Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Набор задач 2.2

2.2.1. Треугольник АВС вписан в окружность. Точка D является центром вписанной окружности. Докажите, что угол DAE равен углу ADE. (Примечание: «треугольник» в левой части утверждения доказательства должен быть «углом» )

2.2.2 Если окружность с центром O вписана в трапецию, основания которой касаются окружности в точке P и Q (см. рисунок), докажите:

а. Попробуйте показать m(угол PAQ) = m(угол PBQ) .Обратите внимание, что каждый из них образует аккорд PQ. Поскольку существуют конгруэнтные окружности, дуги, на которые опираются углы, имеют одинаковую меру.

Открыть файл GSP?

б. Если мы можем показать, что CP = PA, то оба равны PB из части A, поэтому будет окружность ABC с AC в качестве диаметра, и, таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, чтобы показать CP = PA, возможны два подхода.

Во-первых, зная, что AP = PB, нужно показать, что PBC является равнобедренным с углами при основании в точках B и C.

Во-вторых, обратите внимание, что APQ — прямоугольный треугольник, потому что AQ — это диаметр. Используйте это, чтобы показать, что PQC является прямоугольным треугольником с CQ в качестве диаметра. Вы почти закончили.

2.2.4. Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими окружностями . Если отрезки AB и CD — две хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, докажите, что AB = CD.

Если вы доказали теорему, включенную в часть a задачи 2.1.1, то доказательство здесь может использовать этот результат.

В противном случае существует несколько способов рассмотрения конгруэнтных треугольников, включающих радиусы большого круга к A, B, C и D, а также перпендикуляры из O к точкам касания с малым кругом.

Извлечь файл GSP .

Следствия:

Аккорды, равноудаленные от центра окружности, конгруэнтны, и наоборот.

Перпендикуляр к хорде из центра окружности проходит через середину хорды.

2.2.5 Извлечение файла GSP. У нас есть окружность O с касательными PA и PB. Если Q лежит на дуге AB, а CD касается Q, докажите, что

а. m(угол COE) одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

б. Покажите, что периметр треугольника PCD одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

Откройте файл GSP и запустите анимацию.

Измерение угла COD или периметра треугольника PCD подтвердит, что то, что вы хотите доказать, имеет место. Тем не менее, никакое количество измерений не установит доказательство.

Если мы можем показать, что OC — биссектриса угла BOQ, а OD — биссектриса угла AOQ, независимо от того, где Q находится на дуге AB, то угол COD равен половине угла BOA. Проверьте, является ли AOBP вписанным четырехугольником.

Для части b см. PC + QD + DP. Можем ли мы чем-то заменить?

 

 

Откройте файл GSP.

 

 

 

 

2. 2.7 Открыть файл GSP

ABCD — четырехугольник с прямыми углами в точках A и D. Окружность O касается сторон AB и AD в точках B и E соответственно.Диагональ AC содержит O. Сторона CD пересекает окружность в точке P, а PB пересекает AC в точке Q.

а. Найдите углы треугольника CQP

.

б. Докажите, что AQ = r, где r — радиус окружности. То есть АК? СО

 

Сегменты OB и OE

, безусловно, будут полезными для использования. BAEO — это квадрат со стороной, равной радиусу окружности.

 

 

 

 

 

 

2.2.8 Открыть файл GSP .

Окружность касается квадрата ABCD в точке P с вершинами A и D на окружности. Сторона DC пересекает окружность в точке Q. Докажите, что

а. Треугольник QPA прямоугольный.

б. Отрезок AP является биссектрисой угла QAB

Подсказка к части а — исследовать треугольник ADQ.

Подсказка к части b — изучить отмеченные углы

 

 

2.29 Определите, можно ли найти описанную, равнобедренную «настоящую» трапецию (параллельные стороны не конгруэнтны), которая обладает следующими свойствами (здесь три отдельных вопроса). Обоснуйте свои ответы.

Обратите внимание, что если трапеция описана и равнобедренна, то сумма длин оснований должна быть в два раза больше длины двух конгруэнтных сторон: a + b = 2c.

а. Диагональ делит угол трапеции пополам.

б.Трапеция циклическая.

Докажите или опровергните: Трапеция вписана тогда и только тогда, когда она равнобедренная .

Докажите или опровергните: Каждый равнобедренный треугольник можно описать .

Докажите или опровергните: Если трапеция описана, то она также вписана

в. Диагонали перпендикулярны.

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями не обязательно является воздушным змеем или ромбом.

Докажите: Если описанный равнобедренный треугольник имеет параллельные основания a и b и конгруэнтные стороны c, покажите, что существует ромб со сторонами длины c, который можно описать около той же окружности.

2.2.10 а. Окружность О вписана в ромб. ABCD — четырехугольник, вершины которого являются четырьмя точками касания. Каким четырехугольником может быть ABCD? Доказывать.

Откройте файл GSP и изучите .Или создайте собственный файл GSP. Выглядит, как прямоугольник, всегда кажется прямоугольником, а ромб меняется, доказательство?

Рассмотрим диагонали ромба и диагонали вписанного четырехугольника. Также см. задачу 2.2.2.

 

б. Что является обратным утверждением, доказанным в части а?

Если прямоугольник вписан в окружность, то описанный четырехугольник с точками касания в вершинах прямоугольника является ромбом.

 

2.2.11 В трапецию ABCD вписана окружность, MN — середина трапеции. Докажите следующее.

а. Сегмент MN содержит O.

б. ON = NB и OM = MA

 

Откройте файл GSP для исследования и подсказок. Трапеция не обязательно равнобедренная.

 

 

2.2.12 В трапеции ABCD отрезок MN является средним отрезком, а P — точка на MN такая, что PM = MA и PN = NB.

а. Можно ли вписать окружность в ABCD. Оправдывать.

б. Докажите, что P является центром вписанной окружности.

 

Мы имеем дело с обратным тому, что было показано в задаче 2.2.11.

Рассмотрим треугольники AMP и BNP. См. файл GSP

 

2.2.13 Докажите, что центры O1 и O2 двух непересекающихся окружностей и точка пересечения P, на которой пересекаются две касательные, лежат на одной прямой.

См. файл GSP .

Нам нужно показать, что центры O1 и O2 лежат на биссектрисах угла.

Есть несколько способов сделать это. один из них состоит в том, чтобы увидеть, что центр O1, P и две точки касания к окружности O1 являются воздушным змеем, и отрезок от O1 до P проходит вдоль биссектрисы угла. Затем рассмотрите вертикальные углы при P и докажите, что центр O2 также лежит на биссектрисе угла.. .

2.2.14. Две точки, имеющие только одну общую точку, называются касательными окружностями .

а. Докажите, что точки пересечения двух касательных окружностей и их центров лежат на одной прямой. (Подсказка: предположим противное и воспользуемся неравенством треугольника).

б. Докажите, что касательная к одной из окружностей в точке касания касается и другой окружности.

Часть а: Предположим, что точка P не лежит на линии центров AB. Затем существует треугольник APB, в котором AB является кратчайшим расстоянием от A до B. Неравенство треугольника будет означать, что AP + BP > AB. Но радиус — это кратчайшее расстояние от центра до окружности. Таким образом, расстояние от A до P, а затем от P до B будет меньше или равно любому другому пути. Таким образом, предположение, что P не находится на линии центров, должно быть отвергнуто.

 

Часть б. См. файл GSP . Касательная к окружности А в точке Р — это прямая, перпендикулярная линии центров, как показано в части а. Но эта касательная также перпендикулярна BP в точке P.

.

 

2.2.15. Окружности O1 и O2 касаются друг друга в точке B. A — любая другая точка на общей касательной к B, а AP и AQ — касательные к окружностям O1 и O2 соответственно. Докажите, что АР = АК.

Используйте теорему 2.6

См. файл GSP?

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.16 Две окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая AB касается окружностей в точках A и B соответственно. Если C лежит на AB, а CP — общая касательная, проходящая через точку P, докажите, что

а. АС = СВ

б. m(угол APB) = 90 градусов.

Подсказка: используйте результат задачи 2.2.15 для части а. Для части b постройте окружность из общей длины CP = AC = CB

.

Файл GSP?

 

 

 

 

2.2.17. Окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая, проходящая через P, пересекает первую окружность в точке A и вторую окружность в точке B. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна касательной в точке B ко второй окружности. См. файл GSP и измените направление от AB до P.

Подсказка: Рассмотрите линию центров и два образуемых ею равнобедренных треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

2.2.18 Две конгруэнтные окружности с центрами в точках D и E пересекаются в точках F и A. Третья окружность с центром в B пересекает D в B и E в C. (Эти точки лежат в одной полуплоскости, определяемой FA.) Докажите A, B , и C коллинеарны.

На самом деле существует два случая этой проблемы. Тот, что изображен здесь и в тексте, предназначен для случаев, когда радиус красного круга меньше FA.

Второй случай имеет место, когда радиус больше, чем FA, но меньше, чем удвоенный радиус двух конгруэнтных окружностей.

Ниже приведено изображение.

Ситуация, когда FA равна радиусу красного круга, означает, что B и A находятся в одной и той же точке.

Я сосредоточусь на первом случае. Первый совет — использовать теорему о вписанном угле, чтобы показать, что угол FAC и угол FABB имеют одинаковую меру. Это не доказывает, что B находится на AC, но это первый шаг.

2.2.19 Вершины треугольника EFD лежат на сторонах треугольника ABC. Постройте описанные окружности треугольника ADE, треугольника DFC и треугольника EBF. Повторите построение для разнорасположенных треугольников EFD. (С помощью GSP мы можем использовать некоторые функции анимации, чтобы изменять расположение E, F и D на соответствующих сторонах ABC).

а. Основываясь на наблюдениях, сделайте предположение о трех описанных окружностях.

б. Докажите свою гипотезу в части а.

Подсказка для б.Обратите внимание на вписанные четырехугольники.

См. файл GSP .

2.2.20 См. файл GSP

а. Докажите, что всякий раз, когда три окружности касаются друг друга (как показано), три касательные к точкам касания совпадают.

б. Используйте результат части а, чтобы показать, как построить три неконгруэнтных окружности, касающиеся друг друга.

Окружность вписана в трапецию PQRS Если PS QR 25 класс 9 математика CBSE

Полный пошаговый ответ :

Примечание : Прямой угол представляет собой угол измерения 90 °, и Пифагор может применяться только к прямоугольным треугольникам. Помните:

св. ва трапеция.Полезные свойства трапеции

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться местами в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольная фигура, две стороны которой параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции можно уменьшить высоту — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

Сейчас мы поговорим о различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями.

Свойства трапециевидных диагоналей

Чтобы было понятнее, при чтении нарисуйте на листе бумаги трапецию АКМЭ и проведите в ней диагонали.

1. Если найти середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки как X и T) и соединить их, то получится отрезок. Одним из свойств диагоналей трапеции является то, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
2. Перед нами та самая трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и MOC, образованные отрезками вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
   Отношение площадей треугольников AOE и MOC описывается коэффициентом k 2.
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые образованы отрезками диагоналей вместе с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
4. Другое свойство трапеции включает диагонали рисования. Итак, если мы продолжим боковые стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке.Далее через середины оснований трапеции провести прямую. Она пересекает основания в точках X и T.
   Если теперь продолжить прямую XT, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжены боковые стороны и середины трапеций. основания X и T пересекаются.
5. Через точку пересечения диагоналей провести отрезок, соединяющий основания трапеции (Т лежит на меньшем основании ЦМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЭ.
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведите отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Пересечение разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a+b).

Свойства осевой линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АКМЭ.Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь, что биссектриса отрезает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок той же длины, что и сторона.

Свойства угла трапеции

1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к боковой стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Соедините середины оснований трапеций отрезком TX.Теперь посмотрим на углы у основания трапеции. Если сумма углов при любом из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разности длин оснований, деленной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
3. Если провести параллельные прямые через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

1. У равнобедренной трапеции углы равны при любом основании.
2. Теперь снова нарисуйте трапецию, чтобы было легче представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание AE — вершина противоположного основания M проецируется в точку на линии, содержащей AE. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренных трапеций — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если возле трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b) / 2 .
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции он перпендикулярен основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз уменьшите до большего основания (обозначим его a) высоту от противоположной вершины трапеции. Будет два сегмента. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a+b)/2·… Второе получится, если из большего основания вычесть меньшее и полученную разность разделить на два: (а — б) / 2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку мы уже говорили о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где центр окружности находится по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне.Например, диагональ может проходить от вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
2. Диагональ и сторона могут встречаться и под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЭ (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MOE .
5. Кратко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти как отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженному на два.Например, R = AE/2 * sinAME … Аналогично формулу можно записать для любой стороны обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание форм имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
2. В трапеции АКМЭ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон, можно вписать окружность.
4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция АКМЭ, описанная по окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Называется прямоугольная трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, примыкающая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, примыкающую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы наверное уже сами догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция АКМЭ — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины М проведите прямую линию МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник AKMT является параллелограммом (AK || MT, KM || AT). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || MT, следовательно, MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Отсюда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

К.Э.Д.

Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция AKME равнобедренная :

• Для начала проведем прямую MX — MX || КЭ. Получаем параллелограмм KMXE (основание — MX || KE и KM || EX).

∆AMX равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что АК = МЕ, а отсюда следует, что трапеция АКМЕ равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЭ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 .Требуется найти площадь трапеции.

Решение: От вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они дают 180 0 . Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойств углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆ANK (думаю, этот момент очевиден для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции КН — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, KH = ½AB = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились начертить трапеции для всех вышеперечисленных свойств карандашом в руках и разобрать их на практике, материал должен был быть вам хорошо понят.

Конечно, информации здесь много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной.Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробное описание всех общих свойств трапеций. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Их очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ваша конфиденциальность важна для нас.По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного лица или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для администрирования этих программ.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим общественно важным причинам.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами личную информацию соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того, чтобы убедиться, что ваша личная информация находится в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности, строго следим за выполнением мер конфиденциальности.

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения, подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равны (имеют одинаковую площадь)
4. Если продолжить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​пропорции, равной отношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a+b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего получим отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , лежит на средней линии трапеции .

Этот отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

лм = (н.э. — до н.э.) / 2
или
LM = (a-b) / 2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — , подобны .
Треугольники BOC и AOD подобны. Поскольку углы BOC и AOD вертикальны, они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними крестообразно с параллельными прямыми AD и BC (основания трапеции параллельны друг другу) и секущей AC, следовательно, равны.
Углы OBC и ODA равны по той же причине (внутреннее пересечение).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если мы знаем значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Отсюда длины всех остальных элементов относятся друг к другу с точно такой же величиной.

Свойства треугольников, лежащих на стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD.Это треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон этих треугольников могут быть совершенно разными, но площадей треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции, равны , то есть треугольники равны по размеру.

Если продолжить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совмещена с прямой линией, проходящей через середины оснований .

Таким образом, любую трапецию можно продолжить до треугольника. Где:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной на пересечении продолженных боковых сторон, подобны
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является одновременно медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, лежащей в точке пересечения диагоналей трапеции (КН), то отношение составляющих его отрезков со стороны основания к точка пересечения диагоналей (КО/ОН) будет равна отношению оснований трапеции (ВС/АД).

КО/ОН = БК/АД

Это свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства линии, параллельной основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Предустановленное расстояние (км) делит точку пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна КМ = 2ab/(a+b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

а, б — основание трапеции

в, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — уголки с большим основанием трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Это свойство диагоналей трапеции можно доказать в виде отдельной теоремы

2 … Эта формула получается преобразованием предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали перебрасывается через знак равенства, после чего из левой и правой частей выражения извлекается квадратный корень.

3 … Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с тем отличием, что в левой части выражения

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | BC) пересекаются в точке O. Найдите длину основания BC трапеции, если основание AD = 24 см, длина AO = 9 см, длина OC = 6 см.

Решение .
Решение этой задачи идеологически абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC подобны по трем углам — AOD и BOC вертикальны, а остальные углы попарно равны, так как образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Так как треугольники подобны, то все их геометрические размеры связаны друг с другом, как геометрически размеры отрезков АО и ОС, известные нам из условия задачи. То есть

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6/9 = 16

Ответ : 16 см

Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Чтобы найти высоту трапеции из вершин меньшего основания В и С, опускаем две высоты к большему основанию. Так как трапеция неравнополочная, обозначим длину АМ = а, длину КД = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Так как основания трапеции параллельны, а мы опустили две высоты, перпендикулярные большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK прямоугольные, поэтому их прямые углы образованы высотами трапеций. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , то в первое уравнение
ч 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
ч 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по формуле теорема Пифагора.Получаем:
425 — (8 + б) 2 + (24 — б) 2 = 169
— (64 + 16б + б) 2 + (24 — б) 2 = -256
-64 — 16б — б 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Итак, KD = 12
Где
ч 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найти площадь трапеции через ее высоту и половину суммы оснований
, где ab — основание трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции 80 см 2 .

Трапеция Четырехугольник с двумя параллельными сторонами, являющимися основаниями, и двумя непараллельными сторонами, являющимися боковыми сторонами.

Существуют также такие названия, как равнобедренный или равнобедренный .

Представляет собой трапецию с прямыми боковыми углами.

Элементы трапеции

A, B — База Trapezoid (параллельно до б),

м, N — Боковые стороны Трапеция,

D 1, D 2 — Диагонали трапеция,

ч — высота трапеция (отрезок, соединяющий основания и одновременно перпендикулярный им),

МН — средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон).

Площадь трапеции

1. Половина суммы оснований a, b и высоты h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h: S = MN\cdot h
3. Через диагонали d 1, d 2 и угол (\sin\varphi) между ними: S = \frac(d_(1)d_(2)\sin\varphi)(2)

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит каждый отрезок с концами, расположенными на прямых, содержащих основания (например, высота рисунка) пополам:

МН || а, МН || б, МН = \ frac (a + b) (2)

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , примыкающих к каждой стороне, равна 180^(\circ):

\alpha+\beta=180^(\circ)

\gamma+\delta=180^(\circ)

Равновеликие трапециевидные треугольники

Равновеликие 90,имеющие равные площади, то есть отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.(2).

Отношение длины к основанию

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​соотношении:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Это будет верно для высоты с самими диагоналями.

С такой формой, как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. Например, любой мост из бетонных блоков является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и так далее. Свойства фигуры были известны еще в Древней Греции. , который более подробно описал Аристотель в своем научном труде «Начала». А знания, полученные тысячи лет назад, актуальны и сегодня. Поэтому давайте познакомимся с ними подробнее.

В контакте с

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция — это четырехугольник, состоящий из двух параллельных отрезков и двух непараллельных.Говоря об этой фигуре, всегда следует помнить о таких понятиях, как: основание, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника, которые называются основаниями друг к другу (отрезки AD и BC). Высотами называются отрезки, перпендикулярные каждому из оснований (EH), т.е. пересекающиеся под углом 90° (как показано на рисунке 1).

Если сложить все внутренние градусные меры, то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и любого четырехугольника.Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) , называют средней линией. Длина этого отрезка равна сумме оснований BC и AD, деленной на 2.

Различают три типа геометрических фигур: прямые, правильные и равнобедренные. Если хотя бы один угол при вершинах основания прямой (например, если ABD = 90°), то такой четырехугольник называется прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то он называется равнобедренным (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, используйте следующую формулу:

Рисунок 2. Решение задачи нахождения площади

Для более наглядного примера давайте решим простую задачу. Например, пусть верхнее и нижнее основания равны 16 и 44 см соответственно, а стороны 17 и 25 см. Построим из вершины D перпендикулярный отрезок так, чтобы DE II BC (как показано на рисунке 2). Отсюда мы получаем, что

Разрешить запуск DF.Из ΔADE (которая будет равнобедренной) получаем следующее:

То есть, говоря простым языком, мы сначала нашли высоту ΔADE, которая также является высотой трапеции. Отсюда вычисляем площадь четырехугольника ABCD по уже известной формуле, при уже известном значении высоты DF.

Следовательно, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы по вычислить площадь трапеции, нужна только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задачи не обязательно находить значения длин отдельно, вполне допустимо, если будут применены другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Типы трапеций

В зависимости от того, какие стороны у фигуры, какие углы образованы при основаниях, различают три вида четырехугольника: прямоугольный, неправильный и равнобедренный.

Универсальный

Различают две формы: острую и тупую… ABCD является остроугольным только тогда, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон различны. Если величина одного угла больше на Пи/2 (градусная мера больше 90°), то мы получаем тупой.

Если боковины равны по длине

Рис. 3. Вид на равнобедренную трапецию

Если непараллельные стороны равны по длине, то треугольник ABCD называется равнобедренным (правильным). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одна и та же, их угол всегда будет меньше прямого.Именно по этой причине равнобедренные никогда не делят на остроугольные и тупоугольные. Четырёхугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к которым относятся:

1. Отрезки, соединяющие противоположные вершины, равны.
2. Острые углы с большим основанием составляют 45° (наглядный пример на рис. 3).
3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме получится 180°.
4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить.
5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она будет равна π.

Более того, благодаря их геометрическому расположению точек существует основных свойств равнобедренной трапеции :

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Не может быть двух боковых сторон с углами в основании, потому что иначе это будет уже прямоугольник. В этом виде четырехугольника вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а тупой — с меньшим.В этом случае перпендикулярная сторона также будет высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины сторон, и получившийся отрезок будет параллелен основаниям, а по длине равен половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния рассчитывается по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с использованием средней линии.

Задание. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис. 4). Найдите длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи нахождения длин оснований

Раствор. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равно (x + 4) см соответственно. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции, получим:

Получается, что меньшее основание ДК 5 см, а большее 9 см.

Важно! Понятие осевой линии является ключевым в решении многих задач по геометрии. На основе его определения строятся многие доказательства для других фигур. Используя концепцию на практике, возможно более рациональное решение и поиск нужного значения.

Определение высоты и как ее найти

Как отмечалось ранее, высота — это отрезок, пересекающий основания под углом 2Pi/4 и являющийся кратчайшим расстоянием между ними. Перед нахождением высоты трапеции необходимо решить, какие входные значения даны.Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найдите высоту трапеции, если основания равны 8 и 28 см, а стороны соответственно 12 и 16 см.

Рис. 5. Решение задачи на нахождение высоты трапеции

Нарисуйте отрезки DF и CH под прямым углом к ​​основанию AD. По определению каждая из них будет высотой данной трапеции (рис. 5). В этом случае, зная длину каждой боковой стенки, по теореме Пифагора находим, чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пусть длина AF равна x см, тогда длина отрезка HB = (20 — x) см. Как оказалось, DF = CH, следовательно.

Тогда мы получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычисляем высоту трапеции DF по той же теореме Пифагора:

Тех. высота трапеции ADCB будет равна 9.6 см. Как видите, вычисление высоты является более механическим процессом и основано на вычислении сторон и углов треугольников. Но в ряде задач по геометрии могут быть известны только градусы углов, и в этом случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности, трапецию часто представляют как два треугольника или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Решить 90% всех задач, встречающихся в школьных учебниках, свойства и характеристики этих фигур.Большинство формул для этого HMT выведены на основе «механизмов» для этих двух типов фигур.

Как быстро рассчитать базовую длину

Прежде чем найти основание трапеции, необходимо определить, какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практический подход состоит в том, чтобы извлечь длину неизвестного основания из формулы центральной линии. Для более ясного восприятия картины покажем на примере задачи, как это можно сделать.Пусть будет известно, что средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из оснований 10 см. Найдите длину второго основания.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы оснований, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи мы знаем, что одна из них равна 10 см, следовательно, меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 — 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного рода рекомендуем хорошо выучить такие формулы площади трапеции, как :

• средняя линия;
• кв.м.;
• высота;
• диагоналей.

Зная суть (именно суть) этих вычислений, вы легко сможете узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Заключение

Из рассмотренных примеров задач можно сделать простой вывод, что трапеция, с точки зрения расчетных задач, является одной из простейших фигур в геометрии. Для успешного решения задач в первую очередь стоит решать не то, какие сведения известны об описываемом объекте, в каких формулах их можно применить, а решать, что необходимо найти.С помощью этого простого алгоритма любая проблема с этой геометрической формой не решается без усилий.

C.1.3 — Построить вписанную и описанную окружности треугольника и доказать свойства углов четырехугольника, вписанного в окружность.