Свойства корня n-ой степени — методическая рекомендация. Алгебра, 11 класс.

1.	Корень из произведения, десятичные дроби и целые числа	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление корня степени n из произведения.
2.	Корень из произведения, целые числа и обыкновенные дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	3 Б.	Вычисление корня степени n из произведения.
3.	Корень из частного, обыкновенные дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление корня степени n из дроби.
4.	Корень из произведения	2 вид — интерпретация	лёгкое	4 Б.	Вычисление корня степени n из произведения.
5.	Корень из корня	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Преобразование корня степени n из корня степени n к корню.
6.	Извлечение корня из степени	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Применение свойства «извлечение корня из корня».
7.	Показатели корня	2 вид — интерпретация	лёгкое	2 Б.	Приведение к одному показателю корня.
8.	Корни с разными показателями	2 вид — интерпретация	лёгкое	2 Б.	Приведение к одному показателю корня.
9.	Корень из произведения степеней, корень в степени (целые числа)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Упрощение выражения.
10.	Корень из дроби	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Применение свойств: корень из дроби, корень из произведения.
11.	Произведение корней	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойства.
12.	Частное корней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение свойства.
13.	Произведение корня из произведения степеней и корня из степени	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Вычисление значения произведения.
14.	Корень из частного степеней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление корня степени n из дроби.
15.	Корень из степени	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойства «корень в степени».
16.	Сравнение корней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Сравнение корней с разными показателями.
17.	Произведение корней с разными показателями	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Преобразование произведения корней к корню степени n.
18.	Частное корней с разными показателями	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Преобразование частного корней к корню степени n.
19.	Произведение корней с разными показателями из произведений степеней	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Преобразование произведения корней из произведений степеней к корню степени n.
20.	Степень произведения (число и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Возведение в степень произведения.
21.	Степень произведения (одночлен и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Возведение в степень произведения.
22.	Корень из произведения степеней (десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения выражения.
23.	Уравнение	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Решение уравнения.
24.	Уравнение, сводимое к квадратному (метод введения новой переменной)	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Решение уравнения.
25.	Уравнение, сводимое к квадратному (полное)	2 вид — интерпретация	сложное	8 Б.	Решение уравнения.

Основные свойства корней — Мегаобучалка

Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число , n-я степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

,

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √, арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например :

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например: арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 ( при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

 

Уравнение хⁿ=а.

Уравнение хⁿ=а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например : х³=-125;

х= ;

х=- ;

х=-5.

Для наглядности сделаем проверку:

(-5)³=-125;

-125=-125- верно.

Ответ : х=-5.

Уравнение хⁿ=а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

х=± .

Например:

х⁴=16;

х₁= ; х₂=- ;

х₁=2; х₂=-2.

Можно убедиться при проверке, что 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Ответ : ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например :

.

Так как <0, следовательно

.

Основные свойства корней.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например :

2 .

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня , например:

а)

б)

в)

 

формулой n-го члена ап: a_n= a₁+ d · (n — 1)

формулой n-го члена гп:

Функции y=kx (где k — любое натуральное число). Прямая пропорциональность, график прямая.
Свойства:
область определения — R
область значений — R
нечетная
при к >0 функция возрастает, при к <0 –убывает

 

 

Корень квадратного уравнения (формула)

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) находят по формуле . Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные корни (или корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Если , можно применить формулу .

если просто уравнений, а не систем, то алгоритм прост: 1. неизвестные влево, сложить коэфициенты; числа вправо, также сложить (с учетом знака конечно) 2. разделить правую часть на коэфициент при неизвестном 2прим. если коеф.=0 и справа 0 — любое число есть решение уравнения если коеф.=0 а справа не 0 — уравнение решения не имеет

 

 

§1 Корень n-степени и его свойства

1.	Произведение иррациональных чисел	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Действия с корнями. Свойства корней.
2.	Действия с иррациональными числами	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Свойства корней. Знание результат дейсвий с иррациональными числами.
3.	Деление иррациональных чисел	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Действия с корнями. Свойства корней.
4.	Корень степени n	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление корня степени n из отрицательного и положительного числа.
5.	Вычисление корня степени n	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление корня степени n из целого числа.
6.	Подкоренное число и показатель степени	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Определение подкоренного числа и показателя степени
7.	Корень n-й степени (десятичные дроби)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Вычисление корня n-й степени
8.	Корень n-й степени (обыкновенные дроби)	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление корня n-й степени
9.	Корень из произведения, десятичные дроби и целые числа	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление корня степени n из произведения
10.	Корень из произведения, целые числа и обыкновенные дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	3 Б.	Вычисление корня степени n из произведения
11.	Корень из частного, обыкновенные дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление корня степени n из дроби
12.	Корень из произведения	2 вид — интерпретация	лёгкое	4 Б.	Вычисление корня степени n из произведения
13.	Корень из корня	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Преобразование корня степени n из корня степени n к корню
14.	Извлечение корня из степени	2 вид — интерпретация	лёгкое	3 Б.	Применение свойства «извлечение корня из корня»
15.	Показатели корня	2 вид — интерпретация	лёгкое	2 Б.	Приведение к одному показателю корня
16.	Корни с разными показателями	2 вид — интерпретация	лёгкое	2 Б.	Приведение к одному показателю корня
17.	Корень из корня степени	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Преобразование к корню степени n
18.	Корень n-й степени (целые числа)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление разности произведений целых чисел и корней n-й степени
19.	Сравнение иррациональных чисел	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Расположение чисел в порядке убывания (возрастания)
20.	Уравнение (степень)	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения
21.	Корень n-й степени (целые числа и десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление разности произведений корней n-й степени и целых чисел
22.	Область определения функции корня n-й степени, чётная и нечётная степени	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Нахождение области определения функции
23.	Область определения функции корня n-й степени (нечётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Нахождение области определения функции корня n-й степени
24.	Область определения функции корня n-й степени (четная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Нахождение области определения функции корня n-й степени
25.	Область определения функции, противоположный квадратный трёхчлен (чётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	10 Б.	Решение квадратного неравенста, применение теоремы Виета для нахождения области определения функции n-го корня
26.	Возрастание функции корня n-й степени	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Определение промежутков возрастания, построение графика функции корня n-й степени
27.	Область значений функции корня n-й степени	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Найти область значений, построить график функции корня n-й степени
28.	Решение уравнения графически (нечётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Решение уравнения графически. Нахождение точек пересечения двух графиков функций, одним из которых является график функции корня n-й степени
29.	Возрастание функции корня n-й степени вида y=f(x+m) или y=f(x)+b (чётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Определение промежутков возрастания, построение графика функции корня n-й степени вида y=f(x)+b и y=f(x+m) схематически
30.	Область значений функции вида y=f(x+m) или y=f(x)+b (нечётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Найти область значений, построить график функции корня n-й степени вида y=f(x)+b или y=f(x+m) схематически
31.	Область определения функции корня n-й степени, дробь (чётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Нахождение области определения функции корня n-й степени, приведение неравенства к линейному
32.	Область определения функции, квадратный трёхчлен (чётная степень)	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Решение квадратного неравенства, нахождение корней квадратного трехчлена через дискриминант
33.	Корень из произведения степеней, корень в степени (целые числа)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Упрощение выражения
34.	Корень из дроби	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Применение свойств: корень из дроби, корень из произведения
35.	Произведение корней	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойства
36.	Частное корней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Применение свойства
37.	Произведение корня из произведения степеней и корня из степени	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Вычисление значения проризведения
38.	Корень из частного степеней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Вычисление корня степени n из дроби
39.	Корень из степени	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение свойства корень в степени
40.	Сравнение корней	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Сравнение корней с разными показателями
41.	Произведение корней с разными показателями	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Преобразование произведения корней к корню степени n
42.	Частное корней с разными показателями	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Преобразование частного корней к корню степени n
43.	Произведение корней с разными показателями из произведений степеней	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Преобразование произведения корней из произведений степеней к корню степени n
44.	Степень произведения (число и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Возведение в степень произведения
45.	Степень произведения (одночлен и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Возведение в степень произведения
46.	Корень из произведения степеней (десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения выражения
47.	Возведение в степень произведения (переменная и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Возведение в степень произведения
48.	Возведение в степень произведения (степень и корень)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Возведение в степень произведения
49.	Произведение корней из произведений степеней	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Преобразование произведения корней из произведений к корню степени n
50.	Вычиcление выражения	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Свойства корней. Формула сокращенного умножения. Определение иррациональных чисел.
51.	Уравнение n-ой степени	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения n-ой степени.
52.	Область определения функции, сумма корней (чётная степень)	2 вид — интерпретация	сложное	7 Б.	Решение системы квадратных неравенств, применение теоремы Виета для нахождения области определения функции n-го корня
53.	Область определения функции, дробь (нечётная степень)	2 вид — интерпретация	сложное	3 Б.	Нахождение области определения функции, метод интервалов.
54.	Область определения функции корня n-й степени, сумма корней	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Нахождение области определения функции корня n-й степени (чётная и нечётная степени)

Корень n-ой степени и его свойства

Цели урока:

Образовательная: создать условия для формирования у обучающихся целостного представления о корне n-ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.

Развивающая: создать условия для развития алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подравнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

 

2. Мотивация урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

— Что есть больше всего на свете? – Пространство.

— Что быстрее всего? – Ум.

— Что мудрее всего? – Время.

— Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

 

3. Актуализация знаний.

1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над числами. (Сложение и вычитание, умножение и деление)

2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как деление? (Нет, делить на нуль нельзя)

3. Какую еще операцию вы можете выполнять с числами? (Возведение в степень)

4. Какая операция будет ей обратной? (Извлечение корня)

5. Корень какой степени вы можете извлекать? (Корень второй степени)

6. Какие свойства квадратного корня вы знаете? (Извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из корня, возведение в степень)

7. Найдите значения выражений:

, , , ,

Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

 

4. Изучение нового материала.

Очевидно, что в соответствии с основными свой­ствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два проти­воположных значения корня четной степени, напри­мер, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4)2 = 42 = 16, а числа 3 и -3 являют­ся корнями четвертой степени из 81, так как (-3)4 = З4 = 81.

Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна. Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один ко­рень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2)5 = 32.

В связи с существованием двух корней четной сте­пени из положительного числа, введем понятие ариф­метического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.

Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.

Обозначение: – корень n-й степени.

Число n называется степенью арифметического корня. Если n = 2, то степень корня не указывается и пишется. Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени – кубическим.

= b, b2 = а, а ≥ 0, b ≥ 0

= b, bп = а, п – четное а ≥ 0, b ≥ 0

п – нечетное а, b – любые

Свойства

1. , а ≥ 0, b ≥ 0

2. , а ≥ 0, b >0

3. , а ≥ 0

4. , m, n, k – натуральные числа

 

5. Закрепление нового материала.

Устная работа

а) Какие выражения имеют смысл?

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; .

б) При каких значениях переменной а имеет смысл выражение?

 

в) Вычислите:

Решить № 3, 4, 7, 9, 11.

 

6. Физкультминутка.

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Болезни чтоб прогнать и сохранить здоровье.

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

 

7. Самостоятельная работа.

Работа в парах с. 178 №1, №2.

 

8. Д/з. Выучить п.10 (с.160-161), решить № 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

 

9. Итоги урока. Рефлексия деятельности.

Достиг ли урок своей цели?

Чему вы научились?