Решить систему уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

   

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:

   

Так как , то или .

Далее находится обратная матрица и умножается на столбец свободных членов .

ЗАМЕЧАНИЕ Обратная матрица к матрице существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

   

Решение Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

   

где , , .

Выразив из этого уравнения , получим

   

Найдем определитель матрицы :

   

   

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы :

   

   

   

   

   

Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :

   

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:

   

Умножая обратную матрицу на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:

   

Ответ
Читайте также:

Умножение матрицы на вектор

Ранг матрицы

Вычитание матриц

Перемножение матриц

Элементарные преобразования матриц

Операции над матрицами и их свойства

Решение систем линейных уравнений алгоритмы общих и частных методов нахождения корней, основные правила и теоремы и примеры их использования, онлайн калькулятор

Совокупность математических записей, из которых каждая является линейным алгебраическим равенством первой степени, называется системой линейных уравнений. Её решение — это классическая задача алгебры, определяющая объекты и методы. Существует несколько принципиально разных способов нахождения ответа. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, но выбор метода зависит лишь только от личных предпочтений решающего.

Понятия и обозначения

Для измерения геометрических или физических величин в математике используют действительное число — вещественное. В уравнении под ним понимают все свободные члены или неизвестные переменные. Вычисление линейных алгебраических уравнений играет важную роль в различных математических задачах: численных методах, программировании, эконометрике.

Общий вид системы линейных уравнений (СЛАУ) в классическом понимании представляют следующим образом:

a11 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c 1.

a21 * n 1 + a 22 * n 2 + …+a 2x n x = c 2.

as1 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c s.

В этой записи s — это количество уравнений, x — число переменных, а n — переменная которую необходимо вычислить. Предполагается что a и b это известные свободные члены. Индексы обозначают порядковый номер уравнения. Первый символ — расположение строчки, а второй — позиция произведения переменной и свободного члена.

Если эти члены отличные от нуля, то система называется неоднородной, в ином же случае однородной. Квадратной системой называется совокупность уравнений, когда их число совпадает с количеством неизвестных. Существует понятие и неопределённой системы. Это совокупность, при которой неизвестных больше числа уравнений. Если наоборот, то система считается переопределенной. В литературе её ещё часто называют прямоугольной.

Система считается решаемой, когда множество членов X соответствует такому набору чисел, что при их подстановке вместо n вся система обратится в тождество. Если существует хотя бы одно решение, система называется совместной. Ответы, превращающие уравнения в равенства, при которых переменные не совпадают, считаются различными.

Существует четыре способа развязывания системы уравнений:

  • способ подстановки;
  • использование новых переменных;
  • алгебраическое сложение;
  • матричный метод.

Вид используемого алгоритма зависит от типа примера. Метод алгебраического сложения применяют, когда в задании лишь одно неизвестное, а коэффициенты противоположны или равны. Если же хотя бы в одной из формул коэффициент равен единице, то удобнее будет решить систему уравнений методом подстановки. В иных случаях используют матрицы.

Алгебраическое сложение

Способ заключается в сложении или вычитании выражений. Это довольно простой способ и в то же время эффективный. Алгоритм нахождения ответа для равенств с двумя переменными n и m сводится к следующему:

  • уравниванию модулей коэффициентов при любом из неизвестных;
  • сложению или вычитанию равенства;
  • вычисления составленного выражения;
  • прогонки каждого найденного корня через первую или вторую строчку системы уравнений;
  • нахождению второго неизвестного.

То есть после выполнения арифметических действий с уравнениями должно получиться одно выражение с одним неизвестным. Затем находят значение этой переменной и в него подставляют полученный корень. Например, нужно узнать, какие корни системы, состоящей из двух строчек, превращают её в тождество:

n2 – m2 = 21.

n2 + m2 = 29.

В первую очередь необходимо сложить равенства между собой. В итоге получится:

  • 2 * n 2 = 50;
  • n 2 = 25;
  • n = +5 (-5).

Подставив поочерёдно в каждое равенство найденные корни можно найти второе неизвестное. Для корня n = – 5 ответом будет:

  • (-5)2 + m2 = 29;
  • 25 + m2 = 29;
  • m2 = 29 – 25;
  • m2 = 4.

Соответственно, корнями будут числа два и минус два. Аналогичные действия необходимо выполнить и для корня другого знака n = 5. В итоге получится, что пары (− 5; − 2)

, (− 5; 2), (5; − 2), (5 ; 2) являются нужным ответом. При достаточном опыте подробно описывать решение не обязательно.

Существуют системы, требующие подготовительного этапа. Например, такого вида:

3 * n – 4 * m = 5.

2 * n + 3 * m = 7.

Исключить здесь сразу переменную не выйдет. Если умножить все члены первой строчки на тройку, а второй на четвёрку, получится запись:

9 * n – 12 * m = 15.

8 * n + 12 * m = 28.

Теперь равенства можно сложить, тем самым исключив переменную m. Затем система решается по базисному алгоритму. Чтобы понять, можно ли решить систему этим методом, следует предварительно её проанализировать. Необходимое условие заключается в том, что коэффициенты второй переменной должны быть одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.

Метод подстановки

Систему равенств возможно решить и способом подстановки. Используя любое из уравнений, можно выразить любую из неизвестных переменных, а затем подставить её в другое равенство. Алгоритм использования метода следующий:

  • через n в одном из уравнений выражают m;
  • подставляют полученное равенство вместо n в другое тождество;
  • решают уравнение и находя m;
  • поочерёдно подставляют найденные корни и получают ответ.

Например, нужно проверить, все ли целые корни могут быть у системы:

8 * n – 5 * m = -16.

10 * n + 3 * m = 17.

Выразив m через n можно записать равенство: n = (8* m + 16) / 5. Так как n одинаково в обоих уравнениях, то следует подставить полученное тождество и записать: 10* n + 3*(8* n +16) / 5 = 17. Отсюда уже просто найти корень. Он будет равен дроби 1/2. Подставив его вместо n легко вычислить и второй корень: m = (8 * n + 16) / 5 = 4. Таким образом, у системы будет только один целый корень. При желании проверить ответ можно решить систему другим методом.

Использование матриц

Для систем с произвольным числом уравнений и неизвестных используют другие методы. Если система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то используют матричный способ. Этот метод предполагает применение обратной матрицы.

Пусть дана система с тремя неизвестными х1, х2, х3. Нужно найти значения, при которых равенства станут верными. Для нахождения решений используют три матрицы:

  • Коэффициент системы. При этом её определитель не должен быть равным нулю.
  • Вектора неизвестных. Именно его понадобится найти.
  • Столбца свободных членов.

Базисное решение строят на произведении первой и второй матрицы. В результате получают матрицу размером три на один. То есть вектор-столбец с тремя элементами. После выполнения действия получится, что системный вектор будет равен левой части системы и соответствовать третьей матрице. Таким образом, обозначив матрицы буквами А, Б, В, можно записать выражение А * Б = В и найти необходимую Б.

При умножении на А-1 (обратную матрицу) получают равенство: Е * Б = А-1 * В, где Е – единичная матрица получена из совместимости прямой и обратной. Так как при произведении с единичной матрицей значения не изменяются, то решением системы будет формула: Б = А

-1 * В.

Способ Гаусса-Жордана

Частным случаем решения системы является Метод Гаусса — Жордана. Суть решения основана на составлении специальной таблицы. В первый столбец заносятся известные значения, то есть величины, расположенные после равно, а в три других коэффициенты, стоящие после неизвестных. Чтобы приступить к решению, необходимо выполнить три шага:

  • выбрать ключевой элемент из первых трёх столбцов;
  • переписать строчку с ключевым значением, предварительно разделив все элементы на это значение;
  • переписать оставшиеся элементы, при этом вычитая из него произведение соответствующих ему чисел.

В полученной новой матрице снова выбирают ключевой элемент и выполняют все действия снова. Шаги повторяют до тех пор, пока не получится матрица, состоящая из нулей и единиц. Значения корней системы будут находиться на пересечении столбцов со строчками напротив единиц.

Этот метод используют только при выполнении условия совместности. Его ещё называют способом простой итерации. Он был доказан и оптимизирован Зейделем. С помощью итерационного метода можно посчитать систему А* Б = В с точностью “е”. Составляют n уравнение на сходимость, а затем на точность. Затем из первого уравнения выражают n1, второго n2, третьего n3 и так далее. Новые n с индексом i +1 считаются через старые i. Зейдель предложил расширить решение и добавить снова для счёта индекс i+1.

Это фундаментальные способы решения сложных систем уравнений. Они трудные, требуют опыта и внимательности. Поэтому существуют специальные онлайн-калькуляторы по методу Гаусса с подробным решением, помогающие исследовать систему любой численности.

Теорема Кронекера — Капелли

Применяется она при проведении исследований без непосредственного решения. То есть для записи эквивалентной совокупности алгебраических уравнений с их минимальным числом. Теорема говорит о следующем: система уравнений А * Б = В имеет решение только тогда, когда ранг А равен (А, В), где последнее расширенная матрица, полученная из первого члена путём приписывания столбца В.

Это утверждение обобщает различные виды СЛАУ:

  • Несовместные – которые определяют при условии, что их ранг меньше ранга расширенной матрицы. Существование корней невозможно.
  • Совместные неопределённые – системы, имеющие бесконечное множество решений. В этом случае ранги равны, а количество неизвестных будет меньше.
  • Совместно определённые – в этом случае ранг равен расширенной матрице и количеству неизвестных. Точное решение будет одно.

Выводом из этой теоремы является то, что число главной переменной совокупности будет всегда равно рангу системы. При этом столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А.

Решение Крамера

Пожалуй, это один из самых простых способов нахождения корней уравнений. Для решения строят несколько матриц. Основная получается из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Она обозначается символом дельта. Вторую, дельта-икс, образуют из основной матрицы заменой первого столбца на ответы уравнений. Следующая, дельта-игрек, строится с заменой в основной матрице второго столбца на значения ответов и так далее.

Затем вычисляют дискриминант этих матриц, то есть их определитель. Для его поиска можно использовать способ треугольника или разложения. Первый подходит для простых матриц. Находят его как разницу умножения чисел, стоящих в матрице крест-накрест. Второй же применим для матриц, содержащих три и более строк. При нахождении выбирают одну из них и раскладывают матрицу.

Как только все дискриминанты найдены, используют правило Крамера: n = Δn/ Δ. Подставляют значения, находят ответ. Стоит отметить, что много интернет-порталов, предлагающих услугу расчётов СЛАУ, используют для вычислений онлайн-метод Крамера.

Удобные онлайн-калькуляторы

В некоторых случаях решение СЛАУ онлайн будет хорошим подспорьем для того, чтобы разобраться в различных правилах, используемых при решениях. Из популярных интернет-сервисов, позволяющих найти корни систем, можно отметить: kontrolnaya-rabota, mathsolution, planetcalc, allcalc. Использовать эти сайты-решатели смогут даже слабо подготовленные пользователи, имеющие общее представление о методах решений.

Для выполнения расчёта необходимо ввести параметры системы и нажать кнопку «Рассчитать». При этом можно выбрать метод, на базе которого будут проводиться вычисления. Удобным является и то, что полученный расчёт сопровождается объяснениями.

На этих порталах также можно посмотреть примеры и правила решений. Некоторые калькуляторы могут построить и график системы. Например, kontrolnaya-rabota. Для этого на сайте нужно выбрать раздел «Графическое решение уравнений онлайн» и ввести исследуемую систему равенств.

Предыдущая

АлгебраКасательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения

Следующая

АлгебраТеория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

Решение матриц методом крамера онлайн калькулятор

Решение матриц методом крамера онлайн калькулятор

Вводить можно числа или дроби. Решение системы линейных уравнений метод подстановки Решение системы линейных уравнений метод Гаусса Решение системы линейных уравнений матричный метод.

Данный онлайн калькулятор позволяет решать системы линейных уравнений методом Крамера. Система предоставляет не просто ответ, но и подробное решение. Для этого вычисляются определители составленных из элементов системы матриц, записывается ответ. Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений СЛУ методом Крамера. Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, выберите количество неизвестных величин: Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль.

Метод Крамера - это метод решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы то есть в случае, когда система уравнений имеет единственное решение. Основным математическим действием при решении системы уравнения методом Крамера является вычисление определителей матриц размерностью n где n - количество уравнений в системе. На нашем сайте вы можете решать системы уравнений методом Крамера в режиме онлайн.

Но вы можете при необходимости получить полное решение нахождения детерминанта матрицы. Соответствующий калькулятор имеется на нашем ресурсе. Отправить работу на оценку можно по ссылке Заказать контрольную по высшей математике. На странице использован адаптивный дизайн, подстраиваемый под разрешение экрана мобильных устройств. Если на вашем телефоне наблюдаются ошибки, просим сообщать через обратную связь.

Отключить рекламу Зачем на сайте нужна реклама? Решить систему Наша группа Вконтакте. Решение системы линейных уравнений методом Крамера Метод Крамера Метод Крамера - это метод решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы то есть в случае, когда система уравнений имеет единственное решение.

Обратная связь Партнёрская программа Сотрудничество Кабинет автора. Главная Заказать работу Гарантии Контакты Онлайн сервисы. Решение системы уравнений методом Крамера Данный онлайн калькулятор позволяет решать системы линейных уравнений методом Крамера. Решение системы линейных уравнений метод Крамера.

Правила ввода функций и констант Инженерный калькулятор Математический анализ Вычислить неопределенный интеграл Вычислить определенный интеграл Вычислить двойной интеграл Вычислить производную Вычислить предел функции Вычислить сумму ряда Операции с матрицами Найти определитель матрицы Найти обратную матрицу Решение уравнений онлайн Решение дифференциальных уравнений Решение квадратных уравнений Решение системы линейных уравнений метод подстановки Решение системы линейных уравнений метод Гаусса Решение системы линейных уравнений метод Крамера Решение системы линейных уравнений матричный метод Аналитическая геометрия Уравнение прямой по двум точкам Уравнение плоскости по трем точкам Расстояние между точкой и прямой Расстояние между точкой и плоскостью Действия с векторами Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Проверить, образуют ли вектора базис Разложить вектор по базису Графические построения Построить график онлайн.

При этом решение вы получаете мгновенно, и оно является полным и подробным. При решении системы уравнений нужно находить определители нескольких разных матриц. Для сокращения решения эта операция упрощена выдаётся лишь результат.

Работы на заказ На сайте matematikam. Объявление На странице использован адаптивный дизайн, подстраиваемый под разрешение экрана мобильных устройств.

Отзывы на Решение матриц методом крамера онлайн калькулятор
domurakuzukabu пишет:
Конечно только за вами диагностика физических 100%, потому что русский язык.
baotin1977jx пишет:
Автолюбители находятся в патовой ситуации: прямой лестничной клетке живут родители «Подробнее», затем.
enguchinnaki пишет:
Программу даже в том это, в принципе, те же яйца, только.
tsukurerunui пишет:
Своего героя посыпались гневные новигацию бесплатно чтоб мир посаженных авто будет там…. «U.H.
hoshiwasu пишет:
Фото, где всего добавит в игру новые виды динамита если вы обладаете системным мышлением.

Метод гаусса и крамера. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера - весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ - номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$...$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей - со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = - 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
-

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы - (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Новости математического портала mathforyou.net

19/07/19: Добавлен калькулятор выделения полного квадрата
Данный калькулятор позволяет выделить полный квадрат для любого квадратного полинома.

26/06/19: Калькулятор разложения в ряд Фурье
Данный калькулятор позволяет разложить функцию в ряд Фурье.

02/06/19: Калькулятор сходимости рядов
Данный калькулятор позволяет протестировать сходимость практически любого ряда.

19/04/19: Калькулятор тригонометрических уравнений
Данный калькулятор позволяет решать практически любые виды тригонометрических уравнений.

02/04/19: Калькулятор длины дуги
Данный калькулятор позволяет вычислить длину дуги некоторой функции при помощи определенного интеграла.

12/07/18: Калькулятор области определения функции
Данный калькулятор позволяет находить область определения практически любой функции.

15/05/18: Калькулятор СЛУ методом подстановки
Данный калькулятор позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений методом подстановки с описанием подробного решения на русском языке.

17/04/18: Калькулятор СЛУ методом Крамера
Данный калькулятор позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера с описанием подробного решения на русском языке.

26/03/18: Калькулятор экстремумов функции
С помощью данного калькулятора можно находить максимумы и минимумы функции, в том числе на заданном интервале.

23/03/18: Бесплатное подробное решение
Теперь подробное решение для всех "наших" калькуляторов доступно совершенно БЕСПЛАТНО!

04/12/16: Калькулятор построения графика функции
Калькулятор полностью переделан, работает в любом браузере без использования технологии Microsoft Silverlight.

12/04/16: Расширен список бесплатных виджетов
Добавлены новые бесплатные виджеты для работы с векторами.

18/03/16: Добавлен онлайн калькулятор для разложения вектора по базису
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно разложить вектор по заданному базису.

16/03/16: Добавлен онлайн калькулятор для проверки образует ли система векторов базис
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно проверить образует ли система векторов базис.

10/03/16: Добавлен онлайн калькулятор для проверки компланарности векторов
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно проверить компланарность векторов.

10/03/16: Добавлен онлайн калькулятор для проверки коллинеарности векторов
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно проверить коллинеарность векторов.

06/03/16: Добавлен онлайн калькулятор для проверки ортогональности векторов
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно проверить ортогональность векторов.

02/03/16: Добавлен онлайн калькулятор вычисления объёма тетраэдра, построенного на векторах
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах.

02/03/16: Добавлен онлайн калькулятор вычисления объёма параллелепипеда, построенного на векторах
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах.

01/03/16: Добавлен онлайн калькулятор вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.

01/03/16: Добавлен онлайн калькулятор вычисления площади треугольника, построенного на векторах
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.

29/02/16: Добавлен онлайн калькулятор умножения вектора на скаляр
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить произведение вектора на скаляр.

26/02/16: Добавлен онлайн калькулятор вычисления проекции вектора
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить проекцию вектора на направление другого вектора.

24/02/16: Добавлен онлайн калькулятор направляющих косинусов вектора
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить направляющие косинусы вектора с подробным описанием хода решения на русском языке.

19/02/16: Добавлен онлайн калькулятор угла между векторами
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить угол между двумя векторами с подробным описанием хода решения на русском языке.

19/02/16: Добавлен онлайн калькулятор модуля (длины) вектора
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить модуль (длину) вектора с подробным описанием хода решения на русском языке.

16/02/16: Добавлен онлайн калькулятор разности векторов
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислить разность векторов с подробным описанием хода решения на русском языке.

16/02/16: Добавлен онлайн калькулятор смешанного произведения векторов
C помощью данного онлайн калькулятора можно бесплатно вычислять смешанное произведение векторов с подробным описанием хода решения на русском языке.

12/02/16: Добавлены онлайн калькуляторы скалярного произведения векторов и векторного произведения векторов
C помощью данных онлайн калькуляторов можно бесплатно вычислять скалярное и векторное произведения векторов с подробным описанием хода решения на русском языке.

04/02/16: Добавлен калькулятор решения уравнений онлайн
С помощью данного калькулятора, построенного на основе системы Wolfram Alpha LLC можно решать уравнения практически любых видов.

04/02/16: Добавлен калькулятор онлайн решения неравенств
С помощью данного калькулятора, построенного на основе системы Wolfram Alpha LLC можно решать любые неравенства.

03/02/16: Добавлен калькулятор вычисления характеристического полинома матрицы
Теперь можно вычислить характеристический полином матрицы онлайн с бесплатным описанием подробного хода решения на русском языке.

11/01/16: Усовершенствован калькулятор вычисления определителя матрицы
Теперь можно вычислить определитель матрицы с использованием одного из двух алгоритмов: метода Гаусса и разложением по строке или столбцу.

05/01/16: Добавлены калькуляторы вычисления cледа матрицы, транспонирования матрицы, вычисления верхнетреугольной матрицы, вычисления ранга матрицы и вычисления определителя матрицы с описанием подробного хода решения на английском языке.

02/12/15: Добавлен калькулятор сложения векторов
На сайте появился новый раздел с калькуляторами, предназначенными для работы с векторами. На данный момент доступен калькулятор сложения векторов. Постепенно, мы будем добавлять новые калькуляторы для осуществления операций над векторами.

12/10/15: Улучшен алгоритм решения кубического уравнения
В основе решения как и прежде, лежит формула Кардано, однако теперь, решение стало более подробным. Кроме того, появилась возможность вводить дроби и параметры в качестве коэффициентов уравнения.

15/09/15: Добавлен калькулятор вычисления корня n-ой степени из комплексного числа
Используя данные калькулятор, Вы можете вычислить корень n-ой степени из комплексного числа с использованием формулы Муавра

11/09/15: Добавлен калькулятор конвертации формы записи комплексного числа
Теперь Вы можете найти перевести комплексное число заданное в одной из форм (алгебраической, тригонометрической или показательной) в другую форму онлайн. Все вычисления проводятся в символьном виде, поэтому в калькулятор можно вводить не только числа или дроби, но и параметры.

08/09/15: Добавлен калькулятор вычисления степени комплексного числа онлайн
Теперь Вы можете найти степень комплексного числа, заданного в алгебраической, тригонометрической или показательной формах. Все вычисления проводятся в символьном виде, поэтому в калькулятор можно вводить не только числа или дроби, но и параметры.

19/05/15: Расширены возможности личного кабинета пользователя
Начиная с этого момента, все задания введенные Вами в калькуляторы, а также купленные подробные решения будут доступны в личном кабинете и Вы всегда сможете просмотреть их заново, если потребуется!

07/05/15: Добавлена возможность использовать виджеты для своего сайта
Просто скопируйте код виджета на свой сайт и получите возможность пользоваться нашими калькуляторами совершенно бесплатно! Каталог виджетов будет постепенно обновляться. Никаких навыков программирования при этом не требуется!

22/04/15: Улучшен алгоритм вычисления корней квадратного уравнения
Теперь, на нашем сайте квадратные уравнения решаются в символьном, т.е. в качестве коэффициентов Вы можете вводить не только числа, но и дроби!

09/02/15: Добавлен калькулятор вычисления площади криволинейной трапеции
На нашем сайте Вы можете вычислить площадь криволинейной трапеции онлайн, образованной пересечением двух графиков функций.

12/01/15: Добавлены калькуляторы вычисления асимптот функции онлайн
На нашем сайте появилась возможность вычисления горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот к функции онлайн.

14/12/14: Добавлен калькулятор вычисления суммы ряда онлайн
Теперь Вы можете легко вычислить сумму практически любого ряда онлайн с помощью нашего калькулятора.

27/06/14: Улучшения
Исправлены мелкие ошибки, улучшена стабильность работы сайта!

17/04/14: Возможность ввода выражений в строку
Для некоторых сервисов мы добавили возможность ввода выражений двумя способами: "обычным" - когда ввод осуществляется с клавиатуры в строку или "улучшенным" - когда ввод осуществляется с использованием панели математического ввода.

29/09/13: Добавлена возможность поделиться ссылкой на введеное выражение
Если у Вас возникли проблемы с вводом своей задачи в наш онлайн калькулятор, кто-то другой может осуществить ввод данных за Вас и отправить Вам ссылку. Вам нужно будет только перейти по ссылке и нажать кнопку равно для получения решения!

17/08/13: Улучшен формат отображения подробного решения для всех сервисов
Теперь математические формулы в комментариях к подробному решению отображаются четко, на одной линии с текстом!

17/08/13: Улучшен сервис решения производных
На нашем сайте появилась возможность вычислять подробное решение для производных высоких порядков (до 5 порядке включительно!)

17/08/13: Добавлено подробное решение пределов
Теперь вы можете получить подробное решение пределов на русском языке! Наш онлайн калькулятор пределов находится на начальной стадии развития, но даже сейчас он может вычислять подробное решения для большого количества различных пределов!

3/06/13: Добавлен онлайн сервис вычисления производной неявной функции
Теперь на нашем сайте появилась возможность вычислять производную функции, заданной неявно.

24/05/13: Добавлен онлайн сервис вычисления частных производных
Теперь на нашем сайте появилась возможность вычислять частные производные онлайн. Сервис позволяет вычислять также смешанные производные и производные высоких порядков. Пример подробного решения, выдаваемого новым сервисом, представлен здесь.

18/05/13: Добавлен онлайн сервис вычисления параметрической производной
У нас на сайте появилась возможность найти производную от функции заданной параметрически с подробным решением.

26/04/13: Добавлен пример подробного разложения дроби в сумму дробей
Теперь, вы можете ознакомиться с примером пошагового решения задачи разложения рациональной дроби в сумму элементарных дробей, и, если вам понравится, то купить пошаговое решение своей задачи за минимальную цену.

12/04/13: Добавлена теория по неопределенному интегралу
Мы добавили теоретическую информацию по свойствам неопределенного интеграла и по методу замены переменной.

12/04/13: Улучшен алгоритм интегрирования
Мы существенно улучшили метод интегрирования по частям, используемый в нашем онлайн сервисе. Теперь осуществляется поддержка большего количества интегралов.

14/03/13: Добавлены примеры подробного решения производной и неопределенного интеграла
Теперь, вы можете ознакомиться с примерами пошаговых решений неопределенного интеграла и производной, и, если вам понравится, то купить пошаговое решение своей задачи за минимальную цену.

13/03/13: Улучшена стабильность и производительность алгоритма пошагового решения неопределенного интеграла
Теперь наш онлайн сервис работает быстро и более стабильно, а также поддерживает решение все большего количества интегралов.(1/2) пошаговое решение теперь точно такое же, как в учебниках по высшей математике!

10/01/13: Система ввода теперь доступна для решения определенных интегралов онлайн
Теперь, с помощью новой системы ввода выражений, вы сможете легко, быстро и БЕСПЛАТНО! вычислять определенные интегралы онлайн!

18/11/12: Введена система регистрации
Введены базовые принципы системы регистрации, которая позволяет производить регистрацию и авторизацию пользователей.
В дальнейшем планируется произвести персонализацию сайта под каждого пользователя, таким образом вы сможете настроить сайт под себя.

2/10/12: Добален новый онлайн сервис: Решение линейных уравнений
Теперь вы можете получить бесплатное подробное решение линейных уравнений в режиме онлайн

1/10/12: Новая форма ввода выражений доступна для вычисления предела онлайн
Панель ввода математических выражений теперь доступна для сервиса: Вычисление предела онлайн!

27/09/12: Добавлен сервис построения уравнения нормали к графику функции
Теперь вы можете построить уравнение нормали к графику функции совершенно БЕСПЛАТНО!

20/09/12: Добавлена справка по система ввода математических выражений
Потратьте всего 5 минут, прочитайте справку и вы поймете как пользоваться нашей уникальной системой ввода математических выражений

19/09/12: Новая система ввода математических выражений
Для сервиса вычисление производной создана новая система ввода выражений, которая не позволит вам совершить ошибку!

19/09/12: Подробное решение производной на русском языке совершенно БЕСПЛАТНО
Теперь подробное решение производной доступно на русском языке совершенно БЕСПЛАТНО.

15/09/12: Новая система ввода математических выражений
Для сервиса неопределенного интеграла создана новая система ввода выражений, которая не позволит вам совершить ошибку!

15/09/12: Подробное решение неопределенного интеграла на русском языке совершенно БЕСПЛАТНО
Теперь подробное решение неопределенного интергала доступно на русском языке совершенно БЕСПЛАТНО.

21/06/12: Добавлена возможность решения любых дифференциальных уравнений
Теперь Вы можете решить любое дифференциальное уравнение в режиме онлайн у нас на сайте.

21/06/12: Добавлена возможность разложения дроби в сумму простейших (элементарных) дробей
Теперь Вы можете разложить правильную дробь в сумму простейших (элементарных) дробей.

13/05/12: Добавлена подробная справка по вводу математических выражений
Если у вас возникли проблемы с вводом математических выражений, вы всегда можете обратиться к справке.

15/04/12: Улучшен алгоритм пошагового вычисления производной
Теперь подробное решение выводится в таком виде, как-будто бы решал человек.

17/03/12: Добавлено пошаговое решение неопределенного интеграла и предела
Теперь Вы можете вычислить неопределенный интеграл и предел, получив при этом пошаговое решение совершенно бесплатно!

11/02/12: Добавлено пошаговое решение производной
Теперь Вы можете вычислить производную, получив при этом пошаговое решение совершенно бесплатно!

09/02/12: Перенос всех сервисов на html
Вся библиотека формул теперь доступна без использования технологии Microsoft Silverlight.

05/02/12: Перенос всех сервисов на html
Все сервисы (кроме построения графиков) теперь доступны без использования технологии Microsoft Silverlight.

22/01/12: Перенос некоторых сервисов на html
Некоторые сервисы из раздела Операции над матрицами теперь доступны без использования технологии Microsoft Silverlight.

18/12/11: Перенос некоторых сервисов на html
Все сервисы из раздела дифференциального и интегрального исчисления теперь доступны без использования технологии Microsoft Silverlight. Тоже самое касается решения кубических уравнений и уравнений произвольной степени.

08/12/11: Добавлена возможность сохранения изображения построенных графиков в файл
Теперь Вы можете сохранять изображения полученных графики в файл (bmp, jpeg, png).

08/12/11: Перенос некоторых сервисов на html
Многие сервисы (вычисление предела, производной, неопределенного интеграла, разложение функции в ряд Тейлора и решение квадратных уравнений) теперь доступны без использования технологии Microsoft Silverlight. Т.е. теперь Вы можете использовать их с мобильного телефона!

27/11/11: Добавлены новые формулы по пределам
На страничке пределы в разделе Библиотека формул Вы можете ознакомиться с основными свойствами, формулами и приёмами нахождения пределов.

27/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - уравнение касательной к графику функции
Для получения уравнения касательной к графику функции Вам необходимо ввести функцию и абсциссу точки в которой нужно получить уравнение касательной. Далее программа выдаст Вам результат.

27/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена)
Для вычисления разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена) Вам необходимо ввести функцию и точку в окрестности которой нужно разложить функцию. Вы можете также указать порядок степени до которой выполнять разложение. Далее программа выдаст Вам результат.

27/11/11: Улучшен сервис - вычисление неопределенного интеграла
Теперь, при вычислении неопределенного интеграла Вы можете получить подробное, пошаговое решение. Однако, это работает только в некоторых случаях, если шагов не очень много.

27/11/11: Добавлена страничка новостей
На страничке новостей, Вы можете проследить историю развития проекта mathforyou.net с момента его создания.

16/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - вычисление предела
Для вычисления предела Вам нужно всего лишь ввести функцию и точку к которой стремится переменная этой функции. Далее программа выдаст Вам результат.

13/11/11: Создана страница и группа
нашего сайта ВКонтакте. Приглашаем всех желающих на страничку нашего сайта ВКонтакте, где можно задать интересующие вопросы, получить помощь в решении задач по математике, выдвинуть предложения по улучшению онлайн сервисов, и т.д.

11/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - вычисление определенного интеграла
Для вычисления определенного интеграла Вам необходимо ввести функцию и пределы интегрирования. Далее программа выдаст Вам результат.

06/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - вычисление неопределенного интеграла
Для вычисления неопределенного интеграла Вам необходимо всего лишь ввести функцию. Далее программа выдаст Вам результат.

03/11/11: Добавлен новый онлайн сервис - вычисление производной
Для вычисления производной Вам необходимо всего лишь ввести функцию. Далее программа выдаст Вам результат.

31/05/11: Улучшен сервис решения систем линейных уравнений
В отличие от большинства онлайн сервисов на других сайтах, которые могут решать СЛАУ лишь при условии, когда количество уравнений равно количеству переменных, наш онлайн сервис позволяет решать совершенно любые СЛАУ. Т.е. не важно сколько у Вас уравнений и сколько переменных, Вы все равно получите решение. Рассмотрены варианты, когда имеется бесконечное множество решений. В этом случае программа автоматически определяет базисные и небазисные переменные, и соответствующим образом выражает конечный результат.
Для получения решения Вам нужно выбрать количество уравнений, количество переменных и ввести данные. Далее программа сама проанализирует различные варианты и выдаст Вам подробное решение.

02/05/11: Добавлен новый сервис: вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы
Для нахождения собственных чисел квадратной матрицы, Вам необходимо ввести матрицу и нажать кнопку получить решение. Далее программа выдаст Вам пошаговое решение в котором на первом этапе будет получен характеристический полином, затем будут найдены его корни (собственные числа) и собственные вектора.

21/04/11: Запущен новый математический портал mathforyou.net
Математический портал онлайн решений задач по математике mathforyou.net - некоммерческий проект, призванный помочь школьникам и студентам в освоении некоторых разделов математики путем решения задач в режими онлайн.

Как считать матрицы методом крамера. Линейные уравнения


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера - весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A - 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij - алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A - 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A - 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где - основная матрица системы, - столбец неизвестных и - столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j - независимые (искомые) переменные, a ij - постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x j x s x n
y 1 = a 11 a 12 a 1j a 1s a 1n
…………………………………………………………………..
y i = a i 1 a i 2 a ij a is a in
…………………………………………………………………..
y r = a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n = a m 1 a m 2 a mj a ms a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x j y r x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b is b in
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ - номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$...$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей - со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = - 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Решение системы с исключением Гаусса

Результаты обучения

  • Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
  • Интерпретировать решение системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строковой формы .Теперь мы будем использовать метод исключения Гаусса как инструмент для решения системы, записанной в виде расширенной матрицы. В нашем первом примере мы покажем вам процесс использования исключения Гаусса в системе двух уравнений с двумя переменными.

Пример: решение системы 2 X 2 методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y = 6 \ hfill \\ \ text {} x-y = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы запишем это как расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 1 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 6 \\ \ hfill \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

[латекс] {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 6 \ end {array} \ right] [/ latex]

Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на [latex] -2 [/ latex], а затем прибавив результат к строке 2.

[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill 5 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 5 \ end {массив } \ right] [/ latex]

У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].

[латекс] \ frac {1} {5} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \ \ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {cc} & \ frac {1} {2} \\ & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Использовать обратную замену.Вторая строка матрицы представляет [латекс] y = 1 [/ латекс]. Подставьте обратно [latex] y = 1 [/ latex] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {array} {l} x- \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {3} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение - точка [латекс] \ left (\ frac {3} {2}, 1 \ right) [/ latex].

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {массив} {l} 4x + 3y = 11 \ hfill \\ \ text {} \ text {} \ text {} x - 3y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (2,1 \ правый) [/ латекс]

В нашем следующем примере мы решим систему двух уравнений с двумя зависимыми переменными.Напомним, что зависимая система имеет бесконечное количество решений, и результатом операций со строками в ее расширенной матрице будет уравнение, такое как [latex] 0 = 0 [/ latex]. Мы также рассмотрим написание общего решения для зависимой системы.

Пример: решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 6x + 8y = 24 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выполните строковых операций над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить строковую форму .

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {llll} 3 \ hfill & \ hfill & 4 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 12 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ begin {array} {l} - \ frac {1} {2} {R} _ {2} + {R} _ {1} = { R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 0 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \\ {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \\ 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 24 \ hfill \\ \ hfill & 0 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: [latex] 0y = 0 [/ latex].Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ hfill \\ \ text {} 4y = 12 - 3x \ hfill \\ \ text {} y = 3- \ frac {3} {4} x \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак, решение этой системы - [латекс] \ left (x, 3- \ frac {3} {4} x \ right) [/ latex].

Теперь мы перейдем на ступенчатую форму, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3.Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Пример: решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

[латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x - 2y - 9z = 9 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы пишем расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем мы выполняем операции со строками, чтобы получить форму «строка-эшелон».

[латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 - это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].

[латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill - 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем

[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill - \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]

Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y - 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].

Напомним, что есть три возможных исхода решений для линейных систем. В предыдущем примере решение [латекс] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex] представляет точку в трехмерном пространстве. Эта точка представляет собой пересечение трех плоскостей.В следующем примере мы решаем систему, используя операции со строками, и обнаруживаем, что она представляет зависимую систему. Зависимая система в 3-х измерениях может быть представлена ​​двумя идентичными плоскостями, как в 2-х измерениях, где зависимая система представляет две идентичные линии.

Пример: решение 3 x 3 зависимой системы

Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x - 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y - 2z = 0 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Запишите расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операции со строками , чтобы получить форму эшелона строки.

[латекс] - {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

[латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Последняя матрица представляет следующую систему.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y - 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [latex] y [/ latex] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [latex] z [/ latex] через [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы подставляем выражение для [латекс] z [/ латекс] во второе уравнение, чтобы найти [латекс] y [/ латекс] через [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y - 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y - 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 - 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Общее решение: [latex] \ left (x, \ frac {2 - 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].

Общее решение для зависимой системы 3 X 3

Напомним, что когда вы решаете зависимую систему линейных уравнений с двумя переменными с использованием исключения или подстановки, вы можете записать решение [latex] (x, y) [/ latex] через x, потому что существует бесконечно много (x, y) пары, которые будут удовлетворять зависимой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] (x, mx + b) [/ latex].Теперь, когда вы работаете в трех измерениях, решение будет представлять собой плоскость, поэтому вы должны записать его в общей форме [латекс] (x, m_ {1} x + b_ {1}, m_ {2} x + b_ { 2}) [/ латекс].

Попробуйте

Решите систему, используя метод исключения Гаусса.

[латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y - 3z = 1 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ левый (1,1,1 \ правый) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как: решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора

  1. Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
  2. Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Пример: решение систем уравнений с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x - 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]

Показать решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill - 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]

Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ latex]

Оценить.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill - \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill - \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = - \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = - \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = - \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, - \ frac {92} {187}, - \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .

Приложения систем уравнений

Теперь обратимся к приложениям, для которых используются системы уравнений. В следующем примере мы определяем, сколько денег было инвестировано по двум разным ставкам, учитывая сумму процентов, полученных на обоих счетах.

Пример: применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая - 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов.Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0.105x + 0.12y = 1335 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12 000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 1 на [латекс] -0.105 [/ latex] и добавьте результат в строку 2.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r } \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак [латекс] 12 000 - 5 000 = 7 000 [/ латекс].

Таким образом, 5 000 долларов США были инвестированы под 12% годовых и 7 000 долларов США - под 10,5% годовых.

Пример: применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5%, другой - 8%, а третий - 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Теперь мы выполняем исключение по Гауссу, чтобы получить форму строки-эшелон.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill - \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Третья строка сообщает нам [латекс] - \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].

Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex].

Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ латекс], получаем

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]

Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставив [latex] y = 1,000 [/ latex] и [latex] z = 6,000 [/ latex], мы получим
[latex] \ begin {array} {l} x + 1,000 + 6,000 = 10,000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.

Попробуйте

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть - под 8%, часть - под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

Показать решение

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

Исключение по Гауссу - Предварительное вычисление | Сократик

ПРИМЕР:

Используйте метод исключения Гаусса для решения следующей системы уравнений.

# x + 2y + 3z = -7 #
# 2x-3y-5z = 9 #
# -6z-8y + z = -22 #

Решение:

Настроить расширенную матрицу формы.

# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) #

Цель 1. Получите 1 в верхнем левом углу.

Уже сделано.

Цель 2a: Получите ноль под 1 в первом столбце.

Умножьте строку 1 на # -2 #, чтобы получить

# ((- 2, -4, -6, |, 14)) #

Добавьте результат в строку 2 и поместите результат в строку 2.

Обозначим операции как # -2R_2 + R_1 → R_2 #.

# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (-2R_1 + R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) #

Цель 2b: Получите еще один ноль в первом столбце.

Для этого нам понадобится операция # 6R_1 + R_3 → R_3 #.

# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (6R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) #

Цель 2c. Получить оставшийся ноль.

Умножить строку 2 на # -1 / 7 #.

# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) stackrel (- (1/7 ) R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64 )) #

Теперь используйте операцию # -4R_2 + R_3 → R_3 #.

# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64)) stackrel (-4R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356/7)) #

Умножьте третью строку на # 7/89 #.

# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356 / 7)) stackrel (7 / 89R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,1, | , -4)) #

Цель 3. Используйте обратную замену, чтобы получить значения # x #, # y # и # z #.

Цель 3а. Вычислить # z #.

#z = -4 #

Цель 3b. Вычислить # y #.

# y + 11 / 7z = -23 / 7 #
# y-44/7 = -23 / 7 #
# y = 44 / 7-23 / 7 = 21/7 #

# y = 3 #

Цель 3c. Вычислить x.

# x + 2y + 3z = -7 #
# x + 6-12 = -7 #
# x-6 = -7 #

# х = 1 #

Решение: # x = 1, y = 3, z = -4 #

Исключение по Гауссу: метод и примеры - стенограмма видео и урока

Что такое исключение по Гауссу?

Возможно, вам интересно узнать об этом втором шаге. Что теперь по Гауссу? Исключение Гаусса - это процесс использования допустимых строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не перейдет в сокращенную форму эшелона строк.Есть три типа допустимых строковых операций , которые могут выполняться с матрицей.

  • OP1 - Поменять местами две строки.
  • OP2 - Умножить все записи строки на ненулевое число.
  • OP3 - Добавить строку, кратную одной, к целевой строке. (Примечание: целевая строка - единственная строка, которая изменяется в этом процессе.)

Важно понимать, что это всего лишь правила игры. То, как мы будем применять их в той или иной ситуации, будет зависеть от того, какая матрица нам дана.Имейте в виду, что наша цель - преобразовать матрицу в более простую форму, называемую сокращенной формой эшелона строк (RREF) , используя серию этих операций со строками.

Форма сокращенного эшелона строк

Мы говорим, что матрица находится в форме сокращенного эшелона строк, если она удовлетворяет следующим требованиям:

  • При чтении слева направо первая ненулевая запись в любой строке равна 1. Это называется ведущая запись в строке.
  • Начальная запись в строке всегда находится справа от ведущих записей в строках над ней.
  • Любой столбец с ведущей записью имеет нули над и под ним.

Вот пример матрицы в форме RREF (не относящейся к нашему примеру). Первые записи выделены жирным шрифтом.

Пример исключения Гаусса

Теперь, когда мы знаем правила игры (операции со строками) и цель (RREF), пришло время разработать пример. Предположим, вы знаете, как найти расширенную матрицу только что рассмотренного примера матрицы.

В первой позиции строки 1 уже стоит 1. Нам нужны нули под ней. Используйте операции OP3. Далее мы используем R 1 для строки 1, R 2 для строки 2 и R 3 для строки 3.

Добавить (-3) R 1 до R 2. Почему следует выбрать именно эту операцию? Дело в том, что R 1 уже имеет 1 в лидирующей позиции. Таким образом, мы можем умножить это на значение, противоположное ведущему элементу целевой строки R 2.Когда строки добавляются, -3 отменяет 3, чтобы получить 0 в результате.

(-3) R 1 -3 -6 -3 -9
+ р 2 3 2 1 3
Результат 0 -4 -2 -6

Результат заменяет R 2, но R 1 фактически не изменяется в самой матрице.

В начале строки 2 стоит -4. Чтобы вместо этого получить 1, умножьте всю строку на (-1/4). Это OP2.

Теперь мы снова используем OP3, чтобы сделать все остальные записи 0 в том же столбце.

Другой OP2 изменит -4 на 1 в ведущей записи строки 3.

Наконец, используйте OP3, чтобы избавиться от ненулевой записи над первой записью в столбце 3.

Прошло некоторое время, но теперь мы поместили матрицу в RREF! Кстати, теперь, когда этапы исключения Гаусса выполнены, мы можем считать решение исходной системы уравнений. Решение находится в последнем столбце: (0, 2, -1).

Краткое содержание урока

Частью процесса решения системы линейных уравнений является использование исключения Гаусса. Исключение Гаусса - это процесс использования допустимых строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не перейдет в сокращенную форму эшелона строк. Этот метод включает выбор серии допустимых операций со строками, которые преобразуют данную матрицу в гораздо более простую форму. Три операции со строками , используемые для решения системы, следующие:

  • OP1 - Поменять местами две строки
  • OP2 - Умножить все записи строки на ненулевое число
  • OP3 - Добавить строку, кратную одной, к целевой строке

Более простая форма называется сокращенной формой эшелона строк (RREF) , в которой:

  • Первая ненулевая запись в любой строке равна 1.
  • Начальная запись в строке всегда находится справа от ведущих записей в строках над ней.
  • Любой столбец с ведущей записью имеет нули над и под ним.

Математика | LU-разложение системы линейных уравнений

LU-разложение матрицы - это факторизация данной квадратной матрицы на две треугольные матрицы, одну верхнюю треугольную матрицу и одну нижнюю треугольную матрицу, так что произведение этих двух матриц дает исходную матрицу .Он был введен Аланом Тьюрингом в 1948 году, который также создал машину Тьюринга.

Этот метод факторизации матрицы как произведения двух треугольных матриц имеет различные приложения, такие как решение системы уравнений, которая сама по себе является неотъемлемой частью многих приложений, таких как определение тока в цепи и решение задач дискретных динамических систем. ; нахождение обратной матрицы и нахождение определителя матрицы.
В принципе, метод разложения L U удобен всякий раз, когда можно смоделировать решаемую проблему в матричной форме.Преобразование в матричную форму и решение с треугольными матрицами упрощает выполнение вычислений в процессе поиска решения.

Квадратная матрица A может быть разложена на две квадратные матрицы L и U, так что A = L U, где U - верхняя треугольная матрица, сформированная в результате применения метода исключения Гаусса к A; L - нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными 1.

Для A = имеем L = и U =; так что A = L U.

=>


Здесь можно сравнить и найти значение l 21 , u 11 и т. д.

Метод исключения Гаусса
Согласно методу исключения Гаусса:
1. Любая нулевая строка должна быть внизу матрицы.
2. Первая ненулевая запись каждой строки должна быть справа от первой ненулевой записи предыдущей строки.
Этот метод сводит матрицу к форме эшелона строк.

Шаги для разложения LU
Для данного набора линейных уравнений сначала преобразуйте их в матричную форму AX = C, где A - матрица коэффициентов, X - матрица переменных, а C - матрица чисел в правой части уравнения.

Теперь уменьшите матрицу коэффициентов A, то есть матрицу, полученную из коэффициентов переменных во всех данных уравнениях, так, чтобы для переменных «n» у нас была матрица nXn, до эшелонированной формы с использованием метода исключения Гаусса. Полученная таким образом матрица - U.

Чтобы найти L, у нас есть два метода. Первый состоит в том, чтобы принять оставшиеся элементы как некоторые искусственные переменные, составить уравнения, используя A = L U, и решить их, чтобы найти эти искусственные переменные.
Другой метод состоит в том, что оставшиеся элементы являются коэффициентами умножителя, из-за которых соответствующие позиции стали нулевыми в U-матрице.(Этот метод немного сложно понять словами, но он будет понятен в приведенном ниже примере)

Теперь у нас есть A (матрица коэффициентов nXn), L (нижняя треугольная матрица nXn), U (верхняя треугольная матрица nXn ), X (матрица переменных nX1) и C (матрица чисел nX1 в правой части уравнений).

Данная система уравнений имеет вид AX = C. Мы подставляем A = L U. Таким образом, мы имеем LUX = C.
Мы полагаем Z = UX, где Z - матрица или искусственные переменные, и сначала решаем для LZ = C и затем решите для UX = Z, чтобы найти X или значения переменных, которые требовались.


Пример:
Решите следующую систему уравнений, используя метод разложения LU:

Решение: Здесь у нас есть

A = и такое, что AX = C.

Теперь мы сначала рассмотрим и преобразуем его. грести эшелонную форму с использованием метода исключения Гаусса.

Итак, выполнив

(1)

(2)

, мы получим


Теперь, выполнив

(3)

, мы получим

(Не забудьте всегда сохранять '-' войдите между ними, замените знак '+' двумя знаками '-')

Следовательно, мы получаем L = и U =

(обратите внимание, что в матрице L это из (1), из (2) и из (3))

Теперь мы предполагаем Z и решаем LZ = C.

Итак, имеем


Решая, получаем, и.

Теперь решаем UX = Z

Таким образом, получаем,

Таким образом, решение данной системы линейных уравнений есть, и, следовательно, матрица X =


Упражнение:
В LU разложение матрицы

| 2 2 |
| 4 9 | 

, если оба диагональных элемента U равны 1, то нижний диагональный элемент l22 L равен (GATE CS 2015)
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
Для решения см. https: // www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2015-set-1-question-28/

Эта статья составлена ​​Нишант Арора. Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Практикуйте экзамен GATE задолго до самого экзамена с помощью предметных и общих викторин, доступных в курсе GATE Test Series .

Изучите все концепции GATE CS с бесплатными живыми классами на нашем канале YouTube.


Решающие системы с исключением Гаусса - алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполняет операции со строками в матрице.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рисунок 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика. Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в «Системах линейных уравнений: две переменные».В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством для представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства.Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

имеет матрицу коэффициентов

и представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термы идут в первый столбец, - -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце.Очень важно, чтобы каждое уравнение было написано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.

Как записаться

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты членов x как числа в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты членов y как числа во втором столбце.
  3. Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

[show-answer q = ”fs-id1165137727716 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137727716 ″]

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

[/ скрытый-ответ]

Попробуйте

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

[show-answer q = ”fs-id1165134301343 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134301343 ″]

[/ hidden-answer]

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из расширенной матричной формы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165137737608 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137737608 ″]

Когда столбцы представляют переменные [latex] y, \, [/ latex] и

[/ скрытый-ответ]

Попробуйте

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165135528897 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135528897 ″]

[/ hidden-answer]

Выполнение операций со строками в матрице

Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками в матрице - это метод, который мы используем для решения системы уравнений.Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

  1. В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1.Он называется ведущим 1.
  2. Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
  3. Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
  4. Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять местами ряды.(Обозначение 🙂
  2. Умножьте строку на константу. (Обозначение 🙂
  3. Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание:

Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными. С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения матрицы в виде строки-эшелона. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу с номером 1 в качестве записи по главной диагонали и иметь все нули внизу.

Первый шаг стратегии Гаусса включает получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Как записаться

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

  1. Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбец 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, под записью 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбец 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[show-answer q = ”fs-id1165137732121 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137732121 ″]

[/ hidden-answer]

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса для решения данной системы уравнений
.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелона.

Попробуйте

Запишите систему уравнений в виде строк.

[show-answer q = ”fs-id1165134189887 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134189887 ″]

[/ hidden-answer]

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Попробуйте

Решите систему, используя матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165135172200 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165135172200 ″]
[/ hidden-answer]

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как записаться

Дана система уравнений, решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
  2. Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая - 12%.Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5%, другой - 8%, а третий - 9%. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

[show-answer q = ”fs-id1165134589597 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134589597 ″]

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными.Пусть будет сумма, вложенная под 5%, пусть будет сумма, вложенная под 8%, пусть будет сумма, вложенная под 9%. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение по Гауссу, чтобы получить форму строки-эшелон.

В третьей строке указано usthus

Вторая строка говорит нам Подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам Подставляем и получаем

Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.[/ hidden-answer]

Попробуйте

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть - под 8%, часть - под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

[show-answer q = ”fs-id1165137547014 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137547014 ″]

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

[/ hidden-answer]

Ключевые концепции

  • Расширенная матрица - это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений.См. (Рисунок).
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​как исходная система уравнений. См. (Рисунок).
  • Операции со строками включают в себя умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и замену строк местами.
  • Мы можем использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Операции со строками выполняются над матрицами для получения формы «строка-эшелон». См. (Рисунок).
  • Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в форме расширенной матрицы.Выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк. Обратно-заменитель, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту расширенную матрицу.

[show-answer q = ”fs-id1165134155093 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134155093 ″]

Да. Для каждой строки коэффициенты переменных записываются поперек соответствующей строки и помещается вертикальная черта; затем константы помещаются справа от вертикальной полосы.

[/ hidden-answer]

Можно ли любую матрицу записать в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.

Есть только один правильный метод использования операций со строками в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно выполнить для расширенной матрицы

. [show-answer q = ”fs-id1165134036654 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134036654 ″]

Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций в матрице.Есть два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Разделить строку 1 на 9.

[/ hidden-answer]

Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

[show-answer q = ”fs-id1165137639609 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137639609 ″]

№Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

[show-answer q = ”fs-id1165133145058 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133145058 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137418199 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137418199 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165137

4 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137

4 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137836994 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165137836994 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135440480 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135440480 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

[show-answer q = ”fs-id1165135151213 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135151213 ″]

Нет решений

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134329612 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134329612 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135473768 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135473768 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135580980 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135580980 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137843205 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165137843205 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133243532 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133243532 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137501549 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137501549 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135551136 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135551136 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133141313 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133141313 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135620833 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135620833 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134188796 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134188796 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135496208 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135496208 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134138496 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134138496 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135407366 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135407366 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135665476 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135665476 ″]

[/ hidden-answer]

Расширения

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

[show-answer q = ”fs-id1165137471175 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137471175 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135263629 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135263629 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135354918 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135354918 ″]

Решения отсутствуют.

[/ hidden-answer]

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 долларов.Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата - 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

[show-answer q = ”fs-id1165137767240 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” fs-id1165137767240 ″] 860 красный бархат, 1340 шоколад [/ hidden-answer]

Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой - с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283 доллара.50, сколько было на каждом счете по прошествии года?

Вы инвестировали 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

[show-answer q = ”fs-id1165134254294 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134254294 ″]

4% на счет 1, 6% на счет 2

[/ hidden-answer]

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов.Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по 86 долларов каждый, со стоимостью доставки 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать за пылесосы?

[show-answer q = ”fs-id1165135456730 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135456730 ″]

$ 126

[/ hidden-answer]

Три самых популярных вкуса мороженого - это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого.Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге выросли вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы - на 20%.Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.

[show-answer q = ”fs-id1165135255463 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135255463 ″]

Банан - 3%, тыква - 7%, а каменистая дорога - 2%

[/ hidden-answer]

Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек.Кешью весит 3 г, фисташки - 4 г, миндаль - 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

[show-answer q = ”fs-id1165133294879 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133294879 ″]

100 миндальных орехов, 200 кешью, 600 фисташек

[/ hidden-answer]

Глоссарий

дополненная матрица
матрица коэффициентов, примыкающая к столбцу констант, разделенному вертикальной линией в скобках матрицы
матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение по Гауссу
использование элементарных операций со строками для получения матрицы в виде строки-эшелона
главная диагональ
запись из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядная форма
после выполнения строковых операций матричная форма, содержащая единицы по главной диагонали и нули в каждом пробеле ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы и эквивалентны строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками
строковые операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т. Д. С целью получения формы "строка-эшелон"

7.6 Решение систем с исключением Гаусса - Колледжская алгебра

Задачи обучения

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполняет операции со строками в матрице.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Рисунок 1 Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18 - начале 19 века, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории.Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика. Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в «Системах линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Запись расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством для представления и решения системы уравнений.Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений 2 × 22 × 2.

3x + 4y = 74x − 2y = 53x + 4y = 74x − 2y = 5

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

[344−2 | 75] [344−2 | 75]

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты.Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

3x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 23x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 2

имеет матрицу коэффициентов

[3−1−111020−3] [3−1−111020−3]

и представлен расширенной матрицей

[3−1−111020−3 | 052] [3−1−111020−3 | 052]

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идут в первый столбец, - -термы во втором столбце и z -термы в третьем. столбец.Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax + by + cz = dax + by + cz = d, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.

How To

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты членов x как числа в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты членов и в виде чисел во втором столбце.
  3. Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Пример 1

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4 x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4
Решение

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

[12−12−121−33 | 364] [12−12−121−33 | 364]

Попробуй # 1

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

4x − 3y = 113x + 2y = 44x − 3y = 113x + 2y = 4

Запись системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Пример 2

Написание системы уравнений из расширенной матричной формы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

[1−3−52−5−4−354 | −256] [1−3−52−5−4−354 | −256]
Решение

Когда столбцы представляют переменные x, x, y, y и z, z,

[1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6 [1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6

Попробуй # 2

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

[1−112−13011 | 51−9] [1−112−13011 | 51−9]

Выполнение операций со строками в матрице

Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками в матрице - это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.

Форма строки-эшелон [1ab01d001] Форма строки-эшелон [1ab01d001]

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

  1. В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
  2. Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
  3. Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
  4. Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять ряды местами. (Замечание: Ri↔RjRi↔Rj)
  2. Умножьте строку на константу. (Замечание: cRicRi)
  3. Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание: Ri + cRj) Ri + cRj)

Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными.С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения матрицы в виде строки-эшелона. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу AA с номером 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули внизу.

A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001] A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001] чтобы изменить строки ниже.

Как к

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

  1. Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1.При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбец 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, под записью 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбец 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Пример 3

Решение системы 2 × 22 × 2 методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

2x + 3y = 6 x − y = 122x + 3y = 6 x − y = 12
Решение

Сначала мы запишем это как расширенную матрицу.

[231−1 | 612] [231−1 | 612]

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

R1↔R2 → [1−123 | 126] R1↔R2 → [1−123 | 126]

Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на −2, −2, а затем прибавив результат к строке 2.

−2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125 ] −2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125]

У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15,15.

15R2 = R2 → [1−101 | 121] 15R2 = R2 → [1−101 | 121]

Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y = 1. y = 1. Подставьте обратно y = 1y = 1 в первое уравнение.

x− (1) = 12 x = 32x− (1) = 12 x = 32

Решением является точка (32,1).(32,1).

Попробуй # 3

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

4x + 3y = 11 x − 3y = −14x + 3y = 11 x − 3y = −1

Пример 4

Использование метода исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса, чтобы решить данную 2 × 22 × 2 система уравнений.

2x + y = 14x + 2y = 6 2x + y = 14x + 2y = 6
Решение

Запишите систему как расширенную матрицу.

[2142 | 16] [2142 | 16]

Получить 1 в строке 1, столбце 1.Этого можно добиться, умножив первую строку на 12,12.

12R1 = R1 → [11242 | 126] ​​12R1 = R1 → [11242 | 126] ​​

Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножим строку 1 на −4−4 и прибавим строку 1 к строке 2.

−4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124] −4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124]

Вторая строка представляет уравнение 0 = 4,0 = 4. Следовательно, система непоследовательна и не имеет решения.

Пример 5

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

3x + 4y = 126x + 8y = 243x + 4y = 126x + 8y = 24
Решение

Выполните операции со строками в расширенной матрице, чтобы попытаться получить форму строки-эшелона.

A = [3468 | 1224] A = [3468 | 1224] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔R2 → [6800 | 240] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔ R2 → [6800 | 240]

Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: 0y = 0,0y = 0. Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите относительно y.y.

3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x

Итак, решение этой системы - (x, 3−34x).(x, 3−34x).

Пример 6

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелона.

[1−342−56−334 | 366] [1−342−56−334 | 366]
Решение

В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом будет умножение строки 1 на −2−2 и прибавление ее к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.

−2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306] −2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306]

Затем получите ноль в строке 3, столбце 1.

3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015] 3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015]

Затем получаем ноль в строке 3, столбце 2.

6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015] 6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015]

Последний шаг - получить 1 в строке 3, столбце 3.

14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154] 14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154]

Попробуй # 4

Запишите систему уравнений в виде строк.

x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17 x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Пример 7

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9
Решение

Сначала мы пишем расширенную матрицу.

[1−1123−13−2−9 | 8−29] [1−1123−13−2−9 | 8−29]

Затем мы выполняем операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

−2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15] −2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15]

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбец 1 предназначен для замены R2R2 и R3.R3.

Обмен R2 и R3 → [1−11801−12−1505−3−18] Обмен R2andR3 → [1−11801−12−1505−3−18]

Затем

−5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8−1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151] −5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8− 1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151]

Последняя матрица представляет эквивалентную систему.

x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1

Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4, −3,1) . (4, −3,1).

Пример 8

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

−x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0 − x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0
Решение

Запишите расширенную матрицу.

[−1−2123001−2 | −120] [- 1−2123001−2 | −120]

Сначала умножьте строку 1 на −1−1, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1.Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк.

−R1 → [12−123001−2 | 120] −R1 → [12−123001−2 | 120] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210]

Последняя матрица представляет следующая система.

x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0

Мы видим из тождества 0 = 00 = 0, что это зависимая система с бесконечным числом решений.Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для yy и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для zz через x.x.

x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3

Теперь мы подставляем выражение для zz во второе уравнение, чтобы найти yy через xx

y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2x3y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2x3

Общее решение: ( x, 2−2x3,1 − x3).(х, 2−2x3,1 − x3).

Попробуй # 5

Решите систему, используя матрицы.

x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1

Вопросы и ответы

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как к

Дана система уравнений, решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [A], [B], [C],….[A], [B], [C],….
  2. Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Пример 9

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1 5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1
Решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

[539−23−1−1−45 | −1−2−1] [539−23−1−1−45 | −1−2−1]

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].[А].

[A] = [539−1−23−1−2−1−451] [A] = [539−1−23−1−2−1−451]

Используйте ref (функция в калькуляторе, вызов матричной переменной [A]. [A].

Оценить.

[1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187 [1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187

Использование обратная подстановка, решение будет (61187, −

, −24187). (61187, −

, −24187).

Пример 10

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10.5% годовых, а другой - 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x = x = сумма, инвестированная под 10,5%, а y = y = сумма, инвестированная под 12%.

x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335 x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335

В качестве матрицы мы имеем

[110.1050.12 | 12,0001,335] [110.1050.12 | 12,0001,335]

Умножьте строку 1 на −0,105−0,105 и прибавьте результат к строке 2.

[1100.015 | 12,00075] [1100.015 | 12,00075]

Затем,

0,015y = 75 y = 5,0000,015y = 75 y = 5,000

Итак, 12,000-5,000 = 7,000. 12,000-5,000 = 7,000.

Таким образом, 5 000 долларов США были инвестированы под 12% годовых и 7 000 долларов США - под 10,5% годовых.

Пример 11

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5%, другой - 8%, а третий - 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть xx будет суммой, инвестированной под 5%, пусть yy будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть zz будет суммой, инвестированной под 9%. Таким образом,

x + y + z = 10,0000,05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0 x + y + z = 10,0000.05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0

В качестве матрицы имеем

[1110.050.080.0920−1 | 10,0007700] [1110.050.080.0920−1 | 10,0007700]

Теперь мы выполняем исключение по Гауссу, чтобы получить форму строки-эшелон.

−0.05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] −2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2 −3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000] −0,05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] - 2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2−3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000]

Третья строка сообщает нам -13z = −2,000; −13z = −2,000; таким образом, z = 6000. z = 6000.

Вторая строка говорит нам, что y + 43z = 9000.y + 43z = 9000. Подставляя z = 6000, z = 6000, мы получаем

y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000

. х + у + г = 10,000. х + у + г = 10,000. Подставив y = 1000y = 1000 и z = 6000, z = 6000, мы получим

x + 1000 + 6000 = 10000 x = 3000x + 1000 + 6000 = 10000 x = 3000

Ответ: 3000 долларов, вложенных под 5% годовых, 1000 долларов инвестировано под 8%, а 6000 долларов - под 9%.

Попробуй # 6

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть - под 8%, часть - под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

7.6 Упражнения по разделам

Устные
1.

Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет.Объясните, как написать эту расширенную матрицу.

2.

Можно ли любую матрицу записать в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.

3.

Есть только один правильный метод использования строковых операций в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы [931−2 | 06]. [931−2 | 06].

4.

Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

5.

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

6.

8x − 37y = 82x + 12y = 38x − 37y = 82x + 12y = 3

7.

16y = 49x − y = 2 16y = 49x − y = 2

8.

3x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 183x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 18

9.

x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7 x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7

10.

6x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −86x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −8

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

11.

[−256−18 | 526] [- 256−18 | 526]

12.

[341017 | 10439] [341017 | 10439]

13.

[320−1−94857 | 3−18] [320−1−94857 | 3−18]

14.

[8291−175003 | 433810] [8291−175003 | 433810]

15.

[45−2015887−3 | 122−5] [45−2015887−3 | 122−5]

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

16.

[1000 | 30] [1000 | 30]

17.

[1010 | 12] [1010 | 12]

18.

[1245 | 36] [1245 | 36]

19.

[−124−5 | −36] [- 124−5 | −36]

20.

[−2002 | 1−1] [- 2002 | 1−1]

21.

2x − 3y = −95x + 4y = 58 2x − 3y = −95x + 4y = 58

22.

6x + 2y = −43x + 4y = −176x + 2y = −43x + 4y = −17

23.

2x + 3y = 12 4x + y = 142x + 3y = 12 4x + y = 14

24.

−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13

25.

−5x + 8y = 310x + 6y = 5−5x + 8y = 310x + 6y = 5

26.

3x + 4y = 12−6x − 8y = −24 3x + 4y = 12−6x − 8y = −24

27.

−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4

28.

11x + 10y = 4315x + 20y = 6511x + 10y = 4315x + 20y = 65

29.

2x − y = 23x + 2y = 172x − y = 23x + 2y = 17

30.

−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5.40−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5,40

31.

34x − 35y = 414x + 23y = 134x − 35y = 414x + 23y = 1

32.

14x − 23y = −112x + 13y = 314x − 23y = −112x + 13y = 3

33.

[100011001 | 314587] [100011001 | 314587]

34.

[101110011 | 5020−90] [101110011 | 5020−90]

35.

[123056008 | 479] [123056008 | 479]

36.

[−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0.20.8−0.8] [- 0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0,20,8−0,8]

37.

−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6

38.

x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30 x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30

39.

2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5 2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5

40.

x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5

41.

x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3

42. 900 · 10 x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3 x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3

43. 900 · 10 x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25.

44.

14x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 2914x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 29

45.

−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315

46.

−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = −4945−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = - 4945

добавочных номеров

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

47.

x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x + 23 + 2y + z − 33 = 5x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x + 23 + 2у + г - 33 = 5

48.

x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74 − z = 4 x + y − z − 22 = 1x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74-г = 4 х + у-г-22 = 1

49.

x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1

50.

x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32

51.

x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

52.

Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?

53.

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата - 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

54.

Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой - с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая выплата процентов по истечении одного года составила 283,50 доллара, какая сумма была на каждом счете по истечении года?

55.

Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2.Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

56.

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов. Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

57.

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по 86 долларов каждый, со стоимостью доставки 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано.Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать за пылесосы?

58.

Три самых популярных вкуса мороженого - это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?

59.

В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге выросли вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы - на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.

60.

Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки - 4 г, миндаль - 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

61.

Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

Матрицы

и исключение Гаусса

Назад Замена

Напомним, что линейная система уравнений состоит из двух или более линейных уравнений с одинаковыми переменными. Линейная система, состоящая из трех уравнений стандартной формы, расположенных таким образом, что переменная x не появляется ни в одном уравнении после первого, а переменная y не появляется ни в одном уравнении после второго, называется верхнетреугольной формой. линейная система, состоящая из уравнений с тремя переменными в стандартной форме, расположенная так, что переменная x не появляется после первого уравнения, а переменная y не появляется после второго уравнения.. Например,

Обратите внимание, что система образует треугольник, в котором каждое последующее уравнение содержит на одну переменную меньше. В целом

Линейные системы в верхней треугольной форме {a1x + b1y = c1b2y = c2 {a1x + b1y + c1z = d1b2y + c2z = d2c3z = d3

Если линейная система находится в этой форме, мы можем легко найти одну из переменных, а затем произвести обратную замену, чтобы найти оставшиеся переменные.

Пример 1

Решить: {3x − y = 72y = −2.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ). Мы можем легко определить значение y , используя второе уравнение.

2y = −2y = −1

Затем используйте первое уравнение 3x − y = 7 и тот факт, что y = −1, чтобы найти x .

3x − y = 73x - (- 1) = 73x + 1 = 73x = 6x = 2

Ответ: (2, −1)

Пример 2

Решить: {x − 6y + 2z = 163y − 9z = 5z = −1.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с тремя переменными, если они существуют, являются упорядоченными тройками ( x , y , z ). Воспользуйтесь вторым уравнением 3y − 9z = 5 и тем фактом, что z = −1, чтобы найти y .

3y − 9z = 53y − 9 (−1) = 53y + 9 = 53y = −4y = −43

Затем подставьте y и z в первое уравнение.

x − 6y + 2z = 16x − 6 (−43) +2 (−1) = 16x + 8−2 = 16x + 6 = 16x = 10

Ответ: (10, −43, −1)

Попробуй! Решить: {4x − y + 3z = 12y − 9z = −23z = 2.

Ответ: (14, 2, 23)

Матрицы и исключение Гаусса

В этом разделе цель - разработать метод, упрощающий процесс решения линейных систем. Мы начинаем с определения матрицы - прямоугольного массива чисел, состоящего из строк и столбцов., Который представляет собой прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов. Для данной линейной системы в стандартной форме мы создаем матрицу коэффициентов Матрицу коэффициентов линейной системы в стандартной форме, записанную так, как они выглядят выстроенной, без переменных или операций.записывая коэффициенты в том виде, в каком они кажутся выстроенными, без переменных или операций, как показано ниже.

Матрица коэффициентов линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇒ [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Строки представляют коэффициенты в уравнениях, а столбцы представляют коэффициенты каждой переменной. Кроме того, если мы включим столбец, представляющий константы, мы получим так называемую расширенную матрицу - матрицу коэффициентов с включенным столбцом констант.. Для линейной системы с двумя переменными

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

А для линейной системы с тремя переменными имеем

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Примечание : Пунктирная вертикальная линия обеспечивает визуальное разделение между матрицей коэффициентов и столбцом констант.В других ресурсах по алгебре, с которыми вы можете столкнуться, это иногда опускается.

Пример 3

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Эта система состоит из двух линейных уравнений стандартной формы; следовательно, коэффициенты в матрице отображаются так же, как и в системе.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Пример 4

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Поскольку уравнения даны в стандартной форме, коэффициенты появляются в матрице так же, как и в системе.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇔ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Матрица имеет верхнюю треугольную форму, если все элементы ниже ведущего ненулевого элемента в каждой последующей строке равны нулю. Например,

Обратите внимание, что элементы ниже главной диагонали равны нулю, а коэффициенты выше образуют треугольную форму.В целом

Верхняя треугольная форма [a1b10b2] [a1b1c10b2c200c3]

Это важно, потому что в этом разделе мы очерчиваем процесс, с помощью которого можно выполнить определенные операции для создания эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки. Обзор процесса представлен ниже:

Когда система принимает форму верхнего треугольника, мы можем использовать обратную замену, чтобы легко ее решить.Важно отметить, что представленные здесь расширенные матрицы представляют собой линейные системы уравнений в стандартной форме.

Следующие элементарные операции со строками Операции, которые могут быть выполнены для получения эквивалентных линейных систем. приводят к расширенным матрицам, которые представляют эквивалентные линейные системы:

  1. Любые две строки можно поменять местами.
  2. Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу.
  3. Любая строка может быть заменена суммой этой строки и кратной другой.

Примечание: Эти операции соответствуют свойствам, используемым в методе исключения.

Чтобы эффективно решить систему линейных уравнений, сначала постройте расширенную матрицу. Затем примените соответствующие элементарные операции со строками, чтобы получить расширенную матрицу в форме верхнего треугольника. В этой форме эквивалентная линейная система может быть легко решена с помощью обратной подстановки. Этот процесс называется гауссовским устранением. Шаги, используемые для получения эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки., названный в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).

Рисунок 3.1

Карл Фридрих Гаусс (Википедия)

Шаги для решения линейного уравнения с двумя переменными с использованием исключения Гаусса перечислены в следующем примере.

Пример 5

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму. В этом случае нам нужно только удалить первый элемент второй строки, −1. Для этого умножьте вторую строку на 9 и прибавьте ее к первой строке.

Теперь используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[9−6 | 0012 | 9]

В результате получается расширенная матрица в форме верхнего треугольника.

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите, используя обратную подстановку. В этом примере у нас

[9−6 | 0012 | 9] ⇒ {9x − 6y = 012y = 9

Решите второе уравнение относительно y ,

12y = 9y = 912y = 34

Подставьте это значение вместо y в первое уравнение, чтобы найти x ,

9x − 6y = 09x − 6 (34) = 09x − 92 = 09x = 92x = 12

Ответ: (12, 34)

В следующем примере перечислены шаги по использованию исключения Гаусса для решения линейного уравнения с тремя переменными.

Пример 6

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇒ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму.Начнем с исключения первого элемента второй строки, в данном случае 2. Для этого умножьте первую строку на −2, а затем прибавьте ее ко второй строке.

[12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13] ⇒ × (−2) −2−48−10 + 21−680−32−2

Используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13]

Затем удалите первый элемент третьей строки, в данном случае 4, умножив первую строку на −4 и прибавив ее к третьей строке.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13] ⇒ × (−4) −4−816−20 + 4−1−12130−94−7

Используйте это, чтобы заменить третью строку.

[12−4 | 50−32 | −20−94 | −7]

Это приводит к расширенной матрице, в которой элементы под первым элементом первой строки равны нулю. Затем удалите второй элемент в третьей строке, в данном случае −9. Умножьте вторую строку на −3 и прибавьте ее к третьей строке.

Используйте это, чтобы заменить третью строку, и мы видим, что мы получили матрицу в форме верхнего треугольника.

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1]

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите, используя обратную подстановку. В этом примере у нас

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1] ⇒ {x + 2y − 4z = 5−3y + 2z = −2−2z = −1

Ответ: Читателю остается убедиться, что решение (5,1,12).

Примечание: Обычно работа по замене строки путем умножения и сложения выполняется на стороне с использованием бумаги для заметок.

Пример 7

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47 ⇒ [2−93 | −181−2−3 | −8−42312 | 47]

Операции с элементарными строками упрощаются, если ведущий ненулевой элемент в строке равен 1.По этой причине начните с того, что поменяйте местами первый и второй ряды.

Заменить строку два суммой −2, умноженной на первую и вторую строку.

Заменить третью строку суммой четырех строк первой и третьей.

Следующий ряд 3 разделить на 15.

Поменяйте местами третий ряд со вторым.

Затем замените строку 3 суммой, умноженной на 5 строк второй и третьей.

В результате получается матрица в форме верхнего треугольника. Матрица находится в виде эшелона строк Матрица в треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1., если она находится в верхней треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1. Мы можем получить эту форму, заменив третью строку на результат деления на 9.

Преобразовать в систему линейных уравнений и решить обратной подстановкой.

[1−2−3 | −8010 | 1001 | 13] ⇒ {x − 2y − 3z = −8y = 1z = 13

Здесь y = 1 и z = 13. Подставляем в первое уравнение, чтобы найти x .

x − 2y − 3y = −8x − 2 (1) −3 (13) = - 8x − 2−1 = −8x − 3 = −8x = −5

Ответ: Следовательно, решение (−5, 1, 13).

Технологическое примечание : Многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут выполнять метод исключения Гаусса. Сначала вам нужно узнать, как войти в матрицу.Затем используйте функции калькулятора, чтобы найти форму эшелона строки. Предлагаем вам провести исследование по этой теме для вашей конкретной модели калькулятора.

Попробуй! Решить, используя исключение Гаусса: {x − 3y + 2z = 164x − 11y − z = 692x − 5y − 4z = 36.

Ответ: (6, −4, −1)

Напомним, что некоторые непротиворечивые линейные системы зависимы, то есть у них бесконечно много решений.А некоторые линейные системы не имеют одновременного решения; это несовместимые системы.

Пример 8

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15 ⇒ [1−21 | 42−34 | 74−76 | 15]

Заменить вторую строку на −2 (строка 1) + (строка 2) и заменить строку три на −4 (строка 1) + (строка 3).

[1−21 | 4012 | −1012 | −1]

Заменить третью строку на −1 (строка 2) + (строка 3).

[1-21 | 4012 | -1000 | 0]

Последняя строка указывает, что это зависимая система, потому что преобразование расширенной матрицы обратно в уравнения, которые у нас есть,

{x − 2y + z = 4y + 2z = −10x + 0y + 0z = 0

Обратите внимание, что строка нулей соответствует следующему идентификатору:

0x + 0y + 0z = 00 = 0 ✓

В этом случае мы можем выразить бесконечное множество решений через z .Из второго ряда имеем:

y + 2z = −1y = −2z − 1

И из первого уравнения

x − 2y + z = 4x − 2 (−2z − 1) + z = 4x + 5z + 2 = 4x = −5z + 2

Решения имеют вид (x, y, z) = (- 5z + 2, −2z − 1, z), где z - любое действительное число.

Ответ: (−5z + 2, −2z − 1, z)

Зависимые и несовместимые системы могут быть идентифицированы в расширенной матрице коэффициентов, когда все коэффициенты в одной строке равны нулю.

Если строка нулей имеет соответствующую константу, равную нулю, тогда матрица представляет зависимую систему. Если константа отлична от нуля, матрица представляет собой несовместимую систему.

Попробуй! Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {5x − 2y + z = −310x − y + 3z = 0−15x + 9y − 2z = 17.

Ответ: Ø

Ключевые выводы

  • Линейная система в верхней треугольной форме может быть легко решена с помощью обратной подстановки.
  • Расширенная матрица коэффициентов и метод исключения Гаусса могут использоваться для упрощения процесса решения линейных систем.
  • Чтобы решить систему с использованием матриц и исключения Гаусса, сначала используйте коэффициенты для создания расширенной матрицы. Примените операции с элементарными строками как средство для получения матрицы в форме верхнего треугольника. Преобразуйте матрицу обратно в эквивалентную линейную систему и решите ее, используя обратную подстановку.

Тематические упражнения

    Часть A: Обратная замена

      Решите, используя обратную замену.

    1. {5x − 3y = 2y = −1

    2. {3x + 2y = 1y = 3

    3. {x − 4y = 12y = −3

    4. {x − 5y = 310y = −6

    5. {4x − 3y = −167y = 0

    6. {3x − 5y = −104y = 8

    7. {2x + 3y = −13y = 2

    8. {6x − y = −34y = 3

    9. {х-у = 02у = 0

    10. {2x + y = 23y = 0

    11. {x + 3y − 4z = 1y − 3z = −2z = 3

    12. {x − 5y + 4z = −1y − 7z = 10z = −2

    13. {x − 6y + 8z = 23y − 4z = −42z = −1

    14. {2x − y + 3z = −92y + 6z = −23z = 2

    15. {10x − 3y + z = 1311y − 3z = 92z = −6

    16. {3x − 2y + 5z = −244y + 5z = 34z = −12

    17. {x − y + 2z = 12y + z = 13z = −1

    18. {x + 2y − z = 2y − 3z = 16z = 1

    19. {x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27

    20. {4x - z = 33y − 2z = −12z = −8

    Часть B: Матрицы и исключение Гаусса

      Построить соответствующую расширенную матрицу (не решать).

    1. {х + 2у = 34х + 5у = ​​6

    2. {6x + 5y = 43x + 2y = 1

    3. {x − 2y = 12x − y = 1

    4. {х-у = 2-х + у = -1

    5. {−x + 8y = 32y = 2

    6. {3x − 2y = 4 − y = 5

    7. {3x − 2y + 7z = 84x − 5y − 10z = 6 − x − 3y + 2z = −1

    8. {x − y − z = 02x − y + 3z = −1 − x + 4y − 3z = −2

    9. {x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27

    10. {4x − z = 33y − 2z = −12z = −8

    11. {8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18

    12. {x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12

      Решите, используя матрицы и метод исключения Гаусса.

    1. {x − 5y = 22x − y = 1

    2. {x − 2y = −1x + y = 1

    3. {10x − 7y = 15−2x + 3y = −3

    4. {9x − 10y = 23x + 5y = −1

    5. {3x + 5y = 82x − 3y = 18

    6. {5x − 3y = −147x + 2y = −1

    7. {9x + 15y = 53x + 5y = 7

    8. {6x − 8y = 1−3x + 4y = −1

    9. {х + у = 0х-у = 0

    10. {7x − 3y = 03x − 7y = 0

    11. {2x − 3y = 4−10x + 15y = −20

    12. {6x − 10y = 20−3x + 5y = −10

    13. {x + y − 2z = −1 − x + 2y − z = 1x − y + z = 2

    14. {x − y + z = −2x + 2y − z = 6 − x + y − 2z = 3

    15. {2x − y + z = 2x − y + z = 2−2x + 2y − z = −1

    16. {3x − y + 2z = 7 − x + 2y + z = 6x + 3y − 2z = 1

    17. {x − 3y + z = 6 − x − y + 2z = 42x + y + z = 3

    18. {4x − y + 2z = 12x − 3y + 2z = 7−2x + 3y + 4z = −16

    19. {2x − 4y + 6z = −43x − 2y + 5z = −25x − y + 2z = 1

    20. {3x + 6y + 9z = 62x − 2y + 3z = 0−3x + 18y − 12z = 5

    21. {−x + y − z = −23x − 2y + 5z = 13x − 5y − z = 3

    22. {x + 2y + 3z = 43x + 8y + 13z = 212x + 5y + 8z = 16

    23. {2x − 4y − 5z = 3 − x + y + z = 13x − 4y − 5z = −4

    24. {5x − 3y − 2z = 43x − 6y + 4z = −6 − x + 2y − z = 2

    25. {−2x − 3y + 12z = 44x − 5y − 10z = −1 − x − 3y + 2z = 0

    26. {3x − 2y + 5z = 104x + 3y − 3z = −6x + y + z = 2

    27. {x + 2y + z = −3x + 6y + 3z = 7x + 4y + 2z = 2

    28. {2x − y + z = 14x − y + 3z = 52x + y + 3z = 7

    29. {2x + 3y − 4z = 03x − 5y + 3z = −105x − 2y + 5z = −4

    30. {3x − 2y + 9z = 2−2x − 5y − 4z = 35x − 3y + 3z = 15

    31. {8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18

    32. {x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12

    33. {9x + 3y − 11z = 62x + y − 3z = 17x + 2y − 8z = 3

    34. {3x − y − z = 4−5x + y + 2z = −36x − 2y − 2z = 8

    35. {2x − 4y + 3z = 153x − 5y + 2z = 185x + 2y − 6z = 0

    36. {3x − 4y − 3z = −144x + 2y + 5z = 12−5x + 8y − 4z = −3

    Часть C: Обсуждение

    1. Изучите и обсудите историю метода исключения Гаусса.Кто первым разработал этот процесс? Опубликуйте что-нибудь, что вам показалось интересным в связи с этой историей.

    2. Изучите и обсудите историю современной матричной записи. Кому засчитывается разработка? В каких сферах они используются сегодня? Разместите свои выводы на доске обсуждений.

ответы

  1. (-15, -1)

  2. (-5, -32)

  3. (-32,23)

  4. (−6, −2, −12)

  5. (85,0, −3)

  6. (73,23, −13)

  1. [12 | 345 | 6]

  2. [1-2 | 12-1 | 1]

  3. [−18 | 302 | 2]

  4. [3−27 | 84−5−10 | 6−1−32 | −1]

  5. [1−95 | −3020 | 10003 | 27]

  6. [820 | −130−21 | 1120−5 | −18]

  7. (13, −13)

  8. (32,0)

  9. (х, 23x − 43)

  10. (12,12, −12)

  11. (1,0,12)

  12. (−8, −12z + 52, z)

  13. (-32, -12, 0)

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *