Линейная функция — Википедия
Примеры линейных функций.Линейная функция — функция вида
- y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.
Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
- Частный случай b=0{\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0{\displaystyle b\neq 0} — неоднородных линейных функций.
Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y=k1x+b1,{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y=k2x+b2,{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: tgα=|k1−k21+k1k2|,{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k1k2≠−1,{\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k1=k2, α=0{\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.
- b{\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
- При b=0{\displaystyle b=0}, прямая проходит через начало координат.
Линейная функция нескольких переменных[править | править код]
Линейная функция n{\displaystyle n} переменных x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} — функция вида
- f(x)=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}
где a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n{\displaystyle n}-мерное пространство переменных x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a0=0{\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.
Если все переменные x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){\displaystyle (n+1)}-мерном пространстве переменных x1,x2,…,xn,y{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n{\displaystyle n}-мерная гиперплоскость- y=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}
в частности при n=1{\displaystyle n=1} — прямая линия на плоскости.
Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X{\displaystyle X} над некоторым полем k{\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f:X→k{\displaystyle f:X\to k}, что для любых элементов x,y∈X{\displaystyle x,y\in X} и любых α,β∈k{\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство
- f(αx+βy)=αf(x)+βf(y){\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}
причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.
Булева функция f(x1,x2,…,xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}, где ai∈{0,1},∀i=1,n¯{\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}}, что для любых x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:
- f(x1,x2,…,xn)=a0⊕a1⋅x1⊕a2⋅x2⊕⋯⊕an⋅xn{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}}.
Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y=x2{\displaystyle y=x^{2}}.
В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=kx+b{\displaystyle f=kx+b}, где b≠0{\displaystyle b\neq 0}, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2){\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f(cx)≠cf(x){\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}. Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ){\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).
- Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.
ru.wikipedia.org
Функция прямой
Линейная функция – это функция вида
f(x)=k∙x+b
или
y(x)=k∙x+b,
где
x-аргумент (независимая переменная),
y- функция (зависимая переменная),
k и b- некоторые постоянные числа
k=const
b=const
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.
Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.
Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох — острый; если k˂0, то этот угол- тупой.
Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).
a) k≠0; b=0,
тогда
y(x)=k∙x+0,
или
y(x)=k∙x
y(x)=k∙x— частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.
График линейной функции
y=kx
Где коэффициент k = 3, следовательно
y=3x
График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.
ООФ линейной функции
X∈R
D(f)=R
ОЗФ линейной функции
Y∈R
E(f)=R
Кроме случая, где
Y(x)=b
Так же линейная функция вида
y=kx+b
Является функцией общего вида.
Б) Если k=0; b≠0,
тогда
y(x)=0∙x+b,
или
y(x)=b
В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).
В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.
Пример 1. Построить график функции y(x)= -2x+5
Пример 2. Найдём нули функции у=3х+1, у=0;
3х+1=0;
– нули функции.
Ответ: или (;0)
Пример 3. Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1
Решение:
y(1)=-1+3=2
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Ответ: y_1=2; y_2=4.
Пример 4. Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y1=10∙x-8 и y2=-3∙x+5.
Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны
x1=x2
y1=y2
т.е.
10х-8=-3х+5;
13х=13;
x=1
Подставим х=1, то y1 (1)=10∙1-8=2.
Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y2=-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ордината точки пересечения.
(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.
Ответ: (1;2)
Пример 5.
Построить графики функций y1(x)= x+3 и y2(x)= x-1.
Решение:
Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.
Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.
Пример 6.
Построим два графика функции.
Первый график имеет формулу
y1= -2x+4
Второй график имеет формулу
у2=0,5х+4
В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.
Автор статьи: Глотов Василий МаксимовичРедакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна
www.teslalab.ru
[Билет 22] Линейная функция, её свойства и график. Общее уравнение прямой на плоскости. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между заданными прямыми. Пучок прямых.
Линейная функция, её свойства и график.Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1.
Общее уравнение прямой на плоскости.
Ах + Ву + С = 0
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Угол между заданными прямыми.
Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
Пучок прямых.
fizmatinf.blogspot.com