Сумма геом прогрессии формула: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

{n-1}$

Знаменатель прогрессии тогда равен:

$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Если знаменатель прогресии:

  • Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
    Пример:
    1, -2, 4, -8, 16, -32… — знаменатель -2 и первы член 1.
  • Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
    Пример:
    1, 5, 25, 125, 625 … — знаменатель 5.
  • Меньше чем -1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (отрицательную и позитивную сторону).
    Пример:
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … — знаменатель -5.
  • Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
    Пример:
    4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 … — знаменатель $\frac{1}{2}$
    4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 .
    3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

    что верно только для |q| < 1

    Содержание

    Калькулятор геометрической прогрессии
    Задачи с геометрической прогрессией

    Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8… геометрической прогрессией?
    Решение: Нет. (2, 4, 8 есть геометрической прогрессией )


    Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8… Чему равен ее 10-й член?
    Решение: Мы можем использовать формулу an = a1 . qn-1
    a10 = 2 . 210-1 = 2 . 512 = 1024


    3) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
    a5 — a1 = 15
    a4 — a2 = 6
    Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
    и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,

    Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума

    Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

    Форум о прогрессиях

    Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

    Тема 13.

    Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.

    Всем привет. Сегодня мы выведем формулу суммы первых n-членов геометрической прогрессии.

    Расскажу историю о награде изобретателя шахматной игры. По преданию, индийский принц, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, что исполнить любое твое желание». Изобретатель попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Говорят, что принц рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него ученый. Так сколько же зерен должен был получить изобретатель шахмат?

    Итак, получим последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…

    А это геометрическая прогрессия (bn):

    Возникает необходимость найти сумму 64-х слагаемых: S64 = 1+2+4+8+16+32+64+…

    Это очень сложно и громоздко…

    Давай выведем формулу суммы первых n-членов (Sn) для геометрической прогрессии (bn). Обозначим сумму (Sn):

    Sn =b1+b2+b3+b4+…+bn (1).

    Умножим обе части этого равенства на q, получим:

    Snq=b1q+b2q+b3q+…+bn

    q

    Учитывая, что

    b2=b1q, b3=b2q, …., bn =bn-1q, получим:

    Snq=b2+b3+b4+….bn-1q+ bn+bnq (2)

    Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

    Snq- Sn= (b2+b3+b4+…+ bn+ bnq) – (b1+b2+b3+b4+…+bn)= bnq- b1, в левой части вынесем общий множитель за скобку и получим:

    Sn(q-1)= bnq- b1, отсюда

    S n = bnq-b1q-1; q≠1

    При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде, подставим вместо bn формулу n-го члена bn=b

    1qn-1

    S n=bnq-b1q-1= b1qn-1q-b1q-1= b1qn-b1q-1= S n=b1(qn-1)q-1, если q≠1.

    Итак,

    Вернемся к задаче о вознаграждении и вычислим количество зерен:

    S64 =1(264-1)2-1=264-1= 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18,4 ∙ 1018

    Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

    Давай рассмотрим несколько примеров:

    (bn) – геометрическая прогрессия, где

    b1=2, b2= -4. Найдем сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:

    S n=b1(qn-1)q-1 , q=b2b1=-2,

    S8=2((-2)8-1)-2-1=2(256-1)-3=-170

    Ответ: 170

    Рассмотрим еще один пример:

    Найдем сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 3; 6; 12; 24;….

    Найдите S10 = ?

    S n =b1(qn-1)q-1, q=b2b1=63=2

    S10=b1(qn-1)q-1 = 3(210-1)2-1 = 3(210 – 1)=

    3 ∙ (1024 — 1) = 3 ∙ 1023 = 3069.

    Ответ: 3069

    В следующей задаче найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 6 и четвертый – равен 54, если известно, что все ее члены положительны.

    Итак, чтобы найти сумму семи членов, необходимо найти знаменатель данной прогрессии. Для этого найдем третий член, воспользовавшись свойством геометрической прогрессии, получим:

    b32=b2∙b4

    b32=6∙54=324

    b3=18 или b3=-18

    По условию задачи все члены прогрессии положительны, значит третий член равен 18.

    Ответ:18

    Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

    q=b3b2=186=3, значит b1=b2q=63=2

    Теперь найдем сумму:

    S7=b1q7-1q-1=237-13-1=2187-1=2186

    Ответ: 2186

    формула, как найти q, сумма первых n чисел

    Что такое геометрическая прогрессия

    Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число \(Xn\), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: \(X_1, X_2\)
    ,…,\(X_n\), или \({[X_n]}\). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности \(f(n)=X_n.\)

    Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом \(b_1\), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).

    Числа \( b_1\) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

    Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

    Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

    \(b_n=b_{n-1}\cdot q,\)

    Где \(b_n\) — \(n-й\) член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии. 2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

    Если \(b_1 > 0\) и \(q > 1\) или \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

    Если \(b_1 > 0\) и 0 < \(q < 1\) или \(b_1 < 0\) и \(q > 1\), то для нее характерно убывание.

    Примеры геометрических прогрессий в жизни:

    1. Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
    2. Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
    3. Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии. 2}\Rightarrow1+q=3\Rightarrow q=2.\)

      Ответ: \(q=2. \)

      Все о геометрической прогрессии

    4. Что такое геометрическая прогрессия?
    5. Формулы и свойства геометрической прогрессии
    6. Калькуляторы геометрической прогрессии
    7. Примеры решения заданий с геометрической прогрессией
    8.  

      Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии – это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле множество экономических процессов построены именно на основе геометрической прогрессии.

       

      Например, если вы положите деньги на банковский депозит и захотите посчитать сколько процентов заработаете за три года, самым удобным способом провести вычисления будет именно через формулу геометрической прогрессии. Этот инструмент также применяется в проектировании, архитектуре и строительстве.

       

      В этом тексте вы сможете узнать базовую информацию о формулах и свойства геометрической прогрессии, а также понять принцип, по которому она действует.

       

      Что такое геометрическая прогрессия?

       

      3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q. В этом случае q = 4. Чтобы создать геометрическую прогрессию, нам нужно сначала три умножить на четыре, затем 12 – снова на 4, потом 48 на 4 и так далее.

      Читайте также: Плюсы и минусы образования за рубежом

       

      Определение геометрической прогрессии

      Геометрическая прогрессия – это прежде всего последовательность чисел. Каждый пункт этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одинаковый множитель.

       

      Устойчивое число множитель, которое собственно и образует последовательность под названием геометрическая прогрессия, называется знаменателем прогрессии и обозначается, как мы уже отметили выше, буквой q.

       

      Члены прогрессии обозначаются как , где под индикатором n имеется в виду порядковый номер члена в прогрессии. Соответственно, первый член прогрессии (в нашем первом примере равен 3 – это b1, а второй (12) – это b2.

       

      Предполагается, что ни первый член, ни знаменатель прогрессии не равен нулю.

      Свойства геометрической прогрессии

      Геометрическая прогрессия становится удобным инструментом вычислений, когда вы понимаете, что с помощью ее свойств и связанных с ней формул можно легко вычислить, чему равно 

       

       

      И действительно – если попробуем вручную умножать каждое число ряда на 4, в конце концов восьмым числом этой геометрической прогрессии станет 49152.

       

      После усвоения главного принципа, лежащего в основе геометрической прогрессии, можем закрепить знания, проверив на практике первый пример с банковским депозитом. 

       

      Допустим, вы кладете на свой счет $ 100 под 6% годовых, и хотите узнать, какую сумму получите за 3 года. В таком случае вы будете использовать в своих расчетах геометрическую прогрессию, ведь ежегодно вы будете умножать все большую сумму на один и тот же множитель (в данном примере он равен 6%, то есть – 1,06)

       

      Чтобы вычислить сумму вклада в момент завершения действия депозита, используем уже знакомую формулу для нахождения значения любого члена прогрессии: 

       

       

       

      В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?

       

      В геометрической прогрессии члены прогрессии умножаются на постоянное число, тогда как арифметическая прогрессия воплощает последовательность чисел, в которой к каждому предыдущему члена добавляется одно и то же постоянное число.

       

      Представим это на примерах.

       

      Предположим, что знаменатель (q) в случае геометрической прогрессии составит 3 и так же в арифметической прогрессии устойчивое слагаемое будет равно 3. И стартовый член прогрессии в обоих случаях также составит одно и то же число – 4.

       

      Арифметическая прогрессия тогда будет выглядеть как последовательность 4, 7 (= 4 + 3), 10 (= 7 + 3) .., 13 .., 16 .., 19 …

      А геометрическая прогрессия – как последовательность 4, 12 (= 4 * 3), 36 (= 12 * 3), 108 .., 324 …

       

      Читайте также: Учимся играя. Что такое геймификация

       

      Формулы и свойства геометрической прогрессии

       

      Свойства членов геометрической прогрессии – это формулы, упрощающие расчеты. Вот некоторые из них:

       

      Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, следует использовать следующую формулу:

      Произведение членов, равноудаленных от краев геометрической прогрессии, то есть, соседних, всегда является постоянной величиной, то есть:

      С формулой расчета любого члена геометрической прогрессии мы уже знакомы. Она выглядит так:

      А формула нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии выглядит так:

      Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, будет равняться среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть при , 

      Калькуляторы геометрической прогрессии

       

      В сети есть множество калькуляторов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Некоторые из них могут не только посчитать сумму прогрессии или найти знаменатель, но и отразить пошаговое решение того или иного примера. Пользуясь ими вы не только найдете ответ, но и сможете понять принцип действий и запомнить некоторые из формул.

       

      Однако если вы переживаете сложности с пониманием геометрической прогрессии, эффективным решением может быть работа с репетитором по алгебре. На сайте БУКИ вы можете найти репетитора по любому предмету.

       

      Что касается онлайн-калькуляторов прогрессии, то в Keisan Online Calculator вы можете вычислить или сумму геометрической прогрессии, а также значение любого ее члена с пошаговым решением вашего примера. А в Geometric Sequence Calculator вы сможете вычислить любой составляющая прогрессии: и знаменатель геометрической прогрессии (q), и сумму бесконечный прогрессии (Sn), и сумму первых членов (Sn).

       

      Примеры решения заданий с геометрической прогрессией

       

      1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=5,5; b2=11.

      Решение: 

      Вычислим знаменатель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:

      q = b2/b1 = 11/5,5 = 2.

      Ответ: 

      Знаменатель прогрессии (q) равен 2.

      1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=0,3; b2= -30.

      Решение:

      Вычислим знаментель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены: 

      q = b2/b1= -30/0,3= -100.

      Ответ:

      Знаменатель прогрессии (q) равен -100.


      Читайте также: Самые популярные специальности в мире: выбор студентов 2021

      Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

      [музыка] но ним что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых членов каждый член которой начиная со второго равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число это число называют знаменателем геометрической прогрессии из определения следует что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля зная первый член и знаменатель можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру это позволяет сделать формула n-ого члена мы выяснили что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда когда квадрат каждого ее члена начиная со второго равен произведению предыдущего и последующего членов это свойство геометрической прогрессии называется ее характеристическим свойствам более того квадрат любого члена геометрической прогрессии начиная с некоторого равен не только произведению своих непосредственных соседей но и произведению членов прогрессии находящихся от него на одинаковом расстоянии например квадрат 10 члена геометрической прогрессии равен произведению 9 и 11 членов а также 8 и 12 7 и 13 1 и 19 сумму первых n членов геометрической прогрессии как сны и запишем эту сумму умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q учитывая что а 1 q равно а второму а второе q равно а третьему от 3 q равно а четвертому а n минус 1 q равно а. н. получаем равенство под номером 2 вычитаем из равенства два равенства 1 прикол не равным единице делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии рассмотрим классическую задачу о том как создатель шахмат попросил у принца следующую награду на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно на каждую следующую в два раза больше зерен чем на предыдущую заметим что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2 в этой прогрессии шестьдесят четыре члена по количеству клеток на шахматной доске на последнюю клетку нужно было положить два в шестьдесят третьей степени зерен а общее количество зерен равно сумме первых 64 членов данной геометрической прогрессии вычислим приближённо массу всего зерна заметим что 2 в десятой степени равно 1024 округлим до 1000 тогда в награду изобретателю нужно дать 16 умноженное на 10 в 18 степени зерен масса одного пшеничного зерна составляет примерно ноль целых шесть сотых грамма масса всех зерен должна составить примерно 10 в двенадцатой степени тонн то есть триллион тонн однако от такого количества пшеницы не собрала человечества за все годы своего существования по полученной формуле нужно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии если известны ее первый и n-ый член и знаменатель и количество членов но далеко не всегда нам известен n-ный член и не обязательно его находить воспользуемся формулой n-ого члена геометрической прогрессии и выведем еще одну формулу суммы первых n членов через первый член и знаменатель геометрической прогрессии найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем 0,1 сумма первых шести членов эссе ровно 364 и и знаменатель равен 3 найдем первый член запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии подставим в неё известные величины решим полученное уравнение 1 члены геометрической прогрессии равен единице

      Урок 38.

      формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — Алгебра — 9 класс


      Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
      Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
      Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
      Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
      Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
      Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
      Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
      Учитывая, что a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4an-1q = an, получаем равенство 2.
      Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
      При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
      Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
      Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
      А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
      Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
      Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
      Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
      По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
      Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
      Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
      Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
      Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
      Первый член геометрической прогрессии равен 1.

      Арифметические,геометрические прогрессии — Математика

      Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число xn, то говорят, что задана числовая последовательность x1x2,…, xn…, обозначаемая {xn}. Числаx1x2,…, xn… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

      Арифметическая прогрессия

      Числовую последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: an+1 = an + d. Число Sn называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

      Свойства арифметической прогрессии:

      Геометрическая прогрессия

      Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

      Число q называется называется знаменателем прогрессии: bn+1 = bnq.

      Число Sn называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, Pn — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

      Свойства геометрической прогрессии:


      Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

      ____________________________________________________________________________

      Обозначим через ai — члены арифметической прогрессии c разностью d, через bi — геометрической, с знаменателем q.

      Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S3 = (2a1 + 2d) · 3 / 2 = 21 или a1 + d = 7.

      По условию a1 — 1, a1 + d — 1, a1 + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

      (a1 + d — 1)2 = (a1 + 2d + 2)(a1 — 1).

      После замены переменной a1 = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

      d2 + 3d — 18 = 0, т.е. d1 = 3, d2 = -6.

      Условию удовлетворяет лишь d1 = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a1 = 4. Находим b1 = a1 — 1 = 3. b2 = a1 + d — 1 = 6, откуда q = 2.

      Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

      S8 = [b1(q8 — 1)] / (q — 1) = 765.

      Ответ: S8 = 765.


       

      Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.

      ____________________________________________________________________________

      Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какaa + da + 2d.

      Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = 2/3 — d.

      Согласно второму условию a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 14/9.

      После раскрытия скобок получаем 27a2 + 45d2 + 54ad = 14.

      Делаем замену переменной a = 2/3 — d, раскрываем скобки и получаем:

      d2 = 1/9.

      d = ±1/3.

      Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±1/3 числа будут равны 1/32/3, 1.

      Ответ: 1/32/3, 1.


       

      Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

      ____________________________________________________________________________

      Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какbbqbq2bq3.

      По условию:

      1) bq2 = b + 9.

      2) bq = bq3 + 18.

      Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

      9q + 18 = 0.

      Откуда q = -2. Из первого уравнения находим bb = 3.

      Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

      Ответ: 3, -6, 12, -24.


       

      Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

      ___________________________________________________

      Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a1 = 105, am = 994.

      Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

      994 = 105 + 7(m — 1).

      Откуда m = 128.

      А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

      Ответ: 70336.

      Сумма GP | Геометрическая прогрессия | Решенные примеры

      В этом мини-уроке мы нацелены на определение суммы GP. Давайте научимся находить сумму n членов GP, сумму бесконечных GP, сумму формулы GP, сумму членов в GP, сумму конечных GP, сумму бесконечных членов в GP, сумму геометрических прогрессия

      Клара определенным образом экономит несколько долларов каждую неделю. На 1-й неделе она вносит 2 доллара. На 2 неделе — 4 доллара, на 3 неделе — 8 долларов, на 4 неделе — 16 долларов и т. Д. Сколько у нее останется в копилке по истечении 6 недель?

      Ряд чисел, полученный путем умножения или деления каждого предыдущего члена, так что существует общее соотношение между членами (которое не равно 0), представляет собой геометрическую прогрессию, а сумма всех этих членов образуется таким образом, что является суммой геометрическая прогрессия.

      Здесь сумма, накапливаемая каждую неделю, имеет постоянный коэффициент 2 доллара, а начальное значение — 2 доллара.

      Сумма, вносимая каждую неделю, будет составлять 2, 4, 8, 16, 32, 64 доллара.

      Итак, через 6 недель в ее копилке накопится 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 126 долларов.

      Мы можем найти то же самое, используя формулу суммы GP «n» членов. Давайте научимся его рассчитывать сейчас.

      План урока

      Какова сумма геометрической прогрессии?

      Давайте обсудим, как суммировать произвольный GP.n)} {1 — r}, r \ neq 1 \)

      Если \ (r = 1 \),

      Учитывая указанную выше проблему копилки, сумма ЗП находится следующим образом.

      Сумма ГП

      Обратите внимание на то, что мяч падает с высоты на анимации ниже.

      Отрегулируйте его высоту (a) и время (r) с помощью ползунков, показанных вверху.

      Мяч теряет энергию, и последовательность максимальных высот приблизительно геометрическая. n-1)} {r — 1} \) и вычисляем сумму всех членов GP.

      Сумма бесконечных GP

      Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у нас есть первый член и постоянное соотношение между членами. Мы бы не узнали последний срок. Тогда \ (s_n = \ dfrac {a_1} {1-r} \)

      • Если \ (\ mid r \ mid <1 \) , то ряд сходится и у ряда есть сумма.

      Например, Квадрат нарисован путем соединения середин сторон исходного квадрата.2 \ end {align} \]

      \ (s_n = \ dfrac {a_1} {1-r} \)

      Калькулятор суммы бесконечных GP

      Найдите симуляцию ниже. Введите первый член и общее отношение и проверьте, как сумма бесконечного GP сходится к меньшему значению.

      • Если \ (\ mid r \ mid> 1 \) , то ряд не сходится и у него нет суммы. Это расходится.

      Например: Рассмотрим бесконечную серию суммы, обратной простым числам,

      \ [- \ dfrac {5} {10} + \ dfrac {15} {10} — \ dfrac {45} {10} + \ dfrac {135} {10} +. п -1)} {г -1} \).

    9. Для \ (r = 1 \) сумма GP \ (= na \).
    10. Сумма бесконечных GP равна \ (S_ \ infty = \ dfrac {a} {1-r} \)

Решенные примеры

В GP сумма первых трех членов равна 16, а сумма следующих трех членов равна 128. Найдите сумму первых n членов GP.

Решение

Пусть a и r будет первым членом и общим отношением GP.п-1)} {7} \)

Сара поделилась сообщением с 5 уникальными людьми в 1 час ночи. В 2 часа ночи каждая из ее подруг поделилась им с 5 уникальными людьми. Затем в 15:00 каждый из их друзей поделился с 5 уникальными людьми. Сколько уникальных людей получили бы сообщение в этой последовательности к 8 часам утра?

Решение

Очевидно, мы находим, что это геометрическая прогрессия, поскольку первый член равен 5

Общее отношение \ (= \ dfrac {25} {5} = \ dfrac {125} {25} = 5 \)

\ [\ begin {align} S_8 & = \ dfrac {5 (5 ^ 8-1)} {5-1} \\\\ & = \ dfrac {5 (3

)} {4} \\\\ & = 5 \ times 97656 \\\\ & = 488,280 \ text {people} \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) 488 820 человек получили бы сообщение к 8 утра.

Расстояние, пройденное мячом, сброшенным с высоты (в дюймах): \ (\ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3} \), 8, 6 … Какое может быть пройденное расстояние? по мячу перед отдыхом?

Решение

Расстояние, пройденное мячом \ (= \ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3}, 8, 6 … \)

Здесь начальный член \ (a = \ dfrac {128} {9} \) и обычное отношение:

\ [\ begin {align} r & = \ dfrac {(\ dfrac {32} {3})} {(\ dfrac {128} {9})} \\\\ & = \ dfrac {32} {3} \ times \ dfrac {9} {128} \\\\ & = \ dfrac {3} {4} \ end {align} \]

Общее расстояние, пройденное мячом, будет суммой этого бесконечного GP.

Сумма бесконечных GP: \ [\ begin {align} & = \ dfrac {a} {1-r} \\\\ & = \ dfrac {\ dfrac {128} {9}} {1 — \ dfrac {3} {4}} \\\\ & = \ dfrac {128} {9} \ times 4 \\\\ & = \ dfrac {512} {9} \ text {in} \\\\ & = 56,88 \ text {in} \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) Общее расстояние = 56,88 дюйма

  • Если сумма трех действительных чисел в GP равна 26, а сумма их квадратов равна 364, найдите наибольшее число.
  • Найдите сумму бесконечного GP 0.3+ 0,33+ 0,333 + …. [подсказка: \ (0,3 = \ dfrac {3} {10} \)]

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции суммы GP.Математическое путешествие вокруг суммы GP началось с того, что студент уже знал, и продолжилось творчески, вырабатывая новую концепцию в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое полная форма GP?

Полная форма GP — это геометрическая прогрессия.

2. Что такое GP по математике?

Последовательность в математике, полученная, в которой последовательные члены находятся в постоянном соотношении, называется геометрической прогрессией.{n-1} \]

геометрических последовательностей и серии

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность. Последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущего числа и некоторой константы r ., Или геометрическая прогрессия, используемая при ссылке на геометрическую последовательность., Представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущее число и некоторая константа r .

an = ran − 1 Геометрическая последовательность

И поскольку anan − 1 = r, постоянный множитель r называется общим отношением Константа r , которая получается делением любых двух последовательных членов геометрической последовательности; анан − 1 = г.. Например, следующая геометрическая последовательность:

9,27,81,243,729…

Здесь a1 = 9, а отношение между любыми двумя последовательными членами равно 3. Мы можем построить общий член an = 3an − 1, где,

a1 = 9a2 = 3a1 = 3 (9) = 27a3 = 3a2 = 3 (27) = 81a4 = 3a3 = 3 (81) = 243a5 = 3a4 = 3 (243) = 729 ⋮

В общем, учитывая первый член a1 и знаменатель r геометрической последовательности, мы можем записать следующее:

a2 = ra1a3 = ra2 = r (a1r) = a1r2a4 = ra3 = r (a1r2) = a1r3a5 = ra3 = r (a1r3) = a1r4 ⋮

Отсюда мы видим, что любую геометрическую последовательность можно записать в терминах ее первого элемента, ее общего отношения и индекса следующим образом:

an = a1rn − 1 Геометрическая последовательность

Фактически, любой общий член, являющийся экспонентой в n , является геометрической последовательностью.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления 10 -го члена : 3,6,12,24,48…

Решение:

Начнем с нахождения общего отношения,

г = 63 = 2

Обратите внимание, что соотношение между любыми двумя последовательными членами равно 2. Последовательность действительно представляет собой геометрическую прогрессию, где a1 = 3 и r = 2.

an = a1rn − 1 = 3 (2) n − 1

Следовательно, мы можем записать общий член an = 3 (2) n − 1, а член 10 th можно вычислить следующим образом:

a10 = 3 (2) 10−1 = 3 (2) 9 = 1,536

Ответ: an = 3 (2) n − 1; а10 = 1,536

Термины между данными элементами геометрической последовательности называются средними геометрическими. Термины между данными элементами геометрической последовательности. .

Пример 2

Найдите все члены геометрической последовательности между a1 = −5 и a4 = −135. Другими словами, найдите все геометрические средние между 1 и 4 членами.

Решение:

Начнем с нахождения общего отношения r . В данном случае нам даны первый и четвертый слагаемые:

an = a1rn − 1 Используйте n = 4.a4 = a1r4−1a4 = a1r3

Подставляем a1 = −5 и a4 = −135 в приведенное выше уравнение, а затем решаем относительно r .

−135 = −5r327 = r33 = r

Затем используйте первый член a1 = −5 и общее отношение r = 3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности.

an = a1rn − 1an = −5 (3) n − 1

Теперь мы можем использовать an = −5 (3) n − 1, где n — положительное целое число, чтобы определить пропущенные члены.

a1 = −5 (3) 1−1 = −5⋅30 = −5a2 = −5 (3) 2−1 = −5⋅31 = −15a3 = −5 (3) 3−1 = −5⋅32 = −45} средние геометрические a4 = −5 (3) 4−1 = −5⋅33 = −135

Ответ: −15, −45,

Первый член геометрической последовательности не может быть указан.

Пример 3

Найдите общий член геометрической последовательности, где a2 = −2 и a5 = 2125.

Решение:

Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и r. Нелинейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an = a1rn − 1:

{a2 = a1r2−1a5 = a1r5−1 ⇒ {−2 = a1r2125 = a1r4 Используйте a2 = −2. Используйте a5 = 2125.

Решите относительно a1 в первом уравнении,

{−2 = a1r ⇒ −2r = a12125 = a1r4

Подставляем a1 = −2r во второе уравнение и решаем: r .

2125 = a1r42125 = (- 2r) r42125 = −2r3−1125 = r3−15 = r

Обратный заменитель, чтобы найти a1:

a1 = −2r = −2 (−15) = 10

Следовательно, a1 = 10 и r = −15.

Ответ: an = 10 (−15) n − 1

Попробуй! Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления его 6 -го члена : 2,43,89,…

Ответ: an = 2 (23) n − 1; а6 = 64243

Геометрическая серия

Геометрический ряд Сумма членов геометрической последовательности.представляет собой сумму членов геометрической последовательности. Например, сумма первых 5 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, выглядит следующим образом:

S5 = Σn = 153n + 1 = 31 + 1 + 32 + 1 + 33 + 1 + 34 + 1 + 35 + 1 = 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1089

Можно добавить 5 натуральных чисел. Однако задача добавления большого количества терминов не стоит. Поэтому затем мы разработаем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов любой геометрической последовательности. В целом

Sn = a1 + a1r + a1r2 +… + a1rn − 1

Умножая обе стороны на r , мы можем написать,

rSn = a1r + a1r2 + a1r3 +… + a1rn

Вычитая эти два уравнения, получаем

Sn-rSn = a1-a1rnSn (1-r) = a1 (1-rn)

Если предположить, что r ≠ 1, деление обеих сторон на (1 − r), приводит нас к формуле для n -й частичной суммы геометрической последовательности Сумма первых n членов геометрической последовательности, заданной формулой: Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1.:

Sn = a1 (1 − rn) 1 − r (r ≠ 1)

Другими словами, n -я частичная сумма любой геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена и общего отношения. Например, чтобы вычислить сумму первых 15 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, используйте формулу с a1 = 9 и r = 3.

S15 = a1 (1 − r15) 1 − r = 9⋅ (1−315) 1−3 = 9 (−14,348,906) −2 = 64,570,077

Пример 4

Найдите сумму первых 10 членов заданной последовательности: 4, −8, 16, −32, 64,…

Решение:

Определите, существует ли общее соотношение между данными терминами.

г = −84 = −2

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно -2; следовательно, данная последовательность является геометрической последовательностью. Используйте r = −2 и тот факт, что a1 = 4, чтобы вычислить сумму первых 10 членов,

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 4 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 4 (1−1,024) 1 + 2 = 4 (−1,023) 3 = −1,364

Ответ: S10 = −1,364

Пример 5

Вычислите: Σn = 162 (−5) n.

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 6 членов геометрической последовательности с общим членом an = 2 (−5) n.Используйте это, чтобы определить член 1 st и обыкновенное отношение r :

а1 = 2 (−5) 1 = −10

Чтобы показать, что существует обычное отношение, мы можем использовать следующие друг за другом следующие термины:

r = anan − 1 = 2 (−5) n2 (−5) n − 1 = (- 5) n− (n − 1) = (- 5) 1 = −5

Используйте a1 = −10 и r = −5, чтобы вычислить частичную сумму 6 th .

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS6 = −10 [1 — (- 5) 6] 1 — (- 5) = — 10 (1−15,625) 1 + 5 = −10 (−15,624) 6 = 26 040

Ответ: 26 040

Попробуй! Найдите сумму первых 9 членов заданной последовательности: −2, 1, −1 / 2,…

Ответ: S9 = −171128

Если общее отношение r бесконечной геометрической последовательности является дробью, где | r | <1 (то есть -1 n -я частичная сумма стремится к 1 по мере увеличения n .Например, если r = 110 и n = 2,4,6, мы имеем

1− (110) 2 = 1−0,01 = 0,991− (110) 4 = 1−0,0001 = 0,99991− (110) 6 = 1−0,000001 = 0,999999

Здесь мы видим, что этот коэффициент становится все ближе и ближе к 1 для все больших значений n . Это иллюстрирует идею предела, важную концепцию, широко используемую в математике более высокого уровня, которая выражается с помощью следующих обозначений:

limn → ∞ (1 − rn) = 1, где | r | <1

Читается, что «предел (1-rn), когда n приближается к бесконечности, равен 1. «Хотя это дает предварительный обзор того, что должно произойти в вашем продолжающемся изучении математики, на данный момент мы заинтересованы в разработке формулы для специальных бесконечных геометрических рядов. Рассмотрим n -ю частичную сумму любой геометрической последовательности,

Sn = a1 (1 − rn) 1 − r = a11 − r (1 − rn)

Если | r | <1, то предел частичных сумм, когда n приближается к бесконечности, существует, и мы можем написать,

Sn = a11 − r (1 − rn) ⇒n → ∞ S∞ = a11 − r⋅1

Следовательно, сходящийся геометрический ряд — это бесконечный геометрический ряд, где | r | <1, сумма которого определяется формулой: S∞ = a11 − r.бесконечный геометрический ряд, где | r | <1; его сумму можно рассчитать по формуле:

S∞ = a11 − r

Пример 6

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: 32 + 12 + 16 + 118 + 154 + ⋯

Решение:

Определить обычное отношение,

г = 1232 = 12⋅23 = 13

Поскольку знаменатель r = 13 является дробью от -1 до 1, это сходящийся геометрический ряд. Используйте первый член a1 = 32 и обыкновенное отношение, чтобы вычислить его сумму.

S∞ = a11 − r = 321− (13) = 32 23 = 32⋅32 = 94

Ответ: S∞ = 94

Примечание : В случае бесконечного геометрического ряда, где | r | ≥1, ряд расходится, и мы говорим, что нет суммы. Например, если an = (5) n − 1, то r = 5, и мы имеем

S∞ = Σn = 1∞ (5) n − 1 = 1 + 5 + 25 +

Мы видим, что эта сумма неограниченно растет и не имеет суммы.

Попробуй! Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: Σn = 1∞ − 2 (59) n − 1.

Ответ: −9/2

Повторяющаяся десятичная дробь может быть записана как бесконечный геометрический ряд, значащий коэффициент которого равен степени 1/10. Следовательно, формулу сходящегося геометрического ряда можно использовать для преобразования повторяющегося десятичного числа в дробь.

Пример 7

Запишите в виде дроби: 1.181818…

Решение:

Начните с определения повторяющихся цифр справа от десятичной дроби и перепишите их в геометрической прогрессии.

0,181818… = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 +… = 18100 + 1810 000 + 181 000 000 +…

В этой форме мы можем определить общее отношение,

г = 1810,000 18100 = 1810,000 × 10018 = 1100

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно 1100. Используйте это, а также тот факт, что a1 = 18100, чтобы вычислить бесконечную сумму:

S∞ = a11 − r = 181001− (1100) = 1810099100 = 18100⋅10099 = 211

Следовательно, 0.181818… = 211 и имеем

1,181818… = 1 + 211 = 1211

Ответ: 1211

Пример 8

Определенный мяч отскакивает назад на две трети высоты, с которой он упал. Если мяч изначально падает с высоты 27 футов, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит.

Решение:

Мы можем вычислить высоту каждого последующего отскока:

27⋅23 = 18 футов Высота первого отскока 18⋅23 = 12 футов Высота второго отскока 12⋅23 = 8 футов Высота третьего отскока

Общее расстояние, которое проходит мяч, складывается из расстояний, на которые мяч падает, и расстояний, на которые мяч поднимается.Расстояния, на которые падает мяч, образуют геометрическую серию

.

27 + 18 + 12 + ⋯ Дистанция падения мяча

, где a1 = 27 и r = 23. Поскольку r представляет собой дробную часть от -1 до 1, эту сумму можно рассчитать следующим образом:

S∞ = a11 − r = 271−23 = 2713 = 81

Следовательно, мяч падает на общую дистанцию ​​81 фут. Расстояния, на которые мяч поднимается, образуют геометрическую серию

.

18 + 12 + 8 + ⋯ Расстояние подъема мяча

, где a1 = 18 и r = 23.Вычислите эту сумму аналогично:

S∞ = a11 − r = 181−23 = 1813 = 54

Следовательно, мяч поднимается на общую дистанцию ​​54 фута. Приблизительно общее пройденное расстояние, сложив общее расстояние подъема и падения:

81 + 54 = 135 футов

Ответ: 135 футов

Основные выводы

  • Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой отношение r между последовательными членами является постоянным.
  • Общий член геометрической последовательности может быть записан в терминах его первого члена a1, общего отношения r и индекса n следующим образом: an = a1rn − 1.
  • Геометрический ряд — это сумма членов геометрической последовательности.
  • Частичная сумма n -й геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена a1 и общего отношения r следующим образом: Sn = a1 (1-rn) 1-r.
  • Бесконечная сумма геометрической последовательности может быть вычислена, если общее отношение представляет собой дробь от -1 до 1 (то есть | r | <1) следующим образом: S∞ = a11-r.Если | r | ≥1, то суммы не существует.

Тематические упражнения

    Часть A: Геометрические последовательности

      Запишите первые 5 членов геометрической последовательности с учетом ее первого члена и общего отношения. Найдите формулу для его общего члена.

      Учитывая геометрическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее, чтобы определить 5 -й член в последовательности.

    1. −3.6, −4,32, −5,184,…

    2. Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 1, x2, x24,…

    3. Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 2, −6x, 18×2,…

    4. Количество клеток в культуре определенных бактерий удваивается каждые 4 часа. Если изначально присутствует 200 ячеек, напишите последовательность, которая показывает популяцию ячеек после каждых n -го 4-часового периода в течение одного дня. Напишите формулу, которая дает количество ячеек после любого 4-часового периода.

    5. Определенный мяч отскакивает назад на половине высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с 12 футов, найдите формулу, которая дает высоту мяча при отскоке n и используйте ее, чтобы найти высоту мяча при отскоке 6 -го .

    6. Для заданной геометрической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an = 4an − 1, где a1 = 2 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r .

    7. Учитывая геометрическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = 6an − 1, где a1 = 12 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r .

      Учитывая члены геометрической последовательности, найдите формулу для общего члена.

    1. a4 = −2. 4 × 10−3 и a9 = −7,68 × 10−7

      Найдите все геометрические средние между заданными членами.

    1. a2 = −20 и a5 = −20 000

    Часть B: геометрическая серия

      Рассчитайте указанную сумму.

    1. ∑n = 155n

    2. ∑n = 16 (−4) п

    3. ∑k = 1102k + 1

    4. ∑k = 1142k − 1

    5. ∑k = 110−2 (3) к

    6. ∑k = 185 (−2) к

    7. ∑n = 152 (12) n + 2

    8. ∑n = 14−3 (23) п

    9. ∑n = 1∞2 (13) n − 1

    10. ∑n = 1∞ (15) п

    11. ∑n = 1∞3 (2) n − 2

    12. ∑n = 1∞ − 14 (3) n − 2

    13. ∑n = 1∞12 (−16) п

    14. ∑n = 1∞13 (−25) п

      Запишите как смешанное число.

    1. Предположим, вы согласились работать за гроши в день в течение 30 дней.Вы заработаете 1 пенни в первый день, 2 пенни во второй день, 4 пенни в третий день и так далее. Сколько всего пенни вы заработаете в конце 30-дневного периода? Какая сумма в долларах?

    2. Первоначальная ставка в рулетке 100 долларов делается (красное поле) и проигрывает. Чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку, делает ставку 200 долларов и проигрывает.Опять же, чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку до 400 долларов и проигрывает. Если игрок продолжит удваивать свою ставку таким образом и проиграет 7 раз подряд, сколько всего он проиграет?

    3. Определенный мяч отскакивает назад на половину высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с 12 футов, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит.

    4. Мяч для гольфа отскакивает от цементного тротуара на три четверти высоты, с которой он упал. Если мяч изначально падает с 8 метров, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит.

    5. Структурированное поселение ежегодно приносит сумму в долларах, представленную как n , согласно формуле pn = 6000 (0. 80) п — 1. Какая общая сумма выручки от урегулирования через 10 лет?

    6. Начните с квадрата, каждая сторона которого составляет 1 единицу, начертите еще один квадрат, соединив середины каждой стороны. Продолжайте писать квадраты таким образом до бесконечности, как показано на рисунке:

      Найдите сумму площадей всех квадратов на рисунке.(Подсказка: начните с поиска последовательности, сформированной с использованием площадей каждого квадрата.)

    Часть C: Последовательности и серии

      Определите последовательность как арифметическую, геометрическую или ни то ни другое. Укажите общее различие или соотношение, если оно существует.

      Определите последовательность как арифметическую или геометрическую, а затем вычислите указанную сумму.

      Рассчитайте указанную сумму.

    1. ∑n = 150 (3n − 5)

    2. ∑n = 125 (4−8n)

    3. ∑n = 112 (−2) n − 1

    4. ∑n = 1∞5 (−12) n − 1

    5. ∑n = 1405

    6. ∑n = 1∞0. 6n

    Часть D: Обсуждение

    1. Используйте методы, описанные в этом разделе, чтобы объяснить, почему 0,999… = 1.

    2. Постройте геометрическую последовательность, где r = 1. Изучите n -ю частичную сумму такой последовательности.Какие выводы мы можем сделать?

ответов

  1. 1, 5, 25, 125, 625; ан = 5n − 1

  2. 2, 6, 18, 54, 162; ан = 2 (3) п − 1

  3. 2, -6, 18, -54, 162; ан = 2 (−3) п − 1

  4. 3, 2, 43, 89, 1627; ан = 3 (23) п − 1

  5. 1. 2, 0,72, 0,432, 0,2592, 0,15552; ан = 1,2 (0,6) п − 1

  6. an = — (- 23) n − 1, a5 = −1681

  7. ан = −3. 6 (1,2) n − 1, a5 = −7,46496

  8. 400 ячеек; 800 ячеек; 1600 ячеек; 3200 ячеек; 6400 ячеек; 12800 ячеек; pn = 400 (2) n − 1 ячеек

  1. 1,073,741,823 пенни; 10 737 418 долларов. 23

геометрическая серия | Purplemath

Purplemath

Можно взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности. И по причинам, которые вы будете изучать в математике, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть у вас должно быть | r | <1.

Для геометрической последовательности с первым членом a 1 = a и общим отношением r сумма первых n членов определяется по формуле:

MathHelp.com

Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » может быть умножено через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начинаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

В частном случае | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:


Первые несколько членов: –6, 12, –24:

.

a 1 = 3 (–2) 1 = (3) (- 2) = –6

a 2 = 3 (–2) 2 = (3) (4) = 12

a 3 = 3 (–2) 3 = (3) (- 8) = –24

Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2. (Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

Первый член последовательности равен a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

Итак, сумма суммирования равна:

.
  • Оценить S
    10 для 250, 100, 40, 16 ,….

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

… и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

r = 2/5.

В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -й частичной суммы геометрического ряда. Итак, у меня есть все, что нужно для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:



Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит только к десятичной аппроксимации ответа. Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.


  • Найдите
    a n , если S 4 = 26/27 и r = 1/3.

Мне дали сумму первых четырех членов, S 4 , и значение общего отношения r .Поскольку существует обычное соотношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Вставив в формулу геометрического ряда-суммы, я получу:

Умножая обе стороны на

27/40, чтобы найти первый член a = a 1 , я получаю:

Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:


  • Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.
    3333 … равно 1/3.

В этом есть одна хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывного (то есть бесконечного) десятичного числа: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | r | <1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «разложит» 0. 333 … имеет значение одной трети. — это , «показывающий», о чем просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.


  • Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти узор:

1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

Две цифры повторяются, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрический ряд:

Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение общего отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечных геометрических рядов.Тогда сумма вычисляется как:

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильных дробей и смешанных чисел:


Кстати, с помощью этой техники можно доказать, что 0,999 … = 1.


URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

Искусство решения задач

В алгебре геометрическая последовательность , иногда называемая геометрической прогрессией , представляет собой последовательность чисел, в которой соотношение между любыми двумя последовательными членами является постоянным.Эта константа называется общим отношением последовательности.

Например, это геометрическая последовательность с обычным соотношением и геометрическая последовательность с обычным соотношением; тем не менее, и не являются геометрическими последовательностями, так как соотношение между следующими друг за другом членами меняется.

Формально последовательность представляет собой геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда. Аналогичное определение справедливо для бесконечных геометрических последовательностей. Чаще всего он встречается в трехчленной форме: а именно, что константы, и находятся в геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда.

Недвижимость

Поскольку каждый член является общим кратным предыдущего, каждый член геометрической последовательности может быть выражен как сумма первого члена и кратного общего отношения. Позвольте быть первым членом, быть th членом и быть обычным отношением любой геометрической последовательности; тогда, .

Общая лемма состоит в том, что последовательность находится в геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда является средним геометрическим для любых следующих друг за другом членов. В символах,. Это в основном используется для выполнения замен, хотя иногда служит определением геометрических последовательностей.

Сум

Геометрический ряд — это сумма всех членов геометрической последовательности. Они бывают двух разновидностей, каждая из которых имеет свои собственные формулы: конечное или бесконечное количество членов.

конечный

Конечный геометрический ряд с первым членом, знаменателем, не равным единице, и общим числом, равным.

Доказательство : Пусть геометрический ряд имеет значение. Затем разложение на множители, умножение обеих сторон на и использование факторизации разности мощностей дает разделение обеих сторон на урожайность по желанию.

бесконечный

Бесконечный геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда; при выполнении этого условия ряд сходится к.

Доказательство : Доказательство того, что сходимость ряда тогда и только тогда, когда является простым применением теста отношения из исчисления; таким образом, такое доказательство выходит за рамки данной статьи. Если предположить сходимость, есть элементарное доказательство формулы, использующей телескопирование. Используя термины, определенные выше, умножая обе стороны на и складывая, мы находим, что Таким образом, и так.

Проблемы

Вот некоторые проблемы с решениями, использующими геометрические последовательности и ряды.

Средний

См. Также

сумм геометрических последовательностей

сумм геометрических последовательностей


Мы используем MathJax

Суммы геометрических последовательностей

Члены геометрической последовательности также можно складывать, чтобы найти их сумму. Когда геометрическая последовательность имеет неограниченное долгосрочное поведение, мы будем ограничены добавлением конечного числа членов.{n-1}) = 2657205 $, получаем, что 2657205 — тринадцатый член последовательности.

Мы также можем проявить изобретательность, чтобы просуммировать эту геометрическую последовательность следующим образом. n)} {1-r} $.п $, и мы видим, что это геометрическая последовательность, у которой первый член и отношение равны $ \ dfrac12 $. Таким образом, сумма этой последовательности равна $ s _ {\ infty} = \ dfrac {\ frac12} {1- \ frac12} = 1 $. Эта сумма также проиллюстрирована областями прямоугольников на следующей диаграмме.

Некоторые люди возражали бы против того, чтобы сумма равнялась ровно 1, но скорее хочу сказать, что оно приближается к значению 1. С философской точки зрения, это позиция, согласно которой бесконечности на самом деле не могут могут быть достигнуты, но это только потенциал, и к ним можно только приблизиться. Если сумма прекращена досрочно, и только конечное число членов добавлено, то частичная сумма будет меньше значения 1. А в Фактически, частичные суммы приближаются к значению 1. Но с серии, мы занимаем позицию, что достигли бесконечного аспект этой проблемы, и что все бесконечное число терминов добавлено, и в этом случае значение в точности равно 1.

Приложение

с использованием серии

В качестве приложения рассмотрим мяч, который падает с высоты 15 футов и отскакивает до 75% своей предыдущей высоты на каждом подпрыгивать. Геометрический ряд с первым членом 15 и отношением 0,75 имеет сумму $ s _ {\ infty} = \ dfrac {15} {1-0.75} = 60 $. Мяч проходит это расстояние в каждом направлении (вверх и вниз), кроме на первом этапе, где он только спускается. Следовательно, общая пройденное расстояние вдвое больше суммы минус 15 футов, или всего 105 ноги.


Сумма первых n членов геометрической последовательности — видео и стенограмма урока

Формула суммы

Эта формула начинается с сигма-записи, которая сообщает вам, что вы будете складывать серии чисел.Далее идет формула для нахождения каждого члена нашей геометрической последовательности. Эта часть просто равна a умноженное на r в kth степени. Наша сигма-нотация говорит нам добавлять эти члены, начиная с k = 0 и заканчивая n — 1.

Все это равно a умноженное на 1 минус r к nth . мощность свыше 1 минус р . Это говорит нам, что мы можем использовать часть после знака равенства, чтобы найти нашу сумму наших первых n членов. Нам даже не нужно добавлять отдельные термины. Это очень полезно, если мы хотим найти сумму большого количества терминов.

В этой формуле a обозначает наш начальный член или число, r — наше обычное отношение, а n — количество членов, для которых мы хотим найти сумму.

Использование формулы суммы

Давайте теперь посмотрим, как мы можем использовать эту формулу. Допустим, мы занимаемся выращиванием картофеля.Мы хотим знать, сколько картофеля мы вырастили после уборки четвертого раунда. Итак, наше n равно 4. Мы начали с 1 картофелины, поэтому наше a равно 1. Наше общее отношение равно 20, потому что мы каждый раз умножали на 20, чтобы получить следующее число в нашей последовательности. У нас есть все числа, необходимые для работы нашей формулы, так что давайте воспользуемся ею сейчас. Мы подключаем все наши ценности.

Теперь мы можем продолжить и оценить. Сначала мы переводим наши 20 в четвертую степень, чтобы получить 160 000.1 минус 160 000 равно -159 999. 1 минус 20 равно -19. -159 999 делить на -19 дает 8 421. 8,421 умножить на 1 равно 8,421. Вот и наш ответ.

Другой пример

Хотите попробовать еще один? На этот раз вы попытаетесь решить это, пока мы работаем над этим вместе. Давайте найдем сумму первых 6 членов геометрической последовательности, которая начинается с чисел 2, 4 и 8.

Во-первых, нам нужно найти наше общее отношение. Мы делаем это, деля каждый термин на предыдущий.Каждый раз при делении мы должны получать одно и то же число. Делим 4 на 2 и 8 на 4. Что получаем? Мы получаем 2, поэтому наше общее отношение, наше r , равно 2. Мы хотим найти первые 6 членов, поэтому наше n равно 6. Наше a равно 2, так как это наше начальное число. Теперь мы можем заполнить нашу формулу следующими значениями:

А теперь оценим.

Наш ответ — 126, и все готово.Как ты это сделал?

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой каждый член или число представляет собой предыдущий член или число, умноженное на определенную константу. Наше обычное отношение — это наша постоянная умножения. Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической последовательности: a умноженное на 1 минус r на n-я степень на 1 минус r , где n — это количество членов, которое мы хотим чтобы найти сумму, — наш начальный член нашей последовательности и — наше обычное отношение.Чтобы использовать его, мы находим наши ценности, подключаем их и оцениваем.

Результат обучения

Прочитав этот урок, вы сможете вычислить сумму геометрической последовательности до заданной точки.

математических изображений | Геометрическая последовательность

Последовательность — это упорядоченный список чисел. Некоторые последовательности следуют шаблону.

Каждое число в последовательности называется термином .

Если мы рассматриваем последовательность как функцию, ее доменом являются натуральные числа.

Геометрическая последовательность (или геометрическая прогрессия) — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого задается умножением предыдущий фиксированным ненулевым числом, константой, называемой общим соотношением .

Любой член геометрической последовательности можно выразить формулой для общего члена:

Когда отношение r больше 1, мы имеем возрастающую последовательность (экспоненциальный рост).

Даже если соотношение очень мало, последовательность начинает медленно увеличиваться, но после достаточного количества шагов рост становится все больше и больше. Например, это это результат после 300 шагов, если соотношение равно 1,01:

Если отношение r положительно и меньше 1, последовательность уменьшается, а общий член стремится к 0.

При отрицательном соотношении r последовательность чередуется.

Если отношение r находится между -1 и 0, переменная последовательность имеет общий член, стремящийся к 0.

Если отношение r меньше -1, чередующаяся последовательность по абсолютной величине стремится к бесконечности. (без знака, если мы рассматриваем значение из-за переменного знака).

Мы можем рассматривать сумму n членов геометрической последовательности.

Мы можем вывести формулу:

В следующем приложении мы можем поиграть с разными случаями с положительным общим отношением:

Вы можете увидеть поведение, если общее отношение больше 1 (сумма растет и растет):

Если общее отношение меньше 1, кажется, что сумма приближается к числу:

Серия — это сумма бесконечных членов последовательности.

Если положительное значение r меньше 1, вы можете суммировать эти бесконечные числа, и результатом будет число. Можно сказать, что ряд сходится (приближается к некоторому пределу).

Если положительное число r больше или равно 1, то ряд не приближается к некоторому числу, потому что он становится все больше и больше. Тогда можно сказать, что ряд расходится.

В следующем приложении мы можем поиграть с общим случаем. Теперь общий рацион может быть положительным или отрицательным:

Расходящиеся альтернативные серии:

Сходящийся альтернативный ряд:

Условием сходимости геометрического ряда с ненулевым знаменателем r является:

А формула такая:

СЛЕДУЮЩИЙ

Один наглядный пример суммирования геометрического ряда.Геометрический ряд с отношением меньше 1 сходится.

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Геометрический ряд отношения 1/2 сходится. Мы можем изобразить эту серию в виде прямоугольника и последовательно разрезать его пополам. Здесь мы используем прямоугольник, поэтому все прямоугольники похожи.

Мы можем изучить несколько свойств экспоненциальных функций, их производных и введение в число e.

Используя убывающую положительную функцию, вы можете определить ряды.Интегральный тест — это инструмент, позволяющий определить, сходится ли ряд или расходится. Если ряд сходится, интегральный тест дает нам нижнюю и верхнюю границы.

Интеграл степенных функций был известен Кавальери от n = 1 до n = 9. Ферма смог решить эту задачу, используя геометрические прогрессии.

Существует стандартизация размера бумаги, которая называется DIN A. Последующие размеры бумаги в сериях A1, A2, A3, A4 и т. Д. Определяются путем уменьшения вдвое предыдущего размера бумаги по большему размеру.

Расширяющее вращение — это комбинация вращения и растяжения от одной и той же точки.

В равноугольной спирали угол между вектором положения и касательной постоянен.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *