Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

      Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа   a   называют неотрицательное число   | a | ,   которое определяется по формуле:

      Так, например,

| 5 | = 5,     | – 2 | = 2,    
| 0 | = 0.

Свойства модуля

      Если   x   и   y   – действительные числа, то справедливы равенства:

      Кроме того, справедливо соотношение:

      В то же время справедливы неравенства:

График функции   y = | x |

      График функции   y = | x |    имеет следующий вид:

Простейшее уравнение с модулем

      Рассмотрим простейшее уравнение с модулем, имеющее вид:

| f (x) | = g(x) .

      Поскольку

то данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:

      Для решения исходного уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы.

      Замечание. Решение неравенств с модулями осуществляется аналогично.

      Желающим более глубоко освоить тему «Модули», мы рекомендуем изучить наши учебные пособия: «Уравнения и неравенства с модулями» и «Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа — это само число , если , и противоположное число , если .

   

Свойства модуля

1. ,

.

2. .

3. — это расстояние между точками и на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что .

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

   

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить на , — на , а затем — на , а — на .

2.

   

Модуль непрерывности — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Для любой функции f{\displaystyle f}, определённой на множестве E{\displaystyle E}, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ωf(δ){\displaystyle \omega _{f}(\delta )}. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

ωf(δ)=sup{|f(x1)−f(x2)|:(x1,x2∈E)∧|x1−x2|<δ},{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},}

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из E{\displaystyle E} длиной меньше δ{\displaystyle \delta }. Также в литературе встречаются другие обозначения: ω(f,δ){\displaystyle \omega (f,\;\delta )} и (реже) ω(δ,f){\displaystyle \omega (\delta ,\;f)}.

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом δ{\displaystyle \delta } она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если E{\displaystyle E} выпукло:

  ωf(δ1+δ2)⩽ωf(δ1)+ωf(δ2).{\displaystyle \omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2}).}

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  ωf(0)=def0.{\displaystyle \omega _{f}(0){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}0.}

• Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция f{\displaystyle f} определена на отрезке [a,b]{\displaystyle [a,\;b]} и непрерывна на нём, то limδ→0+ωf(δ)=0{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0}, и наоборот. Данный предел обозначается также ωf(0+){\displaystyle \omega _{f}(0+)}.
• Если f(x){\displaystyle f(x)} непрерывна на [a,b]{\displaystyle [a,\;b]}, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0,b−a]{\displaystyle [0,\;b-a]}.

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

Модули непрерывности высших порядков[править | править код]

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции f{\displaystyle f}.

ωf(δ)=sup{|Δh2(f,x)|:(x∈E)∧|h|<δ}.{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h|<\delta \}.}

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка n{\displaystyle n}, то получим определение модуля непрерывности порядка n{\displaystyle n}. Обычное обозначение для таких модулей — ωn(f,δ){\displaystyle \omega _{n}(f,\;\delta )}.

Свойства[править | править код]

• Если k{\displaystyle k} — целое число, то ωn(f,kδ)⩽knωn(f,δ).{\displaystyle \omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).}

Неклассические модули непрерывности[править | править код]

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

Дать определение модуля комплексного числа. Доказать свойства модуля.

Определение.Комплексным числомz=x+iy называется упорядоченная пара действительных чисел : .

Действительные числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются:

Определение.Вещественное неотрицательное число:

называют модулем комплексного числа .

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1) и . Т.е. модульпроизведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояниемеждуточками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел:

;

3) ;

4) ;

Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где и ,

т.е. .

Таким образом, равенства

и есть тригонометрическаяформа записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

Противоположные числа на комплекснойплоскости изображаютсяточками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть

. Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда

и по формуле (12) имеем:

. (14)

С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовыекоординаты , а и искомое расстояниемежду ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплекснойплоскости точки

, и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

рис.6.

Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и

равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .

Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.

Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда

треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.