Свойства логарифмической функции и ее график: Свойства логарифмической функции и её график. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Свойства логарифмической функции и её график. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Перемещение графика функции

Сложность: лёгкое

1
2. Сравнение логарифмов

Сложность: лёгкое

1
3. Значение аргумента (целое число)

Сложность: лёгкое

2
4. Возрастание и убывание функции

Сложность: лёгкое

2
5. Область определения логарифмической функции

Сложность: лёгкое

4
6. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

1
7. Нахождение области определения логарифма, переменная в основании логарифма

Сложность: среднее

2
8. Определение основания логарифма

Сложность: среднее

2
9. Определение вида функции по графику

Сложность: среднее

1
10. График логарифмической функции вида y = log2(x + b)

Сложность: среднее

3
11. График логарифмической функции y = log2x + a

Сложность: среднее

3
12. Возрастание и убывание функции (основание больше 1)

Сложность: среднее

2
13. Область определения функции (основание больше 1)

Сложность: среднее

5
14. Область определения функции (дробь)

Сложность: среднее

5
15. Область определения функции (показательная и логарифмическая функции)

Сложность: сложное

4

Логарифмическая функция

Основные сведения

Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где a > 0 и a ≠ 1.

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

  1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
  2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
  3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
  4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
  5. Функция непереодическая.
  6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
  7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

  1. y = log2x
  2. y = log3x
  3. y = log5x
  4. y = log10x

Решение.

Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x 1 2 4 8
y(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x 1 2 4 8
y(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

  1. y = logπ(2x-4)
  2. y = log2((x-1)(x+5))

Решение

1. y = logπ(2x-4).

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

2x-4 > 0

Решим это линейное неравенство:

2x > 4 → x > 2

Ответ: D(y): (2; +∞).


 2. y = log2((x-1)(x+5)).

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

x-1 = 0 → x = 1

x+5 = 0 → x = -5

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Урок 26. логарифмическая функция — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 26. Логарифмическая функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмической функции

2) Свойства логарифмической функции

3) График логарифмической функции

Глоссарий по теме

Логарифмическая функция. Функция вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел.

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция.

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если 0 < a < 1.

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В математике и других науках достаточно часто встречаются функции, содержащие логарифм.

Функцию вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1 называют логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел. . Это следует из определения логарифма (т. к. логарифм существует только положительного числа!)

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция. (Следует напрямую из 2 свойства.)

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если .

Докажем возрастание по определению возрастающей функции, если , то .

Пусть .

По основному логарифмическому тождеству cследовательно . По свойству степеней с одинаковым основанием, большим 1 имеем: . Т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция возрастающая. Аналогично доказывается убывание функции при основании .

Из этого свойства следуют два важных утверждения:

Если a > 0 и

Если 0 < a < 1 и

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график располагается правее оси Оу, обязательно проходит через точку (1; 0) и имеет вид: если основание больше 1 (график №1) и если основание больше нуля, но меньше 1 (график №2).

Отметим, если

Докажем это утверждение.

Предположим, что , например, . Тогда если основание , в силу возрастания функции . Противоречие с условием задачи. Если , тогда функция убывающая и . Тоже противоречие с условием задачи, что . Следовательно, .

Это свойство применяется при решении уравнений.

Задача 1.

Решить уравнение:

Слева и справа логарифмы по одинаковым основаниям, значит при условии, что (иначе логарифмы не существуют) приравниваем выражения под логарифмами:

Ответ: .

Особенности графиков логарифмической функции с разными основаниями.

Построим в одной системе координат графики функций ;

Видно, что чем больше основание, тем ближе к осям координат расположен график. Обратите внимание: все графики проходят через точку (1; 0).

В другой системе координат построим графики функций с основаниями от 0 до

Видно, что в этом случае график приближается к осям координат при уменьшении основания. Но все так же есть общая точка (1; 0).

1. Если функция возрастающая (a > 1), при увеличении основания график приближается к осям координат.

2. Если функция убывающая , при уменьшении основания график приближается к осям координат.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найдите область определения функции:

Решение.

Для функции область определения все положительные числа, т. е.

В данной функции под логарифмом выражение, которое также должно быть больше нуля.

.

Ответ:

№2 Найдите наибольшее значение функции на данном промежутке

Решение:

Рассмотрим функцию . Это убывающая функция, т.к. основание меньше 1. Если функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит наибольшее значение функции будет при , а наименьшее – при .

.

Ответ: 2.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Цели урока:

обучающая: рассмотреть логарифмическую функцию, свойства логарифмической функции, в зависимости от основания, рассмотреть графики логарифмических функций при различных основаниях;

развивающая: развитие умения применять полученные знания на практике, развитие умения строить и читать графики логарифмических функций.

воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики.

Методы:

словесный — беседа;

наглядный — видеоурок, записи на доске;

контролирующий — тестирование или устный (письменный) опрос, решение задач).

Ход урока:

1. Организационный этап.

Добрый день. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад.

2. Объяснение нового материала.

На прошлых уроках мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от единицы основанию. Если для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию, то можно рассмотреть функцию

Функция является обратной для функции

Давайте изобразим графики функций в случае, когда . И графики функций и в случае когда .

График функции называют логарифмической кривой.

Давайте построим график функции и .

По графику нетрудно записать основные свойства функции. Поскольку такой же вид будут иметь графики всех логарифмических функций, с основанием большим 1, то свойства у них тоже будут одинаковыми.

Давайте построим график функции и

По графику нетрудно записать основные свойства функции. Поскольку такой же вид будут иметь графики всех логарифмических функций, с основанием от 0 до 1, то свойства у них тоже будут одинаковыми.

Рассмотрим несколько примеров.

3. Решение задач.

4. Рефлексия

Хотелось бы услышать ваши отзывы о сегодняшнем уроке: что вам понравилось, что не понравилось, чем бы хотелось узнать еще.

5. Домашнее задание.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

ГБПОУ ВО «Россошанский техникум сельскохозяйственного и строительного транспорта»

План урока теоретического обучения

ОДБ. 10 Математика

Дата проведения:

Курс 1

Группа

Тема программы: Логарифмическая функция

Тема урока: Логарифмическая функция, ее свойства и график

Тип урок: урок изучения нового материала

Цели:

Обучающие: изучить логарифмическую функцию, свойства логарифмической функции в зависимости от основания, рассмотреть графики логарифмических функций при различных основаниях

Развивающие: развивать умения строить и читать графики логарифмических функций, развивать познавательный интерес и мыслительную деятельность

Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебе и культуру умственного труда

Формируемые компетенции (ОК): понимать сущность и социальную значимость будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес; организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем; анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы; осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач; использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности; работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами; организовать собственную деятельность с соблюдением требований охраны труда и экологической безопасности; исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний

Оснащение урока: средства ИКТ (универсальные, ОЭР на CD-ROM, ресурсы сети Интернет)

Литература: «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы»: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.; «Алгебра. Поурочные планы по учебнику Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, М.В. Ткачева и др.»

Интернет-ресурсы: http://matrhematic.ru, http://www.prosv.ru/umk/algebra-alimov

Структура урока:

  1. Организационный момент — 1-2 мин

  2. Актуализация опорных знаний — 7-9 мин

  3. Формирование новых понятий — 15-18 мин

  4. Применение новых понятий (закрепление материала) -13-15 мин

  5. Подведение итогов — 2-3 мин

  6. Выдача заданий на дом — 1-2 мин

Ход урока

  1. Организационный момент

Проверить присутствующих. Проверить готовность к занятию. Довести до сведения обучающихся тему урока. Провести целевую установку с использованием демонстрационного материала, т.е. сформировать мотивацию, установить связи между преподавателем и студентами.

— Сегодня познакомимся с логарифмической функцией, построим ее график и изучим свойства.

2. Актуализация ранее усвоенных знаний, умений (повторение)

— Мы сейчас изучаем логарифмы. Что на данный момент мы знаем и умеем? (Знаем: определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов. Умеем: вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов).

— Данный тест поможет нам вспомнить ранее изученный материал о логарифмах:


3. Формирование новых понятий

— Функцию вида y = loga(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: loga(b) — данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции — (0

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 — 5*x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 — 5*x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8.

Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log8(4 — 5*x) будет являться промежуток (-∞;0. 8)

4. Применение новых понятий. Закрепление нового материала

1). Самостоятельная работа

1. Найдите область определения функции:

1) у= log0,3 х 2) у= log2 (х-1) 3) у= log3 (3-х)

  1. (0; +∞) б) (1;+∞) в) (-∞; 3) г) (0;1]

2. При каких значениях х имеет смысл функция:

1) у = log3 х2 2) у = log5 (-х) 3) у = lg х│

а) х≠0 б) х>0 в) x<0

3. Какие из перечисленных функций являются возрастающими?

а) у=log5 х б) в) у= logπ х г)


4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции


а) б) в) г)

5. Какие их точек А, В, С(5;-1) принадлежат графику функции

6. Сравните числа:

а) б)

2). Фронтальная работа по учебнику — №318-320

3). Блиц-опрос (отвечать только «да» или «нет»)

— Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

— Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.

— Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0, + ∞).

— Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма.

— Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1;0).

— Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по — другому расположенная в координатной плоскости.

— Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.

— Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

— Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот при 0 < a < 1.

5. Подведение итогов урока

— Что изучили сегодня на уроке?

— Какие особенности построения графиков логарифмической функции можете назвать?

Сделать анализ степени достижения поставленных целей самими обучающимися.

Выделить наиболее активных, объяснить, почему.

Провести анализ допущенных ошибок (если таковые имеются) и пути их устранения.

Сообщить полученные оценки за урок.

  1. Задание на дом — №324, №332

Логарифмическая функция, её свойства и график

Технологическая карта (план) занятия № 22

 

 

 

Группа

Дата

Дисциплина

Математика, 1 курс

 

 

Тема занятия

Логарифмическая функция, её свойства и график

 

 

 

 

Вид занятия

Теоретическое

 

 

Тип занятия

урок изучения и первичного закрепления нового материала

Цель занятия

Познакомить учащихся с понятием логарифмической функции её свойствами и графиком.

Задачи занятия

Образовательная: направить студентов на самостоятельное определение понятия «логарифмическая функция», сформировать умение строить график логарифмической функции, изучить основные свойства функции,

Развивающая: развить исследовательские умения, выработать умение выделять проблему, сравнивать, сопоставлять, анализировать и обобщать полученные результаты, формировать графическую и функциональную культуру.

Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.

 

Результат

Должны

знать

·         определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции,  вид графика в зависимости от основания логарифмической функции;

·         связь между логарифмической и показательной функцией.

Должны

уметь

применять определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции при решении практических заданий; выполнять задания на чтение графика логарифмической функции.

Показатели оценки

результата

·         определяют свойства логарифмической функции по ее графику;

·         научились строить график логарифической функции и исследовать их.

Межпредметные связи

Физика,  механика, электроника.

 

Средства

обучения

ПК, проектор, инструкционные карты.

 

Основная

литература

8. Мордкович А. Г. Алгебра и начало математического анализа. 10 – 11 классы.  В 2 ч. Ч.2. Задачник  для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). – М., 2015

 

 

 

 

 

содержание занятия

 

этапа

Этапы занятия, учебные вопросы,

формы и методы обучения

Временная

регламентация

этапа

1

Организационный этап:

3

 

— проверка готовности студентов к занятию;

 

 

— проверка посещаемости;

 

 

— сообщение темы.

 

 

 

 

2

Мотивационный момент:

2

 

— обоснование необходимости изучения данной темы

 

 

для эффективного освоения дисциплин и модулей;

 

 

— вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия

 

 

 

 

3

Актуализация опорных знаний:

10

3. 1

Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

 

3.2

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

 

3.3

Тест по теме «Функции. Область определения и область значения»

 

 

 

 

4

Изучение нового материала

20

4. 1

Исследовательская работа

 

 

 

 

5

Физминутка

45

6

Закрепление

 

6.1

Работа у доски

 

6.2

Работа с учебником

 

6. 3

Тест «Логарифмическая функция»

 

 

 

 

7

Подведение итогов занятия:

5

 

— обсуждение и оценка результатов самостоятельной работы

 рефлексия

 

 

— выставление оценок.

 

 

 

 

8

Домашнее задание:

5

 

— повторение материала

 

 

Л. 8   №  39.29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преподаватель

 

 

 

 

 

 

 

(И.О. Фамилия)

 

 

 

 

 

 

Конспект занятия № 22

Тема: Логарифмическая функция, её свойства и график

1. Оргмомент.

Девиз урока: (слайд 1)

Омар Хайам: «Расскажи мне, и я забуду,

Покажи мне, и я запомню,

Дай мне сделать самому, и я пойму»

2. Актуализация опорных знаний

— Дома вам было задано повторить основные понятия по  теме функция и логарифмы.

— Я  вам предлагаю поиграть в игру «Кот в мешке». Правила игры следующие.

Первый вопрос задаю я, тот кто на него отвечает, тот выбирает того кто отвечает на следующий вопрос.

1. Что такое функция? (Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому допустимому значению х соответствует единственное у)

2. Что такое область определения функции? (Область определения – множество всех допустимых значений аргумента (х – смотрим по оси Ох)

3. Что такое область значения функции? (Область значений – множество всех возможных значений функции (у) — смотрим по оси Оу)

4. Перечислите способы задания функций. (Аналитический, с помощью формулы; табличный; графический)

5. Что такое логарифм? (Логарифм числа b по основанию а это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b причем a > 0, a ≠ 1, b > 0)

— Молодцы.

— Переходим к следующему виду работы. Тест у вас на столе на выполнение 3 мин.

Тест по теме «Функции. Область определения и область значений»

Ответы: в1 – 12122;  в2 – 14322

Критерии оценки:

«3» — 3 балла

«4» — 4 балла

«5» — 5 балла

— Время вышло. Ручки положили. Взяли в руки карандаши и обменялись листочками. Ответы и критерии на экране. У вас 30 секунд.

— Кто получил оценку 5, 4, 3.

— За работу по карточкам ….

— Мы с вами повторили основные понятия по теме функция и по теме логарифмы.

— Кто сможет сформулировать  тему урока? (может изучать логарифмическую функцию)

— Молодцы. Тема сегодняшнего урока «Логарифмическая функция, ее свойства и график»

— Какую цель мы поставим на уроке? (Познакомимся с понятием логарифмической функции, её свойствами и графиком)

— Открываем тетради, записываем число и тему урока.

 3. Изучение нового материала.

1. Исследовательская работа

-Какую функцию вы изучали недавно? (показательную)

— Что вы о ней знаете?  (Функция вида  у=ах, где а>0 и а≠1, называют показательной функцией)

-Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции. И она имеет следующий вид:

где а — число, а>0, а1

-Что вы знаете про взаимно обратные функции? (Они симметричны относительно прямой y=x)

— И ещё? (область определения данной функции является областью значений обратной)

-Что это значит? (если график данной функции имеет точку с координатами (х;у), то график обратной ей (у;х))

— Домашним заданием у вас было построить  графики функции у= 2х  

— Логарифмическая и показательная функция – это, какие функции? (взаимно обратные)

-Как строятся графики взаимно обратных функций? (симметрично относительно прямой y=x)

Задание №1. Построить график функции в этой же системе координат: у=

Рассмотрим график функции у=  и аналогично постройте в этой же системе координат

-Проверяем.

-И так, что по цели урока мы ещё должны сегодня сделать? (Описать свойства логарифмической функции)

— По какому алгоритму мы это делаем? (слайд)

— Опишите в парах  свойства первой функции у=

— Проверяем.

— ФИ, какими свойствами обладает функция  у= ?

— Поставьте себе «+», у кого задание выполнено верно.

свойство

0 а 1                                                              

а  1.

1. Область определения

                                             R+

2. Множество значений

                                             R

3. Чётность

                          Ни четная, ни нечётная

4. Периодичность

                             непериодическая

5. Нули функции

                               у = 0 при х = 1

6. Монотонность

убывающая

возрастающая

7. Наибольшее значение

                                          нет

8. Наименьшее значение

                                           нет

9. Промежутки знакопостоянства

у 0 при 0 х1 

у 0 при х  1

у 0 при х  1

у 0 при 0 х1 

— Продолжите работу и опишите свойства функции

— Проверяем.

— Поставьте себе «+», у кого задание выполнено верно.

— Какие свойства отличаются? Как вы думаете, от чего это зависит? (От основания функции. Студенты проговаривают свойства, зависящие от основания функции).

4.Физминутка.

5. Закрепление.

1. Работа у доски.

-Скажите, как построить логарифмическую функцию не используя показательную? (С помощью таблицы значений).

 у=  (уч-ся у доски)

— Проверяем.

2. Работа с учебником.

№ 42.3 (а,б)

 

— Объясните, как при сравнении значений логарифмов, вы будете использовать свойство возрастания (убывания) функции.

Основание больше 1, значит функция возрастает.

7< 23, значит 1ое значение < 2ого значения

№ 42.8 (а,в)

     

 

 

 

 

 

3. Тест «Функции. Область определения и область значений»

1 вариант

2 вариант

Критерии оценки:

1)      2

2)       2; 4

3)      2; 3

4)      а) > ; б) <

5)      В

1)1

2)      3

3)    1; 3

4)   а) <; б) >

5)   В; С

 «3» — 3 балла

«4» — 4 балла

«5» — 5 балла

6. Домашнее задание

Конспект, Найти дополнительную информацию о логарифмической функции

«3» — № 42.3 (в,г), 42.8 (в,г)

«4» — 42. 10 (а)

«5» — 42.12 (а)

7. Итог урока. Рефлексия

— Какова была цель урока? (Рассмотреть логарифмическую функцию, её график и свойства.)

— Достигли ли вы ее? (да)

— Как вы ее достигли? (Сформулировали определение логарифмической функции, рассмотрели по уже известной схеме все свойства функции, построили её график)

— А также связь между какими функциями вы рассмотрели? (Логарифмическая и показательная функции взаимно обратны)

 

 

 

Логарифмическая функция и ее график

Логарифмической называется функция вида у = loga x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение loga x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

Это утверждение следует из того, что для любого числа b (b – действительное чсило) есть такое положительное число х, что loga x = b, т.е. уравнение loga x = b имеет корень. Такой корень существует; он равен х = аb, так как loga аb = b.

3) Логарифмическая функция у = loga x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.

Предположим, что а > 1. Докажем, что если х2 > х1 > 0, то у (х2) > у (х1), т.е. loga х2 > loga х1. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие х2 > х1 можно записать так: а loga х2loga х1. Из этого неравенства по свойству степени с основанием а > 1 следует, что loga х2 > loga х1.

Пусть 0 < а < 1. Докажем, что если х2 > х1 > 0, то loga х2 < loga х1.

Записав условие х2 > х1 в виде а loga х2 > а loga х1, получим loga х2 < loga х1, так как 0 < а < 1.

4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = loga x принимает положительные значения, а при при 0 < х < 1 – отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = loga x принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные – при х > 1.

Это следует из того, что функция у = loga x принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 0, и убывающей, если 0 < а < 1.

Отметим, что график любой логарифмической функции у = loga x проходит через точку (1; 0).

При решении уравнений часто используется теорема:

Если loga х1 = loga х2, где а > 0, а ≠ 1, х1 > 0, х2 >0, то х1 = х2.

Предположим, что х1 ≠ х2, например х> х1. Если а > 0, то из неравенства х> х1 следует, что loga х2 > loga х1; если 0 < а < 1, то из неравенства х> х1 следует, что loga х2 < loga х1. В обоих случаях получилось противоречие с условием loga х1 = loga х2. Следовательно, х1 = х2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение log5 (3х– 2) = log5 7.

Решение.

Используя доказанную теорему, получаем 3х – 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.

Ответ. х = 3.

Задача 2.

Решить неравенство log2 х < 3.

Решение.

Пользуясь тем, что 3 = log2 23 = log2 8, запишем данное неравенство так: log2 х < log2 8.

Так как функция у = log2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется при
х > 0 и х < 8.

Ответ. 0 < х < 8.

Задача 3.

Решить неравенство log1/3 х ≤ -2.

Решение.

Запишем данное неравенство таким образом: log1/3 х ≤ log1/3 9. Функция у = log1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.

Ответ. х ≥ 9.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

x\) создает эту таблицу значений

\(х\)

-3

-2

-1

0

1

2

3

\(f(x)\)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

Поскольку логарифмическая функция является обратной экспоненциальной, \(g(x)=\log_{2}(x)\) дает таблицу значений

\(х\)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

\(г(х)\)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Во второй таблице обратите внимание, что

  1. По мере увеличения входа увеличивается выход.
  2. По мере увеличения ввода выход увеличивается медленнее.
  3. Поскольку экспоненциальная функция выводит только положительные значения, логарифм может принимать только положительные значения в качестве входных данных, поэтому область определения функции журнала равна \((0, \infty)\).
  4. Поскольку экспоненциальная функция может принимать все действительные числа в качестве входных данных, логарифм может иметь любое действительное число в качестве выходного, поэтому диапазоном являются все действительные числа или \((-\infty, \infty)\).

Построив график \(g(x) = \log_{2}(x)\) по точкам в таблице, обратите внимание, что по мере того, как входные значения для \(x\) приближаются к нулю, выход функции растет очень большой в отрицательном направлении, что указывает на вертикальную асимптоту в точке \(x = 0\).{+}\), \(f(x) \стрелка вправо-\infty\)

и как \(x \стрелка вправо \infty, f(x) \стрелка вправо \infty\)

Источник: материалы в этом разделе учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3. {+}, \: y \стрелка вправо-\infty\)

Источник: материалы этого раздела учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», лицензия Creative Commons CC BY -СА 3.0 лицензия. Материал здесь основан на материале, содержащемся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум, как разрешено этой лицензией.

Графики логарифмической функции – объяснение и примеры

Определив это, логарифмическая функция y = log b  x является обратной функцией экспоненциальной функции y = b  x . Теперь мы можем перейти к построению графиков логарифмических функций, рассмотрев взаимосвязь между экспоненциальными и логарифмическими функциями.

Но прежде чем перейти к теме построения графиков логарифмических функций, важно ознакомиться со следующими терминами :

Область определения функции — это набор значений, которые вы можете подставить в функцию, чтобы получить приемлемый ответ.

Это набор значений, которые вы получаете после замены значений в домене на переменную.

Существуют три типа асимптот , а именно; вертикальный , горизонтальный и наклонный .Вертикальная асимптота — это значение x, при котором функция неограниченно растет вблизи.

Горизонтальные асимптоты — это постоянные значения, к которым f(x) приближается по мере неограниченного роста x. Наклонные асимптоты — это полиномы первой степени, к которым f (x) приближается, когда x неограниченно растет.

Как построить график логарифмических функций?

График логарифмической функции можно построить, изучив график экспоненциальной функции и поменяв местами x и y.

График экспоненциальной функции f (x) = b x или y = b x содержит следующие признаки:

  • Область определения экспоненциальной функции — действительные числа (-бесконечность, бесконечность).
  • Диапазон также состоит из положительных вещественных чисел (0, бесконечность)
  • График экспоненциальной функции обычно проходит через точку (0, 1). Это означает, что точка пересечения y находится в точке (0, 1).
  • График экспоненциальной функции f(x) = b x имеет горизонтальную асимптоту при y = 0.
  • Экспоненциальный график убывает слева направо, если 0 < b < 1, и этот случай известен как экспоненциальный разлагаться.
  • Если основание функции f(x) = b x больше 1, то ее график будет возрастать слева направо и называется экспоненциальным ростом.

Рассматривая вышеприведенные признаки по одному, мы можем аналогичным образом вывести свойства логарифмических функций следующим образом:

  • Логарифмическая функция будет иметь область определения (0, бесконечность).
  • Диапазон логарифмической функции (−бесконечность, бесконечность).
  • График логарифмической функции проходит через точку (1, 0), которая является обратной точкой (0, 1) для экспоненциальной функции.
  • График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту при x = 0.
  • График логарифмической функции будет уменьшаться слева направо, если 0 < b < 1.
  • А если основание функции больше 1, b > 1, то график будет возрастать слева направо.

Как построить график основной логарифмической функции?

Основная логарифмическая функция — это, как правило, функция без горизонтального или вертикального сдвига.

Вот шаги для создания графика основной логарифмической функции.

  • Поскольку все логарифмические функции проходят через точку (1, 0), мы находим и ставим точку в этой точке.
  • Чтобы кривая не касалась оси Y, мы рисуем асимптоту при x = 0.
  • Если основание функции больше 1, увеличивайте кривую слева направо. Точно так же, если основание меньше 1, уменьшайте кривую слева направо.

Теперь давайте рассмотрим следующие примеры:

Пример 1

Постройте график логарифмической функции f(x) = log 2 x и укажите диапазон и область определения функции.

Решение

  • Очевидно, что логарифмическая функция должна иметь область определения и диапазон значений (0, бесконечность) и (−бесконечность, бесконечность)
  • Поскольку функция f(x) = log 2 x больше, чем 1, мы будем увеличивать нашу кривую слева направо, как показано ниже.
  • Мы не можем увидеть вертикальную асимптоту при x = 0, потому что она скрыта осью y.

Пример 2

Нарисуйте график зависимости y = log 0.5 x

Решение

  • Поставьте точку в точке (1, 0). Все логарифмические кривые проходят через эту точку.
  • Нарисуйте асимптоту при x = 0.
  • Поскольку основание функции y = log 5 x меньше 1, мы будем уменьшать нашу кривую слева направо.
  • Функция y = log 5 x также будет иметь (0, бесконечность) и (−бесконечность, бесконечность) в качестве домена и диапазона.

График логарифмической функции с горизонтальным сдвигом

Логарифмические функции с горизонтальным сдвигом имеют вид f(x) = log b (x + h) или f (x) = log b ( x – h), где h = сдвиг по горизонтали. Знак горизонтального смещения определяет направление смещения. Если знак положительный, сдвиг будет отрицательным, а если знак отрицательный, сдвиг станет положительным.

Применяя сдвиг по горизонтали, свойства логарифмической функции изменяются следующим образом:

  • Точка пересечения x перемещается влево или вправо на фиксированное расстояние, равное h.
  • Вертикальная асимптота перемещается на расстояние, равное h.
  • Также изменяется домен функции.

Пример 3

Нарисуйте график функции f(x) = log 2 (x + 1) и укажите область определения и диапазон функции.

Решение

30

⟹ Домен: (- 1, Infinity)

⟹ Диапазон: (-Infinity, Infinity)

Пример 4

Графа Y = LOG 0.5 (x – 1) и укажите домен и диапазон.

Решение

⟹ Домен: (1, бесконечность)

⟹ Диапазон: (−бесконечность, бесконечность)

Как изобразить функцию по вертикали?

Логарифмическая функция с горизонтальным и вертикальным сдвигом имеет вид f(x) = log b (x) + k, где k = вертикальный сдвиг.

Сдвиг по вертикали влияет на свойства функции следующим образом:

  • Отрезок по оси x будет перемещаться вверх или вниз на фиксированное расстояние k

Пример 5 = log 3 (x – 4) и укажите диапазон и домен функции.

Решение

⟹ Область: (0, бесконечность)

⟹ Диапазон: (−бесконечность, бесконечность)

Функции с горизонтальным и вертикальным сдвигом

Функция с логарифмическим сдвигом как по горизонтали, так и по вертикали виде (x) = log b (x + h) + k, где k и h — сдвиги по вертикали и горизонтали соответственно.

Пример 6

Постройте график логарифмической функции y = log 3 (x – 2) + 1 и найдите область определения и диапазон функции.

Решение

⟹ Домен: (2, Infinity)

⟹ Диапазон: (-infinity, Infinity)

График Графики Логарифмическая функция y = log 3 (x + 2) + 1 и найти область определения и область значений функции.

Решение

⟹ Домен: (- 2, бесконечность)

⟹ Диапазон: (−бесконечность, бесконечность)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Логарифмические функции и их графики

4.2 — Логарифмические функции и их графики

Обратная экспоненциальная функция

В разделе об экспоненциальных функциях мы заявили, что экспоненциальные функции были взаимно однозначными. Один к одному функции обладали тем особым свойством, что они имеют обратные это тоже функции. И, как многие из вас говорили в классе, и я так рад, что вы помните, функции один-к-одному могут применяться к обеим частям уравнения. Они также проходят тест горизонтальной линии.

Этот раздел посвящен обратной экспоненциальной функция.Обратной экспоненциальной функцией является логарифмическая функция. Помните, что инверсия функция получается путем переключения координат x и y. Это отражает график относительно прямой y=x. Как видно из графика справа, логарифмическая кривая является отражением экспоненциальной кривой.

В таблице ниже показано, как значения x и y точек на экспоненциальной кривую можно переключать, чтобы найти координаты точек на логарифмической изгиб.

Точка на
экспоненциальной кривой
Соответствующая точка
на логарифмической кривой
(-3, 1/8) (1/8, -3)
(-2, 1/4) (1/4, -2)
(-1, 1/2) (1/2, -1)
(0, 1) (1, 0)
(1, 2) (2, 1)
(2, 4) (4, 2)
(3, 8) (8, 3)

Сравнение показательных и логарифмических функций

Давайте посмотрим на некоторые свойства из двух функций.

Стандартная форма логарифмической функции: y = log a x

Обратите внимание, если «а» в приведенном выше выражении не является нижним индексом (ниже, чем «лог»), тогда вам нужно обновить свой веб-браузер.

  Экспоненциальный Логарифмический
Функция у=а х , а>0, а≠1 у=log а х, а>0, а≠1
Домен все реалы х > 0
Диапазон г > 0 все реалы
перехват г = 1 х = 1
увеличение при > 1 при > 1
уменьшение , когда 0 < а < 1 , когда 0 < а < 1
асимптота ось x (y=0) ось Y (x=0)
непрерывный да да
гладкая да да

Рабочее определение логарифма

В экспоненциальной функции x был показателем степени. Цель обратной функции чтобы сообщить вам, какое значение x было использовано, когда вы уже знаете значение y. Итак, целью логарифм, чтобы сказать вам показатель степени.

Таким образом, наше простое определение логарифма состоит в том, что он является показателем степени.

Другой способ взглянуть на выражение «log a x» — это «в какую степень (показатель степени) нужно возвести а получить х?»

Эквивалентные формы

Логарифмическая форма уравнения y=log a x эквивалентна экспоненциальной форме x=a y .

Чтобы переписать одну форму в другую, оставьте основу прежней и поменяйте местами две другие ценности.

Свойства логарифмов

журнал a 1 = 0, потому что a 0 = 1
Независимо от базы, если она разрешена, логарифм 1 всегда равен 0. Это потому что логарифмические кривые всегда проходят через (1,0)
log a a = 1, потому что a 1 = a
Любое значение, возведенное в первую степень, такое же значение.
бревно а а х = х
Основание логарифма x и a в степени x являются обратными функциями. Всякий раз, когда инверсия функции применяются друг к другу, они инвертируются, и у вас остается в аргумент, в данном случае x.
log a x = log a y означает, что x = y
Если два бревна с одинаковым основанием равны, то аргументы должны быть равны.
log a x = log b x означает, что a = b
Если два логарифма с одним и тем же аргументом равны, то основания должны быть равны.

Обычные бревна и натуральные бревна

На вашем калькуляторе есть две кнопки логарифмирования. Один помечен как «журнал» и другой отмечен «лн». Ни в одном из них не записана база. База может быть определена, однако, взглянув на обратную функцию, которая написана над ключом и доступ осуществляется с помощью ключа 2 nd .

Десятичный логарифм (основание 10)

Когда вы видите, что «журнал» написан без основания, предположим, что основание равно 10.
То есть: log x = log 10 x.

Некоторые приложения, использующие десятичные логарифмы, относятся к pH (для измерения кислотности), децибелам. (сила звука), шкала Рихтера (землетрясения).

Интересное (возможно) примечание о рН. «Глава 50: Канализация» деревни Кодекса Форсайта требует запрещает сброс отходов с рН менее 5,5 или выше 10,5 (раздел 50.07).

Обычные журналы служат и другой цели. Каждое увеличение десятичного логарифма на 1 является результатом 10-кратного аргумента.То есть землетрясение силой 6,3 имеет 10 раз превышает величину землетрясение силой 5,3 балла. Уровень децибел громкой рок-музыки или бензопилы (115 децибел = 11,5 бел) в 10 раз громче, чем куры внутри здания (105 децибел = 10,5 бел)

Натуральные логарифмы (основание e)

Помните тот номер e , который у нас был из предыдущего раздела? Знаешь, тот, который был примерно 2,718281828 (но не повторяется и не заканчивается). Это основа естественного логарифм.

Когда вы видите написанное «ln», основание равно e .
То есть: ln x = log e x

Модели экспоненциального роста и затухания — одно из приложений, использующих натуральные логарифмы. Этот включает непрерывное накопление, радиоактивный распад (период полураспада), рост населения. Обычно приложения, в которых постоянно происходит процесс. Теперь эти приложения были первыми упоминается в экспоненциальном разделе, но вы сможете решить для других переменных участие (после раздела 4) с использованием логарифмов.

В высшей математике натуральный логарифм является предпочтительным логарифмом. Есть несколько особые свойства функции натурального логарифма и ее обратной функции, которые делают жизнь намного интереснее. проще в расчетах.

Поскольку «ln x» и « e x » являются обратными функциями друг друга, всегда, когда «ln» и «e» появляются правильно рядом друг с другом, между которыми абсолютно ничего нет (то есть, когда они составлены друг с другом), затем они инвертируются, и у вас остается Аргумент.

Справочник по логарифмической функции

Это логарифмическая функция:

f(x) = логарифм a (x)

a — любое значение больше 0, кроме 1

Свойства зависят от значения «a»

  • Когда a=1 , график не определен
  • Кроме того, есть два случая, на которые стоит обратить внимание:

a от 0 до 1
 

и выше 1
 

Пример: f(x) = log ½ (x)

 

Пример: f(x) = log 2 (x)

Для и от 0 до 1

 

Для и выше 1:

Постройте график здесь (используйте ползунок «а»)

В общем, логарифмическая функция:

  • всегда находится на положительной стороне (и никогда не пересекает) оси Y
  • всегда пересекает ось x в точке x=1 . .. другими словами, он проходит через (1,0)
  • равно 1 , когда x=a , другими словами, оно проходит через (a,1)
  • — это инъективная (однозначная) функция
  • .

Его областью определения являются положительные действительные числа: (0, +∞)

Диапазон действительных чисел:

Обратный

Таким образом, логарифмическая функция может быть «обращена» экспоненциальной функцией.

Функция натурального логарифма

Это «Натуральный» Функция логарифма:

f(x) = логарифм e (x)

Где e — «Число Эйлера» = 2.718281828459… и т. д.

Но чаще пишут так:

f(x) = ln(x)

«ln» означает «натуральное бревно»

Итак, когда вы видите ln(x), просто помните, что это логарифмическая функция с основанием e : log e (x).

 


График f(x) = ln(x)

В точке (e,1) наклон линии равен 1/e и линия касается кривой.

 

6.4 Графики логарифмических функций — Колледж алгебры

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Определите область определения логарифмической функции.
  • Графические логарифмические функции.

В разделе Графики экспоненциальных функций мы увидели, как создание графического представления экспоненциальной модели дает нам еще один уровень понимания для предсказания будущих событий. Как логарифмические графики дают нам представление о ситуациях? Поскольку каждая логарифмическая функция является обратной функцией экспоненциальной функции, мы можем думать о каждом выходе на логарифмическом графике как о входе для соответствующего обратного показательного уравнения.Другими словами, логарифмы дают причину для следствия .

Для иллюстрации предположим, что мы инвестируем 2500 долларов 2500 долларов на счет, который предлагает годовую процентную ставку 5%, 5% с постоянным начислением процентов. Мы уже знаем, что баланс нашего счета за любой год tt можно найти по уравнению A=2500e0,05t. A=2500e0,05t.

Но что, если мы хотим узнать год для любого баланса? Нам нужно будет создать соответствующую новую функцию, поменяв местами ввод и вывод; таким образом, нам нужно было бы создать логарифмическую модель для этой ситуации.Построив модель на графике, мы можем увидеть результат (год) для любого входа (баланс счета). Например, что, если бы мы захотели узнать, сколько лет потребуется, чтобы наши первоначальные инвестиции удвоились? На рис. 1 показана эта точка на логарифмическом графике.

Рисунок 1

В этом разделе мы обсудим значения, для которых определена логарифмическая функция, а затем обратим внимание на графическое изображение семейства логарифмических функций.

Нахождение области определения логарифмической функции

Прежде чем приступить к работе с графиками, рассмотрим область (набор входных значений), для которой определена логарифмическая функция.

Напомним, что экспоненциальная функция определяется как y=bxy=bx для любого действительного числа xx и константы b>0,b>0, b≠1,b≠1, где

  • Область определения yy равна (−∞, ∞).(−∞, ∞).
  • Диапазон yy равен (0,∞).(0,∞).

В предыдущем разделе мы узнали, что логарифмическая функция y=logb(x)y=logb(x) является обратной экспоненциальной функции y=bx.y=bx. Итак, как обратные функции:

  • Домен y=logb(x)y=logb(x) — это диапазон y=bx:y=bx:(0,∞).(0,∞).
  • Диапазон y=logb(x)y=logb(x) является областью значений y=bx:y=bx:(-∞,∞).(-∞,∞).

Преобразования родительской функции y=logb(x)y=logb(x) ведут себя аналогично другим функциям. Как и в случае с другими родительскими функциями, мы можем применять к родительской функции четыре типа преобразований — сдвиги, растяжения, сжатия и отражения — без потери формы.

В графах экспоненциальных функций мы видели, что определенные преобразования могут изменить диапазон y=bx. у=бх. Точно так же применение преобразований к родительской функции y=logb(x)y=logb(x) может изменить домен . Поэтому при нахождении области определения логарифмической функции важно помнить, что область определения состоит только из положительных действительных чисел . То есть аргумент логарифмической функции должен быть больше нуля.

Например, рассмотрим f(x)=log4(2x−3).f(x)=log4(2x−3). Эта функция определена для любых значений xx, таких что аргумент, в данном случае 2x−3,2x−3, больше нуля.Чтобы найти домен, составим неравенство и решим для x:x:

2x−3>0Показать аргумент больше нуля.2x>3Сложить 3.x>1,5Разделить на 2,2x−3>0Показать аргумент больше нуля .2x>3Сложить 3.x>1.5Поделить на 2.

В интервальной записи область определения f(x)=log4(2x−3)f(x)=log4(2x−3) равна (1.5,∞). (1.5,∞).

Как

Учитывая логарифмическую функцию, определите домен.

  1. Задайте неравенство, в котором аргумент больше нуля.
  2. Решите для х.х.
  3. Запишите домен в интервальной нотации.

Пример 1

Определение области логарифмического сдвига

Какова область определения f(x)=log2(x+3)?f(x)=log2(x+3)?

Решение

Логарифмическая функция определяется только при положительном входном сигнале, поэтому эта функция определяется при x+3>0.x+3>0. Решив это неравенство,

x+3>0Ввод должен быть положительным.x>−3Вычесть 3.x+3>0Ввод должен быть положительным.x>−3Вычесть 3.

Область определения f(x)=log2(x+3)f(x)=log2(x+3) равна (−3,∞). (−3,∞).

Попробуйте #1

Какова область определения f(x)=log5(x−2)+1?f(x)=log5(x−2)+1?

Пример 2

Определение области логарифмического сдвига и отражения

Какова область определения f(x)=log(5−2x)?f(x)=log(5−2x)?

Решение

Логарифмическая функция определяется только при положительном входном сигнале, поэтому эта функция определяется при 5–2x>0. 5–2x>0. Решив это неравенство,

5−2x>0Ввод должен быть положительным.−2x>−5Вычитание 5.x<52Разделение на−2и замена неравенства.5−2x>0Ввод должен быть положительным.−2x>−5Вычитание 5.x<52Разделение на−2и переключите неравенство.

Область определения f(x)=log(5−2x)f(x)=log(5−2x) равна (–∞,52).(–∞,52).

Попробуйте #2

Какова область определения f(x)=log(x−5)+2?f(x)=log(x−5)+2?

Графики логарифмических функций

Теперь, когда мы познакомились с набором значений, для которых определена логарифмическая функция, мы переходим к построению графиков логарифмических функций.Семейство логарифмических функций включает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) вместе со всеми ее преобразованиями: сдвигами, растяжениями, сжатиями и отражениями.

Начнем с родительской функции y=logb(x).y=logb(x). Поскольку каждая логарифмическая функция этой формы является обратной экспоненциальной функции с формой y=bx,y=bx, их графики будут отражениями друг друга через линию y=x. y=x. Чтобы проиллюстрировать это, мы можем наблюдать соотношение между входными и выходными значениями y=2xy=2x и его эквивалентом x=log2(y)x=log2(y) в таблице 1 .

хх −3−3 −2−2 −1−1 00 11 22 33
2х=у2х=у 1818 1414 1212 11 22 44 88
log2(y)=xlog2(y)=x −3−3 −2−2 −1−1 00 11 22 33

Таблица 1

Используя входные и выходные данные из Таблицы 1, мы можем построить еще одну таблицу для наблюдения связи между точками на графиках обратных функций f(x)=2xf(x)=2x и g(x) )=log2(x). г(х)=log2(х). См. Таблицу 2 .

f(x)=2xf(x)=2x (−3,18)(−3,18) (−2,14)(−2,14) (−1,12)(−1,12) (0,1)(0,1) (1,2)(1,2) (2,4)(2,4) (3,8)(3,8)
г(х)=log2(х)г(х)=log2(х) (18,−3)(18,−3) (14,−2)(14,−2) (12,−1)(12,−1) (1,0)(1,0) (2,1)(2,1) (4,2)(4,2) (8,3)(8,3)

Таблица 2

Как и следовало ожидать, координаты x и y меняются местами для обратных функций. На рис. 2 показан график ff и g.g.

Рисунок 2 Обратите внимание, что графики f(x)=2xf(x)=2x и g(x)=log2(x)g(x)=log2(x) являются отражением линии y=x.y=x.

На графике обратите внимание на следующее:

  • f(x)=2xf(x)=2x имеет y -пересечение в (0,1)(0,1) и g(x)=log2(x)g(x)=log2(x) имеет x — точка пересечения (1,0).(1,0).
  • Область определения f(x)=2x,f(x)=2x,(−∞,∞),(−∞,∞), такая же, как и область значений g(x)=log2(x).g (х)=log2(х).
  • Диапазон f(x)=2x,f(x)=2x,(0,∞),(0,∞) такой же, как и диапазон g(x)=log2(x).г(х)=log2(х).

Характеристики графика родительской функции, f(x)=logb(x):f(x)=logb(x):

Для любого действительного числа xx и константы b>0,b>0, b≠1,b≠1 мы можем видеть следующие характеристики на графике f(x)=logb(x):f(x)=logb (x):

  • индивидуальная функция
  • вертикальная асимптота: x=0x=0
  • домен: (0,∞)(0,∞)
  • диапазон: (−∞,∞)(−∞,∞)
  • x- точка пересечения: (1,0)(1,0) и ключевая точка (b,1)(b,1)
  • y -перехват: нет
  • увеличивается, если b>1b>1
  • уменьшается, если 0

См. рис. 3.

Рисунок 3

Рисунок 4 показывает, как изменение базы bb в f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) может повлиять на графики. Обратите внимание, что графики сжимаются по вертикали по мере увеличения значения основания. ( Примечание: напомним, что функция ln(x)ln(x) имеет основание e≈2,718.)e≈2,718.)

Рисунок 4. Графики трех логарифмических функций с разными основаниями, все больше 1.

Как

Дана логарифмическая функция вида f(x)=logb(x),f(x)=logb(x), начертите график функции.

  1. Нарисуйте и обозначьте вертикальную асимптоту x=0.x=0.
  2. Постройте точку пересечения x-, (1,0).(1,0).
  3. Нанесите ключевую точку (b,1).(b,1).
  4. Нарисуйте плавную кривую через точки.
  5. Укажите домен (0,∞),(0,∞), диапазон (−∞,∞),(−∞,∞) и вертикальную асимптоту x=0.x=0.

Пример 3

График логарифмической функции с помощью формы
f ( x ) = log b ( x ).

График f(x)=log5(x).f(x)=log5(x). Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Перед построением графика определите поведение и ключевые точки графика.

  • Поскольку b=5b=5 больше единицы, мы знаем, что функция возрастает. Левый хвост графика будет приближаться к вертикальной асимптоте x=0,x=0, а правый хвост будет медленно неограниченно возрастать.
  • Перехват x равен (1,0).(1,0).
  • Ключевая точка (5,1)(5,1) находится на графике.
  • Нарисуем и обозначим асимптоту, нанесем и обозначим точки и проведем через точки плавную кривую (см. рис. 5).

Рисунок 5

Область определения равна (0,∞),(0,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=0.x=0.

Попробуйте #3

График f(x)=log15(x).f(x)=log15(x). Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Графические преобразования логарифмических функций

Как мы упоминали в начале раздела, преобразования логарифмических графов ведут себя аналогично преобразованиям других родительских функций. Мы можем сдвигать, растягивать, сжимать и отражать родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) без потери формы.

График горизонтального смещения
f ( x ) = log b ( x )

Когда константа cc добавляется ко входу родительской функции f(x)=logb(x) ,f(x)=logb(x), результатом является сдвиг по горизонтали на cc единиц в направлении, противоположном направлению знака на cc Чтобы визуализировать горизонтальные сдвиги, мы можем наблюдать общий график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) и для c>0c>0 рядом со сдвигом влево, g(x)= logb(x+c),g(x)=logb(x+c), а сдвиг вправо h(x)=logb(x−c).ч(х)=logb(х-с). См. рис. 6.

Рисунок 6

Горизонтальные сдвиги родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x)

Для любой константы c,c функция f(x)=logb(x+c)f(x)=logb(x+c)

  • сдвигает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x ) оставленные кубические единицы, если c>0. c>0.
  • сдвигает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) вправо на куб.см, если c<0.c<0.
  • имеет вертикальную асимптоту x=-c.x=-c.
  • имеет домен (−c,∞).(−c,∞).
  • имеет диапазон (-∞, ∞).(−∞,∞).

Как

Дана логарифмическая функция в форме f(x)=logb(x+c),f(x)=logb(x+c), графически изобразить перевод.

  1. Определение смещения по горизонтали:
    1. Если c>0,c>0, сдвиг графика f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) влево на куб.см.
    2. Если c<0,c<0, сдвиг графика f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вправо на куб.см.
  2. Нарисуйте вертикальную асимптоту x=−c.x=−c.
  3. Определите три ключевых момента родительской функции.Найдите новые координаты для сдвинутых функций, вычитая cc из координаты xx.
  4. Отметьте три точки.
  5. Домен равен (−c,∞),(−c,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=−c. x=−c.

Пример 4

График горизонтального сдвига родительской функции
y = log b ( x )

Нарисуйте горизонтальное смещение f(x)=log3(x−2)f(x)=log3(x−2) вместе с его родительской функцией.Включите ключевые точки и асимптоты на графике. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Поскольку функция имеет вид f(x)=log3(x−2),f(x)=log3(x−2), мы замечаем, что x+(−2)=x–2.x+(−2)=x–2 .

Таким образом, c=-2,c=-2, поэтому c<0.c<0. Это означает, что мы сдвинем функцию f(x)=log3(x)f(x)=log3(x) вправо на 2 единицы.

Вертикальная асимптота равна x=-(-2)x=-(-2) или x=2.x=2.

Рассмотрим три ключевые точки родительской функции: (13,−1),(13,−1), (1,0),(1,0) и (3,1).(3,1).

Новые координаты находятся путем добавления 2 к координатам xx.

Пометьте точки (73,−1),(73,−1), (3,0),(3,0) и (5,1). (5,1).

Область определения (2,∞),(2,∞), диапазон значений (−∞,∞),(−∞,∞), вертикальная асимптота x=2.x=2.

Рисунок 7

Попробуйте #4

Нарисуйте график f(x)=log3(x+4)f(x)=log3(x+4) вместе с его родительской функцией. Включите ключевые точки и асимптоты на графике. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

График вертикального смещения
y = log b ( x )

Когда константа dd добавляется к родительской функции f(x)=logb(x),f(x)=logb( x), результатом является сдвиг по вертикали на dd единиц в направлении знака dd Чтобы визуализировать вертикальные сдвиги, мы можем наблюдать общий график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вместе со сдвигом вверх, g(x)=logb(x)+dg( x)=logb(x)+d и сдвиг вниз, h(x)=logb(x)−dh(x)=logb(x)−d. См. рис. 8.

Рисунок 8

Вертикальные сдвиги родительской функции y=logb(x)y=logb(x)

Для любой константы d,d функция f(x)=logb(x)+df(x)=logb(x)+d

  • сдвигает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) вверх на dd единиц, если d>0. d>0.
  • сдвигает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) вниз на dd единиц, если d<0.d<0.
  • имеет вертикальную асимптоту x=0.x=0.
  • имеет домен (0,∞).(0,∞).
  • имеет диапазон (−∞,∞).(−∞,∞).

Как

Дана логарифмическая функция в форме f(x)=logb(x)+d,f(x)=logb(x)+d, построить график перевода.

  1. Определите вертикальное смещение:
    • Если d>0,d>0, сдвинуть график f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вверх на dd единиц.
    • Если d<0,d<0, сдвиг графика f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вниз на dd единиц.
  2. Нарисуйте вертикальную асимптоту x=0.x=0.
  3. Определите три ключевых момента родительской функции. Найдите новые координаты для сдвинутых функций, добавив dd к координате yy.
  4. Отметьте три точки.
  5. Область определения равна (0,∞),(0,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=0. х=0.

Пример 5

График вертикального сдвига родительской функции
y = log b ( x )

Нарисуйте график f(x)=log3(x)−2f(x)=log3(x)−2 вместе с его родительской функцией. Включите ключевые точки и асимптоты на графике. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Поскольку функция имеет вид f(x)=log3(x)−2,f(x)=log3(x)−2, мы заметим, что d=–2.d=–2. Таким образом, d<0.d<0.

Это означает, что мы сдвинем функцию f(x)=log3(x)f(x)=log3(x) вниз на 2 единицы.

Вертикальная асимптота x=0.x=0.

Рассмотрим три ключевые точки родительской функции: (13,−1),(13,−1), (1,0),(1,0) и (3,1).(3,1).

Новые координаты находятся путем вычитания 2 из координат и .

Пометьте точки (13,−3),(13,−3), (1,−2),(1,−2) и (3,−1). (3,−1).

Область определения: (0,∞),(0,∞), диапазон: (−∞,∞),(−∞,∞), вертикальная асимптота: x=0.х=0.

Рисунок 9

Область определения равна (0,∞),(0,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=0.x=0.

Попробуйте #5

Нарисуйте график f(x)=log2(x)+2f(x)=log2(x)+2 вместе с его родительской функцией. Включите ключевые точки и асимптоты на графике. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

График растяжения и сжатия
y = log b ( x )

Когда родительская функция f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) умножается на константу a>0,a>0, результатом является вертикальное растяжение или сжатие исходного графика.Чтобы визуализировать растяжения и сжатия, мы устанавливаем a>1a>1 и наблюдаем общий график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вдоль вертикального растяжения, g(x)= alogb(x)g(x)=alogb(x) и вертикальное сжатие h(x)=1alogb(x). h(x)=1alogb(x). См. рис. 10.

Рисунок 10

Вертикальные растяжения и сжатия родительской функции y=logb(x)y=logb(x)

Для любой константы a>1,a>1 функция f(x)=alogb(x)f(x)=alogb(x)

  • растягивает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) по вертикали в aa раз, если a>1.а>1.
  • сжимает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) по вертикали с коэффициентом aa, если 0
  • имеет вертикальную асимптоту x=0.x=0.
  • имеет x -перехват (1,0).(1,0).
  • имеет домен (0,∞).(0,∞).
  • имеет диапазон (−∞,∞).(−∞,∞).

Как

Дана логарифмическая функция в виде f(x)=alogb(x),f(x)=alogb(x), a>0,a>0, начертите график перевода.

  1. Определите вертикальное растяжение или сжатие:
    • Если |a|>1,|a|>1, график f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) растягивается в aa единиц.
    • Если |a|<1,|a|<1, график f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) сжимается в aa раз единиц.
  2. Нарисуйте вертикальную асимптоту x=0.x=0.
  3. Определите три ключевых момента родительской функции. Найдите новые координаты для сдвинутых функций, умножив координаты yy на a.a.
  4. Отметьте три точки.
  5. Область определения равна (0,∞),(0,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=0.x=0.

Пример 6

График растяжения или сжатия родительской функции
y = log b ( x )

Нарисуйте график f(x)=2log4(x)f(x)=2log4(x) вместе с его родительской функцией.Включите ключевые точки и асимптоты на графике. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Поскольку функция имеет вид f(x)=2log4(x),f(x)=2log4(x), мы заметим, что a=2. a=2.

Это означает, что мы растянем функцию f(x)=log4(x)f(x)=log4(x) в 2 раза.

Вертикальная асимптота x=0.x=0.

Рассмотрим три ключевые точки родительской функции: (14,−1),(14,−1), (1,0),(1,0) и (4,1).(4,1) .

Новые координаты находятся путем умножения координат yy на 2.

Пометьте точки (14,−2),(14,−2), (1,0),(1,0) и (4,2).(4,2).

Область (0,∞),(0,∞), диапазон (-∞,∞),(-∞,∞), вертикальная асимптота x=0.x=0. См. рис. 11 .

Рисунок 11

Область определения равна (0,∞),(0,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=0.x=0.

Попробуйте #6

Нарисуйте график f(x)=12log4(x)f(x)=12log4(x) вместе с его родительской функцией. Включите ключевые точки и асимптоты на графике.Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Пример 7

Сочетание смещения и растяжения

Нарисуйте график f(x)=5log(x+2).f(x)=5log(x+2). Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Помните: то, что происходит внутри скобок, происходит первым. Сначала мы сдвинем график влево на 2 единицы, затем растянем функцию по вертикали в 5 раз, как показано на рисунке 12. Вертикальная асимптота будет сдвинута на x=−2.x=−2. Перехват x будет (−1,0).(−1,0). Областью определения будет (−2,∞).(−2,∞). Две точки помогут задать форму графика: (−1,0)(−1,0) и (8,5).(8,5). Мы выбрали x=8x=8 как x -координату одной точки графика, потому что когда x=8,x=8, x+2=10,x+2=10, основание десятичного логарифма.

Рисунок 12

Область определения равна (−2,∞),(−2,∞), диапазон равен (−∞,∞),(−∞,∞), а вертикальная асимптота равна x=−2.x=−2.

Попробуйте #7

Нарисуйте график функции f(x)=3log(x−2)+1.f(x)=3log(x−2)+1.Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Графические отражения
f ( x ) = log b ( x )

Когда родительская функция f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) умножается на -1,-1, результатом будет отражение относительно оси x . Когда вход умножается на -1,-1, результатом является отражение относительно оси y . Чтобы визуализировать отражения, мы ограничиваем b>1,b>1 и наблюдаем общий график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) вместе с отражением около x — ось, g(x)=-logb(x)g(x)=-logb(x) и отражение относительно оси y , h(x)=logb(-x).ч(х)=logb(-х).

Рисунок 13

Отражения родительской функции y=logb(x)y=logb(x)

Функция f(x)=-logb(x)f(x)=-logb(x)

  • отражает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) относительно оси x .
  • имеет домен (0, ∞), (0, ∞), диапазон (−∞, ∞), (−∞, ∞) и вертикальную асимптоту, x = 0, x = 0, которые не изменились от родительского функция.


Функция f(x)=logb(-x)f(x)=logb(-x)

  • отражает родительскую функцию y=logb(x)y=logb(x) относительно y — ось.
  • имеет домен (−∞,0).(−∞,0).
  • имеет диапазон (-∞, ∞), (-∞, ∞) и вертикальную асимптоту, x = 0, x = 0, которые не изменились по сравнению с родительской функцией.

Как

Для заданной логарифмической функции с родительской функцией f(x)=logb(x),f(x)=logb(x) начертить график перевода.

Если f(x)=-logb(x)Если f(x)=-logb(x) Если f(x)=logb(-x)Если f(x)=logb(-x)
1. Нарисуйте вертикальную асимптоту, x=0.х=0. 1. Нарисуйте вертикальную асимптоту, x=0.x=0.
2. Постройте точку пересечения x , (1,0).(1,0). 2. Постройте точку пересечения x , (1,0). (1,0).
3. Отразите график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) относительно оси x . 3. Отразите график родительской функции f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) относительно оси y .
4. Проведите плавную кривую через точки. 4. Проведите плавную кривую через точки.
5. Укажите домен (0, ∞), диапазон (−∞, ∞) и вертикальную асимптоту x=0x=0. 5. Укажите область, (-∞, 0) диапазон, (-∞, ∞) и вертикальную асимптоту x=0.x=0.

Таблица 3

Пример 8

График отражения логарифмической функции

Нарисуйте график f(x)=log(-x)f(x)=log(-x) вместе с его родительской функцией. Включите ключевые точки и асимптоты на графике.Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Решение

Перед построением графика f(x)=log(-x),f(x)=log(-x) определите поведение и ключевые точки графика.

  • Поскольку b=10b=10 больше единицы, мы знаем, что родительская функция возрастает. Поскольку входное значение умножается на -1,-1, ff является отражением родительского графика относительно оси y-. Таким образом, f(x)=log(-x)f(x)=log(-x) будет уменьшаться по мере того, как xx движется от отрицательной бесконечности к нулю, а правый хвост графика будет приближаться к вертикальной асимптоте x=0.х=0.
  • Пересечение x равно (−1,0).(−1,0).
  • Начертить и обозначить асимптоту, построить и обозначить точки и провести через точки плавную кривую.

Рисунок 14

Область значений (−∞,0),(−∞,0), диапазон значений (−∞,∞),(−∞,∞), вертикальная асимптота 0.

Попробуйте #8

График f(x)=-log(-x). f(x)=-log(-x). Укажите домен, диапазон и асимптоту.

Как

Имея логарифмическое уравнение, используйте графический калькулятор для аппроксимации решений.

  1. Нажмите [Y=] . Введите данное уравнение или уравнения логарифмирования в виде Y 1 = и, при необходимости, Y 2 = .
  2. Нажмите [GRAPH] , чтобы просмотреть графики кривых, и используйте [WINDOW] , чтобы найти соответствующий вид графиков, включая точки их пересечения.
  3. Чтобы найти значение x,x, мы вычисляем точку пересечения. Нажмите [2ND] , затем [CALC] .Выберите «пересечение» и нажмите [ENTER] три раза. Точка пересечения дает значение x, x для точки (точек) пересечения.

Пример 9

Аппроксимация решения логарифмического уравнения

Решить 4ln(x)+1=−2ln(x−1)4ln(x)+1=−2ln(x−1) графически. Округлить до тысячных.

Решение

Нажмите [Y=] и введите 4ln(x)+14ln(x)+1 рядом с Y 1 =. Затем введите −2ln(x−1)−2ln(x−1) рядом с Y 2 = .Для окна используйте значения от 0 до 5 для xx и от –10 до 10 для y.y. Нажмите [ГРАФИК] . Графики должны пересекаться где-то немного правее x=1.x=1.

Для лучшего приближения нажмите [2ND] , затем [CALC] . Выберите [5: пересечение] и нажмите [ENTER] три раза. Координата точки пересечения размером x отображается как 1,3385297. (Ваш ответ может быть другим, если вы используете другое окно или используете другое значение для Угадайте? ) Итак, с точностью до тысячной x≈1.339.х≈1,339.

Попробуйте #9

Решить 5log(x+2)=4−log(x)5log(x+2)=4−log(x) графически. Округлить до тысячных.

Обобщение переводов логарифмической функции

Теперь, когда мы поработали с каждым типом преобразования логарифмической функции, мы можем обобщить каждый из них в таблице 4, чтобы получить общее уравнение для преобразования экспоненциальной функции.

Переводы родительской функции y=logb(x)y=logb(x)
Перевод Форма
Смена
  • Горизонтально куб. см единиц влево
  • Вертикально dd единиц вверх
у=logb(х+с)+dy=logb(х+с)+d
Растяжение и сжатие
  • Растянуть, если |a|>1|a|>1
  • Сжатие, если |a|<1|a|<1
у=алогб(х)у=алогб(х)
Размышления об оси x y=-logb(x)y=-logb(x)
Поразмышлять об y — оси у=logb(-x)y=logb(-x)
Общее уравнение для всех трансляций y=alogb(x+c)+dy=alogb(x+c)+d

Таблица 4

Переводы логарифмических функций

Все преобразования родительской логарифмической функции y=logb(x),y=logb(x) имеют вид

 f(x)=alogb(x+c)+d f(x)=alogb(x+c) )+д

, где родительская функция y=logb(x),b>1,y=logb(x),b>1 равна

.
  • смещен вертикально вверх на дд единиц.
  • сдвинуты по горизонтали влево куб.см единиц.
  • , растянутый по вертикали в |a||a| если |а|>0.|а|>0.
  • сжато по вертикали в |a||a| если 0<|а|<1.0<|а|<1.
  • отражается относительно оси x-, когда a<0.a<0.

Для f(x)=log(−x),f(x)=log(−x) график родительской функции отражается относительно оси y .

Пример 10

Нахождение вертикальной асимптоты логарифмического графика

Какова вертикальная асимптота f(x)=−2log3(x+4)+5?f(x)=−2log3(x+4)+5?

Решение

Вертикальная асимптота находится в точке x=−4.х=-4.

Анализ

Коэффициент, основание и сдвиг вверх не влияют на асимптоту. Сдвиг кривой на 4 единицы влево сдвигает вертикальную асимптоту к x=−4.x=−4.

Попробуйте #10

Какова вертикальная асимптота функции f(x)=3+ln(x−1)?f(x)=3+ln(x−1)?

Пример 11

Поиск уравнения по графику

Найдите возможное уравнение десятичной логарифмической функции, изображенной на рисунке 15.

Рисунок 15

Решение

Этот график имеет вертикальную асимптоту при x=–2x=–2 и имеет вертикальное отражение.Мы еще не знаем ни вертикального смещения, ни вертикального растяжения. На данный момент мы знаем, что уравнение будет иметь вид:

f(x)=−alog(x+2)+kf(x)=−alog(x+2)+k

Получается, что график проходит через точки (–1,1)(–1,1) и (2,–1).(2,–1). Подстановка (–1,1),(–1,1),

1=−alog(−1+2)+kПодстановка (−1,1).1=−alog(1)+kArithmetic.1=klog(1 )=0,1=-alog(-1+2)+kSubstitute (-1,1).1=-alog(1)+kArithmetic.1=klog(1)=0.

Далее, подставив в (2,–1)(2,–1) ,

−1=−alog(2+2)+1Plug in (2,−1).−2=−alog(4)Арифметика.a=2log(4)Найти для a.−1=−alog(2+2)+1Подставить (2,−1).−2=−alog(4)Арифметика. a=2log(4) Решите для а.

Это дает нам уравнение f(x)=–2log(4)log(x+2)+1.f(x)=–2log(4)log(x+2)+1.

Анализ

Мы можем проверить этот ответ, сравнив значения функции в таблице 5 с точками на графике на рисунке 15. −1 0 1 2 3 ф(х)ф(х) 1 0 −0.58496 −1 −1,3219 хх 4 5 6 7 8 ф(х)ф(х) −1,5850 −1,8074 −2 −2,1699 −2,3219

Таблица 5

Попробуйте #11

Приведите уравнение натурального логарифма, изображенное на рисунке 16.

Рисунок 16

Вопросы и ответы

Можно ли определить домен и диапазон и описать конечное поведение функции, просто взглянув на график?

Да, если мы знаем, что функция является общей логарифмической функцией. Например, посмотрите на график на рисунке 16. График приближается к x=−3x=−3 (или около того) все больше и больше, поэтому x=−3x=−3 является или очень близко к вертикальной асимптоте. Он приближается справа, поэтому все точки домена указывают направо, {x|x>−3}.{х|х>−3}. Диапазон, как и для всех общих логарифмических функций, представляет собой все действительные числа. И мы можем видеть конечное поведение, потому что график идет вниз, когда идет влево, и вверх, когда идет вправо. Конечное поведение таково, что при x→−3+,f(x)→−∞x→−3+,f(x)→−∞ и при x→∞,f(x)→∞.x→∞,f (х)→∞.

6.4 Упражнения по секциям

Вербальные
1.

Обратной функцией любой логарифмической функции является экспоненциальная функция, и наоборот. Что это говорит нам о взаимосвязи между координатами точек на графиках каждого из них?

2.

Какой тип(ы) перевода(ов) влияет на диапазон логарифмической функции?

3.

Какой тип(ы) перевода(ов) влияет на область определения логарифмической функции?

4.

Рассмотрим общую логарифмическую функцию f(x)=logb(x).f(x)=logb(x). Почему хх не может быть нулем?

5.

Имеет ли график общей логарифмической функции горизонтальную асимптоту? Объяснять.

Алгебраический

Для следующих упражнений укажите домен и диапазон функции.

6.

f(x)=log3(x+4)f(x)=log3(x+4)

7.

ч(х)=ln(12−x)h(x)=ln(12−x)

8.

г(х)=log5(2x+9)−2g(x)=log5(2x+9)−2

9.

ч(х)=ln(4x+17)−5h(x)=ln(4x+17)−5

10.

f(x)=log2(12−3x)−3f(x)=log2(12−3x)−3

Для следующих упражнений укажите область определения и вертикальную асимптоту функции.

11.

f(x)=logb(x−5)f(x)=logb(x−5)

12.

г (х) = пер (3-х) г (х) = пер (3-х)

13.

f(x)=log(3x+1)f(x)=log(3x+1)

14.

f(x)=3log(-x)+2f(x)=3log(-x)+2

15.

г(х)=-ln(3x+9)−7g(x)=-ln(3x+9)−7

Для следующих упражнений укажите область определения, вертикальную асимптоту и конечное поведение функции.

16.

f(x)=ln(2−x)f(x)=ln(2−x)

17.

f(x)=log(x−37)f(x)=log(x−37)

18.

ч(х)=−log(3x−4)+3h(x)=−log(3x−4)+3

19.

г(х)=ln(2x+6)−5g(x)=ln(2x+6)−5

20.

f(x)=log3(15−5x)+6f(x)=log3(15−5x)+6

Для следующих упражнений укажите домен, диапазон и точки пересечения x и y , если они существуют.Если их нет, напишите DNE.

21.

ч(х)=log4(х-1)+1ч(х)=log4(х-1)+1

22.

f(x)=log(5x+10)+3f(x)=log(5x+10)+3

23.

г(х)=ln(-x)-2g(x)=ln(-x)-2

24.

f(x)=log2(x+2)−5f(x)=log2(x+2)−5

25.

h(x)=3ln(x)−9h(x)=3ln(x)−9

Графика

В следующих упражнениях сопоставьте каждой функции на рисунке 17 букву, соответствующую ее графику.

Рисунок 17

30.

j(x)=log25(x)j(x)=log25(x)

В следующих упражнениях сопоставьте каждой функции на рис. 18 букву, соответствующую ее графику.

Рисунок 18

31.

f(x)=log13(x)f(x)=log13(x)

33.

ч(х)=log34(х)ч(х)=log34(х)

Для следующих упражнений нарисуйте графики каждой пары функций на одной оси.

34.

f(x)=log(x)f(x)=log(x) и g(x)=10xg(x)=10x

35.

f(x)=log(x)f(x)=log(x) и g(x)=log12(x)g(x)=log12(x)

36.

f(x)=log4(x)f(x)=log4(x) и g(x)=ln(x)g(x)=ln(x)

37.

f(x)=exf(x)=ex и g(x)=ln(x)g(x)=ln(x)

В следующих упражнениях сопоставьте каждой функции на рисунке 19 букву, соответствующую ее графику.

Рисунок 19

38.

f(x)=log4(-x+2)f(x)=log4(-x+2)

39.

г(х)=-log4(х+2)г(х)=-log4(х+2)

40.

ч(х)=log4(х+2)ч(х)=log4(х+2)

Для следующих упражнений нарисуйте график указанной функции.

41.

f(x)=log2(x+2)f(x)=log2(x+2)

43.

f(x)=ln(-x)f(x)=ln(-x)

44.

г(х)=лог(4х+16)+4г(х)=лог(4х+16)+4

45.

г(х)=лог(6-3х)+1г(х)=лог(6-3х)+1

46.

h(x)=−12ln(x+1)−3h(x)=−12ln(x+1)−3

Для следующих упражнений напишите логарифмическое уравнение, соответствующее приведенному графику.

47.

Используйте y=log2(x)y=log2(x) в качестве родительской функции.

48.

Использовать f(x)=log3(x)f(x)=log3(x) в качестве родительской функции.

49.

Используйте f(x)=log4(x)f(x)=log4(x) в качестве родительской функции.

50.

Используйте f(x)=log5(x)f(x)=log5(x) в качестве родительской функции.

Технология

В следующих упражнениях используйте графический калькулятор, чтобы найти приблизительные решения для каждого уравнения.

51.

log(x-1)+2=ln(x-1)+2log(x-1)+2=ln(x-1)+2

52.

log(2x-3)+2=-log(2x-3)+5log(2x-3)+2=-log(2x-3)+5

53.

ln(x−2)=−ln(x+1)ln(x−2)=−ln(x+1)

54.

2ln(5x+1)=12ln(-5x)+12ln(5x+1)=12ln(-5x)+1

55.

13log(1−x)=log(x+1)+1313log(1−x)=log(x+1)+13

Расширения
56.

Пусть bb — любое положительное вещественное число такое, что b≠1.b≠1. Чему должен быть равен logb1logb1? Проверьте результат.

57.

Изучите и обсудите графики функций f(x)=log12(x)f(x)=log12(x) и g(x)=−log2(x).г(х)=-log2(х). На основании полученного результата сделайте предположение.

58.

Докажите предположение, сделанное в предыдущем упражнении.

59.

Какова область определения функции f(x)=ln(x+2x−4)?f(x)=ln(x+2x−4)? Обсудите результат.

60.

Используйте свойства экспонент, чтобы найти x -отрезков функции f(x)=log(x2+4x+4)f(x)=log(x2+4x+4) алгебраически. Покажите шаги решения, а затем проверьте результат, построив график функции.

логарифмических функций и их графиков

логарифмических функций и их графиков

1 -Вычисление логарифмов




2 — Оценка десятичных логарифмов

В таблице ниже показано, как значения x и y точек на экспоненциальной кривую можно переключать, чтобы найти координаты точек на логарифмической изгиб.

Точка на
экспоненциальная кривая
Соответствующий пункт
на логарифмической кривой
(-3, 1/8) (1/8, -3)
(-2, 1/4) (1/4, -2)
(-1, 1/2) (1/2, -1)
(0, 1) (1, 0)
(1, 2) (2, 1)
(2, 4) (4, 2)
(3, 8) (8, 3)

Сравнение показательных и логарифмических функций

Давайте посмотрим на некоторые свойства из двух функций.

Стандартная форма логарифмической функции: y = log a x

Обратите внимание, если «а» в приведенном выше выражении не является нижним индексом (ниже, чем «лог»), тогда вам нужно обновить свой веб-браузер.

  Экспоненциальный Логарифмический
Функция у=а х , а>0, а≠1 у=log а х, а>0, а≠1
Домен все реалы х > 0
Диапазон г > 0 все реалы
перехват г = 1 х = 1
увеличение при > 1 при > 1
уменьшение , когда 0 < а < 1 , когда 0 < а < 1
асимптота ось Y ось х
непрерывный да да
гладкая да да

Рабочее определение логарифма

В экспоненциальной функции x был показателем степени. Цель обратной функции чтобы сообщить вам, какое значение x было использовано, когда вы уже знаете значение y. Итак, целью логарифм, чтобы сказать вам показатель степени.

Таким образом, наше простое определение логарифма состоит в том, что он является показателем степени.

Другой способ взглянуть на выражение «log a x» — это «в какую степень (показатель степени) нужно возвести а получить х?»

Эквивалентные формы

Логарифмическая форма уравнения y=log a x эквивалентна экспоненциальной форме x=a y .

Чтобы переписать одну форму в другую, оставьте основу прежней и поменяйте местами две другие ценности.

Свойства логарифмов

журнал a 1 = 0, потому что a 0 = 1
Независимо от базы, если она разрешена, логарифм 1 всегда равен 0. Это потому что логарифмические кривые всегда проходят через (1,0)
log a a = 1, потому что a 1 = a
Любое значение, возведенное в первую степень, такое же значение.
бревно а а х = х
Основание логарифма x и a в степени x являются обратными функциями. Всякий раз, когда инверсия функции применяются друг к другу, они инвертируются, и у вас остается в аргумент, в данном случае x.
log a x = log a y означает, что x = y
Если два бревна с одинаковым основанием равны, то аргументы должны быть равны.
log a x = log b x означает, что a = b
Если два логарифма с одним и тем же аргументом равны, то основания должны быть равны.

3 — Оценка натуральных логарифмов



Логарифмические функции графика

В разделе об экспоненциальных функциях мы заявили, что экспоненциальные функции были взаимно однозначными. Один к одному функции обладали тем особым свойством, что они имеют обратные это тоже функции. И, как многие из вас говорили в классе, и я так рад, что вы помните, функции один-к-одному могут применяться к обеим частям уравнения. Они также проходят тест горизонтальной линии.

Этот раздел посвящен обратной экспоненциальной функция. Обратной экспоненциальной функцией является логарифмическая функция. Помните, что инверсия функция получается путем переключения координат x и y. Это отражает график относительно прямой y=x. Как видно из графика справа, логарифмическая кривая является отражением экспоненциальной кривой.

В таблице ниже показано, как значения x и y точек на экспоненциальной кривую можно переключать, чтобы найти координаты точек на логарифмической изгиб.

Точка на
экспоненциальная кривая
Соответствующий пункт
на логарифмической кривой
(-3, 1/8) (1/8, -3)
(-2, 1/4) (1/4, -2)
(-1, 1/2) (1/2, -1)
(0, 1) (1, 0)
(1, 2) (2, 1)
(2, 4) (4, 2)
(3, 8) (8, 3)





4 — Обратные экспоненциальные функции



5 — Использование преобразований в графические логарифмические функции





Содержание: College Algebra Notes


Веб-сайт Russ Frith

Основные графики и графики со сдвигом логарифмических функций: определение и примеры — видео и расшифровка урока

Flips

Первый, когда у нас отрицательный знак. Когда это произойдет, наш график перевернется либо по оси y , либо по оси x . Ось, по которой переворачивается график, зависит от того, где находится отрицательный знак. Когда отрицательный знак находится внутри аргумента логарифмической функции, график переворачивает ось y . (Мы знаем, что не можем логарифмировать отрицательное число, но если перевернуть график по оси y , все значения x изменятся на — x . Когда мы помещаем отрицательное значение в log (- x ) мы получаем log (- — x ), положительное значение, поэтому мы фактически логарифмируем положительное значение.) Итак, для функции y = log base2 (- x ) мы увидим, что наш график изменился на зеркальное отображение, когда зеркалом является ось y . Мы видим, как точка (4, 2) становится точкой (-4, 2), точка (2, 1) становится точкой (-2, 1) и так далее.

Отразите по оси Y.

Когда перед журналом стоит знак минус, мы увидим, что график становится зеркальным отображением, когда ось x является зеркалом. Итак, для функции y = — log base2 ( x ) мы видим, что график переворачивается по оси x . Мы видим, как точка (4, 2) становится точкой (4, -2), точка (2, 1) становится точкой (2, -1) и так далее.

Отразить по оси x.

Один из способов запомнить флипы — спросить себя, к какой букве ближе всего стоит отрицательный знак. Если это x , то отражение происходит по оси y , так как мы меняем стороны по оси y .Положительные значения x становятся отрицательными, а отрицательные значения x становятся положительными, таким образом переключая стороны. Если отрицательный знак не стоит рядом с x внутри аргумента, отражение происходит по оси x , поскольку это отрицательное значение изменяет вывод журнала, который становится числом на оси y . Таким образом, положительные значения и становятся отрицательными и наоборот.

Вертикальные сдвиги

Мы увидим сдвиги вверх и вниз, когда мы добавляем или вычитаем из нашей функции.

Когда мы добавим число к нашей функции, мы увидим, что наш график поднимется на столько же пробелов. Например, скажем, мы добавляем 4 к нашей функции, поэтому наша функция становится y = log base2 ( x ) + 4. Мы увидим, что наш график сдвинется вверх на 4 пробела. Думайте об этом как о добавлении 4 пробелов к каждой точке нашего исходного графика.

Сдвигаются вверх.

Если мы вычтем из нашей функции 4, мы увидим обратное.Мы увидим, как наш график сдвинется вниз на 4 пробела. Думайте об этом как о вычитании 4 из каждой точки нашего исходного графика.

Перейти вниз.

Если вы представляете себе шкалу Рихтера, вы можете представить добавление или вычитание из журнала как увеличение или уменьшение магнитуды землетрясения. Ваш график сдвинется вверх, если вы сложите, и вниз, если вы вычтете.

Горизонтальные сдвиги

Если бы мы добавили или вычли внутри аргумента журнала, наш график сместился бы вбок.0 равно 1.

На самом деле для всех журналов, когда аргумент равен 1, функция будет равна 0. Таким образом, аргумент на самом деле дает нам точку пересечения x или точку пересечения графика с осью x . Если сам аргумент равен x , то график пересекает ось x , когда x = 1.

Если мы добавим 4 к аргументу, наша функция станет такой: x + 4), то наш график пересечет ось x , когда x + 4 = 1 или когда x = -3.Мы вычли 4 из сторон, чтобы получить само по себе x . Сравнивая это с нашей исходной функцией, мы видим, что это сдвигает график на 4 пункта влево. Итак, если мы добавим к аргументу, мы сдвинем график влево на столько же пробелов.

Сдвиг влево.

Если вычесть из аргумента, то наш график сдвинется вправо на столько же пробелов. Мы можем вычислить эту точку, выяснив, когда наш аргумент будет равен 1.Итак, если мы вычтем 4, мы вычислим x — 4 = 1, чтобы найти, где наш график пересечет ось x . Мы видим, что x = 5, когда это происходит. Итак, мы видим, что наш график сместился на 4 позиции вправо.

Сдвиг вправо.

Думайте об этих типах сдвигов как о смещении места землетрясения. Вычитание из аргумента увело бы нас еще дальше от места землетрясения.График сдвинется вправо, унеся землетрясение дальше. Если мы добавим аргумент, мы приблизимся к землетрясению, и график сдвинется влево, увеличивая силу землетрясения в каждой точке.

Итоги урока

Чему мы научились? Мы узнали, что логарифмическая функция или, для краткости, логарифмическая функция записывается как f(x) = log основание b ( x ), где b — основание логарифм и x больше 0. Мы узнали, что на базовом графике логарифмической функции есть кривая. Когда мы вносим изменения в график, мы видим, как эта кривая переворачивается, движется вверх или вниз или вбок.

Каковы правила? Мы видим, как график переворачивает ось x , когда мы добавляем знак минус перед логарифмом. График переворачивает ось y , когда мы добавляем отрицательный знак к аргументу журнала. График движется вниз, когда мы вычитаем из функции, и вверх, когда мы добавляем к функции. Он перемещает столько пробелов, сколько добавляется или вычитается.Точно так же, если мы добавим к аргументу, мы увидим, что график сдвинется влево на столько же пробелов. Если мы вычтем из аргумента, мы увидим, что график сдвинется вправо на столько же пробелов.

Результаты обучения

Посмотрите этот видеоурок и увеличьте свои способности до:

  • Интерпретация сдвига или переворота на графике с помощью логарифмической функции
  • Манипуляции с логарифмической функцией для получения переворота или сдвига по вертикали или горизонтали на графике
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск