a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2

Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 — ap>bp

Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm.

Используем свойство корней и выведем: amn<bmn

Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp.

Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp.

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq.

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n

Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m.

Их можно переписать в следующем виде:

am1n<am2nam1n>am2n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

am1n<am2nam1n>am2n

Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0– ap>aq.

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа):

Определение 4

1. ap·aq=ap+q

2. ap:aq=ap−q

3. (a·b)p=ap·bp

4. (a:b)p=ap:bp

5. (ap)q=ap·q

6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp

7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq.

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.

градусов (выражения)

«Степень» в математике может означать несколько вещей:

В геометрии градус (°) — это способ измерения углов,
Но здесь мы посмотрим, что означает степень в Алгебре .

В алгебре «Степень» иногда называют «Порядком»

Степень полинома (с одной переменной)

Полином выглядит так:

пример полинома
, у этого есть 3 члена

Степень (для многочлена с одной переменной, например x ):

— наибольший показатель этой переменной.

Еще примеры:

4x		Степень: 1 (переменная без показателя степени фактически имеет показатель степени 1)

4x ³ — x + 3		Степень 3 (наибольший показатель x)

x ² + 2x ⁵ — x		Степень 5 (наибольший показатель x)

z ² — z + 3		Степень 2 (наибольший показатель z)

Названия степеней

Когда мы знаем степень, мы можем дать ей имя!

градусов	Имя	Пример
0	Константа	7
1	линейный	х + 3
2	Квадратичный	x ² −x + 2
3	кубический	x ³ −x ² +5
4	Quartic	6x ⁴ −x ³ + x − 2
5	Quintic	x ⁵ −3x ³ + x ² +8

Пример: y = 2x + 7 имеет степень 1, поэтому это линейное уравнение

Пример: 5w ² — 3 имеет степень 2, поэтому квадратичный

Уравнения высшего порядка обычно труднее решать :

Линейные уравнения легко решить
Квадратные уравнения немного сложнее решить
Кубические уравнения снова сложнее, но есть формулы для помощи
Уравнения четвертой степени также могут быть решены, но формулы очень сложные
Уравнения пятой степени не имеют формул, а иногда бывает неразрешимым !

Степень многочлена с более чем одной переменной

Когда многочлен имеет более одной переменной, нам нужно смотреть на каждый член .Термины разделены знаками + или -:

Пример полинома
с более чем одной переменной

Для каждый семестр :

Найдите степень, сложив экспоненты каждой переменной в ней,

наибольшая такая степень — это степень многочлена.

Пример: какова степень этого многочлена:

Проверка каждого термина:

5xy ² имеет степень 3 (x имеет показатель 1, y имеет 2 и 1 + 2 = 3)
3x имеет степень 1 (x имеет показатель степени 1)
5y ³ имеет степень 3 (y имеет показатель степени 3)
3 имеет степень 0 (без переменных)

Наибольшая степень из них — 3 (на самом деле два члена имеют степень 3), поэтому многочлен имеет степень 3

Пример: какова степень этого многочлена:

4z ³ + 5y ² z ² + 2yz

Проверка каждого термина:

4z ³ имеет степень 3 (z имеет показатель степени 3)
5y ² z ² имеет степень 4 (y имеет показатель степени 2, z имеет 2 и 2 + 2 = 4)
2yz имеет степень 2 (y имеет показатель 1, z имеет 1 и 1 + 1 = 2)

Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4

Записываем

Вместо того, чтобы говорить « степень (что угодно) равно 3 », мы пишем это так:

Когда выражение — это дробь

Мы можем вычислить степень рационального выражения (того, которое имеет форму дроби), взяв степень вершины (числитель) и вычтя степень основания (знаменатель).

Вот три примера:

../algebra/images/degree-example.js?mode=x0

../algebra/images/degree-example.js?mode=x1

../algebra/images/degree-example.js?mode=xm1

Вычисление других типов выражений

Предупреждение: впереди новые идеи!

Иногда мы можем определить степень выражения, разделив …

логарифм функции по
логарифм переменной

… затем сделайте это для все больших и больших значений, чтобы увидеть, где находится ответ «заголовок».

(Точнее, мы должны определить предел до бесконечности ln (f (x)) ln (x) , но я просто хочу, чтобы это было просто).

Вот пример:

Пример: степень 3 + √x

Попробуем увеличить значения x:

x	лин (3 + √x)	лин (х)	лин (3 + √x) лин (x)
2	1.48483	0,69315	2,1422
4	1.60944	1,38629	1,1610
10	1,81845	2.30259	0,7897
100	2,56495	4.60517	0,5570
1 000	3,54451	6.	0,5131
10 000	4.63473	9,21034	0,5032
100 000	5.76590	11,51293	0,5008
1 000 000	6.	13,81551	0,5002

Глядя на таблицу:

, поскольку x становится больше, чем ln (3 + √x) ln (x) становится все ближе и ближе к 0.5

Итак, степень 0,5 (другими словами 1/2)

(Примечание: это хорошо согласуется с x ^½ = квадратный корень из x, см. Дробные экспоненты)

Некоторые значения степени

Выражение	градусов
журнал (x)	0
e ^x	∞
1 / х	-1
√x	1/2

462, 4003, 2092, 4004 463, 1108, 2093, 4005, 1109, 4006

16 важнейших математических формул ACT Математические формулы, которые вам НЕОБХОДИМО знать

Давайте разберемся, из чего состоит математический раздел ACT.Всего 60 вопросов с множественным выбором из шести областей математики: предалгебра, элементарная алгебра, промежуточная алгебра, координатная геометрия, плоская геометрия и тригонометрия. Таким образом, подсчет очков и математические формулы, которые вам нужно знать, распределяются следующим образом:

Предалгебра / элементарная алгебра: 24 вопроса, 24 балла
Средний уровень алгебры / координатной геометрии: 18 вопросов, 24 балла
Плоская геометрия / тригонометрия: 18 вопросов, 24 точки

В математическом разделе ACT есть одна особенность: даже после того, как вы прошли все подготовленные к экзамену по математике ACT, ACT не дает вам шпаргалки со всеми математическими формулами, записанными на них.Следовательно, вы должны их запомнить. Но некоторые важные математические формулы ACT требуются чаще, чем другие. Это то, что нужно знать. Хотя может возникнуть соблазн просто сделать предположение и уйти, лучше, если вы будете готовы с самого начала.

Давайте посмотрим на самые важные формулы в каждом разделе.

Предалгебра / Элементарная алгебра

Эти формулы включают основы математики и алгебры. Другими словами, от ученика требуется найти неизвестную переменную.

1. Среднее арифметическое (среднее) = сумма значений / количество значений

Специально используется для вычисления среднего значения заданного набора чисел.

Например: (10 + 12 + 14 + 16) / 4 = 13

2. Вероятность = Целевые результаты / Общие результаты

Специально используется для расчета вероятности того, что что-то произойдет из набора возможных результатов.

Например: банка содержит пять синих шариков, пять красных шариков и десять белых шариков.Какова вероятность случайного выбора красного шарика?

5/20 = 0,25 или 25%

3. Квадратичная формула: x = −b ± √b²-4ac / 2a

Специально используется для определения точек пересечения по оси x квадратного (параболического) уравнения.

Например: A = 1, B = 4, C = 4

x = -4 ± √4² — 4 (1) (4) / 2 (1)
х = -4 ± √ 16-4 (4) / 2
х = -4 ± √16 — 16/2
х = -4 ± √ 0/2
х = -4 / 2
х = -2

Промежуточная алгебра / координатная геометрия

Эти формулы помогают вычислять расстояния, длины и свойства точек на плоскости, а также находить переменные в более сложных алгебраических выражениях.

4. Формула расстояния: d = √ (x₁ — x₂) ² + (y₁ — y₂) ²

Специально рассчитывает расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

Например: Найдите расстояние между точками (6, 6) и (2, 3)

d = √ (6–2) ² + (6–3) ²
d = √ (4) ² + (3) ²
г = √16 + 3
d = √25
г = 5

5. Формула наклона: наклон = y₂ — y₁ / x₂ — x₁

В частности, вычисляет наклон (угол) линии, соединяющей две точки на плоскости.

Например: Координаты = (-2, -1) (4, 3)

с = 3 — (-1) / 4 — (-2)
с = 4/6
с = 2/3

6. Пересечение наклона: y = mx + b

Формула, определяющая линию на плоскости с известным наклоном и точкой пересечения по оси Y.

Например: наклон = 2, точка пересечения (0,3)

7. Формула средней точки: (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2

В частности, вычисляет среднюю точку между точками на плоскости.

Например: Найдите середину между (-1, 2) и (3, -6)

(-1 + 3) / 2, (2 + -6) / 2
2/2, -4/2
Середина (1, -2)

Плоская геометрия

Формулы для вычисления атрибутов геометрических фигур на плоскости и решения для переменных на основе углов данной формы (тригонометрические тождества).

8. Площадь треугольника: площадь = (1/2) (основание) (высота)

В частности, вычисляет общую площадь треугольника на основе длин сторон.

Например: база = 5, высота = 8

а = 1/2 (5) (8)
а = 1/2 (40)
а = 20

9. Теорема Пифагора: a² + b² = c²

Используется специально для вычисления длины неизвестной стороны прямоугольного треугольника, если известны две стороны.

Например: a = 3, b = 4

c² = 3² + 4²
кв.м = 9 + 16
c² = 25
с = √25
с = 5

10.Площадь прямоугольника: площадь = длина x ширина

Конкретно рассчитывает общую площадь прямоугольника.

Например: длина = 5, ширина = 2

11. Площадь параллелограмма: площадь = основание x высота

Специально рассчитывает общую площадь параллелограмма.

Например: база = 6, высота = 12

12. Площадь круга: π * r²

Конкретно рассчитывает общую площадь круга.

Например: радиус = 4

a = π x 4²
а = π x 16
а = 50,24

13. Окружность круга: окружность = 2π * r

Рассчитывает длину контура круга.

Например: радиус = 7

Тригонометрия

Продолжает работу с предыдущим геометрическим разделом плоскости.

14. Синус (SOH): Синус = противоположный / гипотенуза

Тригонометрическая идентичность, которая представляет относительные размеры сторон треугольника и может также использоваться для вычисления неизвестных сторон или углов треугольника.

Например: напротив = 2,8, гипотенуза = 4,9

15. Косинус (CAH): косинус = смежный / гипотенуза

Например: смежный = 11, гипотенуза = 13

16. Касательная (TOA): Касательная = противоположная / смежная

Например: напротив = 15, рядом = 8

Другие подсказки

Конечно, есть и другие формулы, которые могут появиться в ACT, но эти самые распространенные. Следовательно, они важнее всего. Запомните эти формулы, изучите, практикуйтесь, и все будет хорошо, когда наступит день экзамена.

Кроме того, убедитесь, что вы хорошо выспались ночью, и приготовьте то, что вам нужно, на ночь вместо утра. Также нет необходимости забивать накануне вечером; вместо этого расслабься! Зубки не работают, и это также лучший способ сделать передышку.

Удачи!

Проверьте, как ваши результаты ACT влияют на ваши шансы зачисления в College Raptor!

Степень уравнения

СТЕПЕНЬ УРАВНЕНИЯ

Степень уравнения, в котором не более

одна переменная в каждом члене — это показатель степени наивысшая степень, до которой эта переменная возводится в уравнение.Уравнение

3x — 17 = 0

— это уравнение ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ, так как x возводится только в

в первую степень.

Пример уравнения ВТОРОЙ СТЕПЕНИ:
5x ² -2x + 1 = 0.

Уравнение,
4x ³ — 7x ² = 0,

имеет ТРЕТЬЮ СТЕПЕНЬ.

Уравнение,

3x — 2y = 5

имеет первую степень по двум переменным, x и y.

Когда в термине встречается более одной переменной, например xy = 5, необходимо сложить показатели переменных внутри члена, чтобы получить степень уравнения. Поскольку 1 + 1 = 2, уравнение xy = 5 второй степени.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Графики используются во многих различных формах, чтобы дать

визуальные изображения некоторых связанных фактов. Например, они используются для демонстрации бизнес-трендов, производства результат, непрерывное индивидуальное достижение и так далее.Мы находим гистограммы, линейные диаграммы, круговые диаграммы и многие другие типы, каждый из которых используется для особая потребность. В алгебре графы также используются для дать визуальную картину, содержащую отличную сделку информация об уравнениях.

Иногда много числовых значений при замене

для переменных уравнения, будет удовлетворять условия уравнения. О конкретном типе график (который будет полностью объяснен в главе 12) некоторые из этих значений нанесены на график (расположены), и когда нанесено достаточно, через эти точки.Для каждого конкретного уравнения определен тип кривые результаты. Для уравнений первой степени в одном или две переменные, результирующая форма «кривой» прямая линия .. Таким образом, название ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ полученный. Уравнения высшей степени образуют различные другие формы. Название «линейное уравнение» теперь применяется к уравнениям первой степени независимо от количества содержащихся в них переменных. Глава 12 показывает, как уравнение можно изобразить на графике.Цель и значение построения графика уравнения будут также разрабатываться.

ИДЕНТИЧНОСТИ

Если заявление о равенстве касается одного или более

переменные, это может быть ИДЕНТИЧНОСТЬ (идентичная уравнение) или УСЛОВНОЕ УРАВНЕНИЕ. Идентичность — это равенство, которое утверждает факт, например следующие примеры:

Обратите внимание, что уравнение 3 просто показывает разложенную форму 6x — 18 и выполняется истина при замене любого

значения x.Например, если x = 5, он становится

Если x принимает отрицательное значение — 10, это тождество становится

Идентификация устанавливается, когда обе стороны

равенство были уменьшены до того же числа или такое же выражение. Когда 5 заменяется на x, значение любой стороны от 6 (x-3) = 6x — 18 равно 12. Когда -10 заменяется на x, значение с обеих сторон равно -78. Тот факт, что это равенство является тождеством, может быть показано также путем факторизации правой части, так что равенство становится

6 (х-3) = 6 (х-3)

Выражения с двух сторон равенства

следующие: идентичный.

УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Оператор

, например 2x — 1 = 0, является равенством только когда x имеет одно конкретное значение. Такое заявление называется УСЛОВНЫМ УРАВНЕНИЕМ, поскольку оно истинно только при условии что x = 1/2. Аналогично, уравнение y — 7 = 8 выполняется истина, только если y = 15.

Значение переменной, для которой выполняется уравнение с одной переменной. правда это ROOT, или

РЕШЕНИЕ уравнения.Когда мы говорим о решении

уравнения в алгебре мы называем условными уравнениями. Решение условное уравнение можно проверить, подставив для переменной — ее значение, определяемое решение.

Решение. правильно, если равенство сводится к тождеству. Например, если 1/2 равно

, вместо x в 2x — 1 = 0, результат является

Идентичность устанавливается для x = 1/2, так как значение

каждой части равенства сводится к нулю

28 важнейших математических формул SAT, которые вы ДОЛЖНЫ знать

Математический тест SAT не похож ни на один тест по математике, который вы проходили раньше.Он предназначен для того, чтобы взять концепции, к которым вы привыкли, и заставить вас применять их новыми (и часто странными) способами. Это сложно, но, уделяя внимание деталям и зная основные формулы и концепции, охватываемые тестом, вы можете улучшить свой результат.

Итак, какие формулы вам нужно запомнить для раздела SAT по математике до дня теста? В этом полном руководстве я рассмотрю каждую критическую формулу, которую вы ДОЛЖНЫ знать, прежде чем приступить к тесту. Я также объясню их, если вам нужно пробудить вашу память о том, как работает формула.Если вы понимаете каждую формулу в этом списке, вы сэкономите драгоценное время на тесте и, вероятно, правильно ответите на несколько дополнительных вопросов.

Формулы, данные на SAT, объясненные

Это именно то, что вы увидите в начале обоих математических разделов (калькулятор и без калькулятора). Легко не обращать внимания на это, поэтому ознакомьтесь с формулами сейчас, чтобы не тратить время зря в день тестирования.

Вам дается 12 формул самого теста и три закона геометрии.Запоминание приведенных формул может быть полезным и сэкономить ваше время и усилия, но в этом нет необходимости, , поскольку они приводятся в каждом разделе SAT по математике.

Вам даются только геометрические формулы, поэтому уделите первоочередное внимание запоминанию алгебр и тригонометрических формул перед экзаменом (мы рассмотрим их в следующем разделе). В любом случае вам следует сосредоточить большую часть своих усилий на алгебре, потому что геометрия была уменьшена в новом SAT и теперь составляет только 10% (или меньше) вопросов в каждом тесте.2 $$

π — постоянная, которая для целей теста SAT может быть записана как 3,14 (или 3,14159)
r — радиус окружности (любая линия, проведенная от центральной точки прямо к краю окружности)

Окружность круга

$ C = 2πr $ (или $ C = πd $)

d — диаметр окружности. Это линия, которая делит круг пополам через середину и касается двух концов круга на противоположных сторонах.Это в два раза больше радиуса.

Площадь прямоугольника

$$ A = lw $$

l — длина прямоугольника
w ширина прямоугольника

Площадь треугольника

$$ A = 1 / 2bh $$

b — длина основания треугольника (край одной стороны)
h — высота треугольника
- В прямоугольном треугольнике высота равна стороне угла в 90 градусов.2 $$
  - В прямоугольном треугольнике две меньшие стороны ( a и b ) возведены в квадрат. Их сумма равна квадрату гипотенузы (c, самая длинная сторона треугольника).
  Свойства особого правого треугольника: равнобедренный треугольник
  - Равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины и два равных угла, противоположных этим сторонам.
  - Равнобедренный прямоугольный треугольник всегда имеет угол 90 градусов и два угла по 45 градусов.
  - Длины сторон определяются по формуле: $ x $, $ x $, $ x√2 $, при этом гипотенуза (сторона, противоположная 90 градусам) имеет длину одной из меньших сторон * $ √2 $.
  Свойства специального прямоугольного треугольника: треугольник под углом 30, 60, 90 градусов
  - Треугольник 30, 60, 90 описывает градусы трех углов треугольника.
  - Длины сторон определяются по формуле: $ x $, $ x√3 $ и $ 2x $
  Объем прямоугольного твердого тела
  
  $$ V = lwh $$
  - l — длина одной из сторон.2 ч. $$
    - $ r $ — радиус круговой стороны конуса.
    - $ h $ — высота остроконечной части конуса (измеренная от центра круглой части конуса).
    Объем пирамиды
    $$ V = (1/3) л / ч $$
    - $ l $ — длина одного из ребер прямоугольной части пирамиды.
    - $ h $ — высота фигуры в пике (измеренная от центра прямоугольной части пирамиды).
    - $ w $ — ширина одного из краев прямоугольной части пирамиды.
    Закон: количество градусов в круге 360
    Закон: число радианов в круге равно 2π $
    Закон: количество градусов в треугольнике 180
    Подготовьте этот мозг, потому что вот формулы, которые вам нужно запомнить.
    Формулы, не указанные в тесте
    Для большинства формул в этом списке вам просто нужно взять их в руки и запомнить (извините).Некоторые из них, однако, может быть полезно знать, но в конечном итоге их не нужно запоминать, поскольку их результаты можно вычислить другими способами. (Тем не менее, это все еще полезно знать, поэтому относитесь к ним серьезно).
    Мы разбили список на «Необходимо знать», и «Полезно знать», в зависимости от того, любите ли вы тестировать формулу или тестируете меньшее количество формул, тем лучше.
    Склоны и графики
    
    Необходимо знать
    - Формула наклона
      - По двум точкам $ A (x_1, y_1) $, $ B (x_2, y_2) $ найдите наклон линии, соединяющей их:
        $$ (y_2 — y_1) / (x_2 — x_1) $$
      - Наклон линии равен $ {\ rise (\ vertical \ change)} / {\ run (\ horizontal \ change)} $.
    - Как написать уравнение линии
      - Уравнение линии записывается как: $$ y = mx + b $$
        Если вы получили уравнение, НЕ в этой форме (например, $ mx-y = b $), то повторно запишите это в этот формат! Очень часто SAT дает вам уравнение в другой форме, а затем спрашивает вас о том, являются ли наклон и пересечение положительными или отрицательными. Если вы не переписываете уравнение в $ y = mx + b $ и неправильно интерпретируете наклон или точку пересечения, вы получите неправильный ответ.
      - м — уклон линии.
      - b — точка пересечения оси y (точка, в которой линия пересекает ось y).
      - Если линия проходит через начало координат $ (0,0) $, она записывается как $ y = mx $.
    Полезно знать
    - Формула средней точки
      - Даны две точки, $ A (x_1, y_1) $, $ B (x_2, y_2) $, найдите середину линии, которая их соединяет:
    $$ ({(x_1 + x_2)} / 2, {(y_1 + y_2)} / 2) $$
    - Формула расстояния
    $$ √ [(x_2 — x_1) ^ 2 + (y_2 — y_1) ^ 2] $$
    Эта формула вам не нужна, так как вы можете просто построить график своих точек, а затем построить из них прямоугольный треугольник.Расстояние будет гипотенузой, которую вы можете найти с помощью теоремы Пифагора.
    Круги
    
    Полезно знать
    - Длина дуги
      - Учитывая радиус и градус дуги от центра, найдите длину дуги
      - Используйте формулу для длины окружности, умноженной на угол дуги, деленный на общий угол круга (360).
        $$ L _ {\ arc} = (2πr) ({\ градус \ мера \ центр \ of \ arc} / 360) $$
        E.2) ({\ степень \ мера \ центр \ of \ arc} / 360) $$
  - Альтернативой запоминанию «формулы» является остановка и логическое размышление об окружностях дуги и областях дуги.
    - Вы знаете формулы для вычисления площади и длины окружности (потому что они находятся в заданном вами поле уравнения в тесте).
    - Вы знаете, сколько градусов находится в круге (потому что это указано в вашем поле уравнения в тексте).
    - Теперь сложите два вместе:
      - Если дуга охватывает 90 градусов окружности, она должна составлять $ 1/4 $ общей площади / длины окружности, потому что $ 360/90 = 4 $. 2 + bx + c $, найти x.2-4ac}} / {2a} $$
        Примечание: Если вы знаете, как заполнить квадрат, то вам не нужно запоминать квадратное уравнение. Однако, если вам не совсем комфортно завершать квадрат, то относительно легко запомнить квадратную формулу и иметь ее наготове. Я рекомендую запоминать его на мелодию «Поп идет ласка» или «Греби, греби, греби своей лодкой».
        Среднее значение
        Необходимо знать
        Среднее значение — это то же самое, что и среднее значение
        Найдите среднее значение набора чисел / терминов
        $$ \ Mean = {\ sum \ of \ the \ terms} / {\ number \ of \ different \ terms} $$
        $$ \ Speed = {\ total \ distance} / {\ total \ time} $$
        Вероятности
        Необходимо знать
        Вероятность — это вероятность того, что что-то произойдет.
        $$ \ text «Вероятность исхода» = {\ text «количество желаемых результатов»} / {\ text «общее количество возможных исходов»} $$
        Полезно знать
        Вероятность 1 гарантирована. Вероятность 0 никогда не произойдет.
        В процентах
        Необходимо знать
        Найдите x процентов заданного числа n.
        $$ n (x / 100) $$
        Выясните, какой процент число n принадлежит другому числу m.
        $$ (n100) / м $$
        Выясните, какое число n составляет x процентов.
        $$ (n100) / x $$
        Тригонометрия
        Тригонометрия — это новое дополнение к новому математическому разделу SAT 2016. Хотя это составляет менее 5% математических вопросов, вы не сможете ответить на вопросы по тригонометрии, не зная следующих формул.
        Необходимо знать
        Найдите синус угла по размерам сторон треугольника.
        $ sin (x) $ = Измерение стороны, противоположной углу / Измерение гипотенузы
        На рисунке выше синус обозначенного угла будет $ a / h $.
        Найдите косинус угла по размерам сторон треугольника.
        $ cos (x) $ = Измерение стороны, прилегающей к углу / Измерение гипотенузы
        На рисунке выше косинус обозначенного угла будет $ b / h $.
        Найдите тангенс угла по размерам сторон треугольника.
        $ tan (x) $ = Измерение стороны, противоположной углу / Измерение стороны, прилегающей к углу
        На рисунке выше тангенс обозначенного угла будет $ a / b $.
        Полезный трюк с памятью — это сокращение: SOHCAHTOA.
        S ine равно O pposite over H ypotenuse
        C осин равен A djacent над H ypotenuse
        T angent равен O pposite over A djacent
        SAT Math: Помимо формул
        Хотя это все формулы , которые вам понадобятся (те, которые вам даны, а также те, которые вам нужно запомнить), этот список не охватывает все аспекты SAT Math.Вам также необходимо понимать, как множить уравнения, как манипулировать абсолютными значениями и решать их, как манипулировать и использовать экспоненты и многое другое. Все эти темы рассмотрены здесь.
        Еще одна важная вещь, которую следует помнить, — это то, что, хотя запоминание формул из этой статьи, которые вам не даны на тесте, важно, знание этого списка формул не означает, что вы готовы к SAT Math. Вам также необходимо попрактиковаться в применении этих формул для ответов на вопросы, чтобы знать, когда есть смысл их использовать.
        Например, если вас попросят вычислить, насколько вероятно, что белый шарик будет извлечен из банки, содержащей три белых шарика и четыре черных шарика, достаточно легко понять, что вам нужно взять эту формулу вероятности:
        $$ \ text «Вероятность исхода» = {\ text «количество желаемых результатов»} / {\ text «общее количество возможных исходов»} $$
        и используйте его, чтобы найти ответ:
        $ \ text «Вероятность белого шарика» = {\ text «количество белых шариков»} / {\ text «общее количество шариков»} $
        $ \ text «Вероятность белого шарика» = 3/7 $
        Однако в математическом разделе SAT вы также столкнетесь с более сложными вопросами вероятности, такими как этот:
        снов, вспомнившихся за одну неделю
        Нет
        от 1 до 4
        5 и более
        Итого
        Группа X
        15
        28
        57
        100
        Группа Y
        21
        11
        68
        100
        Итого
        36
        39
        125
        200
        Данные в приведенной выше таблице были получены исследователем сна, изучавшим количество снов, которые вспоминают люди, когда их просили записать свои сны в течение одной недели.Группа X состояла из 100 человек, которые наблюдали раннее время отхода ко сну, а группа Y — из 100 человек, которые наблюдали более позднее время отхода ко сну. Если человек выбирается случайным образом из тех, кто вспомнил хотя бы 1 сон, какова вероятность того, что этот человек принадлежал к группе Y?
        A) 68 $ / 100 $
        B) 79 $ / 100 $
        C) 79 $ / 164 $
        D) 164 долл. США / 200 долл. США
        долл. США.
        В этом вопросе есть много информации, которую нужно обобщить: таблица данных, объяснение таблицы, состоящее из двух предложений, и, наконец, то, что вам нужно решить.
        Если вы не практиковали такого рода задачи, вы не обязательно поймете, что вам понадобится та формула вероятности, которую вы запомнили, и вам может потребоваться несколько минут, порываясь по таблице и ломая голову, чтобы выяснить, как чтобы получить ответ — минут, которые вы теперь не можете использовать для решения других задач в разделе или для проверки своей работы.
        Однако, если вы практиковались в вопросах такого рода, вы сможете быстро и эффективно применить эту заученную формулу вероятности и решить задачу:
        Это вопрос вероятности, поэтому мне, вероятно, (ха) нужно будет использовать эту формулу:
        $$ \ text «Вероятность исхода» = {\ text «количество желаемых результатов»} / {\ text «общее количество возможных исходов»} $$
        Хорошо, количество желаемых результатов — это любой член группы Y, который вспомнил хотя бы один сон.Это выделенные жирным шрифтом ячейки:
        Нет
        от 1 до 4
        5 и более
        Итого
        Группа X
        15
        28
        57
        100
        Группа Y
        21
        11
        68
        100
        Итого
        36
        39
        125
        200
        И тогда общее количество возможных исходов — это все люди, вспомнившие хотя бы один сон.Чтобы получить это, я должен вычесть количество людей, которые не вспомнили хотя бы один сон (36), из общего количества людей (200). Теперь я снова включу все это в уравнение:
        $ \ text «Вероятность исхода» = {11 + 68} / {200-36}
        $
        $ \ text «Вероятность исхода» = {79} / {164}
        $
        Правильный ответ: C) 79 $ / 164 $
        Вывод из этого примера: после того, как вы запомнили эти математические формулы SAT, вам нужно узнать, когда и как их использовать , изучив практические вопросы.
        Что дальше?
        Теперь, когда вы знаете основные формулы для SAT, возможно, пришло время проверить полный список знаний и ноу-хау SAT по математике, которые вам понадобятся перед экзаменом. А для тех из вас, кто забивает особо высокие баллы, ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 800 баллов по SAT Math с помощью идеального тестировщика SAT.
        Сейчас средний балл по математике? Не ищите дальше нашей статьи о том, как улучшить свой результат, если в настоящее время вы набираете меньше 600 баллов.
        Хотите улучшить свой SAT на 160 баллов?
        Посетите наши лучшие в своем классе онлайн-классы подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.
        Наши классы полностью онлайн, и их ведут эксперты SAT. Если вам понравилась эта статья, вам понравятся наши классы. Наряду с занятиями под руководством экспертов вы получите индивидуальное домашнее задание с тысячами практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно.Мы также предложим вам пошаговую индивидуальную программу, которой вы будете следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.
        Попробуйте без риска сегодня:
        Какова степень полиномиальной функции?
        Степень в полиномиальной функции — это наибольший показатель этого уравнения, который определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество раз, когда функция пересекает ось x при построении графика.
        Каждое уравнение содержит от одного до нескольких членов, разделенных числами или переменными с разными показателями степени.Например, уравнение y = 3 x ¹³ + 5 x ³ имеет два члена: 3x ¹³ и 5x ³, а степень полинома равна 13, так как это наибольшее значение. степень любого члена в уравнении.
        В некоторых случаях полиномиальное уравнение необходимо упростить до определения степени, если уравнение не имеет стандартной формы. Затем эти степени можно использовать для определения типа функции, которую представляют эти уравнения: линейной, квадратичной, кубической, квартичной и т.п.
        Наименования полиномиальных степеней
        Обнаружение того, какую степень полинома представляет каждая функция, поможет математикам определить, с каким типом функции он или она имеет дело, поскольку каждое имя степени приводит к разной форме на графике, начиная с особого случая полинома с нулевой степенью. Остальные степени следующие:
        Степень 0: ненулевая константа
        Степень 1: линейная функция
        Степень 2: квадратичная
        Степень 3: кубическая
        Степень 4: четвертичная или биквадратная
        Степень 5: квинтик
        Степень 6: секстическая или шестая
        Степень 7: сепсис или гепатит
        Степень полинома выше Степени 7 не была названа должным образом из-за редкости их использования, но Степень 8 может быть обозначена как октическая, Степень 9 как ноническая, а Степень 10 как децитическая.
        Присвоение имен полиномиальным степеням поможет учащимся и учителям определить количество решений уравнения, а также научиться распознавать, как они действуют на графике.
        Почему это важно?
        Степень функции определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество случаев, когда функция пересекает ось x. В результате иногда степень может быть равна 0, что означает, что уравнение не имеет решений или каких-либо экземпляров графика, пересекающего ось x.
        В этих случаях степень многочлена остается неопределенной или указывается как отрицательное число, такое как отрицательная единица или отрицательная бесконечность, чтобы выразить значение нуля. Это значение часто называют нулевым многочленом.
        В следующих трех примерах можно увидеть, как эти степени полинома определяются на основе членов уравнения:
        y = x (степень: 1; только одно решение)
        y = x ² (Степень: 2; два возможных решения)
        y = x ³ (Степень: 3; три возможных решения)
        Значение этих степеней важно понимать при попытке назвать, вычислить и построить график этих функций в алгебре.Например, если уравнение содержит два возможных решения, каждый будет знать, что график этой функции должен будет дважды пересечь ось x, чтобы он был точным. И наоборот, если мы можем увидеть график и сколько раз пересекается ось x, мы можем легко определить тип функции, с которой мы работаем.
        7 заданий, использующих математику: поиск формулы для будущего
        Для многих математика — неприятный предмет. Многие профессионалы могут обойтись в своей карьере с помощью калькулятора и периодического поиска в Google.Но это не ты. Вы занимаетесь математикой. Или, что еще важнее, вы хорошо разбираетесь в математике и начинаете понимать, что это главный актив в вашем арсенале инструментов.
        Если после слова «математик» вы не понимаете, что такое тяжелая математическая карьера, то наберитесь духа! Есть много разных заданий, в которых математика широко используется, — некоторые из них вы, возможно, никогда раньше не задумывались. По данным Министерства труда США, во всех этих профессиях математика входит в 15 важнейших областей знаний. В разных отраслях работодатели ищут кандидатов с хорошим математическим умом.Ознакомьтесь с некоторыми из этих профессий, чтобы ознакомиться с тем, что доступно.
        7 Интересные задания, в которых используются математические навыки
        Вы всегда были человеком чисел. Так почему бы не использовать это в своей будущей карьере? Независимо от того, в чем заключаются ваши интересы, у вас есть возможность использовать свою любовь к математике, чтобы заработать на жизнь. Узнайте больше о семи вариантах:
        1. Медсестра-специалист по информатике
        Медсестры-специалисты по информатике используют свои специальные знания для помощи в проектировании, разработке и модификации компьютеризированных систем здравоохранения.Они работают с системными данными, чтобы улучшить сестринское обслуживание и выступают в качестве моста между медсестринским уходом и информатикой.
        Предпочтительное образование: Степень бакалавра или выше
        Средняя заработная плата в 2016 году: 87 220 долларов США *
        Почему важна математика: Медсестринская информатика — это высокотехнологичная работа, включающая проектирование программного обеспечения, тестирование системы, анализ данных о состоянии здоровья, ИТ-приложения, устранение неполадок и разработку специальных исследований для сбора информации.Медсестрам уже нужны базовые знания в области статистики и химии, но специалистам по сестринской информатике нужен еще более широкий набор математических способностей, чтобы делать значимые выводы на основе собранных данных и давать рекомендации по улучшению процесса.
        Узнайте больше об этой и других вакансиях в нашей статье «6 настоящих медсестер на дому».
        2. Бухгалтер
        Ладно, вы, наверное, этого ожидали. Бухгалтеры — одни из самых известных профессионалов в области «чисел».Но все же, если вы разбираетесь в математике, возможно, вам стоит присмотреться к бухгалтерскому учету поближе.
        Бухгалтеры готовят и проверяют бухгалтерские записи, финансовые отчеты или финансовые отчеты для оценки точности и соответствия стандартам бухгалтерского учета. Эти профессионалы управляют таблицами счетов, рассчитывают налоги и просматривают финансовые данные, чтобы убедиться в отсутствии ошибок.
        Предпочтительное образование: Степень бакалавра или выше
        Средняя заработная плата за 2016 год: 68 150 долларов США *
        Почему важна математика: Бухгалтеры проводят большую часть дня, работая с числами, поэтому точность имеет огромное значение.Знание математики важно для расчета налогов, составления бюджета или управления им, а также для правильного ведения финансовой отчетности.
        Узнайте больше о жизни в качестве бухгалтера в нашей статье «10 плюсов и минусов бухгалтерской карьеры, которые необходимо знать».
        3. Программист
        Программисты пишут и тестируют код для компьютерных приложений и программ. Программисты используют такие языки, как Java, Python или C ++, для написания и обновления программ, которые можно разрабатывать практически для чего угодно — от бухгалтерского программного обеспечения до видеоигр.
        Предпочтительное образование: Предпочтительно степень бакалавра (хотя некоторые работодатели проявляют гибкость)
        Средняя заработная плата за 2016 год : 79 840 долларов США *
        Почему математика важна: Программисты используют математику для решения задач. Работа включает в себя множество оценок и анализа. Понимание арифметики, алгебры, геометрии, исчисления, статистики и их приложений может пригодиться в работе. Некоторые из этих предметов могут не подходить так широко, как другие, но эта карьера имеет бесконечные вариации в зависимости от того, где вы работаете.
        Ознакомьтесь с нашей статьей «Сложно ли программировать на компьютере? Нет, если у вас есть эти 6 характеристик ».
        4. Специалист по анализу данных
        Специалисты по обработке данных создают и исполняют алгоритмы для поиска полезной информации и решений, даже прогнозируя будущее и придумывая новые способы использования огромных объемов доступной информации. В связи с широким распространением персональных устройств и Интернета по всему миру собирается ошеломляющий объем данных.Специалисты по обработке данных — это люди, которые используют эту информацию, чтобы ответить на большой вопрос или найти полезные и интересные связи между различными наборами данных.
        Предпочтительное образование: Магистр
        Средняя зарплата в 2016 году : 111840 долларов *
        Почему важна математика: Специалисты по обработке данных работают с большими данными. Один только этот аспект требует математических навыков. Их работа — это не просто простые вычисления, такие как нахождение медианы в диапазоне чисел — эти наборы данных настолько массивны, что требуются сложные алгоритмы, чтобы правильно проанализировать и сделать из них выводы.Специалистам по обработке данных необходимо хорошо разбираться в статистике (наряду с ее ограничениями), чтобы иметь возможность выполнять свою работу.
        Если вы могли бы использовать более подробное описание должности, ознакомьтесь с нашей статьей «Что такое специалист по данным? Простой ответ, который вы искали ».
        5. Финансовый аналитик
        Финансовые аналитики консультируют предприятия и частных лиц в принятии разумных инвестиционных решений. По данным Бюро статистики труда, они оценивают эффективность акций, оценивают финансовое положение и цели, изучают тенденции бизнеса и дают рекомендации по инвестициям.Эти аналитики часто работают в банках, страховых компаниях и компаниях, связанных с инвестициями, и являются специалистами по вычислению цифр, которые оценивают риски и потенциальную прибыль для различных финансовых инструментов.
        Предпочтительное образование: Степень бакалавра
        Средняя зарплата в 2016 году : 81760 долларов США *
        Почему важна математика: Финансовым аналитикам доверяют деньги других людей. Независимо от того, консультируете ли вы отдельное лицо или многомиллиардную компанию, ваш анализ риска, прибыли и колебаний рынка имеет огромное значение.Финансовые консультанты, вероятно, будут производить расчеты каждый день, и способность понимать математику имеет решающее значение, особенно, например, в таких случаях, как сложные проценты.
        Хотите узнать больше? Ознакомьтесь с нашей статьей «Чем занимается финансовый аналитик? Помимо цифр ».
        6. Аптечный техник
        Техники в аптеке (фармацевты) помогают фармацевтам отпускать рецептурные лекарства клиентам или медицинским работникам. По данным BLS, они в основном работают в розничных аптеках и больницах.Фармацевты работают под наблюдением фармацевтов при измерении лекарств, сборе информации, организации инвентаризации и взаимодействии с клиентами. В зависимости от штата, в котором они работают, техники аптеки также могут смешивать лекарства.
        Предпочтительное образование: Сертификат или другая программа послесреднего образования
        Средняя зарплата в 2016 году : 30 920 долларов *
        Почему важна математика: У техников аптек много задач, связанных с количеством, подсчетом и ценообразованием.Они расфасовывают лекарства оптом, наполняют бутылки прописанными лекарствами, ценят заполненные рецепты, подсчитывают запасы лекарств и инвентарь — и они постоянно проверяют количество и вес. В этой работе очень мало места для ошибки. Ваша математика должна быть точной и проверенной дважды.
        Для получения дополнительной информации о роли ознакомьтесь с нашей статьей «Чем занимается техник в аптеке?» Изучение работы дружелюбного лица за прилавком.”
        7. Менеджер цепочки поставок
        Менеджеры цепочки поставок отвечают за сложную цепочку, которая связывает вместе продукты, потребителей и компании. Они координируют производственные, закупочные, складские и сбытовые потребности своей компании. Они нацелены на ограничение затрат, повышение эффективности и точности и обеспечение безопасности всех участников процесса распределения.
        Предпочтительное образование: степень бакалавра.
        Средняя заработная плата за 2016 год: 74 170 долларов США *
        Почему важна математика: Менеджеры цепочек поставок держат в уме сложную серию местоположений и показателей, когда принимают решения.Им может потребоваться определить соответствующее оборудование и уровни укомплектования персоналом для загрузки, разгрузки, перемещения или хранения материалов, необходимых для ведения расчетного инвентарного учета. Они также несут ответственность за тактический выбор покупок и оптимальных маршрутов транспортировки. Все эти проблемы требуют расчетов и хороших математических способностей.
        Подробнее читайте в нашей статье «6 вещей, которые я хотел бы знать, прежде чем начать карьеру в области управления цепочками поставок».
        Найдите карьеру, которая важна
        Как видите, существует множество заданий, в которых используется математика, и этот список — только начало.Скорее всего, математика — не единственный навык, который вы можете использовать. Различные комбинации навыков и личных предпочтений могут сузить огромный список сложных математических работ до более конкретного направления карьеры.
        Может быть, ты силен в математике и письме? Или наука? Или творчество? Варианты продолжаются и продолжаются. Вот почему мы создали тест на профессиональную пригодность. Посмотрите, какие варианты карьеры лучше всего соответствуют вашей личности и навыкам.
        * Данные о заработной плате представляют собой средний заработок по стране для перечисленных профессий и включают работников всех уровней образования и опыта.Эти данные не отражают начальную зарплату, и условия занятости в вашем регионе могут отличаться.
        30 математических формул SAT, которые необходимо знать
        Коэффициенты, проценты и статистика
        13. Простые проценты
        \ (A = Prt \)
        Этот показатель появляется реже, чем сложные проценты на SAT, но он все равно появляется, так что об этом стоит знать. \ (P \) представляет основную сумму, \ (r \) — процентную ставку, выраженную в десятичной дроби, а \ (t \) — время, обычно в годах.{nt} \)
        Хорошая новость заключается в том, что \ (P \), \ (r \) и \ (t \) означают в этом уравнении то же самое, что и в простом интересе. \ (N \) представляет, сколько раз начисляются проценты в течение \ (1 \: t \). Например, если проценты начисляются ежеквартально в течение года, то \ (n = 4 \).
        15. Среднее / Среднее
        В математике слова «среднее» и «среднее» — это одно и то же: число, которое вы получаете, когда берете сумму набора и делите его на количество значений в наборе.Вы также можете думать об этом как о сумме, деленной на количество. Вы должны знать, как рассчитать среднее значение и интерпретировать его. Убедитесь, что понимаете разницу между средним и медианным значением.
        16. Случайная выборка
        Технически это не формула, но многие из статистических задач SAT сосредоточены больше на интерпретации концепций в контексте, а не на выполнении математических операций. Случайная выборка — это случайный выбор участников исследования из вашей популяции.Это гарантирует, что ваше исследование репрезентативно для населения.
        17. Случайное присвоение
        Случайное назначение — это случайное назначение участникам исследования лечения или испытания. Это снижает систематическую ошибку в вашем исследовании и означает, что вы можете приписать причинно-следственную связь лечению. На тесте SAT вас часто спрашивают, что снизит систематическую ошибку или насколько вы можете обобщить результаты для остальной части населения. В этих случаях вам необходимо определить случайную выборку и случайное распределение.
        18. Стандартное отклонение
        Вам не нужно рассчитывать стандартное отклонение для SAT, но вы будете протестированы по нему концептуально, как при случайной выборке и случайном назначении. Стандартное отклонение — это мера разброса в наборе данных. Более высокое стандартное отклонение означает больший спред, а более низкие стандартные отклонения означают меньший спред. Вам нужно знать, как изменения в наборе данных могут повлиять на стандартное отклонение, сделав его больше или меньше.2 \)
        Обычно возникает один вопрос, связанный с уравнением круга. В этом уравнении \ ((h, k) \) — координата центра окружности, а \ (r \) — радиус окружности.
        Какую роль играет ваш результат SAT в поступлении в школу вашей мечты? Узнайте, рассчитав свои шансы прямо сейчас.
        21. Коэффициент синусоиды
        Некоторые учащиеся нервничают, когда слышат, что триггер находится на тесте SAT, но чаще всего это проявляется в виде триггерных соотношений.Помните, что для данного угла в прямоугольном треугольнике значение синуса — это длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы, или противоположной стороны / гипотенузы.
        22. Косинусное отношение
        Как и в случае с синусом, помните, что такое косинусное отношение: длина смежной стороны, деленная на длину гипотенузы, или смежная / гипотенуза.
        23. Коэффициент касания
        И последнее, но не менее важное: отношение касательных — это длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны или противоположной / смежной стороны.Некоторые студенты находят мнемонический SOH CAH TOA полезным для запоминания тригонометрических соотношений.
        24. Градусы в радианы
        Хотя наиболее распространенной формой триггера являются базовые отношения, вы можете столкнуться с такими вещами, как единичный круг или более сложная математика. Если вам нужно преобразовать градусы в радианы, умножьте градусы на \ (\ frac {\ pi} {180} \). Если вам нужно преобразовать радианы в градусы, умножьте радианы на \ (\ frac {180} {\ pi} \).
        25.2 \)
        Теорема Пифагора применяется к прямоугольным треугольникам и позволяет вам найти длину одной из сторон при любой другой длине стороны. \ (a \) и \ (b \) — катеты треугольника, а \ (c \) — гипотенуза.
        26. Внутренний угол правильного многоугольника
        \ (\ frac {(n-2) 180} {n} \)
        SAT, вероятно, будет включать один вопрос с правильным многоугольником, который не является треугольником или квадратом. Правильные многоугольники обладают уникальными и непротиворечивыми свойствами в зависимости от количества сторон, и знание этих свойств может помочь вам решить эти проблемы.Это уравнение говорит вам, какой градус каждого угла основан на количестве сторон \ (n \).
        27. 3-4-5 треугольник
        SAT предоставляет вам два специальных прямоугольных треугольника, с которыми вы, возможно, уже знакомы на своем справочном листе, — треугольники 30-60-90 и 45-45-90. Однако 3-4-5 — это особый прямоугольный треугольник со сторонами, которые представляют собой простые целые числа. Этот треугольник часто включается в задачи SAT, особенно в части без калькулятора, так что будьте начеку! Это может избавить вас от необходимости использовать теорему Пифагора.
        28. 5-12-13 треугольник
        Другой специальный прямоугольный треугольник с целыми числами сторон, треугольник 5-12-13 менее известен и встречается реже, чем 3-4-5. Тем не менее, это помогает быстро решить оставшиеся стороны без теоремы Пифагора, поэтому проверяйте эти числа или их кратные в задачах треугольника.
        29. Длина дуги в окружности
        \ (длина \: of \: arc = \ frac {central \: angle} {360} \ pi d \)
        Хотя вопросы о геометрии не составляют огромной части SAT, вы все равно можете найти вопрос о дугах или секторах в круге.2 \)
        Подобно дуге, сектор — это область между двумя радиусами, отходящими от круга, вроде как кусок пирога. Опять же, умножьте меру в градусах на долю \ (360 \) и умножьте ее на уравнение для площади круга, чтобы найти площадь сектора.
        Завершение
        Перед тем, как вы уйдете, мы собираемся предложить вам бонусный совет: вы можете запомнить идеальные квадраты и идеальные кубики. Это может помочь вам с квадратными уравнениями, которые часто включают квадраты, а кубы часто используются при решении задач с показателями.Их запоминание сократит потребность в математических вычислениях с помощью бумаги для заметок или калькулятора.
        Лучший способ запомнить формулы — это попрактиковаться в их использовании. В отличие от вашего школьного теста по математике, где вы знаете, какие темы будут охвачены, SAT просто представит вам вопрос — вам решать, какие формулы применяются. Когда вы попрактикуетесь в использовании формул с множеством задач, вы сможете быстро определить, какую формулу использовать.
        Готовитесь к SAT? Загрузите наше бесплатное руководство с нашими 8 лучшими советами по освоению SAT.
        Хотите знать, как ваш результат SAT влияет на ваши шансы зачисления в школы вашей мечты? Наша бесплатная система Chancing Engine не только поможет вам предсказать ваши шансы, но и расскажет, как вы конкурируете с другими кандидатами и какие аспекты вашего профиля нужно улучшить. Зарегистрируйтесь на бесплатную учетную запись CollegeVine сегодня , чтобы получить доступ к нашему движку Chancing Engine и ускорить реализацию стратегии обучения в колледже!
        Ознакомьтесь с некоторыми другими нашими статьями по подготовке к математике:
        .

Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

Формулы сокращенного умножения

Квадратный трехчлен и теорема Виета

Основные свойства степеней

Основные свойства математических корней

Основные свойства квадратного корня

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

Степень суммы

Степень разности

Квадрат многочлена

Куб трехчлена

Действия со степенями и корнями

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Таблица степеней

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Свойство 1: произведение степеней

Свойство 2: частное степеней

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Свойство 4: степень возведения

Свойство 5: степень частного

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Умножение чисел с разными степенями

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление чисел с одинаковыми степенями

Деление чисел со степенями

Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы

2. Квадрат разности

3. Сумма и разность квадратов

4. Сумма в третьей степени (куб суммы)

5. Разность в третьей степени (куб разности)

6. Сумма и разность кубов

7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени

8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени

9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени

10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

13. Некоторые свойства формул

Скачать формулы в виде изображения в виде картинок

формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Свойства степени с натуральным показателем

Основные свойства степеней с целыми показателями

Основные свойства степеней с рациональными показателями

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

градусов (выражения)

Степень полинома (с одной переменной)

Еще примеры:

Названия степеней

Степень многочлена с более чем одной переменной

Пример: какова степень этого многочлена:

Пример: какова степень этого многочлена:

Записываем

Когда выражение — это дробь

Вычисление других типов выражений

Пример: степень 3 + √x

Некоторые значения степени

16 важнейших математических формул ACT Математические формулы, которые вам НЕОБХОДИМО знать

Тригонометрия

Другие подсказки

Степень уравнения

28 важнейших математических формул SAT, которые вы ДОЛЖНЫ знать

Формулы, данные на SAT, объясненные

Окружность круга

Площадь прямоугольника

Площадь треугольника

Свойства особого правого треугольника: равнобедренный треугольник

Свойства специального прямоугольного треугольника: треугольник под углом 30, 60, 90 градусов

Объем прямоугольного твердого тела

Объем пирамиды

Формулы, не указанные в тесте

Склоны и графики

Необходимо знать

Полезно знать