III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. ,,.

2. ,.

3. ,

.

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.

Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены

dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производная

сама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^гопорядка), и обозначают одним из символов

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению

.

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:

.

2. y=x^

Если , то, последовательно дифференцируя, получим

,, и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=a^x

, в частности,,.

4. y=lnx

,

.

III Некоторые правила

Очевидно, что

и. Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

, где.

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

Тогда

Пример.Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Тогда по определению:

.

Остается подставить в последнее выражение значение :

.

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

.

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка

–внутренняяточка промежутка:.

Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.

Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).

Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);

3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.

Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная осиOx.

Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.

6.9. Таблица производных и дифференциалов.

Соберём полученные в разделах 6.2, 6.3, 6.5 выражения для производных и следующие из них выражения для дифференциалов в одну таблицу:

№	y(x)	y’(x)	dy		№	y(x)	y’(x)	dy
1	y = C	0	0		10
2	у = ха	a ха-1	a ха-1dx		11
3					12
3a					14
4					15
4a					16
5					17
6					18
7					19
8					20
9					21

6.10. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

6.10.1. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2. Инвариантности формы первого дифференциала: .

Примеры:

1. . Тогда . В этом примере легко получить явную зависимость у от х: . Подставим сюда зависимость х от t: . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

2. . Тогда .

6.10.2. Производные функций, заданных неявно. Неявным заданием зависимости у от х называется уравнение вида F(x,y) = 0, связывающее эти две переменные. Общая формула для y‘(x), следующая из неявного уравнения F(x,y) = 0, включает в себя частные производные, которые мы будем изучать позже; пока приведём несколько примеров, показывающих, как найти производную y‘(x) из неявного уравнения.

1. . Дифференцируем это равенство по х, учитывая зависимость у от х (применяя правило дифференцирования сложной функции: ):

. Легко понять, что при этом всегда получится уравнение, линейное относительно y‘(x), которое без труда решается: . Производная найдена, она совпадает с полученной в предыдущем разделе (с учётом явного выражения ).

2. . Дифференцируем по х, учитывая зависимость у от х:

.

Решаем это уравнение относительно y‘: .

6.11. Производные и дифференциалы высших порядков.

6.11.1. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция имеет производную y‘(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y‘(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y‘(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается . Функция y»(x) тоже может иметь производную, которая называется третьей производной (или производной третьего порядка) функции и обозначается . Вообще n-ой производной (или производной n-ого порядка) функции называется производная от производной n-1-го порядка (обозначения: ).

Производные высших порядков последовательно вычисляются по уже известным формулам и правилам. Пусть, например, . Тогда , , , и т.д. В некоторых случаях можно получить общее выражение для n-ой производной функции: пусть . Тогда , , , и вообще . Аналогичную формулу можно получить для косинуса. Другой пример: . Если представить эту функцию в виде , то ,, и вообще .

Для высших производных произведения функций справедлива формула Лейбница:

. Эта формула внешне похожа на формулу бинома Ньютона и, также как формула бинома Ньютона, может быть доказана методом математической индукции. Для низших производных:

; ; .

6.11.2. Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной — произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная. Поэтому ; ; …., .

6.11.3. Неинвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменной. В разделе 6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала мы доказали, что независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же: dy = y‘dx. Покажем, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает. Если х — независимая переменная, то d ²y = y«dx². Если x = (t), то d ²y = d(dу) = d(y‘_хdx) =

= d(y‘_х)dx + y‘_хd(dx). Для первого слагаемого вследствие инвариантности формы первого дифференциала d(y‘_х) = y«_ххdx, для второго d(dx) = d ²x, поэтому окончательно d ²y = y«_ххdx²+ y‘_хd ²x, что отличается от случая независимой переменной. Причина этого понятна: если х независимая переменная, то при нахождении второго дифференциала dx рассматривается как независимая от x константа; в случае x = (t) дифференциал dx определяется дифференциалом dt.

6.11.4. Старшие производные функции, заданной параметрически. В разделе 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически, для первой производной функции

была получена формула . Если применить эту формулу к функции

то получим: ; аналогично, применяя ту же формулу ко второй производной, получим выражение для третьей производной, и т.д. Так, для функции мы получили . Найдем вторую производную: .

6.11.5. Старшие производные функции, заданной неявно, находятся последовательно, в соответствии с определением старших производных. Так, для неявно заданной зависимости у от х мы получили . Найдём вторую производную: . Дальше можно найти третью и т.д. производные.

67

III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. ,,.

2. ,.

3. ,.

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.

Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производнаясама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^гопорядка), и обозначают одним из символов

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению

.

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:

.

2. y=x^

Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=a^x

, в частности,,.

4. y=lnx

,

.

III Некоторые правила

Очевидно, что и. Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

, где.

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

Тогда

Пример.Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Тогда по определению:

.

Остается подставить в последнее выражение значение :

.

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

.

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.

Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.

Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).

Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);

3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.

Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная осиOx.

Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.

III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. ,,.

2. ,.

3. ,.

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.

Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производнаясама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^гопорядка), и обозначают одним из символов

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению

.

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:

.

2. y=x^

Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=a^x

, в частности,,.

4. y=lnx

,

.

III Некоторые правила

Очевидно, что и. Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

, где.

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

Тогда

Пример.Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Тогда по определению:

.

Остается подставить в последнее выражение значение :

.

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

.

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.

Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.

Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).

Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);

3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.

Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная осиOx.

Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.

Дифференциал функции

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл

Пусть функция дифференцируема на отрезке. Производная этой функции в некоторой точкеотрезкаопределяется равенством:. Тогда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, можно записать, гдепри, или.

Приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно.

Дифференциалом функции в точкеназывается главная часть её приращения, которая равна произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначаетсяили:.

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: и тогда, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Пример 1.Найти дифференциал функции.

Решение:По формуленаходим

.

Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяется формулами:

Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточной переменной на дифференциал этой промежуточной переменной

.

Таблица дифференциалов

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

.

Пример 2. Вычислить приближенно.

Решение. Рассмотрим функциюf(x)=arctg x.

По формуле имеем:

,

т.е.

.

Так как , то прииполучаем:

.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется дифференциалом функции, каков его геометрический смысл?

2. Сформулируйте основные свойства дифференциала функции.

3. Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?

4. Укажите формулу для приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала.

5. Что называется дифференциалом второго порядка от данной функции?

Приложения производной

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Применение производной к вычислению пределов.

Кроме элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции, является правило Лопиталя.

Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности.

Итак, если имеются неопределенности вида или, то

.

Обращаем внимание, что в правой части формулы берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример.Найти: а)б)в)

Решение.а) Имеем неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя, получим:

б)

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

в) Имеем неопределенность вида . Переписываем данное выражение в виде

получим неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

.

Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т.е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.

Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.

Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно – только возрастают или только убывают (например ).

Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают (например, sinx,cosx).

Возрастание и убывание функции характеризуется значением ее производной: если в некотором интервале>0, то функция возрастает, а если<0, то функция убывает в этом интервале.

Дифференциал (математика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f{\displaystyle f} обозначается df{\displaystyle df}. Некоторые авторы предпочитают обозначать df{\displaystyle {\rm {d}}f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x0{\displaystyle x_{0}} обозначается dx0f{\displaystyle d_{x_{0}}f}, а иногда dfx0{\displaystyle df_{x_{0}}} или df[x0]{\displaystyle df[x_{0}]}, а также df{\displaystyle df}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x0{\displaystyle x_{0}} от h{\displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, а иногда dfx0(h){\displaystyle df_{x_{0}}(h)} или df[x0](h){\displaystyle df[x_{0}](h)}, а также df(h){\displaystyle df(h)}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Для функций[править | править код]

Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } может быть определён как линейная функция

dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}

где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} обозначает производную f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, а h{\displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}} к x0+h{\displaystyle x_{0}+h}.

Таким образом df{\displaystyle df} есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, линейно зависящая от h{\displaystyle h}, и для которой верно следующее соотношение

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Для отображений[править | править код]

Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

• Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}, если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}.

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx} применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

Примеры

1. Найти для функции.

;

.

2. Найти для функции.

; ;;.

4.14. Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет производную в каждой точке ее области определения.

Определение.

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменнойх:

или .

Для функции имеем:

, т.е. .

Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

4.15. Основные теоремы о дифференциалах

Так как дифференциал функции есть произведение производной функции на дифференциал независимой переменной, то большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняет свою силу и для дифференциалов.

Пусть идифференцируемые функции. Тогда имеют место следующие формулы:

1. ,;

2. ;

3. ,;

4. ;

5. ,;

6. ,;

7. если ,или, то

или .

Из таблицы производных можно получить таблицу дифференциалов функций.

Правила дифференцирования		Формулы дифференцирования
1.	,	1.
2.		2.
3.	,	3.
4.		4.
5.	,	5.
6.	,	6.
7.	, если	7.
8.	, если ,	8.
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.

Примеры

Найти дифференциалы функций:

1. .

;

.

2. .

.

4.16. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Для функции ее первый дифференциалесть также функция отх.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называют дифференциал от первого дифференциала, т.е.

или

.

Отсюда получаем выражение для второй производной

.

Дифференциалом n-го порядка (или n-дифференциалом) называют дифференциал от дифференциала (n-1) порядка, т.е.

или .

Примеры

Найти для функций:

1. .

;

;

.

2. .

;

;

.

4.17. Основные теоремы дифференциального исчисления

Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема (теорема Ферма^).

Пусть функция определена на интервалеи в некоторой точкеэтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точкесуществует производная, то она равна нулю, т.е..

Рис. 4.2

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой () касательная к графику функциипараллельна осиОх (рис. 4.2).

Теорема (теорема Ролля^).

Если функция

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е., то в интервалесуществует, по крайней мере, одна точкас, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна осиОх (рис.4.3).

Рис. 4.3

Теорема (теорема Лагранжа^).

Если функция

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точкас такая, что справедлива формула

или

.

Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

Теорема (теорема Коши^).

Если функции и

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные ина интервале;

3) производная на интервале,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точкас такая, что справедлива формула

.

Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.