Теорема виета для неприведенного квадратного уравнения: формула, примеры, как решать, доказательство

Posted on by alexxlab

Содержание

формула, примеры, как решать, доказательство

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b2 − 4ac. Его свойства:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:


Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

  1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

     

  2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

     

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

  1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

     

  2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

     

  3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a2 − b2. Получаем:

     

  4. Далее произведем трансформации в числителе:

     

  5. Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

     

  6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  7. Сократим:

     

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

 

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x

2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

  1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

  2. Подставим m в уравнение вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
  2. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:

  1. Получается коэффициент равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

  2. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x2, то есть на 4.

  3. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
  4. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

  5. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 


 

Теорема Виета: формула и примеры решений

Содержание:

Теорема Виета для квадратного трехчлена

Теорема

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена $x^{2}+p x+q=0$ равна его второму коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение — свободному члену $q$.{k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} \neq 1$, то есть многочлен не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Теорема Виета

Предварительные навыки

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x2 + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x2 + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x2 + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение  является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x2 − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x2 − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x2 − 8x + 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x2 − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D1 = k2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5, так и равенству x1 × x2 = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x1 = 3, x2 = 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим −b

Значит x1 + x2 действительно равно −b

x1 + x2 = −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент

a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение станет равно просто D

Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x1 × x2 действительно равно c.

x1 × x2 = c

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6, так и равенству x1 × x2 = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8, но и равенству x1 + x2 = 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8, но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8, так и равенству x1 + x2 = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2, но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Значит корнями уравнения x2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x1 × x2 = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x2 = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x2 = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x2 − 18x + 45 = 0

Значит b = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Раскроем скобки:

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2, x2 = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит b = −10, c = 16. Отсюда:

x2 − 10x + 16 = 0

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x2 − 2x − 1 = 0

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

 

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

как найти корни квадратного уравнения по теореме виета

Вы искали как найти корни квадратного уравнения по теореме виета? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти корни по теореме виета, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти корни квадратного уравнения по теореме виета».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти корни квадратного уравнения по теореме виета,как найти корни по теореме виета,как найти корни теорема виета,как по теореме виета найти корни,как решать квадратные уравнения по теореме виета,как решать по виета,как решать по теореме виета,как решать через теорему виета,корни квадратного уравнения теорема виета,обратная теорема виета формула,примеры по теореме виета,решение квадратного уравнения теорема виета,решение квадратных уравнений по теореме виета,с помощью теоремы виета найдите корни уравнения,система виета,т виета,теорема виета для неприведенного квадратного уравнения,теорема виета как решать,теорема виета корни квадратного уравнения,теорема виета примеры с решением,теорема виета решение квадратного уравнения,теорема виета формула для квадратного,теорема виета формула для квадратного уравнения,теорема виета формула для квадратного уравнения примеры,теорема виета формула для квадратного уравнения примеры решения,теорема виета формула обратная,теорема виета формула с примером,уравнение виета,формула виета для квадратного уравнения,формулы виета для квадратного уравнения. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти корни квадратного уравнения по теореме виета. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как найти корни теорема виета).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти корни квадратного уравнения по теореме виета Онлайн?

Решить задачу как найти корни квадратного уравнения по теореме виета вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Теорема Виета. (8 класс) — презентация онлайн

1. Теорема Виета

Класс: 8
Учитель: Пятова Людмила Андреевна

2. Проверка домашней работы

№590

3. Ответьте на вопросы

Как формулируется теорема Виета для
приведенного квадратного уравнения?
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену

4. Ответьте на вопросы

Как Вы думаете, применима ли теорема
Виета для неприведенного квадратного
уравнения?

5. Решите уравнение

Связаны ли корни уравнения с его
коэффициентами?

6. Ответьте на вопросы

Можем ли мы данное уравнение сделать
приведенным?
Как?
Поделим уравнение на старший коэффициент.

7. Ответьте на вопросы

После деления на старший коэффициент
корни уравнения изменятся?
Как называются уравнения, имеющие одни и те
же корни?
Подсказка: для ответа на вопрос обратитесь к учебнику (сведения
за 7 класс, раздел «Уравнения», пункт 9)
Можем ли мы теперь применить теорему Виета?

8. Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Пусть квадратное уравнение
имеет корни
Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:
Тогда по теореме Виета:
В геометрии мы сталкивались с тем, что для
некоторых утверждений будет верно и
обратное утверждение.
Вспомните, как составляются обратные
утверждения.
Если данное утверждение сформулировано в виде условного
предложения »если А, то В», то обратным называется
утверждение »если В, то А», то есть такое, у которого условием
является заключение первого утверждения, а заключением — его
же условие.

10. Давайте составим обратное утверждение для теоремы Виета

Прямое утверждение
Если
1) уравнение
приведенное
2) x1 и x2 – корни,
то
Условие
Если
Заключение
m и n – числа такие, что
,
то
m и n – корни
приведенного
квадратного уравнения
Обратное утверждение
С помощью теоремы Виета проверим,
правильно ли мы нашли корни.

12. Решение задач

№580 (д,ж)
Найдите сумму и произведение корней
уравнения:
д)
По теореме Виета для неприведенного квадратного уравнения:
Ответ: 4,5; -5

13. Решение задач

№580 (д,ж)
Найдите сумму и произведение корней
уравнения:
ж)
По теореме Виета для неприведенного квадратного уравнения:
Ответ: -1; 0

14. Решение задач

№581 (а)
Решите уравнение и выполните проверку по
теореме, обратной теореме Виета:
Найдем дискриминант:
По формуле корней квадратного уравнения получаем:
Покажем, что корни найдены правильно. В данном уравнении
коэффициент p равен -2, а свободный член q равен -9. Тогда:
Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются
корнями данного квадратного уравнения.
Ответ:
№583 (а)
Найдите подбором корни уравнения:
Дискриминант D=81-4*20 – положительное число. Пусть m и n –
корни уравнения. Тогда
Если m и n – целые числа, то они являются делителями числа 20.
Нужно учесть, что сумма этих чисел равна 9.
5*4
5+4=9
подходит
10*2
10+2=12
не подходит
Ответ: 5; 4
-5*(-4)
-5-4=-9
не подходит
-10*(-2)
-10-2=-12
не подходит

16. Решите самостоятельно

№594 (а)
Не решая уравнение, выясните, имеет ли оно
корни, и если имеет, то определите их
знаки.
Указание: для определения знаков воспользуйтесь теоремой
Виета.

17. Домашняя работа

п. 23 (теорема Виета, обратная теорема
Виета)
№580 (е,з), 593, 594(б, д)

Теорема Виета Пусть х1 и х2

Теорема Виета

Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0. Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами: х1+х2= -p, х1 х2=q

Дано: х2 + рх + q = 0 приведённое квадратное уравнение, x 1, x 2 – корни уравнения Доказать: x 1+ x 2=-p x 1 x 2=q

Доказательство: • Чему равен дискриминант уравнения и определите знак дискриминанта? • Запишите корни уравнения:

Найдите сумму и произведения корней: Итак, мы доказали теорему Виета. Запишите ее в тетрадях.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: x 2 +bx + c= 0 x 1 + x 2 = -b x 1 * x 2 = c –Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения: (обобщенная теорема Виета) b a x 1 +x 2 = ax 2 + bx +c = 0 x 1 x 2 = c a Следствие: ах2+bх+c = а(х-х1)(х-х2).

По праву в стихах быть достойна воспета О свойствах корней теорема Виета. Скажи, что может быть лучше постоянства такого, Умножишь ты корни и дробь уж готова В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна, Хоть с минусом дробь — это что за беда, В числителе в, в знаменателе а.

Утверждение, обратное теореме Виета Пусть числа х1, х2, p, q связаны равенствами х1+х2= -p, х1 х2=q. Тогда х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0. Следствие: х2+pх+q=(х-х1)(х-х2).

Франсуа Виет • Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. • Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. • В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство» , где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. • Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. • Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. • Проверка правильности найденных корней. • Определение знаков корней квадратного уравнения. • Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. • Составление квадратных уравнений с заданными корнями. • Разложение квадратного трехчлена на множители.

• • • Решите следующие задания: Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения х2 -22 х+105=0? Определите знаки корней уравнения х2+5 х-36=0. Найдите устно корни уравнения х2 -9 х+20=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0, 3. Разложите квадратный трехчлен на множители х2+2 х-48.

План урока по теме «Решение квадратных уравнений»

Тема урока «Решение квадратных уравнений» определена на доске.

Актуализация базовых знаний

 

Задание №2.

Дифференциация по темпу.

(Группа, справившаяся с заданием первой, получает один жетон).

Активный метод обучения  «Установи соответствие»

 

Цель: применять теорему Виета;

Критерий оценивания: – использует теорему Виета для составления квадратного уравнения.

Уровень мыслительных навыков: – знание, понимание, применение.

 

Составить квадратное уравнение по заданным значениям суммы и произведения корней.

 

 

Дескрипторы:

1)      определяет коэффициент p;

2)      определяет свободный член q;

3)      составляет квадратное уравнение;

4)      устанавливает соответствие.

 

ФО: Самопроверка по ответам на слайде.

 

Метод «Большого пальца».

Обратная связь.

– Что у вас не получилось?

– Какие примеры  вызвали затруднения?

Задание №3

 

Дифференциация по заключению и темпу (время ограничено).

 

Каждой группе раздаются карточки с одинаковыми заданиями, решения, которых заносятся в постер. Применить большее количество способов решения квадратных уравнений. Спикер группы, выполнившей задание первой, выходит к доске и защищает постер. Если в других группах есть другие способы решения, то выступают спикеры тех групп.

 

Активный метод обучения «Мозговой штурм»

 

Цель: решать квадратные уравнения;

решать неприведённые квадратные уравнения по свойствам коэффициентов, методом переброски.

Критерий оценивания: решает неприведённые квадратные уравнения по свойствам коэффициентов, методом переброски.

Уровень мыслительных навыков:

Знание, понимание, применение.

 

Решить квадратные уравнения различными способами:

1.      х2-12х+35=0;

2.      х2-6х+5=0;

3.      3х2+2х-1=0;

4.      3х2-6х+2=0;

5.      2х2-7х+5=0;

Дескрипторы:

1)      решает уравнение по теореме Виета;

2)      решает квадратные уравнения по свойствам коэффициентов;

3)      решает квадратные уравнения методом переброски.

 

ФО: Взаимооценивание.

За правильный ответ, каждая группа получает жетон, пополняя «банк».

Метод «Большого пальца».

Обратная связь:

– Что вам было непонятно?

– Какие возникли вопросы?

 

Задание №4.

Дифференциация по источникам и по темпу (ограничение времени).

Учебник, интернет-ресурс, карточки.

 

Цель: применять теорему Виета;

Критерий оценивания: использует теорему Виета.

Уровень мыслительных навыков:  знание, понимание, применение.

