Конспект урока по геометрии на тему «Формула Герона»

Урок по геометрии в 8 классе

Учитель: Газиева Н.Н.

Тема. Формула Герона.

Цель: вывести формулы Герона для площади треугольника; сформировать умения учащихся применять выведенную формулу к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

План урока.

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

Проверить наличие домашнего задания у всех учащихся класса и ответить на вопросы, возникшие у учеников при его выполнении.

Устные вопросы

1. Чему равна площадь прямоугольника?

2. Чему равна площадь квадрата?

3. Чему равна площадь треугольника?

4. Чему равна площадь трапеции?

5. Чему равна площадь параллелограмма?

3. Изучение нового материала

Работа по учебнику § 3. 57.

На этом уроке мы рассмотрим ещё один способ вычисления площади треугольника: с помощью формулы Герона. Она позволяет вычислить площадь треугольника, зная лишь его стороны, что может очень пригодиться, особенно в практических вычислениях.

Мы выпишем и докажем формулу Герона, а также решим несколько задач на применение этой формулы.

История формулы Герона

На данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.

До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту: 

 и катеты (для прямоугольного треугольника): . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.

Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в  веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского ( век до н.э.) она есть.

Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми

.

Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)

Теорема

Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле: , где  – полупериметр,  – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник  (пусть  – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём: . Проведём высоту , а также обозначим:  (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников :  (1), :  (2).

Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:

, откуда: 

. Так как  (3), то получаем:  (4).

 Сложим формулы (3) и (4):

.

Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для :

.

Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой: . Отсюда: . Тогда преобразуем полученную формулу:

.

Отсюда высота равна: .

Запишем известную нам формулу для площади треугольника: .

Доказано.

4. Закрепление материала

Решение задач

Задача 1

Стороны треугольника равны . Найти высоты этого треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник . Проведём в нём высоты . Напомним, что все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Формула Герона и её доказательство

Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона.

.

Тогда площадь треугольника:

.

Теперь запишем формулу для площади треугольника через высоту:

.

Аналогично находим остальные высоты: 

, .

Ответ:.

Задачи на применение формулы Герона

Задача 2

Дан , его основание , боковые стороны  и 

 соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии  от стороны  и  от стороны . Найти расстояние от точки  до стороны  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим треугольник : в нём – высота. Обозначим: . Тогда: .

Найдём площадь треугольника .

Для начала найдём площадь треугольника  через формулу Герона:

.

Теперь вычислим площадь треугольника : .

Площадь треугольника: : .

Теперь, учитывая следующее соотношение: , получаем: .

Теперь найдём расстояние от точки  до стороны : .

Ответ: .

Работа по учебнику.

№ 486, 492.

5. Самостоятельная работа

Вариант I.

1. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 5,6,7.

2. Найдите наименьшую сторону треугольника со сторонами 17, 65, 80.

Вариант II.

1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 5,6,7.

2. Найдите наибольшую сторону треугольника со сторонами 17, 65, 80.

На этом уроке мы рассмотрели формулу Герона и её применение для решения различных задач.  На следующем уроке мы повторим всё, что изучили по теме «Площадь».

6. Итоги урока, рефлексия

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

У вас на парте у каждого есть «смайлики». В зависимости от того как вы сегодня усвоили тему нарисуйте ему ротик.

Задание классу

1. Запишите известные вам формулы для нахождения площади треугольника.

2. Найдите площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5.

7. Домашнее задание

Изучить § 3. 57, решить № 498 (а, г), 499.

Полупериметр — Википедия

Полупериметр многоугольника — это половина его периметра. Хотя полупериметр является очень простой производной периметра, он столь часто появляется в формулах для треугольников и других геометрических фигур, что ему выделили отдельное наименование. Если полупериметр оказывается в какой-либо формуле, его, обычно, обозначают буквой p.

В любом треугольнике расстояние вдоль сторон от вершины до точки касания вневписанной окружности на противоположной стороне равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников. Формула полупериметра для треугольника со сторонами a, b и c

p=a+b+c2.{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}

Свойства[править | править код]

В любом треугольнике вершина и точка касания вневписанной окружности на противоположной стороне делят периметр треугольника на две равные части, то есть на два пути, длина каждого из которых равна полупериметру. На рисунке показаны стороны A, B, C и точки касания A’, B’, C’, тогда

p=|AB|+|A′B|=|AB|+|AB′|=|AC|+|A′C|{\displaystyle p=|AB|+|A’B|=|AB|+|AB’|=|AC|+|A’C|}

=|AC|+|AC′|=|BC|+|B′C|=|BC|+|BC′|.{\displaystyle =|AC|+|AC’|=|BC|+|B’C|=|BC|+|BC’|.}

Три отрезка, соединяющих вершины с противоположными точками касания, пересекаются в одной точке — точке Нагеля.

Если рассмотреть отрезки, соединяющие середины сторон с точками, отстоящими (вдоль сторон) от этой середины на полупериметр, то эти отрезки пересекаются в одной точке — центре окружности Шпикера, которая является окружностью, вписанной в медианный треугольник^[en]. Центр Шпикера является центром тяжести сторон треугольника.

Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам в том и только в том случае, когда она делит пополам площадь.

Полупериметр треугольника равен периметру его медианного треугольника^[en].

Из неравенства треугольника вытекает, что длина наибольшей стороны треугольника не превосходит полупериметр.

Формулы с полупериметром[править | править код]

Площадь K любого треугольника является произведением радиуса его вписанной окружности и полупериметра:

K=pr.{\displaystyle K=pr.}

Площадь треугольника можно вычислить исходя из его полупериметра и длин сторон a, b, c по формуле Герона:

K=p(p−a)(p−b)(p−c).{\displaystyle K={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.}

Радиус описанной окружности R треугольника можно также вычислить из его полупериметра и длин сторон:

R=abc4p(p−a)(p−b)(p−c).{\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}.}

Эту формулу можно вывести из теоремы синусов.

Радиус вписанной окружности равен

r=(p−a)(p−b)(p−c)p.{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.}

Теорема котангенсов даёт котангенсы половин углов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и радиуса вписанной окрухности.

Длина биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне a, равна^[1]

ta=2bcs(p−a)b+c.{\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(p-a)}}}{b+c}}.}

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна (p−a)(p−b){\displaystyle (p-a)(p-b)}, где a и b — катеты.

Формула для полупериметра четырёхугольника со сторонами a, b, c и d

p=a+b+c+d2.{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}.}

Одна из формул для треугольников, использующая полупериметр, применима также и к описанным четырёхугольникам, которые имеют вписанную окружность и сумма длин противоположных сторон которых равна полупериметру. А именно, это формула площади фигуры:

K=pr.{\displaystyle K=pr.}

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади четырехугольника вписанного в окружность имеет вид, близкий к формуле Герона для площади треугольника:

K=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d).{\displaystyle K={\sqrt {\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\left(p-d\right)}}.}

Соотношение Бретшнайдера обобщает формулу для всех выпуклых четырёхугольников:

K=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcd⋅cos2⁡(α+γ2),{\displaystyle K={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}

где α{\displaystyle \alpha } и γ{\displaystyle \gamma } — два противоположных угла.

Четыре стороны бицентрального четырёхугольника^[en] являются четырьмя решениями уравнения четвёртой степени, параметрами которого являются полупериметр, радиус вписанной окружности и радиус описанной.

Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на расстояние от центра до одной из сторон.

• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)

Урок 14. формула герона — Геометрия — 8 класс

Выведем формулу, которая связывает площадь треугольника и длины его сторон. Рассмотрим треугольник ABC в котором известны его стороны. Обозначим их a, b, c.

Для доказательства воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника. Проведем высоту BH к стороне AC треугольника ABC и обозначим ее h. Точка h разделила сторону АС на два отрезка, обозначим их х и у.

Треугольник АBН – прямоугольный. По теореме Пифагора получим: h² = c² − x².
Треугольник CBH тоже прямоугольный. По теореме Пифагора получим: h² = a² − y²
Приравняем правые части полученных равенств.
c² − x² = a² − y² или y² − x² = a² − c²
Воспользуемся формулой разности квадратов, получим:
(y − x)(y + x) = a² − c²
Из условия известно, что отрезки х и у в сумме составляют отрезок b, поэтому верны равенства:
y + x = b и y − x = (a² − c²) : b (2)
Преобразуем:
2y = b + (a² − c²) : b
2y = b + (a² — c²)/b = (b² + a² — c²)/b или y = (b² + a² — c²)/2b
Вернемся к треугольнику СВН, подставим в формулу для нахождения высоты треугольника АВС выражение для отрезка у, получим:
h² = a² − y² = (a − y)(a + y) = (a − (b² + a² — c²)/2b)(a + (b² + a² — c²)/2b)
h² = ((2ab — b² — a² + c²)/2b)((2ab + b² + a² — c²)/2b)
Проведем преобразования, получим:
h² = (((a + b + c) — 2a)((a + b + c) — 2b)((a + b + c) — 2c)(a + b + c))/4b²
a + b + c = 2p, поэтому
h² = ((2p — 2a)(2p — 2b)(2p — 2c)2p)/4b² = (16(p — a)(p — b)(p — c)p)/4b²
S_∆ = 1/2AC ∙ h = 1/b ∙ √(16(p — a)(p — b)(p — c)p)/4b² = √(p(p — a)(p — b)(p — c))
S_ABC = √p(p — a)(p — b)(p — c), где p = (a + b + c)/2
Эта формула названа в честь древнегреческого ученого Герона.
Формулой Герона удобно пользоваться не только при вычислении площади треугольника, в котором известны три стороны, но и при вычислении площади параллелограмма, в котором известны стороны и одна из диагоналей.
В параллелограмме стороны равны 10 и 20, а одна из диагоналей равна 24. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника. Вычислив площадь одного из них, найдем площадь всего параллелограмма
P = (10 + 20 + 24)/2 = 27
S_∆ = √(27∙(27 — 10)∙(27 — 20)(27 — 24) ) = 9√119
S_{параллелограмма} = 18√119

Формула Герона — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

где p — полупериметр треугольника: p=a+b+c2{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}.

Доказательство:

S=12ab⋅sin⁡γ{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }},

где  γ{\displaystyle \ \gamma } — угол треугольника, противолежащий стороне c{\displaystyle c}. По теореме косинусов:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ,{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}

Отсюда:

cos⁡γ=a2+b2−c22ab,{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}

Значит,

 sin2⁡γ=1−cos2⁡γ=(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ)={\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}

=2ab−a2−b2+c22ab⋅2ab+a2+b2−c22ab={\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}

=c2−(a−b)22ab⋅(a+b)2−c22ab=14a2b2(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c){\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.

Замечая, что a+b+c=2p{\displaystyle a+b+c=2p}, a+b−c=2p−2c{\displaystyle a+b-c=2p-2c}, a+c−b=2p−2b{\displaystyle a+c-b=2p-2b}, c−a+b=2p−2a{\displaystyle c-a+b=2p-2a}, получаем:

sin⁡γ=2abp(p−a)(p−b)(p−c).{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Таким образом,

S=12absin⁡γ=p(p−a)(p−b)(p−c),{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

ч.т.д.

История

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Видео по теме

Вариации

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

S=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=14(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)(a+b+c).{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}

S=144a2b2−(a2+b2−c2)2.{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:

  −16S2=|0a2b21a20c21b2c2011110|=|abc0ba0cc0ab0cba|{\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}

• Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.)русск. для вычисления гиперобъёма симплекса.

Аналоги формулы Герона

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

• Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через m_a, m_b и m_c, если их полусумма есть σ = (m_a + m_b + m_c)/2. Тогда мы имеем ^[2]

  S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc).{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}

• Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через h_a, h_b и h_c, а полусумму их обратных величин обозначим через H=(ha−1+hb−1+hc−1)/2{\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}. Тогда имеем ^[3]

S−1=4H(H−ha−1)(H−hb−1)(H−hc−1){\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}

или в развернутом виде

S=1(1ha+1hb+1hc)(1hc+1hb−1ha)(1ha+1hc−1hb)(1ha+1hb−1hc){\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{a}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})}}}}

• Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем ^[4]

S=D2s(s−sin⁡α)(s−sin⁡β)(s−sin⁡γ).{\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ.{\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}

Обобщения

где p=a+b+c+d2{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}} — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

• Та же Формула Брахмагупты через определитель^[5]:

  S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны l1,l2,l3,l4,l5,l6{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}, то для его объёма V{\displaystyle V} верно выражение

  144V2=l12l52(l22+l32+l42+l62−l12−l52){\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})}+l22l62(l12+l32+l42+l52−l22−l62){\displaystyle +l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})}+l32l42(l12+l22+l52+l62−l32−l42){\displaystyle +l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})}−l12l22l42−l22l32l52−l12l32l62−l42l52l62{\displaystyle -l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}.

• Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы ^[6]

  V=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)192uvw{\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}

где

a=xYZb=yZXc=zXYd=xyzX=(w−U+v)(U+v+w)x=(U−v+w)(v−w+U)Y=(u−V+w)(V+w+u)y=(V−w+u)(w−u+V)Z=(v−W+u)(W+u+v)z=(W−u+v)(u−v+W).{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}

Для сферического треугольника

• Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны θa=aR,θb=bR,θc=cR{\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}} как:

  S=4R2arctg⁡tg⁡(θs2)tg⁡(θs−θa2)tg⁡(θs−θb2)tg⁡(θs−θc2){\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}, где θs=θa+θb+θc2{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}} — полупериметр.

См. также

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
2. ↑ Benyi, Arpad, «A Heron-type formula for the triangle,» Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324–326.
3. ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,» Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
4. ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines,» Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
5. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
6. ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.

Литература