Свойства и функции логарифмической функции – Логарифмическая функция, её свойства и график — урок. Алгебра, 11 класс. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 28.08.202026.12.2019 by alexxlab

Содержание

Логарифмические функции — это… Что такое Логарифмические функции?

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: $\log_a b\,$ . Из определения следует, что записи $\log_a b = x\,$ и a^x = b равносильны.

Пример: $\log_2 8 = 3\,$ , потому что 2³ = 8.

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log_ab имеет смысл при $a&amp;gt;0, a \ne 1, b&amp;gt;0$

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: $y = \ln\, x$ . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

$(\ln x )$

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При $-1 &amp;lt; x \leqslant 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

(1)

В частности,

$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)$

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: $\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x$ .

Десятичные логарифмы

$\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x$

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим $\mathrm{Ln}\, w$ и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого $w \ne 0$ , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

$w=r \cdot e^{i \varphi}$ ,

то логарифм $\mathrm{Ln}\,w$ находится по формуле:

$\mathrm{Ln}\,w = \{\ln r + i \left ( \varphi + 2 \pi k \right ),\,k\in\Z \} .$

Здесь $\ln\,r$ — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента $\varphi$ в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается $\ln\,z$ . Иногда через $\ln\, z$ также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

$\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)$

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

$\ln (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x&amp;gt;0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)$

Примеры (приведено главное значение логарифма):

ln( − 1) = iπ
$\ln (i) = i \frac{\pi} {2}$
$\ln (-i) = -i \frac{\pi} {2}$

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства $\log_a{(b^p)} = p~\log_a b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

$\log_a{(b^p)} = p~\log_a b$

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

$\ln z = \int\limits_\Gamma {dz \over z}$

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

$\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma$

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

$\ln$

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

$\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i$

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и $z=\infty$ (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.