№ 8.22.(4), стр. 74.  –  из учебника

Не вычисляя корней уравнения 3х2 + 8х – 1=0, найдите:

4)     х14 +х24 .

Дескрипторы:

1)      записывает сумму корней уравнения х1+х2;

2)      записывает произведение корней уравнения х1∙х2;

3)      преобразует выражение х14 +х24 , выделяя сумму и произведение корней уравнения;

4)      добавляет и вычитает удвоенное произведение квадратов корней уравнения;

5)      использует формулу квадрата двучлена;

6)      выделяет сумму корней уравнения;

7)      выделяет произведение корней уравнения;

8)      применяет теорему Виета и вычисляет.

Упражнение №2, стр. 3 (тема Теорема Виета)

Не вычисляя корней уравнения х2 – 6х – 7=0, найдите значение выражения:  х12 +х22 .

Дескрипторы:

1)      записывает сумму корней уравнения х1+х2;

2)      записывает произведение корней уравнения х1∙х2;

3)      преобразует выражение х14 +х24 , выделяя сумму и произведение корней уравнения;

4)      добавляет и вычитает удвоенное произведение квадратов корней уравнения;

5)      использует формулу квадрата двучлена;

6)      выделяет сумму корней уравнения;

7)      выделяет произведение корней уравнения;

8)      применяет теорему Виета и вычисляет.

Задания по карточкам.

Карточка № 4.1.

Не вычисляя корней уравнения 2х2 + 3х – 5=0, найдите значение выражения: х13 +х23 .

Карточка № 4.2.

Не вычисляя корней уравнения х2 + 5х – 6=0, найдите значение выражения: х13х2+х1х23 .

ФО: Самооценивание. Сверка с готовыми ответами.

За правильный ответ, каждый участник команды получает жетон, пополняя «банк».

Метод «Большого пальца».

Обратная связь:

– Что вам было не понятно?

– Какие возникли вопросы?

Работа над ошибками, коррекция знаний. Члены группы, успешно справившиеся с заданием, консультируют по вопросам, вызвавшим затруднения своих согруппников. (толерантность, альтруизм, взаимоуважение).

Задание №5.

«Замостите двор брусчаткой»

 (Исследовательское  задание).

Дифференциация по заключению.

 

Цель: – решать неприведённые квадратные уравнения по свойствам коэффициентов, методом переброски.

Критерии оценивания: решает неприведённые квадратные уравнения по свойствам коэффициентов, методом переброски.

Уровень мыслительных навыков:

Знание, понимание, применение, анализ, синтез.

 

Двор прямоугольной формы необходимо замостить брусчаткой размером: а) 30смХ30см.; б) 20смХ25см. Периметр двора 30 м, а площадь – 50 м2. Определить возможно ли замостить данный двор брусчаткой? Какое количество брусчатки понадобится для того, чтобы замостить двор ею?

Дескрипторы:

1)      вводит переменные х и у;

2)      составляет уравнения, согласно условию задачи;

3)      составляет систему уравнений, применяя теорему Виета;

4)      решает систему уравнений,

5)      определяет длину двора;

6)       определяет ширину двора;

7)      вычисляет площадь брусчатки размером 30смХ30см;

8)      вычисляет площадь брусчатки размером 20смХ25см;

9)      находит количество брусчаток;

10)  сравнивает полученные значения с длиной и шириной двора.

Спикеры групп защищают работу у доски.

Далее группы, рассмотрев решение заданий приходят к заключению: видом брусчатки рациональнее замостить данный двор.

ФО: Взаимооценивание.

За правильный ответ, каждая группа жетон, пополняя «банк».

Метод «Большого пальца».

 

Обратная связь:

– Что вам было непонятно?

– Какие возникли вопросы?

2} [/ math] термин. Числа a , b и c являются коэффициентами уравнения и могут быть выделены, называя их, соответственно, квадратичным коэффициентом , линейным коэффициентом и константой или бесплатный срок . [1]

Значения x, которые удовлетворяют уравнению, называются решениями уравнения, а корнями или нулями выражения в его левой части.2 + bx + c = a (x-r) (x-s) = 0} [/ math]

где r и s — решения для x. Завершение квадрата квадратного уравнения в стандартной форме приводит к квадратной формуле, которая выражает решения через a, b и c. Решения проблем, которые можно выразить квадратными уравнениями, были известны еще в 2000 году до нашей эры.

Поскольку квадратное уравнение включает только одно неизвестное, оно называется «одномерным». Квадратное уравнение содержит только степени x , которые являются неотрицательными целыми числами, и поэтому это полиномиальное уравнение.В частности, это полиномиальное уравнение второй степени, поскольку наибольшая степень равна двум.

Решение квадратного уравнения

Рисунок 1. Графики квадратичной функции y = ax 2 + bx + c , изменяя каждый коэффициент отдельно, в то время как другие коэффициенты фиксированы (при значениях a = 1, b = 0 , c = 0)

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два решения, называемых корнями .Эти два решения могут быть, а могут и не быть разными, и они могут быть или не быть реальными.

Факторинг инспекционным

Можно выразить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 как произведение ( px + q ) ( rx + s ) = 0. В некоторых случаях можно путем простой проверки определить значения p , q , r, и s , которые делают две формы эквивалентными друг другу.Если квадратное уравнение записано во второй форме, то «Свойство нулевого фактора» утверждает, что квадратное уравнение удовлетворяется, если пикселей + q = 0 или rx + s = 0. Решение этих двух линейных уравнения обеспечивает корни квадратичной.

Для большинства студентов факторинг путем проверки является первым методом решения квадратных уравнений, с которым они сталкиваются. [2] : 202–207 Если задано квадратное уравнение в виде x 2 + bx + c = 0, искомая факторизация имеет вид ( x + q ) ( x + s ), и нужно найти два числа q и s , которые в сумме дают b и произведение которых составляет c (это иногда называют «правилом Виета» [3] и относится к формулам Виета).Например, x 2 + 5 x + 6 множителей как ( x + 3) ( x + 2). Более общий случай, когда a не равно 1, может потребовать значительных усилий при поиске и проверке методом проб и ошибок, предполагая, что это вообще может быть учтено путем проверки.

За исключением особых случаев, таких как b = 0 или c = 0, факторизация путем проверки работает только для квадратных уравнений, имеющих рациональные корни. Это означает, что подавляющее большинство квадратных уравнений, возникающих в практических приложениях, не может быть решено факторизацией путем проверки. [2] : 207

Завершение квадрата

Основная страница: Завершение квадрата
Рисунок 2. Для квадратичной функции y = x 2 — x — 2, точки пересечения графика с осью x , x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения x 2 — x — 2 = 0. 2,} [/ math]

, который представляет собой четко определенный алгоритм, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения. . [2] : 207 Исходя из квадратного уравнения в стандартной форме, ax 2 + bx + c = 0

  1. Разделите каждую сторону на a , коэффициент при квадрате члена.
  2. Вычтите постоянный член c / a с обеих сторон.
  3. Добавьте к обеим сторонам квадрат половины b / a , коэффициент x . Это «завершает квадрат», превращая левую часть в идеальный квадрат.2 = 3} [/ math]
    [математика] \ displaystyle {5) \ x + 1 = \ pm \ sqrt {3}} [/ math]
    [math] \ displaystyle {6) \ x = -1 \ pm \ sqrt {3}} [/ math]

    Знак плюс-минус «±» означает, что и x = −1 + √3, и x = −1 — √3 — решения квадратного уравнения. [4]

    Квадратичная формула и ее вывод

    Главная страница: Квадратичная формула

    Заполнение квадрата может использоваться для получения общей формулы для решения квадратных уравнений, называемой квадратной формулой.2-4ac}} {2a}. } [/ math]

    Некоторые источники, особенно старые, используют альтернативные параметризации квадратного уравнения, такие как ax 2 + 2 bx + c = 0 или ax 2 — 2 bx + c = 0, [7] , где b имеет величину, половину более распространенной, возможно, с противоположным знаком. Это приводит к несколько разным формам решения, но в остальном они эквивалентны.2-4ac}}. } [/ math]

    Это можно вывести из стандартной квадратной формулы по формулам Виета, которые утверждают, что произведение корней составляет c / a .

    Одним из свойств этой формы является то, что она дает один действительный корень, когда a = 0, в то время как другой корень содержит деление на ноль, потому что, когда a = 0, квадратное уравнение становится линейным уравнением, которое имеет один корень . Напротив, в этом случае более распространенная формула имеет деление на ноль для одного корня и неопределенную форму 0/0 для другого корня. 2 + px + q = 0,} [/ math]

    , где p = b / a и q = c / a .2 — 4ac. } [/ math]

    Квадратичное уравнение с действительными коэффициентами может иметь один или два различных действительных корня или два различных комплексных корня. В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Есть три случая:

    • Если дискриминант положительный, то есть два различных корня.
    [math] \ displaystyle {\ frac {-b + \ sqrt {\ Delta}} {2a} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {-b — \ sqrt {\ Delta}} {2a},} [/ math]
    , оба из которых являются действительными числами.Для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, если дискриминант является квадратным числом, то корни рациональны — в других случаях они могут быть квадратичными иррациональными числами.
    • Если дискриминант равен нулю, то существует ровно один действительный корень
    [math] \ displaystyle {- \ frac {b} {2a},} [/ math]
    иногда называют повторным или двойным корнем.
    • Если дискриминант отрицательный, то действительных корней нет.Скорее, есть два различных (нереальных) комплексных корня [10]
    [math] \ displaystyle {- \ frac {b} {2a} + i \ frac {\ sqrt {- \ Delta }} {2a} \ quad \ text {and} \ quad — \ frac {b} {2a} — i \ frac {\ sqrt {- \ Delta}} {2a},} [/ math]
    , которые являются комплексными конъюгатами друг друга. В этих выражениях i — мнимая единица.

    Таким образом, корни различны тогда и только тогда, когда дискриминант не равен нулю, а корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

    Геометрическая интерпретация

    График y = ax 2 + bx + c , где a и дискриминант b 2 — 4 ac положительны, с корнями
    • и y -перехват красного цвета
    • Вершина и ось симметрии синего цвета
    • Фокус и направляющая розового цвета
    Визуализация сложных корней y = ax 2 + bx + c : парабола повернута на 180 ° вокруг своей вершины (оранжевый).Его точки пересечения x повернуты на 90 ° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость (зеленая). [11]

    Функция f ( x ) = ax 2 + bx + c является квадратичной функцией. [12] График любой квадратичной функции имеет одинаковую общую форму, которая называется параболой. Расположение и размер параболы, а также то, как она открывается, зависят от значений a , b и c .Как показано на рисунке 1, если a > 0, парабола имеет точку минимума и открывается вверх. Если a <0, парабола имеет максимальную точку и открывается вниз. Крайняя точка параболы, будь то минимум или максимум, соответствует ее вершине. Координата x вершины будет расположена в [math] \ displaystyle {\ scriptstyle x = \ tfrac {-b} {2a}} [/ math], а координата y вершины может быть найдено путем подстановки этого значения x в функцию.Пересечение оси по оси Y находится в точке (0, c ).

    Решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 соответствуют корням функции f ( x ) = ax 2 + bx + c , поскольку это значения x , для которых f ( x ) = 0. Как показано на рисунке 2, если a , b и c являются действительными числами и область f — это набор действительных чисел, тогда корни f — это точно координаты x точек, где график касается оси x .2.} [/ math]

    Графическое решение

    Рис. 4. Графический калькулятор, вычисляющий один из двух корней квадратного уравнения 2 x 2 + 4 x — 4 = 0. Хотя на дисплее отображается только пять значащих цифр точности, полученное значение xc — 0,732050807569 с точностью до двенадцати значащих цифр. Квадратичная функция без действительного корня: y = ( x — 5) 2 + 9. «3» — это мнимая часть интерцепта x .2 + bx + c,} [/ math]

    , которая является параболой.

    Если парабола пересекает ось x в двух точках, есть два действительных корня, которые представляют собой координаты x этих двух точек (также называемые пересечением по оси x).

    Если парабола касается оси x, существует двойной корень, который является координатой x точки контакта между графиком и параболой.

    Если парабола не пересекает ось x, имеется два комплексно сопряженных корня. Хотя эти корни не могут быть визуализированы на графике, их реальная и мнимая части могут быть.2 + к. } [/ math]

    Пусть d будет расстоянием между точкой с координатой y 2 k на оси параболы и точкой параболы с той же координатой y (см. рисунок; есть две такие точки, которые дают одинаковое расстояние из-за симметрии параболы). Тогда действительная часть корней h, а их мнимая часть ± d . То есть корни

    [math] \ displaystyle {h + id \ quad \ text {and} \ quad x-id,} [/ math]

    или в случае примера рисунка

    [математика] \ displaystyle {5 + 3i \ quad \ text {and} \ quad 5-3i.} [/ math]

    Как избежать потери значимости

    Хотя квадратная формула дает точное решение, результат не точен, если действительные числа аппроксимируются во время вычисления, как это обычно бывает в численном анализе, где действительные числа аппроксимируются числами с плавающей запятой (во многих языках программирования они называются «действительными»). В этом контексте квадратичная формула не совсем устойчива.

    Это происходит, когда корни имеют разный порядок величины или, что то же самое, когда b 2 и b 2 — 4 ac близки по величине.В этом случае вычитание двух почти равных чисел приведет к потере значимости или катастрофическому удалению меньшего корня. Чтобы избежать этого, корень, который меньше по величине, r , можно вычислить как [math] \ displaystyle {(c / a) / R} [/ math], где R — корень, который больше по величине. .

    Вторая форма сокращения может иметь место между членами дискриминанта b 2 и 4 ac , то есть когда два корня очень близки.2-х-1 = 0. } [/ математика]

    Уравнения окружности и других конических сечений — эллипсов, парабол и гипербол — являются квадратными уравнениями с двумя переменными.

    Учитывая косинус или синус угла, нахождение косинуса или синуса угла, который вдвое меньше, включает решение квадратного уравнения.

    Процесс упрощения выражений, включающих квадратный корень из выражения, включающий квадратный корень из другого выражения, включает нахождение двух решений квадратного уравнения.

    Теорема Декарта утверждает, что для каждых четырех целующихся (взаимно касающихся) окружностей их радиусы удовлетворяют определенному квадратному уравнению.

    Уравнение, данное теоремой Фусса, дающее соотношение между радиусом вписанной окружности бицентрического четырехугольника, радиусом описанной окружности и расстоянием между центрами этих окружностей, может быть выражено в виде квадратного уравнения, для которого расстояние между центрами двух окружностей в терминах их радиусов — одно из решений.Другое решение того же уравнения в терминах соответствующих радиусов дает расстояние между центром описанной окружности и центром вневписанной окружности экс-тангенциального четырехугольника.

    Критические точки кубической функции и точки перегиба четвертой функции находятся путем решения квадратного уравнения.

    История

    Вавилонские математики уже в 2000 году до нашей эры (изображенные на древневавилонских глиняных табличках) могли решать задачи, связанные с областями и сторонами прямоугольников.2 + q = pz. } [/ math]

    Шаги, данные вавилонскими писцами для решения вышеупомянутой задачи о прямоугольнике в терминах x и y, заключались в следующем:

    1. Вычислить половину p .
    2. Возвести результат в квадрат.
    3. Вычтем q .
    4. Найдите (положительный) квадратный корень, используя таблицу квадратов.
    5. Сложите вместе результаты шагов (1) и (4), чтобы получить x .

    В современных обозначениях это означает вычисление [математика] \ displaystyle {x = \ left (\ frac {p} {2} \ right) + \ sqrt {\ left (\ frac {p} {2} \ right) ^ 2 — q}} [/ math], что эквивалентно современной квадратной формуле для большего действительного корня (если есть) [math] \ displaystyle {x = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 — 4ac }} {2a}} [/ math] с a = 1, b = — p и c = q .

    Геометрические методы использовались для решения квадратных уравнений в Вавилонии, Египте, Греции, Китае и Индии. Египетский берлинский папирус, относящийся ко времени Среднего царства (2050 г. до н.э. — 1650 г. до н.э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. [17] Вавилонские математики примерно 400 г. до н.э. и китайские математики примерно 200 г. до н.э. использовали геометрические методы рассечения для решения квадратных уравнений с положительными корнями. [18] [19] Правила для квадратных уравнений были даны в Девять глав математического искусства , китайском трактате по математике. [19] [20] Эти ранние геометрические методы, похоже, не имели общей формулы. Евклид, греческий математик, создал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н. Э. Используя чисто геометрический подход, Пифагор и Евклид создали общую процедуру поиска решений квадратного уравнения. В своей работе Arithmetica греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже если оба корня были положительными. [21]

    В 628 году нашей эры индийский математик Брахмагупта дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение квадратного уравнения ax 2 + bx = c следующим образом: «К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же значения за вычетом [коэффициента] среднего члена, разделенный на удвоенное значение [коэффициента] квадрата.2} -b} {2a}. } [/ math]

    Рукопись Бахшали , написанная в Индии в 7 веке нашей эры, содержала алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также квадратные неопределенные уравнения (первоначально типа ax / c = y [ требуется уточнение: это линейный, а не квадратичный ] ). Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (Персия, 9 век), вдохновленный Брахмагуптой, [ оригинальных исследований? ] разработал набор формул, которые работали для положительных решений.Аль-Хорезми идет дальше в предоставлении полного решения общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа на каждое квадратное уравнение, обеспечивая при этом геометрические доказательства. [22] Он также описал метод завершения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, [22] [23] : 230 , что было доказано его современником Абд аль-Хамидом ибн Тюрком. (Средняя Азия, IX век), который привел геометрические фигуры, чтобы доказать, что при отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет решения. [23] : 234 Хотя сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики, которые его сменили, принимали отрицательные решения, [22] : 191 , а также иррациональные числа в качестве решений. [24] Абу Камил Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век), в частности, был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня, кубического корня или корня четвертой степени) как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнение. [25] Индийский математик 9 века Шридхара написал правила решения квадратных уравнений. [26]

    Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) является автором первой европейской книги, включающей полное решение общего квадратного уравнения. [27] Его решение было во многом основано на работе Аль-Хорезми. [22] Письмо китайского математика Ян Хуэй (1238–1298 гг. Н.э.) является первым известным письмом, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами при «x», хотя он приписывает это более раннему Лю И. [28] К 1545 году Джероламо Кардано составил работы, связанные с квадратными уравнениями. Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Саймоном Стевином в 1594 году. [29] В 1637 году Рене Декарт опубликовал La Géométrie , содержащий квадратичную формулу в той форме, которую мы знаем сегодня.

    Дополнительные темы

    Альтернативные методы вычисления корня

    Формулы Виета
    Основная страница: формулы Виета
    Рисунок 5.График разницы между аппроксимацией Виета для меньшего из двух корней квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 по сравнению со значением, вычисленным с использованием формулы корней квадратного уравнения. Аппроксимация Виета неточна для малых b , но точна для больших b . Прямая оценка с использованием квадратичной формулы точна для малых b с корнями сопоставимого значения, но имеет место потеря значимости ошибок для больших b и широко разнесенных корней.2 + (b / a) x + c / a = 0.} [/ math]

    Первая формула выше дает удобное выражение для построения графика квадратичной функции. Поскольку граф симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, при наличии двух действительных корней координата вершины x находится в среднем значении корней (или пересекает). Таким образом, координата вершины x задается выражением

    [математика] \ displaystyle {x_V = \ frac {x_1 + x_2} {2} = — \ frac {b} {2a}.2 — 4ac} {4a}. } [/ math]

    На практике формулы Виета предоставляют полезный метод для нахождения корней квадратичного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого. Если | x 2 | << | x 1 |, тогда x 1 + x 2 ≈ x 1 , и мы имеем оценку:

    [математика] \ displaystyle {x_1 \ приблизительно — \ frac {b} {a}. } [/ math]

    Вторая формула Виета дает:

    [математика] \ displaystyle {x_2 = \ frac {c} {a x_1} \ приблизительно — \ frac {c} {b}.} [/ math]

    Эти формулы намного легче вычислить, чем квадратную формулу при условии одного большого и одного малого корня, поскольку квадратная формула оценивает малый корень как разность двух почти равных чисел (случай большого b ), что вызывает ошибку округления при численной оценке. На рисунке 5 показана разница между (i) прямой оценкой с использованием квадратной формулы (точной, когда корни близки друг к другу по значению) и (ii) оценкой, основанной на приведенной выше аппроксимации формул Виета (точной, когда корни широко разнесены. ).По мере увеличения линейного коэффициента b изначально квадратичная формула становится точной, а приближенная формула становится точнее, что приводит к меньшей разнице между методами по мере увеличения b . Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, а приближенный метод продолжает улучшаться. Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться по мере того, как квадратная формула становится все хуже и хуже.

    Эта ситуация обычно возникает в конструкции усилителя, где желательно широко разделить корни для обеспечения стабильной работы (см. Переходную характеристику).

    Тригонометрическое решение

    До появления калькуляторов люди использовали математические таблицы — списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами — для упрощения и ускорения вычислений. Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были обычным явлением в учебниках математики и естествознания. Были опубликованы специализированные таблицы для таких приложений, как астрономия, астрономия и статистика. Существовали методы числовой аппроксимации, называемые простаферезисом, которые позволяли сокращать трудоемкие операции, такие как умножение и взятие степеней и корней.2 \ тета = 0. } [/ математика]

    Вводя функции 2 θ и переставляя, получаем

    [4] [математика] \ displaystyle {\ tan 2 \ theta_n = + 2 \ frac {\ sqrt {ac}} {b},} [/ math]

    [5] [математика] \ displaystyle {\ sin 2 \ theta_p = — 2 \ frac {\ sqrt {ac}} {b},} [/ math]

    , где индексы n и p соответствуют, соответственно, использованию отрицательного или положительного знака в уравнении [1] . Подстановка двух значений θ n или θ p , найденных из уравнений [4] или [5] , в [2] , дает требуемые корни [1] .Комплексные корни встречаются в решении на основе уравнения [5] , если абсолютное значение sin 2 θ p превышает единицу. Объем усилий, затраченных на решение квадратных уравнений с использованием этой смешанной тригонометрической и логарифмической стратегии поиска по таблицам, составлял две трети усилий с использованием одних только логарифмических таблиц. [31] Для вычисления комплексных корней потребуется другая тригонометрическая форма. [32]

    Для иллюстрации предположим, что у нас есть доступный семизначный логарифм и тригонометрические таблицы, и мы хотим решить следующую задачу с точностью до шести значащих цифр:
    [математика] \ displaystyle {4.{-1} \ left (\ tfrac {-b} {2 \ sqrt {ac}} \ right). } [/ математика]

    Геометрическое решение
    Рис. 6. Геометрическое решение ax 2 + bx + c = 0 с использованием метода Лилля. Решения: −AX1 / SA, −AX2 / SA

    Квадратное уравнение может быть решено геометрически несколькими способами. Один из способов — через метод Лилла. Три коэффициента: a , b , c нарисованы с прямыми углами между ними, как в SA, AB и BC на рисунке 6.Рисуется окружность с начальной и конечной точками SC в качестве диаметра. Если это пересекает среднюю линию AB из трех, тогда уравнение имеет решение, и решения даются как отрицательное значение расстояния вдоль этой линии от A, деленного на первый коэффициент , или SA. Если a равно 1, коэффициенты можно считывать напрямую. Таким образом, решения на диаграмме — это −AX1 / SA и −AX2 / SA. [34]

    Круг Карлайла квадратного уравнения x 2 — sx + p = 0.

    Круг Карлайла, названный в честь Томаса Карлайла, обладает тем свойством, что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами пересечений круга с горизонтальной осью. [35] Круги Карлайла использовались для построения линейки-циркуля из правильных многоугольников.

    Обобщение квадратного уравнения

    Формула и ее вывод остаются правильными, если коэффициенты a , b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля, характеристика которого не равна 2.2-4ac}} [/ math]

    в формуле следует понимать как «любой из двух элементов, квадрат которых равен b 2 — 4 ac , если такие элементы существуют». В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые — двух; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2. Даже если поле не содержит квадратного корня из некоторого числа, всегда есть поле квадратичного расширения, которое имеет, поэтому квадратная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения.{2}. } [/ math]

    См. квадратичный остаток для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях.

    В случае, когда b ≠ 0, есть два различных корня, но если многочлен неприводимый, они не могут быть выражены через квадратные корни из чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определите 2-корень R ( c ) из c как корень многочлена x 2 + x + c , элемент поля разделения этот многочлен.2} \ вправо) +1 \ вправо). } [/ math]

    Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F 4 , поле Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 равны корни x 2 + x + 1 сверх F 4 . Поскольку ( a + 1) 2 = a , a + 1 является уникальным решением квадратичной уравнение x 2 + a = 0.С другой стороны, многочлен x 2 + ax + 1 неприводим по F 4 , но он разбивается на F 16 , где он имеет два корня: ab и ab + a , где b — корень x 2 + x + a в F 16 .

    Это частный случай теории Артина – Шрайера.

    См. Также

    Список литературы

    1. ↑ Проттерс и Морри: «Исчисление и аналитическая геометрия.Первый курс».
    2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Вашингтон, Аллин Дж. (2000). Основы технической математики с исчислением, седьмое издание . Эддисон Уэсли Лонгман, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3.
    3. ↑ Эббингаус, Хайнц-Дитер; Юинг, Джон Х. (1991), Числа , Тексты для выпускников по математике, 123 , Springer, стр. 77, ISBN 9780387974972, https://books.google.com/books?id=OKcKowxXwKkC&pg=PA77.
    4. ↑ Стерлинг, Мэри Джейн (2010), Алгебра I для чайников , Wiley Publishing, стр.219, ISBN 978-0-470-55964-2, https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219
    5. ↑ Рич, Барнетт; Шмидт, Филип (2004), Обзор теории и проблем элементарной алгебры Шаума , Компании McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-141083-0, https://books.google.com/books?id= 8PRU9cTKprsC, Глава 13 §4.4, с. 291
    6. ↑ Химонас, Алекс. Расчет для бизнеса и социальных наук , стр. 64 (Публикации Ричарда Денниса, 2001).
    7. ↑ 7.0 7.1 Кахан, Виллиан (20 ноября 2004 г.), О стоимости вычислений с плавающей запятой без сверхточной арифметики , http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs .pdf, получено 25 декабря 2012 г.
    8. ↑ Аленицын, Александр и Бутиков, Евгений. Краткий справочник по математике и физике , стр. 38 (CRC Press 1997)
    9. ↑ Δ — начало греческого слова Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa , дискриминант.
    10. ↑ Ахатц, Томас; Андерсон, Джон Дж .; Маккензи, Кэтлин (2005). Технический цех математики . Промышленная пресса. п. 277. ISBN 978-0-8311-3086-2. https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&q=quadratic+formula&pg=PA276.
    11. ↑ «Сложные корни стали видимыми — математические забавные факты». http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml. Проверено 1 октября 2016 года.
    12. ↑ Wharton, P. (2006). Основы Edexcel Gcse Math / Higher . Лонсдейл. п.63. ISBN 978-1-905-129-78-2. https://books.google.com/books?id=LMmKq-feEUoC&q=%22Quadratic+function%22+%22Quadratic+equation%22&pg=PA63.
    13. ↑ Алек Нортон, Бенджамин Лото (июнь 1984), «Сложные корни стали видимыми», The College Mathematics Journal 15 (3): 248–249, DOI: 10.2307 / 2686333
    14. ↑ Хайэм, Николас (2002), Точность и стабильность численных алгоритмов (2-е изд.), SIAM, стр. 10, ISBN 978-0-89871-521-7
    15. ↑ Фриберг, Йоран (2009).«Геометрический алгоритм с решениями квадратных уравнений в шумерском юридическом документе из Ур III Умма». Журнал электронной библиотеки клинописи 3 . http://cdli.ucla.edu/pubs/cdlj/2009/cdlj2009_003.html.
    16. ↑ 16,0 16,1 Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (2-е изд.) . Springer. ISBN 978-0-387-95336-6.
    17. ↑ Кембриджская древняя история, часть 2 Ранняя история Ближнего Востока .Издательство Кембриджского университета. 1971. с. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530.
    18. ↑ Хендерсон, Дэвид В. «Геометрические решения квадратных и кубических уравнений». Математический факультет Корнельского университета. http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/geomsolu/geomsolu.html.
    19. ↑ 19,0 19,1 Эйткен, Уэйн. «Китайская классика: девять глав». Математический факультет Калифорнийского государственного университета. http: // общедоступный.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf.
    20. ↑ Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики . Courier Dover Publications. п. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA380.
    21. ↑ Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики, Том 1 . Courier Dover Publications. п. 134. ISBN 978-0-486-20429-1. https://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC. Выдержка страницы 134
    22. ↑ 22.0 22,1 22,2 22,3 Katz, V. J .; Бартон, Б. (2006). «Этапы истории алгебры с последствиями для обучения». Образовательные исследования по математике 66 (2): 185–201. DOI: 10.1007 / s10649-006-9023-7.
    23. ↑ 23,0 23,1 Boyer, Carl B .; Ута К. Мерцбах, ред. редактор (1991). История математики . John Wiley & Sons, Inc .. ISBN 978-0-471-54397-8. https://archive.org/details/historyofmathema00boye.
    24. ↑ О’Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф., «Арабская математика: забытый талант?», MacTutor Архив истории математики , Университет Сент-Эндрюс, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mat Mathematics. html. «Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. Д. Как« алгебраические объекты »».
    25. ↑ Жак Сезиано, «Исламская математика», стр. 148, в Селине, Хелайне; Д’Амброзио, Убиратан, ред.(2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
    26. ↑ Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики . Courier Dover Publications. п. 280. ISBN 978-0-486-20429-1. https://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA280.
    27. ↑ Ливио, Марио (2006). Уравнение, которое не решалось . Саймон и Шустер. ISBN 978-0743258210. https://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC&q=Abraham+bar+Hiyya+Ha-Nasi+quadratic&pg=PA62.
    28. ↑ Ронан, Колин (1985). Более короткая наука и цивилизация в Китае . Издательство Кембриджского университета. п. 15. ISBN 978-0-521-31536-4. https://books.google.com/books?id=XsMxmS7NyukC&pg=PA15.
    29. ↑ Struik, D. J .; Stevin, Simon (1958), Основные работы Саймона Стевина, Mathematics , II-B , C. V. Swets & Zeitlinger, p. 470, http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mat Mathematics.pdf
    30. ↑ Ballew, Pat. «Решение квадратных уравнений — аналитическими и графическими методами; включая несколько методов, которых вы, возможно, никогда не видели». http://www.pballew.net/quadsol.pdf.
    31. ↑ Сирс, Ф. Х. (1945). «Тригонометрическое решение квадратного уравнения». Публикации Тихоокеанского астрономического общества 57 (339): 307–309. DOI: 10,1086 / 125759. Бибкод: 1945PASP … 57..307S.
    32. ↑ Од, Х. Т. Р. (1938). «Решения квадратного уравнения, полученные с помощью тригонометрии». Национальный математический журнал 13 (3): 118–121. DOI: 10,2307 / 3028750.
    33. ↑ Саймонс, Стюарт, «Альтернативный подход к комплексным корням вещественных квадратных уравнений», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., стр. 91–92.
    34. ↑ Биксби, Уильям Герберт (1879), Графический метод быстрого нахождения истинных корней числовых уравнений любой степени , Вест-Пойнт Н.Ю.
    35. ↑ Weisstein, Eric W. «Carlyle Circle». из MathWorld — веб-ресурс Wolfram .2 + a_1x + a_0 = a_2 (x-r_1) (x-r_2). a2 x2 + a1 x + a0 = a2 (x − r1) (x − r2).

      Сравнивая коэффициенты, мы видим, что

      r1 + r2 = −a1a2, r1r2 = a0a2. {n-1} + \ cdots + a_0P (x) = xn + an − 1 xn − 1 + ⋯ + a0 такое, что ai = ± 1a_i = \ pm 1ai = ± 1 для всех 0≤i≤n − 10 \ leq i \ leq n-10 ≤i≤n − 1, удовлетворяющее условию вещественности всех корней P (x) P (x) P (x).2-3 \ times \ frac {7} {5} \ right] \\ & = — \ frac {49} {125}. \ _\квадрат \ end {array} r13 + r23 + r33 = 3r1 r2 r3 + (r1 + r2 + r3) [r12 + r22 + r32 — (r1 r2 + r2 r3 + r3 r1)] = 3r1 r2 r3 + (r1 + r2 + r3) [(r1 + r2 + r3) 2−3 (r1 r2 + r2 r3 + R3 r1)] = 3 × (−53) + (511) [(511) 2−3 × 57] = — 12549. □

      Неприводимые квадратичные множители: определение и графическая значимость — видео и стенограмма урока

      Графическая значимость

      Итак, что эти неприводимые квадратичные множители означают графически? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте поговорим о взаимосвязи между нулями многочлена и интерцепциями x на графике этого многочлена.Видите ли, нули полинома — это значения x , которые делают полином равным 0. Эти значения соответствуют перехватам x на графике этого многочлена, где x -перехваты — это где график пересекает ось x .

      Когда дело доходит до неприводимых квадратичных множителей, не может быть никаких интерцептов x , соответствующих этому множителю, поскольку нет реальных нулей. Другими словами, если у нас есть неприводимый квадратичный фактор, f ( x ), тогда на графике не будет точек пересечения x , если мы построим график y = f ( x ).

      Например, рассмотрим наш полином астероида. Если мы построим график неприводимого множителя x 2 + 2 (не весь многочлен), мы увидим, что график не пересекает ось x :

      Кроме того, это говорит нам, что график всего полинома ( x — 1) ( x + 4) ( x 2 + 2) не будет иметь никаких x -перехватываний, которые соответствуют к этому фактору. Тем не менее, он по-прежнему будет иметь интервалы x , соответствующие двум другим факторам при x = 1 и x = -4, поэтому мы знаем, что на графике будет только два интерцепта x :

      Как мы и ожидали, есть ровно два интерцепта x , которые соответствуют неприводимым линейным факторам, но нет интерцептов x , которые соответствуют неприводимому квадратичному множителю.

      Другой пример

      Давайте посмотрим на другой пример, чтобы действительно укрепить наше понимание этой концепции. Рассмотрим факторизацию следующего многочлена:

      • x 5-2 x 4 + 4 x 3-8 x 2 + 3 x -6 = ( x 2 + 1) ( x 2 + 3) ( x — 2)

      Мы видим, что факторизация содержит два неприводимых квадратичных множителя: x 2 + 1 и x 2 + 3, потому что, если мы попытаемся найти нули этих двух множителей, мы получим нереальные числа, которые как видите: ± √ (-1) и ± √ (-3).

      Исходя из этого, можете ли вы определить, сколько точек пересечения x будет иметь график многочлена? Сделайте обоснованное предположение, а затем посмотрите на график, чтобы проверить:

      Вы думали, что будет только один перехват x ? Если да, то молодец! Как видно на графике, есть ровно один интервал x . Этот отрезок x соответствует неприводимому линейному множителю x — 2 при полной факторизации полинома.Мы знаем это, потому что не может быть никаких реальных нулей, которые соответствуют неприводимым квадратичным множителям, x 2 + 1 и x 2 + 3, поэтому не может быть никаких x -перехватов, соответствующих эти факторы. Это оставляет один действительный ноль, точку пересечения x при x = 2, что соответствует неприводимому линейному коэффициенту.

      Краткое содержание урока

      Хорошо, давайте займемся моментом или двумя, чтобы повторить. Как мы узнали, неприводимый квадратичный множитель — это квадратичный множитель при факторизации многочлена, который нельзя разложить на множители действительных чисел.То есть, у него нет реальных нулей или значений x , которые делают множитель равным 0.

      Когда дело доходит до полной факторизации полиномов на неприводимые множители, каждый множитель соответствует нулям полинома. Поскольку неприводимые квадратичные множители не имеют действительных нулей, полином не имеет действительных нулей, соответствующих этому множителю.

      Действительные нули многочлена соответствуют x -перехвата его графика, где график многочлена пересекает ось x .Когда факторизация полинома включает неприводимый квадратичный множитель, этот множитель не имеет действительных нулей, поэтому полином не имеет точек пересечения x , соответствующих этим множителям.

      Мы можем использовать эту информацию для анализа многочленов и их графиков, и это здорово, потому что вы никогда не знаете, когда вам может понадобиться что-то подобное, чтобы спасти мир!

      элементарной теории чисел — Какие шаги необходимы для решения многочлена четвертой степени по модулю простого модуля?

      Если бы меня попросили «решить» (монический, целочисленный) полином четвертой степени по простому модулю ($ 23 $ в описанной здесь задаче о игрушке), я бы сначала определил, можно ли разложить полином на рациональные числа (эквивалент.{11} -1) = x + 5 $, что определяет другие корни как $ -5 $ или $ x = 18 \ bmod 23 $.

      Поскольку $ p = 23 $ был задан как «игрушечная задача», я укажу два способа, которыми вычисления с большим простым числом влияют на сложность разложения многочлена четвертой степени над этим полем коэффициентов. (продолжение следует)

      Квадратное уравнение

      Эта статья о квадратных уравнениях и решениях. Для получения более общей информации о квадратичных функциях см. Квадратичная функция. Дополнительные сведения о квадратичных многочленах см. В разделе Квадратичный многочлен.

      В математике квадратное уравнение является одномерным полиномиальным уравнением второй степени. Общее квадратное уравнение можно записать в виде

      , где x представляет переменную или неизвестное значение, а a , b и c являются константами с a ≠ 0. (Если a = 0, уравнение является линейным уравнением. )

      Константы a , b и c называются соответственно квадратичным коэффициентом, линейным коэффициентом и постоянным членом или свободным членом.Термин «квадратичный» происходит от слова quadratus , что на латинском языке означает «квадрат». Квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации, завершения квадрата, построения графиков, метода Ньютона и использования квадратной формулы (приведенной ниже).

      Графики действительной квадратичной функции ax 2 + bx + c , варьируя каждый коэффициент отдельно

      Квадратичная формула

      Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два решения, называемых корнями .Эти два решения могут быть, а могут и не быть разными, и они могут быть или не быть реальными .

      Корни задаются квадратной формулой

      , где символ «±» означает, что оба

      — решения квадратного уравнения.

      Дискриминант

      Примеры дискриминантных знаков
      ■ x 2 + 1 ⁄ 2
      ■ = 0: — 4 ⁄ 3 x 2 + 4 ⁄ 3 x — 1 ⁄ 3
      ■> 0: 3 ⁄ 2 x 2 + 1 ⁄ 2 x — 4 ⁄ 3

      В приведенной выше формуле выражение под знаком квадратного корня называется дискриминантом квадратного уравнения и часто представляется с помощью греческой дельты верхнего регистра, начальной буквы греческого слова Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa , дискриминант:

      Квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь один или два различных действительных корня или два различных комплексных корня.В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Всего три корпуса:

      • Если дискриминант положительный, то есть два различных корня, оба из которых являются действительными числами:
      Для квадратных уравнений с целыми коэффициентами, если дискриминант представляет собой полный квадрат, то корни являются рациональными числами — в других случаях они могут быть квадратичными иррациональными числами.
      • Если дискриминант равен нулю, то существует ровно один отличный действительный корень, иногда называемый двойным корнем:
      • Если дискриминант отрицательный, то нет действительных корней.Скорее, есть два различных (не действительных) комплексных корня, которые являются комплексно сопряженными друг другу:
      где i — мнимая единица.

      Таким образом, корни различны тогда и только тогда, когда дискриминант не равен нулю, а корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

      Monic form

      Деление квадратного уравнения на коэффициент a дает упрощенную моническую форму

      , где p = b ⁄ a и q = c ⁄ a .Это, в свою очередь, несколько упрощает корневые и дискриминантные уравнения до

      .

      и

      История

      Вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры (изображенные на древневавилонских глиняных табличках) могли решить пару одновременных уравнений вида:

      , которые эквивалентны уравнению: [1]

      Исходная пара уравнений решалась следующим образом:

      1. Форма
      2. Форма
      3. Форма
      4. Форма (где предполагается x ≥ y )
      5. Найдите x и y , проверив значения в (1) и (4). [2]

      Есть свидетельства, отодвигающие это назад еще до династии Ура III. [3]

      В Сульба Сутрах в древней Индии около 8 века до нашей эры квадратные уравнения вида ax 2 = c и ax 2 + bx = c были исследованы с использованием геометрических методов. Вавилонские математики примерно 400 г. до н.э. и китайские математики примерно 200 г. до н.э. использовали метод завершения квадрата для решения квадратных уравнений с положительными корнями, но не имели общей формулы. [ требуется ссылка ]

      Греческий математик Евклид создал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н.э. Пифагор и Евклид использовали строго геометрический подход и нашли общую процедуру решения квадратного уравнения. [4] В своей работе Arithmetica греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже если оба корня были положительными. [5]

      В 628 году нашей эры индийский математик Брахмагупта дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение квадратного уравнения

      следующим образом:

      “ К абсолютному числу, умноженному на квадрат [коэффициент], прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением.( Брахмаспхутасиддханта (перевод Колбрука, 1817, стр. 346) [2] ”

      Это эквивалент:

      Рукопись Бахшали , написанная в Индии в 7 веке нашей эры, содержала алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также квадратных неопределенных уравнений (первоначально типа ax / c = y ).

      Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (Персия, 9 век), вдохновленный Брахмагуптой, разработал набор формул, которые работали для положительных решений. [4] Аль-Хорезми идет дальше в предоставлении полного решения общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа на каждое квадратное уравнение, обеспечивая при этом геометрические доказательства. [6] Он также описал метод завершения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, [7] , что было доказано его современником ‘Абд аль-Хамид ибн Тюрк (Средняя Азия, 9 век), который дал геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. [8] В то время как сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики, которые его сменили, приняли отрицательные решения, [9] , а также иррациональные числа в качестве решений. [10] Абу Камил Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век), в частности, был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня, кубического корня или корня четвертой степени) как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнение. [11]

      Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) является автором первой европейской книги, включающей полное решение общего квадратного уравнения. [12] Его решение было во многом основано на работе Аль-Хорезми. [13] Письмо китайского математика Ян Хуэй (1238–1298 гг. Н. Э.) Представляет собой первое письмо, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами при «х», хотя он приписывает это более раннему Лю И.

      К 1545 году Джероламо Кардано собрал работы, связанные с квадратными уравнениями. Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Саймоном Стевином в 1594 году. [14] В 1637 году Рене Декарт опубликовал La Géométrie , содержащий квадратную формулу в той форме, которую мы знаем сегодня. [4] Первое появление общего решения в современной математической литературе появилось в статье 1896 года Генри Хитона. [15]

      Примеры использования

      Геометрия

      Для квадратичной функции:
      f ( x ) = x 2 — x — 2 = ( x + 1) ( x — 2) действительной переменной x , координаты x точек, где график пересекает ось x , x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x 2 — x — 2 = 0.

      Решения квадратного уравнения

      также являются корнями квадратичной функции:

      , поскольку это значения x , для которых

      Если a , b и c — действительные числа, а область f — это набор действительных чисел, то корни f — это точно координаты точек x где график касается оси x .

      Из вышеизложенного следует, что если дискриминант положительный, график касается оси x в двух точках, если ноль, график касается в одной точке, а если отрицательный, график не касается оси x -ось.

      Квадратичное разложение

      Срок

      — множитель полинома

      тогда и только тогда, когда r является корнем квадратного уравнения

      Из формулы корней квадратного уравнения следует, что

      В особом случае ( b 2 = 4 a c ), где квадратичный имеет только один отличный корень (т.е.е. дискриминант равен нулю) квадратичный многочлен можно разложить на множители как

      Применение к уравнениям высшей степени

      Некоторые уравнения более высокой степени могут быть приведены к квадратичной форме и решены таким образом. Например, уравнение 6-й степени в x :

      можно переписать как:

      или, что то же самое, в виде квадратного уравнения в новой переменной u :

      где

      Решение квадратного уравнения для u приводит к двум решениям:

      Таким образом

      Концентрация на нахождении трех кубических корней из 2 + 2 i — остальные три решения для x (три кубических корня из 2-2 i ) будут их комплексными сопряженными — переписывая правую часть по формуле Эйлера:

      (начиная с e 2 k π i = 1), дает три решения:

      Снова используя формулу Эйлера вместе с тригонометрическими тождествами, такими как cos (π / 12) = (√2 + √6) / 4, и добавляя комплексные сопряжения, получаем полный набор решений в виде:

      и

      Вывод квадратной формулы

      Завершив квадрат

      Квадратичная формула может быть получена методом завершения квадрата, [16] , чтобы использовать алгебраическое тождество:

      Деление квадратного уравнения

      на a (что разрешено, потому что a не равно нулю), дает:

      или

      Квадратное уравнение теперь имеет форму, к которой можно применить метод завершения квадрата.Чтобы «завершить квадрат», нужно добавить константу к обеим частям уравнения, так что левая часть станет полным квадратом:

      , который производит

      Правую часть можно записать как одну дробь с общим знаменателем 4 a 2 . Это дает

      Извлечение квадратного корня из обеих частей дает

      .

      Изолирующий x , дает

      Путем переключения

      оси 2 ax 2 со смещенной вершиной от начала координат до ( x V , y V ). a = -1 в этом примере.

      Квадратичная формула может быть получена, начиная с уравнения

      , который описывает параболу как ось 2 с вершиной, смещенной от начала координат к ( x V , y V ).

      Решение этого уравнения для x несложно и приводит к

      Использование формул Виета для координат вершин

      значения x можно записать как

      Примечание. Формулы для x V и y V могут быть получены путем сравнения коэффициентов в

      и

      Перепишем последнее уравнение как

      и сравнение с предыдущим результатом в

      , из которого могут быть получены выражения Виета для x V и y V .

      Резольвенты Лагранжа

      Дополнительные сведения по этой теме см. В разделе «Резольвенты Лагранжа».

      Альтернативный способ вывода квадратичной формулы — метод резольвент Лагранжа, который является ранней частью теории Галуа. [17] Преимущество этого метода заключается в том, что он обобщает, чтобы дать решение кубических многочленов и многочленов четвертой степени, и приводит к теории Галуа, которая позволяет понять решение многочленов любой степени в терминах группы симметрии их корни, группа Галуа.

      Этот подход больше фокусируется на корнях , чем на преобразовании исходного уравнения. Для монического квадратичного многочлена

      предполагаем, что это фактор как

      Увеличение урожайности

      где

      и

      Поскольку порядок умножения не имеет значения, можно поменять местами α и β , и значения p и q не изменятся: говорят, что p и q являются симметричными многочленами в α и β .Фактически, это элементарные симметричные многочлены — любой симметричный многочлен от α и β может быть выражен через α + β и αβ. Подход теории Галуа к анализу и решению многочленов: с учетом коэффициентов многочлена, которые являются симметричными функциями в корнях, можно ли «нарушить симметрию» и восстановить корни? Таким образом, решение полинома степени n связано со способами перестановки («перестановки») n членов, которая называется симметричной группой из n букв и обозначается S n .Для квадратичного многочлена единственный способ переставить два члена — это поменять их местами («транспонировать»), и, таким образом, решить квадратный многочлен просто.

      Чтобы найти корни α, и β, рассмотрим их сумму и разность:

      Они называются резольвентами Лагранжа полинома; обратите внимание, что они зависят от порядка корней, что является ключевым моментом. Можно восстановить корни из резольвент, обращая приведенные выше уравнения:

      Таким образом, решение для противовоспалительных средств дает исходные корни.

      Формально резольвенты называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) порядка 2, и преобразование может быть выражено матрицей с обратной матрицей Матрица преобразования также называется матрицей ДПФ или матрицей Вандермонда.

      Теперь r 1 = α + β является симметричной функцией в α и β, , поэтому ее можно выразить через p и q, и фактически r 1 = — p , как указано выше.Напротив, r 2 = α — β несимметрично, поскольку переключение α и β дает — r 2 = β — α (формально это называется групповым действием симметричной группы корней). Поскольку r 2 не является симметричным, его нельзя выразить через многочлены p и q , поскольку они симметричны по корням, а значит, и любое полиномиальное выражение, включающее их. Однако изменение порядка корней изменяет только r 2 в -1 раз, и, таким образом, квадрат является симметричным по корням и, таким образом, выражается в терминах p и q. Используя уравнение

      дает

      и, следовательно,

      .

      Если взять положительный корень, нарушая симметрию, получим:

      и, следовательно,

      Таким образом, корни

      , которая представляет собой квадратную формулу. Подстановка дает обычную форму для случаев, когда квадратичная величина не является монической. Резольвенты можно распознать как вершину и дискриминант (монического полинома).

      Аналогичный, но более сложный метод работает для кубических уравнений, в которых есть три резольвенты и квадратное уравнение («разрешающий многочлен»), связывающее r 2 и r 3 , которое можно решить с помощью квадратичного уравнение, и аналогично для уравнения четвертой степени (степени 4), разрешающий многочлен которого является кубикой, которая, в свою очередь, может быть решена. Однако тот же метод для уравнения пятой степени дает полином степени 24, что не упрощает задачу, и на самом деле решения уравнений пятой степени в целом не могут быть выражены с использованием только корней.

      Другие методы вычисления корня

      Альтернативная квадратичная формула

      В некоторых ситуациях предпочтительнее выражать корни в альтернативной форме.

      Эта альтернатива требует, чтобы c было ненулевым; ибо, если c равно нулю, формула правильно дает ноль как один корень, но не дает никакого второго, ненулевого корня. Вместо этого один из двух вариантов для ∓ дает неопределенную форму 0/0, которая не определена.Однако альтернативная форма работает, когда a равно нулю (дает уникальное решение как один корень и снова деление на ноль для другого), чего не делает нормальная форма (вместо этого оба раза производится деление на ноль).

      Корни одинаковы, независимо от того, какое выражение мы используем; Альтернативная форма — это просто алгебраическая вариация общей формы:

      Альтернативная формула может уменьшить потерю точности при численной оценке корней, что может быть проблемой, если один из корней намного меньше другого по абсолютной величине.В этом случае b очень близко к, и вычитание в числителе приводит к потере значимости.

      Смешанный подход позволяет избежать как всех проблем отмены (добавляются только числа с одинаковым знаком), так и проблемы c , равной нулю:

      Здесь sgn обозначает знаковую функцию.

      Реализация с плавающей запятой

      Тщательная компьютерная реализация с плавающей запятой немного отличается от обеих форм для получения надежного результата.Если предположить, что дискриминант b 2 — 4 ac положителен, а b не равен нулю, код будет примерно таким: [18]

      Здесь sgn ( b ) — знаковая функция, где sgn ( b ) равно 1, если b положительно, и -1, если b отрицательно; его использование гарантирует, что добавленные количества имеют один и тот же знак, что позволяет избежать катастрофической отмены .При вычислении x 2 используется тот факт, что произведение корней составляет c / a .

      Формулы Виета

      Основная статья: формулы Виета

      Формулы Виета дают простую связь между корнями многочлена и его коэффициентами. В случае квадратичного многочлена они принимают следующий вид:

      и

      Эти результаты сразу следуют из соотношения:

      , который можно сравнивать по срокам с:

      Первая формула выше дает удобное выражение для построения графика квадратичной функции.Поскольку граф симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, при наличии двух действительных корней координата x вершины находится в среднем значении корней (или пересекает). Таким образом, координата x вершины определяется выражением:

      Координата Y может быть получена путем подстановки вышеуказанного результата в данное квадратное уравнение, что дает

      График двух вычислений наименьшего корня квадратичного: прямое вычисление с использованием формулы квадратичного (с точностью до меньшего b ) и аппроксимации для широко разнесенных корней (с точностью до более крупного b ).Разница достигает минимума в больших точках, а округление приводит к появлению волнистых линий на кривых за пределами этого минимума.

      На практике формулы Виета представляют собой полезный метод нахождения корней квадратичного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого. Если | x 2 | << | x 1 |, тогда x 1 + x 2 ≈ x 1 , и мы имеем оценку:

      Вторая формула Виета дает:

      Эти формулы намного легче вычислить, чем квадратную формулу при условии одного большого и одного малого корня, потому что квадратная формула оценивает малый корень как разность двух почти равных чисел (случай большого b ) , что вызывает ошибку округления при численной оценке.На рисунке показана разница между (i) прямой оценкой с использованием квадратичной формулы (точной, когда корни близки друг к другу по значению) и (ii) оценкой, основанной на приведенной выше аппроксимации формул Виета (точной, когда корни широко разнесены. ). По мере увеличения линейного коэффициента b изначально квадратичная формула становится точной, а приближенная формула становится точнее, что приводит к меньшей разнице между методами по мере увеличения b . Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, а приближенный метод продолжает улучшаться.Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться по мере того, как квадратная формула становится все хуже и хуже.

      Эта ситуация обычно возникает в конструкции усилителя, где желательно широко разделить корни для обеспечения стабильной работы (см. Переходную характеристику).

      Тригонометрическое решение для сложных корней

      В случае сложных корней корни можно также найти тригонометрически. [19]

      Обобщение квадратного уравнения

      Формула и ее вывод остаются правильными, если коэффициенты a , b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля, характеристика которого не равна 2.(В поле характеристики 2 элемент 2 a равен нулю и делить на него невозможно.)

      Символ

      Под номером

      в формуле следует понимать «любой из двух элементов, площадь которых составляет b 2 — 4 ac , если такие элементы существуют». В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые — двух; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2. Обратите внимание, что даже если поле не содержит квадратного корня из некоторого числа, всегда есть поле квадратичного расширения, которое содержит, поэтому квадратная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения.

      Характеристика 2

      В поле характеристики 2 квадратичная формула, в которой 2 является единицей, не выполняется. Рассмотрим монический квадратичный многочлен

      в поле характеристики 2. Если b = 0, то решение сводится к извлечению квадратного корня, поэтому решение равно

      и обратите внимание, что с

      есть только один корень

      Таким образом,

      См. Квадратичный остаток для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях.

      В случае, когда b ≠ 0, есть два различных корня, но если многочлен неприводимый, они не могут быть выражены в терминах квадратных корней из чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определите 2-корень R ( c ) из c как корень многочлена x 2 + x + c , элемент поля разделения этот многочлен. Проверяется, что R ( c ) + 1 также является корнем.В терминах операции с двумя корнями два корня (немонического) квадратичного ax 2 + bx + c равны

      и

      Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F 4 , поле Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 являются корнями из x 2 + x + 1 более F 4 ).Поскольку ( a + 1) 2 = a , a + 1 является единственным решением квадратного уравнения x 2 + a = 0. С другой стороны, полином x 2 + ax + 1 нередуцируема по F 4 , но разбивается по F 16 , где имеет два корня: ab и ab + a , где b — это корень из x 2 + x + a в F 16 . (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 230) «Аль-Хорезми здесь обращает внимание на тот факт, что то, что мы обозначаем как дискриминант, должно быть положительным:« Вы также должны понимать, что когда вы берете половину корней в этой форме уравнения, а затем умножьте половину на себя; если то, что происходит или является результатом умножения, меньше, чем единицы, упомянутые выше в качестве сопровождающих квадрат, у вас есть уравнение. «[…] Еще раз шаги в завершении квадрата тщательно указаны, без обоснования,»

    36. ^ (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр.234) «Алгебра аль-Хорезми обычно рассматривается как первая работа по этому вопросу, но недавняя публикация в Турции вызывает некоторые вопросы по этому поводу. Рукопись работы ‘Абд-аль-Хамида ибн-Тюрка, под названием «Логические необходимости в смешанных уравнениях» была частью книги по Аль-Джабр валь мукабала , которая, очевидно, очень похожа на книгу аль-Хорезми и была опубликована примерно в то же время — возможно, даже раньше. Сохранившиеся главы о «Логической необходимости» дают точно такой же тип геометрической демонстрации, что и Ал-Хорезми Алгебра , и в одном случае тот же наглядный пример x 2 + 21 = 10x.В одном отношении изложение Абд-аль-Хамада более обстоятельно, чем изложение аль-Хорезми, поскольку он приводит геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. Сходство в работах этих двух людей и систематическая организация, обнаруженная в них, кажется, указывают на то, что алгебра в их время не была столь недавним развитием, как обычно предполагалось. Когда одновременно появляются учебники с обычным и упорядоченным изложением, предмет, скорее всего, значительно выходит за рамки стадии формирования. Саймонс, Стюарт, «Альтернативный подход к комплексным корням вещественных квадратных уравнений», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 91-92.

    Список литературы

    • Аль-Динавари, Абу Ханифа. 820. Аль-Китаб аль-Мухтагар фи хисаб аль-Табр ва’ль-мукабала .
    • Стиллвелл, Джон, Математика и ее история , Springer; 2-е издание (27 января 2004 г.). ISBN 0-387-95336-1.

    Внешние ссылки

    Квадратное уравнение

    В математике квадратное уравнение — это одномерное полиномиальное уравнение второй степени.2 + Ьх + с = 0, \, \)

    , где x представляет переменную или неизвестное, а a, b и c — константы с a 0. (Если a = 0, уравнение является линейным уравнением.)

    Константы a, b и c называются соответственно квадратичным коэффициентом, линейным коэффициентом и постоянным членом или свободным членом. 2 — 4ac.\, \)

    Квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь один или два различных действительных корня или два различных комплексных корня. В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Всего три корпуса:

    Если дискриминант положительный, то есть два различных корня, оба из которых являются действительными числами:

    \ (\ frac {-b + \ sqrt {\ Delta}} {2a} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {-b — \ sqrt {\ Delta}} {2a} \)

    Для квадратных уравнений с целыми коэффициентами, если дискриминант представляет собой полный квадрат, то корни являются рациональными числами — в других случаях они могут быть квадратичными иррациональными числами.

    Если дискриминант равен нулю, то существует ровно один отличный действительный корень, иногда называемый двойным корнем:

    \ (- \ frac {b} {2a}. \, \! \)

    Если дискриминант отрицательный, то реальных корней нет. Скорее, есть два различных (не действительных) комплексных корня, которые являются комплексно сопряженными друг другу:

    \ (\ frac {-b} {2a} + i \ frac {\ sqrt {- \ Delta}} {2a}, \ quad \ text {и} \ quad \ frac {-b} {2a} — i \ гидроразрыв {\ sqrt {- \ Delta}} {2a}, \)

    где i — мнимая единица. 2 — xy} = \ frac {x-y} {2} \) (где предполагается, что x ≥ y)
    Найдите x и y, проверив значения в (1) и (4).[2]

    Есть свидетельства, отодвигающие это назад до династии Ура III. [3]

    В Сульба Сутрах в древней Индии около 8 века до нашей эры квадратные уравнения вида ax 2 = c и ax 2 + bx = c были исследованы с использованием геометрических методов. Вавилонские математики примерно 400 г. до н.э. и китайские математики примерно 200 г. до н.э. использовали метод завершения квадрата для решения квадратных уравнений с положительными корнями, но не имели общей формулы. [ ]

    Греческий математик Евклид создал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н.э. Пифагор и Евклид использовали строго геометрический подход и нашли общую процедуру решения квадратного уравнения. В своей работе Arithmetica греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже если оба корня были положительными. 2 + bx = c \, \)

    следующим образом:
    «К абсолютному числу, умноженному на квадрат [коэффициента], добавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением.2} -b} {2a}. \)

    Рукопись Бахшали, написанная в Индии в 7 веке нашей эры, содержала алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также квадратных неопределенных уравнений (первоначально типа ax / c = y).

    Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (Персия, 9 век), вдохновленный Брахмагуптой, разработал набор формул, которые работали для положительных решений. Аль-Хорезми идет дальше в предоставлении полного решения общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа на каждое квадратное уравнение, обеспечивая при этом геометрические доказательства.[5] Он также описал метод завершения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, [6] что было доказано его современником Абд аль-Хамидом ибн Тюрком (Центральная Азия, 9 век), который привел геометрические фигуры в доказательство. что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. [7] Хотя сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики, которые его сменили, принимали отрицательные решения [8], а также иррациональные числа в качестве решений.[9] Абу Камил Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век), в частности, был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня, кубического корня или корня четвертой степени) как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении. . [10]

    Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) является автором первой европейской книги, включающей полное решение общего квадратного уравнения [11]. Его решение было во многом основано на работе Аль-Хорезми. [12] Письмо китайского математика Ян Хуэй (1238–1298 гг. Н.э.) представляет собой первое, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами при «х», хотя он приписывает это более раннему Лю И.

    К 1545 году Джероламо Кардано собрал работы, связанные с квадратными уравнениями. 2 + Ьх + с = 0.{\ tfrac {8k + 1} {12} \ pi i} \ ,, ~ k = 0, 1, 2 \ ,. \)

    Снова используя формулу Эйлера вместе с тригонометрическими тождествами, такими как cos (π / 12) = (√2 + √6) / 4, и добавляя комплексные сопряжения, получаем полный набор решений в виде:

    \ (x_ {1,2} = -1 \ pm i, \, \)
    \ (x_ {3,4} = \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 — \ sqrt {3}} {2} i \, \)

    и

    \ (x_ {5,6} = \ frac {1 — \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} i.2 + y_V \ !, \)

    , из которого могут быть получены выражения Виета для xV и yV.
    Резольвенты Лагранжа
    Дополнительные сведения по этой теме см. В разделе «Резольвенты Лагранжа».

    Альтернативный способ получения квадратичной формулы — метод резольвент Лагранжа, который является ранней частью теории Галуа. [16] Преимущество этого метода заключается в том, что он обобщает решение кубических многочленов и четвертых многочленов и приводит к теории Галуа, которая позволяет понять решение многочленов любой степени в терминах группы симметрии их корней, теории Галуа. группа.2 — (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta, \! \)

    где

    \ (р = — (\ альфа + \ бета) \! \)

    и

    \ (д = \ альфа \ бета. \! \)

    Поскольку порядок умножения не имеет значения, можно поменять местами α и β, и значения p и q не изменятся: говорят, что p и q являются симметричными многочленами от α и β. Фактически, это элементарные симметричные многочлены — любой симметричный многочлен от α и β может быть выражен через \ alpha + \ beta и αβ.Подход теории Галуа к анализу и решению многочленов заключается в следующем: с учетом коэффициентов многочлена, которые являются симметричными функциями от корней, можно ли «нарушить симметрию» и восстановить корни? Таким образом, решение полинома степени n связано со способами перестановки («перестановки») n терминов, которая называется симметричной группой из n букв и обозначается \ (S_n \). Для квадратичного многочлена единственный способ переставить два члена — это поменять их местами («транспонировать»), и, таким образом, решить квадратный многочлен просто.

    Чтобы найти корни α и β, рассмотрим их сумму и разность:

    \ (\ begin {align} r_1 & = \ alpha + \ beta \\ r_2 & = \ alpha — \ beta. \\ \ end {align} \)

    Они называются резольвентами Лагранжа многочлена; обратите внимание, что они зависят от порядка корней, что является ключевым моментом. Можно восстановить корни из резольвент, обращая приведенные выше уравнения:

    \ (\ begin {align} \ alpha & = \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (r_1 + r_2 \ right) \\ \ beta & = \ textstyle {\ frac {1} {2} } \ left (r_1-r_2 \ right).\\ \ end {align} \)

    Таким образом, решение для резольвент дает исходные корни.

    Формально резольвенты называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) порядка 2, и преобразование может быть выражено матрицей \ (\ left (\ begin {smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {smallmatrix } \ right) \) с обратной матрицей \ (\ left (\ begin {smallmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \ end {smallmatrix} \ right) \). Матрица преобразования также называется матрицей ДПФ или матрицей Вандермонда.

    Теперь \ (r_1 = \ alpha + \ beta \) является симметричной функцией относительно α и β, поэтому ее можно выразить через p и q, и фактически r_1 = -p, как отмечалось выше. Напротив, \ (r_2 = \ alpha — \ beta \) не является симметричным, поскольку переключение α и β дает \ (-r_2 = \ beta — \ alpha \) (формально это называется групповым действием симметрической группы корнеплоды). Поскольку r_2 не является симметричным, его нельзя выразить через многочлены p и q, поскольку они симметричны по корням, а значит, и любое полиномиальное выражение, включающее их.2-4q \! \) — дискриминант (монического полинома).

    Аналогичный, но более сложный метод работает для кубических уравнений, в которых есть три резольвенты и квадратное уравнение («разрешающий многочлен»), связывающее r_2 и r_3, которое можно решить с помощью квадратного уравнения, и аналогично для квартики (степень 4 ) уравнение, разрешающим многочленом которого является кубика, которое, в свою очередь, может быть решено. Однако тот же метод для уравнения пятой степени дает полином степени 24, что не упрощает задачу, и на самом деле решения уравнений пятой степени в целом не могут быть выражены с использованием только корней.2-4ac \}} = \ frac {2c} {- b \ mp \ sqrt \ Delta}. \)

    Эта альтернатива требует, чтобы c было ненулевым; ибо, если c равно нулю, формула правильно дает ноль как один корень, но не дает никакого второго, ненулевого корня. Вместо этого один из двух вариантов для ∓ дает неопределенную форму 0/0, которая не определена. Однако альтернативная форма работает, когда a равно нулю (дает уникальное решение как один корень и снова деление на ноль для другого), чего не делает нормальная форма (вместо этого выполняется деление на ноль оба раза).2-4ac \}}. \ end {align} \)

    Альтернативная формула может уменьшить потерю точности при численной оценке корней, что может быть проблемой, если один из корней намного меньше другого по абсолютной величине. В этом случае b очень близко к \ scriptstyle \ pm \ sqrt {x}, и вычитание в числителе приводит к потере значимости.

    Смешанный подход позволяет избежать как всех проблем отмены (добавляются только числа с одинаковым знаком), так и проблемы нулевого значения c:

    \ (\ begin {align} x_1 & = \ frac {-b — \ sgn (b) \, \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}, \\ x_2 & = \ frac {2c} {- b — \ sgn (b) \, \ sqrt {b ^ 2-4ac}} = \ frac {c} {ax_1}.2-4ac} \ right) \, \! \)
    \ (х_1 = д / а \, \! \)
    \ (х_2 = с / д \, \! \)

    Здесь sgn ( b ) — знаковая функция, где sgn ( b ) равно 1, если b положительно, и -1, если b отрицательно; его использование гарантирует, что добавленные количества имеют один и тот же знак, что позволяет избежать катастрофической отмены . При вычислении x 2 используется тот факт, что произведение корней составляет c / a .2-4ac} \), между членами b 2 и −4 ac дискриминанта остается форма сокращения, которая все еще может привести к потере до половины правильных значащих цифр. [18] [19] Дискриминант b 2 −4 ac необходимо вычислить в арифметике с удвоенной точностью результата, чтобы избежать этого (например, четырехкратная точность, если конечный результат должен быть с точностью до полной двойной точности). [20]
    Формулы Виета
    Основная статья: формулы Виета

    Формулы Виета дают простую связь между корнями многочлена и его коэффициентами. 2 — 4ac} {4a}.\)

    График двух вычислений наименьшего корня квадратичного уравнения: прямое вычисление с использованием формулы квадратичного уравнения (с точностью до меньшего b) и аппроксимация для широко разнесенных корней (с точностью до большего b). Разница достигает минимума в больших точках, а округление приводит к появлению волнистых линий на кривых за пределами этого минимума.

    На практике формулы Виета представляют собой полезный метод нахождения корней квадратичного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого.Если | x 2 | << | x 1 |, тогда x 1 + x 2 ≈ x 1, и мы имеем оценку:

    \ (x_1 \ приблизительно — \ frac {b} {a} \. \)

    Вторая формула Виета дает:

    \ (x_2 = \ frac {c} {a \ x_1} \ приблизительно — \ frac {c} {b} \. \)

    Эти формулы намного легче вычислить, чем квадратную формулу при условии одного большого и одного малого корня, потому что квадратная формула оценивает малый корень как разность двух почти равных чисел (случай большого b), что приводит к ошибка округления при численной оценке.На рисунке показана разница между (i) прямой оценкой с использованием квадратичной формулы (точной, когда корни близки друг к другу по значению) и (ii) оценкой, основанной на приведенной выше аппроксимации формул Виета (точной, когда корни широко разнесены. ). По мере увеличения линейного коэффициента b изначально квадратичная формула становится точной, а приближенная формула становится точнее, что приводит к меньшей разнице между методами при увеличении b. Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, а приближенный метод продолжает улучшаться.Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться по мере того, как квадратная формула становится все хуже и хуже.

    Эта ситуация обычно возникает в конструкции усилителя, где желательно широко разделить корни для обеспечения стабильной работы (см. Переходную характеристику).
    Тригонометрическое решение для сложных корней

    В случае сложных корней корни также могут быть найдены тригонометрически. [21]
    Геометрическое решение

    Геометрическое решение ax 2 + bx + c по методу Лилля.Решения: −AX1 / SA, −AX2 / SA

    .

    Квадратное уравнение может быть решено геометрически несколькими способами. Один из способов — через метод Лилла. Три коэффициента a, b, c нарисованы с прямым углом между ними, как в SA, AB и BC на прилагаемой диаграмме. Рисуется окружность с начальной и конечной точками SC в качестве диаметра. Если это пересекает среднюю линию AB из трех, тогда уравнение имеет решение, и решения даются как отрицательное значение расстояния вдоль этой линии от A, деленного на первый коэффициент a или SA.Если a равно 1, коэффициенты можно считывать напрямую. Таким образом, решения на диаграмме — это −AX1 / SA и −AX2 / SA. [22]
    Обобщение квадратного уравнения

    Формула и ее вывод остаются правильными, если коэффициенты a, b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля, характеристика которого не равна 2. 2-4ac} \)

    Под номером

    в формуле следует понимать «любой из двух элементов, площадь которых составляет b 2 — 4 ac , если такие элементы существуют».В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые — двух; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2. Обратите внимание, что даже если поле не содержит квадратного корня из некоторого числа, всегда есть поле квадратичного расширения, которое содержит, поэтому квадратная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения.

    Характеристика 2

    В поле характеристики 2 квадратичная формула, в которой 2 является единицей, не выполняется.{2}. \)

    См. Квадратичный остаток для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях.

    В случае, когда b ≠ 0, есть два различных корня, но если многочлен неприводимый, они не могут быть выражены в терминах квадратных корней из чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определите 2-корень R ( c ) из c как корень многочлена x 2 + x + c , элемент поля разделения этот многочлен.2} \ вправо) +1 \ вправо). \)

    Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F 4 , поле Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 являются корнями из x 2 + x + 1 более F 4 ). Поскольку ( a + 1) 2 = a , a + 1 является единственным решением квадратного уравнения x 2 + a = 0.С другой стороны, многочлен x 2 + ax + 1 неприводим на F 4 , но он разбивается на F 16 , где имеет два корня: ab и ab + a , где b — корень x 2 + x + a в F 16 . (Бойер и Мерцбах 1991, стр.234) «Алгебра аль-Хорезми обычно рассматривается как первая работа по этому вопросу, но недавняя публикация в Турции вызывает некоторые вопросы по этому поводу. Рукопись работы Абд-аль-Хамида ибн-Тюрка, озаглавленной« «Логические необходимости в смешанных уравнениях» »была частью книги об Аль-Джабр ва’л Мукабала, которая, очевидно, была во многом такой же, как и Аль-Хорезми, и была опубликована примерно в то же время — возможно, даже раньше. «Логическая необходимость» дает точно такой же тип геометрической демонстрации, что и Алгебра аль-Хорезми, и в одном случае тот же наглядный пример x 2 + 21 = 10x.В одном отношении изложение Абд-аль-Хамада более обстоятельно, чем изложение аль-Хорезми, поскольку он приводит геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. Сходство в работах этих двух людей и систематическая организация, обнаруженная в них, кажется, указывают на то, что алгебра в их время не была столь недавним развитием, как обычно предполагалось. Когда одновременно появляются учебники с обычным и упорядоченным изложением, предмет, скорее всего, значительно выходит за рамки стадии формирования.Биксби, Уильям Герберт (1879). Графический метод быстрого нахождения истинных корней числовых уравнений любой степени. Вест-Пойнт, штат Нью-Йорк,

    Boyer, Carl B .; Мерцбах, Ута К. (1991), «Арабская гегемония», История математики (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471543977
    Кац, Виктор Дж .; Бартон, Билл (октябрь 2007 г.), «Этапы истории алгебры, имеющие значение для обучения», Образовательные исследования по математике (Springer, Нидерланды) 66 (2): 185–201, DOI: 10.1007 / s10649-006-9023-7
    Стиллвелл, Джон (27 января 2004 г.), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-95336-1

    Внешние ссылки

    Вайсштейн, Эрик В., «Квадратные уравнения» из MathWorld.
    101 использование квадратного уравнения
    101 использование квадратного уравнения: Часть II
    Пошаговые инструкции по использованию формулы квадратного уравнения для любого входа

    Математическая энциклопедия

    связанных слов — поиск слов, связанных с другим словом

    Как вы, наверное, заметили, слова, относящиеся к «термину», перечислены выше.Надеюсь, сгенерированный список слов, связанных с терминами, соответствует вашим потребностям.

    П.С. Есть некоторые проблемы, о которых я знаю, но в настоящее время не могу их исправить (потому что они выходят за рамки этого проекта). Главный из них заключается в том, что отдельные слова могут иметь много разных значений (значений), поэтому, когда вы ищете такое слово, как означает , движок не знает, к какому определению вы имеете в виду («хулиганы означают » vs . «что вы означает ?» и т. д.), поэтому учтите, что ваш поисковый запрос для таких слов, как термин, может быть немного неоднозначным для движка в этом смысле, и соответствующие термины, которые возвращаются, могут отражать это.Вам также может быть интересно: что за слово ~ термин ~?

    Также проверьте слова ~ term ~ на relatedwords.io, чтобы найти еще один источник ассоциаций.

    Связанные слова

    Related Words работает по нескольким различным алгоритмам, которые соревнуются за повышение своих результатов в списке. Один из таких алгоритмов использует встраивание слов для преобразования слов в многомерные векторы, которые представляют их значения. Векторы слов в вашем запросе сравниваются с огромной базой данных предварительно вычисленных векторов, чтобы найти похожие слова.Другой алгоритм просматривает Concept Net в поисках слов, которые имеют какое-то значимое отношение к вашему запросу. Эти и некоторые другие алгоритмы позволяют «Родственным словам» давать вам … связанных слов, а не просто прямые синонимы.

    Помимо поиска слов, связанных с другими словами, вы можете вводить фразы, и он должен давать вам связанные слова и фразы, если введенная фраза / предложение не слишком длинное. Вы, вероятно, время от времени будете получать какие-то странные результаты — это просто природа движка в его текущем состоянии.

    Особая благодарность разработчикам открытого исходного кода, который был использован для предоставления вам этого списка тематических слов: @Planeshifter, @HubSpot, Concept Net, WordNet и @mongodb.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *