Свойства логарифмов и примеры: Свойства логарифмов и примеры решений

Posted on by alexxlab

Содержание

Свойства логарифмов и примеры решений

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Зачем в жизни нужны логарифмы?

 

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда. 

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением! 

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления. 

Круто, да?

 


Как научиться решать логарифмы?

 

Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма

и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

 

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂

 

 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение  ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число   чтобы получить  ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение  ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число  , чтобы получить число  ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:  . В общем виде он записывается так:

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

Вернёмся к  . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь   и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как   или как  .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение   можно также записать в виде  . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

Читается так: «Логарифм по основанию   от   равен  », и означает: «Чтобы получить число  , нужно число   возвести в степень  »:

Иными словами,   – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Примеры вычисления логарифмов

  1.  , так как число   нужно возвести во вторую степень, чтобы получить  .
  2. Чему равен  ? Заметим, что  , тогда  , то есть   нужно возвести в степень  , чтобы получить  .
  3. А чему равен  ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить   как   в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби:  . Значит,  .
  4. Еще пример. Чему равен  ? В какую степень надо возвести  , чтобы получить  ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно   (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит,  . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен  .
  5.  . В этом случае аргумент   равен корню основания:  . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем):  .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию   называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно:   вместо  , например:

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например,  . Видим, что это число расположено между   и  , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить  , нужно   возводить в степень больше  , но меньше  .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так:  , или даже так:  .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

 ? Легко:  .

 ?  

 ?  . И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить  , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

Примеры для самостоятельной работы

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Ответы на примеры для самостоятельной работы:

  1.  ;
  2.  , но   никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто:  ;
  3.  ;
  4.  . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому  ;
  5.  ;
  6.  . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся:  .

Кстати, ответы типа   или   можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

 

 

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться  .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что  . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили  , всегда получается  . Более того,   не существует ни для какого  . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно  ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае  :   в любой положительной степени – это  , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что  ).

При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня:  . Например,   (то есть  ), а вот   не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например,   не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение  .

Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание  , чтобы получить аргумент  . И по условию, эта степень равна  :  .

Получаем обычное квадратное уравнение:  . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна  , а произведение  . Легко подобрать, это числа   и  .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

  — верно.

  – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

 

Тогда, получив корни   и  , сразу отбросим корень  , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения  . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

 .

В первую очередь напишем ОДЗ:

 

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание  , чтобы получить аргумент  ? Во вторую. То есть:

 

Казалось бы, меньший корень равен  . Но это не так: согласно ОДЗ корень   – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень:  .

Ответ:  .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

 

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

 

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

  – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Например:  

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свой

Что такое логарифм простыми словами

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

 

  1. Что такое логарифм и как его посчитать
  2. Зачем логарифмам специальные обозначения
  3. Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
  4. 10 примеров логарифмов с решением

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:


Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Логарифмы. Свойства логарифмов | Алгебра

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

алгебра логарифмы

О равенстве  ax = N  можно сказать, что  x  — это логарифм числа  N  по основанию  a  (где  a > 0   и   a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается  log,  основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны  log.

основание логарифма

Если мы знаем, что логарифм числа  N  при основании  a  равен числу  x,  то есть:

logaN = x,

то это равенство можно написать без знака логарифма

ax = N,

где  a  — основание степени,  x  — показатель степени,  N  — степень.

Оба равенства:

logaN = x   и   ax = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a,  x  и  N:  если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами  a,  x  и  N  можно выразить ещё одним равенством:

x√ N  = a   или   a =x√ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании  a  (a > 0   и   a ≠ 1)  логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа  N  при таком же основании, как и основание степени, равна числу  N.

alogaN = N.

Возьмём логарифм числа  N  при основании  a  равный числу  q

logaN = q,  значит  aq = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа  q  равное ему выражение  logaN,  получим

alogaN = N.

Выражение  alogaN = N  называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0    и    a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

loga1 = 0,

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна  1:

a0 = 1.

Логарифм числа равного основанию равен единице.

logaa = 1,

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

logaMN = logaM + logaN ,

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

logaM = logaM — logaN ,
N

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

loga(Nα) = α logaN ,

где  N > 0.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

logaxN = logaN = 1 logaN ,
xx

где  N > 0,  x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

logax√ N = logaN = 1 logaN .
xx

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

logax√ N = logaxN = 1 logaN .
x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

logaβNα = α logaN ,
β

где  N > 0,  β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

где  N > 0.  Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

logba · logab = 1.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

logaN = logaxNx,

где  N > 0,  x ≠ 0.

Логарифмические уравнения Решения. Разбор примеров..

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения. Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:

  1. Свойства логарифмов
  2. Свойства степени
  3. Формулы сокращенного умножения
  4. Решение линейных и квадратных уравнений.

Обрати внимание в статья написана для учеников разного уровня подготовки, от ничего не знающих до супер продвинутых.

Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится. Что же такое логарифмические уравнения?

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов.

Например:

 

 

 

 

А вот уравнение   нельзя называть логарифмическим.

Я думаю, тебе вполне ясно, почему?

Верно, все потому, что   не находится внутри никакого логарифма. Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода.

Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмические уравнения. Методы решения

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями…

Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду:

 ,

а затем уже решать уравнение без логарифмов:

 

То есть правило такое:

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм   определен только тогда, когда

 

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки!

Согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!

Теперь давай потренируемся на решении 6-ти примеров, взятых из банка задач ЕГЭ, B7.

6 примеров, взятых из банка задач ЕГЭ, B7.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Давай разбираться с каждым примером по-отдельности.

Правило умножения на единицу

Пример №1

1.  

Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию  , а затем просто откинуть логарифмы.

Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:

Правило умножения на единицу!

Вот в чем его соль: я умножу   на  

 

Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:

 

Мне же нужно основание  , поэтому я возьму  , тогда

 

 

Пол дела сделано! Теперь мне нужно засунуть   внутрь логарифма. Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:

 

Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение

 

 

Но это еще не конец! Обещанная проверка:

 

 

так как  , то последнее выражение истинное, и   – на самом деле является корнем.

Запишем ответ:

 

Пример №2

2.  

Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа  :

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Зачеркиваем логарифмы:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Верно!

Пример №3

3.  

А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Все верно!

Пример №4

4.  

Опять воспользуемся волшебным правилом!

 

Если последняя выкладка была не особо понятной, то еще раз повтори свойства степеней, особенно отрицательных!

Теперь все стало ясно? Отлично, тогда убираем логарифмы:

 

 

Не забываем о проверке!

 

 

Так как

 

то снова все верно!

Правило «превращения единицы»

Пример №5

5.  

Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

Верно!

Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:

 

Использование свойств логарифма

Пример №6

6.  

Здесь у нас есть два возможных пути:

первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),

второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:

но читать я ее буду справа налево:

 

Теперь разберемся с числом

 

Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:

Что она даст в нашем случае? Так как  , то

 

Тогда левая часть уравнения примет вид:

 

 

 

 

Проверка!

 

 

 

 

 

 

Все верно!

Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили.

Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:

Формулы необходимые для решения логарифмических уравнений

Не так уж и много, правда?

Но тем не менее, эти формулы нам ЖИЗНЕННО НЕОБХОДИМЫ! Без них мы не сможем решить даже простейший пример.

Ну а далее обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями!

 

 

3 примера логарифмических уравнений, где все «не очень хорошо» с корнями!

 

  1.  
  2.  
  3.  
Пример №1

1. Решение стандартно – воспользуемся правилом умножения на 1:

 

Теперь удаляем логарифмы:

 

Перемножим крест-накрест:

 

 

 

 

Проверка  

 

Подходит!

Проверка  

 

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

Пример № 2

2.  

Тройку нашим любимым методом представим в виде

 

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов.

Пример №3

 

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в   (я напомню, что   – десятичный логарифм, или логарифм по основанию  ), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

 

теперь уберем логарифмы слева и справа:

\left( {x} -2 \right)\left( {x} -3 \right)=2

 

 

 

Проверка:  

 

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда   не является корнем.

 

 

 

так как  , то

 

Верно!

Ответ:  

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Логарифмическое уравнение с переменным основанием

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием.

До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными:   и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от  , например   и т. д.

Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается! Суди сам:

Пример №1

 

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу  :

 

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

 

Применю формулу разности квадратов:

 

 

 

 

Проверка:  

 

 

 

Верно!

 

 

 

Какой делаем вывод? Неверно! Число   не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ:  .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай

Свойства логарифмов. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
1. Логарифм произведения

Сложность: лёгкое

2
2. Логарифм частного

Сложность: лёгкое

2
3. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию

Сложность: лёгкое

2
4. Сумма логарифмов, логарифм степени

Сложность: лёгкое

3
5. Основное логарифмическое тождество (логарифм степени)

Сложность: среднее

4
6. Свойства логарифмов (степени и произведения)

Сложность: среднее

4
7. Свойства логарифмов (степени и частного)

Сложность: среднее

4
8. Логарифм степени (произведение)

Сложность: среднее

3
9. Логарифм степени (частное)

Сложность: среднее

5
10. Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество)

Сложность: среднее

7
11. Свойства логарифмов

Сложность: сложное

7
12. Свойства логарифмической функции

Сложность: среднее

2
13. Формула перехода к новому основанию (метод подстановки)

Сложность: сложное

7
14. Логарифм произведения (тригонометрическое выражение)

Сложность: сложное

7
15. Логарифм произведения

Сложность: сложное

5

логарифмических свойств

логарифмических свойств Вернуться к содержанию

Числа и их применение — Урок 17

Обзор урока
Логарифм — это показатель степени.

Обратите внимание, что вышеприведенное — это , а не , определение, просто краткое описание.

Так же, как вычитание является обратной операцией сложения, и взятие квадратного корня является обратной операцией возведения в квадрат, Возведение в степень и логарифмы являются обратными операциями.Нахождение антилог является обратной операцией нахождения журнала, как и другое название для возведения в степень. Однако исторически это было сделано в качестве таблицы поиска. Некоторая история была дана ранее и формальное определение повторяется ниже, на этот раз с ограничениями.

y = log b x тогда и только тогда, когда b y = x ,
где x > 0, b > 0 и b 1.

Как отмечено выше, основанием может быть любое положительное число (кроме 1). Тем не менее, два варианта наиболее распространены: 10 и е = 2,718281828 …. Журналы на базу 10 часто называют , общие журналы , тогда как бревна на базу и часто называют натуральными бревнами . Бревна на базы 10 и и теперь оба довольно стандартны на большинстве калькуляторов. Зачастую при взятии бревна база бывает произвольной и не нуждается быть уточненным.Однако в других случаях это необходимо и необходимо предполагается или указано.

Только на уровне средней школы, log x означает, что log 10 x .
В колледже, особенно в области математики и физики, log x означает, что log e x .
Популярное обозначение (презираемое некоторыми): ln x означает журнал e x .

Для расчета логов на другие базы, изменение базового правила ниже (# 4) должно быть использовано. Это только умножение на константу (1 / log b ).

  1. бревно б ( ху ) = бревно б х + бревно б у .
  2. бревно б ( б / у ) = бревно б х — бревно б и .
  3. log b ( x n ) = n log b x .
  4. бревно б х = бревно а х / бревно а б .

Эти четыре основных свойства все следуют непосредственно из факта, что журналы являются показателями.На словах первые три можно запомнить как: Лог продукта равен сумме журналов факторов. Лог фактора равен разнице между логами числителя и демонинатора. Лог мощности равен силе, умноженной на лог базы.

Перечислены дополнительные свойства, некоторые очевидные, некоторые не очень очевидные ниже для справки. Число 6 называется взаимной собственности .

  1. log b 1 = 0.
  2. log b b = 1.
  3. log b b 2 = 2.
  4. log b b x = x .
  5. b log b x = x .
  6. бревно a б = 1 / бревно б а .
Изобретение журналов быстро последовало изобретение правила скольжения. Правила скольжения упрощают умножение и деление путем преобразования этих операций в сложение и вычитание. Это делается путем размещения чисел на шкале, которая является логарифмической. Ниже приведены журналы некоторых маленьких целых чисел.
n log 10 n log e n
1 0.000 0,000
2 0,301 0,693
3 0,477 1,099
4 0,602 1,386
5 0,699 1,609
6 0,778 1,792
7 0,845 1,946
8 0.903 2,079
9 0,954 2,197
10 1.000 2.303

Отсюда легко проверить такие свойства как: log 10 = log 2 + log 5 и log 4 = 2 log 2. Это верно для любой базы. На самом деле полезный результат 10 3 = 1000 1024 = 2 10 можно легко увидеть как 10 log 10 2 3.

Правило скольжения ниже представлено в разобранном состоянии для облегчения резки. (Также, поместив его ниже, он будет внизу страницы 3 и будет иметь бумага за ним.) Часть выше скользит в центре части ниже и должна распечатайте, а затем вырезайте для демонстрационных целей следующим образом.

  1. Совместите левую 1 на шкале D с 2 на шкале C. Соблюдайте число выше 4 шкалы D на шкале C.Поскольку эти цифры выложены в логорифмическом масштабе, вы показали, что log 2 + log 4 = log (2 × 4) = log 8. Обведите 8. 8.0101
  2. Совместите правую 1 на шкале D с 4 на шкале C. Соблюдайте число под левым 1 на шкале C. Вы только что показали, что log 10 — log 4 = log 2.5. Обведите это 2.5.
  3. Совместите шкалу D и шкалу A. Шкала А выложена аналогично, за исключением Есть два цикла. Обратите внимание на число чуть выше 9 на шкале D.Вы только что показали, что 2 log 9 = log 9 2 = log 81. Обведите в кружок 81.
  4. Посмотрите, как шкалу K можно использовать для кубирования объектов.
  5. Обратите внимание, как шкала CI также может использоваться для деления.
Обычно есть курсор (первоначальное значение, не та мигающая на экране компьютера) присутствует, которая позволяет получить около трех знаков после запятой точности, отсюда термин , точность правила скольжения . Журналы используются в различных приложениях в науке, некоторые из наиболее общие: измерение громкости (децибел), измерение интенсивности землетрясения (Шкала Рихтера), радиоактивный распад и кислотность (pH = -log 10 [H + ]).Они необходимы в математике для решения некоторых задач экспоненциального типа.

Следующее, интересная проблема, которая связывает квадратную формулу, логарифмы и показатели вместе очень аккуратно. Бревно

(2 х + 2) + бревно х — бревно (12) = 0 Упростите логарифмы, комбинируя их.
log (2 x 2 + 2 x ) — log (12) = 0
log (( 2x 2 + 2x ) / 12) = 0
После деления на 2 возведите в степень обе стороны (основание b произвольно, так как это не было указано выше)!
( x 2 + x ) / 6 = b 0
( x 2 + x ) / 6 = 1
x 2 + x = 6
x 2 + x — 6 = 0
( x + 3) ( x — 2) = 0 x {-3,2}

Пробел, поэтому при печати с помощью Mozilla (ой, без ящиков) он находится сзади правила слайда.

Однако х -3 так как домен журнала только положительные реалы. ( b x никогда не может быть отрицательным числом с (> 0).

Следующий пример (6.11 # 51) объединяет логарифмы с уравнениями одновременности. Это тоже очень удобно ввести понятие подстановки, которое так полезно в исчислении.

журнал 9 x + журнал и 8 = 2.
log x 9 + log 8 y = 8/3.

Пусть u = log 9 x и v = log 8 y . По взаимному свойству выше, 1 / u = бревно x 9 и 1 / v = бревно 8.

Теперь мы можем переписать наши уравнения как:

u + 1/ v = 2
1/ и + v = 8/3 Решение подстановкой, u = 2 — 1/ v , таким образом: 1 / (2 — 1/ против ) + против = 8/3.
3 (1 + 2 против — 1) = 8 (2 — 1/ против )
6 v 2 = 16 v — 8.
6 v 2 — 16 v + 8 = 0.
3 v 2 — 8 v + 4 = 0.
Для этого мы применяем квадратную формулу и находим, что
v = (8 ± (64 — 48)) / 6.
= (8 ± 4) / 6 или 2, 2/3.
Таким образом, и = 3/2 или 1/2 или ( или , или ) = {(3/2, 2), (1/2, 2/3)}
Таким образом ( x , и ) = {(27, 64), (3, 4)} ,

свойств логарифмов

Свойства логарифмов

Содержание: Эта страница соответствует § 4.3 (стр. 341) текста.

Предлагаемые проблемы из текста:

р. 345 # 3, 7, 9, 11, 13, 25, 27, 33, 35, 45, 49, 53, 91

Смена базы

Свойства логарифмов

Смена базы

В то время как большинство научных калькуляторов имеют кнопки только для общего логарифма и натурального логарифма, другие Логарифмы могут быть оценены с помощью следующей формулы изменения базы.

Формула смены базы

Пример 1 .

Evaluate log 5 3. Формула изменения базы позволяет нам оценить это выражение, используя любые другие логарифм, поэтому мы решим эту проблему двумя способами, используя сначала натуральный логарифм, а затем общий логарифм.

натуральный логарифм:

Обычный логарифм:

Упражнение 1 :

Из логарифмического тождества 1 следует, что log 2 8 = 3.

(a) Используйте калькулятор и формулу изменения базы с натуральным логарифмом, чтобы проверить, что log 2 8 = 3.

(b) Используйте калькулятор и формулу изменения базы с общим логарифмом, чтобы проверить, что log 2 8 = 3.

Ответ

Упражнение 2 :

Из логарифмического тождества 2 следует, что. Проверьте это, оценив log 4 7, затем подняв 4 до этой степени.

Ответ

Вернуться к содержанию

Свойства логарифмов

1. log a (uv) = log a u + log a v 1. ln (uv) = ln u + ln v
2. log a (u / v) = log a u — log a v 2. ln (u / v) = ln u — ln v
3.log a u n = log a u 3. = =

Свойства слева для любой базы а.

Свойства справа являются повторением общих свойств для натурального логарифма.

Многие логарифмические выражения могут быть переписаны, либо расширены, либо сжаты, используя три свойства, описанные выше. Расширение разбивает сложное выражение на более простые компоненты.Конденсация это обратное обработать.

Пример 2 .

Расширение выражения.

 переписать с использованием экспоненциальной записи
имущество 3
собственность 1

Пример 3 .

Расширение выражения.

 собственность 2
собственность 1
имущество 3

Пример 4 .

Уплотнение выражения.

 имущество 3
собственность 1
собственность 2

Распространенные ошибки

  • Логарифмы разбивают продукты на суммы по свойству 1, но логарифма суммы нельзя переписать .Для Например, мы ничего не можем сделать с выражением ln (x 2 + 1).
  • log u — log v равно log (u / v) по свойству 2, не равно log u / log v.

Упражнение 3 :

(а) Разверните выражение. Ответ

(b) Уплотнить выражение 3 log x + 2 log y — (1/2) log z. Ответ

Вернуться к содержанию

,

логарифм | Правила, примеры и формулы

Логарифм , показатель степени или степень, до которой нужно поднять базу, чтобы получить заданное число. Математически, x — это логарифм n к основанию b , если b x = n , в этом случае записывается x = log b n Например, 2 , 3 = 8; следовательно, 3 — это логарифм от 8 до основания 2, или 3 = log 2 8.Таким же образом, поскольку 10 2 = 100, то 2 = log 10 100. Логарифмы последнего вида (то есть логарифмы с основанием 10) называются общими, или бриггсовы, логарифмами и записываются просто как log . N .

Логарифмы, изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, значительно сократили время, необходимое для умножения чисел на множество цифр. Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений.Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.71828 и письменным номером n ) по-прежнему остается одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Свойства логарифмов

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, которые упростили долгие, утомительные вычисления. В частности, ученые могли найти произведение двух чисел м и n , посмотрев логарифм каждого числа в специальной таблице, сложив логарифмы, а затем снова сверившись с таблицей, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известно как его антилогарифм).Выраженная в терминах обычных логарифмов, эта взаимосвязь задается как log m n = log m + log n . Например, 100 × 1000 можно рассчитать, просмотрев логарифмы 100 (2) и 1000 (3), сложив логарифмы (5) и затем найдя его антилогарифм (100 000) в таблице. Аналогично, задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log m / n = log m — log n .Это еще не все; Расчет степеней и корней может быть упрощен с использованием логарифмов. Логарифмы также могут быть преобразованы между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 не может использоваться в качестве основания, поскольку все его степени равны 1), как показано в таблице логарифмических законов.

В логарифмические таблицы обычно включались только логарифмы для чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа вне этого диапазона, число сначала было записано в научной нотации как произведение его значащих цифр и его экспоненциальной мощности — например, 358 будет записано как 3.58 × 10 2 и 0,0046 будет записано как 4,6 × 10 −3 . Затем в таблице будет найден логарифм значащих цифр — десятичная дробь от 0 до 1, известная как мантисса. Например, чтобы найти логарифм 358, можно посмотреть журнал 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. В примере числа с отрицательным показателем степени, такого как 0,0046, можно посмотреть журнал 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 года с вашей подпиской. Подпишитесь сегодня

История логарифмов

Изобретение логарифмов было предопределено сравнением арифметических и геометрических последовательностей. В геометрической последовательности каждый член образует постоянное соотношение со своим преемником; например, … 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет общее отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается константой, известной как общая разница; например, … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет общую разницу 1.Обратите внимание, что геометрическая последовательность может быть записана в терминах ее общего отношения; для примера геометрической последовательности, приведенной выше: … 10 −3 , 10 -2 , 10 -1 , 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 …. Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равно суммированию соответствующих показателей общего отношения -1 и 2, чтобы получить 10 1 = 10. Таким образом, умножение преобразуется в сложение. Однако первоначальное сравнение между двумя сериями не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи; это было последующее развитие.В 1620 году в Праге швейцарским математиком Йостом Бурги была опубликована первая таблица, основанная на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Напье опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его целью было помочь в умножении величин, которые тогда назывались синусами. Весь синус представлял собой значение стороны прямоугольного треугольника с большой гипотенузой. (Первоначальный гипотенуза Напира был 10 7 .) Его определение было дано в терминах относительных показателей.

Следовательно, логарифм любого синуса — это число, очень сильно выражающее линию, которая одинаково увеличилась за меньшее время, в то время как линия полного синуса пропорционально уменьшилась в этот синус, причем оба движения равны по времени, а начало одинаково смещено.

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бриггсом Нейпир привел свой логарифм в его современную форму. Для наперианского логарифма сравнение будет происходить между точками, движущимися по градуированной прямой линии, точка L (для логарифма), движущаяся равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, точка X (для синуса), перемещающаяся от нуля до бесконечность со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от нуля.Кроме того, L равен нулю, когда X равен единице, и их скорость в этой точке равна. Суть открытия Нейпира состоит в том, что это представляет собой обобщение отношения между арифметическим и геометрическим рядами; то есть умножение и возведение в степень значений точки X соответствуют сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничивать движение L и X требованием, что L = 1 при X = 10, в дополнение к условию, что X = 1 при L = 0.Это изменение произвело бриггианский, или обычный, логарифм.

Нейпир умер в 1617 году, и Бриггс продолжил в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанную до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. В 1628 году голландский издатель Adriaan Vlacq выпустил таблицу из 10 мест для значений от 1 до 100 000, добавив недостающие 70 000 значений. И Бриггс, и Влак занимались созданием тригонометрических таблиц. Такие ранние столы были либо до одной сотой градуса, либо до одной минуты дуги.В 18 веке таблицы были опубликованы с 10-секундными интервалами, что было удобно для таблиц с семью десятичными знаками. Как правило, более мелкие интервалы требуются для вычисления логарифмических функций меньших чисел — например, при вычислении функций log sin x и log tan x .

Наличие логарифмов значительно повлияло на форму плоской и сферической тригонометрии. Процедуры тригонометрии были переделаны для получения формул, в которых операции, зависящие от логарифмов, выполняются одновременно.Обращение к таблицам тогда состояло только из двух этапов, получения логарифмов и, после выполнения вычислений с логарифмами, получения антилогарифмов.

Фрэнсис Дж. Мюррей

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

,

Работа с экспонентами и логарифмами

Что такое экспонента?

Показатель числа говорит , сколько раз
использование число в умножении.

В этом примере: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

(2 используется 3 раза в умножении для получения 8)

Что такое логарифм?

Логарифм идет другим путем.

Он задает вопрос «какой показатель произвел это?»:

И отвечает на это так:

В этом примере:

  • экспонента берет 2 и 3 и дает 8 (2, используется 3 раза в умножении, составляет 8)
  • Логарифм принимает 2 и 8 и дает 3 (2 делает 8, когда используется 3 раза в умножении)

Логарифм говорит , сколько одного числа нужно умножить, чтобы получить другое число

Таким образом, логарифм фактически дает вам показатель в качестве ответа :

(также посмотрите, как связаны экспоненты, корни и логарифмы.)

Совместная работа

Экспоненты и логарифмы хорошо работают вместе, потому что они «отменяют» друг друга (при условии, что основание «а» одинаково):

Это «Обратные функции»

Выполнение одного, а затем другого возвращает вас туда, откуда вы начали:

Делая x , затем log возвращает вам x снова: Выполнение log , затем x возвращает x снова:

Жаль, что они написаны так по-разному … это заставляет вещи выглядеть странно. Таким образом, это может помочь воспринимать x как «вверх» и записывать как (x) как «вниз»:

идет вверх, затем вниз, возвращает вас снова: вниз (вверх (x)) = x

идет вниз, затем вверх, возвращает вас снова: вверх (вниз (х)) = х

Во всяком случае, важно то, что:

Логарифмическая функция «отменяется» экспоненциальной функцией.

(и наоборот)

Как в этом примере:

Пример: что такое x в журнале 3 (x) = 5

Начать с: log 3 (x) = 5

Мы хотим «отменить» журнал 3 , чтобы мы могли получить «x =»

Используйте экспоненциальную функцию (с обеих сторон): И мы знаем, что так: х = 3 5

Ответ: х = 243

А также:

Пример: Вычислите y в y = log 4 (1/4)

Начните с: y = log 4 (1/4)

Используйте экспоненциальную функцию с обеих сторон:

Упростить: 4 y = 1/4

Теперь простой трюк: 1/4 = 4 -1

Итак: 4 у = 4 -1

И так: у = -1

Свойства логарифмов

Одной из сильных сторон логарифмов является то, что они могут превратить умножение в сложение .

Бревно

а а (м × н) = бревно а м + бревно а н

«Журнал умножения является суммой бревен»

Почему это правда? Смотрите сноску.

Используя это свойство и законы экспонент, мы получаем следующие полезные свойства:

бревно а (м × н) = бревно а м + бревно а н лог умножения является суммой логов
бревно а (м / н) = бревно а м — бревно а н журнал деления является разница журналов
log a (1 / n) = −log a n это просто следует из предыдущего правила «деления», потому что log a (1) = 0
бревно а (м р ) = r (бревно а м) бревно м с показателем в три раза больше бревна м

Помните: база «а» всегда одна и та же!

История: Логарифмы были очень полезны до изобретения калькуляторов… Например, вместо умножения двух больших чисел, используя логарифмы, вы можете превратить его в сложение (намного проще!)

И были книги, полные таблиц логарифма, чтобы помочь.

Давайте повеселимся, используя свойства:

Пример: Упростить log a ((x 2 +1) 4 √x)

Начать с: log a ((x 2 +1) 4 √x)

Используйте log a (mn) = log a m + log a n : log a ((x 2 +1) 4 ) + log a (√x)

Использование log a (m r ) = r (log a m) : 4 log a (x 2 +1) + log a (√x)

Также √x = x ½ : 4 бревна a (x 2 +1) + бревно a (x ½ )

Использовать log a (m r ) = r (log a m) еще раз : 4 log a (x 2 +1) + ½ log a (x)

Это настолько, насколько мы можем упростить это… мы ничего не можем сделать с бревнами и (х 2 +1).

Ответ: 4 log a (x 2 +1) + ½ log a (x)

Примечание: не существует правила для обработки журнала a (m + n) или журнала (m-n)

Мы также можем применять правила логарифма «назад» для объединения логарифмов:

Пример: превратить это в один логарифм: бревно a (5) + бревно a (x) — бревно a (2)

Начать с: журнал а (5) + журнал а (х) — журнал а (2)

Использование бревно a (mn) = бревно a м + бревно a n : бревно a (5x) — бревно a (2)

Использование log a (m / n) = log a m — log a n : log a (5x / 2)

Ответ: журнал а (5x / 2)

натуральный логарифм и натуральные экспоненциальные функции

Когда база составляет e («число Эйлера» = 2.718281828459 …) получаем:

  • натуральный логарифм log e (x) , который чаще пишется как ln (x)
  • Натуральная экспоненциальная функция e x

И та же самая идея, что один может «отменить» другого, все еще верна:

ln (e x ) = x

e (ln x) = x

А вот и их графики:

натуральный логарифм

Натуральная экспоненциальная функция

График f (x) = ln (x)

График f (x) = e x

Проходит через (1,0) и (е, 1)

Проходит через (0,1) и (1, е)

Это с одинаковой кривой с осью х и осью с перевернутым .

Это еще одна вещь, чтобы показать вам, что они обратные функции.

На калькуляторе натуральный логарифм — кнопка «ln».

Всегда старайтесь использовать натуральные логарифмы и натуральную экспоненциальную функцию, когда это возможно.

Общий логарифм

Когда база составляет 10 , вы получаете:

  • Общий логарифм log 10 (x) , который иногда записывается как log (x)

Инженеры любят его использовать, но он мало используется в математике.

На калькуляторе общий логарифм — кнопка «log».

Это удобно, потому что оно говорит вам, насколько «большое» число в десятичном виде (сколько раз вам нужно использовать 10 в умножении).

Пример: Расчет лога 10 100

Ну, 10 × 10 = 100, поэтому, когда 10 используется 2 раз в умножении, вы получите 100:

log 10 100 = 2

Аналогично бревно 10 1000 = 3, бревно 10 10 000 = 4 и т. Д.

Пример: расчет лога 10 369

ОК, лучше всего использовать кнопку «Журнал» моего калькулятора:

log 10 369 = 2,567 …

Смена базы

Что если мы хотим изменить основание логарифма?

Легко! Просто используйте эту формулу:

«х идет вверх, а идет вниз»

Или, иначе говоря, log b a подобен «коэффициенту пересчета» (та же формула, что и выше):

Итак, теперь мы можем конвертировать из любой базы в любую другую базу.

Другое полезное свойство:

Видите, как «х» и «а» меняются местами?

Пример: Рассчитать 1 / log 8 2

1 / журнал 8 2 = журнал 2 8

И 2 ​​× 2 × 2 = 8, поэтому, когда 2 используется 3 раз при умножении, вы получаете 8:

1 / log 8 2 = log 2 8 = 3

Но мы чаще используем натуральный логарифм, поэтому стоит запомнить:

Пример: расчет лога 4 22

В моем калькуляторе нет кнопки « log 4 «…

… но у нее есть кнопка « ln «, поэтому мы можем использовать ее:

,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *