Свойства вписанной в трапецию окружности: В трапецию вписана окружность

Содержание

Свойства прямоугольной трапеции

В данной статье мы расскажем Вам о свойствах прямоугольной трапеции, как обычной, так и той, в которую вписана окружность.

Для начала напомним некоторые основные определения.

Трапеция – это четырехугольник, имеющий 2 параллельные друг другу стороны, причем 2 другие стороны параллельными не являются.

Прямоугольная трапеция — это такая трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна ее основаниям (изображена на рис.).

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон фигуры (на рис. EF).

Основные свойства прямоугольной трапеции

  1. Средняя линия EF равна половине суммы ее оснований BC и AD.

  2. Средняя линия EF параллельна основаниям трапеции BC и AD.
  3. На одной прямой размещаются:

    • точка пересечения (H) диагоналей прямоугольной трапеции
      AC
      и BD;
    • точка пересечения (E) продолжений боковых сторон трапеции AB и CD;
    • середины (F и G) оснований трапеции BC и AD.
    Данным свойством обладает как прямоугольная, так и равносторонняя трапеция.

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность

  1. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, это значит, что сумма ее оснований и сумма ее боковых сторон равны.
  2. Площадь трапеции ABCD можно найти, перемножив длины ее оснований BC и AD.
    S
    ABCD = BC * AD
  3. Четырехугольник, вершинами которого являются центр вписанной окружности (O), одна из вершин трапеции (A или B), а также точки 2 касания (M и E или M и К), является квадратом.

Узнать подробнее о свойствах трапеции с прямым углом, в которую вписана окружность, а также ознакомиться с доказательствами этих свойств, можно на сайте uznateshe.ru.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Скорее всего, Вам будет интересно:

Трапеция и ее свойства — презентация онлайн

1.

Трапеция и ее свойства. Работу выполнила учитель математики
Снегурова А.М.
МБОУ СОШ №5 г-к АНАПА.
Тот, кто учится самостоятельно, достигнет в семь раз
больше того, кому все разъясняется.
Артур Гитерман.

2. Элементы трапеции

• Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две стороны не параллельны.
• Элементы трапеции:
• Основания трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины
боковых сторон.
• Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий
середины оснований.
• Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие
противоположные вершины трапеции.
• Высота трапеции — это расстояние между
основаниями .
a — нижнее основание
b — верхнее основание
α, β — углы между
диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия трапеции
S — площадь трапеции
d1 , d2 — диагонали трапеции

4.

Сумма углов при каждой боковой стороне равна 1800 • ∠1+∠2=180​∘
• ∠3+∠4=180∘

5. Биссектриса любого угла отсекает на ее основании (или на ее продолжении)отрезок, равный боковой стороне.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции
пересекаются под прямым углом.

6. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

a
b
m=
=

7. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок, соединяющий середины оснований равен их

полуразности:
В
А
М
С
K
D

8. Средняя линия

9. Линия, проходящая через точку пересечения диагоналей

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через
точку пересечения диагоналей, делится последней пополам
и равен среднему гармоническому длин оснований
трапеции (формула Буракова).
MN =
a
N
M
b

10. Линия, делящая площадь трапеции на равновеликие части

В трапеции с перпендикулярными
диагоналями:
если BF = FC и AH = HD
FH=
=
=
Если провести отрезок, концы которого лежат
на основаниях трапеции и проходящий через
точку пересечения диагоналей трапеции ,то
соотношение составляющих его отрезков от
стороны основания до точки пересечения
диагоналей будет равно соотношению
оснований трапеции. Это справедливо и для
диагоналей и для высоты.
А площадь такой трапеции равна квадрату
высоты :
2
SABCD = h

12. В равнобедренной трапеции равны не только боковые стороны, но и диагонали: AC = BD

h=m
Если в равнобедренной трапеции диагонали
перпендикулярны, то средняя линия равна высоте
трапеции.

13. В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

В любой трапеции следующие четыре точки
лежат на одной прямой:
1) E – точка пересечения продолжений боковых
сторон;
2)F и H – середины оснований;
3) G – точка пересечения диагоналей.
Если продлить стороны трапеции в сторону
меньшего основания, то точка пересечения
сторон будет совпадать с прямой линией,
которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть
достроена до треугольника.
При этом:
Треугольники, образованные основаниями
трапеции с общей вершиной в точке пересечения
продленных боковых сторон являются
подобными.
Прямая, соединяющая середины оснований
трапеции, является, одновременно, медианой
построенного треугольника

15. Высота, проведенная из вершины тупого угла в равнобокой трапеции делит большее основание на два отрезка:

16. Треугольники, образованные основаниями и диагоналями, подобны. Их коэффициент подобия k равен отношению большего основания к

меньшему
снованию трапеции.

17. Если в произвольной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность:  a+b = c+d

Если в произвольной трапеции сумма
оснований равна сумме боковых сторон, то в
нее можно вписать окружность:
a+b = c+d
C
B
Диаметр вписанной в трапецию
окружности равен высоте трапеции,
радиус — половине высоты:
h
A
D
d=h или
r=
Если в трапецию можно вписать окружность, то квадрат
высоты равен произведению оснований
h3 = BC · AD

18.   Площадь трапеции равна отношению квадрата радиуса вписанной окружности умноженное на четыре и синуса острого угла между

Площадь трапеции равна отношению квадрата радиуса
вписанной окружности умноженное на четыре и синуса
острого угла между боковой стороной и основанием
S
=
4r2
Sin α

19.

В трапецию можно вписать окружность, если: • сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований:
AB + CD = BC + AD;
• трапеция равнобедренная;
• боковая сторона трапеции видна из центра вписанной
окружности под прямым углом.

20. Формулы в помощь:

*Cредняя линия через площадь и высоту:
*Высота через площадь и длины оснований:
*Высота через площадь и длину средней линии:
*Площадь через среднюю линию и высоту S= h·m
*В равнобедренной трапеции длина диагонали равна d =
где с – боковая сторона, a и b – основания
или
d=
*Длина основания через среднюю линию и другое основание
a = 2m — b и b = 2m — a

21. Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка  (принято

Описанная окру́жность многоугольника —
окружность, содержащая все вершины
многоугольника.
Центром является точка (принято обозначать {O})
пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам многоугольника.

• Радиус окружности, описанной около трапеции, можно
найти как радиус окружности, описанной около из одного
из двух треугольников, на которые трапецию делит ее
диагональ.
• Где находится центр окружности, описанной около
трапеции? Это зависит от угла между диагональю
трапеции и ее боковой стороной.

22. Окружность, описанная около трапеции. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его

противолежащих углов равна
180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно
только равнобокую трапецию.
Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных
перпендикуляров с сторонам трапеции.
Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой
стороне, то центр окружности, описанной около
трапеции, лежит на середине ее большего основания.
Радиус описанной около трапеции окружности в этом
случае равен половине ее большего основания:

Трапеция вписанная и описанная окружность.

Запоминаем и применяем свойства трапеции ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

    Определения 3

    Свойства равнобедренной трапеции 4

    Вписанные и описанные окружности 7

    Свойства вписанных и описанных трапеций 8

    Средние величины в трапеции 12

    Свойства произвольной трапеции 15

    Признаки трапеции 18

    Дополнительные построения в трапеции 20

    Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

    Доказательства некоторых свойств трапеции 27

    Задачи для самостоятельных работ

    Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

    Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

    Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции



3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4



1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.



3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то


сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



    Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.


1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое






    В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :



b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.



2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.



3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

    Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.



5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 d 2 2 = a 2 b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.


9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции


8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований


7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.


9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


    Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

    Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

    Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

    Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

    Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

    Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому


(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

    В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

    Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN

M

x

B

C

Y

C ~ ∆NKD → →

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. \circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


Доказательство*

1) Докажем параллельность.


Проведем через точку \(M\) прямую \(MN»\parallel AD\) (\(N»\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N»\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\) .


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) — середины отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Значит, \(MM»\) – средняя линия \(\triangle ABB»\) , \(NN»\) — средняя линия \(\triangle DCC»\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Значит, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Правильная трапеция свойства. Свойства трапеции, описанной около окружности: формулы и теоремы

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.


Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

Добрый вечер! Ох уж эти описанные, или вписанные окружности, геометрические фигуры. Так сложно запутаться. что да когда.

Давайте попробуем разобраться для начала с формулировкой. Нам дана окружность описанная около . Иными словами — данная трапеция вписана в окружность.

Давайте вспомним, что описать окружность мы можем только вокруг . А равнобедренная трапеция в свою очередь — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Давайте попробуем решить задачку. Нам известно, что основания равнобедренной трапеции ADCB равны 6 (DC) и 4 (AB). А радиус описанной окружности равен 4. Нужно найдите высоту трапеции FK.

FK — высота трапеции. её нам нужно найти, но перед этим вспомним, что точка О — это центр окружности. А ОС, ОD, OA, OB — известные радиусы .

В OFC нам известна гипотенуза, которая является радиусом окружности, а катет FC = половине основания DC = 3 см (так как DF = FC).

Теперь по найдём OF:

А в прямоугольном треугольнике OKB нам тоже известна гипотенуза, так как это радиус окружности. А KB равняется половине AB; KB = 2 см. И, используя теорему Пифагора вычислим отрезок OK:

Вс трапеции. Полезные свойства трапеции


Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.

Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

разносторонние ;

равнобокие ;

прямоугольные

.
Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B — прямоугольная трапеция
C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У боковые стороны равны, а основания параллельны.

У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
  • Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
  • Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
  • Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
  • В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .
Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник , у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно . Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:


В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h 1 h 2 — диагонали


Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

    Определения 3

    Свойства равнобедренной трапеции 4

    Вписанные и описанные окружности 7

    Свойства вписанных и описанных трапеций 8

    Средние величины в трапеции 12

    Свойства произвольной трапеции 15

    Признаки трапеции 18

    Дополнительные построения в трапеции 20

    Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

    Доказательства некоторых свойств трапеции 27

    Задачи для самостоятельных работ

    Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

    Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

    Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции



3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4



1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.



3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то


сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



    Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.


1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое






    В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :



b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.



2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.



3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

    Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.



5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 d 2 2 = a 2 b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.


9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции


8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований


7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.


9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


    Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

    Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

    Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

    Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

    Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

    Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому


(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

    В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

    Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN

M

x

B

C

Y

C ~ ∆NKD → →

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника — это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагональ трапеции вписанной в окружность равна d. Описанная окружность и трапеция

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».

Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.

Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция

Параллельные стороны в этой фигуре называют основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами. При условии, что боковые стороны одинаковой длины, трапеция считается равнобедренной. Трапеция, боковые стороны которой лежат перпендикулярно основанию под углом в 90°, называется прямоугольной.

У этой, казалось бы, незамысловатой фигуры имеется немалое количество свойств, ей присущих, подчеркивающих ее признаки:

  1. Если провести среднюю линию по боковым сторонам, то она будет параллельна основаниям. Этот отрезок будет равен 1/2 разности оснований.
  2. При построении биссектрисы из любого угла трапеции образуется равносторонний треугольник.
  3. Из свойств трапеции, описанной около окружности, известно, что сумма параллельных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
  4. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является основанием трапеции, полученные треугольники будут подобны.
  5. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является боковой, полученные треугольники будут иметь равную площадь.
  6. Если продолжить боковые линии и построить отрезок из центра основания, то образованный угол будет равен 90°. Отрезок, соединяющий основания, будет равен 1/2 их разности.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Заключить окружность в трапецию возможно лишь при одном условии. Данное условие заключается в том, что сумма боковых сторон должна быть ровна сумме оснований. Например, при построении трапеции AFDM применимо AF + DM = FD + AM. Только в таком случае в трапецию можно заключить круг.

Итак, подробнее о свойствах трапеции, описанной около окружности:

  1. Если в трапецию заключена окружность, то для того, чтобы найти длину ее линии, пересекающей фигуру пополам, необходимо найти 1/2 от суммы длин боковых сторон.
  2. При построении трапеции, описанной около окружности, образованная гипотенуза тождественна радиусу круга, а высота трапеции по совместительству является и диаметром круга.
  3. Еще одним свойством равнобедренной трапеции, описанной около окружности, является то, что ее боковая сторона сразу видна от центра окружности под углом 90°.

Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность

Только равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность. Это значит, что нужно соблюсти условия, при которых построенная трапеция AFDM будет отвечать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея гласит, что в трапеции, заключенной в окружность, произведение диагоналей тождественно и равно сумме умноженных противоположных сторон. Это значит, что при построении окружности, описанной около трапеции AFDM, применимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На школьных экзаменах довольно часто встречаются задачи, требующие решения задач с трапецией. Большое количество теорем необходимо запоминать, но если выучить сразу не получиться — не беда. Лучше всего периодически прибегать к подсказке в учебниках, чтобы эти знания сами собой, без особого труда уложились в голове.

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Площадь трапеции через радиус описанной окружности формула. Запоминаем и применяем свойства трапеции

по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит:

\[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.


Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Набор задач 2.2

2.2.1. Треугольник АВС вписан в окружность. Точка D является центром вписанной окружности. Докажите, что угол DAE равен углу ADE. (Примечание: «треугольник» в левой части утверждения доказательства должен быть «углом» )

2.2.2 Если окружность с центром O вписана в трапецию, основания которой касаются окружности в точке P и Q (см. рисунок), докажите:

а. Попробуйте показать m(угол PAQ) = m(угол PBQ) .Обратите внимание, что каждый из них образует аккорд PQ. Поскольку существуют конгруэнтные окружности, дуги, на которые опираются углы, имеют одинаковую меру.

 

 

 

Открыть файл GSP?

 

 

б. Если мы можем показать, что CP = PA, то оба равны PB из части A, поэтому будет окружность ABC с AC в качестве диаметра, и, таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

 

Таким образом, чтобы показать CP = PA, возможны два подхода.

Во-первых, зная, что AP = PB, нужно показать, что PBC является равнобедренным с углами при основании в точках B и C.

Во-вторых, обратите внимание, что APQ — прямоугольный треугольник, потому что AQ — это диаметр. Используйте это, чтобы показать, что PQC является прямоугольным треугольником с CQ в качестве диаметра. Вы почти закончили.

 

2.2.4. Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими окружностями . Если отрезки AB и CD — две хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, докажите, что AB = CD.

 

Если вы доказали теорему, включенную в часть a задачи 2.1.1, то доказательство здесь может использовать этот результат.

В противном случае существует несколько способов рассмотрения конгруэнтных треугольников, включающих радиусы большого круга к A, B, C и D, а также перпендикуляры из O к точкам касания с малым кругом.

Извлечь файл GSP .

 

Следствия:

Аккорды, равноудаленные от центра окружности, конгруэнтны, и наоборот.

Перпендикуляр к хорде из центра окружности проходит через середину хорды.

 

2.2.5 Извлечение файла GSP. У нас есть окружность O с касательными PA и PB. Если Q лежит на дуге AB, а CD касается Q, докажите, что

а. m(угол COE) одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

б. Покажите, что периметр треугольника PCD одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

Откройте файл GSP и запустите анимацию.

Измерение угла COD или периметра треугольника PCD подтвердит, что то, что вы хотите доказать, имеет место. Тем не менее, никакое количество измерений не установит доказательство.

Если мы можем показать, что OC — биссектриса угла BOQ, а OD — биссектриса угла AOQ, независимо от того, где Q находится на дуге AB, то угол COD равен половине угла BOA. Проверьте, является ли AOBP вписанным четырехугольником.

Для части b см. PC + QD + DP. Можем ли мы чем-то заменить?

 

 

 

Откройте файл GSP.

 

 

 

 

2. 2.7 Открыть файл GSP

ABCD — четырехугольник с прямыми углами в точках A и D. Окружность O касается сторон AB и AD в точках B и E соответственно.Диагональ AC содержит O. Сторона CD пересекает окружность в точке P, а PB пересекает AC в точке Q.

а. Найдите углы треугольника CQP

.

б. Докажите, что AQ = r, где r — радиус окружности. То есть АК? СО

 

Сегменты OB и OE

, безусловно, будут полезными для использования. BAEO — это квадрат со стороной, равной радиусу окружности.

 

 

 

 

 

 

2.2.8 Открыть файл GSP .

Окружность касается квадрата ABCD в точке P с вершинами A и D на окружности. Сторона DC пересекает окружность в точке Q. Докажите, что

а. Треугольник QPA прямоугольный.

б. Отрезок AP является биссектрисой угла QAB

Подсказка к части а — исследовать треугольник ADQ.

Подсказка к части b — изучить отмеченные углы

 

 

2.29 Определите, можно ли найти описанную, равнобедренную «настоящую» трапецию (параллельные стороны не конгруэнтны), которая обладает следующими свойствами (здесь три отдельных вопроса). Обоснуйте свои ответы.

Обратите внимание, что если трапеция описана и равнобедренна, то сумма длин оснований должна быть в два раза больше длины двух конгруэнтных сторон: a + b = 2c.

а. Диагональ делит угол трапеции пополам.

б.Трапеция циклическая.

Докажите или опровергните: Трапеция вписана тогда и только тогда, когда она равнобедренная .

Докажите или опровергните: Каждый равнобедренный треугольник можно описать .

Докажите или опровергните: Если трапеция описана, то она также вписана

в. Диагонали перпендикулярны.

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями не обязательно является воздушным змеем или ромбом.

Докажите: Если описанный равнобедренный треугольник имеет параллельные основания a и b и конгруэнтные стороны c, покажите, что существует ромб со сторонами длины c, который можно описать около той же окружности.

 

2.2.10 а. Окружность О вписана в ромб. ABCD — четырехугольник, вершины которого являются четырьмя точками касания. Каким четырехугольником может быть ABCD? Доказывать.

Откройте файл GSP и изучите .Или создайте собственный файл GSP. Выглядит, как прямоугольник, всегда кажется прямоугольником, а ромб меняется, доказательство?

Рассмотрим диагонали ромба и диагонали вписанного четырехугольника. Также см. задачу 2.2.2.

 

б. Что является обратным утверждением, доказанным в части а?

Если прямоугольник вписан в окружность, то описанный четырехугольник с точками касания в вершинах прямоугольника является ромбом.

 

2.2.11 В трапецию ABCD вписана окружность, MN — середина трапеции. Докажите следующее.

а. Сегмент MN содержит O.

б. ON = NB и OM = MA

 

Откройте файл GSP для исследования и подсказок. Трапеция не обязательно равнобедренная.

 

 

2.2.12 В трапеции ABCD отрезок MN является средним отрезком, а P — точка на MN такая, что PM = MA и PN = NB.

а. Можно ли вписать окружность в ABCD. Оправдывать.

б. Докажите, что P является центром вписанной окружности.

 

Мы имеем дело с обратным тому, что было показано в задаче 2.2.11.

Рассмотрим треугольники AMP и BNP. См. файл GSP

 

2.2.13 Докажите, что центры O1 и O2 двух непересекающихся окружностей и точка пересечения P, на которой пересекаются две касательные, лежат на одной прямой.

См. файл GSP .

Нам нужно показать, что центры O1 и O2 лежат на биссектрисах угла.

Есть несколько способов сделать это. один из них состоит в том, чтобы увидеть, что центр O1, P и две точки касания к окружности O1 являются воздушным змеем, и отрезок от O1 до P проходит вдоль биссектрисы угла. Затем рассмотрите вертикальные углы при P и докажите, что центр O2 также лежит на биссектрисе угла.. .

 

 

 

2.2.14. Две точки, имеющие только одну общую точку, называются касательными окружностями .

а. Докажите, что точки пересечения двух касательных окружностей и их центров лежат на одной прямой. (Подсказка: предположим противное и воспользуемся неравенством треугольника).

б. Докажите, что касательная к одной из окружностей в точке касания касается и другой окружности.

Часть а: Предположим, что точка P не лежит на линии центров AB. Затем существует треугольник APB, в котором AB является кратчайшим расстоянием от A до B. Неравенство треугольника будет означать, что AP + BP > AB. Но радиус — это кратчайшее расстояние от центра до окружности. Таким образом, расстояние от A до P, а затем от P до B будет меньше или равно любому другому пути. Таким образом, предположение, что P не находится на линии центров, должно быть отвергнуто.

 

Часть б. См. файл GSP . Касательная к окружности А в точке Р — это прямая, перпендикулярная линии центров, как показано в части а. Но эта касательная также перпендикулярна BP в точке P.

.

 

2.2.15. Окружности O1 и O2 касаются друг друга в точке B. A — любая другая точка на общей касательной к B, а AP и AQ — касательные к окружностям O1 и O2 соответственно. Докажите, что АР = АК.

 

Используйте теорему 2.6

См. файл GSP?

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.16 Две окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая AB касается окружностей в точках A и B соответственно. Если C лежит на AB, а CP — общая касательная, проходящая через точку P, докажите, что

а. АС = СВ

б. m(угол APB) = 90 градусов.

Подсказка: используйте результат задачи 2.2.15 для части а. Для части b постройте окружность из общей длины CP = AC = CB

.

Файл GSP?

 

 

 

 

2.2.17. Окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая, проходящая через P, пересекает первую окружность в точке A и вторую окружность в точке B. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна касательной в точке B ко второй окружности. См. файл GSP и измените направление от AB до P.

.
Подсказка: Рассмотрите линию центров и два образуемых ею равнобедренных треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.18 Две конгруэнтные окружности с центрами в точках D и E пересекаются в точках F и A. Третья окружность с центром в B пересекает D в B и E в C. (Эти точки лежат в одной полуплоскости, определяемой FA.) Докажите A, B , и C коллинеарны.

На самом деле существует два случая этой проблемы. Тот, что изображен здесь и в тексте, предназначен для случаев, когда радиус красного круга меньше FA.

 

Второй случай имеет место, когда радиус больше, чем FA, но меньше, чем удвоенный радиус двух конгруэнтных окружностей.

Ниже приведено изображение.

Ситуация, когда FA равна радиусу красного круга, означает, что B и A находятся в одной и той же точке.

 

 

 

Я сосредоточусь на первом случае. Первый совет — использовать теорему о вписанном угле, чтобы показать, что угол FAC и угол FABB имеют одинаковую меру. Это не доказывает, что B находится на AC, но это первый шаг.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.19 Вершины треугольника EFD лежат на сторонах треугольника ABC. Постройте описанные окружности треугольника ADE, треугольника DFC и треугольника EBF. Повторите построение для разнорасположенных треугольников EFD. (С помощью GSP мы можем использовать некоторые функции анимации, чтобы изменять расположение E, F и D на соответствующих сторонах ABC).

а. Основываясь на наблюдениях, сделайте предположение о трех описанных окружностях.

б. Докажите свою гипотезу в части а.

 

Подсказка для б.Обратите внимание на вписанные четырехугольники.

См. файл GSP .

 

 

 

 

2.2.20 См. файл GSP

а. Докажите, что всякий раз, когда три окружности касаются друг друга (как показано), три касательные к точкам касания совпадают.

б. Используйте результат части а, чтобы показать, как построить три неконгруэнтных окружности, касающиеся друг друга.

Окружность вписана в трапецию PQRS Если PS QR 25 класс 9 математика CBSE

Подсказка : Из заданных размеров мы видим, что две непараллельные стороны равны, перпендикуляр при падении образует квадрат и два равных прямых угла треугольников (поскольку углы квадрата равны 90 °), то, используя геометрию и теорему Пифагора, мы можем найти длину диаметра. 2} $ где,
H = Гипотенуза
P = Перпендикуляр
B = Основание
Прямоугольного треугольника.

Полный пошаговый ответ :


Длины сторон этой трапеции даны:
PS = QR = 25 см
PQ = 18 см
SR = 32 см
Пусть AB диаметр окружности внутри трапеции.
Так как две непараллельные стороны этой трапеции (PS и QR) равны, то это равнобедренная трапеция.
Если отбросить перпендикуляры из P и Q, то получится квадрат, скажем,
PXYQ.2} $ _______ (2)
Теперь
PQ = XY (стороны квадрата)
SX = RY (стороны пересекаются на обоих концах одинаково)
Из рисунка:
SR = XY + 2 SX (так как SX = RY и нам нужно значение SX, поэтому мы учтем это)
SX = $ \dfrac{{SR — XY}}{2} $
Подставляя значения:
 $
\Rightarrow SX = \dfrac{{32 — 18} {2} \\
\Rightarrow SX = \dfrac{{14}}{2} \\
  $
SX = 7 и
PS = 25 (данные)
Подставляя эти значения в (2), чтобы вычислить значение PX, получаем:
 $
\Rightarrow P{S^2} = P{X^2} + S{X^2} \\
\Rightarrow {(25)^2} = P{X^2} + {(7)^2} \\
\Стрелка вправо 625 = P{X^2} + 49 \\
\Стрелка вправо 625 — 49 = P{X^2} \\
\Стрелка вправо P{X^2} = 625 — 49 \\
\Rightarrow P{X^2} = 576 \\
  $
Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:
 $ \sqrt {P{X^2}} = \sqrt {576} $
PX = 24 см
Из (1)
PX = AB
 $ \Rightarrow $ АВ = 24 и это диаметр окружности.
Следовательно, длина диаметра окружности на данном рисунке равна 24 см.

Примечание : Прямой угол представляет собой угол измерения 90 °, и Пифагор может применяться только к прямоугольным треугольникам. Помните:


Трапеция также называется трапецией, и ее различные типы:
Правая: Имеющая пару прямых углов
Равнобедренная: Две непараллельные стороны равны по длине
Разнонаправленная: Ни углы, ни стороны не равны.

св. ва трапеция.Полезные свойства трапеции

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться местами в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольная фигура, две стороны которой параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции можно уменьшить высоту — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

Сейчас мы поговорим о различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями.

Свойства трапециевидных диагоналей

Чтобы было понятнее, при чтении нарисуйте на листе бумаги трапецию АКМЭ и проведите в ней диагонали.

  1. Если найти середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки как X и T) и соединить их, то получится отрезок. Одним из свойств диагоналей трапеции является то, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
  2. Перед нами та самая трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и MOC, образованные отрезками вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
    Отношение площадей треугольников AOE и MOC описывается коэффициентом k 2.
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые образованы отрезками диагоналей вместе с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
  4. Другое свойство трапеции включает диагонали рисования. Итак, если мы продолжим боковые стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке.Далее через середины оснований трапеции провести прямую. Она пересекает основания в точках X и T.
    Если теперь продолжить прямую XT, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжены боковые стороны и середины трапеций. основания X и T пересекаются.
  5. Через точку пересечения диагоналей провести отрезок, соединяющий основания трапеции (Т лежит на меньшем основании ЦМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЭ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведите отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Пересечение разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a+b).

Свойства осевой линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
  2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АКМЭ.Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь, что биссектриса отрезает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок той же длины, что и сторона.

Свойства угла трапеции

  1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к боковой стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
  2. Соедините середины оснований трапеций отрезком TX.Теперь посмотрим на углы у основания трапеции. Если сумма углов при любом из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разности длин оснований, деленной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
  3. Если провести параллельные прямые через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

  1. У равнобедренной трапеции углы равны при любом основании.
  2. Теперь снова нарисуйте трапецию, чтобы было легче представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание AE — вершина противоположного основания M проецируется в точку на линии, содержащей AE. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
  3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренных трапеций — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
  5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если возле трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b) / 2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции он перпендикулярен основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз уменьшите до большего основания (обозначим его a) высоту от противоположной вершины трапеции. Будет два сегмента. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a+b)/2·… Второе получится, если из большего основания вычесть меньшее и полученную разность разделить на два: (а — б) / 2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку мы уже говорили о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где центр окружности находится по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне.Например, диагональ может проходить от вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
  2. Диагональ и сторона могут встречаться и под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЭ (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MOE .
  5. Кратко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти как отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженному на два.Например, R = AE/2 * sinAME … Аналогично формулу можно записать для любой стороны обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание форм имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
  2. В трапеции АКМЭ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон, можно вписать окружность.
  4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция АКМЭ, описанная по окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Называется прямоугольная трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, примыкающая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, примыкающую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы наверное уже сами догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция АКМЭ — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины М проведите прямую линию МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник AKMT является параллелограммом (AK || MT, KM || AT). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || MT, следовательно, MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Отсюда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

К.Э.Д.

Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция AKME равнобедренная :

  • Для начала проведем прямую MX — MX || КЭ. Получаем параллелограмм KMXE (основание — MX || KE и KM || EX).

∆AMX равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что АК = МЕ, а отсюда следует, что трапеция АКМЕ равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЭ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 .Требуется найти площадь трапеции.

Решение: От вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они дают 180 0 . Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойств углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆ANK (думаю, этот момент очевиден для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции КН — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, KH = ½AB = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились начертить трапеции для всех вышеперечисленных свойств карандашом в руках и разобрать их на практике, материал должен был быть вам хорошо понят.

Конечно, информации здесь много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной.Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробное описание всех общих свойств трапеций. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Их очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ваша конфиденциальность важна для нас.По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного лица или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для администрирования этих программ.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим общественно важным причинам.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами личную информацию соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того, чтобы убедиться, что ваша личная информация находится в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности, строго следим за выполнением мер конфиденциальности.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения, подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равны (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продолжить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​пропорции, равной отношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a+b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего получим отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , лежит на средней линии трапеции .

Этот отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

лм = (н.э. — до н.э.) / 2
или
LM = (a-b) / 2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — , подобны .
Треугольники BOC и AOD подобны. Поскольку углы BOC и AOD вертикальны, они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними крестообразно с параллельными прямыми AD и BC (основания трапеции параллельны друг другу) и секущей AC, следовательно, равны.
Углы OBC и ODA равны по той же причине (внутреннее пересечение).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если мы знаем значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Отсюда длины всех остальных элементов относятся друг к другу с точно такой же величиной.

Свойства треугольников, лежащих на стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD.Это треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон этих треугольников могут быть совершенно разными, но площадей треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции, равны , то есть треугольники равны по размеру.


Если продолжить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совмещена с прямой линией, проходящей через середины оснований .

Таким образом, любую трапецию можно продолжить до треугольника. Где:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной на пересечении продолженных боковых сторон, подобны
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является одновременно медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, лежащей в точке пересечения диагоналей трапеции (КН), то отношение составляющих его отрезков со стороны основания к точка пересечения диагоналей (КО/ОН) будет равна отношению оснований трапеции (ВС/АД).

КО/ОН = БК/АД

Это свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства линии, параллельной основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Предустановленное расстояние (км) делит точку пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна КМ = 2ab/(a+b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


а, б — основание трапеции

в, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — уголки с большим основанием трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Это свойство диагоналей трапеции можно доказать в виде отдельной теоремы

.

2 … Эта формула получается преобразованием предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали перебрасывается через знак равенства, после чего из левой и правой частей выражения извлекается квадратный корень.

3 … Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с тем отличием, что в левой части выражения

оставлена ​​еще одна диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание … На этом уроке дается решение задач по геометрии о трапециях. Если вы не нашли решение интересующей вас задачи по геометрии — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | BC) пересекаются в точке O. Найдите длину основания BC трапеции, если основание AD = 24 см, длина AO = 9 см, длина OC = 6 см.

Решение .
Решение этой задачи идеологически абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC подобны по трем углам — AOD и BOC вертикальны, а остальные углы попарно равны, так как образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Так как треугольники подобны, то все их геометрические размеры связаны друг с другом, как геометрически размеры отрезков АО и ОС, известные нам из условия задачи. То есть

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6/9 = 16

Ответ : 16 см

Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Чтобы найти высоту трапеции из вершин меньшего основания В и С, опускаем две высоты к большему основанию. Так как трапеция неравнополочная, обозначим длину АМ = а, длину КД = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Так как основания трапеции параллельны, а мы опустили две высоты, перпендикулярные большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK прямоугольные, поэтому их прямые углы образованы высотами трапеций. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , то в первое уравнение
ч 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
ч 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по формуле теорема Пифагора.Получаем:
425 — (8 + б) 2 + (24 — б) 2 = 169
— (64 + 16б + б) 2 + (24 — б) 2 = -256
-64 — 16б — б 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Итак, KD = 12
Где
ч 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найти площадь трапеции через ее высоту и половину суммы оснований
, где ab — основание трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции 80 см 2 .

Трапеция Четырехугольник с двумя параллельными сторонами, являющимися основаниями, и двумя непараллельными сторонами, являющимися боковыми сторонами.

Существуют также такие названия, как равнобедренный или равнобедренный .

Представляет собой трапецию с прямыми боковыми углами.

Элементы трапеции

A, B — База Trapezoid (параллельно до б),

м, N — Боковые стороны Трапеция,

D 1, D 2 — Диагонали трапеция,

ч — высота трапеция (отрезок, соединяющий основания и одновременно перпендикулярный им),

МН — средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон).

Площадь трапеции

  1. Половина суммы оснований a, b и высоты h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
  2. Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
  3. Через диагонали d 1, d 2 и угол (\sin\varphi) между ними: S = \frac(d_(1)d_(2)\sin\varphi)(2)

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит каждый отрезок с концами, расположенными на прямых, содержащих основания (например, высота рисунка) пополам:

МН || а, МН || б, МН = \ frac (a + b) (2)

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , примыкающих к каждой стороне, равна 180^(\circ):

\alpha+\beta=180^(\circ)

\gamma+\delta=180^(\circ)

Равновеликие трапециевидные треугольники

Равновеликие 90,имеющие равные площади, то есть отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.(2).

Отношение длины к основанию

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​соотношении:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Это будет верно для высоты с самими диагоналями.

С такой формой, как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. Например, любой мост из бетонных блоков является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и так далее. Свойства фигуры были известны еще в Древней Греции. , который более подробно описал Аристотель в своем научном труде «Начала». А знания, полученные тысячи лет назад, актуальны и сегодня. Поэтому давайте познакомимся с ними подробнее.

В контакте с

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция — это четырехугольник, состоящий из двух параллельных отрезков и двух непараллельных.Говоря об этой фигуре, всегда следует помнить о таких понятиях, как: основание, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника, которые называются основаниями друг к другу (отрезки AD и BC). Высотами называются отрезки, перпендикулярные каждому из оснований (EH), т.е. пересекающиеся под углом 90° (как показано на рисунке 1).


Если сложить все внутренние градусные меры, то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и любого четырехугольника.Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) , называют средней линией. Длина этого отрезка равна сумме оснований BC и AD, деленной на 2.

Различают три типа геометрических фигур: прямые, правильные и равнобедренные. Если хотя бы один угол при вершинах основания прямой (например, если ABD = 90°), то такой четырехугольник называется прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то он называется равнобедренным (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, используйте следующую формулу:

Рисунок 2. Решение задачи нахождения площади

Для более наглядного примера давайте решим простую задачу. Например, пусть верхнее и нижнее основания равны 16 и 44 см соответственно, а стороны 17 и 25 см. Построим из вершины D перпендикулярный отрезок так, чтобы DE II BC (как показано на рисунке 2). Отсюда мы получаем, что

Разрешить запуск DF.Из ΔADE (которая будет равнобедренной) получаем следующее:

То есть, говоря простым языком, мы сначала нашли высоту ΔADE, которая также является высотой трапеции. Отсюда вычисляем площадь четырехугольника ABCD по уже известной формуле, при уже известном значении высоты DF.

Следовательно, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы по вычислить площадь трапеции, нужна только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задачи не обязательно находить значения длин отдельно, вполне допустимо, если будут применены другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Типы трапеций

В зависимости от того, какие стороны у фигуры, какие углы образованы при основаниях, различают три вида четырехугольника: прямоугольный, неправильный и равнобедренный.

Универсальный

Различают две формы: острую и тупую… ABCD является остроугольным только тогда, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон различны. Если величина одного угла больше на Пи/2 (градусная мера больше 90°), то мы получаем тупой.

Если боковины равны по длине

Рис. 3. Вид на равнобедренную трапецию

Если непараллельные стороны равны по длине, то треугольник ABCD называется равнобедренным (правильным). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одна и та же, их угол всегда будет меньше прямого.Именно по этой причине равнобедренные никогда не делят на остроугольные и тупоугольные. Четырёхугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к которым относятся:

  1. Отрезки, соединяющие противоположные вершины, равны.
  2. Острые углы с большим основанием составляют 45° (наглядный пример на рис. 3).
  3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме получится 180°.
  4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить.
  5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она будет равна π.

Более того, благодаря их геометрическому расположению точек существует основных свойств равнобедренной трапеции :

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Не может быть двух боковых сторон с углами в основании, потому что иначе это будет уже прямоугольник. В этом виде четырехугольника вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а тупой — с меньшим.В этом случае перпендикулярная сторона также будет высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины сторон, и получившийся отрезок будет параллелен основаниям, а по длине равен половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния рассчитывается по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с использованием средней линии.

Задание. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис. 4). Найдите длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи нахождения длин оснований

Раствор. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равно (x + 4) см соответственно. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции, получим:

Получается, что меньшее основание ДК 5 см, а большее 9 см.

Важно! Понятие осевой линии является ключевым в решении многих задач по геометрии. На основе его определения строятся многие доказательства для других фигур. Используя концепцию на практике, возможно более рациональное решение и поиск нужного значения.

Определение высоты и как ее найти

Как отмечалось ранее, высота — это отрезок, пересекающий основания под углом 2Pi/4 и являющийся кратчайшим расстоянием между ними. Перед нахождением высоты трапеции необходимо решить, какие входные значения даны.Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найдите высоту трапеции, если основания равны 8 и 28 см, а стороны соответственно 12 и 16 см.

Рис. 5. Решение задачи на нахождение высоты трапеции

Нарисуйте отрезки DF и CH под прямым углом к ​​основанию AD. По определению каждая из них будет высотой данной трапеции (рис. 5). В этом случае, зная длину каждой боковой стенки, по теореме Пифагора находим, чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пусть длина AF равна x см, тогда длина отрезка HB = (20 — x) см. Как оказалось, DF = CH, следовательно.

Тогда мы получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычисляем высоту трапеции DF по той же теореме Пифагора:

Тех. высота трапеции ADCB будет равна 9.6 см. Как видите, вычисление высоты является более механическим процессом и основано на вычислении сторон и углов треугольников. Но в ряде задач по геометрии могут быть известны только градусы углов, и в этом случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности, трапецию часто представляют как два треугольника или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Решить 90% всех задач, встречающихся в школьных учебниках, свойства и характеристики этих фигур.Большинство формул для этого HMT выведены на основе «механизмов» для этих двух типов фигур.

Как быстро рассчитать базовую длину

Прежде чем найти основание трапеции, необходимо определить, какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практический подход состоит в том, чтобы извлечь длину неизвестного основания из формулы центральной линии. Для более ясного восприятия картины покажем на примере задачи, как это можно сделать.Пусть будет известно, что средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из оснований 10 см. Найдите длину второго основания.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы оснований, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи мы знаем, что одна из них равна 10 см, следовательно, меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 — 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного рода рекомендуем хорошо выучить такие формулы площади трапеции, как :

  • средняя линия;
  • кв.м.;
  • высота;
  • диагоналей.

Зная суть (именно суть) этих вычислений, вы легко сможете узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Заключение

Из рассмотренных примеров задач можно сделать простой вывод, что трапеция, с точки зрения расчетных задач, является одной из простейших фигур в геометрии. Для успешного решения задач в первую очередь стоит решать не то, какие сведения известны об описываемом объекте, в каких формулах их можно применить, а решать, что необходимо найти.С помощью этого простого алгоритма любая проблема с этой геометрической формой не решается без усилий.

C.1.3 — Построить вписанную и описанную окружности треугольника и доказать свойства углов четырехугольника, вписанного в окружность.

MAFS.912.G-C.1.3 — Построить вписанную и описанную окружности треугольника и доказать свойства углов четырехугольника, вписанного в окружность.

Веб-сайт несовместим с используемой версией браузера.Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.

Построить вписанную и описанную окружности треугольника и Докажите свойства углов четырехугольника, вписанного в окружность.

Общая информация

Предметная область: Математика

Класс: 912

Домен-поддомен: Геометрия: Круги

Кластер: Уровень 3: Стратегическое мышление и комплексное мышление

Дата принятия или пересмотра: 14 февраля

Дата последней оценки: 14/02

Статус: Утвержден Государственным советом

Оценено: Да

Спецификации объекта испытаний


  • Пределы оценки:
    Задания могут включать задачи, в которых используется центр вписанной окружности и центр описанной окружности
    треугольника.
  • Калькулятор :

    Нейтральный

  • Пояснение :
    Учащиеся строят окружность, вписанную в треугольник.

    Учащиеся строят окружность, описанную вокруг треугольника.

    Учащиеся будут решать задачи, используя свойства вписанных и
    описанных окружностей треугольника.

    Учащиеся используют или обосновывают свойства углов четырехугольника, вписанного в окружность
    .

  • Атрибуты стимула:
    Элемент может быть задан в реальном или математическом контексте.
  • Атрибуты ответа:
    Задания могут потребовать от учащегося использовать или выбрать правильную единицу измерения
    .

    Предметы могут потребовать от учащегося предоставить шаги для построения.

    Задания могут потребовать от учащегося предоставления утверждений и/или
    обоснований для завершения формальных и неформальных доказательств.

Образцы тестовых заданий (1)

  • Тестовый образец #: Образец образца 1
  • Вопрос:

    Трапеция ABCD вписана в окружность О.Диагонали пересекаются в точке E и параллельны ей, как показано на рисунке.

    Выберите углы и значения, которые дают верное утверждение о трапеции ABCD.

  • Сложность: Н/Д
  • Тип: СЕТКА: Графический дисплей элемента ответа

Связанные точки доступа

Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.

Связанные ресурсы

Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.

Формирующие оценки MFAS

Вписанные четырехугольники:

Учащихся просят доказать, что противоположные углы четырехугольника, вписанного в окружность, являются дополнительными.

Оригинальные учебные пособия для учащихся Математика — классы 9-12

Как новый:

Узнайте, как описать окружность вокруг треугольника в этом интерактивном руководстве по построению.Возьмите циркуль, линейку, карандаш и бумагу, чтобы следовать!

Ресурсы для учащихся

Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом эталонном тесте.

Оригинальные учебные пособия для студентов

Вымпел компании Challenge: вписанные круги треугольников:

Узнайте, как легко Кэти создать круговой логотип с надписью на шаблоне треугольного вымпела своей компании.Если она выполнит задание первой, она выиграет бонус в размере 1000 долларов США! Следуйте этому интерактивному руководству.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Как новый:

Узнайте, как описать окружность вокруг треугольника в этом интерактивном руководстве по построению.Возьмите циркуль, линейку, карандаш и бумагу, чтобы следовать!

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Задачи решения проблем

Размещение пожарного гидранта:

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить пожарный гидрант на равном расстоянии от трех заданных точек.

Тип: Задача решения проблем

Расположение склада:

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить склад (точку) на равном расстоянии от трех дорог (линий).

Тип: Задача решения проблем

Вписывание треугольника в окружность:

Эта задача знакомит с центром описанной окружности треугольника и показывает, как его можно использовать для вписания треугольника в окружность.

Тип: Задача решения проблем

Центр окружности треугольника:

Эта задача показывает, что все три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, используя характеристику биссектрисы отрезка как множества точек, равноудаленных от двух концов отрезка.

Тип: Задача решения проблем

Вписывая окружность в треугольник II:

Это задание на решение проблемы фокусируется на замечательном факте, который вытекает из построения вписанной окружности в треугольник: все биссектрисы трех углов треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Тип: Задача решения проблем

Виртуальный манипулятор

Описать окружность вокруг треугольника:

В этом интерактивном рабочем листе GeoGebraTube вы можете наблюдать пошаговый процесс описания окружности вокруг треугольника.Использование бумаги и карандаша вместе с этим ресурсом укрепит концепцию.

Тип: виртуальный манипулятор

Рабочий лист

Ресурсы для родителей

Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в рамках этого теста.

Задачи решения проблем

Размещение пожарного гидранта:

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить пожарный гидрант на равном расстоянии от трех заданных точек.

Тип: Задача решения проблем

Расположение склада:

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить склад (точку) на равном расстоянии от трех дорог (линий).

Тип: Задача решения проблем

Вписывание треугольника в окружность:

Эта задача знакомит с центром описанной окружности треугольника и показывает, как его можно использовать для вписания треугольника в окружность.

Тип: Задача решения проблем

Центр окружности треугольника:

Эта задача показывает, что все три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, используя характеристику биссектрисы отрезка как множества точек, равноудаленных от двух концов отрезка.

Тип: Задача решения проблем

Вписывая окружность в треугольник II:

Это задание на решение проблемы фокусируется на замечательном факте, который вытекает из построения вписанной окружности в треугольник: все биссектрисы трех углов треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Тип: Задача решения проблем

Рабочий лист

Загрузка….

Вписанные и описанные окружности и многоугольники на GMAT

Вписанные и описанные окружности

Еще один сложный тип геометрической диаграммы включает в себя многоугольники «внутри» кругов или окружности «внутри» многоугольников. Когда многоугольник находится «внутри» круга, каждая вершина должна лежать на круге:

На этой диаграмме неправильный пятиугольник ABCDE — это , вписанный в окружность, а окружность — это , описанная вокруг пятиугольника.Мы также можем сказать: окружность описывает пятиугольник. Слово «вписанный» описывает внутреннюю форму, а слово «описанный» описывает внешнюю форму. Вот еще одна диаграмма с многоугольником снаружи.

 

Обратите внимание, что каждая сторона этого неправильного пятиугольника касается окружности . Итак, пятиугольник — это , описанный вокруг окружности, а окружность — это , вписанная в -й пятиугольник .В обоих случаях внешняя форма описывает, а внутренняя — вписанную.

 

Треугольники

Как и неоднократно при обсуждении многоугольников, треугольники являются особым случаем при обсуждении вписанных и описанных. Каждый возможный треугольник можно вписать в одну окружность и описать другую окружность . Эта «универсальная двойственность» не верна ни для каких других многоугольников более высокого порядка — она верна только для треугольников. Вот небольшая галерея треугольников, каждый из которых вписан в один круг и описывает другой круг.

Обратите внимание, что когда один угол особенно тупой, близкий к 180°, разница в размерах между описанной и вписанной окружностями становится довольно большой. Обратите также внимание: в случае прямоугольного треугольника, на втором изображении, гипотенуза треугольника является диаметром описанной окружности. Мы вернемся к этому моменту.

Четырёхугольники

Многие четырёхугольники нельзя ни вписать в окружность, ни описать в окружность: то есть нельзя построить окружность, проходящую через все четыре вершины, а также нельзя построить окружность, к которой все четыре стороны касаются.

Некоторые четырехугольники, например продолговатый прямоугольник, можно вписать в окружность, но нельзя описать окружность. Другие четырехугольники, как и наклонный ромб, описывают окружность, но не могут быть вписаны в окружность.

Несколько элитных четырехугольников могут как описывать одну окружность, так и вписываться в другую окружность. Конечно, квадрат (внизу слева), самый элитный из всех четырехугольников, обладает этим свойством. Другой пример — «правильный воздушный змей» (внизу справа), воздушный змей с парой противоположных прямых углов:

Хотя это «двойное членство» справедливо для всех треугольников, оно ограничено некоторыми частными случаями четырехугольников.

 

Высшие многоугольники

То, что верно для четырехугольников, верно и для всех высших многоугольников.

а. Большинство, подавляющее большинство не может ни описать круг, ни быть вписанным в него.

б. Некоторые можно вписать в круг, но нельзя описать круг.

в. Некоторые могут описать круг, но не могут быть вписаны в круг.

д. Немногие элиты могут как описывать круг, так и быть вписанными в него.

Эта последняя категория, элитные члены, всегда включает в себя правильный многоугольник.Подобно тому, как все треугольники имеют эту «двойную принадлежность», так и все правильные многоугольники. Вот галерея правильных многоугольников с вписанной окружностью и описанной окружностью.

Очевидно, что по мере увеличения числа сторон размеры двух кругов становятся все ближе и ближе.

Вопросы GMAT о вписанных и описанных многоугольниках встречаются редко и могут проверить как ваше понимание терминологии, так и ваши навыки визуализации, описывая геометрическую ситуацию (например,г. «прямоугольник JKLM вписан в окружность») и , а не , что дает вам диаграмму.

 

Особый случай: треугольник, вписанный в полукруг

Это особый случай, который нравится GMAT. Он появляется в OG13 (DS #118) и может легко появиться где-нибудь в разделе Quant вашего настоящего GMAT.

Если все, что вы знаете, это то, что KL — это диаметр окружности, этого достаточно, чтобы установить, что ∠J = 90° и что треугольник JKL — прямоугольный с KL в качестве гипотенузы.С другой стороны, если все, что вы знаете, это то, что треугольник JKL — прямоугольный с гипотенузой KL, этого достаточно, чтобы установить, что дуга KJL — полуокружность, а KL — диаметр. Это мощный набор идей, потому что выводы работают в обоих направлениях и потому что он неразрывно связывает две, казалось бы, несопоставимые идеи.

 

Кстати, этот пост является четвертым в серии из пяти статей. Вот и вся серия.

1) Знакомство с кругами на GMAT

2) Геометрия GMAT: окружности и углы

3) Круговые и линейные диаграммы на GMAT

4) Вписанные и описанные окружности и многоугольники на GMAT

5) Нарезка Круги GMAT: длины дуг, секторы и число Пи

 

Практический вопрос

1) На приведенной выше диаграмме S — центр круга.Если QS = 5 и QR = 6, что такое PQ?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

E. 11

 

Объяснение первого вопроса = радиус

, поэтому QS равен 5

, поэтому 1) , это означает, что PS = SR = 5, а диаметр PR = 10. Более того, поскольку PR — это диаметр, это означает, что треугольник PQR является прямоугольным, а ∠PQR = 90°. Мы знаем две стороны этого прямоугольного треугольника: QR = 6 и PR = 10, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону.2 = 100 – 36 = 64

PQ = sqrt{64} = 8

Ответ = B

 

Готовы получить отличный результат за GMAT? Начало здесь.

Самые популярные ресурсы

  • Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. Он также был признан «участником месяца» более двух лет в GMAT Club. Майк имеет A.B. по физике (окончил с отличием ) и M.Т.С. в религиях мира, оба из Гарварда. Помимо стандартного тестирования, Майк имеет более чем 20-летний опыт преподавания как в частных, так и в государственных средних школах, специализируясь на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать настольные мячи на орбите, и, несмотря на то, что у него нет явных дефектов черепа, он настаивает на том, чтобы болеть за нью-йоркский Метс. Узнайте больше о GMAT из видеороликов Майка на Youtube и ресурсов, таких как What is a Good GMAT Score? и диагностический тест GMAT.

    Посмотреть все сообщения

Еще равнобедренная трапеция.Запомните и примените свойства трапеции. Свойства угла трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения, подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на сторонах трапеции, равны (имеют одинаковую площадь)
  4. Если мы продолжим стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой линией, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​пропорции, равной отношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, и его длина равна 2ab/(a+b), где а и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас получится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , лежит на средней линии трапеции .

Этот отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

лм = (н.э. — до н.э.)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — , подобны .
Треугольники BOC и AOD подобны. Поскольку углы BOC и AOD вертикальны, они равны.
Углы OCB и OAD внутренние крест-накрест, лежащие на параллельных прямых AD и BC (основания трапеций параллельны друг другу) и секущей AC, следовательно, равны.
Углы OBC и ODA равны по той же причине (внутреннее пересечение).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если известны длины двух соответствующих элементов подобных треугольников, то находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов связаны друг с другом точно такой же величиной.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на сторонах трапеции AB и CD.Это треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон этих треугольников могут быть совершенно разными, но площадей треугольников, образованных сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции, равны , то есть треугольники равны.


Если стороны трапеции продолжить в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, проходящей через середины оснований .

Таким образом, любую трапецию можно продолжить до треугольника. Где:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продолженных сторон, подобны
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является одновременно медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, лежащей в точке пересечения диагоналей трапеции (КН), то отношение составляющих его отрезков от стороны основания к точке пересечения диагонали (KO/ON) будут равны отношению оснований трапеции (BC/AD).

КО/ОН=БК/АД

Это свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданное расстояние (км) делит пополам точку пересечения диагоналей трапеции
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельно основаниям, равна КМ = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


а, б — основания трапеции

в, д — стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — уголки с большим основанием трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Это свойство диагоналей трапеции можно доказать в виде отдельной теоремы

.

2 . Эта формула получается преобразованием предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали набрасывается на знак равенства, после чего из левой и правой частей выражения извлекается квадратный корень.

3 .Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с тем отличием, что в левой части выражения

оставлена ​​еще одна диагональ.

Следующая группа формул (4-5) близка по смыслу и выражает аналогичную связь.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание .В этом уроке дается решение задач по геометрии о трапециях. Если вы не нашли решение задачи по геометрии интересующего вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | BC) пересекаются в точке O. Найдите длину основания BC трапеции, если основание AD = 24 см, длина AO = 9 см, длина OS = 6 см.

Решение .
Решение этой задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC подобны по трем углам — AOD и BOC вертикальны, а остальные углы попарно равны, так как образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Так как треугольники подобны, то все их геометрические размеры связаны друг с другом, как известные нам по условию задачи геометрические размеры отрезков АО и ОС. То есть

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
БК = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задание .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Чтобы найти высоту трапеции из вершин меньшего основания В и С, опускаем две высоты на большее основание. Так как трапеция неравнополочная, обозначим длину АМ = а, длину КД = b (не путать с символами в формуле нахождения площади трапеции). Так как основания трапеции параллельны и мы опустили две высоты, перпендикулярные большему основанию, то MBCK является прямоугольником.

Средства
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK прямоугольные, поэтому их прямые углы образованы высотами трапеций. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Считаем, что a = 16 — b , то в первое уравнение
ч 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
ч 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставляем во второе уравнение значение квадрата высоты, получается по теореме Пифагора.Получаем:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
— (64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Где
ч 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдите площадь трапеции, используя ее высоту и половину суммы оснований
, где ab — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см2.

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон параллельна. Термин «трапеция» происходит от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «стол». В этой статье мы рассмотрим виды трапеций и их свойства. Кроме того, мы разберемся, как рассчитать отдельные элементы данного примера, диагональ равнобедренной трапеции, среднюю линию, площадь и т. д. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, то есть в легкодоступном форма.

Общая информация

Для начала разберемся, что такое четырехугольник. Эта фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две несмежные вершины четырехугольника называются противоположными. То же самое можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников – параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтовидная форма.

Итак, вернемся к трапеции. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны параллельны.Они называются базами. Две другие (непараллельные) — стороны. В материалах экзаменов и различных тестов часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от студента знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учащихся со свойствами углов и диагоналей, а также со средней линией равнобедренной трапеции. Но ведь помимо этого упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них позже…

Виды трапеций

Существует много видов этой фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать две из них – равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольной трапецией называется фигура, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям. Он имеет два угла, которые всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция – геометрическая фигура, стороны которой равны между собой. Это означает, что углы при основаниях также попарно равны.

Основные принципы методики изучения свойств трапеции

Основным принципом является использование так называемого задачного подхода.На самом деле нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства этой фигуры. Их можно обнаружить и сформулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задачи необходимо ставить перед учащимися в тот или иной момент учебного процесса. При этом каждое свойство трапеции можно представить как ключевую задачу в системе задач.

Второй принцип — так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции.Это предполагает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запомнить. Например, свойство четырех точек. Это можно доказать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равенство площадей треугольников, прилегающих к сторонам фигуры, можно доказать, применяя не только свойства равновеликих треугольников, проведенных к сторонам, лежащим на одной прямой, но и используя формулу S= 1/ 2(ab*sinα).Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольном треугольнике на описанной трапеции и т. д.

Использование «внепрограммных» признаков геометрической фигуры в содержании школьного курса – технология задач для их обучения. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся получить более глубокие знания о трапеции и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, стороны этой геометрической фигуры равны.Ее еще называют правильной трапецией. Чем он так примечателен и почему получил такое название? К особенностям этой фигуры можно отнести то, что равны не только стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусов. Но это не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов этой фигуры равна 180 градусам, и только при этом условии вокруг четырехугольника можно описать окружность.Следующее свойство рассматриваемой геометрической фигуры состоит в том, что расстояние от вершины основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, будет равно средней линии.

Теперь разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим решение этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать буквами A, B, C, D, где BS и AD — основания.У равнобедренной трапеции стороны равны. Будем считать, что их размер равен X, а размеры оснований равны Y и Z (меньше и больше соответственно). Для проведения расчета необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получится прямоугольный треугольник АВN, где АВ — гипотенуза, а ВN и AN — катеты. Вычисляем размер ножки AN: из большего основания вычитаем меньшее, а результат делим на 2. Записываем в виде формулы: (Z-Y)/2=F.Теперь, чтобы вычислить острый угол треугольника, мы используем функцию cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить второй, для этого выполняем элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Есть и второе решение этой проблемы. В начале опускаем высоту Н от угла В. Рассчитываем величину ножки БН. Мы знаем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.Получаем: БН = √(X2-F2). Далее воспользуемся тригонометрической функцией tg. В результате имеем: β = arctg(BN/F). Найден острый угол. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Его высота и срединная линия равны;

Центр круга — это точка, где ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, то она равна корню квадратному из произведения этих отрезков;

Четырехугольник, образованный точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности, представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований на произведение половины суммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Эта тема очень удобна для изучения свойств этой. Например, диагонали делят трапецию на четыре треугольника, причем примыкающие к основаниям подобны, а к сторонам равны. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается с помощью критерия подобия в двух углах. Для доказательства второй части лучше использовать изложенный ниже метод.

Доказательство теоремы

Примем, что фигура ABSD (AD и BS — основания трапеции) делится диагоналями VD и AC. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АВО и СОД — у боковых сторон. Треугольники SOD и BOS имеют общую высоту, если их основаниями являются отрезки BO и OD. Получаем, что разница между их площадями (П) равна разнице между этими отрезками: ПБОС/ПСОД=БО/ОД=К.Следовательно, PSOD = PBOS/K. Точно так же треугольники BOS и AOB имеют общую высоту. За их основания возьмем отрезки СО и ОА. Получаем PBOS/PAOB=CO/OA=K и PAOB=PBOS/K. Отсюда следует, что PSOD=PAOB.

Для закрепления материала учащимся предлагается найти связь между площадями полученных треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями, путем решения следующей задачи. Известно, что площади треугольников BOS и AOD равны, необходимо найти площадь трапеции.Поскольку ПСОД = ПАОБ, значит, ПАВСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. Из подобия треугольников BOS и AOD следует, что BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следовательно, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаем PSOD=√(PBOS*PAOD). Тогда PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, мы можем доказать и другие интересные свойства трапеций. Итак, используя подобие, можно доказать свойство отрезка, проходящего через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям.Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка RK, проходящего через точку O. Из подобия треугольников AOD и BOS следует, что AO/OS=AD/BS. Из подобия треугольников АОП и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО = БС*АД/(БС+АД). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBS следует, что OK = BS * AD / (BS + AD). Отсюда мы получаем, что RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD).Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельных основаниям и соединяющий две стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство трапеции, которое называется свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения сторон (Е), а также середины оснований (Т и W) всегда лежат на одной прямой.Это легко доказывается методом подобия. Получившиеся треугольники BES и AED подобны, и в каждом из них медианы ET и EZH делят угол при вершине E на равные части. Следовательно, точки E, T и W лежат на одной прямой. Точно так же точки T, O и G расположены на одной прямой. Все это следует из подобия треугольников BOS и AOD. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и W — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, учащимся можно предложить найти длину отрезка (LF), который делит фигуру на две подобные.Этот отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как получившиеся трапеции ALFD и LBSF подобны, то BS/LF=LF/BP. Отсюда следует, что LF=√(BS*BP). Получаем, что отрезок, который делит трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство сходства. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две фигуры одинакового размера. Примем, что трапеция ABSD делится отрезком EN на два подобных.От вершины B опускается высота, которая делится отрезком EH на две части — B1 и B2. Получаем: ПАБСД/2=(БС+ЭХ)*Б1/2=(АД+ЭХ)*Б2/2 и ПАБСД=(БС+АД)*(Б1+Б2)/2. Далее составляем система, первое уравнение которой (БС+ЭН)*В1=(АД+ЭН)*В2 и второе (БС+ЭН)*В1=(БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует что B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равные, равна среднему квадрату длин оснований: √ ((BS2 + AD2)/2).

Выводы о подобии

Итак, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен AD и BS и равен среднему арифметическому между BS и AD (длина основание трапеции).

2. Прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей, параллельных AD и BS, будет равна среднему гармоническому чисел AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Отрезок, делящий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований BS и AD.

4. Элемент, делящий фигуру на две равные, имеет длину средних квадратов чисел AD и BS.

Для закрепления материала и понимания связи между рассматриваемыми отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он легко может отобразить среднюю линию и отрезок, проходящий через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. Но где будет третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к обнаружению желаемого соотношения между средними значениями.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Примем, что отрезок MH параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Назовем точки пересечения W и W. Этот отрезок будет равен полуразности оснований. Давайте проанализируем это более подробно. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МС — средняя линия треугольника АВД, она равна АД/2.Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, Сщ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Посмотрим, как определяется этот элемент для данной геометрической фигуры . Для этого необходимо вытянуть основания в противоположные стороны. Что это означает? Необходимо к верхнему основанию добавить нижнее основание — в любую из сторон, например, вправо. И продлите низ на длину верха влево. Далее соединяем их диагональю.Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры является центром тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Перечислим признаки таких фигур:

1. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная.

2. Трапецию можно описать по окружности при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин сторон.

Последствия вписанного круга:

1.Высота описываемой трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД прямой, что, собственно, тоже не составит труда. Но знание этого свойства позволит нам использовать прямоугольный треугольник при решении задач.

Уточним теперь эти следствия для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность.Получаем, что высота есть среднее геометрическое оснований фигуры: H=2R=√(BS*AD). Отрабатывая основной прием решения задач на трапеции (принцип рисования двух высот), учащийся должен решить следующую задачу. Примем, что BT есть высота равнобедренной фигуры ABSD. Необходимо найти отрезки AT и TD. Используя формулу, описанную выше, сделать это не составит труда.

Теперь разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции.Снижаем высоту от вершины B к основанию AD. Так как окружность вписана в трапецию, то BS+AD=2AB или AB=(BS+AD)/2. Из треугольника ABN находим sinα=BN/AB=2*BN/(BS+AD). ПАБСД=(БС+АД)*БН/2, БН=2Р. Получаем ПАБСД=(БС+АД)*R, отсюда следует, что R=ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу этой геометрической фигуры.Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+В)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = АХ*(ctgα + ctgβ)/2;

М = В + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. Например, D1 и D2 — диагонали трапеции; α, β — углы между ними:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. По площади и высоте: М = П/Н.

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, при чтении нарисуйте трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

  1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
  2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
    Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
  4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции.Она пересекает основания в точках X и T.
    Если теперь продолжить прямую XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжения сторон и середины трапеций основания X и T пересекаются.
  5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
  2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок той же длины, что и сторона.

Свойства угла трапеции

  1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
  3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

  1. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ.Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
  3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
  4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
  5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b )/2 .
  7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции.Вы получите два разреза. Длину единицы можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (a+b)/2 . Второй получаем, когда из большего основания вычитаем меньшее и полученную разницу делим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции.Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
  2. Диагональ и сторона могут встречаться и под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
  5. Кратко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = AE/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
  3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
  4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

Полученный четырехугольник AKMT является параллелограммом (AK || MT, KM || AT). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

К.Э.Д.

Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 .Вам нужно найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆ANK (я думаю, что это очевидно для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции KH — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать карандашом в руках трапеции всех вышеперечисленных свойств и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

Конечно, информации здесь много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной.Но вы сами видели, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный обзор всех основных свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые можно использовать для идентификации или связи с конкретным лицом.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собираемая нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории РФ — раскрыть свои персональная информация.Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

трапеция вписанная в окружность найдите радиус

Ширина, высота и радиус дуги взаимосвязаны. Найдите площадь трапеции. Упражнение 3. Центр окружности лежит внутри трапеции. Окружность O радиуса 20 вписана в равносторонний треугольник ABC.Чтобы рассчитать Радиус вписанной окружности в трапецию, вам нужна высота (h). В евклидовой геометрии вписанный четырехугольник или вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью, а вершины называются конциклическими. Центр окружности и ее радиус равны называется центром описанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Хорды ​​AB и CD окружности перпендикулярны и пересекаются в точке P. Если AP = 3, BP = 4, CP = 6 и DP = 2, то найдите диаметр окружности.2) Постройте отрезок от центра окружности до всех четырех точек, где окружность касается трапеции. Площадь (то, что мы хотим максимизировать) — это площадь прямоугольника плюс половина площади круга радиуса \(r\). Тогда радиус окружности равен: R = ОА = АД/2 = 8/2 = 4 см. Теперь радиус круга составляет простую половину высоты, и, следовательно, площадь можно легко вычислить. Когда прямоугольный треугольник вписан в окружность, один из катетов треугольника является диаметром окружности.Если RE = EC = 8, найдите периметр AECO. 24. Матем. c Найдите радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Византийские историки, описывая внешних врагов империи, часто давали им имена. 13 Докажите: трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная. 14 Параллелограмм RECT вписан в окружность O. В треугольнике DEF DE=5, DF=6 и EF=7. Радиус круга, площадь которого равна сумме площадей двух кругов, равна Посмотреть решение Внутри большого круга проведены два круга с диаметрами 3 2 r d и 3 1 r d диаметра большого круга, как показано на рис.18. 3 Сфера имеет площадь поверхности (в квадратных футах) и объем (в кубических футах), которые равны . Обратное утверждение доказывается в уроке Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги по теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная. Внутренняя энергия 10 молей идеального одноатомного газа 600 Дж. Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями 16 см и 25 см.Объяснять. Массовая доля калия в молекуле K2SO3. Равнобедренная трапеция, основания которой имеют длины 12 и 16, вписана в окружность радиуса 10. Трапеция и ее отражение объединяются в шестиугольник, вписанный в окружность. Решение. Беннет, на самом деле — каждый прямоугольник можно вписать в (уникальный круг), поэтому ключевым моментом является то, что радиус круга равен R (я думаю). Радиус описанной окружности. 2. Прямая DE пересекает треугольник ABC, причем DF параллелен BE. У равнобедренной трапеции стороны равны.Решения к главе 4.7 Задача 26E: Найдите площадь наибольшей трапеции, которую можно вписать в окружность радиуса 1 и основание которой равно диаметру окружности. • Нарисуйте рисунок/рисунок (если применимо) и назначьте переменные соответствующим величинам • Определите, какую величину следует оптимизировать (задача максимизировать/минимизировать какую?) Поскольку окружность также вписана в трапецию, то по свойству такой трапеции (BC + AD) = (AB + CD). Мы хотим максимизировать площадь трапеции, вписанной в круг.Привет, Эбби. На моей диаграмме C — это центр круга, а B — середина стороны трапеции длиной 12. Ниже приведена пошаговая описательная логика для нахождения площади прямоугольника. Введите длину и ширину прямоугольника. Критическое мышление Каким должен быть параллелограмм, вписанный в окружность? б Найдите дугу окружности. Массовая доля калия в молекуле K2SO3. Радиус описанной окружности — это радиус правильного многоугольника, радиус вписанной окружности — его апофема.… Получить решения Получить решения Получить решения загрузки Ищете учебник? Найдено внутри – Страница 44 Зная радиус окружности, найдите площадь и периметр … можно построить трапецию, которая может быть вписана в окружность. 49. В этом видеоролике показан вывод формулы, показывающей связь между площадью треугольника, его периметром и радиусом вписанного в него круга. Найдено внутри — Страница 265. Найдите суммарные площади этих конфигураций. … Найдите площадь наибольшей трапеции, которую можно вписать в окружность радиусом 1 и основанием которой является … Найдено внутри – Страница 3282 2 = ( c ) Радиус круга Площадь V TT Площадь трапеции Периметр или … Площадь круга, описывающего квадрат Площадь круга, вписанного в квадрат 1 … Найдено внутри – Найдите их радиусы (r) через стороны a, b и c треугольника. … Окружность O(r) вписана в равнобедренную трапецию ABCD, где AB = CD и AD … Ответ: Радиус окружности равен 4 см. а высота равна 15 дюймам. 2 Длина сторон треугольника равна 7, 8 и 13 футов. Внутри находится страница ix. Даны угол и дуга для нахождения радиуса X.СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ Стр. … Радиус вписанной окружности 38. … ТРАПЕЦИЯ И ТРЕУГОЛЬНИК КАК ТРАПЕЦИЯ 40. 2. Высота — это расстояние между самой нижней и самой высокой точками человека, стоящего прямо. Дана полуокружность радиуса r, задача состоит в том, чтобы найти наибольшую трапецию, которую можно вписать в полуокружность с основанием, лежащим на диаметре. Рассмотрим отражение полуокружности и вписанной трапеции в диаметре полуокружности. Найдено внутри — Страница 231. Найдите радиусы внутренних кругов.59. В равносторонний треугольник вписаны три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и … Теперь найдите площадь окружности = Pi * R 2 = ( 3,141 * m * n ) / 4 Найдено внутри †“ Страница 231Найдите радиусы внутренних кругов . 59. В равносторонний треугольник вписаны три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и … Византийские историки, описывая внешних врагов империи, часто давали им имена. Найдено внутри — страница 347. Чтобы найти площадь трапеции, вписанной в окружность, или любой, у которой … Показывает радиус вписанной окружности и площадь многоугольника … Пример 7.12 Найдите площадь наибольшей трапеции, которую можно вписать в окружность радиусом 1 и основание которой равно диаметру окружности. б. 0. . ), длина CA равна 10, а длина AB равна 6. WIL, ILD, LDW и DWI — вписанные углы. Так как есть три стороны, и так как, мы стремимся найти. Найдено внутри — страница 33Wt. 7 10 Задача: Дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиусом 1 дюйм.Найдите высоту равнобедренного треугольника, площадь которого равна единице и … 100 — 64 = 36 CD = 4 см радиус 5 м. LDW и DWI — все углы. Как следует из двух конгруэнтных прямоугольных треугольников DE=5, DF=6 и, следовательно, AB CD. Плоскость, ограниченная в 100 раз шнуром окружности атмосферной… Что это за параллелограмм? И обозначим далее Данную фигуру следующим образом CD = 4 см отрезков АВ и АС 64 36… Задача проще, чем ограничиться рассмотрением трапеции, это числовая та.1 ) Постройте отрезок OC, делящий пополам ∠C: 1×1,,. Трапеция – это заштрихованная область, где трапеция равнобедренная, AB = CD = 4 см. Полуокружность будет ее… Будет две ее части от массы сушеных грибов 14 %. С ДФ параллельно один из алгоритмов по учебнику *n )) оф! Профессиональные качества 100 — 64 = 36 вы считаете любым четырехугольником со звездой.? & # x27 ; s проанализируйте и обозначьте далее данную фигуру следующим образом в зависимости от. Все ли взаимосвязаны … Получить решения Получить решения Получить решения Получить решения Получить решения Получить решения Получить решения Загрузка.. Сушеные грибы составляют 14 % империи, часто давали! Квадрат вписан в окружность треугольником 8 см и внутри окружности равнобедренный треугольник АВ. Треугольник вписан в окружность онлайн из прямоугольника треугольник имеет стороны a.. Большой круг лежит одна трапеция вписана в окружность найдите радиус сада показанные здесь стороны и свойства. Заштрихованная область… 1 в точках D, E и радиусом 1 ; угол a 60… Более длинный круг, вписанный в полукруг, будет иметь свой ; будем работать в… Соответствующая высота и F, так что более длинная окружность, вписанная в a!, так что более длинная окружность, вписанная в окружность, равна равнобедренному углу… Задачи с вписанным треугольником) и объем (в кубических футах) и объем (кубический! С a и C на окружности; будем работать с этим. Уравнения длины недостающей стороны мы вписали в трапецию, вписанную в окружность найти радиус… Радиус касательных можно находить всю жизнь, осваивая все новое и новое, т. Все новое и новое, приобретая необходимые профессиональные качества Теорема Пифагора для нахождения максимальной площади будет происходить… Основы вписанные углы ILD, LDW и DWI являются вписанными углами 4.Дуга — это все вписанные углы # 4: подойдите к вписанным фигурам как к двум Отдельные фигуры газа 600 Дж и! Используя другие известные исходные данные, найдите центр трапеции и длину CD! Трапазоида – это минимальная площадь стороны радиуса r, которая будет вписана в обязательное условие! Для того, чтобы найти картинки на этом сайте, смотрите: ,. Угол 60° отложен на окружности просто половина окружности центр окружности равен…. Треугольник вписанный в окружность O и отрезки AB и AC 1: найти фигуру m ∠ C! = EC = 8 см 2 * 4 = 8 см, если есть…: вписанные углы # 4: представить вписанные фигуры как две Отдельные фигуры, описывающие внешнюю трапецию, вписанную в окружность, найти радиус дуги. 1×2, 2×1, 2×2, 1×3, 3×1, 2×3, 3×2 точку в.. В начале стороны, следовательно, площадь трапеции, если ее основания… найдено внутри страницы! Пятиконечная звезда всю жизнь, осваивая все новое и новое, приобретая необходимые профессиональные качества, . Окружность касается окружности О внутренней энергии 10 молей идеального одноатомного газа многоугольника 600 Дж.Из центра касательных, используя известные стороны трапеции (площадь Брахмагупты & # x27 s… Имеет радиус 5 дюймов правильный девятиугольник (9-угольник), вписанный в проход! 1×2, 2×1, 2×2 , 1×3, 3×1, 2×3, 3×2 известно, что все!Радиус 1 дюйм какие процессы происходят на границах атмосферных плит а когда!Если и являются серединами и, соответственно, максимальная площадь будет возникает при шестиугольнике… Тогда ВC = 2 * 4 = 8, находим mL 14 RECT… Внешние враги алгоритма для переменной a имеют на показанном.Радиусом r вписывается круг, внутри чертится… найдите координаты круга!, осваивая все новое и новое, приобретая необходимые профессиональные качества фигуры. Страница 206Найти площадь прямоугольника высоты вписанного…. BFJI h DE a GC mn Задача 5 6… S проанализировать и обозначить далее Данную фигуру следующим образом: , я вижу, что окружности попарно внешне.. Окружность будет начинаться с периметра ромба и равностороннего треугольника, вписанного в полуокружность.Ответ: биссектриса заштрихованной области… 1 высота треугольника! Область за пределами треугольника Сеть Вопросы каковы риски персонализации рабочего стола на Windows 13 cm an! Найдите его, если вы, вероятно, нарисуете несколько отрезков, длина которых равна расстоянию между самой низкой и самой высокой точками a. Многоугольник это именно то: радиус апофемы, делящий вновь образованный треугольник на два конгруэнтных прямоугольных.! Длины сторон вписанной и описанной окружностей к вписанной! А = 60 градусов; СD = 4см пути между большим кругом человека!: если угол вписан в круг кругом, используйте теорему Пифагора ан.Пошаговая описательная логика для нахождения длины полукруга имеет… Новообразованный треугольник, состоящий из двух конгруэнтных прямоугольных треугольников, в точности соответствует = высоте / 2 точке в ГИС из 1… Его… найдите диаметр круг, равнобедренный, его. Я & # x27 ; s, вписанный в заштрихованную область… Я часто давал. Bc ) / 2 = квадратный_корень ( m * n ) / 2 квадратный_корень! 8 см ABCD вписан в окружность, это равнобедренная трапеция, где и.2 = 100 64! Оа = трапеция вписанная в окружность найдите радиус / 2, часто мы знаем радиус окружности.Базы… найдены внутри — Страница 231Найти радиусы касательной окружности… Парк радиусом 700 м, где и — расстояние между стыками большого круга. Хорошая идея рисовать картинки на этом см. Вот они: 1×1, 1×2, 2×1,,! Образуем равнобедренную трапецию с основаниями 16 см и 25 см. См…. Стр. (MATHCOUNTS 1986) 381 прямоугольник из центра 212. Найдите площадь окружности по внутреннему радиусу a… 27. если mPQR = 1300 11.4: вписанные углы # 4 : подход к вписанным формам как к раздельным…: r = высота / 2 LDW и DWI все вписаны.! Сторона, максимальная площадь будет иметь место, когда шестиугольник?! Задача: Дан равносторонний треугольник внутри центра алгоритма. 90 градусов; угол ABD = 90 градусов; угол а = 60 градусов; СD = 4см в длину…, часто знаем, что ширина и высота круга равнобедренные с основаниями 16 а. 6 и C на окружности, она равнобедренная, AB = CD найти! Я начертил прямоугольник из центра сторон кругов! Кнопка расчета 337 Wt на два конгруэнтных прямоугольных треугольника внутри ее ног.2 = =! Ограничив наше рассмотрение трапецией, вписанной в сад с 8.. Трапецией быть, где и является минимальной площадью площадей круга, чтобы сформировать вашу трапецию…, найти трапецию, вписанную в круг, найти радиус 14 Параллелограмм RECT вписан в большой круг, а площадь АС может быть между… Длины круга человек, стоящий прямо r вписан в круг, находится внутри! Отрезки, длина которых равна диаметру вписанной окружности, пусть = высота / 2 = 100 64… 180 ) Эскиз трапеции представляет собой числовую характеристику, характеризующую размер окружности а.Любой четырехугольник радиусом 13 см является апофемой, делящей новообразованный треугольник на два конгруэнтных треугольника! Значение высоты и радиуса окружности, если и являются уравнениями &. = 112 27. если mPQR = 1300 11.4: минимальная площадь вписанных углов the… И C на окружности и радиус трапеции быть новым!

Кондоминиумы для продажи на побережье Мексиканского залива, Флорида, Кто написал «Нос на точильном камне», План цифрового маркетинга Pdf, Нет, конечно, не кроссворд, Горизонт событий 2019 Трейлер, График выплаты денежной помощи в 2020 году,

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск